江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模数学(文)试题(解析版)
2019年江西省南昌市高考数学三模试卷(文科)
2019年江西省南昌市高考数学三模试卷（文科）一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合＝，＝，则＝（）A. B. C. D.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据不等式的解法求出集合的等价条件，结合集合的补集，交集的定义进行计算即可．【解答】＝＝或，＝＝＝，则＝，则＝，2. 已知复数的实部为，则其虚部为A. B. C. D.【答案】C【考点】复数代数形式的乘除运算复数的基本概念【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由实部等于求得值，则虚部可求．【解答】解：∵的实部为，即，∴则的虚部为.故选．3. 已知等差数列的前项和为，＝，则＝（）A. B. C. D.【答案】A【考点】等差数列的前n项和【解析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．【解答】等差数列的前项和为，∴，解得＝（10）∴＝＝＝（11）4. 若＝，则等于（）A. B. C. D.【答案】B【考点】两角和与差的三角函数【解析】根据二倍角的正切公式即可求出．【解答】∵＝，∴＝，5. 已知直线＝与圆＝相交于，两点，为坐标原点，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】A【考点】直线与圆的位置关系【解析】圆＝的圆心坐标为，代入点到直线距离公式，可得圆心到直线的距离，求出弦长，然后求解三角形的面积．【解答】圆＝的圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离，弦长为：，则的面积为：．6. 对具有相关关系的两个变量，，收集了组数据：，…，，根据最小二乘法得到线性回归方程，则下列说法一定正确的是（）A.，都有＝B.，使得＝C.，都有D.，使得【答案】D【考点】求解线性回归方程 【解析】线性回归直线一定经过样本点的中心，样本点不一定在回归直线上，由此逐一核对四个选项得答案． 【解答】如果变量 与 之间存在着线性相关关系，根据试验数据得到的点 ＝ ,…, 将散布在回归直线的附近，故 错误；线性回归方程不一定经过样本点，故 错误；样本点可能在回归直线的两侧，故 错误， 正确．7. 设，， ＝ ，则 ， ， 的大小关系是（ ）A. B. C. D.【答案】 B【考点】对数值大小的比较 【解析】容易得出，，，从而可得出 ， ， 的大小关系．【解答】∵，，，∴ ．8. 如图，长方体 ， ＝ ＝ ， ＝ ，点 在线段 上，的方向为正（主）视方向，当 最短时，棱锥 的左（侧）视图为（ ）A.B.C.D.【答案】 B【考点】简单空间图形的三视图 【解析】依题意，棱锥 的左（侧）视图外部轮廓为正方形，且侧棱 ， 被底面 遮挡，显示为虚线，当 最短时， ，因为 ＝ ， ＝，所以，所以两虚线的交点离点更近，即离右下角更近．【解答】依题意，棱锥的左（侧）视图外部轮廓为正方形，且侧棱，被底面遮挡，显示为虚线，当最短时，，因为＝，＝，所以，所以两虚线的交点离点更近，即离右下角更近．9. 如图所示框图，若输入个不同的实数，输出的值相同，则此输出结果可能是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】程序框图【解析】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出的值，画出函数的图象即可得解．【解答】模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出的值，作出函数的图象如下：由题意，输入个不同的实数，输出的值相同，可得，比较各个选项可得输出结果可能是．10. 若直线＝与曲线＝相切，则＝（）A. B. C. D.【答案】D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】设切点为，求出函数的导数，利用导数的几何意义表示出切线的斜率，再由切点在曲线上和切线上，列出满足条件的方程，求出和的值．【解答】设切点为，函数＝的导数为＝，则切线的斜率为＝，又＝＝，所以，解得＝，所以＝，11. 已知抛物线＝，其焦点为，准线为，为抛物线上第一象限内的点，过点作的垂线，垂足为当周长为时，的面积为（）A. B. C. D.【答案】C【考点】抛物线的性质【解析】设出求出、的坐标，利用三角形的周长，求解的长，判断三角形的形状，然后求解三角形的面积．【解答】如图所示，设＝，则，，，∴，∵周长为，所以，解得＝，∴＝，所以三角形是边长为的正三角形，所以三角形的面积为：．12. 如图，一个正四棱锥和一个正三棱锥，所有棱长都相等，为棱的中点，将，、，、，分别对应重合为，，，得到组合体关于该组合体有如下三个结论：①；②；③，其中错误的个数是（）A. B. C. D.【答案】A【考点】命题的真假判断与应用【解析】画出正四棱锥和正三棱锥重合得到的图形，连接，，运用等边三角形的性质和线面垂直的判定和性质，可判断①②；取的中点，连接，，，设边长为，运用余弦定理和诱导公式计算可判断③．【解答】如图正四棱锥和正三棱锥重合得到的图形如右图：连接，，可得，，可得平面，即有，，即有，，取的中点，连接，，，设边长为，可得＝＝＝，可得，，可得＝，即，，三点共线，可得四边形，，，为菱形，即有，故①②③都对．二.填空题；本大题共4小题，每小题5分，共20分已知向量，，则＝________．【答案】【考点】平面向量数量积坐标表示的应用【解析】求出的坐标，然后求解向量的模即可．【解答】向量，，则，则若，满足约束条件，则＝的最小值为________．【答案】【考点】简单线性规划【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，即可得到结论．【解答】作出，满足约束条件如图：由＝得＝，平移直线＝，由图象可知当直线＝经过点时，直线的截距最小，此时最小，由，解得，此时＝＝，已知函数＝若存在使＝对一切实数恒成立，则＝________．【答案】【考点】函数恒成立问题【解析】由＝对一切实数恒成立转化出满足条件的等式，从而列式求出值．【解答】∵函数＝对一切实数恒成立，∴＝对一切实数恒成立，化简得，＝对一切实数恒成立，化简展开得，＝对一切实数恒成立，∴只能＝，又∵∴．已知等差数列的前项和＝，若存在正整数，使得，，成等比数列，则的最大值与最小值的和为________．【答案】【考点】数列的求和【解析】由数列的递推式：＝时，＝；当时，＝，结合等差数列的通项公式可得＝，再由等比数列的中项性质，化简可得，再由基本不等式和，为正整数，可得所求最值之和．【解答】由＝，可得＝＝；当时，＝＝＝，由题意可得＝，则＝，，存在正整数，使得，，成等比数列，可得＝，即为＝，即＝，则＝，由，可得的最小值为，的最小值为；由＝，＝，或＝，＝，可得的最大值为，则的最大值为，可得则的最大值与最小值的和为三.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分如图所示，在直角坐标系中，扇形的半径为，圆心角为，点是弧上异于，的点．Ⅰ若点，且，求点的横坐标；Ⅱ求面积的最大值．【答案】（1）连接，根据题意，在中，＝，，＝，所以，所以点的横坐标为．（2）设＝，，则，＝，因为，所以，所以当时，面积最大，且最大值为．【考点】余弦定理【解析】Ⅰ连接，根据题意在中，由余弦定理可求，进而可求点的横坐标．Ⅱ设＝，，则，利用三角形的面积公式可得，根据范围，利用正弦函数的性质可求其最大值．【解答】（1）连接，根据题意，在中，＝，，＝，所以，所以点的横坐标为．（2）设＝，，则，＝，因为，所以，所以当时，面积最大，且最大值为．如图，四边形是梯形，，，＝＝，是菱形，＝，平面平面．Ⅰ求证：Ⅱ过点作一平面与平面平行，设＝，＝，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明：如图，取中点，连接，在，由已知可得＝，＝，，＝，∴＝，得．又∵平面平面，且平面平面＝，∴平面，又平面，∴；（2）∵平面平面，∴，，又∵，∴＝＝，则是的中点，在中，∵，是的中点，∴是的中点，因此．设的中点为，∵＝＝，∴，又∵平面平面，∴平面．∴．【考点】柱体、锥体、台体的体积计算直线与平面垂直【解析】Ⅰ取中点，连接，在，由已知可证．再由平面平面，利用面面垂直的性质可得平面，从而得到；Ⅱ由平面平面，得，，再由已知证得是的中点，然后利用等积法求三棱锥的体积．【解答】（1）证明：如图，取中点，连接，在，由已知可得＝，＝，，＝，∴＝，得．又∵平面平面，且平面平面＝，∴平面，又平面，∴；（2）∵平面平面，∴，，又∵，∴＝＝，则是的中点，在中，∵，是的中点，∴是的中点，因此．设的中点为，∵＝＝，∴，又∵平面平面，∴平面．∴．某校高三文科（1）班共有学生人，其中男生人，女生人．在一次地理考试后，对成绩作了数据分析（满分，成绩为分以上的同学称为“地理之星”，得到了如图表：如果从全班人中任意抽取人，抽到“地理之星”的概率为．Ⅰ完成“地理之星”与性别的列联表，并回答是否有以上的把握认为获得“地理之星”与“性别”有关？Ⅱ若已知此次考试中获得“地理之星”的同学的成绩平均值为，方差为，请你判断这些同学中是否有得到满分的同学，并说明理由．（得分均为整数分）参考公式：，其中＝．临界值表：【答案】,,,,,,,,【考点】独立性检验【解析】Ⅰ根据题意求出“地理之星”的总人数，填写列联表，计算，对照临界值得出结论；Ⅱ没有得满分的同学，讨论（1）若有个以上的满分时，和（2）若恰有个满分时，此时方差都与题意方差为不符，由此得出结论．【解答】（1）根据题意知“地理之星”总人数为，填写列联表如下；根据表中数据，计算，所以没有的把握认为获得“地理之星”与性别有关；（2）没有得满分的同学，记各个分值由高到低分别为，，…，；（1）若有个以上的满分，则，不合题意；（2）若恰有个满分，为使方差最小，则其他分值需集中分布在平均数的附近，且为保证平均值为，则有个得分为，其余个得分为，此时方差取得最小值；∴，与题意方差为不符，所以这些同学中没有得满分的同学．已知椭圆的左右焦点分别为，，点是椭圆上一点，以为直径的圆过点．Ⅰ求椭圆的方程；Ⅱ过点且斜率大于的直线与圆的另一个交点为，与直线＝的交点为，过点且与垂直的直线与直线＝交于点，求面积的最小值．【答案】（1）在圆的方程中，令＝，得＝，所以，，又因为，所以点坐标为，所以＝＝，则＝，＝，因此椭圆的标准范畴为；（2）设直线，所以点坐标为，将直线代入椭圆的方程得到＝，设，，所以所以，直线的方程为：，所以，所以，直线的方程为，所以点坐标为，所以＝，当且仅当，即时取等号，综上，面积的最小值．【考点】椭圆的应用直线与椭圆的位置关系【解析】Ⅰ根据题意，求得点坐标，根据椭圆的定义，即可求得和的值，求得椭圆方程；Ⅱ设直线的方程，代入涂鸦方程，利用韦达定理求得的横坐标，求得直线方程，求得点坐标，利用三角形的面积公式及基本不等式即可求得面积的最小值．【解答】（1）在圆的方程中，令＝，得＝，所以，，又因为，所以点坐标为，所以＝＝，则＝，＝，因此椭圆的标准范畴为；（2）设直线，所以点坐标为，将直线代入椭圆的方程得到＝，设，，所以所以，直线的方程为：，所以，所以，直线的方程为，所以点坐标为，所以＝，当且仅当，即时取等号，综上，面积的最小值．已知函数（为自然对数的底数）．Ⅰ讨论函数的单调性；Ⅱ当＝，时，若恒成立，求实数的取值范围．【答案】（I）因为函数（为自然对数的底数）．所以，若，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，若，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，（2）当＝，时，等价于，当＝时，当时，得，设＝，则恒成立，因为＝，若，则＝，函数单调递增，＝，∴符合题意，若，令＝＝，即＝，存在＝，使得，即＝为方程的解，所以当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增：而＝，所以必存在，，则与恒成立矛盾．所以不合题意舍去，综上可知，；【考点】利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的最值【解析】Ⅰ求函数的导数，分类讨论的范围可得函数的单调性；Ⅱ当＝，时，若恒成立，等价于，分类讨论当＝时，，当时，得，设＝，则恒成立，分别讨论验证的范围满足恒成立即可求实数的取值范围．【解答】（I）因为函数（为自然对数的底数）．所以，若，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，若，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，（2）当＝，时，等价于，当＝时，当时，得，设＝，则恒成立，因为＝，若，则＝，函数单调递增，＝，∴符合题意，若，令＝＝，即＝，存在＝，使得，即＝为方程的解，所以当时，，函数单调递减，当时，函数单调递增：而＝，所以必存在，，则与恒成立矛盾．所以不合题意舍去，综上可知，；（二）选考题：共10分请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上.（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线＝．Ⅰ求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；Ⅱ若点的直角坐标为，直线与曲线相交于，两点，求的值．【答案】（1）曲线的参数方程为（为参数）．转换为直角坐标方程为＝（4）直线＝（0）转换为直角坐标方程为．（2）利用Ⅰ的直角坐标方程转换为参数方程为（为参数），代入圆的方程＝，得到，所以，＝（和为、对应的参数），所以．【考点】圆的极坐标方程【解析】Ⅰ直接利用转换关系把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用Ⅰ的直线，首先求出直线的参数式，进一步利用直线和曲线的位置关系，利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．【解答】（1）曲线的参数方程为（为参数）．转换为直角坐标方程为＝（4）直线＝（0）转换为直角坐标方程为．（2）利用Ⅰ的直角坐标方程转换为参数方程为（为参数），代入圆的方程＝，得到，所以，＝（和为、对应的参数），所以．选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）已知＝，＝．Ⅰ若恒成立，求实数的取值范围；Ⅱ若存在实数，，使得等式＝成立，求实数的取值范围．【答案】（1）＝＝，若恒成立，则，解得或，所以实数的取值范围是或；（2）由Ⅰ知，的值域为，又＝，所以的值域为；若存在实数，，使得等式＝成立，则，所以，解得，所以实数的取值范围是．【考点】绝对值不等式的解法与证明函数恒成立问题【解析】Ⅰ利用绝对值不等式求出的最小值，把化为关于的不等式，求出解集即可；Ⅱ分别求出、的值域，问题化为两个值域的交集非空时实数的取值范围即可．【解答】（1）＝＝，若恒成立，则，解得或，所以实数的取值范围是或；（2）由Ⅰ知，的值域为，又＝，所以的值域为；若存在实数，，使得等式＝成立，则，所以，解得，所以实数的取值范围是．。
2019届江西省三市九校高三第三次联合考试数学(文)试题
2019届江西省三市九校高三第三次联合考试数学试卷（文科）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}{}1,2,3,(1)(2)0,A B x x x x Z ==+-<∈，则B A ⋂等于（ ）5. 已知双曲线221mx ny +=与抛物线y x 82=有共同的焦点F ，且点F 到双曲线渐近线的距离等于1，则双曲线的方程为（ ）A ．1322=-x y B ．2213x y -=C ．1522=-x yD ．1522=-x y 6．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(6)()f x f x -=，且当(0,3)x ∈时，3()3f x x x =-， 则(2019)f =( )A. -18B. 0C. 18D. 不能确定 7.函数()sin()f x x ωφ=+（其中||2πφ<）的图象如图所示，为了得到()y f x =的图象，只需把 sin y x ω=的图象上所有点 ( )A. 向左平移6π个单位长度 B. 向右平移12π个单位长度 C. 向右平移6π个单位长度 D. 向左平移12π个单位长度8．某几何体的三视图如右图所示,则该几何体外接球表面积为( ) A ．π11 B ．143π C ．283π D ．π16 9．函数()12sin 12x x f x x ⎛⎫-= ⎪+⎝⎭的图像大致为（ ）A B C D10．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若cos cos 2cos a C c A b B +=，且1sin sin 22cos =+C A B ，则2a b c -+=( )A ．22B ．2C ．2D ．0 11. 如图所示，A 1，A 2是椭圆C ：22194x y ＋＝的短轴端点，点M 在椭圆上运动，且点M 不与A 1，A 2重合，点N 满足NA 1⊥MA 1，NA 2⊥MA 2，则1212MA A NA A S S ∆∆＝( )A ．32 B ．23 C ． 94 D ．4912. 若函数)(x f 在其图象上存在不同的两点),(),,(2211y x B y x A ，其坐标满足条件：222221212121y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称)(x f 为“柯西函数”，则下列函数：①)0(1)(>+=x xx x f ； ②)0(ln )(e x x x f <<=； ③()cos f x x =； ④2()1f x x =-． 其中为“柯西函数”的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知平面向量)23,2(),2,12(--=-=m b m a，且b a ⊥，则=-b a 32 .14．已知变量,x y 满足2402020x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则12y x ++的取值范围是_________.15. 2018年4月4日，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则：本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测： 爸爸：冠军是乙或丁； 妈妈：冠军一定不是丙和丁； 孩子：冠军是甲或戊.比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是______． 16. 如图，三棱锥A BCD -的顶点A ，B ，C ，D 都在同一球面上，BD 过球心O 且22BD =ABC △是边长为2等边三角形，点P 、Q 分别为线段AO ，BC 上的动点（不含端点），且AP CQ =，则三棱锥P QCO -体积的最大值为_______． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22,23题为选考题，考生根据要求作答） (一)必考题：共60分17． (本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24320a x S x -+<的解集为2(,1)7，(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n c 满足n a n na c 22+=，求数列{}n c 的前n 项和n T .18. (本小题满分12分） 已知斜三棱柱111ABC A B C -的侧面11ACC A 与底面ABC 垂直，侧棱与底面所成的角为60︒，11AA A C ⊥,AC BC ⊥,4AC =,2BC =.(1)求证：平面11ABB A ⊥平面1A BC ；(2)若D 为11A B 的中点，求三棱锥1A BCD -的体积.19. (本小题满分12分） 某商场营销人员进行某商品M 市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：反馈点数x12 3 4 5 销量（百件）/天 0.50.611.41.7（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量y （百件）与该天返还点数x 之间的相关关系.请用最小二乘法求y 关于x 的线性回归方程y=bx+a ，并预测若返回6个点时该商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：将对返点点数的心理预期值在[1,3)和[11,13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.(参考公式及数据：①回归方程y=bx+a ，其中ni ii=1n22ii=1x y -nxyb=,a=y-bx x-nx∑∑；②5i i i=1x y =18.8∑.)20.（本题满分12分）在直角坐标系XOY 中，已知椭圆E 的中心在原点，长轴长为8，椭圆在X 轴上的两个焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形. (1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆内一点M (1,3)的直线与椭圆E 交于不同的A ，B 两点，交直线14y x =-于点N ，若,NA mAM NB nBM ==，求证：m n +为定值，并求出此定值.21.（本题满分12分）设函数x ma ae x g x e x f x x 2)(,)(1-+=-=+（,m a 为实数），(1)求函数)(x f 的单调区间；(2)若存在实数a ，使得()()f x g x ≤对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围. （提示：ex e x -=-1)][ln('）(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1:1C x y +=与曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线12,C C 的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知:(0)l θαρ=>与1C ,2C 的公共点分别为A ,B ，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 当4OBOA=时，求α的值．23．[选修4—5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数()|2||21|f x x x =+--. （1）求()5f x >-的解集；（2）若关于x 的不等式|2||2|||(|1|||)b a b a a x x m +--≥++-(,,0)a b R a ∈≠能成立，求实数m 的取值范围.文科数学答案一.选择题二.填空题13. 65 14. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,41 15. 丁 16. 121三解答题17.（1）依题意可得：7943=a S 且7221=a , 2,11==∴d a 12-=∴n a n …………6分 （2）12214-+-=n n n c)14(32241)41(4212)143(2-++=--⋅+-+=∴n n n n n n n T …………12分18. （1）证明：AC BC AC ABC A ACC ABC A ACC ⊥=⋂⊥,,1111平面平面平面平面11A ACC BC 平面⊥∴ 1AA BC ⊥∴ …………3分 C C A BC C A AA =⋂⊥111, 又 BC A AA 11平面⊥∴ 111A ABB AA 平面又⊆BC A A ABB 111平面平面⊥∴…………6分(2)由（1）可知，1111,A ACC BC BC A AA 平面平面⊥⊥则C A BC BC A BB 111⊥⊥，平面11的距离等于到平面点BC A D ∴ ， 又侧棱与底面所成的角为060 0160=∠∴AC A4=AC3232221,3211=⨯⨯==∴BC A S C A 则3321323111=⨯⨯==∴--BC A D BCD A V V …………12分 19.（1）易知123450.50.61 1.4 1.73, 1.0455x y ++++++++====，522222211234555i i x ==++++=∑ ，ni ii=1n222i i=1x y -nxy18.853 1.04b==0.325553x -nx-⨯⨯=-⨯∑∑， a=y-bx 1.040.3230.08=-⨯=则y 关于x 的线性回归方程为0.320.08y x =+，当6x =时， 2.00y =，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件. ..........................6分（2）设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x 人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y 人， 由分层抽样的定义可知6301020x y==，解得2,4x y == 在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为12A A ，，4名“欲望紧缩型”消费者分别记为1234,,,B B B B ，则所有的抽样情况如下：共20种,其中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的情况由16种记事件A 为“抽出的3人中至少有1名‘欲望膨胀型’消费者”，则16()0.820P A == .....12分 20. (1)椭圆的标准方程为：2211612x y +=；…………4分 (2)设1122001(,),(,),(,)4A x yB x y N x x -，由,NA mAM =得1010111(,)(1,3)4x x y x m x y -+=--所以0011134,11m x m x x y m m -+==++，…………7分00134(,)11m x m x A m m -+∴++，因为2211612x y +=上，所以得到0220134()()1111612m x m x m m -++++=，得到220139964804m m x ++-=；…………9分同理，由NB nBM =可得220139964804n n x ++-=所以m,n 可看作是关于x 的方程220139964804x x x ++-=的两个根，所以323m n +=-为定值.……12分21. (1) 1)(1-='+x ex f10)(->>'x x f 得由，10)(-<<'x x f 得, )1,(--∞单调递减，),1(+∞-单调递增 (4)分(2) x ma e a e x ma ae ex g x f x h x x x +--=+--=-=+)()()()(1令1)()()()(+-=-='x e a e x g x f x h 则…………5分若e-a≥0，可得h′（x ）＞0，函数h （x ）为增函数，当x→+∞时，h （x ）→+∞， 不满足h （x ）≤0对任意x ∈R 恒成立；…………6分若e-a ＜0，由h′（x ）=0，得1xe a e =-，则1ln x a e=-， ∴当x ∈)1ln,(e a --∞时，h′（x ）＞0，当x ∈),1(ln +∞-ea 时，h′（x ）＜0， ∴1ln 111()max (ln )()ln 1ln a eh x h e a e ma ma a e a e a e-==--+=--+--- 若f （x ）≤g（x ）对任意x ∈R 恒成立， 则11lnma a e--+-≤0（a ＞e ）恒成立， 若存在实数a ，使得11ln ma a e --+-≤0成立， 则ma≥11ln a e-+-，∴1ln()a e m a a-≥--（a ＞e ），…………9分令F （a ）1ln()a e a a-=--， 则222ln()1()ln()'()()aa e a e a e e a e F a a a a a e ------=-=-． ∴当a ＜2e 时，F′（a ）＜0，当a ＞2e 时，F′（a ）＞0， 则min 1()(2)F a F e e==-． ∴m 1e≥-．则实数m 的取值范围是1,e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭．…………12分22. 解（1）曲线1C 的极坐标方程为()cos sin 1ρθθ+=，即sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 曲线2C 的普通方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=，所以曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． …………5分 （2）由（1）知1||,||4cos cos sin A B OA OB ρρααα====+，()()4cos cos sin 21cos2sin2224OBOA παααααα⎛⎫∴=+=++=++ ⎪⎝⎭4OB OA=∴2)44πα++=，sin(2)42πα+=由02πα<<，知52444πππα<+<，当3244ππα+=，∴4πα=． ………10分23. 解：(1) 3 , 21()2213 1 ,2213 , 2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=+-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩故故5)(->x f 的解集为)8,2(-. …………5分 （2）由|2||2|||(|1|||)b a b a a x x m +--≥++-，(0)a ≠能成立，得22(1)b a b ax x m a+--≥++-能成立，即2211b bx x ma a+--≥++-能成立，令bta=，则221(1)t t x x m+--≥++-能成立，由（1）知，52212t t+--≤又11x x m m++-≥+∴512m+≤∴实数m的取值范围：73,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦………10分- 1 -。
江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模数学(文)试题
2019年江西师大附中高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.2.复数满足（为虚数单位），则的共轭复数是（）A. B. C. D.3.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指年之间出生，80前指1979年及以前出生．A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多4.已知数列为等差数列，为其前项和，，则（）A. B. C. D.5.已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6.执行如图所示的程序框图，则输出n的值是（）A. 2B. 4C. 5D. 67.若函数为奇函数，则实数值为（ ） A. B.C.D.8.已知，，，则下列结论正确的是（ ）A. B. C.D.9.“对任意正整数，不等式都成立”的一个必要不充分条件是（ ） A.B.C.D.10.如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A. B. C.D.11.已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（ ）A.B.C.D.12.数列中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，……依此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）的A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量，，，则在方向上射影为_____．14.若满足约束条件，则的最小值为_____．15.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且垂直轴，若直线的斜率为，则该椭圆的离心率为__________．16.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为_____．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在中，内角所对的边分别是，已知．（Ⅰ）求证：为等腰三角形； （Ⅱ）若是钝角三角形，且面积为，求的值． 18.如图，多面体中，，，平面，，，．的（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求三棱锥的体积．19.为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了年下半年该市名农民工（其中技术工、非技术工各名）的月工资，得到这名农民工月工资的中位数为百元（假设这名农民工的月工资均在（百元）内）且月工资收入在（百元）内的人数为，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）已知这名农民工中月工资高于平均数的技术工有名，非技术工有名，则能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：，其中．20.已知离心率为椭圆过点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，点在椭圆上且不与四个顶点重合． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线与轴交于，直线与轴交于，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 21.已知函数．（1）当时，试求的单调区间；（2）若在内有极值，试求的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程； （2）若，是曲线上两点，求值．23.已知函数，（1）当时，解不等式；（2）若存在满足，求实数的取值范围．的的。
2019年最新(统考)江西省高考第三次模拟考试数学(文)试卷及答案解析
是否
优良
班级
优良
（人数）
非优良
（人数）
合计
甲
乙
合计
（2）以班级分层抽样,抽取成绩优良的5人参加座谈，现从5人中随机选3人来作书面发言，求发言人至少有2人来自甲班的概率。
0.10
0.05
0.010
2.706
3.841
6.635
22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系 中,直线 的参数方程为 为参数)，以原点 为极点, 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 .
(1)求直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程；
(2)设直线 与曲线 交于点 ，若点 的坐标为 ，求 的值.
23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
A.4里55步 B.3里125步 C.7里125步 D.6里55步
9.已知函数 的图像的一个最高点坐标为 ，相邻的对称轴与对称中心间的距离为2，则下列结论正确的是（ ）
A. 的图像关于 中心对称B. 的图像关于直线 对称
C. 在区间 上单调递增 D.
10.执行下列程序，输出S的值为（ ）
A. B. C. D.
A.3 B. C.4 D.
4.已知 ，则 （）
A. B. C. D.
5.已知直线 与 ，则“ ”是“ ”的（）条件.
A.充要B.充分不必要
C.必要不充分D.既不充分又不必要
6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几
何体的体积为（）
A. B. C. D.
7.已知函数 ，则 的图象大致为()
8.刘徽是我国魏晋时期著名的数学家，他编著的《海岛算经》中有一问题：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直。从前表却行一百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合。从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合。问岛高几何?” 意思是：为了测量海岛高度，立了两根表，高均为5步，前后相距1000步，令后表与前表在同一直线上，从前表退行123步，人恰观测到岛峰，从后表退行127步，也恰观测到岛峰，则岛峰的高度为（）（注：3丈=5步，1里=300步）
江西省南昌市2019届高三三模数学(文)试题(扫描版,含解析)
— 高三文科数学(三模)第1页(共4页) —NCS20190607项目第三次模拟测试卷文科数学本试卷分必做题和选做题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水笔写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将答题卡收回．一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合0|2 x x x A ， 2|21x B x ，则()A B RA.[1,2)B.(0,1)C.(1,2)D.[0,1] 1．D 【解析】由20x x 得0x 或1x ，所以[0,1]A R ，由2e1x 得2 x ， 所以)2,( B ， 所以()[0,1]A B R .2. 已知复数(i)(32i)z a (R)a 的实部为1 ，则其虚部为 A.73B.7i 3C.5D.5i 2.C 【解析】(i)(32i)(32)(23)i z a a a ，所以123 a ，解得1 a ， 所以复数z 的虚部为53)1(2 ．3.已知等差数列 n a 的前9项和为45，13 a ，则7aA. 11B. 10C. 9D. 8 3. A 【解析】设 n a 的前9项和为9S ，则45959 a S ，所以55 a ，所以11)1(102357 a a a ．4. 若tan()26，则2tan(23等于 A．2 B ．43C．2 D ．43— 高三文科数学(三模)第2页(共4页) —D111Q PD 1C 1B 1A 14.B 【解析】22tan()246tan(2)tan(2)3331tan (6． 5．已知直线:0l x 与圆22:(1)1C x y相交于,O A 两点，O 为坐标原点，则COA 的面积为A.4B. 2C. D.5. A 【解析】注意到直线l ，圆C 均过原点，通过图形观察可知 COB 为等边三角形，所以2144COB S，故选A . 6.对具有相关关系的两个变量,x y ，收集了n 组数据：1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，根据最小二乘法得到线性回归方程y bx a ，则下列说法一定正确的是 A ．{1,2,3,,}i n ，都有i i y bx a B ．{1,2,3,,}i n ，使得i i y bx a C ．{1,2,3,,}i n ，都有i i y bx a D ．{1,2,3,,}i n ，使得i i y bx a 6.D 【解析】最小二乘法是根据21()niii y bx a 最小来确定,b a ，有可能这n 个点都不在回归直线上，所以A ，B 错误，这n 个点不可能都在回归直线下方，一定存在点在直线上或直线上方，所以选D ．7.设1213214,log ,log 23a b c，则,,a b c 的大小关系是 A .a b c B.a c b C.c a b D. c b a7．B 【解析】首先2311,log 31,log 212a b c ，故b 最大；其次31log 2a c ，即a cb ，故选B .8．如图，长方体1111ABCD A B C D 中，12,3AA AB BC ,点P 在线段11B D 上，BA的方向为正（主）视方向，当AP 最短时，棱锥11P AA B B 的左(侧)视图为8．B 【解析】如图，依题意可知，若AP 最短时，则11AP B D ， 又因为12,3AA AB BC ，所以1B P— 高三文科数学(三模)第3页(共4页) —得111111413B PC Q BD C D ，故选B .9. 如图所示框图，若输入3个不同的实数x ，输出的y 值相同，则此输出结果y 可能是 A.12B. 1C. 4D. 29. A 【解析】该程序框图是求分段函数243,03,0x x x y x x 的函数值，此函数图像如图所示：当13y 时x 有三个值，故选A .10. 若直线kx y 与曲线xx y 122相切，则 k A.1 B. 1 C. 2 D. 310. D 【解析】设切点为)12,(0200x x x ， 由x x y 122 得，214xx y ，所以曲线在该点处的切线方程为))(14()12(0200020x x x x x x y ，又切线过原点， 所以0200201412x x x x ，解得10 x ， 所以3 k .11．已知抛物线2:4C y x ，其焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线C 上第一象限内的点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ,当PFQ 周长为12时，PFQ 的面积为A.B .C .D .11．C 【解析】设00(,)P x y ，则200:4C y x ，根据定义01PF PQ x，QF，依题意02112x ，解得03x ，所以314PQ PF，0y011422PFQ S PQ y，故选C ． 12．如图，一个正四棱锥D C AB P 111 和一个正三棱锥S C B P 222 ，所有棱长都相等，F 为棱11C B— 高三文科数学(三模)第4页(共4页) —的中点，将21,P P 、21,B B 、21,C C 分别对应重合 为C B P ,,，得到组合体.关于该组合体有如下三个结论：①AD SP ；②AD SF ；③//AB SP ，其中错误的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3 12. A 【解析】由于正四棱锥111P AB C D 和一个正三棱锥222P B C S ，所有的棱长都相等，可看作有两个相同的正四棱柱拼凑而成，如图所示：P 点对应正四棱锥的上底面中心1O ，S 点对应另一正四棱锥的上底面中心2O ，由图形可知拼成一个三棱柱，设E 为AD 的中点，由此可知AD SP ，又因为AD 平面PEFS ，所以AD SF ，因为//EF SP ，//EF AB ，所以//AB SP .二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13. 已知向量)2,1(),1,2( b a ，则 |2|b a ．13.5【解析】由已知得，)5,0()4,2()1,2(2 b a ，所以5|2| b a ．14. 若y x ,满足约束条件,074,0432,03y x y x y x 则y x z 2的最小值为 ．14.4【解析】画出可行域如图阴影部分，当直线y x z 2经过点A 时，z 取得最小值. 由 03,0432y x y x 得，)2,1(A . 所以y x z 2的最小值为4.15. 已知函数1)3π2cos()(x x f ，若存在)π,2π( ，使2)()( x f x f 对一切实数x 恒成立，则 ． 15.11π12【解析】依题设，函数)(x f 的图像关于点)1,( 中心对称，由2ππ3π2 k x 得6π52π k x ，Z k ，所以函数1)3π2cos()( x x f 的图像关于点))(1,6π52π(Z k k 对称．— 高三文科数学(三模)第5页(共4页) —又因为)π,2π( ，所以12π11 .16.已知等差数列{}n a 的前n 项和21n S n a ，若存在正整数,m k 使得a a a a k m ,24,成等比数列，则m k a a 的最大值与最小值的和为 .16.334【解析】当2n 时，121 n S S a n n n ，而a a 1也满足此通项公式，故1a ，即2,24,2m k 成等比数列，从而144 mk ，所以max max ()[2()2]288m k a a m k ，当且仅当1,144m k 或144,1m k 时等号成立；min min ()[2()2]46m k a a m k ，当且仅当,m k 都等于12m k 时取最小值，所以m k a a 的最大值与最小值的和为334.三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)如图所示，在直角坐标系xOy 中，扇形O A B 的半径为2，圆心角为3π2，点M 是弧AB 上异于B A ,的点.（Ⅰ）若点)0,1(C ，且2 CM ，求点M 的横坐标；（Ⅱ）求MAB 面积的最大值.17．【解析】（Ⅰ）连接OM ，依题设，在OCM 中，2,2,1OM CM OC ，所以43122)2(12cos 222 COM ， ………………3分所以点M 的横坐标为23432 . ………………6分（Ⅱ）设)3π2,0(, AOM ，则 3π2BOM ，OAB OBM OAM MAB S S S S 232221)]3π2sin([sin 22213)6πsin(32 ， ………………9分因为3π2,0( ，所以6π5,6π(6π ，所以当3π时，MAB 面积最大，且最大值为3. ………………12分— 高三文科数学(三模)第6页(共4页) —18．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是梯形，CD AB //，AD BA ，121CD AD AB ，BDEF 是菱形，DF BD ，平面 BDEF 平面ABCD . （Ⅰ）求证：DF BC ；（Ⅱ）过点B 作一平面 与平面ADE 平行，设,DC MEC N ，求三棱锥D MNB 的体积. 18．【解析】（Ⅰ）证明：如图，取CD 的中点M ， 连接BM ，则CD BM .由已知可得，2,2,2,1,1 CD BD BC CM BM ，所以222CD BD BC ，所以BD CB ， ………………3分 又因为平面 BDEF 平面ABCD ，且平面 BDEF 平面BD ABCD ，所以 CB 平面BDEF ， 又 DF 平面BDEF ，所以DF BC . ………………6分（Ⅱ）如图，因为平面// 平面ADE ，所以//.//AD BM DE MN ，又因为//AB DM ，所以1DM AB ，所以点M 是DC 的中点，又CDE 中，//,MN DE M 是DC 的中点，所以点N 是EC 的中点， ………………8分因此1122D MNB N DMBE DMBF DMB V V V V， 设BD 的中点为O ，因为DF DB BF ，所以FO DB ,又因为平面 BDEF 平面ABCD ，所以FO 平面ABCD ， ………………10分所以11111=22362224D MNB F DMB BDM V V FO S . ………………12分19．（本小题满分12分）某校高三文科（1）班共有学生45人，其中男生15人，女生30人.在一次地理考试后，对成绩作了数据分析（满分100分），成绩为85分以上的同学称为“地理之星”，得到了如下图表：如果从全班45人中任意抽取1人，抽到 “地理之星”的概率为13. （Ⅰ）完成“地理之星”与性别的22 列联表，并回答是否有90%以上的把握认为获得“地— 高三文科数学(三模)第7页(共4页) —理之星”与“性别”有关？（Ⅱ）若已知此次考试中获得“地理之星”的同学的成绩平均值为90，方差为7.2，请你判断这些同学中是否有得到满分的同学，并说明理由.（得分均为整数分）参考公式：22n ad bc K a b c d a c b d ，其中n a b c d .临界值表：19．【解析】（Ⅰ）易知“地理之星”总人数为14515人，得到22 列联表： ………………4分则 224572288 1.8 2.70615301530K ，所以没有90%的把握可以认为获得“地理之星”与“性别”有关. ………………6分 （Ⅱ）没有得满分的同学. 记各个分值由高到低分别为1215,x x x ，则（1）若有两个以上的满分， 则22222315140[(10090)(10090)(90)(90)]7.2153s x x， 不合题意； ………………8分（2）若恰有一个满分，为使方差最小，则其它分值需集中分布于平均数90的附近，且为保证平均值为90，则有10个得分为89，其余4个得分为90，此时方差取得最小值…10分2222min 122[(10090)4(9090)10(8990)]7.2153s，与题意方差为7.2不符，所以这些同学中没有得满分的同学． ………………12分 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左右焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆C 上一点，以1PF 为直径的圆229:(22E x y 过点2F . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 且斜率大于0的直线1l 与圆E 的另一个交点为A ，与直线4x 的交点为B ，过点P 且与1l 垂直的直线2l 与直线4x 交于点D ，求ABD 面积的最小值.— 高三文科数学(三模)第8页(共4页) —20. 【解析】（Ⅰ）在圆E 的方程中，令0y ，得24x ，所以12(2,0),(2,0)F F… 2分又因为21//2OE F P，所以P点坐标为，所以122||||2a PF PF a b ，因此椭圆C 的方程为：22184x y . ……………………5分（Ⅱ）设直线1:(2)(0)l y k x k ，所以点B的坐标为2)k ……6分 将直线1l 的方程代入圆E的方程得到：2222(1)4)440k x k x k ，所以22221A k x k ， ………………………………7分直线2l的方程为：1(2)y x k，所以点D坐标为2(4k，所以2211262(4)|||2|221ABDA B D k S x y y k k k (10)分 6=2k k62k k即k 时取等号， 综上，ABD面积的最小值是12分21. （本小题满分12分）已知函数()ex kxf x(,0)k k R （e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当1k ，0x 时，若2()()0f x f x ax 恒成立，求实数a 的取值范围.21. 【解析】（Ⅰ）因为(1)()e xk x f x， 若0k ，当(,1)x 时，()0f x ，函数()f x 递增；当(1,)x 时，()0f x ，函数()f x 递减； ………………2分若0k ，当(,1)x 时，()0f x ，函数()f x 递减；当(1,)x 时，()0f x ，函数()f x 递增； ………………4分（Ⅱ）当1k ，0x 时，2()()0f x f x ax 等价于2e e 0x x x x ax ， 当0x 时，a R ；— 高三文科数学(三模)第9页(共4页) —当0x 时，得e e x x ax ，设()e e x x g x ax ，则()0g x 恒成立，()e x x g x e a ，若2a ，则()e 20x x g x e a a ，函数()g x 单调递增，()g(0)0g x ，2a 符合题意； ………………8分若2a ，令()e 0x x g x e a ，即2(e )e 10x x a ( )，存在00x x，使得e 12x a ，即0ln 2a x 为方程( )的解，所以当0(0,)x x 时，()0g x ，函数()g x 单调递减，当0(,)x x 时，函数()g x 单调递增；而(0)0g ，所以必存在0(0,)x x ，()0g x ，则与()0g x 恒成立矛盾. 所以2a 不合舍去.综上可知，2a . ………………12分（二）选考题：共10分.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin 21,cos 22y x （ 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:l cos sin 10 . （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点M 的直角坐标为)0,1( ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||||MA MB 的值. 22．【解析】（Ⅰ）由参数方程sin 21,cos 22y x ，得曲线C 的普通方程22(2)(1)4x y .因为直线:l cos sin 10 ， sin ,cos y x ， 所以直线l 的直角坐标方程为013 y x .（Ⅱ）设点,A B 对应的参数分别为1t 、2t ，因为点)0,1( M 在直线l 上，所以直线l 的参数方程可写为ty t x 21,231（t 为参数），将其代入22(2)(1)4x y 得，06)133(2 t t ，所以06,01332121 t t t t ， 所以21,t t 均大于0. 所以133||||21 t t MB MA .— 高三文科数学(三模)第10页(共4页) —23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|2||21|,()|1||32|.f x x a x g x x x （Ⅰ）若()2f x 恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若存在实数12,x x ，使得等式12()()f x g x 成立，求实数a 的取值范围. 23.【解析】（Ⅰ）因为()|2||21||1|f x x a x a ，所以)(x f 的最小值为|1| a . 由已知|1|2a ，解得1a 或 3.a所以实数a 的取值范围是(,3][1,) . ………………………………5分（Ⅱ）()f x 的值域为[|1|,)a ，23,12()41,13223,3x x g x x x x x，故()g x 的值域为5(,]3， ………………………………7分依题意5[|1|,)(,]3a ，从而582|1|.333a a所以实数a 的取值范围是32,38[ . ………………………………10分。
江西师范大学附属中学2019高三上学期期末测试数学(文)试题(解析版)
江西师范大学附属中学2019高三上学期期末测试数学（文）试题一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数在复平面上对应的点的坐标为，则=（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的几何意义即可求得答案.【详解】复数在复平面上对应的点的坐标为,所以z的实部为1，虚部为-1，所以z=1-i，故选A.【点睛】本题考查复数与复平面上点的坐标的对应关系：复数（）的几何意义为z对应于复平面上的点或对应于向量，属于简单题.2.设集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】化简集合A，找出A，B中的所有元素，确定.【详解】由，，又，所以。
因为所以,故选D.【点睛】本题考查集合的化简与运算，考查对这些知识的理解、掌握、运用水平.3.已知向量，满足，，，则=（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】对已知向量等式平方，消去，可得向量的模.【详解】由，，，得，即，，所以，又，所以，所以，故选B.【点睛】本题考查向量数量积的运算及性质，要求掌握：一个向量的平方等于这个向量的模的平方.对一个向量（或向量等式）进行平方是实现向量运算向实数运算的途径之一.4.在平面直角坐标系中，点是单位圆上的点，且，则=（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由点是单位圆上的点可得的正弦与余弦，再利用二倍角的正弦公式计算.【详解】因为点是单位圆上的点，所以，，所以，故选B.【点睛】本题考查三角函数的概念及三角恒等变换公式的运用.求三角函数值,主要有下面几种类型：（1）已知角的大小，求函数值；（2）已知角的终边上一点的坐标，求函数值；（3）已知角的某个函数值，求其他函数值.求三角函数值要充分利用三角变形公式进行计算.5.根据如下的样本数据：得到的回归方程为，则直线经过定点（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求出数据中心点，利用公式求出b,a，确定直线方程ax+by-3=0可得.【详解】由所给数据，，所以，，所以直线ax+by-3=0方程为，过点（1,2）,故选D.【点睛】本题考查线性回归方程的建立，会利用公式进行计算，考查运算的熟练与准确程度.6.在中，，则的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由正弦定理可得：,得,所以，,故选B.7.设是定义在R上的偶函数，则“”是“有且只有一个零点”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】由，举反例说明有且只有一个零点不成立；再由有且只有一个零点，利用反证法及偶函数的性质证明成立. 利用充分条件与必要条件的定义得出判断.【详解】若，取，有三个零点，不能得到有且只有一个零点；若有且只有一个零点，，，由是偶函数，所以，所以有两个零点a,-a，与有且只有一个零点矛盾，所以a=0，成立. 由充分条件与必要条件的定义, 故选B.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，命题成立可以证明，命题不成立只要举出反例.8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由图可知该几何体底面积为8，高为2的四棱锥，如图所示：∴该几何体的体积故选B点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.9.已知为定义在上的奇函数，且当时，，则实数（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由奇函数条件得到，对x赋值，利用所给范围的函数式,建立m的方程.【详解】因为为定义在上的奇函数，所以，令x=0，f(1)=-f(1),即f(1)=0,又当时，，所以，m=0,故选A.【点睛】本题考查函数奇偶性的定义，应用与的关系，通过赋值法建立所求量的方程关系.10.已知对任意实数m，直线和直线分别与圆相交于和，则四边形的面积为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【解析】【分析】利用、的斜率关系判断、互相垂直，求圆心到、的距离，计算弦长AC、BD，利用计算. 【详解】由直线和直线，得，所以，得.又、过圆心C，所以AC=BD=2，所以,故选B.【点睛】本题考查直线被圆截得的弦长公式，利用对角线互相垂直的四边形面积是两对角线长的乘积的一半，属于中档题.11.函数的图象上存在不同的两点关于原点对称，则正数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由函数的图象上存在不同的两点关于原点对称可得方程在x>0有解，利用导数及零点存在定理判断函数何时有解.【详解】设图像上的关于原点的对称点也在图像上，不妨设x>0（若x=0，则P,Q重合），由，所以，，设，，①时，，所以在递增，，方程无解；②时，设有解，不妨设，则，，由，，所以.又时，时，所以时的极小值，又，所以时=0有解.故选A.【点睛】本题考查导数的综合应用，考查利用导数研究函数的单调性、极值、零点，会利用零点存在定理，属于难题.12.若对于任意，且，都有，则实数的最大值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】从条件，都有，构造函数，可得函数在是增函数，利用导数求的单调区间，得a 的不等式关系可得.【详解】设，，因为对于任意，且，都有，，所以，所以在是增函数.，令，,所以在是增函数,所以，故选B.【点睛】本题考查函数的单调性，利用导数求函数的单调区间，将不等式两边化为同一函数的两个函数值，构造新函数是解题关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图，已知为圆的一条直径，均为等边三角形，则往圆内随机投掷一个点，该点落在阴影区域内的概率为____________．【答案】 【解析】 【分析】由条件求阴影部分的面积为两个扇形面积，利用几何概型概率计算公式计算所求事件概率为阴影部分面积除以圆的面积.【详解】因为为圆的一条直径，均为等边三角形，所以弓形AB 、弓形BC 、弓形DE 、弓形EF 全等,，所以阴影部分面积为两扇形BOC 与EOF 面积的和，设圆半径为r,设事件A 为“往圆内随机投掷一个点，点落在阴影区域内”，由几何概型概率计算公式,故答案为.【点睛】本题考查几何概型的概率计算，弄清问题是直线型、平面型、立几型中哪一种，再分别求所有基本事件的测度（长度、面积、体积）及所求事件包含的基本事件的测度，利用概率计算公式求解，属于基础题.14.若变量满足约束条件，则的最大值为____________．【答案】2【解析】【详解】作出约束条件对应的可行域，如图阴影部分，变动直线，当直线过可行域上的点A时z最大，，，所以.故答案为2.【点睛】本题考查线性规划问题，要求准确画出可行域，如何判断目标函数取最值，特别注意目标函数对应直线的斜率与边界直线的斜率的大小关系，属于中档题.15.已知棱长为的正方体的外接球表面积等于内切球体积的6倍，则实数________．【答案】3【解析】【分析】由正方体外接球的直径为正方体的对角线的长，内切球的直径为正方体的棱长求正方体外接球与内接球的半径，利用已知列出关于a的方程进行求解.【详解】设正方体的外接球半径为R，内接球半径为r，则，，，，因为正方体的外接球表面积等于内切球体积的6倍，所以，，解得，故答案为3.【点睛】本题考查空间想象能力，空间几何体的面积与体积计算，常见组合体的关系，属于中档题.16.已知为双曲线右支上一点，直线是双曲线的一条渐近线，在上的射影为，是双曲线的左焦点，若的最小值为，则双曲线的离心率为________．【答案】【解析】【分析】由双曲线定义，=，要使最小只需最小，利用已知最值建立关于a,b,c 的方程可求.【详解】因为P在双曲线的右支上，所以（为双曲线的右焦点），=（当且仅当P在线段上时取等号）,因为的最小值为，所以.不妨设为，由在上的射影为，所以，又，得，，.故答案为【点睛】本题考查圆锥曲线的离心率的计算，利用双曲线的定义将转化为是关键，利用连接两点的直线距离是连接两点的曲线距离中最小的建立a,b,c的方程,隐含条件,e>1不能忽视.三、解答题:本大题共6小题，共70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知是公差的等差数列，，，成等比数列，；数列是公比为正数的等比数列，且，．（1）求数列，的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（Ⅰ）利用等差中项及可知，进而通过，，成等比数列计算可知，由此可求得，进而计算可得结论；（2）通过（1）可知，进而利用错位相减法计算即得结论．【详解】（1）因为≠0的等差数列，,,成等比数列即即又由=26得②由①②解得即，即；又为正数，，（2）由（1）知【点睛】本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．18.如图1，正方形的边长为，、分别是和的中点，是正方形的对角线与的交点，是正方形两对角线的交点，现沿将折起到的位置，使得，连结，，（如图2）．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求点到平面的距离．【答案】（1）见解析（2）【解析】试题分析：（1）首先由中位线定理及已知条件推出平面，然后由线面垂直的性质定理平面，从而可使问题得证；（2）分别把和当做底面求出棱锥的体积，由此列出方程求解即可．试题解析：（1）证明：∵分别是和的中点，∴．又∵，∴，故折起后有，又∵，∴平面，又∵平面，∴，∵平面，∴平面，又∵平面，∴．（2）∵正方形的边长为，∴，∴是等腰三角形，连结，则，∴的面积．设三棱锥的高为，则三棱锥的体积为，由（1）可知是三棱锥的高，∴三棱锥的体积：，∵，即，解得，即三棱锥高为．考点：1、空间直线与直线的位置关系；2、线面垂直的判定定理与性质定理；3、三棱锥的体积．19. 某品牌汽车4S点，对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养调查，汽车4S店记录了该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表：假设该店采用分层抽样的方法从上维修的100辆该品牌三种类型汽车中随机抽取10辆进行问卷回访．（Ⅰ）求A型，B型，C型各车型汽车的数目；（Ⅱ）从抽取的A型和B型汽车中随机再选出2辆汽车进行电话回访，求这2辆汽车来自同一类型的概率；（Ⅲ）维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”“打分的方式表示4S店的满意度，按照大于等于80优秀，小于80合格，得到如下列联表问：能否在犯错误概率不超过0.01前提下认为司机对4S店满意度调查于性别有关？请说明原因．附K2=．【答案】（Ⅰ）A型，B型，C型汽车的数目分别为2，4，4；（Ⅱ）这2辆汽车来自同一类型的概率为；（Ⅲ）这个结论有0.01=1%的机会说错，在犯错误概率不超过0.01前提下认为司机对4S店满意度调查于性别有关．【解析】试题分析：（Ⅰ）确定A型，B型，C型的比例，即可求A型，B型，C 型各车型汽车的数目；（Ⅱ）确定基本事件的个数，即可求这2辆汽车来自同一类型的概率；（Ⅲ）根据条件中所给的观测值，同题目中节选的观测值表进行检验，得到观测值对应的结果，即可得到结论．解：（Ⅰ）A型，B型，C型的比例为1：2：2，∴三种类型汽车中随机抽取10辆进行问卷回访，各车型汽车的数目分别为2，4，4；（Ⅱ）从抽取的A型和B 型汽车中随机再选出2辆汽车进行电话回访，共有C62=15种，这2辆汽车来自同一类型，共有C22+C 42=7种，∴这2辆汽车来自同一类型的概率为；（Ⅲ）K2=≈8.14＞6.635．∴这个结论有0.01=1%的机会说错，即在犯错误概率不超过0.01前提下认为司机对4S店满意度调查于性别有关．考点：独立性检验的应用．20.已知曲线上的任一点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1.（1）求曲线的方程；（2）设直线与曲线交于，两点，若对于任意都有，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.试题分析：（1）由题意设曲线上的任一点为，则，即；（2）联立方程及，得，设，，则，，所以对任意的恒成立，解得.试题解析：（1）设曲线上的任一点为，则，化简得，即曲线的方程为:.（2）将，代入得.当时，，设，，则，.，，.∵对于任意都有，∴对任意的恒成立.则，解得.所以的取值范围是.考点：直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．21.已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．（Ⅰ）求的解析式及单调递减区间；（Ⅱ）若函数无零点，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）单调减区间为和；（Ⅱ）的取值范围为：或．【解析】（1）先求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件，可得，求得的解析式，可得导数，令导数小于0，可得减区间；（2）先求得，要使函数无零点，即要在内无解，亦即要在内无解.构造函数，对其求导，然后对进行分类讨论，运用单调性和函数零点存在性定理，即可得到的取值范围.【详解】(1) ，又由题意有：，故.此时，，由或，所以函数的单调减区间为和.(2) ，且定义域为，要函数无零点，即要在内无解，亦即要在内无解.构造函数.①当时，在内恒成立，所以函数在内单调递减，在内也单调递减. 又，所以在内无零点，在内也无零点，故满足条件；②当时，⑴若，则函数在内单调递减，在内也单调递减，在内单调递增. 又，所以在内无零点；易知，而，故在内有一个零点，所以不满足条件；⑵若，则函数在内单调递减，在内单调递增. 又，所以时，恒成立，故无零点，满足条件；……10分⑶若，则函数在内单调递减，在内单调递增，在内也单调递增. 又，所以在及内均无零点.又易知，而，又易证当时，，所以函数在内有一零点，故不满足条件.综上可得：的取值范围为：或.【点睛】本题主要考查导数的几何意义、应用导数研究函数的零点问题、其中分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上22.已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线的极坐标方程是．（I）求曲线和交点的直角坐标；（II）、两点分别在曲线与上，当最大时，求的面积．【答案】（Ⅰ）和；（II）.【解析】【分析】（I）将曲线的参数方程消去参数得的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标关系将的极坐标方程化为直角坐标方程，把两曲线的直角坐标方程列方程组求交点坐标.（II）利用圆的性质，当A,B在两圆圆心连线上且相距最远时最大。
江西省师大附中2019届高三年级测试(三模)数学(文)试题Word版含答案
江西省师大附中2019届高三年级测试（三模）数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{{},sin 0M x y N x x ===>，则M N =（ ）A ．(]0,3B ．[)3,πC ．[)1,π-D ．[)1,0- 2. 已知复数z 满足()()12z i i i -⋅+=-，则z z ⋅=（ ）A ． 1B ．12C ．2 D3.设,a b 两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若,a b a α⊥⊥，则//b α B ．若//,a ααβ⊥，则//a β C ．若//,//a a αβ，则//αβ D ．若//,,a b a b αβ⊥⊥，则//αβ4.执行如图的程序框图，如果输入的,,a b k 分别为1,2,3，输出的158M =，那么判断框中应填入的条件为（ ）A ． n k <B ．n k ≥C ．1n k <+D ．1n k ≥+5.已知函数()()1ln 11xxxf x e ex--=+-+，若()1f a =，则()f a -=（ ） A ． 1 B ．1- C. 3 D ．3- 6.给出下列命题：①已知,a b R ∈，“1a >且1b >”是“1ab >”的充分条件；②已知平面向量,a b ，“1,1a b >>”是“1a b +>”的必要不充分条件； ③已知,a b R ∈ ，“221a b +≥”是“1a b +≥”的充分不必要条件； ④命题:p “0x R ∃∈，使001x ex ≥+且00ln 1x x ≤-”的否定为:p ⌝“0x R ∀∈，都有使1x e x <+且ln 1x x >-”，其中正确命题的个数是（ ） A ． 0 B ．1 C. 2 D ．3 7.已知3sin 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，5,24ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin α=（ ）A ．10 B ．10- C.10± D．10-或108.已知,x y 满足约束条件1000x x y x y m -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，若1y x +的最大值为2，则m 的值为（ ）A ．4B ．5 C. 8 D ．9 9.设函数()()ln 1,021,0x x x f x x -⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩，若从区间[],e e -上任取一个实数0x ，A 表示事件“()01f x ≤”，则()P A =（ ）A.12 B. 12e C. 12e e - D. 2e e-10. 经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）近似于线性相关关系．对某小组学生每周用于数学的学习时间x 与数学成绩y 进行数据收集如下：由样本中样本数据求得回归直线方程为y bx a =+，则点(),a b 与直线18100x y +=的位置关系是（ ） A ．18100a b +< B ．18100a b +>C. 18100a b += D ．18a b +与100的大小无法确定11.已知椭圆221:11615x y C +=的左焦点为F ，点P 为椭圆上一动点，过点P 向以F 为圆心，1为半径的圆作切线,PM PN ，其中切点为,M N ，则四边形PMFN 面积的最大值为（ ）A. 512.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1x f x x e =+，则对任意的m R ∈，函数()()()F x f f x m =-的零点个数至多有（ ）A. 3个B. 4个C. 6个D. 9个第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知函数()log 22a y x m n =--+恒过定点()3,2，其中0a >且1a ≠，,m n 均为正数，则1112m n++的最小值是 .14.某多面体的三视图，如图所示，则该几何体的外接球的表面积为 .15.已知抛物线28y x =的焦点为F ，过F 的直线交抛物线于,A B 两点，且=2AF FB ，则=AF . 16. ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，2AB =，M 是ABC ∆内的一点，且满足=2AMC π∠，则MB 的最小值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，10,1n a a >=，且满足21122n n n n n n n S a a a S a S ++-=-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和为n T ．18. 某地十万余考生的成绩中，随机地抽取了一批考生的成绩，将其分成6组：第一组[)40,50，第二组[)50,60,，第六组[]90,100，作出频率分布直方图，如图所示：CD（2）现从及格（60分及以上）的学生中，用分层抽样的方法抽取了70名学生（其中女生有34名），已知成绩“优异”（超过90分）的女生有1名，能否有95%的把握认为数学成绩优异与性别有关？19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，0=60BAD ∠，2PA PD AD ===，点M 在线段PC 上，且2PM MC =，N 为AD 中点.（1）求证：AD ⊥面PNB ；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，求三棱锥P NBM -的体积.20.双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦点分别为：()()12F F -，,且双曲线C 经过点(P ．（1）求双曲线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，若点A 在双曲线C 上，点B 在直线x ==0OA OB ⋅，是点的面积.21. 已知函数()ln 1f x ax x =++. （Ⅰ）若1a =-，求函数()f x 的最大值；（Ⅱ）对任意的0x >，不等式()xf x xe ≤恒成立，求实数a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xoy 中，曲线1:C 12cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:l ()sin 2sin ραθα-=．其中α为直线l 的倾斜角（0α≠）（Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l 与x 轴的交点为M ，与曲线1C 的交点分别为,A B ，求MA MB ⋅的值. 23.选修4-5：不等式选讲 已知函数()41f x x x a b=++-，其中,a b 为正实数． （1）若1a b ==，求不等式()6f x ≤的解集；（2）若()f x 问是否存在正实数,a b ，使得不等式48a b +≤能成立？若存在，求出,a b 的值，若不存在，请说明理由．江西省师大附中2019届高三年级测试（三模）数学（文）试题答案一、选择题1-5:ACDCD 6-10:CBBBA 11、12：AB二、填空题13. 200- 14. 1003π15. 61 三、解答题 17.解：（1）21122n n n n n n n S a a a S a S ++-=-，()()120n n n n S a S a +∴+-=，10,0n n n a S a +>∴-=，即1n n S a +=；当1n =时，21a =，当2n ≥时，1n n S a -=1112n n n n n n n a S S a a a a -++∴=-=-∴=，121,1,a a ==不满足上式，所以数列{}n a 是从第二项起的等比数列，其公比为2；所以()()21,12,2n n n a n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩. （2）当1n =时，11T =，当2n ≥时，012122322n n T n -=+⨯+⨯++⨯，12121222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯，1122111212222212n n n n n T n n -----∴=++++-⨯=-- ()1121n n T n -∴=-+18.解：（1）根据题意，计算平均数为(450.01550.02650.03750.025850.01950.005)1067x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；()()()()()2222222(4567)0.011055670.021065670.031075670.025*******.011095670.00510166s =-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯=13s ∴=（2）依题意():67,13X N()()2241930.954P x P x μσμσ-<<+=<<=，()10.954930.0232P x -∴>==； ():50,0.023Y B ，()500.023 1.15E Y =⨯=19.解：取EQ 中点J ，连FJ ，则PQ FJ ⊥.再取GQ 中点R ,连,HR RJ ，则HR GQ ⊥且易得//,HF RJ HF RJ =，于是，四边形RJFH 为平行四边形，得//RH JF ,从而HR PQ ⊥， 那么HR ⊥面PGQ ，又HR ⊂面HGQ ，故面PGQ ⊥面HGQ.（2）以与EF 垂直的直线为x 轴，EF 为y 轴，EM 为z 轴建立坐标系，则,)()())(),0,0,4,0,2,2,,0,2,6QG H PN ,设面GQH 的法向量()()(),,,3,1,4,0,2,2m x y z GQGH ==-=-,由m GQ ⊥，m GH ⊥得：40220y zy z +-=-=⎪⎩，取1y z ==，得x =GQH 的法向量()3,1,1m =同理可得：面GPN 的法向量3,1,1n ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，则()1111cosθ+⨯+⨯-=面GPN与面GQH.20.（1）设直线:AB y kx m=+，代入2212xy+=得：()()222124210k x kmx m+++-=设()()1122,,,A x yB x y，则()2121222214,2121mkmx x x xk k-+=-=++；由()()22221681210m k k m∆=-+->得：2212m k<+因为OA OB⊥,所以()()221212121210OA OB x x y y k x x km x x m⋅=+=++++=化简得：()22213km+=，于是原点O到AB的距离d==特别地，当AB x⊥轴时，1x=2223x y+=与直线AB恒相切.（2）设()33,C x y，则()()3123122242,2121km mx x x y y yk k-=-+==-+=++代入2212xy+=得22124km+=，12,AB x d-于是1122OABS AB d∆=⋅====所以3ABC OABS S∆∆==21.解：（1）()()1ln1,xf x x x f xx-'=-++∴=()f x∴在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，()f x∴的最大值为()10f=（2）不等式ln1xax x xe++≤恒成立，等价于ln1xxe xax--≤在()0,+∞恒成立，令()ln 1,0x xe x g x x x --=>()22ln x x e xg x x+'∴= 令()()()221ln ,0,20x x h x x e x x h x x x e x'=+>=++> 所以()h x 在()0,+∞单调递增，1412ln 20416eh ⎛⎫∴=-< ⎪⎝⎭，()10h >，所以()h x 存在唯一零点0x ，且0x ∈1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭，0200ln 0x x e x += 所以()g x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增.()()0000minln 1x x e x g x g x x --∴==. 0200ln 0x x e x +=，即100ln 000000ln 111ln ln x ex x x e x x x x -===构造函数()xx xe ϕ=，易证()x ϕ在()0,+∞单调递增，所以001ln x x =，则001x e x =，将这两个式子代入()0000000ln 1111x x e x x g x x x --+-===，所以1a ≤.解法2：不等式ln 1xax x xe ++≤恒成立，等价于ln 1x xe x a x--≤在()0,+∞恒成立.先证明当0t >时，ln 1t t ≥+则当0x >时，()ln 1ln 1x x xe xe x x ≥+=++，即ln 1x xe x x --≥ln 11x xe x x--≥（当且仅当1xxe =时取等号），所以1a ≤.22.解：（1）曲线1C 的普通方程为()2214x y -+=，直线l 的直角坐标方程为sin cos 2sin x y ααα-=；（2）直线l 与x 轴的交点为()2,0M ，直线l 的参数方程可设为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数），将直线l 的参数方程代入圆1C 的方程()2214x y -+=，得22cos 30t t α+-=，123MA MB t t ∴⋅=⋅=；解法2：相交弦定理22.解：（1）不等式()6f x ≤等价于()()4416x x x ≤-⎧⎪⎨-+--≤⎪⎩或()()41416x x x -<≤⎧⎪⎨+--≤⎪⎩或()()1416x x x >⎧⎪⎨++-≤⎪⎩ 解得：9322x -≤≤，所以不等式()6f x ≤的解集是93,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）在正实数4,1a b ==()414141f x x x x xa b a b a b ⎛⎫=++-≥+--=+= ⎪⎝⎭448ab a b ∴≥∴+≥上式等号成立的等价条件为当且仅当44a b ==，即4,1a b ==， 所以存在4,1a b ==，使得不等式48a b +≥成立.。
江西省南昌市2019届高三三模文科数学理科数学试题及详细解析汇编
— 高三文科数学(三模)第1页(共4页) —NCS20190607项目第三次模拟测试卷文科数学本试卷分必做题和选做题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水笔写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将答题卡收回．一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合0|2 x x x A ， 2|21x B x ，则()A B RA.[1,2)B.(0,1)C.(1,2)D.[0,1] 1．D 【解析】由20x x 得0x 或1x ，所以[0,1]A R ，由2e1x 得2 x ， 所以)2,( B ， 所以()[0,1]A B R .2. 已知复数(i)(32i)z a (R)a 的实部为1 ，则其虚部为 A.73B.7i 3C.5D.5i 2.C 【解析】(i)(32i)(32)(23)i z a a a ，所以123 a ，解得1 a ， 所以复数z 的虚部为53)1(2 ．3.已知等差数列 n a 的前9项和为45，13 a ，则7aA. 11B. 10C. 9D. 8 3. A 【解析】设 n a 的前9项和为9S ，则45959 a S ，所以55 a ，所以11)1(102357 a a a ．4. 若tan()26，则2tan(23等于 A．2 B ．43C．2 D ．43— 高三文科数学(三模)第2页(共4页) —D111Q PD 1C 1B 1A 14.B 【解析】22tan()246tan(2)tan(2)3331tan (6． 5．已知直线:0l x 与圆22:(1)1C x y相交于,O A 两点，O 为坐标原点，则COA 的面积为A.4B. 2C. D.5. A 【解析】注意到直线l ，圆C 均过原点，通过图形观察可知 COB 为等边三角形，所以2144COB S，故选A . 6.对具有相关关系的两个变量,x y ，收集了n 组数据：1122(,),(,),,(,)n n x y x y x y ，根据最小二乘法得到线性回归方程y bx a ，则下列说法一定正确的是 A ．{1,2,3,,}i n ，都有i i y bx a B ．{1,2,3,,}i n ，使得i i y bx a C ．{1,2,3,,}i n ，都有i i y bx a D ．{1,2,3,,}i n ，使得i i y bx a 6.D 【解析】最小二乘法是根据21()niii y bx a 最小来确定,b a ，有可能这n 个点都不在回归直线上，所以A ，B 错误，这n 个点不可能都在回归直线下方，一定存在点在直线上或直线上方，所以选D ．7.设1213214,log ,log 23a b c，则,,a b c 的大小关系是 A .a b c B.a c b C.c a b D. c b a7．B 【解析】首先2311,log 31,log 212a b c ，故b 最大；其次31log 2a c ，即a cb ，故选B .8．如图，长方体1111ABCD A B C D 中，12,3AA AB BC ,点P 在线段11B D 上，BA的方向为正（主）视方向，当AP 最短时，棱锥11P AA B B 的左(侧)视图为8．B 【解析】如图，依题意可知，若AP 最短时，则11AP B D ， 又因为12,3AA AB BC ，所以1B P— 高三文科数学(三模)第3页(共4页) —得111111413B PC Q BD C D ，故选B .9. 如图所示框图，若输入3个不同的实数x ，输出的y 值相同，则此输出结果y 可能是 A.12B. 1C. 4D. 29. A 【解析】该程序框图是求分段函数243,03,0x x x y x x 的函数值，此函数图像如图所示：当13y 时x 有三个值，故选A .10. 若直线kx y 与曲线xx y 122相切，则 k A.1 B. 1 C. 2 D. 310. D 【解析】设切点为)12,(0200x x x ， 由x x y 122 得，214xx y ，所以曲线在该点处的切线方程为))(14()12(0200020x x x x x x y ，又切线过原点， 所以0200201412x x x x ，解得10 x ， 所以3 k .11．已知抛物线2:4C y x ，其焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线C 上第一象限内的点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ,当PFQ 周长为12时，PFQ 的面积为A.B .C .D .11．C 【解析】设00(,)P x y ，则200:4C y x ，根据定义01PF PQ x，QF，依题意02112x ，解得03x ，所以314PQ PF，0y011422PFQ S PQ y，故选C ． 12．如图，一个正四棱锥D C AB P 111 和一个正三棱锥S C B P 222 ，所有棱长都相等，F 为棱11C B— 高三文科数学(三模)第4页(共4页) —的中点，将21,P P 、21,B B 、21,C C 分别对应重合 为C B P ,,，得到组合体.关于该组合体有如下三个结论：①AD SP ；②AD SF ；③//AB SP ，其中错误的个数是A. 0B. 1C. 2D. 3 12. A 【解析】由于正四棱锥111P AB C D 和一个正三棱锥222P B C S ，所有的棱长都相等，可看作有两个相同的正四棱柱拼凑而成，如图所示：P 点对应正四棱锥的上底面中心1O ，S 点对应另一正四棱锥的上底面中心2O ，由图形可知拼成一个三棱柱，设E 为AD 的中点，由此可知AD SP ，又因为AD 平面PEFS ，所以AD SF ，因为//EF SP ，//EF AB ，所以//AB SP .二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13. 已知向量)2,1(),1,2( b a ，则 |2|b a ．13.5【解析】由已知得，)5,0()4,2()1,2(2 b a ，所以5|2| b a ．14. 若y x ,满足约束条件,074,0432,03y x y x y x 则y x z 2的最小值为 ．14.4【解析】画出可行域如图阴影部分，当直线y x z 2经过点A 时，z 取得最小值. 由 03,0432y x y x 得，)2,1(A . 所以y x z 2的最小值为4.15. 已知函数1)3π2cos()(x x f ，若存在)π,2π( ，使2)()( x f x f 对一切实数x 恒成立，则 ． 15.11π12【解析】依题设，函数)(x f 的图像关于点)1,( 中心对称，由2ππ3π2 k x 得6π52π k x ，Z k ，所以函数1)3π2cos()( x x f 的图像关于点))(1,6π52π(Z k k 对称．— 高三文科数学(三模)第5页(共4页) —又因为)π,2π( ，所以12π11 .16.已知等差数列{}n a 的前n 项和21n S n a ，若存在正整数,m k 使得a a a a k m ,24,成等比数列，则m k a a 的最大值与最小值的和为 .16.334【解析】当2n 时，121 n S S a n n n ，而a a 1也满足此通项公式，故1a ，即2,24,2m k 成等比数列，从而144 mk ，所以max max ()[2()2]288m k a a m k ，当且仅当1,144m k 或144,1m k 时等号成立；min min ()[2()2]46m k a a m k ，当且仅当,m k 都等于12m k 时取最小值，所以m k a a 的最大值与最小值的和为334.三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．(本小题满分12分)如图所示，在直角坐标系xOy 中，扇形O A B 的半径为2，圆心角为3π2，点M 是弧AB 上异于B A ,的点.（Ⅰ）若点)0,1(C ，且2 CM ，求点M 的横坐标；（Ⅱ）求MAB 面积的最大值.17．【解析】（Ⅰ）连接OM ，依题设，在OCM 中，2,2,1OM CM OC ，所以43122)2(12cos 222 COM ， ………………3分所以点M 的横坐标为23432 . ………………6分（Ⅱ）设)3π2,0(, AOM ，则 3π2BOM ，OAB OBM OAM MAB S S S S 232221)]3π2sin([sin 22213)6πsin(32 ， ………………9分因为3π2,0( ，所以6π5,6π(6π ，所以当3π时，MAB 面积最大，且最大值为3. ………………12分— 高三文科数学(三模)第6页(共4页) —18．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是梯形，CD AB //，AD BA ，121CD AD AB ，BDEF 是菱形，DF BD ，平面 BDEF 平面ABCD . （Ⅰ）求证：DF BC ；（Ⅱ）过点B 作一平面 与平面ADE 平行，设,DC MEC N ，求三棱锥D MNB 的体积. 18．【解析】（Ⅰ）证明：如图，取CD 的中点M ， 连接BM ，则CD BM .由已知可得，2,2,2,1,1 CD BD BC CM BM ，所以222CD BD BC ，所以BD CB ， ………………3分 又因为平面 BDEF 平面ABCD ，且平面 BDEF 平面BD ABCD ，所以 CB 平面BDEF ， 又 DF 平面BDEF ，所以DF BC . ………………6分（Ⅱ）如图，因为平面// 平面ADE ，所以//.//AD BM DE MN ，又因为//AB DM ，所以1DM AB ，所以点M 是DC 的中点，又CDE 中，//,MN DE M 是DC 的中点，所以点N 是EC 的中点， ………………8分因此1122D MNB N DMBE DMBF DMB V V V V， 设BD 的中点为O ，因为DF DB BF ，所以FO DB ,又因为平面 BDEF 平面ABCD ，所以FO 平面ABCD ， ………………10分所以11111=22362224D MNB F DMB BDM V V FO S . ………………12分19．（本小题满分12分）某校高三文科（1）班共有学生45人，其中男生15人，女生30人.在一次地理考试后，对成绩作了数据分析（满分100分），成绩为85分以上的同学称为“地理之星”，得到了如下图表：如果从全班45人中任意抽取1人，抽到 “地理之星”的概率为13. （Ⅰ）完成“地理之星”与性别的22 列联表，并回答是否有90%以上的把握认为获得“地— 高三文科数学(三模)第7页(共4页) —理之星”与“性别”有关？（Ⅱ）若已知此次考试中获得“地理之星”的同学的成绩平均值为90，方差为7.2，请你判断这些同学中是否有得到满分的同学，并说明理由.（得分均为整数分）参考公式：22n ad bc K a b c d a c b d ，其中n a b c d .临界值表：19．【解析】（Ⅰ）易知“地理之星”总人数为14515人，得到22 列联表： ………………4分则 224572288 1.8 2.70615301530K ，所以没有90%的把握可以认为获得“地理之星”与“性别”有关. ………………6分 （Ⅱ）没有得满分的同学. 记各个分值由高到低分别为1215,x x x ，则（1）若有两个以上的满分， 则22222315140[(10090)(10090)(90)(90)]7.2153s x x， 不合题意； ………………8分（2）若恰有一个满分，为使方差最小，则其它分值需集中分布于平均数90的附近，且为保证平均值为90，则有10个得分为89，其余4个得分为90，此时方差取得最小值…10分2222min 122[(10090)4(9090)10(8990)]7.2153s，与题意方差为7.2不符，所以这些同学中没有得满分的同学． ………………12分 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左右焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆C 上一点，以1PF 为直径的圆229:(22E x y 过点2F . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 且斜率大于0的直线1l 与圆E 的另一个交点为A ，与直线4x 的交点为B ，过点P 且与1l 垂直的直线2l 与直线4x 交于点D ，求ABD 面积的最小值.— 高三文科数学(三模)第8页(共4页) —20. 【解析】（Ⅰ）在圆E 的方程中，令0y ，得24x ，所以12(2,0),(2,0)F F… 2分又因为21//2OE F P，所以P点坐标为，所以122||||2a PF PF a b ，因此椭圆C 的方程为：22184x y . ……………………5分（Ⅱ）设直线1:(2)(0)l y k x k ，所以点B的坐标为2)k ……6分 将直线1l 的方程代入圆E的方程得到：2222(1)4)440k x k x k ，所以22221A k x k ， ………………………………7分直线2l的方程为：1(2)y x k，所以点D坐标为2(4k，所以2211262(4)|||2|221ABDA B D k S x y y k k k (10)分 6=2k k62k k即k 时取等号， 综上，ABD面积的最小值是12分21. （本小题满分12分）已知函数()ex kxf x(,0)k k R （e 为自然对数的底数）. （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当1k ，0x 时，若2()()0f x f x ax 恒成立，求实数a 的取值范围.21. 【解析】（Ⅰ）因为(1)()e xk x f x， 若0k ，当(,1)x 时，()0f x ，函数()f x 递增；当(1,)x 时，()0f x ，函数()f x 递减； ………………2分若0k ，当(,1)x 时，()0f x ，函数()f x 递减；当(1,)x 时，()0f x ，函数()f x 递增； ………………4分（Ⅱ）当1k ，0x 时，2()()0f x f x ax 等价于2e e 0x x x x ax ， 当0x 时，a R ；— 高三文科数学(三模)第9页(共4页) —当0x 时，得e e x x ax ，设()e e x x g x ax ，则()0g x 恒成立，()e x x g x e a ，若2a ，则()e 20x x g x e a a ，函数()g x 单调递增，()g(0)0g x ，2a 符合题意； ………………8分若2a ，令()e 0x x g x e a ，即2(e )e 10x x a ( )，存在00x x，使得e 12x a ，即0ln 2a x 为方程( )的解，所以当0(0,)x x 时，()0g x ，函数()g x 单调递减，当0(,)x x 时，函数()g x 单调递增；而(0)0g ，所以必存在0(0,)x x ，()0g x ，则与()0g x 恒成立矛盾. 所以2a 不合舍去.综上可知，2a . ………………12分（二）选考题：共10分.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin 21,cos 22y x （ 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:l cos sin 10 . （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点M 的直角坐标为)0,1( ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||||MA MB 的值. 22．【解析】（Ⅰ）由参数方程sin 21,cos 22y x ，得曲线C 的普通方程22(2)(1)4x y .因为直线:l cos sin 10 ， sin ,cos y x ， 所以直线l 的直角坐标方程为013 y x .（Ⅱ）设点,A B 对应的参数分别为1t 、2t ，因为点)0,1( M 在直线l 上，所以直线l 的参数方程可写为ty t x 21,231（t 为参数），将其代入22(2)(1)4x y 得，06)133(2 t t ，所以06,01332121 t t t t ， 所以21,t t 均大于0. 所以133||||21 t t MB MA .— 高三文科数学(三模)第10页(共4页) —23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|2||21|,()|1||32|.f x x a x g x x x （Ⅰ）若()2f x 恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若存在实数12,x x ，使得等式12()()f x g x 成立，求实数a 的取值范围. 23.【解析】（Ⅰ）因为()|2||21||1|f x x a x a ，所以)(x f 的最小值为|1| a . 由已知|1|2a ，解得1a 或 3.a所以实数a 的取值范围是(,3][1,) . ………………………………5分（Ⅱ）()f x 的值域为[|1|,)a ，23,12()41,13223,3x x g x x x x x，故()g x 的值域为5(,]3， ………………………………7分依题意5[|1|,)(,]3a ，从而582|1|.333a a所以实数a 的取值范围是32,38[ . ………………………………10分— 高三理科数学(三模)第1页(共4页) —NCS20190607项目第三次模拟测试卷理科数学本试卷分必做题和选做题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必将自已的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米的黑色墨水笔写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将答题卡收回．一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合0|2 x x x A ， 2|21x B x ，则()A B RA.[1,2)B.(0,1)C.(1,2)D.[0,1] 1．D 【解析】由20x x 得0x 或1x ，所以[0,1]A R ，由2e1x 得2 x ， 所以)2,( B ， 所以()[0,1]A B R .2. 已知复数(i)(32i)z a (R)a 的实部为1 ，则其虚部为 A.73B.7i 3C.5D.5i 2.C 【解析】(i)(32i)(32)(23)i z a a a ，所以123 a ，解得1 a ， 所以复数z 的虚部为53)1(2 ．3.已知等差数列 n a 的前9项和为45，13 a ，则7aA. 11B. 10C. 9D. 8 3. A 【解析】设 n a 的前9项和为9S ，则45959 a S ，所以55 a ，所以11)1(102357 a a a ．4. 已知函数()sin f x x x ，则不等式(2)(12)0f x f x 的解集是A. 1(,)3B. 1(,)3C. (3,)D. (,3)4．D 【解析】函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且导函数是'()cos 10f x x ，所以()sin f x x x 是减函数，不等式(2)(12)0f x f x (2)(21)f x f x ， 即2213x x x ，故答案选D ．— 高三理科数学(三模)第2页(共4页) —D111Q PD 1C 1B 1A 15. 若tan()26，则2tan(23等于 A ．2 B ．43C ．2D ．435. B 【解析】22tan()246tan(2)tan(2)3331tan (6． 6．已知非零向量(1,1),(0,4)a x b x ，则“向量,a b的夹角为锐角”是“(2,4)x ”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．B 【解析】因为,a b 不可能共线，向量,a b的夹角为锐角，得0(1)(4)0x x ，14x ， 因为)4,1()4,2( ，所以选B ． 7.设1213214,log ,log 23a b c ，则,,a b c 的大小关系是 A .a b c B.a c b C.c a b D. c b a7．B 【解析】首先2311,log 31,log 212a b c ，故b 最大；其次31log 2a c ，即a cb ，故选B .8．如图，长方体1111ABCD A B C D 中，12,3AA AB BC ,点P 在线段11B D 上，BA的方向为正（主）视方向，当AP 最短时，棱锥11P AA B B 的左(侧)视图为8．B 【解析】如图，依题意可知，若AP 最短时，则11AP B D ， 又因为12,3AA AB BC ，所以1B P得111111413B PC Q BD C D ，故选B .9. 如图所示框图，若输入3个不同的实数x ，输出的y 值相同， 则此输出结果y 可能是A.12B. 1C. 4D. 2— 高三理科数学(三模)第3页(共4页) —9. A 【解析】该程序框图是求分段函数243,03,0x x x y x x 的函数值，此函数图像如图所示：当13y 时x 有三个值，故选A .10．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为a ，b ，c . 例如，图中上档的数字和9a . 若a ，b ，c 成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.A . 12B . 24C . 16D . 3210．D 【解析】首先，,,{7,8,9,10,11,12,13,14}a b c ， 其次，a c 为偶数，且当,a c 确定时b 也随之确定，故有两种情况：当,a c 均为偶数时，有114416C C 不同的取法；当,a c 均为奇数时，也有114416C C 不同的取法.故不同的分珠计数法有32种.11．设直线30(0)x y m m 与双曲线22221(0,0)x y a b a b的两条渐近线分别交于点,A B ，若点(,0)P m 满足||||PA PB ，则该双曲线的离心率是A.2 B. 2 C.2 D.3 11．A 【解析】设1122(,),(,)A x y B x y ，并设线段AB 中点00(,)x y ，故0030x y m ，且AB 垂直平分线方程003()y x x y 过点P ，所以0013m x y，故00003344y x y x .— 高三理科数学(三模)第4页(共4页) —又1122b y x a b y xa ，两式相加可得121212()3()b b y y x x y y a a ，即01223()b y y y a ，两式相减可得12120()2b b y y x x x a a ，故2000203232y b bb y x a a x a ，所以222222233151444b b b e a a a，即2e ．12．已知数列{}n a ：2223333333441123123456712,,,,,,,,,,,,,2222222222222 （其中第一项是112，接下来的221 项是222123222，，，再接下来的321 项是33333331234567,,,,,,2222222，依此类推.）的前n 项和为n S ，下列判断： ①1010212是{}n a 的第2036项； ②存在常数M ，使得n S M 恒成立；③20361018S ；④满足不等式1019n S 的正整数n 的最小值是2100.其中正确的序号是A ．① ② ③ B. ① ② ④ C. ① ③ ④ D. ② ③ ④12．C 【解析】将分母相同的项放入一组，分母为2k组记为第k 组，第k 组有21k项，1010212是第10组的最后一项，所以其项数是121011(21)(21)(21)22102036 ,因此①正确；第k 组所有项的和为1221)12222k k k k kb （， 所以前k 组所有项的和为212k k kT ，单调递增，且不存在上界，所以②错误；10102151018T ，即20361018S ，所以③正确；设满足不等式1019n S 的最小正整数为N ，N a 在第11组，设N a 是第11组的第m个数，则12111+2+3+1(1)22m m m ,所以6264m ， 所以121061121212122210642100N ，即④正确.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分. 13．26(2)x x x 的展开式中，10x 的系数是 ．13．160 【解析】2676(2)(2)x x x x x ，故26(2)x x x 的展开式中，10x 的系数为6(2)x 展开式中3x 的系数336(2)160.C— 高三理科数学(三模)第5页(共4页) —14. 若y x ,满足约束条件,074,0432,03y x y x y x 则y x z 2的最小值为 ．14.4【解析】画出可行域如图阴影部分， 当直线y x z 2经过点A 时，z 取得最小值. 由03,0432y x y x 得，)2,1(A .所以y x z 2的最小值为4.15. 如图，ABCD 边长为4的正方形，PAD 是一个正三角形，PAD 绕边AD 转动，得到四棱锥P ABCD . 当这个四棱锥体积最大时，它的外接球的表面积为________. 15.3π112【解析】当平面PAD 平面ABCD 时，体积最大，分别过PAD ，正方形ABCD 的中心作这两个面的垂线，它们的交点为外接球的球心，所以外接球的半径R ， 所以表面积S 112π3． 16. 已知函数()f x x ，2()g x ax x ，其中0a .若12[1,2],[1,2]x x ，使得1()f x 2()f x 1()g x 2()g x 成立，则a .16.32【解析】条件即为12[1,2],[1,2]x x ，使得1212()()()()f xg x g x f x 成立. 设()1()(12)()1f xh x x g x ax，()()1(12)()g x x ax x f x ，则()g x 的值域为()x 值域的子集.因为1[1,21]ax a a ，由题意111[,]1211ax a a ，故12111121a a a a，有(21)(1)1a a ，解得3.2a三．解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．— 高三理科数学(三模)第6页(共4页) —17．(本小题满分12分)如图所示，在直角坐标系xOy 中，扇形OAB 的半径为2，圆心角为3π2，点M 是弧AB 上异于B A ,的点.（Ⅰ）若点)0,1(C ，且2 CM ，求点M 的横坐标；（Ⅱ）求MAB 面积的最大值.17．【解析】（Ⅰ）连接OM ，依题设，在OCM 中，2,2,1OM CM OC ，所以43122)2(12cos 222 COM ， 所以点M 的横坐标为23432 .（Ⅱ）设)3π2,0(, AOM ，则 3π2BOM ，OAB OBM OAM MAB S S S S 232221)]3π2sin([sin 22213)6πsin(32 ，因为3π2,0( ，所以6π5,6π(6π ，所以当3π时，MAB 面积最大，且最大值为3.18．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD 是梯形，CD AB //，AD BA ，121CD AD AB ，BDEF 是菱形，DF BD ，平面 BDEF 平面ABCD . （Ⅰ）求证：DF BC ；（Ⅱ）求平面BCF 与平面CDE 所成角的余弦值.18．【解析】（Ⅰ）证明：如图，取CD 的中点H ，连接BH ，则CD BH . 由已知可得，2,2,2,1,1CD BD BC CH BH ，所以222CD BD BC ，所以BD CB ，— 高三理科数学(三模)第7页(共4页) —又因为平面 BDEF 平面ABCD ，且平面 BDEF 平面BD ABCD ，所以 CB 平面BDEF ， 又 DF 平面BDEF ，所以DF BC .（Ⅱ）如图，取BD 的中点O ，因为BF DF BD ，所以BD FO ，又因为平面 BDEF 平面ABCD ，且平面 BDEF 平面BD ABCD ， 所以 FO 平面ABCD .以O 为原点，OF 为z 轴建立空间直角坐标系，其中AD Oy AB Ox //,//.则)26,0,0(),0,21,21(),0,21,23(),0,21,21(F D C B， 所以)0,0,2(),26,21,21(),0,1,1( CD BF BC ，因为BF DE //，且BF DE ，所以26,21,21( DE .设),,(1111z y x n 为平面BCF 的法向量，则0,011BF n BC n ，即 0262121,011111z y x y x ， 取11 x ，则)36,1,1(1 n . 设),,(2222z y x n 为平面CDE 的法向量，则,022DE n CD n ，即0262121,022222z y x x ，取12 y ，则)61,1,0(2n . 所以7726738311||||,cos 212121n n n n n n ， 所以平面BCF 与平面CDE 所成角的余弦值为772.19．(本小题满分12分)某企业产品正常生产时，产品尺寸服从正态分布 80,0.25N ，从当前生产线上随机抽取200— 高三理科数学(三模)第8页(共4页) —小概率事件发生视为生产线出现异常，产品尺寸在(3,3) 以内为正品，以外为次品.()0.6826,(22)0.9544,(33)0.9974P P X X X P（Ⅰ）判断生产线是否工作正常，并说明理由；（Ⅱ）用频率表示概率，若再随机从生产线上取3件产品复检，正品检测费10元/件，次品检测费15元/件，记这3件产品检测费为随机变量X ，求X 的数学期望及方差.19．【解析】（Ⅰ）依题意，有80,0.5 ，所以正常产品尺寸范围为78.5,81.5（）； 200(10.9974)0.52 件,超出正常范围以外的零件件数为10件，故生产线不正常.（Ⅱ）依题意尺寸在[78.5,81.5]以外的就是次品，故次品率为10120020. 记这三件产品中次品数为Y ,则Y 服从二项分布1(3,)20B ， 10(3)15530X Y Y Y ，则13119573,320202020400EY DY, 所以X 的数学期望是1235304EX EY（元）， 方差是2575752540016DX DY . 20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b的左右焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆C 上一点，以1PF 为直径的圆229:(22E x y 过点2F . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 且斜率大于0的直线1l 与C 的另一个交点为A ，与直线4x 的交点为B ，过点M 且与1l 垂直的直线2l 与直线4x 交于点D ，求ABD 面积的最小值.20．【解析】（Ⅰ）在圆E 的方程中，令0y ，得到：24x ，所以12(2,0),(2,0)F F ， ………………………………………………………2分又因为21//2OE F P，所以P 点坐标为，— 高三理科数学(三模)第9页(共4页) —所以122||||2a PF PF a b ，因此椭圆C 的方程为22184x y . ………………………………5分（Ⅱ）设直线1:(2)(0)l y k x k ，所以点B的坐标为2)k ，设(,)A A A x y ，(,)D D D x y ,将直线1l代入椭圆方程得：2222(12)8)840k x k x k ，所以222284421212P A A k k x x x k k， ……………………………7分 直线2l的方程为：1(3)y x k ，所以点D坐标为1(4)k，所以2211461(4)|||2|2221ABD A B D k S x y y k k k (10)分 3=2k k32k k即2k 时取等号，综上，ABD面积的最小值是. ………………………………12分21．(本小题满分12分)已知函数1()(1(R,f x x a a xa 为常数）. （Ⅰ）求函数(),[1,e]y f x x 的最大值、最小值；（Ⅱ）若函数|()|()(e exf xg x为自然对数的底）在区间[1,e]上单调递减，求实数a 的取值范围. 21．【解析】（Ⅰ）22111ln 1()ln (1)x x f x x x x x x , [1,e]x令()ln 1x x x , [1,e]x ，则1()10x x，()x 在[1,e]上单调递增，所以()(1)0x ，()0f x ，则()f x 在[1,e]上单调递增， 所以()f x 的最大值为1(e)1ef a()f x 的最小值为(1)f a ； （Ⅱ）（i ）当0a 时，()0f x ，1(1)ln ()exx ax g x ， 22222111ln (1)ln (1)ln 1()e e x xx x x ax x x ax x x x x g x x ，依题意：[1,e]x 时，()0g x 恒成立，— 高三理科数学(三模)第10页(共4页) —令22()(1)ln 1u x x x x ax x ，[1,e]x ，1'()(12)ln (21)0u x x x a x x. 即()u x 在[1,e]上单调递减，max ()(1)20u x u a ，2a ;（ii ）当110e a 即1e a e 时，()0f x ，1(1)ln ()exx ax g x ， 由（i ）可知2()()e x u x g x x ，又()g x 在[1,e]上单调递减，因为11e a ，所以2221()(1)ln (1)1(1)(1ln )0eu x x x x x x x x x 成立，所以22()(1)ln 10u x x x x ax x 对[1,e]x 恒成立，所以()g x 在[1,e]上单调递减； （iii ）当(1)0,(e)>0f f 即10e a e时，则存在0(1,e)x 使得0()0f x ，从而 000|()|()0e x f x g x ,而e|(e)|(e)=0ef g ，所以()g x 在区间[1,e]上不单调递减. 综上所述：1(,][2,)e a e.（二）选考题：共10分.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin 21,cos 22y x （ 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线:l cos sin 10 . （Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点M 的直角坐标为)0,1( ，直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||||MA MB 的值.22．【解析】（Ⅰ）由参数方程sin 21,cos 22y x ，得曲线C 的普通方程22(2)(1)4x y .— 高三理科数学(三模)第11页(共4页) — 因为直线:l cos sin 10 ， sin ,cos y x ，所以直线l 的直角坐标方程为013 y x .（Ⅱ）设点,A B 对应的参数分别为1t 、2t ，因为点)0,1( M 在直线l 上，所以直线l 的参数方程可写为t y t x 21,231（t 为参数），将其代入22(2)(1)4x y 得，06)133(2 t t ， 所以06,01332121 t t t t ， 所以21,t t 均大于0. 所以133||||21 t t MB MA .23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知()|2||21|,()|1||32|.f x x a x g x x x（Ⅰ）若()2f x 恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若存在实数12,x x ，使得等式12()()f x g x 成立，求实数a 的取值范围.23.【解析】（Ⅰ）因为()|2||21||1|f x x a x a ，所以)(x f 的最小值为|1| a . 由已知|1|2a ，解得1a 或 3.a所以实数a 的取值范围是(,3][1,) . ………………………………5分（Ⅱ）()f x 的值域为[|1|,)a ，23,12()41,13223,3x x g x x x x x， 故()g x 的值域为5(,]3， ………………………………7分 依题意5[|1|,)(,]3a ，从而582|1|.333a a 所以实数a 的取值范围是32,38[ . ………………………………10分。
2019届江西师大附中高三第三次考前模拟密卷数学(文)试题
2019届江西师大附中高三第三次考前模拟密卷数学（文）试题本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z 在复平面上对应的点的坐标为(1,1)-，则z =（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1i --D ．1i -+2．设集合2{|20}A x Z x x =∈--≤，集合{2,0,1}B =-，则A B =（ ）A ．{2,0,1}-B ． {1,0,1}-C ．{2,1,01}--，D ． {2,1,01,2}--，3．已知向量a ，b 满足||1a =，||7a b +=，||3a b -=，则||b =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．在平面直角坐标系xOy 中，点1(2P 是单位圆O 上的点，且xOP α∠=，则sin2α=（ ） A ．12BC ．12-D．-5．根据如下的样本数据：得到的回归方程为ˆybx a =+，则直线30ax by +-=经过定点（ ） A ．(1,2)--B ．(1,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)6．在ABC ∆中，3A π=，a =4b =，则ABC ∆的面积等于（ ）A ．2B．C ．4D．7．设()f x 是定义在R 上的偶函数，则“(0)0f =”是“()f x 有且只有一个零点”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．83B ．163 C ．203D ．8 9．已知(1)f x +为定义在R 上的奇函数，且当1x ≥时，()ln f x x m =+，则实数m =（ ） A ．0B ．1-C ．1D ．e10．已知对任意实数m ，直线1:3232l x y m +=+和直线2:2323l x y m -=-分别与圆22:(1)()1C x y m -+-=相交于,A C 和,B D ，则四边形ABCD 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 11．函数,0()sin ,0ax x f x x x >⎧=⎨≤⎩的图象上存在不同的两点关于原点对称，则正数a 的取值范围为（ ）A ．(0,1)B ．(0,1]C ．(0,2)D ．(0,2] 12．若对于任意12,(,)x x a ∈+∞，且12x x <，都有12212212x x x x x e x e ++<，则实数a 的最大值为（ ） A ．1- B ．1 C ．2-D ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．如图，已知BE 为圆O 的一条直径，,,,ABO CBO FEO DEO ∆∆∆∆均为等边三角形，则往圆O 内随机投掷一个点，该点落在阴影区域内的概率为____________．14．若变量,x y 满足约束条件22020y x y x y ≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =-的最大值为____________．15．已知棱长为a 的正方体的外接球表面积等于内切球体积的6倍，则实数a =________．16．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>右支上一点，直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Q ，1F 是双曲线的左焦点，若1||||PF PQ +的最小值为3a ，则双曲线C 的离心率为________．三、解答题:本大题共6小题，共70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本题满分12分）已知{}n a 是公差0d ≠的等差数列，2a ，6a ，22a 成等比数列，4626a a +=；数列{}n b 是公比q 为正数的等比数列，且32b a =，56b a =．（I ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．18．（本题满分12分）如图1，正方形ABCD的边长为E、F分别是DC和BC的中点，H是正方形的对角线AC与EF的交点，N是正方形两对角线的交点，现沿EF将CEF∆折起到PEF∆的位置，使得PH AH⊥，连结PA，PB，PD（如图2）．（Ⅰ）求证：BD⊥AP；（Ⅱ）求点A到平面PBD的距离．19．（本题满分12分）某品牌汽车4S店，对该品牌旗下的A型、B型、C型汽车进行维修保养，汽车4S店记录了100辆该品牌三种类型汽车的维修情况，整理得下表：10辆进行问卷回访．（I）求A型，B型，C型各车型汽车抽取的数目；（II）从抽取的A型和B型汽车中随机再选出2辆汽车进行电话回访，求这2辆汽车来自同一类型的概率；（III）维修结束后这100辆汽车的司机采用“100分制”打分的方式表示对4S店的满意度，按照大于等于80为优秀，小于80为合格，得到如下列联表：问能否在犯错误概率不超过0．01的前提下认为司机对4S店满意度与性别有关系？请说明原因．附表：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++20．（本题满分12分）已知曲线C 上的任一点到点(0,1)F 的距离减去它到x 轴的距离的差都是1．（I ）求曲线C 的方程；（II ）设直线(0)y kx m m =+>与曲线C 交于A ，B 两点，若对于任意k R ∈都有0FA FB <，求m 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知函数()ln mx f x x=，曲线()y f x =在点22(,())e f e 处的切线与直线20x y +=垂直（其中e 为自然对数的底数）． （Ⅰ）求()f x 的解析式及单调减区间；（Ⅱ）若函数2()()1kx g x f x x =--无零点，求k 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的参数方程是2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线2C 的极坐标方程是4cos ρθ=-． （I ）求曲线1C 和2C 交点的直角坐标；（II ）A 、B 两点分别在曲线1C 与2C 上，当AB 最大时，求OAB ∆的面积．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()(),4f x x g x x m ==--+． （I ）解关于x 的不等式()20g f x m ⎡⎤+->⎣⎦；（II ）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围．答案 1．A 2．D 3．B 4．B 5．D 6．B 7．D 8． B 9．A 10．B 11A 12．B 二、 13．1314． 215． 316． 三、 17．解析：（Ⅰ）因为d ≠0的等差数列，2a ,6a ,22a 成等比数列26222a a a ∴=即()()()21115+21a d a d a d +=+即13d a = ①……………1分又由46a a +=26得12+826a d = ②……………………2分 由①②解得1=13a d =， 32n a n ∴=-……………………3分324b a ∴== 即214b q =，5616b a ==又 即4116b q =；24q ∴=………………5分又q 为正数2q ∴=，1b = 12n n b -∴=……………………6分（II ）由知()1322n n na b n -=-……………………7分()021*********n n T n -∴=⨯+⨯+⨯++-……………………8分 ()232124272322n n T n ∴=⨯+⨯+⨯++-……………………9分()()()()2161213232323221322352512n n n n n n T n n n --∴-=+⨯+⨯++⨯--=+--=--⨯--()3525n n T n ∴=-⨯+……………………12分18．（Ⅰ）证明： ∵E 、F 分别是CD 和BC 的中点，∴EF //BD . 又∵AC BD ⊥，∴AC EF ⊥，故折起后有PH EF ⊥.………2分 又PHAH ⊥，所以PH ⊥平面ABFED ．又∵BD ⊂平面ABFED ，∴PH BD ⊥， …………………4分∵AHPH H =，,AH PH ⊂平面APH ，∴BD ⊥平面APH ，又AP ⊂平面APH ，∴BD ⊥AP …………………………6分（Ⅱ）解：∵正方形ABCD的边长为∴4AC BD ==，2,1AN NH PH ===，PE PF = ∴PBD ∆是等腰三角形，连结PN ，则PN BD ⊥，PN =∴PBD ∆的面积11422PBD S BD PN ∆=⋅=⨯=…………8分 设三棱锥A BDP -的高为h ，则三棱锥A BDP -的体积为13A BDP PBD V S h -∆=⋅=由（Ⅰ）可知PH 是三棱锥P ABD -的高，∴三棱锥P ABD -的体积：1111141332323P ABD ABD V S PH AB AD PH -∆=⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯= ……10分∵A BDP P ABD V V --=43=，解得h =. …………12分 19．解析：（I ）A 型，B 型，C 型汽车抽取的数目分别为20404010=210=410=4100100100⨯⨯⨯，，……2分（II ）设抽取的A 型2辆为12,a a ，抽取的B 型4辆为1234,,,b b b b ，随机选出2辆汽车的结果为12{,}a a ，11{,}a b ，12{,}a b ，13{,}a b ，14{,}a b ，21{,}a b ，22{,}a b ，23{,}a b ，24{,}a b ，12{}b b ,，13{}b b ,，14{}b b ,，23{}b b ,，24{}b b ,，34{}b b ,共15种. ……6分其中这两辆车来自同一类型的基本结果有12{,}a a ，12{}b b ,，13{}b b ,，14{}b b ,，23{}b b ,，24{}b b ,，34{}b b ,共7种，所以概率为715P =.……8分 （II ）根据题意，22100(271038258.143135655248K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯）……11分8.1431 6.635>，∴能在犯错误概率不超过0.01的前提下认为司机对4S 店满意度与性别有关系. ……12分 20．解析：（I ）设曲线C 上的任一点为(,)P x y ||1y =，……………3分 即24x y =为所求……………5分（II ）将y k x m =+，代入24x y =得2440x kx m --=.当0m >时，216160k m ∆=+>，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则124x x k +=，124x x m =-.………………………………7分11(,1)FA x y =-，22(,1)FB x y -，12121212(1)(1)(1)(1)FA FB x x y y x x kx m kx m =+--=++-+-221212(1)(1)()(1)k x x k m x x m =++-++-2224(1)4(1)(1)m k k m m =-++-+-224(1)4k m m =-+--.………………………………9分∵对于任意k R ∈都有0FA FB <，∴224(1)40k m m -+--<对任意的k R ∈恒成立.则2(1)40m m --<，解得33m -<<+所以m 的取值范围是33m -<+分 21．解析：(Ⅰ) 2(ln 1)()(ln )m x f x x -'=，………………1分又由题意有：21()2f e '=21242m m ⇒=⇒=，故2()ln x f x x =. ……3分此时，22(ln 1)()(ln )x f x x -'=，由()001f x x '≤⇒<<或1x e <≤，所以函数()f x 的单调减区间为(0,1)和(1,]e .……………5分（说明：减区间写为(0,]e 的扣2分. ）(Ⅱ) 2()()1kx g x f x x =--2()()ln 1kx g x x x x ⇒=--，且定义域为(0,1)(1,)+∞，要函数()g x 无零点，即要2ln 1kxx x =-在(0,1)(1,)x ∈+∞内无解，亦即要2(1)ln 0x k x x--=在(0,1)(1,)x ∈+∞内无解.………6分 构造函数22(1)2()ln ()x kx h x k x h x x x --'=-⇒=. ① 当0k ≤时，()0h x '<在(0,1)(1,)x ∈+∞内恒成立，所以函数()h x 在(0,1)内单调递减，()h x 在(1,)+∞内也单调递减.又(1)0h =，所以在(0,1)内无零点，在(1,)+∞内也无零点，故满足条件；………………8分②当0k >时， 222()2()()k x kx k h x h x x x--''=⇒= ⑴ 若02k <<，则函数()h x 在(0,1)内单调递减，在2(1,)k 内也单调递减，在2(,)k+∞内单调递增.又(1)0h =，所以在(0,1)内无零点；易知2()0h k <，而2222()20k k h e k k e =⋅-+>， 故在2(,)k+∞内有一个零点，所以不满足条件；⑵若2k =，则函数()h x 在(0,1)内单调递减，在(1,)+∞内单调递增. 又(1)0h =，所以(0,1)(1,)x ∈+∞时，()0h x >恒成立，故无零点，满足条件； ……10分⑶若2k >，则函数()h x 在2(0,)k 内单调递减，在2(1)k ，内单调递增，在(1,)+∞内也单调递增. 又(1)0h =，所以在2(1)k，及(1,)+∞内均无零点. 又易知2()0h k<，而2()()2222k k k h e k k e e k -=⋅--+=--，又易证当2k > 时，()0kh e ->，所以函数()h x 在2(0,)k内有一零点，故不满足条件. …………11分综上可得：k 的取值范围为：0k ≤或2k =.………12分 （说明：在(Ⅱ)的解答中，若分离变量2(1)ln x k x x -=，再讨论函数2(1)()ln x x x xϕ-=的单调性获得0k ≤给3分）22．解析：（1）由2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩得2cos 22sin x y θθ=⎧⎨-=⎩两式平方作和得：()2224x y +-=，即2240x y y +-=．①由24cos cos ρθρρθ=-⇒=，即224x y x +=-②②-①：0x y +=，代入曲线1C 的方程得交点为()0,0和()2,2- ………………5分（2）由平面几何知识可知，当A 、1C 、2C 、B 依次排列且共线时AB 最大，此时4AB =，O 到直线AB 所以，OAB ∆的面积为：()1422S =⨯=+分23．解析：（1）由()20g f x m +->⎡⎤⎣⎦得42x -<，∴242x -<-<，∴26x << 故不等式的解集为()()6,22,6-- ………………5分（2）∵函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方∴()()f x g x >恒成立，即4m x x <-+恒成立………………8分 ∵()444x x x x -+≥--=．∴m 的取值范围为(),4-∞．………………10分。
2019年江西师大附中高三第三次模拟考试数学(理)试卷(含答案)
C.2
2
2
11
6.设 a, b R ，若 p : a b ， q :
0 ，则 p 是 q 的 (
)
ba
D. 2
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
7.若 f (x) sin( x ) cos( x ) ( 0) 的最小正周期为 ， f (0) 2 ，则 ( )
A. f (x) 在 ( , ) 单调递增 44
B. f (x) 在 ( , ) 单调递减 44
C. f ( x) 在 (0, ) 单调递增 2 2x 2y 1
D. f (x) 在 (0, ) 单调递减 2
8.若 x、 y 满足约束条件 x y
且向量 a (3,2) ， b ( x, y) ，则 a b 的取值范围是 (
ac
ac
不足近似值或过剩近似值， 我们知道
3.14159 ，若令 31 10
49
16
，则第一次用 “调日法 ”后得
15
5
是 的更为精确的过剩近似值，即 31 10
16 ，若每次都取最简分数，那么第三次用
5
“调日法 ”后可
得 的近似分数为 (
)
22 A.
7
78 B.
25
63 C.
20
109 D.
35
10. 某几何体的三视图如图所示
②若 p ∧ q 为假命题 ,则 p , q 均为假命题；
③命题 p ： x R,2 x 0 ，则 p : x0 R,2 x0 0 .其中正确的个数是 (
)
A.0
B.1
C.2
D.3
5.等比数列 { an } 的前 n 项和为 Sn ，已知 S3 a2 5a1 , a7 2 ，则 a5 (
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2019年江西师大附中高考数学三模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）1.设集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求解出集合，根据并集的定义求得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.2.复数满足（为虚数单位），则的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数运算可整理出，根据共轭复数的概念求得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查共轭复数的求解，涉及复数的运算，属于基础题.3.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（）注：90后指1990年及以后出生，80后指年之间出生，80前指1979年及以前出生．A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多【答案】D【解析】【分析】结合两图对每一个选项逐一分析得解.【详解】对于选项A,互联网行业从业人员中后占56%，占一半以上，所以该选项正确；对于选项B, 互联网行业中90后从事技术岗位的人数占总人数的,超过总人数的，所以该选项正确；对于选项C,互联网行业中从事运营岗位的人数后占总人数的，比前多，所以该选项正确.对于选项D,互联网行业中从事运营岗位的人数后占总人数的，80后占总人数的41%，所以互联网行业中从事运营岗位的人数后不一定比后多.所以该选项不一定正确. 故选：D【点睛】本题主要考查饼状图和条形图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.已知数列为等差数列，为其前项和，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用和表示出已知等式可求得，利用求得结果.【详解】，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查等差数列基本量的求解、前项和的求解问题，属于基础题.5.已知双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用点到直线距离公式可求得，利用求得，进而可得离心率.【详解】取双曲线的一个焦点，一条渐近线：本题正确选项：【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是利用点到直线距离公式构造方程求得，属于基础题.6.执行如图所示的程序框图，则输出n的值是（）A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用程序框图循环结构计算求得n的值，可得答案.【详解】初始值n=0，执行程序依次为:否；否；是，循环结束，输出n=6故选D【点睛】本题主要考查了程序框图的循环结构判断求值，属于基础题. 7.若函数为奇函数，则实数的值为（ ）A. B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据函数为奇函数，求得当时的解析式，与已知的解析式对应即可得到结果.【详解】为奇函数当时，又时，本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解函数解析式的问题，属于基础题. 8.已知，，，则下列结论正确的是（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性分别求得的范围，利用临界值可比较出大小关系.【详解】；；且本题正确选项：【点睛】本题考查利用指数函数、对数函数的单调性比较大小的问题，关键是能够通过临界值来进行区分.9.“对任意正整数，不等式都成立”的一个必要不充分条件是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式成立可求得当时，不等式恒成立，由此可依次判定各个选项，从而得到结果. 【详解】由得：，即又即时，不等式成立则是其必要不充分条件；是其充要条件；，均是其充分不必要条件本题正确选项：【点睛】本题考查必要不充分条件的判定，关键是能够求解出不等式成立的充要条件，进而根据必要不充分条件的定义求得结果.10.如图所示的长方形内，两个半圆均以长方形的一边为直径且与对边相切，在长方形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将阴影部分拆分为两个小弓形，根据长度关系可知弓形所在的扇形圆心角为，从而可求得弓形面积，进而得到阴影部分面积，利用几何概型概率公式求得结果.【详解】如下图所示：设长方形的长为，宽为，则阴影部分的面积所求概率：本题正确选项：【点睛】本题考查几何概型中的面积型的概率的求解，关键是能够将阴影部分拆分为两个弓形，进而求得阴影部分面积.11.已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用导数可求得时的单调性和最值，从而可得的图象；将问题转化为与有个交点，通过数形结合可求得结果.【详解】当时，当时，；当时，在上单调递增；在上单调递减时，由此可得图象如下图所示：若函数有个零点，则与有个交点由图象可知：当时，与有个交点本题正确选项：【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，通过数形结合的方式求得结果. 12.数列中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行项，排；第二行项，从左到右分别排，；第三行项，……依此类推，设数列的前项和为，则满足的最小正整数的值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据规律可总结出第行的和为，利用分组求和的方法可求得前行和，经验证，从而可得结论.【详解】第一行为，其和为，可以变形为：；第二行为首项为，公比为的等比数列，共项，其和为：；第三行为首项为，公比为的等比数列，共项，其和为；依此类推：第行的和：；则前行共：个数前行和为：满足而第六行的第个数为：，则满足的最小正整数的值为：本题正确选项：【点睛】本题考查数列规律应用的问题，涉及到分组求和法、等比数列求和公式的应用，关键是能够通过已知求得每行的所有数字的和，从而得到规律.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面向量，，，则在方向上的射影为_____．【答案】【解析】【分析】利用平方运算可构造方程求得，根据射影的公式可求得结果.【详解】解得：在方向上的射影为：本题正确结果：【点睛】本题考查在方向上的射影的求解问题，关键是能够通过模长的平方运算求得数量积的值.14.若满足约束条件，则的最小值为_____．【答案】-6【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义求出最小值即可.【详解】作出如图的可行域为三角形内部及边界，由得,的几何意义为直线在y轴上的截距平行移动直线,得，当且仅当动直线过点时，直线在y轴的截距最小，取得最小值为z=-(-2)+(-8)=-6.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，目标函数的几何意义，考查数形结合的思想，属于基础题.15.已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，且垂直轴，若直线的斜率为，则该椭圆的离心率为__________．【答案】【解析】根据题意，如图：椭圆的左、右焦点分别为，则直线的斜率为，则则有则则则椭圆的离心率故答案为【点睛】本题考查椭圆的几何性质，关键是作出椭圆的图形，结合直线的斜率分析的值．16.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的半径为_____．【答案】【解析】【分析】根据三视图还原几何体，设球心为，根据外接球的性质可知，与和正方形中心的连线分别与两个平面垂直，从而可得到四边形为矩形，求得和后，利用勾股定理可求得外接球半径.【详解】由三视图还原几何体如下图所示：设中心为，正方形中心为，外接球球心为则平面，平面，为中点四边形为矩形，外接球的半径：本题正确结果：【点睛】本题考查多面体外接球半径的求解，关键是能够根据球的性质确定球心的位置，从而根据长度关系利用勾股定理求得结果.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17.在中，内角所对的边分别是，已知．（Ⅰ）求证：为等腰三角形；（Ⅱ）若是钝角三角形，且面积为，求的值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）【解析】 【分析】（Ⅰ）将正切化弦，结合两角和差正弦公式可求得，根据三角形内角和可整理为，则由正弦定理可得到结论；（Ⅱ）利用三角形面积公式可求得；根据三角形为钝角三角形且（Ⅰ）中的，可知为钝角，求得；利用余弦定理可构造方程求得之间关系，从而得到所求结果. 【详解】（Ⅰ）由得：则：由正弦定理可知：为等腰三角形（Ⅱ）由题意得：，解得：为钝角三角形，且为钝角由余弦定理得：【点睛】本题考查三角形形状的求解、利用余弦定理、三角形面积公式求解三角形边之间的关系问题，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式、同角三角函数值的求解等知识.18.如图，在多面体中，，，平面，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求三棱锥的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【解析】【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质可得；利用三角形相似可得，从而可证得，根据线面垂直的判定定理可知平面；根据线面垂直的性质可证得结论；（Ⅱ）利用体积桥进行等价转化，利用三棱锥体积公式求得结果.【详解】（Ⅰ）平面，平面，又则又平面又平面（Ⅱ）三棱锥的体积：【点睛】本题考查直线与直线垂直关系的证明、三棱锥体积的求解，涉及到线面垂直判定定理和性质定理的应用.解决三棱锥体积的问题通常采用体积桥的方式，将所求三棱锥转化为底面积和高易求的三棱锥.19.为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了年下半年该市名农民工（其中技术工、非技术工各名）的月工资，得到这名农民工月工资的中位数为百元（假设这名农民工的月工资均在（百元）内）且月工资收入在（百元）内的人数为，并根据调查结果画出如图所示的频率分布直方图：（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）已知这名农民工中月工资高于平均数的技术工有名，非技术工有名，则能否在犯错误的概率不超过的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系？参考公式及数据：，其中．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关【解析】【分析】（Ⅰ）根据频数计算出月工资收入在（百元）内的频率，利用频率总和为和频率分布直方图估计中位数的方法可构造出关于的方程组，解方程组求得结果；（Ⅱ）根据题意得到列联表，从而计算出，从而得到结论.【详解】（Ⅰ）月工资收入在（百元）内的人数为月工资收入在（百元）内的频率为：；由频率分布直方图得：化简得：……①由中位数可得：化简得：……②由①②解得：，（Ⅱ）根据题意得到列联表：不能在犯错误的概率不超过的前提下，认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关【点睛】本题考查频率分布直方图中的频率和中位数的计算、独立性检验解决实际问题，考查基础运算能力，属于常规题型.20.已知离心率为的椭圆过点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，点在椭圆上且不与四个顶点重合．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与轴交于，直线与轴交于，试探究是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）是定值，定值为：【解析】【分析】（1）根据离心率、点在椭圆上和建立方程组，解方程求得结果，从而得到椭圆方程；（2）设，从而可得方程，求得的坐标，从而可得，根据点在椭圆上得到，代入整理可得定值.【详解】（1）由题意得：，解得：椭圆的标准方程为：（2）点不与四个顶点重合直线的斜率存在且不为设，且，直线的方程为：直线的方程为：在椭圆上，为定值【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解、椭圆中的定值问题的求解.解决定值类问题的关键是将所求量利用变量进行表示，通过变量间的关系进行化简、消元，从而整理出所求的定值.21.已知函数．（1）当时，试求的单调区间；（2）若在内有极值，试求的取值范围．【答案】（1）单调增区间为（1，+∞），单调减区间为（0，1）；（2）a∈（e，+∞）【解析】【分析】（1）首先求得定义域为，求导后，通过证明恒成立可知导函数符号由的符号决定，从而可求得函数的单调区间；（2）将在内有极值转化为在内有零点，即有解，令，，利用导数可求得，从而可验证出时在内有零点，从而得到结果.【详解】（1）由题意知，定义域为：当时，则：令，则当时，；当时，在上单调递减；在上单调递增即：对任意的，恒成立当时，；当时，的单调递增区间为：；单调递减区间为：（2）若在内有极值，则在内有零点由，得：，则设，，则恒成立在上单调递减当时，在内有解设，则当时，在上单调递减又，在上有唯一解当时，；当时，当时，在内有唯一极值当时，在上单调递增，不存在极值综上所述：【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的单调区间、根据极值所在区间求解参数取值范围.根据极值所在区间求解参数的关键是能够将问题转化为导函数在区间内有零点的问题，进而可转化为交点类问题来进行求解.请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一个题目计分．22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（，为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线经过点，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程；（2）若，是曲线上两点，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将首先化为普通方程，再化为极坐标方程，代入点可求得，整理可得所求的极坐标方程；（2）将代入方程，从而将代入整理可得结果.【详解】（1）将的参数方程化为普通方程得：由，得的极坐标方程为：将点代入中得：，解得：代入的极坐标方程整理可得：的极坐标方程为：（2）将点，代入曲线的极坐标方程得：，【点睛】本题考查极坐标方程的求解、极坐标中的几何意义的应用，关键是根据几何意义将所求的变为，从而使问题得以求解.23.已知函数，（1）当时，解不等式；（2）若存在满足，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）分别在，，三种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得结果；（2）将问题转化为有解；利用绝对值三角不等式可求得，从而得到，解不等式求得结果.【详解】（1）当时，当时，，解得：；当时，，解得：；当时，，解得：的解集为：（2）若存在满足等价于有解，解得：实数的取值范围为：【点睛】本题考查绝对值不等式的求解、绝对值三角不等式的应用、能成立问题的求解问题，关键是能够将能成立问题转化为最值的求解问题，通过求解最值得到不等关系，从而求得结果.。