课时跟踪检测(十四) 变量间的相关关系 两个变量的线性相关 Word版含解析
课时跟踪检测(十四) 变量间的相关关系
课时跟踪检测(十四) 变量间的相关关系一、选择题1．下列变量是线性相关的是( ) A ．人的体重与视力B ．圆心角的大小与所对的圆弧长C ．收入水平与购买能力D ．人的年龄与体重2．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为A.y ^＝1.5x ＋2 B.y ^＝－1.5x ＋2 C.y ^＝1.5x －2 D.y ^＝－1.5x －23．设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线如图所示，则以下结论正确的是( )A ．直线l 过点(x ，y )B ．回归直线必通过散点图中的多个点C ．直线l 的斜率必在(0,1)D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同4．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本的中心点(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg5．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中，回归系数b ^( ) A ．不能小于0 B ．不能大于0 C ．不能等于0 D ．只能小于0二、填空题6．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y (kg)对身高x (cm)的回归方程为y ^＝0.72x －58.2，张红同学(20岁)身高为178 cm ，她的体重应该在________ kg 左右．7．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为________．8．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x (单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：小李这56号打6小时篮球的投篮命中率为________．三、解答题9．一项关于16艘轮船的研究中，船的吨位区间为[192，3 246](单位：吨)，船员的人数5～32人，船员人数y 关于吨位x 的回归方程为y ^＝9.5＋0.006 2x ，(1)若两艘船的吨位相差1 000，求船员平均相差的人数． (2)估计吨位最大的船和最小的船的船员人数．10．某工厂对某种产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：(1)画出散点图；(2)求成本y 与产量x 之间的线性回归方程； (3)预计产量为8千件时的成本．答案：课时跟踪检测(十四)1．选C B 为确定性关系；A ，D 不具有线性关系，故选C.2．选B 设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，由散点图可知变量x 、y 之间负相关，回归直线在y 轴上的截距为正数，所以b ^<0，a ^>0，因此方程可能为y ^＝－1.5x ＋2.3．选A A 是正确的；回归直线可以不经过散点图中的任何点，故B 错误；回归直线的斜率不确定，故C 错误；分布在l 两侧的样本点的个数不一定相同，故D 错误．4．选D 回归分析受多种因素的影响，预测值与真实值有一定的误差．5．选C 当b ^＝0时，r ＝0，这时不具有线性相关关系，但b ^能大于0，也能小于0. 6．解析：用回归方程对身高为178 cm 的人的体重进行预测，当x ＝178时，y ^＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．答案：69.967．解析：由回归直线过点(x ，y )，即y ＝0.7x ＋0.35， 得2.5＋t ＋4＋4.54＝0.7×3＋4＋5＋64＋0.35，即11＋t4＝3.5，解得t ＝3. 答案：38．解析：小李这5天的平均投篮命中率y ＝15(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5，x ＝3，b ^＝∑i ＝1n(x i －x )(y i －y )∑i ＝1n(x i －x )2＝0.2＋0＋0＋0.1＋(－0.2)(－2)2＋(－1)2＋0＋12＋22＝0.01，a ^＝y －b ^x ＝0.47，∴线性回归方程为y ^＝0.01x ＋0.47， 则当x ＝6时，y ＝0.53.∴预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为0.53. 答案：0.5 0.539．解：(1)设两艘船的吨位分别为x 1，x 2则 y ^1－y ^2＝9.5＋0.006 2x 1－(9.5＋0.006 2x 2) ＝0.006 2×1 000≈6， 即船员平均相差6人．(2)当x ＝192时，y ^＝9.5＋0.006 2×192≈10， 当x ＝3 246时，y ^＝9.5＋0.006 2×3 246≈29.即估计吨位最大和最小的船的船员数分别为29人和10人．10．解：(1)散点图如右：(2)设成本y 与产量x 的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^， x ＝2＋3＋5＋64＝4，y ＝7＋8＋9＋124＝9. b ^＝1221ni ix yi ni xi x yn xn --=-=--∑∑＝1110＝1.1， a ^＝y －b ^x ＝9－1.1×4＝4.6. 所以，回归方程为y ^＝1.1x ＋4.6.(3)当x ＝8时，y ^＝1.1×8＋4.6＝8.8＋4.6＝13.4，即产量为8千件时，成本约为13.4万元．。
数学人教B版必修3教案：2.3.2两个变量的线性相关 Word版含答案
课题 2.3.2两个变量的线性相关总课时 1教学要求经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．教学重点难点经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程，知道最小二乘法的思想；能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．教法讲练教学过程一、复习引入那么如何求回归直线方程呢？人们在思考这个问题的时候，常用以下3种方法：1、采用测量的方法，先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程．2、在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同．3、在散点图中多取几个点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距．上面的这些方法虽然有一定的道理，但总让人感觉到可靠性不强．统计学中，科学家们经过研究后于是得出了如下方法：求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离和最小”．现在，我们来看一下数学家解决这个问题的思维过程吧．二、新课讲授（一）知识点讲解设已经得到具有线性相关关系的一组数据：，所要求的回归直线方程为：，其中，是待定的系数．当变量取时，可以得到，求的最小值．其步骤为：（二）例题讲解总结用最小二乘法求回归方程的过程步骤并利用回归方程进行对变量进行预测．（三）课堂练习1．变量y与x之间的回归方程（）A．表示y与x之间的函数关系B．表示y和x之间的不确定关系C．反映y和x之间真实关系的形式D．反映y与x之间的真实关系达到最大限度的吻合2．若用水量x与某种产品的产量y的回归直线方程是ˆy=2x＋1250，若用水量为 50kg时，预计的某种产品的产量是（）A．1350 kg B．大于 1350 kg C．小于1350kg D．以上都不对。
高中数学变量之间的相关关系两个变量的线性相关统计总结练习有答案解析A
变量之间的相关关系、两个变量的线性相关一、变量间的相关关系1.相关关系的定义变量间确实存在关系,但又不具备函数关系所要求的确定性,它们的关系是带有①的,那么这两个变量之间的关系叫做相关关系.两个变量之间的关系分为②和③.2.散点图将样本中n个数据点(xi ,yi)(i=1,2,…,n)描在平面直角坐标系中得到的图形叫做散点图.3.正相关与负相关(1)正相关:如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值也由小变大,这种相关称为④.(2)负相关:如果一个变量的值由小变大时,另一个变量的值由大变小,这种相关称为⑤.二、两个变量的线性相关1.最小二乘法设x、Y的一组观察值为(xi ,yi),i=1,2,…,n,且回归直线方程为y^=a+bx.当x取值xi(i=1,2,…,n)时,Y的观察值为yi ,差yi-y^i(i=1,2,…,n)刻画了实际观察值yi与回归直线上相应点纵坐标之间的偏离程度,通常用离差的平方和,即Q=⑥作为总离差,并使之达到⑦.这样,回归直线就是所有直线中Q取最小值的那一条.由于平方又叫二乘方,所以这种使“⑧”的方法,叫做最小二乘法.2.回归直线方程回归直线方程回归系数a^方程或公式y^=⑨b^=⑩a^=上方加记号y^表示a、b上方加“^”表示是由“^”的意义判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)1.相关关系与函数关系都是一种确定性的关系,也是一种因果关系.( )2.“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.( )3.某同学研究卖出的热饮杯数y(杯)与气温x(℃)之间的关系,得到回归方程y^=-2.352x+147.767,则气温为2 ℃时,一定可卖出143杯热饮.( )一、判断两个变量的相关性1.(2015课标Ⅱ,3,5分,★☆☆)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是( )A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关2.(2015黑龙江哈六中期末,★★☆)对变量x,y有观测数据(xi ,yi)(i=1,2,3,…,10),得散点图(1);对变量u,v有观测数据(ui ,vi)(i=1,2,3,…,10),得散点图(2),由这两个散点图可以判断( )A.y 与x 正相关,v 与u 正相关B.y 与x 正相关,v 与u 负相关C.y 与x 负相关,v 与u 正相关D.y 与x 负相关,v 与u 负相关思路点拨 直接根据散点图中“点”的分布情况进行判断.二、散点图的画法与应用3.(2015河北唐山一模,14,★☆☆)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律,得到了下表中的数据,计算得回归直线方程为y ^=0.85x-0.25.由以上信息,可得表中c 的值为 .天数x34 5 6 7 繁殖数量y(千个) 2.5344.5c4.(2014吉林十中调研,★☆☆)如图所示的五组数据(x,y)中,去掉 后,剩下的四组数据相关性增强.三、利用线性回归方程的特点解题5.(2014重庆,3,5分,★☆☆)已知变量x 与y 正相关,且由观测数据算得样本平均数x =3,y =3.5,则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) A.y ＾=0.4x+2.3 B.y ＾=2x-2.4 C.y ＾=-2x+9.5 D.y ＾=-0.3x+4.46.(2014山东潍坊月考,★★☆)为了均衡教育资源,加大对偏远地区的教育投入,调查了某地区若干户家庭的年收入x(单位:万元)和年教育支出y(单位:万元),调查显示年收入x 与年教育支出y 具有相关关系,并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程为y ^=0.15x+0.2.由回归直线方程可知,家庭年收入每增加1万元,年教育支出平均增加 万元. 四、利用线性回归方程对总体进行估计7.(2015黑龙江哈六中期末,★★☆)已知某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(x i ,y i )(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为y ^=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是( ) A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(x ,y )C.若该大学某女生身高增加1 cm,则其体重约增加0.85 kgD.若该大学某女生身高为170 cm,则可断定其体重必为58.79 kg8.(2015福建,4,5分,★★☆)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:收入x(万元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(万元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得回归直线方程y ^=b ^x+a ^,其中b ^=0.76,a ^=y -b ^x . 据此估计,该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( ) A.11.4万元 B.11.8万元 C.12.0万元 D.12.2万元题组一 两个变量相关关系及回归直线方程问题1.设有一个回归方程为y ^=2-1.5x,则变量x 增加1个单位时,y 平均( ) A.增加1.5个单位 B.增加2个单位 C.减少1.5个单位 D.减少2个单位2.由三点(3,10),(7,20),(11,24)确定的线性回归方程为( ) A.y ^=1.75x-5.75B.y ^=1.75x+5.75C.y^=-1.75x+5.75D.y^=-1.75x-5.753.某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关,则其回归方程可能是( )A.y^=-10x+200B.y^=10x+200C.y^=-10x-200D.y^=10x-2004.已知x与y之间的一组数据:x 0 1 2 3y 1 3 5 7若y与x线性相关,则y与x的回归直线y^=bx+a必过( )A.点(2,2)B.点(1.5,0)C.点(1,2)D.点(1.5,4)题组二回归分析及其应用5.某地区近10年居民的年收入x与年支出y之间的关系大致符合y^=0.8x+0.1(单位:亿元),预计今年该地区居民收入为15亿元,则今年支出估计是亿元.6.某市居民2008~2012年家庭年平均收入x(单位:万元)与年平均支出y(单位:万元)的统计资料如下表所示:年份2008 2009 2010 2011 2012收入x 11.5 12.1 13 13.3 15支出y 6.8 8.8 9.8 10 12根据统计资料,居民家庭年平均收入的中位数是万元,家庭年平均收入与年平均支出有线性相关关系.7.某5名学生的总成绩和数学成绩如下表(单位:分):学生 A B C D E总成绩x 428 383 421 364 362数学成绩y 78 65 71 64 61(1)画出散点图;(2)求y对x的回归直线方程(结果保留到小数点后3位数字);(3)如果一个学生的总成绩为450分,试预测这个学生的数学成绩.8.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据.x 3 4 5 6 y2.53 44.5(1)请画出上表数据的散点图;(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y=b ^x+a ^;(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据(2)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤.(参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)模拟(时间:40分钟;分值:60分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016山东师大附中期末,★☆☆)已知某种产品的支出广告额x 与利润额y 之间有如下对应数据(单位:万元):x34567y 20 30 30 40 60若y 与x 线性相关,则y 与x 的回归直线必过( ) A.(5,36) B.(5,35) C.(5,30) D.(4,30)2.(2016辽宁大连模拟,★☆☆)已知x,y 的取值如下表所示:x2 3 4y 6 4 5如果y与x线性相关,且线性回归方程为y^=bx+132,则b=( )A.-12B.12C.-110D.1103.(2015黑龙江绥化三校联考,★★☆)下列图中的两个变量是相关关系的是( )A.①②B.①③C.②④D.②③4.(2015河北衡水调研,★★☆)两个相关变量满足下表:x 10 15 20 25 30y10031005101010111014则两变量的回归直线方程为( )A.y^=0.56x+997.4B.y^=0.63x-231.2C.y^=50.2x+501.4D.y^=60.4x+400.7二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2016辽宁沈阳模拟,★☆☆)在一次试验中测得(x,y)的四组数据如下:x 16 17 18 19y 50 34 41 31根据上表可得回归方程为y^=-5x+a^,据此模型预报当x=20时,y的值为.6. (2015黑龙江双鸭山一中期末,★★☆)某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据:产量x(千件) 2 3 5 6成本y(万元) 789 12由表中数据得到的线性回归方程y ^=b ^x+a ^中b ^=1.1,预测当产量为9千件时,成本约为 万元.三、解答题(每小题15分,共30分)7.(2015重庆一中期末,★★☆)某地最近十年粮食需求量逐年上升,下表是部分统计数据:第x 年 1 2 3 4 5 需求量y(万吨)36 578(1)利用所给数据求两变量之间的回归直线方程y ^=b ^x+a ^;(2)利用(1)中所求出的回归直线方程预测该地第6年的粮食需求量.8.(2015黑龙江绥化三校联考,★★☆)从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i 个家庭的月收入x i (单位:千元)与月储蓄y i (单位:千元)的数据资料,算得∑i=110x i =80,∑i=110y i =20,∑i=110x i y i =184,∑i=110x i 2=720.(1)求月储蓄y(千元)关于月收入x(千元)的线性回归方程; (2)若该居民区某家庭的月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为: b ^=∑i=1nx i y i -nxy ∑i=1nx i 2-nx 2,a ^=y -b ^x .知识清单①随机性 ②函数关系 ③相关关系 ④正相关 ⑤负相关 ⑥∑i=1n(y i -a -bx i )2⑦最小 ⑧离差平方和为最小⑨a +bx ⑩∑i=1nx i y i -nxy∑i=1nx i 2-nx 2 ⑪y -b ^x ⑫回归直线上点的纵坐标观察值按最小二乘法求得的估计值1.✕2.√3.✕链接高考1.D 由柱形图可知:A 、B 、C 均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量在逐渐减少,所以排放量与年份负相关,∴D 不正确.2.C 根据散点图直接进行判断.3.答案 6 解析 x =3+4+5+6+75=5,y =2.5+3+4+4.5+c 5=14+c5,代入回归直线方程中得14+c 5=0.85×5-0.25,解得c=6.4.答案 (4,10)解析 去掉点(4,10)后,其余四点大致在一条直线附近,相关性增强.5.A 由变量x 与y 正相关知C 、D 均错,又回归直线经过样本点的中心(3,3.5),代入验证得A 正确,B 错误.故选A.6.答案 0.15解析 回归直线的斜率为0.15,所以家庭年收入每增加1万元,年教育支出平均增加0.15万元. 7.D8.B 由统计数据表可得x =8.2+8.6+10.0+11.3+11.95=10.0,y =6.2+7.5+8.0+8.5+9.85=8.0,则a ^=8.0-0.76×10.0=0.4,所以回归直线方程为y ^=0.76x+0.4,当x=15时,y ^=0.76×15+0.4=11.8,故估计年收入为15万元家庭的年支出为11.8万元.故选B.基础过关1.C 根据y ^=a ^+b ^x 中b ^的意义可知选C.2.B 设回归直线方程为y ^=b ^x+a ^,则 b ^=x 1y 1+x 2y 2+x 3y 3-3x yx 12+x 22+x 32-3x 2=3×10+7×20+11×24-3×7×189+49+121-3×49=1.75,a ^=y -b ^x =18-1.75×7=5.75. 故y ^=1.75x+5.75,故选B.3.A x 的系数为负数,表示负相关,排除B 、D,由实际意义可知x>0,y>0,C 中,散点图在第四象限无意义,故选A.4.D x =0+1+2+34=1.5,y =1+3+5+74=4.∴回归直线必过点(1.5,4).故选D. 5.答案 12.1解析 将x=15代入y ^=0.8x+0.1,得y ^=12.1. 6.答案 13;正解析 考查中位数的定义,奇数个时按大小顺序排列后中间一个是中位数,而偶数个时需取中间两数的平均数.由统计资料可以看出,当年平均收入增多时,年平均支出也增多,因此两者之间具有正线性相关关系.7.解析 (1)散点图如图所示:(2)由题中数据计算可得 x =391.6,y =67.8,∑i=15x i 2=770 654,∑i=15x i y i =133 548.代入公式得^b=133 548-5×391.6×67.8770 654-5×391.62≈0.204,^a=67.8-0.204×391.6≈-12.086,所以y 对x 的回归直线方程为^y=-12.086+0.204x.(3)由(2)得当总成绩为450分时,^y=-12.086+0.204×450≈80,即这个学生的数学成绩大约为80分. 8.解析 (1)由题设所给数据,可得散点图如图.(2)由对照数据,计算得∑i=14x i 2=86,x =3+4+5+64=4.5,y =2.5+3+4+4.54=3.5,已知∑i=14x i y i =66.5,所以,由最小二乘法确定的回归方程的系数为b ^=∑i=14x i y i -4x ·y ∑i=14x i2-4x 2=66.5-4×4.5×3.586-4×4.52=0.7,a ^=y -b ^x =3.5-0.7×4.5=0.35.因此,所求的线性回归方程为y=0.7x+0.35.(3)由(2)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗,得降低的生产能耗为90-(0.7×100+0.35)=19.65吨标准煤.模拟一、选择题1.A 因为x =15×(3+4+5+6+7)=5,y =15×(20+30+30+40+60)=36,故回归直线必过点(5,36),故选A.2.A ∵x =2+3+43=3,y =6+4+53=5,∴回归直线过点(3,5),∴5=3b+132,∴b=-12,故选A.3.D4.A 根据题意,得x =20,y =1 008.6,b ^=∑i=15(x i -x )(yi -y )∑i=15(x i -x )2=0.56,a ^=y -b ^x =997.4,∴回归直线方程为y ^=0.56x +997.4.故选A .二、填空题5.答案 26.5解析 x =16+17+18+194=17.5,y =50+34+41+314=39,∴回归直线过点(17.5,39),∴39=-5×17.5+a ^,∴a ^=126.5,∴x=20时,y=-5×20+126.5=26.5.6.答案 14.5解析 由表中数据得x =4,y =9,代入回归直线方程得a ^=4.6,∴当x=9时,y ^=1.1×9+4.6=14.5.三、解答题7.解析 (1)由所给数据得 x =3,y =5.8,b ^=∑i=15(x i -x )(y i -y )∑i=15(x i -x )2=1.1,a ^=y -b ^x =2.5,∴y ^=1.1x+2.5故所求的回归直线方程为y ^=1.1x+2.5.(2)第6年的粮食需求量约为y ^=1.1×6+2.5=9.1(万吨).8.解析 (1)由题意知n=10,x =1n ∑i=110x i =110×80=8, y =1n ∑i=110y i =110×20=2,又∑i=110x i 2-nx 2=720-10×82=80,∑i=110x i y i -nxy =184-10×8×2=24,由此得b ^=2480=0.3,a ^=y -b ^x =2-0.3×8=-0.4,故所求线性回归方程为y ^=0.3x-0.4.(2)将x=7代入回归方程,可以得到该家庭的月储蓄约为y ^=0.3×7-0.4=1.7(千元).。
高中数学第二章统计2.3变量间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关检测新人教A版必修3(2021
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2.3.2 两个变量的线性相关A级基础巩固一、选择题1．设有一个回归方程为错误!＝2－1.5x，则变量x增加1个单位时，y平均( )A．增加1。
5个单位B．增加2个单位C．减少1。
5个单位D．减少2个单位解析:由于错误!＝－1.5<0，故选C。
答案：C2.已知变量x,y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示,则其回归方程可能为（）A.错误!＝1。
5x＋2B.错误!＝－1.5x＋2C.错误!＝1。
5x－2D。
错误!＝－1.5x－2解析：设回归方程为错误!＝错误!x＋错误!，由散点图可知变量x,y之间负相关,回归直线在y轴上的截距为正数，所以错误!〈0，错误!>0，因此方程可能为错误!＝－1。
5x＋2.答案：B3．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程错误!＝错误!＋错误!x中，回归系数错误!( )A．不能小于0 B．不能大于0C．不能等于0 D．只能小于0解析：当错误!＝0时，r＝0,这时不具有线性相关关系，但错误!能大于0，也能小于0.答案:C4．已知变量x与y正相关，且由观测数据算得样本平均数错误!＝3，错误!＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ）A.错误!＝0.4x ＋2.3 B 。
人教版数学高一课时作业变量之间的相关关系-2.3.2两个变量的线性相关
2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关1．下列变量是线性相关的是( )A ．人的体重与视力B ．圆心角的大小与所对的圆弧长C ．收入水平与购买能力D ．人的年龄与体重2. 已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为( )A.y ∧＝1.5x ＋2B.y ∧＝－1.5x ＋2C.y ∧＝1.5x －2D.y ∧＝－1.5x －23.设(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线如图所示，则以下结论正确的是( )A ．直线l 过点(x ，y )B ．回归直线必通过散点图中的多个点C ．直线l 的斜率必在(0,1)D ．当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同4．一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，由此建立的身高与年龄的回归模型为y ＝7.19x ＋73.93，用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )A ．身高一定是145.83 cmB ．身高在145.83 cm 以上C ．身高在145.83 cm 以下D ．身高在145.83 cm 左右5．下列说法：①回归方程适用于一切样本和总体；②回归方程一般都有局限性；③样本取值的范围会影响回归方程的适用范围； ④回归方程得到的预测值是预测变量的精确值． 正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．6．一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高，现对10名成年人的脚掌长x 与身高y 进行测量，得到数据(单位均为cm)如表，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，经计算得到一些数据：∑i ＝110 (x i －x )(y i －y )＝577.5，∑i ＝110(x i －x )2＝82.5；某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印，量得每个脚印长为26.5 cm ，则估计案发嫌疑人的身高为________cm.7由其散点图可知，用水量y 与月份x 之间有较好的线性相关关系，其回归直线方程是y ∧＝－0.7x ＋a ∧，则a ∧＝________.8．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利y (元)，与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据关系见表已知∑i ＝1nx 2i ＝280，∑i ＝1n y 2i ＝45 209，∑i ＝1nx i y i ＝3 487.(1)求x ，y ； (2)求回归方程．9．某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据y 235 6(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y∧＝b∧x＋a∧；(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．(相关公式：b∧＝∑i＝1nx i y i－n x y∑i＝1nx2i－n x2，a∧＝y∧－b∧x)参考答案1.【解析】B为确定性关系；A，D不具有线性关系，故选C.【答案】C2.【解析】设回归方程为y ∧＝b ∧x ＋a ∧，由散点图可知变量x ，y 之间负相关，回归直线在y 轴上的截距为正数，所以b ∧＜0，a ∧＞0，因此方程可能为y ∧＝－1.5x ＋2. 【答案】B3.【解析】A 是正确的；回归直线可以不经过散点图中的任何点，故B 错误；回归直线的斜率不确定，故C 错误；分布在l 两侧的样本点的个数不一定相同，故D 错误． 【答案】A4.【解析】当x ＝10时，y ＝145.83 cm ，所以身高在145.83 cm 左右，选D. 【答案】D5.【解析】样本或总体具有线性相关关系时，才可求回归方程，而且由回归方程得到的函数值是近似值，而非精确值，因此回归方程有一定的局限性．所以①④错． 【答案】②③6.【解析】 回归方程的斜率b ∧＝∑i ＝110（x i －x ）（y i －y ）∑i ＝110（x i －x ）2＝577.582.5＝7，x ＝24.5，y ＝171.5，截距a ∧＝y －b ∧x ＝0，即回归方程为y ∧＝7x ，当x ＝26.5时，y ＝185.5. 【答案】 185.57.【解析】x ＝14(1＋2＋3＋4)＝52，y ＝14(4.5＋4＋3＋2.5)＝72.又∵⎝⎛⎭⎫52，72在y ∧＝－0.7x ＋a ∧上，∴72＝－0.7×52＋a ∧， 解得a ∧＝5.25. 【答案】5.258.解：(1)x ＝17×(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9)＝6，y ＝17×(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91)＝5597.(2)b ∧＝3 487－7×6×5597280－7×36＝194，∴a ∧＝5597－194×6＝71914，∴所求回归方程为y ∧＝194x ＋71914. 9.解：(1)如图：(2)∑i ＝1nx i y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x ＝6＋8＋10＋124＝9，y ＝2＋3＋5＋64＝4，∑i ＝1nx 2i ＝62＋82＋102＋122＝344， b ∧＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，a ∧＝y －b ∧x ＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为y ∧＝0.7x －2.3.(3)由回归直线方程预测，记忆力为9的同学的判断力约为4.。
2020高中数学 14 变量间的相关关系 两个变量的线性相关(含解析)
课时分层作业(十四) 变量间的相关关系两个变量的线性相关（建议用时:60分钟)[基础达标练]一、选择题1．有几组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程;②平均日学习时间和平均学习成绩；③立方体的棱长和体积．其中两个变量成正相关的是（)A．①③B．②③C．②D．③C［①是负相关；②是正相关；③不是相关关系．]2．由一组样本数据（x1,y1），(x2，y2),…，(x n，y n）得到的回归直线方程为错误!＝错误!x＋错误!，那么下面说法不正确的是（) A．直线错误!＝错误!x＋错误!必经过点（错误!，错误!)B．直线错误!＝错误!x＋错误!至少经过点(x1，y1），（x2，y2）,…，（x n,y n）中的一个点C．直线错误!＝错误!x＋错误!的斜率为D．直线错误!＝错误!x＋错误!是最接近y与x之间真实关系的一条直线B［回归直线一定经过样本点的中心，故A正确；直线错误!＝错误!x＋错误!可以不经过样本点中的任何一点,故B错误．由回归方程的系数可知C正确；在直角坐标系中，直线错误!＝错误!x＋错误!与所有样本点的偏差的平方和最小,故D正确；］3．四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且错误!＝2.347x－6.423；②y与x负相关且错误!＝－3。
476x＋5.648;③y与x正相关且错误!＝5.437x＋8。
493；④y与x 正相关且错误!＝－4.326x－4.578.其中一定不正确的结论的序号是( ）A．①②B．②③C．③④D．①④D［由正负相关的定义知①④一定不正确．］4．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下：则y对x的线性回归方程为（)A．y＝x－1 B．y＝x＋1C．y＝88＋错误!x D．y＝176C[x＝错误!＝176,错误!＝错误!＝176。
根据回归直线过样本中心点(错误!、错误!）验证知C符合．]5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：错误!错误!错误!错误!型预报广告费用为6万元时，销售额为( )A．63。
课时作业21：2.3.1 变量之间的相关关系~2.3.2 两个变量的线性相关
2.3变量间的相关关系2.3.1变量之间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关基础过关1.在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是()解析A是函数关系，B中两个变量具有较强的正相关关系，C是负相关，D中两个变量不具有任何关系.答案B2.工人月工资y(元)依劳动生产率x(千元)变化的回归方程为y^＝60＋90x，下列判断正确的是()A.劳动生产率为1千元时，工资为50元B.劳动生产率提高1千元时，工资提高150元C.劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元D.劳动生产率为1千元时，工资为90元解析因工人月工资y依劳动生产率x变化的回归方程为y^＝60＋90x，当x由a 提高到a＋1时，y^2－y^1＝60＋90(a＋1)－60－90a＝90.答案C3.我国新冠肺炎疫情防控进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是()A.这11天复工指数和复产指数均逐日增加B.这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量C.第2天至第11天复工复产指数均超过80%D.第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量解析由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11天复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指数与复工指数的差大于第11天的复产指数与复工指数的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误；由图可知，第2天的复工指数未超过80%，故C错误；由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确；故选D.答案D4.下列各组变量中是函数关系的有________；是相关关系的有________；没有关系的是________.(填序号)①电压U与电流I；②自由落体运动中位移s与时间t；③粮食产量与施肥量；④人的身高与体重；⑤广告费支出与商品销售额；⑥地球运行的速度与某个人行走的速度.答案①②③④⑤⑥5.已知x，y的值如下表所示：如果y与x呈线性相关且回归直线方程为y^b^x＋3.5，那么b^＝________.解析由表可知x－＝3，y－＝5，代入y^＝b^x＋3.5得b^＝0.5.答案0.56.从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x i(单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑10i ＝1x i ＝80，∑10i ＝1y i ＝20，∑10i ＝1x i y i ＝184，∑10i ＝1x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄. 附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑10i ＝1x i y i －n x － y －∑10i ＝1x 2i －nx －2，a ^＝y －－b ^x －，其中x －，y －为样本平均值.解 (1)由题意知n ＝10，x －＝∑10i ＝1x i ＝8010＝8，y －＝∑10i ＝1y i ＝2010＝2，b ^＝∑10i ＝1x －y－∑10i ＝1x 2i－10x－2＝184－10×8×2720－10×82＝2480＝0.3， a ^＝y －－b ^x －＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求回归方程为y ^＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ^＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关. (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ^＝0.3×7－0.4＝1.7(千元). 7.下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：参考公式：b ^＝∑ni ＝1x i y i －n x － y－∑ni ＝1x 2i －nx－2，a ^＝y －－b ^x －(1)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)已知该厂技术改造前100吨甲产品能耗为90吨标准煤，试根据(1)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低多少吨标准煤？解 (1)由已知，可求x －＝4.5，y －＝3.5，∑4i ＝1x i y i ＝66.5，4x － y －＝63，∑4i ＝1x 2i ＝86，4x －2＝81，所以b ^＝66.5－6386－81＝0.7，a ^＝0.35，所以线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(2)因为y ^＝0.7×100＋0.35＝70.35，90－70.35 ＝19.65，所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤.能力提升8.已知变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，变量y 与z 正相关，下列结论中正确的是( )A.x 与y 正相关，x 与z 负相关B.x 与y 正相关，x 与z 正相关C.x 与y 负相关，x 与z 负相关D.x 与y 负相关，x 与z 正相关解析因为变量x 和y 满足关系y ＝－0.1x ＋1，一次项系数－0.1＜0，所以x 与y 负相关；变量y 与z 正相关，设y ＝kz (k ＞0)，所以kz ＝－0.1x ＋1， 得到z ＝－0.1k x ＋1k ，一次项系数小于0，所以z 与x 负相关. 答案 C9.已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^.若某同学根据上表中的前两组数据(1，0)和(2，2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( ) A.b ^＞b ′，a ^＞a ′ B.b ^＞b ′，a ^＜a ′ C.b ^＜b ′，a ^＞a ′D.b ^＜b ′，a ^＜a ′解析 由(1，0)，(2，2)求b ′，a ′. b ′＝2－02－1＝2，a ′＝0－2×1＝－2.求a ^，b ^时，∑6,i ＝1x i y i ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，x －＝72，y －＝136，∑6,i ＝1x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴b ^＝58－6×72×13691－6×（72）2＝57，a ^＝136－57×72＝136－52＝－13，∴b ^＜b ′，a ^＞a ′.答案 C10.已知x ，y 间的一组数据如表：对于表中数据，现给出如下拟合直线：①y ＝x ＋1；②y ＝2x －1；③y ＝85x －25；④y ＝32x .则根据最小二乘法思想可得拟合程度最好的直线是________.(填序号) 解析 线性回归直线必过点(x －，y －)，又x －＝4，y －＝6，①当x ＝4时，y ＝5，不成立；②当x ＝4时，y ＝7，不成立；③当x ＝4时，y ＝6，当x ＝6时，y ＝9.2；④当x ＝4时，y ＝6，当x ＝6时，y ＝9，所以拟合程度最好的直线是④. 答案 ④11.期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y 对总成绩x 的回归方程为y ^＝6＋0.4x .由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分. 解析 令两人的总成绩分别为x 1，x 2. 则对应的数学成绩估计为 y ^1＝6＋0.4x 1，y ^2＝6＋0.4x 2，所以|y ^1－y ^2|＝|0.4(x 1－x 2)|＝0.4×50＝20. 答案 2012.一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会有缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表所示.(1)作出散点图；(2)如果y 与x 成线性相关关系，求出回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？解 (1)根据表中的数据画出散点图如图所示.(2)由散点图知，y 与x 成线性相关关系. 设回归方程为：y ^＝b ^x ＋a ^，并列表如下：则x －＝12.5，y －＝8.25，∑4i ＝1x 2i ＝660，∑i ＝1x i y i ＝438.∴b ^＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.73，a ^＝8.25－0.73×12.5≈－0.88， ∴y ^＝0.73x －0.88.(3)令0.73x －0.88≤10，解得x ≤14.9≈15. 故机器的运转速度应控制在15转/秒内.创新突破13.某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：(1)求回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝－20，a ^＝y －－b ^x －；(2)预计在今后的销售中，销售量与单价仍然服从(1)中的关系，并且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应为多少元？(利润＝销售收入－成本)解 (1)由于x －＝16(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y －＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，又b ^＝－20，所以a ^＝y －－b ^x －＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ^＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，依题意，得L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000＝－20(x －8.25)2＋361.25.当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值.故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.。
2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关
2.3变量间的相关关系2.3.1变量之间的相关关系2.3.2两个变量的线性相关1．理解两个变量的相关关系的概念．(难点)2．会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系．(重点) 3．会求回归直线方程．(重点)4．相关关系与函数关系．(易混点)[基础·初探]教材整理1变量之间的相关关系阅读教材P84～P86的内容，完成下列问题．1．相关关系：不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的，而是带有不确定性．2．散点图：将样本中几个数据点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形．3．正相关与负相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，称它为正相关．若散点图中的点分布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，称它为负相关．4．相关关系与函数关系的辨析相关关系与函数关系均是指两个变量间的关系，它们的不同点如下： (1)函数关系是一种确定的关系；相关关系是一种非确定的关系，即不能用一个函数关系式来严格地表示变量之间的关系．(2)函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．例如，有人发现，对于在校儿童，脚的大小与阅读能力有很强的相关关系，然而学会更多的新词并不能使脚变大，而是涉及第三个因素——年龄，当儿童长大一些以后，他们的阅读能力会提高，而且脚也会变大．如图2-3-1所示的两个变量不具有相关关系的有________．图2-3-1【解析】 ①是确定的函数关系；②中的点大都分布在一条曲线周围；③中的点大都分布在一条直线周围；④中点的分布没有任何规律可言，x ，y 不具有相关关系．【答案】 ①④教材整理2 回归直线方程阅读教材P 87～P 89的内容，完成下列问题．1．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．2．回归方程：回归直线对应的方程叫回归直线的方程，简称回归方程． 3．最小二乘法：求回归直线时，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．4．求回归方程：若两个具有线性相关关系的变量的一组数据为：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则所求的回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中a ^，b ^为待定的参数，由最小二乘法得：⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1n(x i－x )(y i－y )∑i ＝1n(x i－x )2＝∑i ＝1nx i y i－n x －y －∑i ＝1nx 2i－n x －2，a ^＝y －b^x .b ^是回归直线斜率，a ^是回归直线在y 轴上的截距．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)回归方程中，由x 的值得出的y 值是准确值．( ) (2)回归方程一定过样本点的中心．( ) (3)回归方程一定过样本中的某一个点．( )(4)选取一组数据中的部分点得到的回归方程与由整组数据得到的回归方程是同一个方程．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4) ×2．过(3,10)，(7,20)，(11,24)三点的回归直线方程是( ) A.y ^＝1.75＋5.75x B.y ^＝－1.75＋5.75x C.y ^＝5.75＋1.75xD.y ^＝5.75－1.75x【解析】 求过三点的回归直线方程，目的在于训练求解回归系数的方法，这样既可以训练计算，又可以体会解题思路，关键是能套用公式．代入系数公式得b ^＝1.75，a ^＝5.75.代入直线方程，求得y ^＝5.75＋1.75x .故选C.【答案】 C3．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程y ＝bx ＋a 必过点( ) A ．(1,2) B ．(5,2) C ．(2,5)D ．(2.5,5)【解析】线性回归方程一定过样本中心(x，y)．由x＝0＋1＋2＋3＋45＝2，y＝1＋3＋5＋7＋95＝5.故必过点(2,5)．【答案】 C[小组合作型](1))A．正方体的棱长和体积B．圆半径和圆的面积C．正n边形的边数和内角度数之和D．人的年龄和身高(2)对变量x，y有观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图①；对变量u，v有观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图②.由这两个散点图可以判断()图2-3-2A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关【精彩点拨】结合相关关系，函数关系的定义及正负相关的定义分别对四个选项作出判断．【尝试解答】(1)A、B、C都是函数关系，对于A，V＝a3；对于B，S＝πr2；对于C，g(n)＝(n－2)π.而对于D，年龄确定的不同的人可以有不同的身高，∴选D.(2)由图象知，变量x与y呈负相关关系；u与v呈正相关关系．【答案】(1)D(2)C判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.[再练一题]1．某公司2011～2016年的年利润x(单位：百万元)与年广告支出y(单位：百万元)的统计资料如下表所示：A.B．利润中位数是18，x与y有负线性相关关系C．利润中位数是17，x与y有正线性相关关系D．利润中位数是17，x与y有负线性相关关系【解析】由表知，利润中位数是12(16＋18)＝17，且y随x的增大而增大，故选C.【答案】 C一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，收集数据如下：(2)如果y 与x 具有线性相关关系，求y 关于x 的回归直线方程． 【精彩点拨】 画散点图→确定相关关系→求回归直线系数 →写回归直线方程【尝试解答】 (1)画散点图如下：由上图可知y 与x 具有线性相关关系． (2)列表、计算：b ^＝∑i ＝110x i y i －10x y ∑i ＝110x 2i －10x 2＝55 950－10×55×91.738 500－10×552≈0.668，a ^＝y －b ^x ＝91.7－0.668×55＝54.96. 即所求的回归直线方程为：y ^＝0.668x ＋54.96.用公式求回归方程的一般步骤：(1)列表x i ，y i ，x i y i ；(2)计算x ，y，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1n x i y i ；(3)代入公式计算a ^，a ^的值；(4)写出回归方程.[再练一题]2．已知变量x ，y 有如下对应数据：(1)(2)用最小二乘法求关于x ，y 的回归直线方程． 【解】 (1)散点图如图所示：(2)x ＝1＋2＋3＋44＝52，y ＝1＋3＋4＋54＝134， ∑i ＝14x i y i ＝1＋6＋12＋20＝39，∑i ＝14x 2i ＝1＋4＋9＋16＝30，b ^＝39－4×52×13430－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫522＝1310，a ^＝134－1310×52＝0，所以y ^＝1310x 为所求回归直线方程．x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据：(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？【精彩点拨】 (1)以产量为横坐标，以生产能耗对应的测量值为纵坐标，在平面直角坐标系内画散点图；(2)应用计算公式求得线性相关系数b ^，a ^的值；(3)实际上就是求当x ＝100时，对应的v 的值．【尝试解答】 (1)散点图，如图所示：(2)由题意，得∑i ＝14x i y i ＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，x ＝3＋4＋5＋64＝4.5，y ＝2.5＋3＋4＋4.54＝3.5，∑i ＝14x 2i ＝32＋42＋52＋62＝86，∴b ^＝66.5－4×4.5×3.586－4×4.52＝66.5－6386－81＝0.7，a ^＝y －b ^x ＝3.5－0.7×4.5＝0.35， 故线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35.(3)根据回归方程的预测，现在生产100吨产品消耗的标准煤为0.7×100＋0.35＝70.35(吨)，故耗能减少了90－70.35＝19.65(吨)标准煤．回归分析的三个步骤：(1)判断两个变量是否线性相关：可以利用经验，也可以画散点图；(2)求线性回归方程，注意运算的正确性；(3)根据回归直线进行预测估计：估计值不是实际值，两者会有一定的误差.[再练一题]3．某种产品的广告费支出y (百万元)与销售额x (百万元)之间的关系如下表所示．(1)假定y (2)若广告费支出不少于60百万元，则实际销售额应不少于多少？【解】 (1)设回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^，则b ^＝(8×5＋12×8＋14×9＋16×11)－4×8＋12＋14＋164×5＋8＋9＋114(82＋122＋142＋162)－4×⎝⎛⎭⎪⎫8＋12＋14＋1642＝438－412.5660－625＝25.535＝5170，a ^＝y －b ^x ＝5＋8＋9＋114－5170×8＋12＋14＋164＝334－5170×252＝－67，则所求回归直线方程为y ^＝5170x －67.(2)由y ^＝5170x －67≥60，得x ≥4 26051≈84，所以实际销售额不少于84百万元．[探究共研型]探究1 变量之间的关系？【提示】 任意两个统计数据均可以作出散点图，对于作出的散点图，如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系．特别地，若所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就具有线性相关关系；如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系；如果散点图中的点的分布几乎没有什么规则，则这两个变量之间不具有相关关系．探究2 【提示】 (1)建立直角坐标系，两轴的长度单位可以不一致． (2)将n 个数据点描在平面直角坐标系中．(3)画回归直线时，一定要画在多数点经过的区域，可以先观察有哪两个点在直线上．探究3 回归系数b ^的含义是什么？【提示】 (1)b ^代表x 每增加一个单位，y 的平均增加单位数，而不是增加单位数．(2)当b ^＞0时，两个变量呈正相关关系，含义为：x 每增加一个单位，y 平均增加b ^个单位数；当b ^＜0时，两个变量呈负相关关系，含义为：x 每增加一个单位，y 平均减少b ^个单位数．探究4 回归直线方程与直线方程的区别是什么？【提示】 线性回归直线方程中y 的上方加记号“^ ”是与实际值y 相区别，因为线性回归方程中的“y ^”的值是通过统计大量数据所得到的一个预测值，它具有随机性，因而对于每一个具体的实际值而言，y ^的值只是比较接近，但存在一定的误差，即y ＝y ^＋e (其中e 为随机变量)，预测值y ^与实际值y 的接近程度由随机变量e 的标准差决定．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a .若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′ B.b ^>b ′，a ^<a ′ C.b ^<b ′，a ^>a ′D.b ^<b ′，a ^<a ′【精彩点拨】 先由已知条件分别求出b ′，a ′的值，再由b ^，a ^的计算公式分别求解b ^，a ^的值，即可作出比较．【尝试解答】 根据所给数据求出直线方程y ＝b ′x ＋a ′和回归直线方程的系数，并比较大小．由(1,0)，(2,2)求b ′，a ′. b ′＝2－02－1＝2， a ′＝0－2×1＝－2. 求b ^，a ^时，i ＝16x i y i ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，x ＝3.5，y ＝136，i ＝16x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴b ^＝58－6×3.5×13691－6×3.52＝57，a ^＝136－57×3.5＝136－52＝－13， ∴b ^<b ′，a ^>a ′. 【答案】 C [再练一题]4．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(x ，y )C ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 【解析】 b ^为正数，所以两变量具有正的线性相关关系，故A 正确；B ，C 显然正确；若该大学某女生身高为170 cm ，则可估计其体重为58.79 kg.【答案】D1．设一个回归方程y ^＝3＋1.2x ，则变量x 增加一个单位时( ) A ．y 平均增加1.2个单位 B ．y 平均增加3个单位 C ．y 平均减少1.2个单位 D ．y 平均减少3个单位【解析】 由b ＝1.2>0，故选A. 【答案】 A2．下列有关线性回归的说法，不正确的是( )A ．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系B ．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图C ．回归方程最能代表观测值x 、y 之间的线性关系D ．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线【解析】 只有数据点整体上分布在一条直线附近时，才能得到具有代表意义的回归直线．【答案】 D3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( )A.y ^＝0.4x ＋2.3 B.y ^＝2x －2.4 C.y ^＝－2x ＋9.5D.y ^＝－0.3x ＋4.4【解析】 因为变量x 和y 正相关，则回归直线的斜率为正，故可以排除选项C 和D.因为样本点的中心在回归直线上，把点(3,3.5)的坐标分别代入选项A 和B 中的直线方程进行检验，可以排除B ，故选A.【答案】 A4．对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表所示．【解析】 由题意可知x ＝2＋4＋5＋6＋85＝5，y ＝30＋40＋60＋50＋705＝50.即样本中心为(5,50)，设回归直线方程为y ^＝6.5x ＋b ^， ∵回归直线过样本中心(5,50)， ∴50＝6.5×5＋b ^，即b ^＝17.5，∴回归直线方程为y ^＝6.5x ＋17.5. 【答案】 y ^＝6.5x ＋17.5学业分层测评(十四) 变量间的相关关系(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题 1．有几组变量：①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程； ②平均日学习时间和平均学习成绩； ③立方体的棱长和体积． 其中两个变量成正相关的是( ) A ．①③ B ．②③ C ．②D ．③【解析】 ①是负相关；②是正相关；③是函数关系，不是相关关系． 【答案】 C2．对于给定的两个变量的统计数据，下列说法正确的是( ) A ．都可以分析出两个变量的关系B ．都可以用一条直线近似地表示两者的关系C ．都可以作出散点图D ．都可以用确定的表达式表示两者的关系【解析】 由两个变量的数据统计，不能分析出两个变量的关系，A 错；不具有线性相关的两个变量不能用一条直线近似地表示他们的关系，更不能用确定的表达式表示他们的关系，B ，D 错．【答案】 C3．对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线方程y ^＝a ^＋b ^x 中，回归系数b^( ) A ．不能小于0 B ．不能大于0 C ．不能等于0D ．只能小于0【解析】当b^＝0时，r＝0，这时不具有线性相关关系，但b^能大于0，也能小于0.【答案】 C4．四名同学根据各自的样本数据研究变量x，y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y^＝2.347x－6.423；②y与x负相关且y^＝－3.476x＋5.648；③y与x正相关且y^＝5.437x＋8.493；④y与x正相关且y^＝－4.326x－4.578.其中一定不正确．．．的结论的序号是()A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】由正负相关性的定义知①④一定不正确．【答案】 D5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y＝b x＋a中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额为()A．63.6万元B．65.5万元C．67.7万元D．72.0万元【解析】x＝14(4＋2＋3＋5)＝3.5，y＝14(49＋26＋39＋54)＝42，所以a^＝y－b^x＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归方程为y^＝9.4x＋9.1，令x＝6，得y^＝9.4×6＋9.1＝65.5(万元)．故选B.【答案】 B二、填空题6．若施化肥量x(千克/亩)与水稻产量y(千克/亩)的回归方程为y^＝5x＋250，当施化肥量为80千克/亩时，预计水稻产量为亩产________千克左右．【解析】当x＝80时，y^＝400＋250＝650.【答案】6507．已知一个回归直线方程为y^＝1.5x＋45，x∈{1,7,5,13,19}，则y＝________.【解析】因为x＝15(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且回归直线过样本中心点(x，y)，所以y＝1.5×9＋45＝58.5.【答案】58.58．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x的回归直线方程：y^＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．【解析】由于y^＝0.254x＋0.321知，当x增加1万元时，年饮食支出y增加0.254万元．【答案】0.254三、解答题9．某工厂对某产品的产量与成本的资料分析后有如下数据：(1)(2)求成本y与产量x之间的线性回归方程．(结果保留两位小数)【解】(1)散点图如图所示．(2)设y与产量x的线性回归方程为y^＝b^x＋a^，x ＝2＋3＋5＋64＝4，y ＝7＋8＋9＋124＝9， b^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2＝(x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4)－4x yx 21＋x 22＋x 23＋x 24－4x2＝1110＝1.10，a ^＝y －b ^x －＝9－1.10×4＝4.60. ∴回归方程为：y ^＝1.10x ＋4.60.[能力提升]1．根据如下样本数据：得到的回归方程为y ＝bx ＋a ，则( ) A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＞0，b ＜0 C ．a ＜0，b ＞0D ．a ＜0，b ＜0【解析】 作出散点图如下：观察图象可知，回归直线y ^＝bx ＋a 的斜率b ＜0，当x ＝0时，y ^＝a ＞0.故a ＞0，b ＜0.【答案】 B2．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y 对总成绩x 的回归直线方程为y ^＝6＋0.4x .由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差________分．【解析】 令两人的总成绩分别为x 1，x 2. 则对应的数学成绩估计为 y ^1＝6＋0.4x 1，y ^2＝6＋0.4x 2，所以|y ^1－y ^2|＝|0.4(x 1－x 2)|＝0.4×50＝20. 【答案】 203．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝1100x2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ＝bx ＋a 中，b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ＝y －b x ，其中x ，y 为样本平均值，线性回归方程也可写为y ^＝b^x ＋a ^.【解】 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1n x i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2，又l xx ＝∑i ＝1nx 2i －n x 2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b＝l xyl xx＝2480＝0.3，a＝y－b x＝2－0.3×8＝－0.4.故所求线性回归方程为y＝0.3x－0.4.(2)由于变量y的值随x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x与y之间是正相关．(3)将x＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．。
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课时跟踪检测（十四） 变量间的相关关系 两个变量的线性相关
1．一个口袋中有大小不等的红、黄、蓝三种颜色的小球若干个(大于5个)，从中取5次，那么取出红球的次数和口袋中红球的数量是( )
A ．确定性关系
B ．相关关系
C ．函数关系
D ．无任何关系
解析：选B 每次从袋中取球取出的球是不是红球，除了和红球的个数有关外，还与球的大小等有关系，所以取出红球的次数和口袋中红球的数量是一种相关关系．
2．农民工月工资y (元)依劳动生产率x (千元)变化的回归直线方程为y ^
＝50＋80x ，下列判断正确的是( )
A ．劳动生产率为1 000元时，工资为130元
B ．劳动生产率提高1 000元时，工资水平提高80元
C ．劳动生产率提高1 000元时，工资水平提高130元
D ．当月工资为210元时，劳动生产率为2 000元
解析：选B 由回归直线方程y ^
＝50＋80x 知，x 每增加1，y 增加80，但要注意x 的单位是千元，y 的单位是元．
3．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子身高数据如下：
则y 对x 的线性回归方程为( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝x ＋1 C ．y ＝88＋1
2
x
D ．y ＝176
解析：选C 计算得，x ＝
174＋176＋176＋176＋178
5＝176，y ＝
175＋175＋176＋177＋177
5
＝176，根据回归直线经过样本中心(x ，y )检验知，C 符合．
4．已知x 与y 之间的几组数据如下表：
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ^＝b ^x ＋a ^
，若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )
A.b ^>b ′，a ^>a ′
B.y ^>b ′，a ^
<a ′
C.b ^<b ′，a ^>a ′
D.y ^<b ′，a ^
<a ′ 解析：选C 由(1,0)，(2,2)求b ′，a ′. b ′＝2－02－1
＝2，a ′＝0－2×1＝－2.
求b ^，a ^
时，∑i ＝1
6
x i y i ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，
x ＝3.5，y ＝
136
， ∑i ＝16
x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，
∴b ^＝
58－6×3.5×13691－6×3.5
2
＝57
， a ^＝136－5
7×3.5＝136－52＝－13，
∴b ^<b ′，a ^
>a ′.
5．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y (kg)对身高x (cm)的回归方程为y ^
＝0.72x －58.2，张红同学(20岁)身高为178 cm ，她的体重应该在________ kg 左右．
解析：用回归方程对身高为178 cm 的人的体重进行预测，当x ＝178时，y ^
＝0.72×178－58.2＝69.96(kg)．
答案：69.96
6．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：
由表中数据，求得线性回归方程为y ＝－4x ＋a ，则a ＝________. 解析：x ＝4＋5＋6＋7＋8＋96＝13
2，
y ＝
92＋82＋80＋80＋78＋68
6
＝80，
由回归方程过样本中心点(x ，y ) 得80＝－4×132＋a ^
.
即a ^
＝80＋4×132＝106.
答案：106
7．对某台机器购置后的运行年限x (x ＝1,2,3，…)与当年利润y 的统计分析知x ，y 具备线性相关关系，回归方程为y ^
＝10.47－1.3x ，估计该台机器最为划算的使用年限为________年．
解析：当年利润小于或等于零时应该报废该机器，当y ＝0时，令10.47－1.3x ＝0，解得x ≈8，故估计该台机器最为划算的使用年限为8年．
答案：8
8．某个体服装店经营某种服装在某周内所获纯利y (元)与该周每天销售这种服装的件数x (件)之间有一组数据如下表：
(1)求x ，y ；
(2)若纯利y 与每天销售这种服装的件数x 之间是线性相关的，求回归直线方程； (3)若该店每周至少要获纯利200元，请你预测该店每天至少要销售这种服装多少件？ (提示：∑
i ＝1
7
x 2i ＝280，
∑
i ＝1
7
y 2i ＝45 309，
∑i ＝1
7
x i y i ＝3 487)
解：(1)
x ＝3＋4＋5＋6＋7＋8＋9
7
＝6，
y ＝
66＋69＋73＋81＋89＋90＋91
7
≈79.86.
(2)∵b ^＝3 487－7×6×79.86280－7×62≈4.75，
a ^
＝79.86－4.75×6＝51.36，
∴纯利与每天销售件数x 之间的回归直线方程为y ^
＝51.36＋4.75x . (3)当y ^
＝200时，200＝4.75x ＋51.36，所以x ≈31.29.
因此若该店每周至少要获纯利200元，则该店每天至少要销售这种服装32件．
9．2016年元旦前夕，某市统计局统计了该市2015年10户家庭的年收入和年饮食支出的统计资料如下表：
(1)如果已知y 与x 是线性相关的，求回归方程； (2)若某家庭年收入为9万元，预测其年饮食支出． (参考数据：∑i ＝110
x i y i ＝117.7，∑i ＝110
x 2i ＝406)
解：依题意可计算得：
x ＝6，y ＝1.83，x 2＝36，x y ＝10.98， 又∵∑i ＝110
x i y i ＝117.7，∑i ＝1
10
x 2i ＝406，
∴b ^＝
∑i ＝110
x i y i －10x y
∑i ＝1
10
x 2i －10x
2
≈0.17，
a ^＝y －
b ^x ＝0.81，∴y ^
＝0.17x ＋0.81. ∴所求的回归方程为y ^
＝0.17x ＋0.81.
(2)当x ＝9时，y ^
＝0.17×9＋0.81＝2.34(万元)．
可估计年收入为9万元的家庭每年饮食支出约为2.34万元．。