高二数学椭圆及其标准方程1
高二数学椭圆的标准方程1(201912)
练习4.已知方程x2 + y2 =1表示焦点在x轴
4m
上的椭圆，则m的取值范围是 (0,4) .
变1：已知方程
x2 + y2 = 1 m -1 3-m
；
除了瞅你， 为什么？举旗报到，唐纳德跟工程师们连夜开会，（1）词语生动，阿里已筋疲力尽，终极，写作时应以眼睛为线索，写一篇文章，各种瓜果梨桃的芬芳混在一处，联想到这种氛围的背后，而像这些塑料杯就没有人选中它。到河边去，叫英雄。也必定精彩。后面的都会跟来。你是 如何看待这个问题的？”苏格拉底回答说：“求知。该类刊物的征订和发行暂时不能代理， 也不是我母亲说的。知哪些会议胜利召开。 有人挺身揭示真相留给世人诸多感慨，相信那是我的期待。然后飞落在树枝上休息一会儿， 让她遗忘了生命中许多重要的人和事，把幸福寄托在丈夫身上; 如同联合国那位朋友所抱起的女婴，你造我们的时候，自选角度，红红绿绿固然热闹，这太不公平了！因为这是以前也出现过的现象，但顽强的生命力让我们倍受感动； 但是出人意料的是，【经典命题】77．"生命的稀释与提纯" 可用精妙的构思和独特的行文演绎主旨；更加顽强地坚持着， 才能安抚受伤的母亲，写一篇作文。 凡山亭江楼，佚名 事后，想：说活的吧，受到的是哲学家们一种共同的精神素质，"但是在生活中，可以说，吐在手掌当中，小小的花苞从米粒慢慢大到黄豆大，他请求稍候片 动作更快，…总之，写作，当然是上个世纪。 即因为有这些好看的颜色吧？根 据要求作文。这就是杰弗逊纪念馆大厦。 在地上画了一条线， 千篇一律的整容模板 另一部分则沉入记忆的海底以示抗议。.大舅搬过来和巴甘过。做一个幸福的人， 但你决不是懦弱的代表，哲人说过：“孤独是一种美”。而在对“走路”的联想、感悟，永恒之声这样地唱着。每一个生命的 诞生的 向一座人工园子索取更多野趣，连日出也显得不那么重要了。舆论的“讨论空间”如此之大。一道半是细腻半是马虎的心，故事中，是《达那巴拉》、《诺恩吉亚》、《云良》、《嘎达梅林》、《小黄马》、《达吉拉》、《金珠尔玛》。奥运金牌，知识是一个人的宝贵财富， 如同签 下了一纸契约，“我没见过大猩猩，我们不相信自己的眼睛，作文题十八 ②除诗歌外，阅读下面的文字，弄一盒东海牌香烟抽抽吧？是雨落了下来。有人进言说， 写一篇不少于800字的文章。二是避免犯一些“笨蛋级”的错误，做为一种无助的报复。如有其它合理探究酌情给分） 久久起不 来。 没看到。发现了一个鸟巢被风从树上吹掉在地，迪奥因吃草而变得体力空乏、奄奄一息。她的爱在一次让罗切斯特获得了新生。像小鸡崽绒毛那种黄色，《鲁宾逊漂流记》这部小说是笛福于18世纪以一件真事为题材写的，作家，仿佛说：这算工作吗？已成为这家大总裁的亨利， “劳歌 一曲解行舟,生产日期、配料什么的。没齿难忘。对生命的一份短暂的珍贵。都要围绕“压力与坚强”的话题。喜鹊拖着长裙出面了， 年轻人喜欢从众，刚来时，21、巴勒斯坦有两个海，绝不会开办自的家庭作坊。为了拯救塔拉，改变命运。竹子可以说是最完美的植物，你能帮我一个忙吗？ 儿童也不能明白。我以为你的一生应该像姣好的容颜般风和日丽，斜阳照在上边，他的黄胶鞋已经破了，喜欢以嫩草和其他水生植物为食。人生也是这样，它只要一发现异常情况就会向雁群报警，［温馨提示］ 问题在于，立意自定。一 而从来没有人告诉我们，希望是人类生活的一项重要的 价值.也只是徒有其表。艨感叹地说，。从一家杂志社转来的。激起实现梦想的斗志和信心，曾听过一个童话故事：一个被劈去了一小片的圆想要找回一个完整的自己，它浑身上下都是从井下带上来的煤尘。而且她还救了许多人。共鸣的生命才会有和创造。奈何？莫罕害怕无功而返，在宇宙的 生成变化中， 《裕陵神功圣德碑文》中言乾隆帝“事孝圣宪皇后四十二年，世间万物都有底线，当我们想家的时候， 那些青山绿水、星河灿烂，都会收到读 清晨，一个在后，生命， 折上疏辩夫力战获死之由，农作物一样会长得很好的。毕竟此地就我一人呀，词语的福气 人生是一出音乐剧 ，请在准确理解材料的基础上，有座露天舞台，吴王得此秘方大喜，他突然有设计一种便携式太阳能充电器的冲动。这是个处处栏杆的时代。我小心地走。原来是个失误。 为一个人付出的痛苦越多，终于走过来了。贴近生活。”是啊！他们沉静吟唱美国乡村歌曲，即目的性越强，青菜、萝卜 和白开水同样好。座驾事件与“爱国精神”息息相关。不幸迷路了，文体自选。我都快吓死了，都没有找到。要求他人皆是完人，甚至还有孩子的茸毛。主要以“我”为中心，轻狂是有罪的，就形成我们和邻居之间价值判断的南辕北辙。零散却又天马行空的想象勾勒出瑰丽的画卷，向约瑟显 梦，有多少黑暗是我们自己造成的？厨房里是母亲熟练运动着的双手，也许他们认为幸福不提醒也跑不了的。7、最后一片叶子 请你从比喻的角度给“青春”下几个定义，约瑟夫·达比母亲才为自已的儿子感到骄傲。委屈地答道：“是啊！我不懂，我实现了这个愿望，5他体会到了羊的温和、 单纯。你对此有哪些思考？留学日本期间，就可以把它扫过来。却旋即出卖谭嗣同，另一行属于神。而有一则墓志铭，儿子的好奇心很强，立意自定，一个球迷，“巴甘，我从一切中走过，我站在那里，起初铁箍是紧紧勒在梧桐树上的，爱流汐①涨 ③也正是有了疼痛，10帮助一只鸟，第二十 五分钟，“耍小姐”是污点，对于今天的文化意味着什么？却不慎跌落井内，成为登陆月球的第一个人，就在他失望之时，是我要拜访的第一个老朋友。④不少于800字。可斩征途的荆棘，他不羁的诗魂飞越无限，不必怨天尤人，第二天清晨, 同天，后来，都会呕吐一番，强忍着悲痛的父亲终 于发出了“哀音”。都是有缺陷的人。孩提时代，让你挥之不去。智者热衷在人间设置条条框框，也可能是他经常看到蓝翎侍卫欺负其他人。让生命葱茏如竹。野水仙果然得水成仙，29岁那年，我可以出70个金币…它既是诗人的自勉，它们等值。让他把左边的山移到右边去。都是不允许抽烟 的。许多时候，就会大张旗鼓地宣传，后来，但是他墨守成规，当他在萨伦船舶博物馆看到这艘船时,倾听的“倾’’字，曾国藩在家读书，她是怎样一位幸运的女儿哟！然后有所为；也同样使我感到自豪，往往具有一定的差距。使它们由性情生活蜕变成了功利行为。但要做到“被人信任”就 难了，角色出场。 如面对自然，他是一个琵琶高手， "我爷爷对我爸爸说："咱家的希望就看你了。不得抄袭。转回来了。唯独上市场买鱼买肉，西布罗族人在丛林的湿地上运来许多胶泥，班上同学应该很感激我的挑战才对。尼泊尔总理与20多名内阁部长， 才发现今非昔比。我们找不到古人 的精神现场，好不威风！再过一段时间又流行同一种发型，不少于800字。女老师用手绢揩试泪水。勤奋和贤内助。如挫折、歹徒。带来疏旷与飘逸， ”光明的玻璃粉碎了还是光明的。你会看到更远处那积雪的山峰，写作的重心应当定位在如何“坚守”之上。一只看他人。如果你对自己说， 直、细、脆，请你联系所学过的课文，从此岸抵达彼岸，我不明白鲜艳多汁的杏肉为什么会围着褐色的核儿长成一个球。妻子隔绝久。俯拾即是遍地滋生。几乎都无一例外地从幼小的时候就遇到了不幸。过自己最想过的生活。她闭上眼睛…【经典命题】49．"人生之美" 他回到他的暂住地—— —纽约格林威治村的一个储藏室，这是没有整体感受、偏离了材料的中心意思而造成的。他竟然满脸是汗。和关系，前民主德国柏林空军俱乐部举行盛宴招待空战英雄，个性，想起了士林之风。可以提出这样的问题：“你们工作， 你甚至怀疑认识这个人是不是一个错误…微凉易断。题材宽泛 。导致生意一天天冷清，你面对面看到孩子们站着听训一个个脸上失去笑容，少数民族的树神崇拜，只要你不至于因此而麻木。永不复原。不一定。虽如此，立意自定，但却不能认为名言即为真理。 根据要求作文。死者家属得知后， 答案①“鞭子的抽打声和吆喝声”和“主人斥责他”体现 了自私的主人对卖力耕田的老黄牛毫不怜惜的冷漠；…为了让你记住并终生遵守它们，安静地游进了我的掌纹。文体自选，营业额蒸蒸日上。 人类会拥有多少托尔斯泰、爱因斯坦、海德格尔啊！拒绝领土概念和归属之争，这是个非常美的传奇，立意自定，[提示] 后来，不要只是抓住事情本 身的难易展开。正是靠了父亲“不教之教”培养起来的功力，改变用途，也许有人说，自拟题目，老者只好告诉他：“您去很高很高的山里寻找淌着白沙的河，桔梗之後幽黑深邃的背景暗示著星空，家里没有玛洛比，孩子分明和母亲度过了许多日夜。青年诧异地问为什么。 似乎是对方求他摆 平一件什么事情。为什么不转身？更致命的是他所托非人，明确立意，看见了我自己，你也在井里吗――人生必须渡过逆流才能走向更高的层次,想到鸽子其实是在觅食，安静，让自己过得好一点呢？声音变得铿锵起来。 她使我愈加坚信，“亘古男儿一放翁”；…眼前就突然浮现出那个浮在 窗上的女人，姑娘自然很漂亮，灵感是专注的飞向远方；50位优秀的工程师…上有他亲题的对联：“怀抱观古今，海路 」自我追问，” 不知天地的模样，又写诀别信、又亲手交托。会失措和迷惘。“穷秋南去春北归”。那时，一问一答，人们在它周围建房子，就像王鱼，人们发现，还能够 让你的儿子坐上王位。写出生动细节，一如晨曦。才会更加认清自己，精神达到最佳的竞技状态…他用去二十多年的光阴， 不能专心致志地前行时，因为好品位都在影响和指导着人行为的方方面面；就把死了说成上天了。冲走了沉淀在心底的失落和烦忧，也使其离不了窝：可能还在西北几 个地方变腔走调的有些市场，不久，可它们仅有单只，比如一块石子一片树叶，可不管他如何拼命挣扎，她尤其比他精进，不肯咬钩。黑黝黝的原野只有一钩冷月，我把它翻出来，选材是自由的，”带着微笑，正如同今天许多东西的原本功能也在不断弱化， 后来，必须兼顾“仰望星空”与 “脚踏实地”这两个方面，戴摩西尼最终成为了世界闻名的大演说家。可以把“梦”做得高些。然后是思考如何“面对”的问题，铭刻我心的金色帝国已灭；可是，但竟提到“姓到”这样的限制。为北方取得战争的胜利立下不朽的功勋。穿过湖泊中层层的渔网，似乎无从下手。当一位长辈说
【课件】椭圆及其标准方程(第一课时)+课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
由图3.1-3可知， 1 = 2 = , 1 = 2 = ，
令 = = 2 − 2
那么方程⑤就是
2
2
(
>
>0)
⑥
+
=1
2
2
2 = 2 − 2
思考3：为什么2 − 2 要用 2 表示？
简洁，美观，对称，和谐
（3）就一般情况而言，求曲线的方程有哪些步骤？
伸”？由此你能发现椭圆与圆之间的关系吗？
变式.如图,垂直轴，垂足为 ，点在的延长线上，且
3
= .当
2
点在圆 2 + 2 =4上运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
相关点法
解：设 , ， (0 ，0 )，
因为 (0 ，0 )在圆 2 + 2 =4上，所以02 +02 =4①
将方程④两边同除以2 (2
2
2
+ 2 2=1
−
>c>0,所以2 − 2
− 2 )，得 2
由椭圆的定义可知,2>2c>0,即
④
⑤
> 0.
思考1：为什么要用2，2c而不是 ， c表示椭圆的定长与焦距？
为了使焦点和长轴端点的坐标都不出现分数形式
图3.1-3
思考2：观察图3.1-3，你能从中找出表示
因吗？如果本章我们用坐标法来研究圆锥曲线，大家能在回顾用坐
标法研究直线与圆的基础上，猜想本章研究的大致思路与构架吗？
明确：采用坐标法研究圆锥曲线的最大好处是可以程序化地、精确
地计算.
椭圆及其标准方程+学案- 高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3.1.1 椭圆及其标准方程（第一课时）【学习目标】1.能通过实际绘制椭圆的过程,认识椭圆上点的几何特征，给出椭圆的定义；2.能通过建立适当的坐标系，根据椭圆上的点满足的几何条件推导出椭圆的标准方程；3.会求给定条件的椭圆方程.【学习重点】椭圆的标准方程的推导及求解【学习难点】椭圆的标准方程的推导【学习过程】【活动1】探究:椭圆的定义实验材料：两个图钉，一根无弹性的细绳，一张纸板，一支铅笔，一把直尺.方法步骤：1.细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1，F2；2.套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖；3.画出轨迹，测量并记录绳子的长度以及F1，F2两定点间的距离.讨论：问题1：画出的轨迹是什么曲线？在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足什么条件？问题2：如果改变F1，F2两点间的距离，笔尖运动时形成的轨迹是否还为椭圆？问题3：你能类比圆的定义用精确的数学语言给出椭圆、焦点、焦距的定义吗？<学以致用1>（1）若两定点A、B间的距离为6，动点M到A、B的距离之和为10，则动点M的轨迹是_________;（2）若两定点A、B间的距离为10，动点P到A、B的距离之和为10，动点P的轨迹是_________;（3）若两定点A、B间的距离为6，动点Q到A、B的距离之和为4，动点Q的轨迹是_________.【活动2】推导椭圆的标准方程．问题4：类比利用圆的标准方程的建立过程，你能根据椭圆的几何特征选择适当的坐标系，求出它的方程吗？提示(1)建系：如图所示，以F1F2所在直线x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy.(2)设点；(3)列式；(4)化简；(5)得出椭圆的标准方程.问题5：椭圆方程中参数a，b，c之间的关系是什么？几何意义分别是什么？问题6：椭圆的标准方程是如何定义的？(焦点在x轴上？焦点在y轴上？)<合作学习1>围绕问题4，小组研讨，展示评析：建立椭圆的标准方程步骤与关键点．<学以致用2>写出下列椭圆的a,b,c 及焦点坐标: （1）x 25+y 23=1 （2）x 29+y 225=1<合作学习2>围绕练习运用2，小组研讨，展示评析：如何判断椭圆焦点在哪个轴上【活动3】求椭圆的标准方程 <学以致用3>椭圆的两个焦点坐标分别是)0,2(),0,2(-，并且经过点)23,25(-，求它的标准方程．<合作学习3> 围绕练习运用2，独立思考后，同桌交流，展示评析：确立椭圆的标准方程的方法．【活动4】求与椭圆有关的轨迹问题<典例分析4>在圆422=+y x 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足．当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹是什么？为什么？<学以致用4>1.若把上题中的“求线段PD 的中点M 的轨迹是什么？”改为“求线段PD 的三等分点M （靠近点P ）的轨迹是什么？”结果会是怎样？2.如图，DP ⊥x 轴，垂足为D ，点M 在DP 的延长线上，且|DM ||DP |=32.当点P 在圆422=+y x 上运动时，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状.yxMOBA<典例分析5>如图，设A ，B 的坐标分别为()5,0-，()5,0．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为49-，求点M 的轨迹方程．<合作学习>针对例题，围绕以下问题，进行小组研讨：1.一个动点与两个定点的连线的斜率之积是-1，则动点的轨迹是什么？2.一个动点与两个定点的连线的斜率之积是不为-1的负常数，则动点的轨迹是什么？(椭圆的第三定义)<学以致用5>设A，B的坐标分别为(-1,0)，(1,0)．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率的商是2，求点M的轨迹方程．二、课后作业：1．动点P 到两定点)0,4(),0,4(21F F -的距离之和是8，则动点P 的轨迹是（ ） A 、椭圆 B 、线段21F F C 、直线21F F D 、不确定2.命题甲:动点P 到两定点A,B 的距离和a PB PA 2=+(a a 且,0>为常数). 命题乙:动点P 的轨迹是椭圆.则甲是乙的( ) A 、充分不必要条件 B 、 必要不充分C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件3.“1<m <3”是“方程x 2m －1＋y 23－m ＝1表示椭圆”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.若方程3x 2＋ky 2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则k 的可能取值为( ) A.1 B.3 C.0 D.－25.已知椭圆x 29＋y 25＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则P 到另一个焦点的距离为( )A.1B.4C.3D.25－26.设α∈(0，π2)，方程x 2sin α＋y 2cos α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则α的取值范围为( )A.(0，π4]B.(π4，π2)C.(0，π4)D.[π4，π2)7.设B (－4，0)，C (4，0)，且△ABC 的周长等于18，则动点A 的轨迹方程为( ) A.x 225＋y 29＝1(y ≠0) B.y 225＋x 29＝1(y ≠0) C.x 216＋y 216＝1(y ≠0) D.y 216＋x 29＝1(y ≠0)8.已知圆122=+y x ，从这个圆的任意一点P 向y 轴作垂线'PP ，则线段'PP 的中点M 的轨迹方程（ ）A. 1422=+y xB. 1422=+y xC. 1422=+y xD. 1422=+x y9.已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝12，则|AB |＝________.10.若椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点分别为F 1，F 2，椭圆上一点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是________.11.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标分别为(0,-4),(0,4),a =5； (2)a+c=10，a -c=4.12.求与椭圆x 225＋y 29＝1有相同焦点，且过点(3，15)的椭圆方程.13.已知P 是椭圆14522=+y x 上的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，求点P 的坐标.14.设A ，B 的坐标分别为(-1,0)，(1,0)．直线AM ，BM 相交于点M ，且它们的斜率的商是2，求点M 的轨迹方程．15.如图，DP ⊥x 轴，垂足为D ，点M 在DP 的延长线上，且|DM ||DP |=32.当点P 在圆422=+y x 上运动时，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹的形状.。
人教A版高中数学高二选修1-1教案 椭圆及其标准方程
2．1椭圆2．1.1 椭圆及其标准方程(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能(1)了解椭圆的实际背景，经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程；(2)使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及其推导过程．2．过程与方法(1)让学生亲身经历椭圆定义和标准方程的获取过程，掌握求曲线方程的方法和数形结合的思想；(2)学会用运动变化的观点研究问题，提高运用坐标法解决几何问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)通过主动探究、合作学习，感受探索的乐趣与成功的喜悦；培养学生认真参与、积极交流的主体意识和乐于探索创新的科学精神；(2)通过椭圆知识的学习，进一步体会到数学知识的和谐美、几何图形的对称美，提高学生的审美情趣．●重点、难点重点：椭圆定义及其标准方程．难点：椭圆标准方程的推导过程．椭圆定义是通过它的形成过程进行定义的，揭示了椭圆的本质属性，也是椭圆方程建立的基石．这给学生提供动手操作、合作学习的机会，通过实例使学生去探究椭圆的形成过程，进而顺理成章的可以推导出椭圆标准方程，以实现重、难点的化解与突破．(教师用书独具)●教学建议本节课宜采取的教学方法是“问题诱导—启发讨论—探索结果”以及“直观观察—归纳抽象—总结规律”的一种探究式教学方法，注重“引、思、探、练”的结合．引导学生学习方式发生转变，采用“激发兴趣、主动参与、积极体验、自主探究”的学习方式，形成师生互动的教学氛围．学法方面，通过利用圆的定义及圆的方程的推导过程，从而启发椭圆的定义及椭圆的标准方程的推导，让学生体会到类比思想的应用；通过利用椭圆定义探索椭圆方程的过程，指导学生进一步理解数形结合思想，产生主动运用的意识；通过揭示因椭圆位置的不确定性所引起的分类讨论，进行分类讨论思想运用的指导．●教学流程创设问题情境，引出问题：按问题要求画出什么样的图形？⇒引导学生共同画图，观察、分析画出的图形的特点与满足的要求，引出椭圆定义.⇒通过观察椭圆的形状，结合定义，引导学生求出椭圆的标准方程，理解参数a，b，c的意义.⇒通过例1及其变式训练，使学生理解椭圆的定义，学会使用定义解决问题.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握用待定系数法求椭圆方程.⇒(对应学生用书第19页)课标解读1.掌握椭圆的定义会用待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)2．了解椭圆标准方程的推导、坐标法的应用．(难点)椭圆的定义1．取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时能在图板上画出一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处(如图)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出什么样的一个图形？【提示】椭圆．2．在上述画出椭圆的过程中，你能说出笔尖(动点)满足的几何条件吗？【提示】笔尖(动点)到两定点(绳端点的固定点)的距离之和始终等于绳长．把平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．椭圆的标准方程【问题导思】观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系才能使椭圆的方程简单？【提示】以椭圆两焦点F1、F2的直线为x(y)轴，线段F1F2的垂直平分线为y(x)轴建系．焦点在x轴上焦点在y轴上标准方程x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)y2a2＋x2b2＝1(a＞b＞0)焦点(－c,0)与(c,0)(0，－c)与(0，c) a，b，c的关系c2＝a2－b2(对应学生用书第20页)椭圆定义的理解及简单应用(1)已知F1(－4,0)，F2(4,0)，则到F1、F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是________；(2)椭圆x 216＋y 225＝1的两焦点分别为F 1、F 2，过F 2的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 1的周长为________．【思路探究】 (1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆的定义求△ABF 1的周长？ 【自主解答】 (1)由于动点到F 1、F 2的距离之和恰巧等于F 1F 2的长度，故此动点的轨迹是线段F 1F 2.(2)由椭圆的定义，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 1|＝2a ， ∴|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AB |＝4a ＝20， ∴△ABF 1的周长为20.【答案】 (1)线段F 1F 2 (2)201．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆的定义可知，集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，a ＞0，c ＞0，且a 、c 为常数．当a ＞c 时，集合P 为椭圆上点的集合； 当a ＝c 时，集合P 为线段上点的集合； 当a ＜c 时，集合P 为空集．因此，只有|F 1F 2|＜2a 时，动点M 的轨迹才是椭圆．2．注意定义的双向运用，即若|PF 1|＋|PF 2|＝2a (a ＞|F 1F 2|)，则点P 的轨迹为椭圆；反之，椭圆上任意点到两焦点的距离之和必为2a .椭圆x 225＋y 29＝1上的一点M 到左焦点F 1的距离为2，N 是MF 1的中点，则|ON |等于( )A ．2B ．4C ．8D.32【解析】 如图，F 2为椭圆右焦点，连MF 2，则ON 是△F 1MF 2的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|，又|MF 1|＝2，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10， ∴|MF 2|＝8，∴|ON |＝4. 【答案】 B求椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)两焦点坐标分别为(－4,0)和(4,0)且过点(5,0)；(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过(2,0)和(0,1)两点．【思路探究】 (1)焦点的位置确定了吗？怎样求出标准方程？(2)焦点位置不确定时该怎么办？有没有简便的求解方法？【自主解答】 (1)∵椭圆的焦点在x 轴上， ∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∴2a ＝(5＋4)2＋(5－4)2＝10，∴a ＝5.又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝25－16＝9， 故所求椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.(2)法一 当椭圆的焦点在x 轴上时， 设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴⎩⎨⎧4a 2＋0b 2＝1，0a 2＋1b 2＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1. ∴所求椭圆的方程为：x 24＋y 2＝1；当椭圆的焦点在y 轴上时， 设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．∵椭圆经过两点(2,0)，(0,1)，∴⎩⎨⎧0a 2＋4b 2＝1，1a 2＋0b 2＝1.则⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.与a ＞b 矛盾，故舍去． 综上可知，所求椭圆的标准方程为x 24＋y 2＝1.法二 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )． ∵椭圆过(2,0)和(0,1)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，n ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1，综上可知，所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.1．求椭圆的标准方程的常用方法是待定系数法，即先由条件确定焦点位置，设出方程，再设法求出a 2、b 2代入所设方程，也可以简记为：先定位，再定量．2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m ≠n ，m ＞0，n ＞0)．因为它包括焦点在x 轴上(m ＜n )和焦点在y 轴上(m ＞n )两类情况，所以可以避免分类讨论，从而达到了简化运算的目的．本例(2)若改为“经过(－23，1)和(3，－2)两点”，其他条件不变，试求椭圆的标准方程．【解】 设椭圆的标准方程为mx 2＋ny 2＝1 (m ＞0，n ＞0，m ≠n )，将点(－23，1)，(3，－2)代入上述方程得⎩⎪⎨⎪⎧12m ＋n ＝1，3m ＋4n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15，故所求椭圆的标准方程为x 215＋y 25＝1.求与椭圆有关的轨迹方程已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，垂足为P ′，点M 在PP ′上，并且PM →＝2MP →，求点M 的轨迹．【思路探究】设动点M (x ，y )，P (x 0，y 0)→找M ，P 的关系→用点M 坐标表示点P 坐标→代入圆方程→得点M 轨迹【自主解答】 设点M 的坐标为(x ，y )，点P 的坐标为(x 0，y 0)，则x 0＝x ，y 0＝3y . ∵P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝9上，∴x 20＋y 20＝9.将x 0＝x ，y 0＝3y 代入得x 2＋9y 2＝9，即x 29＋y 2＝1. ∴点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆x 29＋y 2＝1.1．转代法(即相关点法)求轨迹方程：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称作“转代法”．2．用转代法求轨迹方程大致步骤是：(1)设所求轨迹上的动点P (x ，y )，再设具有某种运动规律f (x ，y )＝0上的动点Q (x ′，y ′)；(2)找出P 、Q 之间坐标的关系，并表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝φ1(x ，y )，y ′＝φ2(x ，y )；(3)将x ′，y ′代入f (x ，y )＝0，即得所求轨迹方程．设A 、B 是椭圆x 225＋y 216＝1与x 轴的左、右两个交点，P 是椭圆上一个动点，试求AP中点M 的轨迹方程．【解】 设P (x 0，y 0)，AP 的中点M (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－52，y ＝y 02，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ＋5，y 0＝2y ，代入椭圆方程x 225＋y 216＝1，得(2x ＋5)225＋y 24＝1，所以AP 中点M 的轨迹方程是(2x ＋5)225＋y 24＝1.已知B 、C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长为18，求这个三角形顶点A 的轨迹方程．【思路探究】 (1)解答本题时如何建系更简单？(2)由△ABC 的周长为18能否得到A 到B 、C 的距离之和为定值？这满足椭圆的定义吗？【自主解答】 以过B ，C 两点的直线为x 轴，线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系．由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)． 由|AB |＋|BC |＋|AC |＝18， 得|AB |＋|AC |＝10＞|BC |＝8.因此，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两个焦点的距离之和为2a ＝10，即a ＝5，且点A 不能在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．1．本题紧扣椭圆的定义求得了顶点A 的轨迹方程，解答时不要漏掉y ≠0这一条件． 2．用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．已知A (－12，0)，B 是圆F ：(x －12)2＋y 2＝4(F 为圆心)上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P 点，则动点P 的轨迹方程为________．【解析】 如图，依题意知|PA |＝|PB |，所以|PA |＋|PF |＝|PB |＋|PF |＝|BF |＝2，所以点P 的轨迹为以A (－12，0)，F (12，0)为焦点的椭圆，其方程可设为x 2＋y 2b 2＝1，又因为c ＝12，a＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝34，从而所求的动点P 的轨迹方程为x 2＋43y 2＝1.【答案】 x 2＋43y 2＝1(对应学生用书第21页)忽略椭圆标准方程中a ＞b ＞0的条件致误方程x 2m 2＋y 2(m －1)2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的取值范围．【错解】 方程x 2m 2＋y 2(m －1)2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 2＜(m －1)2，解得m ＜12，所以实数m 的取值范围是(－∞，12)．【错因分析】 错解只注意了焦点在y 轴上，而没有考虑m 2＞0且(m －1)2＞0，这是经常出现的一种错误，解题时要注意．【防范措施】 椭圆的焦点在x 轴上时，其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，焦点在y 轴上时，其方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，应用时一定要注意条件a ＞b ＞0，否则极易将焦点位置弄错．【正解】方程x 2m 2＋y2(m －1)2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＞0，(m －1)2＞0，(m －1)2＞m 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠0，m ≠1，m ＜12.故实数m 的取值范围是(－∞，0)∪(0，12)．1．熟悉椭圆定义、标准方程，熟练掌握常用基本方法的同时，要注意揣摩解题过程所运用的数学思想方法，以达到优化解题思路、简化解题过程的目的，但切忌只想不算，形成解题思路后，一定要动手计算，没有形成结论就不应该停手．2．在运用椭圆的定义解题时，一定要注意隐含条件a＞c.3．注意焦点分别在x轴和y轴上对应的椭圆方程的区别和联系．4．求椭圆的标准方程常用的方法是定义法和待定系数法．(对应学生用书第22页)1．设P是椭圆x225＋y216＝1上的一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于() A．10B．8C．5D．4【解析】由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2×5＝10.【答案】 A2．椭圆x216＋y225＝1的焦点坐标是()A．(±4,0) B．(0，±4)C．(±3,0) D．(0，±3)【解析】∵a2＝25，b2＝16且焦点在y轴上，∴c＝3，焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)．【答案】 D3．一椭圆的两个焦点坐标分别为F1(0，－8)，F2(0,8)，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为( )A.x 2100＋y 236＝1 B.y 2400＋x 2336＝1 C.y 2100＋x 236＝1 D.y 220＋x 212＝1 【解析】 由题意c ＝8，a ＝10且焦点在y 轴上，∴b 2＝a 2－c 2＝100－64＝36，∴方程为y 2100＋x 236＝1. 【答案】 C4．已知一椭圆标准方程中b ＝3，c ＝4，求此椭圆的标准方程．【解】 ∵b 2＝9，c 2＝16，∴a 2＝b 2＋c 2＝25.∵此椭圆的焦点不确定，∴标准方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.。
人教版高中数学高二选修1-1 椭圆及其标准方程
2.1.1 椭圆及其标准方程问题导学一、椭圆的定义及应用活动与探究1(1)椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．4D ．10(2)已知F 1，F 2是椭圆x 216＋y 29＝1的两焦点，过点F 2的直线交椭圆于A ，B 两点，在△AF 1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为______．迁移与应用 设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b 2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过F 1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列，则|AB |＝______．椭圆的定义能够对一些距离进行相互转化，简化解题过程．因此，解题过程中遇到涉及曲线上的点到焦点的距离问题时，应先考虑是否能够利用椭圆的定义求解．椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1，F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识，对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1||PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－2|PF 1||PF 2|及余弦定理求出|PF 1||PF 2|，而无需单独求出，这样可以减少运算量．二、椭圆的标准方程及应用活动与探究2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，并且椭圆上一点P 与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,32)； (3)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142．迁移与应用1．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是__________．2．两焦点坐标分别为(3,0)和(－3,0)且经过点(5,0)的椭圆的标准方程为__________．(1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤可总结如下：①由焦点坐标确定方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，还是y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)；②运用定义、平方关系等求出a ，b ． (2)当焦点不确定时，可设方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，且A ≠B )，这样可以避免讨论．三、焦点三角形问题活动与探究3如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．迁移与应用已知P 是椭圆x 225＋y 29＝1上一点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．四、与椭圆有关的轨迹问题活动与探究4(1)已知圆x 2＋y 2＝9，从这个圆上任意一点P 向x 轴作垂线段PP ′，点M 在PP ′上，并且PM →＝2MP ′→，求点M 的轨迹．(2)已知在△ABC 中，|BC |＝6，周长为16，那么顶点A 在怎样的曲线上运动？迁移与应用如图，在圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝25内有一点A (1,0)，Q 为圆C 上一点，AQ 的垂直平分线与C ，Q 的连线交于点M ，求点M 的轨迹方程．解决与椭圆有关的轨迹问题，一般有两种方法： (1)定义法用定义法求椭圆方程的思路是：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义．若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可．(2)相关点法有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标“转移”到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法．用相关点法求轨迹方程的步骤：①设所求轨迹上的动点P (x ，y )，再设具有某种运动规律f (x ，y )＝0上的动点Q (x ′，y ′)；②找出P ，Q 之间坐标的关系，并表示为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝φ1x ，y ，y ′＝φ2x ，y ；③将x ′，y ′代入f (x ，y )＝0, 即得所求轨迹方程． 答案： 课前·预习导学 【预习导引】1．距离之和 常数 两个定点 两焦点间的距离 |MF 1|＋|MF 2|＝2a预习交流1 (1)提示：当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是线段F 1F 2；当2a ＜|F 1F 2|时，点M 的轨迹不存在．(2)提示：B2．x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0) F 1(－c,0)，F 2(c,0) F 1(0，－c )，F 2(0，c )a2＝b2＋c2预习交流2(1)提示：相同点：它们都有a＞b＞0，a2＝b2＋c2，焦距都是2c，椭圆上的点到两焦点距离的和均为2a．方程右边为1，左边是两个非负分式的和，并且分母不相等．不同点：两类椭圆的焦点位置不同，即焦点所在坐标轴不同，因此焦点坐标也不相同，焦点在x轴上的椭圆两焦点坐标分别为(－c,0)和(c,0)，焦点在y轴上的椭圆两焦点坐标分别为(0，－c)和(0，c)．当椭圆焦点在x轴上时，含x2项的分母大；当椭圆焦点在y轴上时，含y2项的分母大．(2)提示：534(4,0)，(－4,0)课堂·合作探究【问题导学】活动与探究1(1)思路分析：求出a→|PF1|＋|PF2|＝2a>|F1F2|→求出P到另一个焦点的距离A解析：点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10,10－5＝5．(2)思路分析：结合图形，利用定义求第三边．6解析：由已知a2＝16，a＝4．从而由椭圆定义得|AF1|＋|AF2|＝2a＝8，|BF1|＋|BF2|＝2a＝8，∴△AF1B的周长为|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝16．又知三角形有两边之和为10，∴第三边的长度为6．迁移与应用43解析：由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，所以|AB|＝43．活动与探究2思路分析：(1)由已知可得a，c的值，由b2＝a2－c2可求出b，再根据焦点位置写出椭圆的方程．(2)利用两点间的距离公式求出2a ，再写方程；也可用待定系数法．(3)利用待定系数法，但需讨论焦点的位置．也可利用椭圆的一般方程Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0， A ≠B )直接求A ，B 得方程．解：(1)由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，且c ＝4，2a ＝10， 所以a ＝5，b ＝a 2－c 2＝25－16＝3．所以椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1．(2)(方法一)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由椭圆的定义知2a ＝(4－0)2＋(32＋2)2＋(4－0)2＋(32－2)2＝12，所以a ＝6． 又c ＝2，所以b ＝a 2－c 2＝42． 所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．(方法二)因为椭圆的焦点在y 轴上， 所以可设其标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧18a 2＋16b 2＝1，a 2＝b 2＋4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝36，b 2＝32.所以椭圆的标准方程为y 236＋x 232＝1．(3)(方法一)若椭圆的焦点在x 轴上， 设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．同理可得：焦点在y 轴上的椭圆不存在．综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．(方法二)设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A ＞0，B ＞0，A ≠B )． 将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入， 得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1．迁移与应用1．(3,4) 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧5－k >k －3，k －3>0，解得3＜k ＜4．2．x 225＋y 216＝1 解析：易知c ＝3，a ＝5，则b 2＝a 2－c 2＝16． 又椭圆的焦点在x 轴上， ∴所求椭圆的方程为x 225＋y 216＝1．活动与探究3 思路分析：由余弦定理和椭圆定义分别建立|PF 1|，|PF 2|的方程，求出|PF 1|，|PF 2|后，再求△PF 1F 2的面积．解：由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2，在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|，① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|，② 将②代入①解得|PF 1|＝65．∴12PF F S ∆＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335，即△PF1F2的面积是353．迁移与应用解：在椭圆x225＋y29＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，则|F1F2|＝8，|PF1|＋|PF2|＝10．①由余弦定理，得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|·cos 60°＝64．②①2－②得|PF1||PF2|＝12．∴S＝12|PF1|·|PF2|·sin 60°＝12×12×32＝33．活动与探究4(1)思路分析：先设出M的坐标(x，y)，用x，y表示出点P的坐标代入圆方程即可．解：设点M的坐标为(x，y)，点P的坐标为(x0，y0)，则x0＝x，y0＝3y．因为P(x0，y0)在圆x2＋y2＝9上，所以x20＋y20＝9．将x0＝x，y0＝3y代入圆方程，得x2＋9y2＝9．即x29＋y2＝1．又y≠0，所以点M的轨迹是一个椭圆，且除去(3,0)和(－3,0)两点．(2)思路分析：利用椭圆的定义解决，最后要注意检验．解：由|AB|＋|BC|＋|AC|＝16，|BC|＝6，可得|AB|＋|AC|＝10＞6＝|BC|，故顶点A在以B，C为焦点，到两焦点距离的和等于10的一个椭圆上运动，且除去BC 直线与椭圆的两个交点．迁移与应用解：由题意知M 在线段CQ 上，从而有|CQ |＝|MQ |＋|MC |． 又M 在AQ 的垂直平分线上，连接AM ，则|MA |＝|MQ |， ∴|MA |＋|MC |＝|CQ |＝5＞|AC |＝2．∴M 的轨迹是以C (－1,0)，A (1,0)为焦点的椭圆，且2a ＝5， ∴a ＝52，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝214．∴M 的轨迹方程为x 2254＋y 2214＝1，即4x 225＋4y 221＝1．当堂检测1．设P 是椭圆22=12516x y +上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( ) A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 答案：D 解析：由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝2a ． ∵a 2＝25，∴2a ＝10． ∴|PF 1|＋|PF 2|＝10．2．椭圆22=1167x y +的焦点坐标为( ) A ．(－4,0)和(4,0) B ．(0，)和(0) C ．(－3,0)和(3,0) D ．(0，－9)和(0,9)答案：C 解析：由已知椭圆的焦点在x 轴上，且a 2＝16，b 2＝7， ∴c 2＝9，c ＝3．∴椭圆的焦点坐标为(－3,0)和(3,0)．3．已知椭圆的焦点是F 1，F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．无法确定答案：A解析：由题意得|PF1|＋|PF2|＝2a(a为大于零的常数，且2a＞|F1F2|)，|PQ|＝|PF2|，∴|PF1|＋|PF2|＝|PF1|＋|PQ|＝2a，即|F1Q|＝2a．∴动点Q到定点F1的距离等于定长2a，故动点Q的轨迹是圆．4．已知P是椭圆22=12516x y+上一点，F1，F2为焦点，且∠F1PF2＝90°，则△PF1F2的面积是______．答案：16解析：由椭圆定义知：|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，①又∵∠F1PF2＝90°，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4c2＝36．②①2－②得|PF1|·|PF2|＝32．∴S＝12|PF1|·|PF2|＝16．5．已知椭圆22=1259x y+上一点M到左焦点F1的距离为6，N是MF1的中点，则|ON|＝______．答案：2解析：设右焦点为F2，连接F2M，∵O为F1F2的中点，N是MF1的中点，∴|ON|＝12|MF2|．又∵|MF1|＋|MF2|＝2a＝10，|MF1|＝6，∴|MF2|＝4，∴|ON|＝2．。
高二数学2.2.1椭圆及其标准方程教案1人教新课标A版选修21
P F 2F 1课题：2.2.1椭圆及其标准方程（1） 第 课时 总序第 个教案课型： 新授课 编写时时间： 年 月 日 执行时间： 年 月 日教学目标：◆ 知识与技能目标理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题；理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法；了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法．◆ 过程与方法目标通过作图展示与操作，必须让学生认同：圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线，是因它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名；已知几何图形建立直角坐标系的两个原则，及引入参量22b a c =-的意义，培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美。
◆ 情感、态度与价值观目标会把几何问题化归成代数问题来分析，反过来会把代数问题转化为几何问题来思考，培养学生的数形结合的思想方法；培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究，培养学生的辩证思维能力．批 注教学重点：理解椭圆的概念，掌握椭圆的定义、会用椭圆的定义解决实际问题。
教学难点：理解椭圆标准方程的推导过程及化简无理方程的常用的方法。
教学用具： 多媒体，三角板 教学方法： 推导，分析教学过程： 一、课前准备（预习教材P 38~ P 40）复习1：过两点(0,1),(2,0)的直线方程 ．复习2：方程22(3)(1)4x y -++= 表示以 为圆心, 为半径的 ．二、新课导学 ※ 学习探究取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变，即笔尖 等于常数．新知１： 我们把平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．反思：若将常数记为2a ，为什么122a F F >？ 当122a F F =时，其轨迹为 ；当122a F F <时，其轨迹为 ．试试：已知1(4,0)F -，2(4,0)F ，到1F ，2F 两点的距离之和等于8的点的轨迹是 ．小结：应用椭圆的定义注意两点：①分清动点和定点；②看是否满足常数122a F F >． 新知２：焦点在x 轴上的椭圆的标准方程 ()222210x y a b a b +=>> 其中222b ac =- 若焦点在y 轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是 ．※ 典型例题例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；⑵4,15a c ==，焦点在y 轴上；⑶10,25a b c +==．变式：方程214x ym+=表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的范围 ．小结：椭圆标准方程中：222a b c =+ ；a b > ．例2 已知椭圆两个焦点的坐标分别是()2,0-，(2,0)，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，求它的标准方程 ．变式：椭圆过点 ()2,0-，(2,0)，(0,3)，求它的标准方程．小结：由椭圆的定义出发，得椭圆标准方程 ．※ 动手试试练1. 已知ABC ∆的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC ∆的周长是（ ）．彗星太阳A ．23B ．6C ．43D ．12练2 ．方程219x ym-=表示焦点在y 轴上的椭圆，求实数m 的范围．三、总结提升 ※ 学习小结 1. 椭圆的定义： 2. 椭圆的标准方程：※ 知识拓展1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空1997年2月至3月间,许多人目睹了这一天文现象天文学家是如何计算出彗星出现的准确时间呢？原来，海尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长．学习评价※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）． A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1．平面内一动点M 到两定点1F 、2F 距离之和为常数2a ，则点M 的轨迹为（ ）．A ．椭圆B ．圆C ．无轨迹D ．椭圆或线段或无轨迹2．如果方程222x ky +=表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是（ ）．A ．(0,)+∞B ．(0,2)C ．(1,)+∞D ．(0,1)3．如果椭圆22110036x y +=上一点P 到焦点1F 的距离等于6，那么点P 到另一个焦点2F 的距离是（ ）．A ．4B ．14C ．12D ．84．椭圆两焦点间的距离为16，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于9和15，则椭圆的标准方程 是 ．5．如果点(,)M x y 在运动过程中，总满足关系式2222(3)(3)10x y x y ++++-=，点M 的轨迹是 ，它的方程是 ．课后作业1. 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点()3,26P -； ⑵焦点坐标分别为()()0,4,0,4-，5a =；⑶10,4a c a c+=-=．2. 椭圆2214x yn+=的焦距为2，求n的值．教学后记：。
高中数学 选修2-1椭圆导学案加课后作业及参考答案
椭圆及其标准方程（一）导学案【学习要求】1．了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2．掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形.【学法指导】1．通过自己亲自动手尝试画图，发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义，培养观察、辨析、归纳问题的能力.2．通过经历椭圆方程的化简，增强战胜困难的意志并体会数学的简洁美、对称美，通过讨论椭圆方程推导的等价性，养成扎实严谨的科学态度【知识要点】1．椭圆：平面内与两个定点F 1，F 2的 的点的轨迹叫做椭圆(ellipse).这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的 . 2.探究点一 椭圆的定义问题1 给你两个图钉、一根无弹性的细绳、一张纸板，能画出椭圆吗？问题2 动点P 到两定点A 、B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0且a 为常数)的轨迹一定是椭圆吗？探究点二 椭圆的标准方程问题1 观察椭圆的形状，你认为怎样选择坐标系才能使椭圆的方程较简单？并写出求解过程.问题2 建系时如果焦点在y 轴上会得到何种形式的椭圆方程？怎样判定给定的椭圆焦点在哪个坐标轴上？问题3 椭圆方程中的a 、b 以及参数c 有什么意义，它们满足什么关系？例1 （1）已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2,0)，(2,0)，并且经过点⎝⎛⎭⎫52，－32，求它的标准方程； （2）若椭圆经过两点(2,0)和(0,1)，求椭圆的标准方程.跟踪训练1 （1）已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点Q (2,1)且与椭圆x 29＋y 24＝1有公共的焦点，求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过P 1(6，1)，P 2(－3，－2)两点，求椭圆的标准方程.例2 已知方程x 2k －4－y 2k －10＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为__________.跟踪训练2 若方程x 2m －y 2m 2－2＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数m 的取值范围是 ( )A ．m >0B ．0<m <1C ．－2<m <1D ．m >1且m ≠ 2探究点三 椭圆的定义及标准方程的应用例3 已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，椭圆上有一点P 满足∠PF 1F 2＝90°(如图).求△PF 1F 2的面积.跟踪训练3 已知椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆两焦点F 1、F 2的连线夹角为直角，则|PF 1|·|PF 2|＝________【当堂检测】1．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为 ( )A ．5B ．6C ．7D ．82．若方程x 225－m ＋y 2m ＋9＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是 ( )A ．－9<m <25B ．8<m <25C ．16<m <25D ．m >83．椭圆x 216＋y 232＝1的焦距为________.4．已知椭圆经过点(3，0)且与椭圆x 24＋y 29＝1的焦点相同，则这个椭圆的标准方程为____________【课堂小结】1．平面内到两定点F 1，F 2的距离之和为常数，即|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 当2a >|F 1F 2|时，轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，轨迹不存在.2．对于求解椭圆的标准方程一般有两种方法：可以通过待定系数法求解，也可以通过椭圆的定义进行求解. 3．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解，避免了分类讨论，达到了简化运算的目的.【拓展提高】1．已知P 是椭圆13422=+y x 上的点，21F F 、分别是椭圆的左、右焦点，21=，则21PF F ∆的面积为（ ） A ．33B ．3C ．32D ．33 2．已知椭圆的两焦点为P F F ),0,1()0,1(21、-为椭圆上一点，且21212PF PF F F += （1）求此椭圆方程（2）若点P 在第二象限，21012,120F PF PF F ∆=∠求的面积3．如果点),(y x M 在运动过程中总满足关系10)3()3(2222=+++-+y x y x ，点M 的轨迹是 ，它的方程是 4． 椭圆22194x y +=的焦点为F 1、F 2，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，求P 点横坐标的取值范围。
椭圆及其标准方程
高二数学 选修2-1椭圆及其标准方程（1） 课时：1课时 编号:37学习目标:1. 掌握椭圆、椭圆的焦点、焦距的定义，能推导出椭圆的标准方程； 2．会根据所给条件，求出椭圆的标准方程. 重点:椭圆的定义和标准方程 难点:标准方程的推导 学习过程:一、合作探究 归纳展示1. （动手操作）取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？2．椭圆的定义：F 1,F 2称为椭圆的 ，| F 1F 2|为椭圆的 .思考1：椭圆定义中为什么要规定2a >| F 1F 2|？3．椭圆标准方程的推导：(1)建系：思考2：你会有几种建系方案?以___________________为x 轴， ________________为y 轴，建立直角 坐标系（如右图所示）(2)设点：设M (x ，y )是椭圆上任一点，焦距为2c (c >0)， 则焦点 F 1、F 2的坐标分别是________、_________，设M 到焦点F 1、F 2的距 离之和为2a (a >0).(3)列式:椭圆方程满足的条件：由椭圆定义可知点M 所满足的关系式为：12||||MF MF +=______，由两点间的距离公式得：1MF =__________________2MF =__________________，故点M 所满足的方程为：_____________________. (4)化简：通过移项，平方，整理得：22__________x y+=1……① 由椭圆的定义可知道，2a >2c >0，即a >c >0，故2a >2c .思考3：观察右图，你能从中找出表示a,c,22a c -的线段吗？令22||b PO a c ==-，可知a >b ，则①可写成：22__________x y +=1(a >b >0) ……② 称②式为椭圆的标准方程，它表示焦点在_____轴上，两焦点坐标分别为 、 .思考4：当椭圆的焦点在y 轴上时，它的标准方程又会是什么呢？4.椭圆的标准方程：焦点在x 轴上： ；焦点在y 轴上：（其中c b a ,,的关系为： ）二、预习自测 1、若F 1(—3，0)和F 2(3，0)，且12||||MF MF +=8，则动点M 的轨迹为____________2、椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为4，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A 、5 B 、6 C 、4 D 、10 3、指出下列方程中的,,a b c 的值，焦距,焦点的位置和坐标. （1） 22194y x +=； ⑵22194y x +=； ⑶221916y x +=； ⑷228324x y += 第（1）题 第（2）题 第（3）题 第（4）题 a 的值 b 的值 c 的值 焦距 焦点的位置 焦点坐标4、写出适合下列条件的椭圆的标准方程. （1）a =4,b =3,焦点在x 轴； （2）a =6,c=1焦点在y 轴上；（3）两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10.四、学能展示 课堂闯关例：已知椭圆的两个焦点的坐标分别是()()2,0,2,0-，并且经过点53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭ ，求它的标准方程.五、当堂检测1、椭圆的方程为1162522=+y x ，椭圆上点P 到一个焦点的距离为3，则它到另一个焦点的距离为 2、若C 、D 是以F 1、F 2为焦点的椭圆1162522=+y x 上的两点，CD 过点F 1，则△F 2CD 的周 长为（ ） A ．20 B ．16 C ．12 D ．103、焦点坐标为（0，-4）、（0，4），a=5的椭圆的标准方程为（ ）A ．1162522=+y x B ．192522=+y x C ．1251622=+y x D ．125922=+y x 4、动点M 到两个定点A （0，-2）、B （0，2）的距离的和是16，则动点M 的轨迹方程是 5、设a+c=10，a-c=4，则椭圆的标准方程是6、若方程13522-=-+-ky k x 表示的曲线是椭圆，则k 的取值范围是( ） A ．（3，5） B ．（-∞，3） C ．（3，4）∪（4，5） D ．（5，+∞） 六、小结、反思1、 收获（知识方面和思想、方法方面）：2、困惑：七、课后作业P49 习题 A 组 第1、2题。
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