2014年7月高二选修2-1《椭圆的简单几何性质》ppt

②
F1 a
o
c
A2 (a, 0) F2
x
|B2F2|=a； a2=b2+c2，
B1(0,-b)
③焦点必在长轴上；
思考:已知椭圆的长轴A1A2和短轴B1B2 ，
怎样确定椭圆焦点的位置？
B2
a
A1
b
a F2
F1 c
o c
B1
A2
因为a2=b2+c2,所以以椭圆短轴端点为 圆心,a长为半径的圆与x轴的交点即为 椭圆焦点.
c (2)如图，在 Rt△ BF2O 中，cos∠ BF2O＝ ， a c c 越大，∠BF2O 越小，椭圆越扁； 越小， a a ∠BF2O 越大，椭圆越圆．
4、椭圆的离心率
e与a,b的关系:
2 2 c a b e 2 a a
b 1 2 a
2
想一想
焦点在ｙ轴上的椭圆的几何性质又 如何呢？ y A
探究 你能由椭圆的方 x y 程 2 2 1a b 0 a b A 得出椭圆与x 轴、y 轴的 交点坐标吗?
2 2
y
B2
1
O
A2
x
B1
图2.1 8
3、椭圆的顶点 2 2 x y 2 1(a b 0) 2 a b
令 x=0，得 y=？，说明椭圆与 y轴的交点？ 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点？ *顶点：椭圆与它的对称轴 的四个交点，叫做椭圆的 顶点。 *长轴、短轴：线段A1A2、 B1B2分别叫做椭圆的长轴 和短轴。 a、b分别叫做椭圆的长半 轴长和短半轴长。
方程不变，说明：
Q(-x,y)
y
P(x,y)
椭圆关于 Y 轴对称； 椭圆关于 x 轴对称； 椭圆关于(0,0) 点对称； 坐标轴是椭圆的对称轴， 原点是椭圆的对称中心
N(-x,-y)
o
M(x,-y)
x
y
ห้องสมุดไป่ตู้
F1
O
F2
x
椭圆关于y轴对称。
y
F1
O
F2
x
椭圆关于x轴对称。
y A1
F1
O
F2 A2
x
椭圆关于原点对称。
我们用椭圆的标准方程 x2 y2 1 2 1a b 0 2 a b 来研究椭圆的几何性质 .
上面从椭圆的定义几何特征出发 建 立了 椭圆的标准方程.下面再利用椭圆的标准 方 程研究它的几何性质 ,包括椭圆的形状、大 小、对称性和位置等 .
y
O
x
x2 y2 观察 观察椭圆 2 2 1 a b 0 a b 的形状, 你能从图上看出它的范围吗 ? 它具有怎样的对称性 ? 椭圆 上 哪 些 点 比较特殊 ?
x
2
P（x，y）
O
X
P3（-x，-y）
P 2 x, y
结论:椭圆关于x轴、y轴、原点对称。
综上, 椭圆关于 x 轴、y 轴对称, 这时, 坐标轴是椭圆的对 称 轴 , 原点是 椭圆的 对 称 中心 , 椭 圆的对称中 心 叫做 椭圆的中心.
3 顶点
研究曲线上某些特殊点的位置, 可以确定曲 线的位置.要确定曲线在坐标系中的位置, 常 常需要求出曲线与 x 轴、y 轴的交点坐 标.
关于x 轴、y 轴成轴对称；关于原点 成中心对称 (a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b) (c,0)、(-c,0) 长半轴长为a,短半轴长为b. a>b
c e a
a2=b2+c2
标准方程 范围
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 b a
②当椭圆的焦点在 y 轴上时，(3,0)为右顶点，则 b＝3，
第二章 圆锥曲线与方程
2.2.2 椭圆的简单几何性质
2.2.2
椭圆的简单几何性质(一)
1.理解椭圆的简单几何性质． 2.理解离心率对椭圆扁平程度的影响 3.利用椭圆的简单几何性质解决一些简单问题．
通过几何图形观察，代数方程验证的学习过程，体 会数形结合的数学思想．通过几何性质的代数研究，养 成辩证统一的世界观．
（2）椭圆的标准方程
焦点在x轴上
y M F2 x
焦点在y轴上
y
F1 M
F1
O
O
F2
x
y2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
焦点为 F1(－c，0)、F2(c，0)
焦点为 F1(0 ,－c)、F2(0，c)
椭圆的简单几何性质
1.范围
x2 y 2 y2 x2 2 1 2 1 2 0 2 a b b a x2 2 1 a
2 2 x y x y 2 1 2 1和 2 1 2 a b a b
2
2
-a≤x≤a,
-b≤y≤b
说明：椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2
A1
b
a
F1
o c
B1
A2
F2
x
1.范 围:
从图形上看: a x a, b y b.
x2 y2 从方程上看: 2 1 2 1 x 2 a 2 a x a; a b
y2 x2 2 2 1 1 y b b y b 2 2 b a
故整个椭圆位于 y b, x a所围成的矩形内 .
椭圆的简单几何性质 2.椭圆的对称性
x2 y2 2 1( a b 0) 2 a b X -X 在方程中，把 Y x 换成 -x ， -Y
2 2 x y 解：椭圆的方程 m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)可转化为 1 ＋ 1 ＝1. m2 4m2 1 1 2 2 ∵m <4m ，∴ 2> 2，∴椭圆的焦点在 x 轴上，并且 m 4m 1 1 3 长半轴长 a＝ ，短半轴长 b＝ ，半焦距长 c＝ . m 2m 2m 2 1 ∴椭圆的长轴长 2a＝ ，短轴长 2b＝ ， m m 3 3 焦点坐标为－ ，0， ，0 ， 2 m 2 m 1 1 1 1 顶点坐标为 ，0，－ ，0，0，－ ，0， . 2m 2m m m 3 c 2m 3 离心率 e＝ ＝ 1 ＝ 2 . a
2、椭圆的对称性
x2 y2 Y 1 ( a b 0 ) a2 b2 椭圆上任意一点P(x,y) P1（-x，y） 关于y轴的对称点是 P1 (-x, y)
y2 2 2 a b 2 2 x y 2 2 1 a b 即 P1 在椭圆上,则椭圆 关于y轴对称 同理椭圆关于x轴对称 关于原点对称
当点M与一个定点的距离和它 到一条定直线的距离的 比是 c 常数e （0 e 1)时, 这个点的轨迹是椭圆 , a 定点是椭圆的焦点 , 定直线叫椭圆的准线 , 常数e是离心率
l'
y
l
F’O
.
.
M
F
d
x
.
例 2、 求椭圆 m2x2＋4m2y2＝1 (m>0)的长轴长、 短轴长、 焦点坐标、
对称性 焦 顶 点 点
关于x轴、y轴、原点对称
(a,0)、(0,b)
离心率
c e a (0<e<1)
(b,0)、(0,a)
标准方程 范围 对称性 顶点坐标 焦点坐标 半轴长 离心率 a、b、c的 关系
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
|x|≤ a,|y|≤ b
复习：
1.椭圆的定义:
到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于|F1F2 |）的 动点的轨迹叫做椭圆。
| PF1 | | PF2 | 2a(2a | F1F2 |)
2.椭圆的标准方程是： 2 2
当焦点在X轴上时 当焦点在Y轴上时
3.椭圆中a,b,c的关系是:
2 2 2 a =b +c
x y 2 1(a b 0) 2 a 2 b 2 y x 2 1(a b 0) 2 a b
c 3 离心率 e a 5 0.6
焦点坐标分别为 F1 3,0, F2 3,0 四个顶点坐标分别为 A (5,0), A (5,0), B (0,4), B (0,4) 1 2 1 2
基本量：a、b、c、e、（共四个量） 基本点：四个顶点、两个焦点（共六个点）
椭圆第二定义:
B2 y
2
F2 F2 A2 x B1 O F1
2
图
形
A1
2
F1
2
O
B2 x
B1
方 范
程 围
x y 2 1 2 a b
a b 0
y x2 2 1(a b 0) 2 a b
A1
|x| a |y| b (c,0)、(c,0)
|x| b |y| a (0,c)、(0,c)
离心率
c e a
同前 同前
a、b、c的关系
a2=b2+c2
例题精析 例１求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、 离心率、焦点和顶点坐标并画出简图．
x2 y2 解：把已知方程化成标准方程 2 2 1 5 4
这里， a 5, b 4, c
25 16 3
椭圆的长轴长和短轴长分别是2a 10,2b 8
顶点坐标和离心率．
探究点二 由椭圆的几何性质求方程 6 例 3、椭圆过点(3,0)，离心率 e＝ ，求椭圆的标准方程． 3 解：∵所求椭圆的方程为标准方程，
又椭圆过点(3,0)，∴点(3,0)为椭圆的一个顶点．
①当椭圆的焦点在 x 轴上时，(3,0)为右顶点，则 a＝3， c 6 6 6 ∵e＝ ＝ 3 ，∴c＝ 3 a＝ 3 ×3＝ 6， a ∴b2＝a2－c2＝32－( 6)2＝9－6＝3， x2 y2 ∴椭圆的方程为 9 ＋ 3 ＝1.