2020届江苏省南通市高考数学考前最后一练试卷(有答案)(加精)

江苏省南通市高考数学考前最后一练一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．已知集合A={1，2，3}，B={m，3，6}，A∩B={2，3}，则实数m的值为______．2．设复数z=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），若z（2﹣i）=i，则a+b的值为______．3．如图是一个算法流程图，当输入的x的值为﹣2时，则输出的y的值为______．4．用2种不同的颜色给图中的3个圆随机涂色，每个圆只涂1种颜色，则相邻的两个圆颜色均不相同的概率为______．5．用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1～480．按编号顺序平均分为20个组（1～24号，25～48号，…，457～480号），若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为______．6．设不等式组，表示的平面区域D，P（x，y）是区域D内任意一点，则3x+y的最大值为______．7．正四棱锥的底面边长为，它的侧棱与底面所成角为60°，则正四棱锥的体积为______．8．在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边经过点P（﹣2，t），且sinθ+cosθ=，则实数t的值为______．9．已知一元二次不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），则不等式f（3x）≤0的解集为______．10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a，b∈R）截直线x+2y﹣1=0所得弦长为，则ab的最大值为______．11．设直线l是曲线y=4x3+3lnx的切线，则直线l的斜率的最小值为______．12．在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AC=，AD=1．若点P，Q满足=3，=4，则•的值为______．13．在平面直角坐标系xOy中，已知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）是直线y=x+上的两点，则tan （α+β）的值为______．14．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a﹣2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为______．二、解答题（本大题共6小题，共计90分。

解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

）15．在△ABC中，角A，B，C的对应边分别是a，b，c，A＞B，cosC=，cos（A﹣B）=．（1）求cos2A的值；（2）若c=15，求a的值．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ACD是正三角形，BD垂直平分AC，垂足为M，∠ABC=120°，PA=AB=1，PD=2，N为PD的中点．（1）求证：AD⊥平面PAB；（2）求证：CN∥平面PAB．17．某市2015年新建住房面积为500万m2．其中安置房面积为200万m2．计划以后每年新建住房面积比上一年增长10%，且安置房面积比上一年增加50万m2．记2015年为第1年．（1）该市几年内所建安置房面积之和首次不低于3000万m2？（2）是否存在连续两年，每年所建安置房面积占当年新建住房面积的比例保持不变？并说明理由．18．在平面直角坐标系xOy中，已知A、B分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的上、下顶点，点M（0，）为线段AO的中点，AB=a．（1）求椭圆的方程；（2）设N（t，2）（t≠0），直线NA，NB分别交椭圆于点P，Q，直线NA，NB，PQ的斜率分别为k1，k2，k3．①求证：P，M，Q三点共线；②求证：k1k3+k2k3﹣k1k2为定值．19．已知数列{a n}的首项为2，前n项和为S n，且﹣=（n∈N*）．（1）求a2的值；（2）设b n=，求数列{b n}的通项公式；（3）若a m，a p，a r（m，p，r∈N*，m＜p＜r）成等比数列，试比较p2与mr的大小，并证明．20．已知函数f（x）=e x﹣ex，g（x）=2ax+a，其中e为自然对数的底数，a∈R．（1）求证：f（x）≥0；（2）若存在x0∈R，使f（x0）=g（x0），求a的取值范围；（3）若对任意的x∈（﹣∞，﹣1），f（x）≥g（x）恒成立，求a的最小值．[选做题]本题包括A、B、C、D共4个小题。

请选定其中两个小题。

若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

A[选修4-1：几何体证明选讲]21．如图，四边形ABCD是圆的内接四边形，BC=BD，BA的延长线交CD的延长线于点E，求证：AE是四边形ABCD的外角∠DAF的平分线．B[选修4-2：矩阵与变换]22．已知变换T：→=，试写出变换T对应的矩阵A，并求出其逆矩阵A﹣1．C[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（m为参数），若直线l与曲线C相交于A、B两点，求线段AB的长．D[选修4-5：不等式选讲]24．若关于x的不等式x2﹣ax+b＜0的解集为（1，2），求函数f（x）=（a﹣1）+（b﹣1）的最大值．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤. 25．已知正六棱锥S﹣ABCDEF的底面边长为2，高为1，现从该棱锥的7个顶点中随机取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得的三角形的面积．（1）求概率P（X=）的值；（2）求X的分布列，并求其数学期望E（X）．26．已知（+1）m=x m+y m，其中m，x m，y m∈N*．（1）求证：y m为奇数；（2）定义：[x]表示不超过实数x的最大整数．已知数列{a n}的通项公式为a n=[n]，求证：存在{a n}的无穷子数列{b n}，使得对任意的正整数n，均有b n除以4的余数为1．江苏省南通市高考数学考前最后一练参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1．已知集合A={1，2，3}，B={m，3，6}，A∩B={2，3}，则实数m的值为2．【考点】交集及其运算．【分析】直接利用集合的交集关系，判断求解即可．【解答】解：集合A={1，2，3}，B={m，3，6}，A∩B={2，3}，可知2∈B，可得m=2．故答案为：2．2．设复数z=a+bi（a，b∈R，i是虚数单位），若z（2﹣i）=i，则a+b的值为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把z代入z（2﹣i）=i，展开左边，然后利用复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵z=a+bi，z（2﹣i）=i，∴（a+bi）（2﹣i）=2a+b+（2b﹣a）i=i，则，解得a=﹣，b=．∴a+b=．故答案为：．3．如图是一个算法流程图，当输入的x的值为﹣2时，则输出的y的值为﹣7．【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是计算变量y的值，并输出，根据x值，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出分段函数y=的值，由题意：x=﹣2＜0，所以：y=4×（﹣2）+1=﹣7．故答案为：﹣7．4．用2种不同的颜色给图中的3个圆随机涂色，每个圆只涂1种颜色，则相邻的两个圆颜色均不相同的概率为．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先计算出总的涂色方案，然后计算出满足题意的涂色方案，利用古典概型的概率公式计算即得结论．【解答】解：依题意，每个圆只涂一种颜色的涂色方案共有23种，要使3个圆中相邻两个圆的颜色不同，则位于两端的两个矩形必须涂色相同，从而有=2种，故满足题意的概率P==，故答案为：．5．用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本，将480名学生随机地编号为1～480．按编号顺序平均分为20个组（1～24号，25～48号，…，457～480号），若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为75．【考点】系统抽样方法．【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔进行求解即可．【解答】解：用系统抽样的方法从480名学生中抽取容量为20的样本．则样本间隔为480÷20=24，若第1组用抽签的方法确定抽出的号码为3，则第4组抽取的号码为3+24×3=75，故答案为：756．设不等式组，表示的平面区域D，P（x，y）是区域D内任意一点，则3x+y的最大值为4．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=3x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：先根据约束条件不等式组画出可行域，当直线3x+y=t过点A时，3x+y取得最大值，由，可得A（1，1）时，z最大是4，故答案为：4．7．正四棱锥的底面边长为，它的侧棱与底面所成角为60°，则正四棱锥的体积为．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中正四棱锥的底面边长为，它的侧棱与底面所成角为60°，我们求出棱锥的底面面积和高，代入棱锥体积公式，即可求出答案．【解答】解：由已知中正四棱锥的底面边长为，故底面积S=2又∵侧棱与底面所成角为60°，∴正四棱锥的高为故正四棱锥的体积V==故答案为：．8．在平面直角坐标系xOy中，角θ的终边经过点P（﹣2，t），且sinθ+cosθ=，则实数t的值为4．【考点】任意角的三角函数的定义．【分析】根据三角函数的定义求出sinθ，cosθ，解方程即可得到结论．【解答】解：∵角θ的终边经过点P（﹣2，t），∴sinθ=，cosθ=，∵sinθ+cosθ=，∴+=，即=，则t＞2，平方得==，即1﹣=，即=，则t2﹣5t+4=0，则t=1（舍）或t=4，故答案为：49．已知一元二次不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），则不等式f（3x）≤0的解集为[1，] ．【考点】其他不等式的解法．【分析】由已知利用补集思想求出一元二次不等式f（x）≤0的解集，然后得到关于x的不等式，求解x的取值集合即可得到答案．【解答】解：由一元二次不等式f（x）＞0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），得f（x）≤0的解集为[1，2]，由30=1≤3x≤2，得：1≤x≤，故f（3x）≤0的解集为：[1，]，故答案为：：[1，]．10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a，b∈R）截直线x+2y﹣1=0所得弦长为，则ab的最大值为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】先求出圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1的圆心和半径，再求出圆心（a，b）到直线x+2y﹣1=0的距离，由此概率圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a，b∈R）截直线x+2y﹣1=0所得弦长为，由勾股定理和基本不等式能求出ab取最大值．【解答】解：∵圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1的圆心（a，b），半径r=1，圆心（a，b）到直线x+2y﹣1=0的距离d==，∵圆（x﹣a）2+（y﹣b）2=1（a，b∈R）截直线x+2y﹣1=0所得弦长为，由勾股定理得，即1=+，∴a+2b=2或a+2b=0，∴当a＞0，b＞0，a+2b=2，2ab≤（）2=1，∴ab．∴当且仅当a=2b=1时，ab取最大值．故答案为：．11．设直线l是曲线y=4x3+3lnx的切线，则直线l的斜率的最小值为9．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出原函数的导函数，得到直线l的斜率，第二次求导后即可求得直线l的斜率的最小值．【解答】解：由y=4x3+3lnx，得y′=（x＞0），又=12x2++≥3×=9∴直线l的斜率的最小值为9．故答案为：9．12．在平行四边形ABCD中，已知AB=2，AC=，AD=1．若点P，Q满足=3，=4，则•的值为．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】可画出图形，在△ABC中由余弦定理便可求出，进而得出，而根据条件可得出，从而进行向量数量积的运算便可求出的值．【解答】解：如图，在△ABC中，AB=2，BC=1，AC=，由余弦定理得：；∴；根据条件，；===；∴====．故答案为：．13．在平面直角坐标系xOy中，已知A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）是直线y=x+上的两点，则tan （α+β）的值为﹣．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】利用已知条件通过直线与单位圆的关系求出A、B坐标，然后利用两角和的正切函数求解即可．【解答】解：由题意可得：A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）是单位圆上的点，与直线y=x+上的交点，，解得x=，x=，cosα=，sinα=，tanα==﹣2﹣．cosβ=，则sinβ=，tanβ==2．∴tan（α+β）====．故答案为：﹣．14．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣+a﹣2有且仅有三个零点，且它们成等差数列，则实数a的取值集合为{a|a=或﹣} ．【考点】数列与函数的综合；函数零点的判定定理．【分析】令g（x）=0，化简函数g（x）=，从而不妨设f（x）=0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，讨论当x＞a时，求得两根，x≤a时，①a≤﹣1，②﹣1＜a≤3，③a＞3，运用等差数列的中项的性质，进而确定a的值．【解答】解：设f（x）=0，可得|x﹣a|﹣+a=2，设g（x）=|x﹣a|﹣+a，h（x）=2，函数g（x）=，不妨设f（x）=0的3个根为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，当x＞a时，f（x）=0，解得x=﹣1，x=3；①a≤﹣1，∵x2=﹣1，x3=3，由等差数列的性质可得x1=﹣5，由f（﹣5）=0，解得a=﹣，满足f（x）=0在（﹣∞，a]上有一解．②﹣1＜a≤3，f（x）=0在（﹣∞，a]上有两个不同的解，不妨设x1，x2，其中x3=3，所以有x1，x2是2a﹣x﹣=2的两个解，即x1，x2是x2﹣（2a﹣2）x+3=0的两个解．得到x1+x2=2a﹣2，x1x2=3，又由设f（x）=0的3个根为x1，x2，x3成差数列，且x1＜x2＜x3，得到2x2=x1+3，解得：a=或（舍去）；③a＞3，f（x）=0最多只有两个解，不满足题意；综上所述，a=或﹣．故答案为：{a|a=或﹣}．二、解答题（本大题共6小题，共计90分。