高二数学人教A版选修4-5学业分层测评3--含答案

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人教版数学高二-人教A版选修4-5 评估验收卷(三)

评估验收卷(三)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设xy ＞0，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋1x 2的最小值为( )A ．－9B ．9C ．10D ．0解析：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋y 2≥⎝⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋2y ·y 2＝9. 答案：B2．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中为5 元、3 元、2 元的奖品，则至少要花( )A ．300 元B ．360 元C ．320 元D ．340 元解析：由排序原理，反序和最小．所以最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元)．答案：C3．设a 1，a 2，a 3是数1，2，3的任一排列，b 1，b 2，b 3是数4，5，6的任一排列，则a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3的取值范围是( )A ．[28，32]B ．[28，44]C ．[32，44]D ．[44，56]解析：1，2，3与4，5，6反序和是28.顺序和是32，故a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3最小是反序和28，最大是顺序和32.选A.答案：A4．设α，β均为锐角，则1sin 2α＋4cos 2αsin 22β的最小值为( )A ．2 2 B. 2 C ．1 D ．9解析：(sin 2α＋cos 2α)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2α＋4cos 2αsin 22β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2sin 2β2，因为β为锐角，所以当sin 2β＝1时取最小值32＝9.选D. 答案：D5．已知2x 2＋y 2＝1，则2x ＋y 的最大值是( ) A. 2 B ．2 C. 3 D ．3 解析：2x ＋y ＝2×2x ＋1·y ≤（2）2＋12·（2x ）2＋y 2＝3×2x 2＋y 2＝ 3.当且仅当⎩⎨⎧2x ＝2y ，2x 2＋y 2＝1即x ＝y ＝33时，等号成立．答案：C6．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z 的值是( )A.2147B.3147C.4147D.147解析：由柯西不等式可得(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2，即(x ＋2y ＋3z )2≤14，因此x ＋2y ＋3z ≤14.因为x ＋2y ＋3z ＝14，所以x ＝y 2＝z3，解得x ＝1414，y ＝147，z ＝31414，于是x ＋y ＋z ＝3147.7．已知a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( )A ．1B ．2 C.12 D ．4解析：a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n≤a 21＋a 22＋…＋a 2n ·x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1.故应选A.答案：A8．已知x 21＋x 22＋x 23＝1，y 21＋y 22＋y 23＝2，则x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3的最大值是( )A ．2B ．3 C. 2 D. 3解析：因为x 21＋x 22＋x 23＝1，y 21＋y 22＋y 23＝2，所以(x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3)2≤(x 21＋x 22＋x 23)(y 21＋y 22＋y 23)＝1×2＝2，所以x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3≤ 2.当x 1y 1＝x 2y 2＝x 3y 3＝22时，取“＝”，故选C. 答案：C9．已知x ，y ，z ＞0，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A ．5B ．6C ．8D ．9解析：x ＋y 2＋z 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋3z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x ＋2y ·y 2＋3z ·z 32＝9. 所以⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3min ＝9.故应选D.10．设a 1，a 2，a 3为正数，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2与a 1＋a 2＋a 3大小为( )A ．＞B ．≥C ．＜D ．≤解析：不妨设a 1≥a 2≥a 3＞0，于是1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2，由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a 1a 2a 3＋a 3a 1a 2＋a 2a 3a 1≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2＝a 3＋a 1＋a 2. 即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3. 答案：B11．若a ，b ，c 为正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c 的最小值为( ) A ．1 B ．－1 C ．3 D ．9解析：由柯西不等式可知⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥⎝⎛⎭⎪⎫a b ·b a ＋b c ·c b ＋c a ·a c 2＝32＝9. 答案：D12．设x 1，x 2，…，x n 取不同的正整数，则m ＝x 112＋x 222＋…＋x nn 2的最小值是( )A ．1B ．2C ．1＋12＋13＋…＋1nD ．1＋122＋132＋…＋1n2解析：设a 1，a 2，…，a n 是x 1，x 2，…，x n 的一个排列，且满足a 1＜a 2＜…＜a n ，故a 1≥1，a 2≥2，…，a n ≥n .又因为1＞122＞132＞…＞1n 2，所以x 11＋x 222＋x 332＋…＋x nn 2≥a 1＋a 222＋a 332＋…＋a nn 2≥1×1＋2×122＋3×132＋…＋n ·1n 2＝1＋12＋13＋…＋1n .故应选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．函数y ＝22－x ＋2x －3的最大值是________．解析：y ＝2·4－2x ＋2x －3≤[（2）2＋1]（4－2x ＋2x －3）＝ 3. 当且仅当x ＝53时，等号成立．答案：314．设a ，b ＞0，若a 2＋b 2＝5，则a ＋2b 的最大值为________．解析：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2，即25≥(a ＋2b )2. 所以(a ＋2b )max ＝5. 答案：515．已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，x ＋y ＋z ＝9，则x ＋y ＋z 的最大值是________．解析：(x ＋y ＋z )2≤(12＋12＋12)·(x ＋y ＋z )＝3×9＝27.所以x ＋y ＋z ≤3 3. 答案：3 316．边长为a ，b ，c 的三角形，其面积为14，外接圆半径为1，若s ＝a ＋b ＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1c，则s 与t 的大小关系是___________．解析：S △＝abc 4R ＝abc 4＝14，即abc ＝1，所以t ＝ab ＋bc ＋ca ，t 2＝(ab ＋bc ＋ca )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥(a ＋b ＋c )2＝s 2，又a ，b ，c ＞0，所以s ≤t .a ＝b ＝c ＝1时，等号成立．但此时S △＝34≠1，矛盾．故等号不成立，即s ＜t . 答案：s ＜t三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设a ＝(1，0，－2)，b ＝(x ，y ，z )，若x 2＋y 2＋z 2＝16，求a ·b 的最大值．解：因为a ＝(1，0，－2)，b ＝(x ，y ，z )，所以a ·b ＝x －2z .由柯西不等式[12＋0＋(－2)2](x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋0－2z )2⇒5×16≥(x －2z )2⇒－45≤x －2z ≤45⇒－45≤a ·b ≤45，故a ·b 的最大值为4 5.18．(本小题满分12分)已知0＜a ≤b ≤c ，求证c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a. 证明：因为0＜a ≤b ≤c ，所以0＜a ＋b ≤c ＋a ≤b ＋c ，所以1a ＋b ≥1c ＋a ≥1b ＋c ＞0，又0＜a 2≤b 2≤c 2，所以c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c 是顺序和，a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a 是乱序和，由排序原理可知顺序和大于等于乱序和，即不等式c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a 成立．19．(本小题满分12分)已知x ，y ，z ∈(0，＋∞)，x ＋y ＋z ＝3. (1)求1x ＋1y ＋1z 的最小值；(2)证明：3≤x 2＋y 2＋z 2＜9.(1)解：因为x ＋y ＋z ≥33xyz ＞0， 1x ＋1y ＋1z ≥33xyz＞0，所以(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z ≥9，即1x ＋1y ＋1z ≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时，1x ＋1y ＋1z 取得最小值3.(2)证明：x 2＋y 2＋z 2＝x 2＋y 2＋z 2＋（x 2＋y 2）＋（y 2＋z 2）＋（z 2＋x 2）3≥x 2＋y 2＋z 2＋2（xy ＋yz ＋zx ）3＝（x ＋y ＋z ）23＝3.又x 2＋y 2＋z 2－9＝x 2＋y 2＋z 2－(x ＋y ＋z )2＝－2(xy ＋yz ＋zx )＜0，所以3≤x 2＋y 2＋z 2＜9.20．(本小题满分12分)设不等式|x －2|＞1的解集与关于x 的不等式x 2－ax ＋b ＞0的解集相同．(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )＝a x －3＋b 5－x 的最大值，以及取得最大值时x 的值．解：(1)不等式|x －2|＞1的解集为{x |x ＜1或x ＞3}，所以，不等式x 2－ax ＋b ＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞3}，所以a ＝4，b ＝3.(2)函数的定义域为[3，5]，显然有f (x )＞0，由柯西不等式可得： f (x )＝4x －3＋35－x ≤42＋32·（x －3）2＋（5－x ）2＝52，当且仅当45－x ＝3x －3时等号成立，即x ＝10725时，函数取得最大值5 2.21．(本小题满分12分)(1)关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|＜a 的解集不是空集，求a 的取值范围；(2)设x ，y ，z ∈R ，且x 216＋y 25＋z 24＝1，求x ＋y ＋z 的取值范围．解：(1)因为|x －3|＋|x －4|≥|(x －3)－(x －4)|＝1，且|x －3|＋|x －4|＜a 的解集不是空集，所以a ＞1，即a 的取值范围是(1，＋∞)． (2)由柯西不等式，得[42＋(5)2＋22]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22≥ ⎝ ⎛⎭⎪⎫4·x 4＋5·y 5＋2·z 22＝(x ＋y ＋z )2，即25×1≥(x ＋y ＋z )2.所以5≥|x ＋y ＋z |，所以－5≤x ＋y ＋z ≤5. 所以x ＋y ＋z 的取值范围是[－5，5]．22．(本小题满分12分)设x 1，x 2，…，x n ∈R ＋，且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.证明：因为x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，所以n ＋1＝(1＋x 1)＋(1＋x 2)＋…＋(1＋x n )．又⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n (n ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n [(1＋x 1)＋(1＋x 2)＋…＋(1＋x n )]≥(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n ＝1n 时，等号成立．所以x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n1＋x n ≥1n ＋1.。

2020年高二数学人教A版选修4-5练习3 Word版含答案

学业分层测评（三）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知正数x，y，z，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是() A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]C．[lg 6，＋∞) D.[3lg 2，＋∞)【解析】∵6＝x＋y＋z≥33 xyz，∴xyz≤8.∴lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2.【答案】 B2．已知x∈R＋，有不等式：x＋1x≥2x·1x＝2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥33x2·x2·4x2＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋ax n≥n＋1(n∈N＋)，则a的值为()A．n n B．2n C．n2D．2n＋1【解析】x＋ax n＝＋ax n，要使和式的积为定值，则必须n n＝a，故选A.【答案】 A3．设0<x<1，则x(1－x)2的最大值为()A.18B．1 C.3183 D.427【解析】∵0<x<1，∴0<1－x<1，∴x(1－x)2＝12·2x·(1－x)·(1－x)≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(1－x )＋(1－x )33＝427. 当且仅当x ＝13时，等号成立．【答案】 D4．已知a ，b ，c ∈R ＋，x ＝a ＋b ＋c 3，y ＝3abc ，z ＝a 2＋b 2＋c 23，则( ) 【导学号：32750016】A ．x ≤y ≤zB ．y ≤x ≤zC ．y ≤z ≤xD.z ≤y ≤x【解析】由a ，b ，c 大于0，易知a ＋b ＋c 3≥3abc ，即x ≥y .又z 2＝a 2＋b 2＋c 23，x 2＝(a ＋b ＋c )29，且x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )9≤3(a 2＋b 2＋c 2)9＝a 2＋b 2＋c23，∴x 2≤z 2，则x ≤z ，因此z ≥x ≥y . 【答案】 B5．设x ，y ，z ＞0，且x ＋3y ＋4z ＝6，则x 2y 3z 的最大值为( ) A ．2 B ．7 C ．8D.1【解析】 ∵6＝x ＋3y ＋4z ＝x 2＋x 2＋y ＋y ＋y ＋4z ≥66x 2y 3z ， ∴x 2y 3z ≤1，当x2＝y ＝4z 时，取“＝”，即x ＝2，y ＝1，z ＝14时，x 2y 3z 取得最大值1. 【答案】 D 二、填空题6．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均的运算，即a *b ＝a ＋b2，则两边均含有运算“*”和“＋”，且对任意3个实数a ，b ，c 都能成立的一个等式可以是________．【解析】由题意知a ＋(b *c )＝a ＋b ＋c 2＝2a ＋b ＋c2，(a ＋b )*(a ＋c )＝(a ＋b )＋(a ＋c )2＝2a ＋b ＋c2，所以a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c )．【答案】 a ＋(b *c )＝(a ＋b )*(a ＋c )7．若a ＞2，b ＞3，则a ＋b ＋1(a －2)(b －3)的最小值为________．【解析】 ∵a ＞2，b ＞3，∴a －2＞0，b －3＞0，则a ＋b ＋1(a －2)(b －3)＝(a －2)＋(b －3)＋1(a －2)(b －3)＋5≥33(a －2)×(b －3)×1(a －2)(b －3)＋5＝8.当且仅当a －2＝b －3＝1(a －2)(b －3)，即a ＝3，b ＝4时等号成立．【答案】 88．已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，对于下列不等式：①abc ≤127；②1abc≥27；③a 2＋b 2＋c 2≥13.其中正确的不等式序号是________．【解析】 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴1＝a ＋b ＋c ≥33abc ， 0<abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127，1abc ≥27，从而①正确，②也正确．又a ＋b ＋c ＝1， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝1，因此1≤3(a 2＋b 2＋c 2)，即a 2＋b 2＋c 2≥13，③正确．【答案】 ①②③ 三、解答题9．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋（1a ＋1b ＋1c ）2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．【证明】因为a ，b ，c 均为正数，由算术-几何平均不等式，得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c≥3(abc )-13. 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )-23.②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )-23.又3(abc )23＋9(abc )-23≥227＝63， ③ 所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )-23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝43时，原式等号成立． 10．已知x ，y ，z ∈R ＋，x ＋y ＋z ＝3. (1)求1x ＋1y ＋1z 的最小值； (2)证明：3≤x 2＋y 2＋z 2<9.【解】 (1)因为x ＋y ＋z ≥33xyz >0，1x ＋1y ＋1z ≥33xyz >0，所以(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z ≥9，即1x ＋1y ＋1z ≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时，1x ＝1y ＝1z 取最小值3. (2)证明：x 2＋y 2＋z 2＝x 2＋y 2＋z 2＋(x 2＋y 2)＋(y 2＋z 2)＋(z 2＋x 2)3≥x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )3＝(x ＋y ＋z )23＝3.又x 2＋y 2＋z 2－9＝x 2＋y 2＋z 2－(x ＋y ＋z )2＝－2(xy ＋yz ＋zx )<0，所以3≤x 2＋y 2＋z 2<9.[能力提升]1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列总成立的是( ) A ．V ≥π B ．V ≤π C ．V ≥18π D ．V ≤18π【解析】设圆柱半径为r ，则圆柱的高h ＝6－4r2，所以圆柱的体积为V ＝πr 2·h ＝πr 2·6－4r 2＝πr 2(3－2r )≤π⎝⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋3－2r 33＝π. 当且仅当r ＝3－2r ，即r ＝1时取等号．【答案】 B2．若实数x ，y 满足xy ＞0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( )【导学号：32750017】A ．1B ．2C ．3D ．4 【解析】 xy ＋x 2＝12xy ＋12xy ＋x 2≥ 3312xy ·12xy ·x 2＝3314(x 2y )2＝3344＝3.【答案】 C3．已知关于x 的不等式2x ＋1(x －a )2≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a的最小值为________．【解析】 ∵2x ＋1(x －a )2＝(x －a )＋(x －a )＋1(x －a )2＋2a .又∵x －a ＞0， ∴2x ＋1(x －a )2≥33(x －a )(x －a )1(x －a )2＋2a＝3＋2a ，当且仅当x－a＝1(x－a)2，即x＝a＋1时，取等号．∴2x＋1(x－a)2的最小值为3＋2a.由题意可得3＋2a≥7，得a≥2.【答案】 24．如图1-1-3(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图1-1-3(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．图1-1-3【解】设正六棱柱容器底面边长为x(0＜x＜1)，高为h，由图可有2h＋3x＝3，∴h＝32(1－x)，V＝S底·h＝6×34x2·h＝332x2·32·(1－x)＝9×x2×x2×(1－x)≤9×⎝⎛⎭⎪⎪⎫x2＋x2＋1－x33＝13.当且仅当x2＝1－x，即x＝23时，等号成立．所以当底面边长为23时，正六棱柱容器容积最大值为13......................................使用本文档删除后面的即可致力于打造全网一站式文档服务需求，为大家节约时间文档来源网络仅供参考欢迎您下载可以编辑的word文档谢谢你的下载本文档目的为企业和个人提供下载方便节省工作时间，提高工作效率，打造全网一站式精品需求!欢迎您的下载，资料仅供参考!（本文档收集于网络改编，由于文档太多，审核难免疏忽，如有侵权或雷同，告知本店马上删除）。

高中数学测评综合(含解析)新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题

模块综合测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知a,b∈R+,且a+b=1,则()2的最大值是( )A.2 B. C.6D.12解析:()2=(1×+1×)2≤(12+12)(4a+1+4b+1)=2[4(a+b)+2]=2(4×1+2)=12.答案:D2.不等式|x+3|+|x-2|<5的解集是( )A.{x|-3≤x<2}B.RC.⌀D.{x|x<-3或x>2}解析:令f(x)=|x+3|+|x-2|=则f(x)的图象如图,由图可知,f(x)<5的解集为⌀.故原不等式的解集是⌀.答案:C3.某人要买房,随着楼层的升高,上、下楼耗费的体力增多,因此不满意度升高,设住第n层楼,上下楼造成的不满意度为n;但高处空气清新,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随楼层升高,环境不满意度降低,设住第n层楼时,环境不满意程度为,则此人应选( )A.1楼B.2楼C.3楼D.4楼解析:设第n层总的不满意程度为f(n),则f(n) =n+≥2=2×3=6,当且仅当n=,即n=3时取等号.答案:C4.若x,y,z是非负实数,且9x2+12y2+5z2=9,则函数u=3x+6y+5z的最大值为( )A.9B.10C.14D.15解析:u2=(3x+6y+5z)2≤[(3x)2+(2y)2+(z)2]·[12+()2+()2]=9×9=81,当且仅当x=,y=,z=1时等号成立.故所求的最大值为9.答案:A5.若a>b,则下列不等式中一定成立的是( )A. B. <1C.2a>2bD.lg(a-b)>0解析:∵y=2x是增函数,a>b,∴2a>2b.答案:C6.若a>0,b>0,则p=(a·b,q=a b·b a的大小关系是( )A.p≥qB.p≤qC.p>qD.p<q解析:,若a≥b>0,则≥1,≥0,∴≥1;若0<a≤b,则≤1,≤0,∴≥1.答案:A7.已知x+3y+5z=6,则x2+y2+z2的最小值为( )A.B. C. D.6解析:由柯西不等式,得x2+y2+z2=(12+32+52)(x2+y2+z2)×≥(1×x+3×y+5×z)2×=62×.答案:C8.当0<x<时,函数f(x)=的最小值为( )A.2B.2C.4D.4解析:f(x)==4tan x+,∵0<x<,∴tan x>0,∴f(x)=4tan x+≥4,当tan x=时,等号成立.答案:C9.若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为( )A.5或8B.-1或5C.-1或-4D.-4或8解析:令x+1=0得x1=-1;令2x+a=0得x2=-.①当-1>-,即a>2时,f(x)=其图象如图所示,则f min(x)=f=-+a-1=3,解得a=8.②当-1<-,即a<2时,f(x)=其图象如图所示,则f min(x)=f=-+1-a=3,解得a=-4.③当-1=-,即a=2时,f(x)=3|x+1|≥0,不符合题意.综上所述,a=-4或8.答案:D10.若a,b,x,y∈R,则成立的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:若由②知,x-a与y-b同号;又由①,得(x-a)+(y-b)>0.∴x-a>0,y-b>0,即x>a且y>b.故充分性成立.若故必要性也成立.故选C.答案:C11.对于不等式≤n+1(n∈N+),某学生的证明过程如下:(1)当n=1时,≤1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N+)时,不等式成立,即<k+1,则当n=k+1时,=<==(k+1)+1.所以当n=k+1时不等式成立.上述证法( )A.过程全部正确B.n=1的验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确解析:从n=k到n=k+1,没有用到归纳假设.答案:D12.设m>n,n∈N+,a=(lg x)m+(lg x)-m,b=(lg x)n+(lg x)-n,x>1,则a与b的大小关系为( )A.a≥bB.a≤bC.与x值有关,大小不确定D.以上都不正确解析:a-b=(lg x)m+(lg x)-m-(lg x)n-(lg x)-n====,∵x>1,∴lg x>0.当0<lg x<1时,a>b;当lg x=1时,a=b;当lg x>1时,a>b.∴a≥b.答案:A二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13.在等差数列{a n}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+a n=a1+a2+…+a19-n(n<19且n∈N+)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列{b n}中,若b9=1,则有等式成立.答案:a1a2…a n=a1a2…a17-n(n<17且n∈N+)14.若正实数a与b满足a+b=1,则的最大值为.答案:15.若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值X围是.解析:令f(x)=|2x-1|+|x+2|=可求得f(x)的最小值为,故原不等式恒成立转化为a2+a+2≤恒成立,即a2+≤0,即(a+1)≤0,解得a∈.答案:16.不等式|2x+1|-2|x-1|>0的解集为.解析:对于不等式|2x+1|-2|x-1|>0,分三种情况讨论:①当x<-时,-2x-1-2(-x+1)>0,即-3>0,故x不存在;②当-≤x≤1时,2x+1-2(-x+1)>0,即x>,故<x≤1;③当x>1时,2x+1-2(x-1)>0,即3>0,故x>1.综上可知,不等式的解集是.答案:三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12分)设a,b,c是不全相等的正数,证明a2+b2+c2>ab+bc+ca.解：证明:∵a2+b2≥2ab,a2+c2≥2ac,b2+c2≥2bc,且三个式子不能同时取等号,∴2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac),即a2+b2+c2>ab+bc+ac成立.18.(12分)已知n∈N,n≥2,证明+…+<1.解析:用放缩法证明.解：证明:∵+…++…+;而+…++…+=1,∴+…+<1成立.19.(12分)解不等式|3-x|+|x+4|>8.解：解法一:原不等式⇔或或∴x>,或x<-.∴原不等式的解集为.解法二:将原不等式转化为|x-3|+|x+4|-8>0,构造函数y=|x-3|+|x+4|-8,即y=作出函数的图象,如下图.从图象可知,当x>,或x<-时,y>0,故原不等式的解集为.20.(12分)已知a1,a2,…,a n都是正实数,且a1+a2+…+a n=1.求证:+…+.分析:已知条件中a1+a2+…+a n=1,可以看作“1”的代换,而要证的不等式的左侧“数式”已经可以看出来,为,…,所以a1+a2+…+a n=1应扩大2倍后再利用,本题还可以利用其他的方法证明.解：证法一:根据柯西不等式,得左边=+…+=[(a1+a2)+(a2+a3)+(a3+a4)+…+(a n-1+a n)+ (a n+a1)]×+…+=[()2+()2+…+()2+()2]×+…+≥+…+=(a1+a2+…+a n)2×=右边.故原不等式成立.证法二:若a∈R+,则a+≥2,a≥2-.利用上面的结论,知≥=a1-.同理,有≥a2-,…,≥a n-1-≥a n-.以上式子相加整理,得+…+≥(a1+a2+…+a n)=.21.(13分)制造一个能盛放108千克水的无盖长方体形水箱,问如何选择尺寸,才能使用料最省?解析:所谓用料最省,是指长方体的表面积最小.解:设长方体的长、宽为a,b(分米),高为h(分米),易知该水箱的容积为108立方分米,即abh=108,设该水箱的用料面积为S,则S=ab+2(ah+bh)=ab+2ah+2bh≥3=3=108,即S≥108(平方分米).当且仅当ab=2ah=2bh,即a=b=6,h=3时,等号成立.故水箱是底面边长为6分米的正方形,高为3分米的长方体时用料最省.22.(13分)已知点的序列A n(x n,0),n∈N+,其中x1=0,x2=a(a>0),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,…,A n是线段A n-2A n-1的中点,….(1)写出x n与x n-1,x n-2之间的关系式(n≥3);(2)设a n=x n+1-x n,计算a1,a2,a3,由此推测数列{a n}的通项公式,并加以证明.解:(1)当n≥3时,x n=.(2)a1=x2-x1=a,a2=x3-x2=-x2=-(x2-x1)=-a,a3=x4-x3=-x3=-(x3-x2)=- a.由此推测a n=a(n∈N+).用数学归纳法证明:①当n=1时,a1=x2-x1=a=a,通项公式成立.②假设当n=k时,a k=a成立.那么当n=k+1时,a k+1=x k+2-x k+1=-x k+1=-(x k+1-x k)=-a k=-a=a,通项公式成立.由①②知,a n=a(n∈N+)成立.。

高二数学人教A版选修4-5学业分层测评13 Word版含答案

学业分层测评（十三）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设f (x )是定义在正整数集上的函数，且f (x )满足：当f (k )≥k 2成立时，总可推出f (k ＋1)≥(k ＋1)2成立．那么下列命题总成立的是( )A ．若f (3)≥9成立，则当k ≥1时，均有f (k )≥k 2成立B ．若f (5)≥25成立，则当k ≤5时，均有f (k )≥k 2成立C ．若f (7)＜49成立，则当k ≥8时，均有f (k )＜k 2成立D ．若f (4)＝25成立，则当k ≥4时，均有f (k )≥k 2成立【解析】根据题中条件可知：由f (k )≥k 2，必能推得f (k ＋1)≥(k ＋1)2，但反之不成立，因为D 中f (4)＝25＞42，故可推得k ≥4时，f (k )≥k 2，故只有D 正确．【答案】 D2．用数学归纳法证明“对于任意x ＞0和正整数n ，都有x n ＋x n －2＋x n －4＋…＋1x n －4＋1xn －2＋1x n ≥n ＋1”时，需验证的使命题成立的最小正整数值n 0应为( ) A ．n 0＝1 B ．n 0＝2C ．n 0＝1,2D.以上答案均不正确【解析】需验证：n 0＝1时，x ＋1x ≥1＋1成立．【答案】 A3．利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…＋12n －1<f (n )(n ≥2，n ∈N ＋)的过程，由n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边增加了( )【导学号：32750070】A ．1项B ．k 项C ．2k －1项D ．2k 项【解析】 1＋12＋13＋…＋12k ＋1－1－1＋12＋13＋…＋12k －1＝12k＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k＋1－1，∴共增加2k项．【答案】 D4．若不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n>m24对大于1的一切自然数n都成立，则自然数m的最大值为()A．12 B．13C．14 D.不存在【解析】令f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n，易知f(n)是单调递增的，∴f(n)的最小值为f(2)＝13＋14＝712.依题意712>m24，∴m<14.因此取m＝13.【答案】 B5．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＜1314(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边()A．增加了一项12(k＋1)B．增加了两项12k＋1，12k＋2C．增加了B中两项但减少了一项1 k＋1D．以上各种情况均不对【解析】∵n＝k时，左边＝1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，n＝k＋1时，左边＝1k＋2＋1 k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，∴增加了两项12k ＋1，12k ＋2，少了一项1k ＋1.【答案】 C 二、填空题6．用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N ＋)”时，第一步的验证为________．【解析】当n ＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立．【答案】 21＋1≥12＋1＋27．证明n ＋2n ＜1＋12＋13＋…＋12n ＜n ＋1(n ＞1)，当n ＝2时，要证明的式子为________．【解析】当n ＝2时，要证明的式子为 2＜1＋12＋13＋14＜3.【答案】 2＜1＋12＋13＋14＜38．在△ABC 中，不等式1A ＋1B ＋1C ≥9π成立；在四边形ABCD 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ≥162π成立；在五边形ABCDE 中，不等式1A ＋1B ＋1C ＋1D ＋1E ≥253π成立．猜想在n 边形A 1A 2…A n 中，类似成立的不等式为________．【解析】由题中已知不等式可猜想： 1A 1＋1A 2＋1A 3＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3且n ∈N ＋)．【答案】 1A 1＋1A 2＋1A 3＋…＋1A n ≥n 2(n －2)π(n ≥3且n ∈N ＋)三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)．(1)判断⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是否为等差数列，并证明你的结论；(2)证明：S 21＋S 22＋…＋S 2n≤12－14n . 【解】 (1)S 1＝a 1＝12，∴1S 1＝2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，即S n －S n －1＝－2S n S n －1， ∴1S n －1S n －1＝2.故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列． (2)证明：①当n ＝1时，S 21＝14＝12－14×1，不等式成立．②假设n ＝k (k ≥1，且k ∈N ＋)时，不等式成立，即S 21＋S 22＋…＋S 2k ≤12－14k 成立，则当n ＝k ＋1时，S 21＋S 22＋…＋S 2k ＋S 2k ＋1≤12－14k ＋14(k ＋1)2＝12－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1k －1(k ＋1)2＝12－14·k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<12－14·k 2＋k k (k ＋1)2＝12－14(k ＋1). 即当n ＝k ＋1时，不等式成立．由①②可知对任意n ∈N ＋不等式成立．10．已知函数f (x )＝13x 3－x ，数列{a n }满足条件：a 1≥1，且a n ＋1≥f ′(a n ＋1)，证明：a n ≥2n －1(n ∈N *)．【证明】由f (x )＝13x 3－x ，得f ′(x )＝x 2－1.因此a n ＋1≥f ′(a n ＋1)＝(a n ＋1)2－1＝a n (a n ＋2)， (1)当n ＝1时，a 1≥1＝21－1，不等式成立．(2)假设当n ＝k 时，不等式成立，即a k ≥2k －1，当n ＝k ＋1时，a k ＋1≥a k (a k ＋2)≥(2k －1)(2k －1＋2)＝22k －1.又k ≥1，∴22k ≥2k ＋1，∴n ＝k ＋1时，a k ＋1≥2k ＋1－1，即不等式成立．根据(1)和(2)知，对任意n ∈N ＋，a n ≥2n －1成立．[能力提升]1．对于正整数n ，下列不等式不正确的是( ) A ．3n ≥1＋2n B ．0.9n ≥1－0.1n C ．0.9n ≤1－0.1nD.0.1n ≤1－0.9n【解析】排除法，取n ＝2，只有C 不成立．【答案】 C2．利用数学归纳法证明“3×5×…×(2n －1)2×4×…×(2n －2)＜2n －1”时，n 的最小取值n 0应为________.【导学号：32750071】【解析】 n 0＝1时不成立，n 0＝2时，32＜3，再用数学归纳法证明，故n 0＝2.【答案】 23．设a ，b 均为正实数(n ∈N ＋)，已知M ＝(a ＋b )n ，N ＝a n ＋na n －1b ，则M ，N 的大小关系为____________________⎝ ⎛⎭⎪⎫提示：利用贝努利不等式，令x ＝b a .【解析】当n ＝1时，M ＝a ＋b ＝N ，当n ＝2时，M ＝(a ＋b )2，N ＝a 2＋2ab ＜M ，当n ＝3时，M ＝(a ＋b )3，N ＝a 3＋3a 2b ＜M ，归纳得M ≥N . 【答案】 M ≥N4．已知f(x)＝x n－x－nx n＋x－n，对于n∈N＋，试比较f(2)与n2－1n2＋1的大小并说明理由．【解】据题意f(x)＝x n－x－nx n＋x－n＝x2n－1x2n＋1＝1－2x2n＋1，∴f(2)＝1－22n＋1.又n2－1n2＋1＝1－2n2＋1，∴要比较f(2)与n2－1n2＋1的大小，只需比较2n与n2的大小即可，当n＝1时，21＝2＞12＝1，当n＝2时，22＝4＝22，当n＝3时，23＝8＜32＝9，当n＝4时，24＝16＝42，当n＝5时，25＝32＞52＝25，当n＝6时，26＝64＞62＝36.故猜测当n≥5(n∈N＋)时，2n＞n2，下面用数学归纳法加以证明．(1)当n＝5时，不等式显然成立．(2)假设n＝k(k≥5且k∈N＋)时，不等式成立，即2k＞k2.则当n＝k＋1时，2k＋1＝2·2k＞2·k2＝k2＋k2＋2k＋1－2k－1＝(k＋1)2＋(k－1)2－2＞(k＋1)2，即n＝k＋1时，不等式也成立．由(1)(2)可知，对一切n ≥5，n ∈N ＋，2n ＞n 2成立．综上所述，当n ＝1或n ≥5时，f (2)＞n 2－1n 2＋1，当n ＝2或n ＝4时，f (2)＝n 2－1n 2＋1，当n ＝3时，f (2)＜n 2－1n 2＋1.。

高中数学全册质量检测新人教A版选修4-5(2021年整理)

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全册质量检测一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知：a＋b〉0，b〈0，那么( )A．a>b〉－a>－b B．a>－a〉b〉－bC．a〉－b>b〉－a D．－a>－b〉a>b解析：∵a＋b>0∴a〉－b，b>－a∵b〈0∴－b>0〉b∴a〉－b〉b〉－a答案：C2．“a＋c>b＋d"是“a〉b且c>d"的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析:易得a〉b且c〉d时必有a＋c〉b＋d.若a＋c>b＋d时，则可能有a〉d且c〉d，选A。

答案：A3．a≥0，b≥0，且a＋b＝2,则( ）A．ab≤错误!B．ab≥错误!C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3解析:由a≥0，b≥0，且a＋b＝2，∵4＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab≤2(a2＋b2)，∴a2＋b2≥2.选C。

答案:C4．若不等式|2x－3｜>4与不等式x2＋px＋q>0的解集相同,则p∶q等于（）A．12∶7 B．7∶12C．（－12）∶7 D．（－3）∶4解析：｜2x－3|>4⇔2x－3〉4或2x－3〈－4⇔x〉错误!或x〈－错误!，∴错误!－错误!＝－p，p＝－3,错误!×错误!＝q，q＝－错误!，∴p∶q＝12∶7。

2017-2018学年高中数学选修4-5阶段质量检测三 A卷含

阶段质量检测（三）A 卷（时间90分钟，满分120分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝16，则1a ＋1b的最小值是( )A.14B.18C.116D.12解析：选A (a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b 2＝4，∴1a ＋1b ≥14.当且仅当a ·1b ＝b ×1a ，即a ＝b ＝8时取等号．2．已知x ，y ，z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝3，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．1 B.13C.12D ．3解析：选D x 2＋y 2＋z 2＝(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)×13≥(1×x ＋1×y ＋1×z )2×13＝93＝3.当且仅当x ＝y ＝z ＝1时，等号成立．3．已知a ，b ，c 为正数，且a ＋b ＋c ＝32，则a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2的最小值为( )A ．4B ．4 2C ．6D ．6 2解析：选C ∵a ，b ，c 为正数．∴ 2 ·a 2＋b 2＝1＋1 a 2＋b 2≥a ＋b .同理 2 ·b 2＋c 2≥b ＋c ， 2 c 2＋a 2≥c ＋a ，相加，得 2 (a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2)≥2(b ＋c ＋a )＝62，即a 2＋b 2＋b 2＋c 2＋c 2＋a 2≥6. 当且仅当a ＝b ＝c ＝2时，等号成立．4．已知(x －1)2＋(y －2)2＝4，则3x ＋4y 的最大值为( ) A ．21B ．11C ．18D ．28解析：选A 根据柯西不等式得[(x －1)2＋(y －2)2][32＋42]≥[3(x －1)＋4(y －2)]2＝(3x ＋4y －11)2， ∴(3x ＋4y －11)2≤100，可得3x ＋4y ≤21. 当且仅当x －13＝y －24＝25时，等号成立． 5．已知a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c 的最小值为( )A ．1 B. 3 C ．3D ．4解析：选D (a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1c＝[(a ＋b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b ·1a ＋b ＋c ·1c 2＝22＝4.当且仅当a ＋b ＝c 时，等号成立．6．函数f (x )＝2x －1＋6－3x 的最大值为( ) A.15 B.30 C.302D ．215解析：选C 易知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2且f (x )>0， ∴f (x )＝2·x －12＋3·2－x≤ 22＋32]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋2－x2＝5×32＝302. 当且仅当2·2－x ＝3·x －12，即2(2－x )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即x ＝1110时，等号成立． 7．设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是( ) A. 5 B. 3 C ．2 3 D.32解析：选B 1＝a ＋b ＋4c ＝(a )2＋(b )2＋(2c )2＝13[(a )2＋(b )2＋(2c )2]·(12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋2c )2·13，∴(a ＋b ＋2c )2≤3，当且仅当a ＝b ＝4c 时等号成立，所求为 3. 8．函数f (x )＝1－cos 2x ＋cos x ，则f (x )的最大值是( ) A. 3 B. 2 C ．1D ．2解析：选A 由f (x )＝1－cos 2x ＋cos x ，所以f (x )＝2·sin 2x ＋cos x ≤＋2x ＋cos 2x＝3，当且仅当cos x ＝33时，等号成立． 9．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c ∈R ＋，则2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a的最小值为( ) A ．1 B ．3 C ．6D ．9解析：选D ∵a ＋b ＋c ＝1， ∴2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＝2(a ＋b ＋c )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ＝[(a ＋b )＋(b ＋c )＋(c ＋a )]·⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2＝9.10．设a 1，a 2，a 3，a 4是1,2,3,4的一个排列，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的取值范围是( ) A ．(0,30]B ．(20,30]C ．[20,30]D ．[20,30)解析：选C 由排序原理，得a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4≤12＋22＋32＋42＝30，a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4≥1×4＋2×3＋3×2＋4×4＝20，∴a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 3∈[20,30]．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填写在题中的横线上)11．x ，y ∈R ，若x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的最小值为________．解析：令a ＝(1,1)，b ＝(x ，y )，则a ·b ＝x ＋y ＝1. 又|a·b |≤|a ||b |，∴1≤(12＋12)2·(x 2＋y 2)2＝2(x 2＋y 2)，当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立，∴x 2＋y 2≥12.答案：1212．设a >0，b >0，则(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 的最小值为________．解析：原式＝[(a )2＋(2·b )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2·b ·2b 2＝(1＋2)2＝9.当且仅当a ＝b 时，等号成立．答案：913．函数y ＝22－x ＋2x －3的最大值是________．解析：y ＝2×4－2x ＋2x －3≤ 22＋－2x ＋2x －＝ 3.当且仅当x ＝53时，等号成立．答案： 314．已知x ，y 均为正数，且x ＋y ＝1，则3x ＋4y 的最大值为________．解析：由柯西不等式得3x ＋4y ＝3·x ＋4·y≤[]()32＋()42x ＋y ＝7.答案：7三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)求函数y ＝1－sin x ＋4sin x －1的最大值．解：由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x ≥0，4sin x －1≥0，得14≤sin x ≤1，则y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x ＋2sin x －142≤(1＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－sin x ＋sin x －14＝154，即y ≤152，当且仅当4(1－sin x )＝sin x －14，即sin x ＝1720时，等号成立，所以函数y ＝1－sin x ＋4sin x －1的最大值为152. 16．(本小题满分12分)已知a ＋b ＋c ＝1，a ，b ，c 都为正实数．求证： (1)abc ≤127；(2)a 2＋b 2＋c 2≥3abc .证明：(1)因为a ＋b ＋c ≥3·3abc ，又a ＋b ＋c ＝1，所以abc ≤127，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．(2)由柯西不等式，得a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2＝13，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．由(1)知3abc ≤13，所以a 2＋b 2＋c 2≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．17．(本小题满分12分)(1)已知：a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝4，证明：1a ＋1b≥1；(2)已知： a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝9，证明：1a ＋1b ＋1c≥1.并类比上面的结论，写出推广后的一般性结论(不需证明)．证明：(1)根据柯西不等式，得(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋b ·1b 2＝4.∵a ＋b ＝4， ∴1a ＋1b≥1.(2)根据柯西不等式，得(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a＋b ·1b＋c ·1c 2＝9.∵a ＋b ＋c ＝9，∴1a ＋1b ＋1c≥1.可以推广：若a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n≥1.18．(本小题满分14分)已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围．解：1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x ≤12xy ＋12yz ＋12zx＝ 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1× zx ＋y ＋z＋1×xx ＋y ＋z＋1×y x ＋y ＋z≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2＋12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫z x ＋y ＋z ＋x x ＋y ＋z ＋y x ＋y ＋z 12 ＝32， ∴λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.。

人教A高中数学选修45课后习题答案(清晰版)

2
因为 ab a2 b2 d 2 ，当且仅当 a b 时等号成立 22
人教 A 版高中数学课后习题解答答案
d2
所以当矩形为正方形时，面积取得最大值，最大值为
2 14、因为 r 2 ( h )2 R2 ，所以 4r 2 h2 4R2 .
2 根据三个正数的算术—几何平均不等式，得 4R2 2r 2 2r 2 h2 3 3 4r 4h2
1
即 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
人教 A 版高中数学课后习题解答答案
8、因为 a12 x12 2a1x1 ， a22 x22 2a2x2 ，……， an2 xn2 2an xn 所以 (a12 a22 an2 ) (x12 x22 xn2 ) 2(a1x1 a2x2 anxn) 即 2 2(a1x1 a2x2 anxn) ，所以 a1x1 a2x2 anxn 1
所以 a3 b3 (a b)ab ， b3 c3 (b c)bc ， c3 a3 (c a)ca
所以 2(a3 b3 c3) a2(b c) b2(a c) c2(a b)
3、略.
4、要证明 1 1 1 0 ，即证明 1 1 1
ab bc ca
ab bc ac
12、（1）因为 a,b,c R ，所以
a b
b c
c a
33
a b
b c
c a
3，
b a
c b
a c
33
b a
c b
a c
3
所以 ( a b c )( b c a ) 9 b c aa b c
（2）因为 a,b,c R ，所以 a b c 33 abc 0 ， a2 b2 c2 33 a2b2c2 0

人教A版数学选修4学业分层测评5.docx

学业分层测评(五)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．参数方程⎩⎨⎧x ＝t ＋1y ＝t 2＋2t (t 为参数)的曲线必过点( ) A ．(1,2) B ．(－2,1) C ．(2,3)D ．(0,1)【解析】代入检验知曲线经过点(2,3)．【答案】 C2．已知O 为原点，参数方程⎩⎨⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数)上的任意一点为A ，则OA ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】 OA ＝x 2＋y 2＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，故选A. 【答案】 A3．直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋ty ＝b ＋t (t 为参数)，l 上的点P 1对应的参数是t 1，则点P 1与P (a ，b )之间的距离是( )A ．|t 1|B ．2|t 1|C.2|t 1|D.22|t 1|【解析】 ∵P 1(a ＋t 1，b ＋t 1)，P (a ，b )，∴|P 1P |＝(a ＋t 1－a )2＋(b ＋t 1－b )2＝t 21＋t 21＝2|t 1|. 【答案】 C4．圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2的圆心坐标是( )A ．(0,2)B ．(2,0)C ．(0，－2)D ．(－2,0)【解析】 ∵x ＝2cos θ，y －2＝2sin θ， ∴x 2＋(y －2)2＝4， ∴圆心坐标是(0,2)，故选A. 【答案】 A5．圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( ) A.⎩⎨⎧x ＝5－cos θy ＝5＋2sin θ(0≤θ<2π) B.⎩⎨⎧ x ＝2＋5cos θy ＝－1＋5sin θ(0≤θ<2π) C.⎩⎨⎧ x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<π) D.⎩⎨⎧x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π) 【解析】圆心在点C (a ，b )，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ∈[0,2π))．故圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－1＋5cos θy ＝2＋5sin θ(0≤θ<2π)．【答案】 D 二、填空题6．若点(－3，－33)在参数方程⎩⎨⎧x ＝6cos θy ＝6sin θ(θ为参数)的曲线上，则θ＝________.【解析】将点(－3，－33)的坐标代入参数方程 ⎩⎨⎧x ＝6cos θy ＝6sin θ(θ为参数)得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－12，sin θ＝－32，解得θ＝4π3＋2k π，k ∈Z . 【答案】 4π3＋2k π，k ∈Z7．参数方程⎩⎨⎧x ＝cos αy ＝1＋sin α(α为参数)表示的图形是________．【解析】 ∵⎩⎨⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α，且cos 2α＋sin 2α＝1，∴x 2＋(y －1)2＝1，∴该参数方程表示以(0,1)为圆心，以1为半径的圆．【答案】圆8．已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2ty ＝at 2(其中t 为参数，a ∈R )，点M (5,4)在该曲线上，则实数a ＝________.【解析】 ∵点M (5,4)在曲线C 上， ∴⎩⎨⎧ 5＝1＋2t ，4＝at 2，解得：⎩⎨⎧t ＝2，a ＝1， ∴a 的值为1. 【答案】 1 三、解答题9．已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋2sin θy ＝2－cos θ(θ为参数，0≤θ<2π)，试判断点A (1,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52是否在曲线C 上.【导学号：91060017】【解】将A (1,3)的坐标代入⎩⎨⎧x ＝1＋2sin θ，y ＝2－cos θ，得⎩⎨⎧ 1＝1＋2sin θ3＝2－cos θ，即⎩⎨⎧sin θ＝0，cos θ＝－1，由0≤θ<2π得θ＝π.将B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，52的坐标代入⎩⎨⎧x ＝1＋2sin θ，y ＝2－cos θ，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝1＋2sin θ52＝2－cos θ，即⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－12，cos θ＝－12，这样的角θ不存在．所以点A 在曲线C 上，点B 不在曲线C 上．10．已知圆的极坐标方程为ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； (2)若点P (x ，y )在该圆上，求x ＋y 的最大值和最小值．【解】 (1)由ρ2－42ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＋6＝0得ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋6＝0，即x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0为所求，即圆的标准方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2，令x －2＝2cos α，y －2＝2sin α，得圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos αy ＝2＋2sin α(α为参数)．(2)由(1)知，x ＋y ＝4＋2(cos α＋sin α) ＝4＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，又－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，故x ＋y 的最大值为6，最小值为2.[能力提升]1．P (x ，y )是曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25 【解析】设P (2＋cos α，sin α)，代入得： (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2 ＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(a －φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ＝34，φ为锐角，∴最大值为36. 【答案】 A2．如图2-1-4，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，则圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为________．图2-1-4【解析】将x 2＋y 2－x ＝0配方，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14，∴圆的直径为1.设P (x ，y )，则x ＝|OP |cos θ＝1×cos θ×cos θ＝cos 2θ，y ＝|OP |sin θ＝1×cos θ×sin θ＝sin θcos θ， ∴圆x 2＋y 2－x ＝0的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)．【答案】 ⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ(θ为参数)3．P (x ，y )是曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α(α为参数)上任意一点，则P 到直线x －y ＋4＝0的距离的最小值是________．【解析】由P 在曲线⎩⎨⎧x ＝2＋cos αy ＝sin α上可得P 的坐标为(2＋cos α，sin α)，由点到直线的距离公式得d ＝|cos α－sin α＋6|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋62，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1时，d 最小，d min ＝－2＋62＝－1＋3 2.【答案】－1＋3 24．已知圆系方程为x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0(a >0且为已知常数，φ为参数)，(1)求圆心的轨迹方程；(2)证明圆心轨迹与动圆相交所得的公共弦长为定值．【解】 (1)由已知圆的标准方程为： (x －a cos φ)2＋(y －a sin φ)2＝a 2(a >0)．设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝a cos φy ＝a sin φ(φ为参数)，消参数得圆心的轨迹方程为x 2＋y 2＝a 2.(2)证明由方程⎩⎨⎧x 2＋y 2－2ax cos φ－2ay sin φ＝0，x 2＋y 2＝a 2，得公共弦的方程：2ax cos φ＋2ay sin φ＝a 2，即x cos φ＋y sin φ－a2＝0，圆x 2＋y 2＝a 2的圆心到公共弦的距离d ＝a2为定值，∴弦长l ＝2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22＝3a (定值)．。

高二数学人教A版选修4-5学业分层测评5 Word版含答案.doc

学业分层测评（五）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．不等式1<|x ＋1|<3的解集为( ) A ．(0,2) B ．(－2,0)∪(2,4) C ．(－4,0)D.(－4，－2)∪(0,2)【解析】由1<|x ＋1|<3，得 1<x ＋1<3或－3<x ＋1<－1， ∴0<x <2或－4<x <－2，∴不等式的解集为(－4，－2)∪(0,2)．【答案】 D2．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x 的解集是( ) A ．(0,2) B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D.(－∞，0)∪(2，＋∞) 【解析】由绝对值的意义知，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x >x －2x 等价于x －2x <0，即x (x －2)<0，解得0<x <2.【答案】 A3．若不等式|ax ＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a 的取值为( ) A ．8 B ．2 C ．－4D.－8【解析】原不等式化为－6＜ax ＋2＜6，即－8＜ax ＜4.又∵－1＜x ＜2，∴验证选项易知a ＝－4适合．【答案】 C4．若不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a 的解集为R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≥3 B ．a ≤3 C ．a ＞3D.a ＜3【解析】令t ＝|x ＋1|＋|x －2|，由题意知只要t min ≥a 即可，因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，所以t min ＝3，∴a ≤3. 即实数a 的取值范围是(－∞，3]，故选B. 【答案】 B5．设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |>2，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D.|a －b |≥3【解析】由|x －a |<1，得a －1<x <a ＋1. 由|x －b |>2，得x <b －2或x >b ＋2. ∵A ⊆B ，∴a －1≥b ＋2或a ＋1≤b －2，即a －b ≥3或a －b ≤－3，∴|a －b |≥3. 【答案】 D 二、填空题6．不等式|x －5|－|x ＋3|≥4的解集为________.【导学号：32750023】【解析】当x <－3时，原不等式为8≥4恒成立；当－3≤x ≤5时，原不等式为(5－x )－(x ＋3)≥4，解得x ≤－1，所以－3≤x ≤－1；当x >5时，原不等式为(x －5)－(x ＋3)≥4，无解．综上可知，不等式|x －5|－|x ＋3|≥4的解集为{x |x ≤－1}．【答案】 {x |x ≤－1} 7．若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53<x <13，则a ＝________.【解析】 ∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5. 当a >0时，－1a <x <5a ，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符；当a <0时，5a <x <－1a .又不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－53<x <13，故a ＝－3. 【答案】－38．若关于x 的不等式|x ＋2|＋|x －1|＜a 的解集为∅，则a 的取值范围为________．【解析】法一：由|x ＋2|＋|x －1|＝|x ＋2|＋|1－x |≥|x ＋2＋1－x |＝3，知a ≤3时，原不等式无解．法二：数轴上任一点到－2与1的距离之和最小值为3.所以当a ≤3时，原不等式的解集为∅. 【答案】 (－∞，3] 三、解答题9．已知关于x 的不等式|x |＞ax ＋1的解集为{x |x ≤0}的子集，求a 的取值范围．【解】设y 1＝|x |，y 2＝ax ＋1. 则y 1＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0.在同一直角坐标系中作出两函数图象，如图所示．|x |＞ax ＋1，只需考虑函数y 1＝|x |的图象位于y 2＝ax ＋1的图象上方的部分，可知a ≥1，即a 的取值范围是[1，＋∞)．10．已知函数f (x )＝|x －3|＋|x －2|＋k . (1)若f (x )≥3恒成立，求k 的取值范围； (2)当k ＝1时，求不等式f (x )<3x 的解集．【解】 (1)|x －3|＋|x －2|＋k ≥3，对任意x ∈R 恒成立，即(|x －3|＋|x －2|)min ≥3－k .又|x －3|＋|x －2|≥|x －3－x ＋2|＝1，(|x －3|＋|x －2|)min ＝1≥3－k ，解得k ≥2. (2)当x ≤2时，5x >6，解得x >65，∴65<x ≤2. 当2<x <3时，3x >2，解得x >23，∴2<x <3.当x ≥3时，x >－4，∴x ≥3. 综上，解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫65，＋∞.[能力提升]1．如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]∪[5，＋∞)B ．[－5，－3]C ．[3,5]D ．(－∞，－5]∪[－3，＋∞)【解析】在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3. 【答案】 D2．若关于x 的不等式|x ＋1|≥kx 恒成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．[－1,0] C ．[0,1]D.[0，＋∞)【解析】作出y ＝|x ＋1|与y ＝kx 的图象，如图，当k ＜0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k ＝0时，直线为x 轴，符合题意；当k ＞0时，要使|x ＋1|≥kx 恒成立，只需k ≤1.综上可知k ∈[0,1]．【答案】 C3．若关于x 的不等式|x －1|＋|x －a |≥a 的解集为R (其中R 是实数集)，则实数a 的取值范围是________．【解析】不等式|x －1|＋|x －a |≥a 恒成立， a 不大于|x －1|＋|x －a |的最小值， ∵|x －1|＋|x －a |≥|1－a |，∴|1－a |≥a,1－a ≥a 或1－a ≤－a ，解得a ≤12.【答案】 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 4．已知a ∈R ，设关于x 的不等式|2x －a |＋|x ＋3|≥2x ＋4的解集为A . (1)若a ＝1，求A ；(2)若A ＝R ，求a 的取值范围.【导学号：32750024】【解】 (1)当x ≤－3时，原不等式化为－3x －2≥2x ＋4，得x ≤－3. 当－3＜x ≤12时，原不等式化为4－x ≥2x ＋4，得－3＜x ≤0. 当x ＞12时，原不等式化为3x ＋2≥2x ＋4，得x ≥2. 综上，A ＝{x |x ≤0或x ≥2}．(2)当x ≤－2时，|2x －a |＋|x ＋3|≥0≥2x ＋4成立．当x ＞－2时，|2x －a |＋|x ＋3|＝|2x －a |＋x ＋3≥2x ＋4，得x ≥a ＋1或x ≤a －13，所以a ＋1≤－2或a ＋1≤a －13，得a ≤－2. 综上，a 的取值范围为(－∞，－2]．。

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