1.4等边三角形的性质及判定课件(4)
等边三角形课件
等边三角形课件一、等边三角形的定义等边三角形，又称正三角形，是指三边长度都相等的三角形。
这是一个非常基础且重要的几何概念。
想象一下，三条边长度完全一样，构成的三角形形状规整，角度也具有特定的规律。
二、等边三角形的性质1、边的性质等边三角形的三条边长度相等。
这是其最显著的特征之一。
无论从哪个角度测量，三条边的长度都是一致的。
2、角的性质等边三角形的三个内角也相等，且每个内角都是 60 度。
这是因为三角形的内角和为 180 度，而三个角相等，所以每个角就是 180 度除以 3，等于 60 度。
3、对称性等边三角形具有很高的对称性。
它既是轴对称图形，有三条对称轴，分别是三条边的高所在的直线；同时也是旋转对称图形，绕着其中心旋转 120 度后能与自身重合。
4、稳定性在实际应用中，等边三角形具有良好的稳定性。
比如在建筑结构、机械设计等领域，利用等边三角形的稳定性可以增强结构的牢固程度。
三、等边三角形的判定方法1、定义法如果一个三角形的三条边长度都相等，那么它就是等边三角形。
这是最直接也是最根本的判定方法。
2、三个角相等如果一个三角形的三个角都相等，那么它也是等边三角形。
因为三个角相等，每个角都是 60 度，所以必然是等边三角形。
四、等边三角形的周长和面积计算1、周长由于等边三角形的三条边长度相等，假设边长为 a，那么周长 C 就等于 3a。
2、面积计算等边三角形的面积，我们可以使用公式：面积 S ＝√3/4 × a² 。
其中 a 是等边三角形的边长。
为了更好地理解这个公式，我们可以将等边三角形分成两个直角三角形。
通过勾股定理求出高，然后再计算面积。
五、等边三角形在实际生活中的应用1、建筑领域在一些建筑结构中，等边三角形的稳定性被充分利用，比如屋顶的支撑结构、桥梁的设计等。
2、艺术设计等边三角形的规整和对称美在艺术设计中经常被运用，创造出富有节奏感和平衡感的作品。
3、标志和符号许多标志和符号采用等边三角形的形状，以传达稳定、平等、统一等概念。
等边三角形优秀PPT课件
等边三角形是数学研究中的重要对 象之一，与三角函数、数列等领域 有密切联系。
03
等边三角形面积与周长计算
面积计算公式推导
等边三角形面积公式
S = (a^2 * sqrt(3)) / 4，其中a为等边三角形的边长。
公式推导
等边三角形可以划分成两个等腰直角三角形，每个直角三角形的面积为(1/2) * a * (a * sqrt(3) / 2)，因此等边三角形面积为2 * (1/2) * a * (a * sqrt(3) / 2) = (a^2 * sqrt(3)) / 4。
05
等边三角形相关数学问题探讨
等腰直角三角形与等边三角形关系探讨
定义与性质 等腰直角三角形是两边相等的直角三角形，等边三角形则 是三边都相等的三角形。两者都属于特殊三角形，具有一 些独特的性质。
关联与转化 等腰直角三角形可以通过添加辅助线转化为等边三角形， 从而利用等边三角形的性质解决问题。反之，等边三角形 也可以转化为等腰直角三角形进行求解。
三边相等判定法
定义
判定方法
三边长度相等的三角形称为等边三角 形。
通过测量三角形的三边长度，判断是 否相等来确定是否为等边三角形。
判定定理
若三角形三边长度分别为a、b、c， 且满足a=b=c，则该三角形为等边三 角形。
两角相等判定法
定义
有两个内角相等的三角形 称为等腰三角形，若这两 个内角均为60度，则为等 边三角形。
特点
等边三角形的三个内角均为60°， 具有对称性。
与其他三角形关系
01
02
03
与等腰三角形关系
等边三角形是特殊的等腰 三角形，其中两腰长度相 等且等于第三边。
与直角三角形关系
中考数学冲刺复习——等边三角形的性质与判定(共34张PPT)
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4.如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形． (1)求证：BD=CE； (2)如图2，若BD的中点为P，CE的中点为Q，请判断△APQ的形状，并说明理由．
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5. （1）如图（a）所示，△ABC和△CDE都是等边三角形，且B、C、D三点共线，联结AD、BE相交于点P， 求证：BE=AD．
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E
E
E
C A
C A
C A
P
P
P
B
D
B
D
B
D
F
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F
F
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E
C A
P
B
D
F
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04
等边三角形 的综合练习
1.已知如图等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，点P是BA延长线上一点，点O是线段AD上一点， OP=OC，下面的结论：①∠APO+∠DCO=30°；②△OPC是等边三角形；③AC=AO+AP；④S△ABC=S四边形 AOCP．其中正确的是（ ） A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④
（2）如图（b）所示，在△BCD中，∠BCD＜120°，分别以BC、CD和BD为边在△BCD外部作等边三角 形ABC、等边三角形CDE和等边三角形BDF，联结AD、BE和CF交于点P，下列结论中正确的是 （只填序号即可） ①AD=BE=CF；②∠BEC=∠ADC；③∠DPE=∠EPC=∠CPA=60°；
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等边三角形课件
等边三角形的性质与证明一、等边三角形的定义等边三角形，又称正三角形，是一种具有三条边都相等的三角形。
在等边三角形中，每个角都是60度，这是由三角形内角和定理直接得出的。
等边三角形是一种特殊的等腰三角形，因为它的三条边都相等，所以它也满足等腰三角形的性质。
二、等边三角形的性质1.角的性质：等边三角形的三个角都相等，每个角的大小为60度。
这是因为三角形的内角和为180度，而在等边三角形中，三个角都相等，所以每个角的大小为180度除以3，即60度。
2.边的性质：等边三角形的三条边都相等。
这是等边三角形的基本性质，也是它与其他三角形区别的最大特点。
3.对称性质：等边三角形具有三条对称轴，分别是三条中线。
这是因为等边三角形的每条中线都可以将三角形分成两个面积相等的小三角形，所以中线也是高线和中位线。
4.周长和面积：等边三角形的周长是任意一边长的三倍，面积可以通过公式S=(a^2√3)/4计算，其中a为边长。
三、等边三角形的证明1.角的证明：通过三角形内角和定理，我们可以得出等边三角形的每个角都是60度。
具体证明如下：设等边三角形的三个角分别为A、B、C，边长为a。
根据三角形内角和定理，有：A+B+C=180度由于三角形ABC是等边三角形，所以有：A=B=C将A=B=C代入上述等式中，得到：A+A+A=180度3A=180度A=B=C=60度2.边的证明：等边三角形的三条边都相等，这是由等边三角形的定义直接得出的。
具体证明如下：设等边三角形的三个边分别为a、b、c。
由于三角形ABC是等边三角形，所以有：a=b=c四、等边三角形的应用等边三角形在日常生活和工程应用中有广泛的应用，例如在建筑设计、机械制造、地理信息系统等领域。
等边三角形的特点使其在一些特定情况下具有特殊的优势，例如在等边三角形的网格划分中，每个网格的面积相等，这对于一些需要均匀划分的区域非常有用。
总结：等边三角形是一种具有三条边都相等的三角形，它的每个角都是60度。
等边三角形的性质和判定PPT教学课件
1.5
5140 9766
1.5
6130
1164 7
2.2
7070
1343 3
2.2
8010
1521 9
28
2.2
8950
1700 5
30
2.2
9890
1879 1
➢ 上图采用周边传动刮泥机结构 主要由中心支座、桁架、传动装置、刮板等部分组成，
该机为全桥（或半桥）周边传动刮泥，传动是由电机经行 星摆线针轮减速机直接或通过链条驱动滚轮，以中心支座 为圆心在池壁顶做圆周运行。 ------结构简单，耗电省，运行可靠，目前已广泛推广
3．在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C，你能得到AB＝BC＝CA 吗？为什么？ 你从中能得到什么结论？ 三个角都相等的三角形是等边三角形． 4．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°.(1)求证：△ABC是 等边三角形； (2)如果把∠A＝60°改为∠B＝60°或∠C＝60°，那么结论 还成立吗？ (3)由上你可以得到什么结论？ 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
将污泥与3-4倍污泥量的水混合而进行沉降分离 （仅适用于消化污泥）
目的：降低污泥中的碱度和粘度，以节省混凝 剂的用量，提高浓缩效果，缩短浓缩时间。
过程：泥水混合—淘洗—沉淀
三、加热加压调理
可使部分有机物分解，亲水性有机胶体物质水解，颗粒 结构改变，从而改善污泥的浓缩与脱水性能
（一）高温加压调理 流程 图5-6
第五章 污泥的浓缩与脱水
第一节 概述 一、污泥的种类
按来源分： 生活污水污泥、工业废水污泥、给水污泥
按污泥从水中的分离过程分： 沉淀污泥（初沉池污泥、混凝沉淀污泥、化学沉
淀污泥）及生物污泥（包括腐殖污泥、剩余活性污泥 ）
等边三角形的性质和判定 —初中数学课件PPT
∴ △ADE 是等边三角形. D
E
动脑思考，变式训练
变式2 若点D、E 在边AB、AC 的反向延长线上， 且DE∥BC，结论依然成立吗？
证明： ∵ △ABC 是等边三角形， E D
∴ ∠BAC =∠B =∠C =60°．
∵ DE∥BC，
A
∴ ∠B =∠D，∠C =∠E．
∴ ∠EAD =∠D =∠E．
课堂小结
（1）本节课学习了等边三角形的性质和判定； （2）等边三角形与等腰三角形相比有哪些特殊的性质？
共有几种判定等边三角形的方法？ （3）结合本节课的学习，谈谈研究三角形的方法．
布置作业
必作题：教科书习题13.3第12、14题．
选作题：△ABC是等边三角形，下列三种方法得到的△ADE是等边三角形 吗？为什么？ ①在边AB、AC上截取AD=AE。 ②作∠ADE＝60°，D、E分别在边AB、AC上。 ③过边AB上一点D作DE∥BC,交AC边于点E。
细心观察，探索性质
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应 的结论吗？
图形
等腰 三角形
等边 三角形
边
两边相等 （定义）
三边相等 （定义）
角 两底角相等 （等边对等角）
？
轴对称图形 是（三线合一）
一条对称轴
？
细心观察，探索性质
结合等腰三角形的性质，你能填出等边三角形对应 的结论吗？
图形
等腰 三角形
人教版八年级上
13.3.2 等边三角形
学习目标： 1．探索等边三角形的性质和判定． 2．能运用等边三角形的性质和判定
进行计算和证明．
学习重点： 探索等边三角形的性质与判定．
创设情境，导入新知
创设情境，导入新知
等边三角形ppt
等边三角形ppt等边三角形是初中数学中一个重要的几何图形，它具有独特的性质和广泛的应用。
在这篇文章中，我们将深入探讨等边三角形的定义、性质、判定方法以及它在实际生活中的应用。
一、等边三角形的定义等边三角形，又称正三角形，是指三边长度相等的三角形。
其三个内角也相等，均为 60 度。
二、等边三角形的性质1、三条边相等这是等边三角形最基本的特征，也是其名称的由来。
2、三个角相等，均为 60 度由于三角形内角和为180 度，且三边相等，所以三个角也必然相等，每个角都是 180÷3 ＝ 60 度。
3、三线合一等边三角形的高、中线、角平分线重合，这一性质在解决与等边三角形相关的几何问题时经常用到。
4、轴对称图形等边三角形有三条对称轴，分别是三条边的高所在的直线。
5、面积和周长设等边三角形的边长为 a，则其面积 S ＝√3/4 a²，周长 C ＝ 3a 。
三、等边三角形的判定方法1、三边相等的三角形是等边三角形这是等边三角形的定义，也是最直接的判定方法。
2、三个角都相等的三角形是等边三角形因为三角形内角和为 180 度，若三个角都相等，则每个角都是 60 度，所以该三角形是等边三角形。
3、有一个角是 60 度的等腰三角形是等边三角形如果一个等腰三角形中有一个角是 60 度，那么其他两个角也必然是 60 度，从而该三角形是等边三角形。
四、等边三角形在实际生活中的应用1、建筑设计在一些建筑结构中，等边三角形的稳定性被充分利用。
例如，某些桥梁的支撑结构可能会采用等边三角形的框架，以增强其承受重量和抵御外力的能力。
2、艺术创作等边三角形的对称美常常被艺术家运用在绘画、雕塑等作品中，为作品增添几何美感和平衡感。
3、机械制造在机械零件的设计和制造中，等边三角形的部件可能会因为其均匀的受力分布而被选用，提高机械的性能和可靠性。
4、计算机图形学在计算机图形处理中，等边三角形是构建复杂图形的基本单元之一，有助于实现高效的图形渲染和建模。
等边三角形的性质与判定课件
∵∠A= ∠ B=∠C
∴△ABC是等边三角形
判定3：有一个角是60。的等腰三角形是
等边三角形 已知： AB=AC ∠A=60。
A
求证：△ABC是等边三角形
B
几何语言:
C
∵AB=AC ∠A=60。
∴△ABC是等边三角形
1、已知△ABC中，∠A=∠B=60°，AB=3cm， 则△ABC的周长___9_c_m___
(2) 等边三角形的判定:
1.三边相等的三角形是等边三角形. 2.三个角都相等的三角形是等边三角形。 3.有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三
角形。
有二条边相等
底边＝腰长
一般三角形
等腰三角形
等边三角形
等边三角形的定义
三边都相等的三角形叫等边三
角形。等边三角形是一种特殊的
A
等腰三角形。也叫正三角形。
B
C
等腰边三角形有什么性质？
名 图 形 边 角 重要线段 对称性
称
等
A
腰 三 角
形 B） .
）∟
两 腰 相 C等
两 底 角 相 等
顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高线
Байду номын сангаас
角形（定义）
三角形（定义）
方法二：从角看
方法二：
有两个角相等的三角形是等腰 三个角都相等的三角形是等 三角形。（简写成等角对等边） 边三角形
方法三：
有一个角是60°的等腰三角形 是等边三角形
判定2： 三个角都相等的三角形是 A 等边三角形。
已知： ∠A= ∠ B=∠C
求证：△ABC是等边三角
形
B
C 几何语言：
∵ DE∥BC
《等边三角形的性质与判定》优质课件(3套)
边 角 轴对称性
三边法 三角法
三边相等
三个角都等于60 °
轴对称图形，每条 边上都具有“三线
合一”性质
等腰三角形法
13.3.2 等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
• 学习目标： 1．探索等边三角形的性质和判定． 2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证 明．
• 学习重点： 探索等边三角形的性质与判定．
类比探究
问题1 等边三角形的三个内角之间有什么关系？
A
B
C
等腰三角形
AB=AC ∠B=∠C
AB=AC ∠B=∠C
B
A
内角和
为180°
AC=BC
∠A=∠B
C
等边三角形
AB=AC=BC
∠A=∠B=∠C =60°
结论： 等边三角形的三个内角都相等，并且每一
个角都等于60°.
已知：AB=AC=BC ， 求证：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
当堂练习
1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ B ） A．105° B．120° C．135° D．150°
2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，
DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ D ）
A A. 4个 B. 5个
C. 6个
D. 7个
DOE
B
C
3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则
变式3：上题中,若将条件DE∥BC改为AD=AE,
△ADE还是等边三角形吗?试说明理由. A
证明：∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
D
E
∵ AD=AE,
B
C
八年级数学等边三角形性质和判定优秀课件
一般三角形
等腰三角形
等边三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与 腰相等，即三角形的三边相等，我们把三条边都 相等的三角形叫作等边三角形.
名 称
图形
定义
性质
判定
A
两腰相等
两边相等
等
腰
三
角B 形
有两条边相等
的三角形叫做 等边对等角
等腰三角形 C
三线合一
等角对等边
轴对称图形
讲授新课
一 等边三角形的性质
证明：∵△ABD是等边三角形， ∴∠DAB=60°， ∵∠CAB=30°，∠ACB=90°， ∴∠EBC=180°-90°-30°=60°， ∴∠FAE=∠EBC． ∵E为AB的中点， ∴AE=BE． 又∵ ∠AEF＝∠BEC， ∴△AEF≌△BEC〔ASA〕．
6.如图，A、O、D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等
角形是等腰三角形
等边三角形 三条边都相等的三角形 是等边三角形
三个角都相等的三角形 是等边三角形
小明等认边为三还角有形第的三种判方定法方“法两：条边相等且有一个角是60°的三角 形也是等有边一三个角角形〞是，60你°同的意等吗腰？三角形是等边三角形.
辩一辩：根据条件判断以下三角形是否为等边三角形.
八年级数学上〔RJ〕
第十三章 轴对称
等边三角形
第1课时 等边三角形的性质与判定
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1．探索等边三角形的性质和判定．〔重点〕 2．能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证
明．〔难点〕
导入新课
问题引入
小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长 度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设 计出几种形状的三角形？
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2015年3月8日星期日7时 50分6秒
2、在Rt△ABC 中， 如果∠BＣＡ＝ ９0° ， ∠A＝ 30 °， CD是高， （1）BD=1，则BC、AB各等于多少； （2）求证：BD=1/2BC=1/4AB C 解（1）由已知可求得 ∠BＣD= 30 ° 于是在Rt△ADC 与Rt△BDC A D B 中用本定理得BC=2，AB=4 （2）在Rt△ADC 与Rt△BDC运用本定理 BD=1/2BC BC=1/2AB ∴ BD=1/2BC=1/4AB
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B
C
这是两个等边三角形,那么请移动三根火柴 ,将此图变成四个等边三角形.
提示:此题并不难,如果外部不能解决,那么 2015年 3月8日星期日7时 想想里面吧 . 50分6秒
等边三角形的性质:
名 称
等 边 三 角 B 形
图 形
性 三条边都相等
质
A
三个角都相等，且都为60°
A
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B
C
D
∵△ABC与△ADC关于AC轴对称 ∴AB＝AD △ABD是等边三角形 又∵AC⊥BD∴BC＝DC＝1/2AB A 你还能用其他 方法证明吗?
2015年3月8日星期日7时 50分6秒
B
C
D
在直角三角形中,如果一个锐角等于30° 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
C
三线合一 轴对称图形，有三条对称轴
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等边三角形的判定:
名 称
等 边 三 角 B 形
图 形
判
定
三条边都相等的三角形
A
三个角都等于60°的三角形
C
有一个角等于60°的等腰
三角形
2015年3月8日星期日7时 50分6秒
将两个含有30°的直角三角板如图摆放在 一起你能借助这个图形,找到Rt△ABC的直 角边BC与斜边AB之间的数量关系吗?
3.等边三角形各边上中线,高和所对角的平
分线都三线合一.
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4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
探索星空：探究判定一
1、三个内角都等于60°的三角形是等边三角形? ∵ ∠A=∠B=∠C=60° ∴ AB=AC=BC (在同一个三 角形中等角对等边) ∴ △ABC是等边三角形
Ｃ） ２、等边三角形的对称轴有（ （A）1条（B）2条（C）3条（D）4条 ３、等边三角形中，高、中线、角平分线共有（Ａ） （A）3条（B）6条（C）9条（D）7条
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探究：如图,等边三角形ABC,以下三种方法分别
得到的三角形ADE都是等边三角形吗？为什么？ （1）在边AB，AC，分别截取AD=AE （2）∠ADE=60°，D，E分别在边AB，AC上 A （3）过边AB上D点，作DE∥BC，交 AC于E点 D E
A
30°
在直角△ABC中 ∵∠A＝30° ∴AC＝2BC
┓ B
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C
下图是屋架设计图的一部分,点D是 斜梁AB的中点,立柱BC、 DE垂直于 横梁AC,AB＝7.4m,∠A＝30°立柱 BC 、 DE要多长?
B
D A
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E
C
解:∵DE⊥AC, BC⊥AC, ∠A＝30° 可得 2BC＝AB, 2DE＝AD ∴BC＝1/2 ×7.4＝3.7m 又 AD＝1/2 AB ∴DE＝1/2 AD＝1/2 ×3.7＝1.85m 答:立柱BC的长是3.7m,DE的长是 1.85m.
B C A
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探索星空：探究判定二
2、有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形?
A
当顶角为60°时，两个底角各为60°. 当底角为60°时，顶角为60°.
B
C
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等边三角形的判定方法:
• 1.三边相等的三角形是等边三角形. •2.三个内角都等于60 °（或三个内 角都相等）的三角形是等边三角形.
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知识回顾
名 称 等 腰 三 角 形 图 形
A
性
质
判
定
两腰相等 等边对等角
两边相等 等角对等边
B
C
三线合一
轴对称图形
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学习园地
等边三角形: 三条边都相等的三角形. (正三角形) 等边三角形是特殊的等腰三角形.
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•3.有一个内角等于60 °的等腰三角 形是等边三角形.
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例4
等边三角形ABC的周长等于21㎝， 求：（1）各边的长； （2）各角的度数。 B C 解：（1）∵AB＝BC＝CA， 又 ∵AB＋BC＋CA＝21㎝（已知） ∴AB＝BC＝CA＝21/3＝7（㎝） （2）∵AB＝BC＝CA，（已知） ∴∠A ＝∠B＝∠C＝60° （等边三角形的每个内角都等于60°）
探索星空：探究性质一
1、等边三角形的内角都相等吗?为什么?
∵ AB=AC=BC
B A
∴ ∠A=∠B=∠C(在同一个 三角形中等边对等角) ∵ ∠A+∠B+∠C=180° ∴ ∠A=∠B=∠C=60°
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C
探索星空：探究性质二
2、等边三角形有“三线合一”的性质吗?为什 么? A
A
2015年3月8日星期日7时 50分6秒
（选择）
１、下列四个说法中，不正确的有（Ｂ ） （A）0个（B）1个（C）2个（D）3个 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有两个角等于60°的三角形是等边三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 有两个角相等的等腰三角形是等边三角形。
B
C
结论:等边三角形每条边上的中线,高和所对角 的平分线都三线合一。（ 所有的高线，角平分 线，中线的长度相等。） 2015年3月8日星期日7时
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探索星空：探究性质三
3、等边三角形是轴对称图形吗?有几条对称轴?
A
B
C
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等边三角形的性质
1 .三条边相等 2.等边三角形的内角都相等,且等于60 °
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1 如图,在△ABC 中∠C=90°,∠B=15°,AB的垂直平分线 交BC于D,交AB于M,且BD=8㎝,求AC之长.
A M C D B
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2 如图,在△ABC 中,AB=AC, ∠A=120°,AB的垂直平分线 MN交BC于M,交AB于N, C M 求证:CM=2BM