高二数学选修2-1 椭圆的标准方程(第1课时)
3.1.1 椭圆及其标准方程 课件(北师大选修2-1)
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[一点通] 求椭圆标准方程的一般步骤为：
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1．若 a＝6，b＝ 35，则椭圆的标准方程是 ( ) x2 y2 A.36＋35＝1 y2 x2 x2 y2 B. 6 ＋ ＝1 或 6 ＋ ＝1 35 35 x2 C.36＋y2＝1 x2 y2 y2 x2 D.36＋35＝1 或36＋35＝1 x2 y2 解析：椭圆的焦点在 x 轴上时，方程为36＋35＝1，在 y
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即|PF2|＝4－|PF1|. 6 将②代入①解得|PF1|＝5，
②
1 1 6 3 3 3 ∴S△ PF1F2＝2|PF1|· 1F2|· 120° 2× × 2 ＝ 5 . |F sin ＝ 5 2× 3 因此所求△ PF1F2 的面积是5 3.
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[一点通]
椭圆上一点 P 与椭圆的两焦点 F1、F2 构成的
a2＝15， 解得 2 b ＝5.
x2 y2 所以所求椭圆的方程为 ＋ ＝1. 15 5
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y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a a b ＞b＞0)．依题意有 －22 32 2 ＋ 2 ＝1， b a 2 1 －2 3 a2＋ b2 ＝1，
形问题的常用方法．
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[例 2]
如图所示， 已知椭圆的方程
x2 y2 为 4 ＋ 3 ＝1，若点 P 在椭圆上，F1，F2 为椭圆的两个焦点，且∠PF1F2＝120° ， 求△ PF1F2 的面积． [思路点拨] 因为∠PF1F2＝120°，|F1F2|＝2c，所以要
求S△PF1F2，只要求|PF1|即可．可由椭圆的定义|PF1|＋|PF2| ＝2a，并结合余弦定理求解． 返回
高中数学 3.1第1课时椭圆及其标准方程课件 北师大版选修2-1
① 解得①②得－3<a<－1 或 a>1.
当 a>1 时，③不成立．当－3<a<－1 时，得 a<－2. 综上可得：a 的取值范围是－3<a<－2.
最值问题
F1 是x92＋y52＝1 的左焦点，P 是椭圆上的动点，A(1,1) 为定点，则|PA|＋|PF1|的最小值为________________．
[解析] (1)∵椭圆的焦点在 x 轴上，所以设它的标准方程为ax22 ＋by22＝1(a>b>0)．
∵2a＝ 5＋32＋0＋ 5－32＋0＝10,2c＝6. ∴a＝5，c＝3， ∴b2＝a2－c2＝52－32＝16. ∴所求椭圆的方程为：2x52 ＋1y62 ＝1.
(2)∵椭圆的焦点在 y 轴上，所以设它的标准方程为：ay22＋bx22＝ 1(a>b>0)．
3．已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆x32＋y2＝1 上，顶点 A 是
椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上，则△ABC
的周长是( )
A．2 3
B．6
C．4 3
D．12
[答案] C
[解析] 设椭圆的另一个焦点为 F(如图)，
则 △ ABC 的 周 长 为 (|AB| ＋ |BF|) ＋ (|CA| ＋ |CF|) ＝ 2a ＋ 2a ＝
∴－2c≤|PF1|－|PF2|≤2c， ∴2a－2c≤2|PF1|≤2a＋2c，即 a－c≤|PF1|≤a＋c
∴|PF1|的最大值为 a＋c，最小值为 a－C．
[总结反思] 椭圆上到某一焦点的最远点与最近点分别是长 轴的两个端点，应掌握这一性质．
[总结反思] 椭圆的焦点在哪个坐标轴上主要看标准方程 中x2和y2项分母的大小，如果x2项的分母大于y2项的分母，则椭 圆的焦点在x轴上；反之，焦点在y轴上．由于本题中x2和y2项 分母的大小不确定，因此需要进行分类讨论．
椭圆及其标准方程(选修2-1)
几点说明： F F 1、F1、F2是两个不同的定点； 2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数； 3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c＞0； 4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.
1
2
5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）
X
x
2
1
25
16
例7：动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离 之和为8，则动点P的轨迹为---------（ B ）
A.椭圆
B.线段F1F2
C.直线F1F2
D.不能确定
练习： 平面内两个定点的距离是8，写出到这两个
定点距离之和是10的点的轨迹方程 解： 这个轨迹是一个椭圆。两个定点是焦点，用F1、 F2表示，取过点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2 的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系. 2a=10，2c=8， a=5，c=4. b2=a2-c2=52-42=25-16=9，即b=3. 因此这个椭圆的标准方程是：
y a
2 2
x b
2 2
1( a b 0 )
椭圆的标准方程的再认识：
（1）椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是1
（2）椭圆的标准方程中三个参数a、b、c满足a2=b2+c2。 （3）由椭圆的标准方程可以求出三个参数a、b、c的值。
快速练习：判定下列椭圆的焦点在那条坐标 轴上?并指出焦点坐标。
x 5
2 2
y 3
2 2
1
即
x
2
y 9
2
1
25
高二数学选修2-1 椭圆的标准方程(第1课时) ppt
x
由椭圆的定义得，限制条件：| MF 1 | | MF 2 | 2a 代入坐标 | MF1 | ( x c) 2 y 2 , | MF2 | ( x c) 2 y 2
得方程 ( x c) 2 y 2 ( x c) 2 y 2 2a
（问题：下面怎样化简？）
x2 y2 (1) 1 (4)9 x 2 25 y 2 225 0 16 16 2 2 x2 y2 ( 5 ) 3 x 2 y 1 ( 2) 1 25 16 x2 y2 x2 y2 1 (3) 2 2 1 (6) 24 k 16 k m m 1
?
练习2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)a=
6
,b=1,焦点在x轴上；
x2 6
y 1
2
(2)焦点为F1(0,－3)，F2(0,3),且a=5； 25 16 (3)两个焦点分别是F1(－2,0)、F2(2,0),且过 P(2,3)点； x y 1
2 2
y2
x2
1
16
12
(4)经过点P(－2,0)和Q(0,－3).
x 2 y2 + =1 4 9
小结：求椭圆标准方程的步骤： ①定位：确定焦点所在的坐标轴； ②定量：求a, b的值.
x2 y2 1 ，请填空： 练习3. 已知椭圆的方程为： 25 16 (1) a=__ ___________ 、(3,0) ，焦距等于__. 6 4 ，c=__ 5 ，b=__ 3 ，焦点坐标为(-3,0)
♦ 求动点轨迹方程的一般步骤： 坐标法 （1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y） 表示曲线上任意一点M的坐标; （2）写出适合条件 P（M） ; （3）用坐标表示条件P（M），列出方程 ; （4）化方程为最简形式; （5）证明以化简后的方程为所求方程(可以省略 不写,如有特殊情况，可以适当予以说明)
高二数学人教A版选修2-1课件：2.2.2 椭圆的简单几何性质 第1课时 椭圆的简单几何性质
F1 o
F2
x
说明椭圆的对称性不随位置的改变而改变．
3.顶点与长短轴： 椭圆与它的对称轴的四个 交点——椭圆的顶点. 椭圆顶点坐标为：
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b).
回顾： 焦点坐标(±c，0)
x2 a2
y2 b2
=1（a＞b＞0）
y
B2(0,b)
固化
模式
拓展
小思 考
TIP1：听懂看到≈认知获取；
TIP2：什么叫认知获取：知道一些概念、过程、信息、现象、方法，知道它们 大 概可以用来解决什么问题，而这些东西过去你都不知道；
TIP3：认知获取是学习的开始，而不是结束。
为啥总是听懂了， 但不会做，做不好？
高效学习模型-内外脑 模型
2
内脑- 思考内化
学习知识的能力 （学习新知识 速度、质量等）
长久坚持的能力 （自律性等）
什么是学习力-常见错误学 习方式
案例式
学习
顺序式 学习
冲刺式 学习
什么是学习力-高效学习必
备习惯
积极
以终
主动
为始
分清 主次
不断 更新
高效学习模型
高效学习模型-学习的完
整过程
方向
资料
筛选
认知
高效学习模型-学习的完
整过程
消化
思维导图& 超级记忆法& 费曼学习法
1
外脑- 体系优化
知识体系& 笔记体系
内外脑高效学习模型
超级记忆法
超级记忆法-记忆 规律
记忆前
选择记忆的黄金时段
前摄抑制：可以理解为先进入大脑的信息抑制了后进 入大脑的信息
高二数学选修2-1 第三章 第1节 椭圆北师大版(理)知识精讲
高二数学选修2－1 第三章 第1节 椭圆北师大版（理）【本讲教育信息】一、教学内容：选修2—1 椭圆的标准方程及其几何性质二、教学目标：1、熟练地掌握椭圆的定义及标准方程的形式，能根据已知条件求出椭圆的标准方程。
2、掌握椭圆简单的几何性质，理解椭圆的准线、离心率、焦点，定义椭圆的方法及椭圆的参数方程的应用。
3、理解用方程的思想、函数的思想、数与形结合、分类讨论的思想及参数法、待定系数法等数学思想方法解决椭圆的有关问题。
三、知识要点分析： （一）椭圆的基本概念1、椭圆的第一定义：平面内到两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数（大于|F 1F 2|）的点的集合叫椭圆。
点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a>|F 1F 2|}（1）到两个定点F 1，F 2的距离之和等于|F 1F 2｜的点的集合是线段F 1F 2. （2）到两个定点F 1，F 2的距离之和小于｜F 1F 2｜的点的集合是空集。
椭圆的第二定义：平面内一动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是小于1的正常数e 的点的集合叫椭圆。
点集M={P ｜}1e 0,e d|PF |<<= 2、椭圆的标准方程：)0(,12222>>=+b a b y a x （焦点在x 轴上），22221c b a ).0,c (F ),0,c (F =-- )0(,12222>>=+b a ay b x （焦点在y 轴上），22221c b a ).c ,0(F ),c ,0(F =-- 3、点),(00y x P 与椭圆)0b a (1by a x 2222>>=+的位置关系。
点1by a x )0b a (1b y a x )y ,x (P 220220222200<+⇔>>=+内部在椭圆点1by ax )0b a (1by ax )y ,x (P 22022222200=+⇔>>=+上在椭圆点1b y a x )0b a (1b y a x )y ,x (P 220220222200>+⇔>>=+外部在椭圆4、椭圆的参数方程：椭圆12222=+b y a x 上任意一点P （x ，y ），则R b y a x ∈⎩⎨⎧==θθθ,sin cos（二）椭圆的几何性质：焦点在x 轴上焦点在y 轴上图形性质X 围 |x|≤a ，|y|≤b|x|≤b ，|y|≤a对称性关于x 轴、y 轴、坐标原点对称 顶点A 1（－a ，0） A 2（a ，0）B 1（0，－b ） B 2（0，b ） A 1（0，－a ） A 2（0，a ） B 1（－b ，0） B 2（b ，0）离心率离心率e=ac，0<e<1，（焦距与长轴的比）（对椭圆定型） 准线 x=ca 2±y=ca 2±焦点半径公式|0201||,|ex a PF ex a PF -=+=|0201||,|ey a PF ey a PF -=+=注：1、在确定椭圆的标准方程时若不能确定焦点的位置，可进行讨论焦点：在x 轴上、y 轴上的两种情形或把所求的椭圆标准方程设为：),0,0(,122B A B A By Ax ≠>>=+ .2、与椭圆)0(,12222>>=+b a b y a x 共焦点的椭圆可设为：kb y k a x +++2222=1，（a>b>0）3、椭圆上任意一点P 到焦点F 的距离的最大值是|PF|=a+c ，最小值是|PF|=a －c .4、椭圆上任意一点P 到两焦点的距离之积的最大值是a 2，此时P 点与椭圆的短轴的两端点重合5、注意利用平面几何知识解决椭圆问题。
3.1.1《椭圆及其标准方程》课件(北师大版选修2-1)
(2)因为m2+n2≥2mn,
所以2(m2+n2)≥m2+n2+2mn=(m+n)2.
4 故m2+n2≥ =8,当且仅当m=n=2时，等号成立. 2
2
所以|PF1|2+|PF2|2的最小值是8， 此时P位于短轴的端点处.
焦点.
由椭圆定义知
|AB|+|BM|+|AM|=|AN|+|BN|+|BM|+|AM| =|AN|+|AM|+|BN|+|BM| =2a+2a=4a=16.
x 2 y 2 的内部，则a的取值范围是 2.(5分)点A(a,1)在椭圆 + =1 4 2
(
)
(A)- 2 <a< 2
(C)-2<a<2
(B)a<- 2 或a> 2
【解析】
x 2 y2 1.(5分)已知点M( 7 ,0)，椭圆 + =1与直线y=k(x+ 7 )交 16 9
于A，B两点，则△ABM的周长为(
(A)11 (B)10
)
(C)9 (D)16
【解析】选D.如图.
直线y=k(x+ 7 )恒过定点N(- 7 ,0).
x 2 y2 由椭圆方程 + =1知M( 7 ,0),N(- 7 ,0)恰好为椭圆的两 16 9
【解析】如图所示，由题意知， F1（- 3 ，0），F2（ 3 ，0）. 设|PF1|=m,|PF2|=n(m>0,n>0), 由椭圆的定义知m+n=4.
(1)根据均值不等式知mn≤ ( m+n ) 2= ( 4 )2 = 4,
2 2
高中数学_椭圆的标准方程(第一课时)教学设计学情分析教材分析课后反思
椭圆及其标准方程（第1课时）导学案一．【学习目标】：1、知识与技能：理解椭圆定义、掌握标准方程及其推导。
2、过程与方法：通过教师和学生共同协作完成教学试验、发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义,培养学生观察、辨析、归 纳问题的能力.3、情感、态度和价值观：在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会数形美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于创新和锲而不舍的精神。
增强主动与他人合作与交流的意识。
二．【学习重点】：掌握椭圆的标准方程，理解坐标法的基本思想。
三．【学习难点】：椭圆标准方程的推导与化简，坐标法的应用。
四．【学习过程】：（一）探究一: 椭圆的定义1．创设问题情景：观察生活中的椭圆图片，演示椭圆形成过程．2．动手实验:学生分组画椭圆.思考：1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？实验结果:若将常数记为2a ，两定点21,F F 间的距离记为2c ，椭圆定义： 椭圆的定义用集合语言叙述为： ①当||221F F a >时，其轨迹为 ， ②当||221F F a =时，其轨迹为 ，③当||221F F a <时，其轨迹 . 探究二：椭圆标准方程的推导1.回顾：求曲线方程的一般步骤：2.思考：如何建系，使求出的椭圆方程最简单？3.推导过程：① 建系：② 设点：③ 列方程：④ 化简：讨论与思考：1.在图中，请你从中找出表示2.如果以21,F F 所在直线为y 轴，线段21F F 的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是 ，椭圆的标准方程是 ．3.如何由椭圆标准方程判断椭圆焦点位置？（二）学以致用【思考辨析 判断正误】1.已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆.( )2.已知F 1(－4,0)，F 2(4,0)，平面内到F 1，F 2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆.( )3.平面内到点F 1(－4,0)，F 2(4,0)距离相等的点的轨迹是椭圆.( )【求椭圆的标准方程】例1：已知椭圆两个焦点的坐标分别是()0,2-，()0,2，并且经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23-25，，求它的标准方程.想一想：你还能用其它方法求它的标准方程吗？解题小结：【变式练习】1.如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一焦点2F 的距离是 .2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）轴上；焦点在x b a ,1,4==（2）.,15,4轴上焦点在y c a ==例2 求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13，Q ⎝⎛⎭⎪⎫0，－12的椭圆的标准方程.解题小结：（三）学习小结：（四）巩固检测：1、已知椭圆的方程为22218x ym+=，焦点在x轴上，则其焦距为（）（A）（B）C）（D）2、若△ABC的两个顶点坐标是A（-4,0），B（4,0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程是（）（A）221259x y+=（B）221259y x+=(C)221(0)169y xy+=≠(D)221(0)259x yy+=≠3、已知点（3,4）是椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上的一点，F1，F2是椭圆的两焦点，若PF1⊥PF2，求椭圆的方程。