2019-2020学年河北省部分重点中学高二(上)期末数学试卷
河北省2019-2020学年高二上学期期末数学试题
绝密★启用前 河北省2019-2020学年高二上学期期末数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．命题“2x ∀>，240x -≥”的否定是（ ） A ．2x ∀≤，240x -< B ．2x ∀>，240x -< C ．02x ∃≤，0240x -< D ．02x ∃>，0240x -< 2．双曲线22143x y -=的渐近线方程是（ ） A ．34y x =? B ．43y x =± C ．2y x =± D ．3y x =± 3．()()13i i --在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知椭圆22:11321x y C m m +=--的焦点在x 轴上，且焦距为则m =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 5．将红、黑、蓝、白5张纸牌（其中白纸牌有2张）随机分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少分得1张，则下列两个事件为互斥事件的是（ ） A ．事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌” B ．事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌” C ．事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”……○…………装…※※请※※不※※要※……○…………装…6．若抛物线28x y =上的点P 到焦点的距离是5，则点P 到x 轴的距离是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．记一个三位数的各位数字的和为M ,则从M 不超过5的三位奇数中任取一个,M 为偶数的概率为( ) A ．513 B ．512 C ．413 D ．13 8．已知直线l :20x y -+=与双曲线C :22221x y a b -=(0a >,0b >)交于A ,B 两点,点()1,4P 是弦AB 的中点,则双曲线C 的离心率为( )A ．43 B ．2 C D 9．已知点P 在椭圆C ：2214x y +=上，直线l ：0x y m -+=，则“m =P 到直线l ”的（ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．某商场对职工开展了安全知识竞赛的活动,将竞赛成绩按照[)80, 90,[90,100),… ,[140,150]分成7组,得到下面频率分布直方图.根据频率分布直方图.下列说法正确的是( )①根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的众数估计值为110; ②根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的中位数约为113.3; ③若该商场有1000名职工,考试成绩在110分以下的被解雇,则解雇的职工有400人; ④若该商场有1000名职工,商场规定只有安全知识竞赛超过140分(包括140分)的人员才能成为安全科成员,则安全科成员有50人.A ．①③B ．②③C ．②④D ．①④11．现有下列四条曲线：…………装…学校:___________姓名：…………装…①曲线22x y e =-；②曲线2sin y x =；③曲线13y x x =+；④曲线32y x x =--. 直线2y x =与其相切的共有（ ） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 12．已知双曲线C ：22145x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上.若12PF F ∆为钝角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ） A ．()9,+∞ B ．(()9,+∞U C ．(()9,+∞U D ．( 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 13．抛物线22y px =(0p >)的焦点坐标为1(,0)8,则p =__________. 14．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为BD 的中点，若11A E xAA yAB zAD =++u u u v u u u v u u u v u u u v ，则x y z ++=______. 15．已知函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0x <时,()()()()0h x g x h x g x ''-<,且()10h -=.若()()0h a g a <,则a 的取值范围为__________. 16．已知在三棱锥P ABC -中，1PA AB BC ===，AC PB ==PC =，则异面直线PC 与AB 所成角的余弦值是__________. 三、解答题………订…………○※线※※内※※答※※题※※………订…………○17．已知:p函数()()xf x a m=-在R上单调递减，:q关于x的方程22210x ax a-+-=的两根都大于1.（1）当5m=时，p是真命题，求a的取值范围；（2）若p为真命题是q为真命题的充分不必要条件，求m的取值范围.18．为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评（总分100分），在成绩统计分析中，抽取12名学生的成绩以茎叶图形式表示如图，学校规定测试成绩低于87分的为“未达标”，分数不低于87分的为“达标”.（1）求这组数据的众数和平均数；（2）在这12名学生中从测试成绩介于80~90之间的学生中任选2人，求至少有1人“达标”的概率.19．某地区实施“光盘行动”以后,某自助啤酒吧也制定了自己的行动计划,进店的每一位客人需预交50元,啤酒根据需要自己用量杯量取,结账时,根据每桌剩余酒量,按一定倍率收费(如下表),每桌剩余酒量不足1升的,按0升计算(如剩余1.7升,记为剩余1升).例如:结账时,某桌剩余酒量恰好为2升,则该桌的每位客人还应付50 1. 25010⨯-=元.统计表明饮酒量与人数有很强的线性相关关系,下面是随机采集的5组数据(),x y(其中x表示饮酒人数,y(升)表示饮酒量):()1,0.8,()2,1.5,()3,2. 5,(4,3.2),()5,4. 5.（1）求由这5组数据得到的y关于x的回归直线方程;（2）小王约了5位朋友坐在一桌饮酒,小王及朋友用量杯共量取了8升啤酒,这时,酒吧……订…………________考号：_________……订…………服务生对小王说,根据他的经验,小王和朋友量取的啤酒可能喝不完,可以考虑再邀请1位或2位朋友一起来饮酒,会更划算.试向小王是否该接受服务生的建议？ 参考数据:回归直线的方程是y bx a =+$$$,其中1122211()()()n n i i i i i i n n i i i i x y nx y x x y y b x nx x x ====---==--∑∑∑∑$,a y bx =-$$. 20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为4的等边三角形，11A AB A AC ∠=∠，D 为BC 的中点. （1）证明：BC ⊥平面1A AD . （2）若1A AD ∆是等边三角形，求二面角1D AA C --的正弦值. 21．已知函数()2ln x f x x =. （1）求()f x 的单调区间； （2）若函数()()g x f x a =-在123e ,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，求a 的取值范围. 22．已知椭圆2222:1x y W a b +=(0a b >>)的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 为W 的上顶点，点Q 在W 上，227PF F Q =u u u u v u u u u v ，且1167PF PQ ⋅=-u u u v u u u v . （1）求W 的方程； （2）已知过原点的直线1l 与椭圆W 交于C ，D 两点，垂直于1l 的直线2l 过1F 且与椭圆W 交于M ，N 两点，若26CD MN =，求2F CD S △.参考答案1．D【解析】【分析】任意改存在，x 改为0x ，否定结论即可.【详解】全称命题的否定是特称命题，且将结论否定，故其否定为：02x ∃>，0240x -<故选：D.【点睛】本题考查全称命题的否定.2．C【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程，即可求解.【详解】由题意可得2a =，b =x 轴上，故其渐近线方程是y x =. 故选:C.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题.3．D【解析】【分析】先对复数()()13i i --进行乘法运算,整理至z a bi =+的形式,即可得出复数在复平面内对应的象限.【详解】解：因为()()1324i i i --=-,所以()()13i i --在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D【点睛】本题考查复数的四则运算及复平面,考查运算求解能力.4．C【解析】【分析】由方程表示焦点在x 轴上的椭圆，可得2a 和2b ，再根据焦距计算出具体值，进行取舍.【详解】因为是焦点在x 轴上的椭圆，故22132,1a m b m =-=-，又2c =故()13212m m ---=，解得4m =.故选：C.【点睛】本题考查椭圆方程，涉及22,a b 的识别，属基础题.5．C【解析】对于A ，事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”可以同时发生，不是互斥事件；对于,B 事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”可能同时发生，不是互斥事件；对于D ，事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”能同时发生，不是互斥事件；但C 中的两个事件不可能发生，是互斥事件，故选C.6．C【解析】【分析】由抛物线定义，可知点到准线的距离，再进行适当变换即可求得.由题意可得4p =，因为点P 到准线2y =-的距离等于到焦点的距离5，故则点P 到x 轴的距离是523-=.故选：C .【点睛】本题考查抛物线的定义，属抛物线基础题.7．A【解析】【分析】根据题意写出满足条件的三位数,即可求得答案.【详解】Q 三位数的各位数字的和不超过5∴满足条件的三位数有:101,111,121,131,201,211,221,301,311,103,113,203,401,共13个,其中M 为偶数的三位数有101,121,211,301,103,故所求概率为513. 故选:A.【点睛】本题主要考查了古典概型问题的概率,解题关键是掌握概率求法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.8．D【解析】【分析】根据点()1,4P 是弦AB 的中点,AB 两点横坐标之和等于2,联立直线和双曲线的方程,求出b a的值,即可求得答案.设()()1122,,,A x y B x yQ 点()1,4P 是弦AB 的中点根据中点坐标公式可得:12122,8x x y y +=⎧⎨+=⎩ Q A ,B 两点在直线l :20x y -+=根据两点斜率公式可得:12121y y x x -=- Q ,A B 两点在双曲线C 上 ∴22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ∴222212122210x x y y a b ---=,即()()()()2221212122221212128142y y y y y y b a x x x x x x +--===⨯=-+- 解得:2b a=∴c e a ===故选:D.【点睛】此题考查根据直线与双曲线的交点坐标关系求解离心率,解题关键是掌握双曲线直线交点问题的解法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.9．B【解析】【分析】“点P 到直线l”解得：m =±.【详解】点P 在椭圆C ：2214x y +=上，直线l ：0x y m -+=，考虑“点P 到直线l ” 设()[)2cos ,sin ,0,2P θθθπ∈，点P 到直线l 的距离d ϕϕ===点P 到直线l ()m θϕ++的最小值()m θϕ++符号恒正或恒负， ()m m m θϕ⎡++∈+⎣当0m +<时，m =-，当0m >时，m =综上所述：m =±所以“m =P 到直线l ”的充分不必要条件. 故选：B 【点睛】此题考查充分条件与必要条件的辨析，关键在于根据题意准确求出参数的取值范围. 10．B 【解析】 【分析】根据频率分布直方图,逐项判断,即可求得答案. 【详解】对于①,由频率分布直方图知众数估计值为:1101201152+=,故①错误; 对于②,设为x ,则0.0050100.0150100.020010(110)0.0300.5x ⨯+⨯+⨯+-⨯=解得113.3x ≈,故②正确;对于③,考试成绩在110分以下的有1000(0.0050.0150.02)10400⨯++⨯=人,故③正确; 对于④,安全知识考试超过140分(包括140分)的人员有10000.00251025⨯⨯=人,则安全科成员有25人,故④错误. 故选:B.本题考查频率分布直方图的性质等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题. 11．C 【解析】 【分析】先求出直线2y x =的斜率为2k =,然后对曲线函数求导,代入2k =求切点,如果切点在2y x =,即直线与曲线相切,即可求得直线2y x =与四条曲线相切的共有几条.【详解】解：直线2y x =的斜率为2k =,①若()22xf x e =-,则由()2e 2xf x '==,得0x =,点()0,0在直线2y x =上,则直线2y x =与曲线22xy e =-相切；②若()2sin f x x =,则由()2cos 2f x x '==,得()2x k k π=∈Z ,()20f k π=,则直线2y x =与曲线2sin y x =相切；③若()13f x x x =+,则由()2132f x x'=-=, 得1x =±,()1,4,()1,4--都不在直线2y x =上, 所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切； ④若()32f x x x =--,则由()2312f x x '=-=, 得1x =±,其中()1,2--在直线2y x =上,所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切.故直线2y x =与其相切的共有3条. 故选：C 【点睛】本题考查导数的几何意义,考查逻辑推理与数学运算的核心素养. 12．C【分析】根据双曲线的几何性质124PF PF -=，结合余弦定理分别讨论当12,,P F F 为钝角时12PF PF +的取值范围，根据双曲线的对称性，可以只考虑点P 在双曲线C 上第一象限部分即可. 【详解】由题：双曲线C ：22145x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上，必有124PF PF -=，若12PF F ∆为钝角三角形，根据双曲线的对称性不妨考虑点P 在双曲线第一象限部分：当12F PF ∠为钝角时，在12PF F ∆中，设21,1,4PF P x x F x >==+，()1245PF F P x x ⋅=+>有1222122PF F F P F +<，()122121222PF F PF F F P F P -+⋅<，即1216236PF PF +⋅<，1210PF F P ⋅<， 所以12510P PF F <⋅<(12PF PF +==；当212PF F π∠=时，2PF 所在直线方程3x =，所以53,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，21513,22PF PF ==，129PF PF =+，根据图象可得要使212PF F π>∠，点P 向右上方移动，此时129PF PF >+，综上所述：12PF PF +的取值范围是(()9,+∞U . 故选：C 【点睛】此题考查双曲线中焦点三角形相关计算，关键在于根据几何意义结合特殊情况分类讨论，体现数形结合思想. 13．14【解析】 【分析】根据抛物线定义,即可求得答案. 【详解】Q 22y px =(0p >),焦点坐标为1(,0)8∴128p =,解得:14p =. 故答案为:14. 【点睛】本题主要考查了根据抛物线焦点求抛物线方程,解题关键是掌握抛物线定义,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 14．0 【解析】 【分析】根据向量的运算法则11A A A AB BE E =++u u u r u u u r u u u r u u u r依次代换成11A xAA yAB zADE =++u u u r u u u r u u u r u u u r 形式，即可得出未知数的值. 【详解】在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为BD 的中点，所以11A A A AB BE E =++u u u r u u u r u u u r u u u r 112A A AB BD =++u u u r u u u r u u u r()112A A AB BA AD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r11122AA AB AD =-++u u u r u u u r u u u r由题：11A xAA yAB zADE =++u u u r u u u r u u u r u u u r 所以111,,22x y z =-== 即0x y z ++=. 故答案为：0 【点睛】此题考查空间向量的基本运算，根据线性运算关系依次表示出所求向量即可. 15．()()1,01,-⋃+∞ 【解析】 【分析】 令()()()h x F x g x =,根据当0x <时, ()()()()0h x g x h x g x ''-<可得()0F x '<,因此函数()F x 在0x <时单调递减,又()F x 为奇函数,由于()10h -=,可得(1)(1)0F F -==,即可求得答案. 【详解】 ①令()()()h x F x g x =. Q 当0x <时, ()()()()0h x g x h x g x ''-<,∴()()()()2()()0h x g x h F x g x x g x '=''-<∴函数()F x 在0x <时单调递减；()10h -=Q ,(1)(1)0F F ∴-==∴()0F a <的解集为()1,0-②Q 函数()h x ,()g x (()0g x ≠)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数∴()()()()()()h x h x F x F x g x g x --==-=--∴()F x 是R 上的奇函数,∴当0x >时,()0F a <的解集为(1,)+∞综上所述,不等式()()0h a g a <的解集为:()()1,01,-⋃+∞. 故答案为:()()1,01,-⋃+∞. 【点睛】本题主要考查了根据函数单调性和奇偶性解不等式,解题关键是掌握根据题意构造函数的方法和由导数判断函数单调性的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.16【解析】 【分析】由勾股定理推导出,,AB BC PA AB PA AC ⊥⊥⊥,从而PA ⊥平面ABC .以A 为原点,在平面ABC 中,过A 作AC 的垂线为x 轴,AC 为y 轴,AP 为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法求出异面直线PC 与AB 所成角的余弦值,即可求得答案. 【详解】Q在三棱锥P ABC -中,1,PA AB BC ===AC PB ==PC =.222222222,,AB BC AC PA AB PB PA AC PC ∴+=+=+=,,AB BC PA AB PA AC ∴⊥⊥⊥AB AC A ⋂=Q ∴PA ⊥平面ABC以A 为原点,在平面ABC 中,过A 作AC 的垂线为x 轴,AC 为y 轴,AP 为z 轴, 建立空间直角坐标系如图:则(0,0,0),,22A B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭,(0,0,1)C P .∴,1)22AB PC ⎛⎫==-⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r设异面直线PC 与AB 所成角为θ,∴cos ||||AB PC AB PC θ⋅=⨯u u u r u u u ru u ur u u u r3==∴异面直线PC 与AB故答案为【点睛】本题主要考查了由向量法求异面直线夹角的余弦值,解题关键是掌握向量法求异面直线夹角的解法和向量数量积公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 17．（1）（5,6）；（2）2m ≥. 【解析】 【分析】（1）根据指数函数的单调性，要使函数()()5xf x a =-在R 上单调递减，只需051a <-<，即可求出命题p 为真时参数范围；（2）先求出命题p 为真时a 的取值范围，求出方程22210x ax a -+-=的两根分别为1a -和1a +，由命题q 为真，得出2a >，根据命题,p q 的关系，即可求解. 【详解】（1）因为5m =，所以()()5xf x a =-因为p 是真命题，所以051a <-<，所以56a <<. 故a 的取值范围是（5,6）；(2)若p 是真命题，则01a m <-<，解得1m a m <<+. 关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根分别为1a -和1a +. 若q 是真命题，则11a ->，解得2a >.因为p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件，所以2m ≥. 【点睛】本题考查命题为真以及命题间充分不必要条件，求参数的取值范围，属于基础题. 18．（1）86,80.5；（2）35. 【解析】 【分析】（1）找出茎叶图中出现次数最多的数为众数，根据平均数公式，即可求得平均数； （2）在被抽取的学生中，有2个“达标”学生，4个“未达标”学生，按达标和不达标两类编号，列出从6人中任取2人的所有情况，统计出满足条件的基本事件的个数，根据古典概型的概率公式，即可求解. 【详解】(1)这组数据的众数为86； 平均数为5164667885863872929880.512+++++⨯+⨯++=.(2)在被抽取的学生中，有2个“达标”学生，4个“未达标”学生， 将“达标”学生编号为A ，B ，“未达标”学生编号为a ，b ，c ，d ， 则从6人中任取2人,有以下情况：(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),A d ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),B d ， (),A B ，(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),b c ，(),b d ，(),c d .共15种.其中符合条件的为(),A a ，(),A b ，(),A c ，(),A d ，(),B a ，(),B b ，(),B c ，(),B d ，(),A B ，共9种.故至少有1人“达标”的概率93155P ==. 【点睛】本题考查茎叶图数据的处理，考查古典概型的概率，属于基础题. 19．（1）$0.910.23y x =-；（2）接受 【解析】 【分析】（1）计算出x ,y ,结合所给数据,计算出b$,进而求得$a ,即可求得答案; （2）小王和5位朋友共6人大约需要饮酒0.9160.23 5.23⨯-=升,若不再邀请人,则剩余酒量8 5. 23 2.77-=升,酒吧记为剩余2升,预计需要支付506120%360⨯⨯=元,结合已知,即可求得答案. 【详解】 （1）1234535x ++++==,0.8+1.5+2.5+3.2+4.5 2.55y ==,51522146.637.50.91554555i ii i i x y x yx xb==-===---∑∑$,$ 2.50.930.23ay bx =-=-⨯=-$, ∴回归直线方程为$0.910.23y x =-.（2）小王和5位朋友共6人大约需要饮酒0.9160.23 5.23⨯-=升, 若不再邀请人,则剩余酒量8 5. 23 2.77-=升,酒吧记为剩余2升, 预计需要支付506120%360⨯⨯=元;若再邀请1人,大约需饮酒0.9170.23 6.14⨯-=升,剩余酒量8 6.14 1.86-=升, 酒吧记为剩余1升,预计支付5071350⨯⨯=元;若再邀请2人,大约需饮酒0.9180.237. 05⨯-=升,剩余酒量87. 050.95-=升, 酒吧记为剩余0升,预计支付50890%360⨯⨯=元.∴应该接受建议,且再邀请1位朋友更划算.【点睛】本题主要考查了求回归直线方程,解题关键是掌握求回归直线方程的方法,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.20．（1）证明见解析，（2）13【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一证明1BC A D ⊥和BC AD ⊥即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用向量求解二面角. 【详解】（1）证明：连接1A B .因为11A AB A AC ∠=∠，AB AC =，11AA AA =，所以11A AB A AC ∆≅∆，所以11A B A C =. 因为D 为BC 的中点，所以1BC A D ⊥.因为D 为BC 的中点，且AB AC =，所以BC AD ⊥. 因为1A D AD D =I ，所以BC ⊥平面1A AD .（2）解：取AD 的中点O ，连接1A O ，因为1A AD ∆是等边三角形，所以1A O AD ⊥. 由（1）可知BC ⊥平面1A AD ，则BC ，AD ，1A O 两两垂直，故以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过O 作BC 的平行线为y 轴，1OA 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.因为底面ABC 是边长为4的等边三角形，所以AD =因为1A AD ∆是等边三角形，所以13A O =.所以)A ，()10,0,3A，()B，()2,0C -，则()1AA =u u u r，()2,0AC =--u u u r . 设平面1AA C 的法向量(),,n x y z =r ，则13020n AA z n AC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩u u u v v u u u v v ，令1z =，得)3,1n =-r . 易知平面1A AD 的一个法向量为()0,4,0BC =-u u u r ， 记二面角1D AA C --为θ，则cos n BC n BCθ⋅===r u u u r r u u u r故sin θ==【点睛】此题考查线面垂直的证明和建立空间直角坐标系利用向量求解二面角的大小.21．（1）()f x 的单调递减区间为()0,1，(，单调递增区间为)+∞（2）{}243322e e e ⎛⎤⋅ ⎥⎝⎦U 【解析】【分析】（1）先求函数()f x 的定义域,然后对函数求导,令导等于0,得出x =判断导在区间内的正负,即可得出函数的单调性. （2）令()0g x =,得()f x a =.根据函数在123e ,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点,得31233f e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()422e f e =,且24332e e >,又2f e =,即可得a 的取值范围为.【详解】解：（1）()f x 的定义域为()()0,11,+∞U ,()()22ln 1ln x x f x x-'=,令()0f x ¢=,则x =在()(0,1U 上,()0f x ¢<；在)+∞上,()0f x ¢>.所以()f x 的单调递减区间为()0,1,(,单调递增区间为)+∞. （2）由()0g x =,得()f x a =. 因为31233f e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭,()422e f e =,且24332e e >,又2f e =,所以a 的取值范围为{}243322e e e ⎛⎤⋅ ⎥⎝⎦U . 【点睛】本题考查利用导数求函数的单调性,利用导数和函数零点求参数,属于中档题.22．（1）2214x y +=；（2. 【解析】【分析】（1）设12(,0),(,0)F c F c -，由已知227PF F Q =u u u u r u u u u r ，求得Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入椭圆方程，得2234c a =；再由1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r ，求得222c b -=，结合222a b c =+，求出,a b 值，即可求得结论；（2）先讨论直线2l 斜率不存在和斜率为0的情况，验证不满足条件，设直线2l 的方程为(()0y k x k =≠，与椭圆方程联立，消元，由韦达定理和相交弦长公式，求出||MN ；再将直线1l 方程1=-y x k 与椭圆联立，求出2CD ，由26CD MN =求出k 的值，进而求出||CD ，再求出点2F 到直线CD 的距离，即可求解.【详解】（1）设椭圆W 的焦距为2c ，∵227PF F Q =u u u u r u u u u r ，∴Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭.∵Q 在W 上， 将8,77Q c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭代人22221x y a b+=，得2234c a =. 又∵1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r ，∴()8816,777,c b c b ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭--， ∴222c b -=.又∵222a b c =+，∴24a =，21b =，W 的方程为2214x y +=. （2）当直线2l 的斜率不存在时，||2CD =，||4MN =，不符合题意；当直线2l 的斜率为0时，||4CD =，||1MN =，也不符合题意.∴可设直线2l的方程为(()0y k x k =≠,联立(22,1,4y k x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得()2222411240k x x k +++-=，则212241x x k -+=+，212212441k x x k -=+.()2241||41k MN k +==+.由221,1,4y x k x y ⎧=-⋅⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴()222161||4k CD k +=+. 又∵26||||MN CD =，∴()()2222241161444k k k k ++=++，∴22k =，∴||CD =∵2F 到直线CD 的距离1d ==，∴2112F CD S =⨯⨯=△. 【点睛】 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，设直线方程时要注意特殊情况，要熟练掌握求相交弦长的方法，考查计算能力，属于较难题.。
河北省张家口市第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学(文)试题
2018-2019学年上学期高二期末考试数学（文）试题一，选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分．在每小题给出地四个选项中,只有一项是符合题目要求地．）1，已知全集{}2U 1x x =>,集合{}2430x x x A =-+<,则=A C U （ ）A ．()1,3B ．()[),13,-∞+∞C ．()[),13,-∞-+∞D ．()(),13,-∞-+∞ 2，某校为了研究“学生地”和“对待某一活动地态度”是否相关,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算069.7=k ,则认为“学生与支持活动相关系”地犯错误地概率不超过A ．0.1% B ．1% C ．99% D ．99.9%附：)(02k K P ≥0.1000.0500.0250.0100.001k 02.7063.8415.0246.63510.8283，已知抛物线地焦点()F ,0a （0a <）,则抛物线地标准方程是（ ）A ．22y ax = B ．24y ax = C ．22y ax =- D ．24y ax =-4，命题:p x ∃∈N ,32x x <。
命题:q ()()0,11,a ∀∈+∞ ,函数()()log 1a f x x =-地图象过点()2,0,则（ ）A ．p 假q 真B ．p 真q 假C ．p 假q 假D ．p 真q 真5，执行右边地程序框图,则输出地A 是（ ）A ．2912 B ．7029 C ．2970 D ．169706，在直角梯形CD AB 中,//CD AB ,C 90∠AB = ,2C 2CD AB =B =,则cos D C ∠A =（ ）A C D7，已知2sin 21cos 2αα=+,则tan 2α=（ ）A ．43-B ．43C ．43-或0D ．43或08，32212x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中地常数项为（ ）A ．8- B ．12- C ．20- D ．209.已知函数()f x 地定义域为2(43,32)a a --,且(23)y f x =-是偶函数．又321()24x g x x ax =+++,存在0x 1(,),2k k k Z ∈+∈,使得00)(x x g =,则满足款件地k 地个数为( )A ．3 B ．2 C ．4 D ．110，F 是双曲线C :22221x y a b-=（0a >,0b >）地右焦点,过点F 向C 地一款渐近线引垂线,垂足为A ,交另一款渐近线于点B ．若2F F A =B,则C 地离心率是（ ）A B ．2 C 11，直线y a =分别与曲线()21y x =+,ln y x x =+交于A ,B ,则AB 地最小值为（ ）A ．3B ．2C ．3212，某几何体地三视图如图所示,则该几何体地表面积为（ ）A ．4B ．21+C ．12+D 12二，填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分．）13，已知()1,3a =- ,()1,b t = ,若()2a b a -⊥,则b = ．14，已知212(1)4k dx ≤+≤⎰,则实数k 地取值范围是_____.15，在半径为2地球面上有不同地四点A ,B ,C ,D ,若C D 2AB =A =A =,则平面CDB 被球所截得图形地面积为 ．16，已知x ,R y ∈,满足22246x xy y ++=,则224z x y =+地取值范围为 ．三，解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17，（本小题满分12分）设数列{}n a 地前n 项和为n S ,满足()11n n q S qa -+=,且()10q q -≠．()I 求{}n a 地通项公式。
2019-2020学年河北省保定市高二(上)期末数学试卷
2019-2020学年河北省保定市高二（上）期末数学试卷、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的•）1.(5 分)命题“ X 0 , InX,X 1”的否定是（2 .3 .4 .5 . A. X0 0 , lnX0, X0 1C. X0 0 , lnx°X0 1(5分)(5分)等于（(5分)X0 0 ,X0 0 ,lnx°X0 1In X0・・X0若复数z满足占2019 2020i i ，则z (2i C.2已知抛物线C: y正方体的棱长为x的焦点为F , A（X0 , y°）是C上一点,C.2,且每个顶点都在球O的表面上，则球C.4.33（5分）甲、乙两人去某公司面试,则他们都选择到A题的概率为（6. （5分）设双曲线1B .32 2X y 1(a 1(a a b一点P，使PF2F1 ，且|PF |A .上2 10 27. （5分）设函数f （X）Xae 则I在y轴上的截距为（5若|AF|广，则XO的半径为（）二人各自等可能地从A、B两个问题中选择1个回答,C. I0,b 0）的左、右焦点分别为4| PF2|，则双曲线的离心率为Inx （其中常数a 0）的图象在点C. ae 1F1 , F2 , 若双曲线上存在(1，f (1)）处的切线为I ,1 2ae& （5分）已知p :指数函数y （a 3）X在R上单调递减，q:2m 2m 12，若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是（）A . (3,4) 3C. [-,2](畀) 9. （5分）如图，在正方体ABCD ABQ!^中，对于以下三个命题:① 直线A i B 与直线AC 所成角的大小为60 ； ② 直线A i B 与平面ARGO 所成角大小为30 ； ③ 直线BC i 与平面AACC i 所成角大小为30 . 其中真命题的个数是（）的取值范围是（为F 1 , F 2，且两条曲线在第一象限的交点为 P , △ PRF 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若IPFI 8，椭圆与双曲线的离心率分别为 e , $，则ege 2的取值范围是（ ）5A . F,）B . F,） C .（二，） D . F,）932 3二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把最简答案填在答题卡的横线上）a o13. （5分）已知x 1是函数f （x ） — x 2的极值点，则实数 a 的值为 _________ .xABA . 0B.1 C . 2D . 3 10. （ 5分）已知函数f(x)2x 9lnx3x 在其定义域内的子区间(m 1,m1）上不单调，则实数m 的取值范围为 ( )1 3、7 3、 “ 5、“ 5、 A .(―,—)B .[1，—)C . (1,一)D . [1,—)2 222211.（ 5分）若关于 kx 4k 3 0有且只有两个不同的实数根，则实数kx 的方程、4x_x A . (25)12 6B . (2,-]3 4D .(-,-]12 412. （ 5分）已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别14. __________________________________________________________________________ （5分）已知正方体ABCD AB1C1D1的棱长为2,则点B到平面AB1CD的距离为_______________ .X22uuu UULU15. （5分）已知椭圆C: y21，点P是椭圆C上的一个动点，满足OPCPF2 - 1（0为坐2标原点，F2为椭圆的右焦点），则点P的横坐标的取值范围是__________a16. （5分）已知函数f （x） sinx 1 , g（x） Inx x，若对任意洛R都存在X2 （1,e）使f(X i) g(X2)成立，则实数a的取值范围是三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. (10分)有人收集了七月份的日平均气温t (摄氏度)与某冷饮店日销售额y (百元)的有关数据，为分析其关系，该店做了五次统计，所得数据如下：由资料可知，y与t成线性相关关系.(1)求出y关于t的线性回归方程? bl ?；(2)根据所求回归直线方程预测日平均气温为38摄氏度时该冷饮店的日销售情况.18. (12分)已知圆C的圆心在x轴上，在y轴上截得的弦长为6，且过点P(1,4).(1)求圆C的方程；(2)过Q( 1,2)做两条与圆C相切的直线，切点分别为M , N，求直线MN的方程.19. (12分)河北省高考改革后高中学生实施选课走班制，若某校学生选择物理学科的人数为800人，高二期中测试后，由学生的物理成绩，调研选课走班制学生的学习情况及效果，为此决定从这800人中抽取n人，其频率分布情况如表：[100 , 110)100.10 [110 , 120)50.05合计n1(1) 计算表格中n , a , b的值；(2) 为了了解成绩在[70, 80) , [100 , 110)分数段学生的情况，先决定利用分层抽样的方法从这两个分数段中抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行面谈，求2人来自不同分数段的概率.20. (12分)如图在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，AD 4 , AB 2 ,平面PAD平面ABCD , PAD为等腰直角三角形，且PAD - , O为底面ABCD的中心.2(1)求异面直线PO与AD所成角的余弦值；FA(2)若E为PD中点，F在棱PA上，若，[0 , 1]，且二面角O EF D的正PA弦值为丄，求实数的值.5_ X 121. (12 分)已知函数f(x) ax lnx , g(x) e 1 .(1 )讨论函数y f (x)的单调性；(2)若不等式f(x), g(x) a 在x [1 , )上恒成立，求实数a的取值范围.22. (12 分)设F!,2xF2分别为椭圆C:右2冷1(a b 0)的左、右焦点，已知椭圆C上的a b1 2点(1,总)到焦点F1 , F2的距离之和为4.1 求椭圆C的方程；2 过点F2作直线交椭圆C于M , N两点，线段MN的中点为P，连结OP并延长交椭圆于点Q(x。
江西省宜春市第二中2019-2020学年高二上学期期末考试数学(文)试卷含详解
D.若一组数据2，4， ，8 平均数是5，则该组数据的方差也是5
2.甲、乙两名同学参加校园歌手比赛，7位评委老师给两名同学演唱比赛打分情况的茎叶图如图（单位：分），则甲同学得分的平均数与乙同学得分的中位数之差为
A.1B.2
C.3D.4
上高二中2021届高二上学期期末考试数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.下列说法中正确的是（）
A.先把高二年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的学生中随机抽取1名学生，其编号为 ，然后抽取编号为 ， ， ，…的学生，这种抽样方法是分层抽样法
B.线性回归直线 不一定过样本中心
3.设椭圆C： 的左、右焦点分别为 、 ，P是C上的点， ⊥ ，
∠ = ，则C的离心率为
A. B. C. D.
4.下课后教室里最后还剩下甲、乙、丙三位同学，如果没有2位同学一起走的情况，则第二位走的是甲同学的概率是（）
A. B. C. D.
5.设两圆 、 都和两坐标轴相切，且都过点（4，1），则两圆心的距离 =
13.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有__________人．”
上高二中2021届高二上学期期末考试数学（文科）试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.下列说法中正确的是（）
2019-2020学年河北省高二年级上学期期末考试数学答案
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高二数学试题参考答案
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河北省2019-2020学年第一学期高二期末考试数学试卷及解析
2019～2020学年第一学期高二期末考试数学试卷考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.3.本试卷主要考试内容：人教A 版必修3第二、三章，选修2-1，修2-2第一章1.1～1.4，第三章.第Ⅰ卷一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“2,240x x ∀>-…”的否定是（ ） A.2,240x x ∀-<„ B.2,240x x ∀>-< C.002,240x x ∃>-< D.002,240x x ∃-<„2.双曲线22143x y -=的渐近线方程是（ ）A.34y x =±B.y x =C.43y x =±D.y x = 3.(1)(3)i i --在复平面内对应的点位于（ ） A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知椭圆22:11321x y C m m +=--的焦点在x 轴上，且焦距为m =（ ） A.4B.3C.2D.55.将红、黑、蓝、白5张纸牌（其中白纸牌有2张）随机分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少分得1张，则下列两个事件为互斥事件的是（ ）A.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”B.事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”C.事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”D.事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”6.若抛物线28x y =上的点P 到焦点的距离是5，则点P 到x 轴的距离是（ ） A.1B.2C.3D.47.记一个三位数的各位数字的和为M ，则从M 不超过5的三位奇数中任取一个，M 为偶数的概率为（ ）A.513B.512C.413D.138.已知直线:20l x y -+=与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>交于,A B 两点，点(1,4)P 是弦AB 的中点，则双曲线C 的离心率为（ ）A.43B.2C.29.已知点P 在椭圆22:14x C y +=上，直线:0l x y m -+=，则“m =P 到直线l 的距离的”的（ ） A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.某商场对职工开展了安全知识竞赛的活动，将竞赛成绩按照[80,90),[90,100),,[140,150]L 分成7组，得到下面频率分布直方图.根据频率分布直方图，下列说法正确的是（ ）①根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的众数估计值为110 ②根据频率分布直方图估计该商场的职工的安全知识竞赛的成绩的中位数约为113.3 ③若该商场有1000名职工，考试成绩在110分以下的被解雇，则解雇的职工有400人④若该商场有1000名职工，商场规定只有安全知识竞赛超过140分（包括10分）的人员才能成为安全科成员，则安全科成员有50人 A.①③B.②③C.②④D.①④11.现有下列四条曲线：①曲线22xy e =-；②曲线2sin y x =；③曲线13y x x=+；④曲线32y x x =--. 直线2y x =与其相切的共有（ ） A.1条B.2条C.3条D.4条12.已知双曲线22:145x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上，若12PF F ∆为钝角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ）A.(9,)+∞B.(9,)⋃+∞C.D.(9,)⋃+∞第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上. 13.若抛物线22(0)y px p =>的焦点坐标为1,08⎛⎫ ⎪⎝⎭，则p =_______.14.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为BD 的中点，若11AE xAA yAB zAD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，则x y z ++=________.15.已知函数()h x ，()(()0)g x g x ≠分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，()()()()0h x g x h x g x ''-<，且(1)0h -=.若()0()h a g a <，则a 的取值范围为_________.16.已知在三棱锥P ABC -，1,PA AB BC AC PB PC ======PC 与AB 所成角的余弦值是_________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）已知p ：函数()()(,)xf x a m a m R =-∈在R 上单调递减，q ：关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于1.（1）当5m =时，p 是真命题，求a 的取值范围；（2）若p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件，求m 的取值范围. 18.（12分）为了适应新高考改革，某校组织了一次新高考质量测评（总分100分），在成绩统计分析中，抽取12名学生的成绩以茎叶图形式表示，如图，学校规定测试成绩低于87分的为“未达标”，分数不低于87分的为“达标”.（1）求这组数据的众数和平均数；（2）在这2名学生中从测试成绩介于80～90之间的学生中任选2人，求至少有1人“达标”的概率. 19.（12分）某地区实施“光盘行动”以后，某自助啤酒吧也制定了自己的行动计划，进店的每一位客人需预交50元，啤酒根据需要自己用量杯量取.结账时，根据每桌剩余酒量，按一定倍率收费（如下表），每桌剩余酒量不足1升的，按0升计算（如剩余1.7升，记为剩余1升）.例如结账时，某桌剩余酒量恰好为2升，则该桌的每位客人还应付50 1.25010⨯-=元.统计表明饮酒量与人数有很强的线性相关关系，下面是随机采集的5组数据(,)x y （其中x 表示饮酒人数，y （升）表示饮酒量）：(1,0.8),(2,1,5),(3,2,5),(4,3.2),(5,4,5). （1）求由这5组数据得到的y 关于x 的回归直线方程；（2）小王约了5位朋友坐在一桌饮酒，小王及朋友用量杯共量取了8升啤酒，这时，酒吧服务生对小王说，根据他的经验，小王和朋友量取的啤酒可能喝不完，可以考虑再邀请1位或2位朋友一起来饮酒，会更划算.试问小王是否该接受服务生的建议？参考数据：回归直线的方程是ˆˆˆybx a =+，其中 ()()()1122211ˆˆˆ,nni iiii i n ni i i i x ynx yxxy y bay bx x nxx x====---===---∑∑∑∑. 20.（12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是边长为4的等边三角形，11A AB A AC ∠=∠，D 为BC 的中点.（1）证明：BC ⊥平面1A AD .（2）若1A AD ∆是等边三角形，求二面角1D AA C --的正弦值. 21.（12分）已知函数2()ln x f x x=.（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数()()g x f x a =-在123,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上只有一个零点，求a 的取值范围.22.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y W a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 为W 的上顶点，点Q 在W 上，227PF F Q =u u u r u u u u r ，且1167PF PQ ⋅=-u u u r u u u r .（1）求W 的方程；（2）已知过原点的直线1l 与椭圆W 交于C ，D 两点，垂直于1l 的直线2l 过1F 且与椭圆W 交于M ，N 两点，若2||6||CD MN =，求2CD F S ∆.2019～2020学年第一学期高二期末考试数学试卷参考答案1.C 全称命题的否定是特称命题.2.B 题意可得2,a b ==x 轴上，故其渐近线方程是2y x =±. 3.D 因为(1)(3)24i i i --=-，所以(1)(3)i i --在复平面内对应的点位于第四象限. 4.A 由题意可得132(1)2m m ---=，解得4m =.5.C A ，B ，D 中的两个事件都可能同时发生，但C 中的两个事件不可能同时发生.6.C 由题意可得4p =，则点P 到x 轴的距离是532p-=. 7.A 满足条件的三位数有101，1l1，121，131，201，21，221，301，311，103，113，203，401，共13个，其中M 为偶数的三位数有101，121，211，301，103.故所求概率为513. 8.D 设()11,A x y ，()22,B x y ，则121212122,8,1y y x x y y x x -+=+==-.因为A ，B 两点在双曲线C 上，所以2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩所以22221212220x x y y a b ---=，则()()()()2221212122221212128142y y y y b y y a x x x x x x +--===⨯=-+-，即2b a =，即双曲线C=.9.B 设直线1:0l x y n -+=，联立221,40,x y x y n ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩整理得2258440x nx n ++-=，令()226420440n n ∆=--=，解得n =若m =则直线l 与1l之间的距离d ==即点P 到直线l.当点P 到直线l，即直线l 与1l 之间的最小距离d =m =m =-故选B. 10.B 由频率分布直方图知众数估计值为1101201152+=，中位数在110～120之间，设为x ，则0.0050100.0150100.020010(110)0.0300.5x ⨯+⨯+⨯+-⨯=，解得113.3x ≈.考试成绩在110分以下的有1000(0.0050.0150.02)10400⨯++⨯=人.安全知识考试超过140分（包括140分）的人员有10000.00251025⨯⨯=人，则安全科成员有25人.故②③正确.11.C 若()22xf x e =-，则由()22xf x e '==，得0x =，点(0,0)在直线2y x =上，则直线2y x =与曲线22xy e =-相切；若()2sin f x x =，则由()2cos 2f x x '==，得2()x k k Z π=∈，(2)0f k π=，则直线2y x =与曲线2sin y x =相切；若1()3f x x x =+，则由21()32f x x'=-=，得1,(1,4),(1,4)x =±--都不在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线13y x x=+不相切；若3()2f x x x =--，则由2()312f x x '=-=，得1x =±，其中(1,2)--在直线2y x =上，所以直线2y x =与曲线32y x x =--相切.12.D由题意可得3c ==.不妨设点P 在双曲线C 的右支上，当2PF x ⊥轴时，将3x =代入22145x y -=，得52y =±，即25||2PF =，则121322PF PF a =+=，故129PF PF +=；当12PF PF ⊥时，则222121212||||36,|||4,|PF PF F F PF PF ⎧+==⎪⎨-=⎪⎩解得1222PF PF ==-12PF PF +=，且1226PF PF c +>=.综上，12PF PF +的取值范围是(9,)⋃+∞. 13.14 由题意可得128p =，则14p =. 14.0 连接AE （图略），由题意可得1122AE AB AD =+，则1111122A E AE AA AB AD AA =-=+-.因为11A E xAA yAB zAD =++，所以11,2x y z =-==，所以0x y z ++=.15.(1,0)(1,)-⋃+∞ 由题意构造函数()()()h x F x g x =，当0x <时，()()()()0h x g x h x g x ''-<，则()0F x '<，则()F x 在区间(,0)-∞上单调递减，又()F x 为奇函数，(1)0h -=，所以(1)(1)0F F -==，则()0()h a g a <的a 的取值范围为(1,0)(1,)-⋃+∞.由222PA AB PB +=，得PA AB ⊥，由222PA AC PC +=，得PA AC ⊥，由222AB BC AC +=，得AB BC ⊥.过A 作AB 的垂线AD ，以A 为原点，,,AD AB AP 所在的直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系（图略），则(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(0,0,1)A B C P -，所以(1,1,1)PC =--u u u r ，(0,1,0)AB =u u u r ，于是|||cos ,|3||PC AB PC AB PC AB ⋅〈〉===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r . 17.解：（1）因为5m =，所以()(5)xf x a =-， 因为p 是真命题，所以051a <-<，所以56a <<.故a 的取值范围是(5,6).（2）若p 是真命题，则01a m <-<，解得1m a m <<+. 关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根分别为1a -和1a +. 若q 是真命题，则11a ->，解得2a >.因为p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件，所以2m ≥. 18.解：（1）这组数据的众数为86； 平均数为5164667885863872929880.512+++++⨯+⨯++=.（2）在被抽取的学生中有2个“达标”学生，4个“未达标”学生，将“达标”学生编号为A ，B “未达标”学生编号为,,,a b c d ，则从6人中任取2人，有以下情况：(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A a A b A c A d B a B b B c B d A B a b a c a d b c b d c d .共15种.其中符合条件的为(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)A a A b A c A d B a B b B c B d A B ，共9种.故至少有1人“达标”的概率93155P ==. 19.解：（1）123450,81,52,53,24,53, 2.555x y ++++++++====，551221546.637.5ˆ0.9155455i ii ii x yxybxx ==--===--∑∑，2.50.9130.23a y bx =-=-⨯=-，所求回归直线方程为0.910.23y x =-.（2）小王和5位朋友共6人大约需要饮酒0.9160.23 5.23⨯-=升， 若不再邀请人，则剩余酒量8 5.23 2.77-=升，酒吧记为剩余2升， 预计需要支付506120%360⨯⨯=元；若再邀请1人，大约需饮酒0.9170.23 6.14⨯-=升，剩余酒量8 6.14 1.86-=升， 酒吧记为剩余1升，预计支付5071350⨯⨯=元；若再邀请2人，大约需饮酒0.9180.237.05⨯-=升，剩余酒量87.050.95-=升. 酒吧记为剩余0升，预计支付50890%360⨯⨯=元.所以应该接受建议，且再邀请1位朋友更划算. 20.（1）证明：连接1A B .因为1111,,A AB A AC AB AC AA AA ∠=∠==，所以11A AB A AC ∆∆≌，所以11A B AC =. 因为D 为BC 的中点，所以1BC A D ⊥.因为D 为BC 的中点，且AB AC =，所以BC AD ⊥. 因为1A D AD D ⋂=，所以BC ⊥平面1A AD .（2）解：取AD 的中点O ，连接1A O 因为1A AD ∆是等边三角形，所以1AO AD ⊥. 由（1）可知BC ⊥平面1A AD ，则BC ，AD ，1A O 两两垂直，故以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，过O 作BC 的平行线为y 轴，1OA 所在直线为z 轴建立空间坐标系O xyz -. 因为底面ABC 是边长为4的等边三角形，所以AD =因为1A AD ∆是等边三角形，所以13AO =.所以A ，1(0,0,3)A，(B，(2,0)C -，则1((2,0)AA AC ==--u u r u u u r .设平面1AA C 的法向量(,,)n x y z =r，则130,20,n AA z n AC y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=--=⎪⎩rr 令1z =，得3,1)n =-r . 易知平面1A AD 的一个法向量为(0,4,0)BC =-u u u r，记二面角1D AA C --为θ，则|cos |||||||n BC n BC θ⋅===r u u u r r ，故sin 13θ==.21.解：（1）()f x 的定义域为(0,1)(1,)⋃+∞，2(2ln 1)()ln x x f x x-'=，令()0f x '=，则x =在(0,1)⋃上，()0f x '<；在)+∞上，()0f x '>. 所以()f x的单调递减区间为，单调递增区间为)+∞. （2）由()0g x =，得()f x a =.因为()1242333,2e f e e f e ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且24332e e >，又2f e =，所以a 的取值范围为2433,{2}2ee e ⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦.22.解；（1）设椭圆W 的焦距为2c ，∵227PF F Q =，∴Q 的坐标为8,77c b ⎛⎫-⎪⎝⎭. ∵Q 在W 上，将8,77c b Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭代入22221x y a b +=，得2234c a =.又∵1167PF PQ ⋅=-，∴8816(,),777c b c b ⎛⎫--⋅-=- ⎪⎝⎭，∴222c b -=. 又∵222a b c =+，∴224,1a b ==，W 的方程为2214x y +=. （2）当直线2l 的斜率不存在时，||2,||4CD MN ==，不符合题意； 当直线2l 的斜率为0时，||4,||1CD MN ==，也不符合题意. ∴设直线2l的方程为(0)y k x k =+≠，联立22(1,4y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得()2222411240k x x k +++-=，则21212212441k x x x x k -+==+.()2241||41kMNk+==+.由221,1,4y xkxy⎧=-⋅⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴()222161||4kCDk+=+.又∵26||||MN CD=，∴()()2222241161414k kk k++=++，∴22k=，∴||CD=∵2F到直线CD的距离1d==，∴2112F CDS∆=⨯⨯=。
湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题含答案
武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷（答案在最后）本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟．考试时间：2024年11月12日下午14：00—16：00祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线320x y --=在y 轴上的截距为（）A ．2-B ．2C ．23D ．23-2．已知直线1:1l y x =-绕点(0,1)-逆时针旋转512π，得到直线2l ，则2l 不过第__________象限．A ．四B ．三C ．二D ．一3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412451312531224344151254424142435414135432123233314232353442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（）A ．0.4B ．0.45C ．0.5D ．0.554．已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为13，且()3()P A P B =，则()P B =（）A ．16B ．13C ．23D ．565．现有一段底面周长为12π厘米和高为15厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行2π厘米后再向下爬行5厘米到达P 点，另一只从B 沿下底部圆弧逆时针方向爬行2π厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A ．B ．12C ．D ．6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（）A ．甲315枚，乙105枚B ．甲280枚，乙140枚C ．甲210枚，乙210枚D ．甲336枚，乙84枚7．在平面直角坐标系中，点P 的坐标为50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，圆22121:10504C x x y y -+-+=，点(,0)T t 为x 轴上一动点．现由点P 向点T 发射一道粗细不计的光线，光线经x 轴反射后与圆C 有交点，则t 的取值范围为（）A ．1527,88⎡⎤⎢⎣⎦B ．710,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．727,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1510,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．如图所示，四面体ABCD 的体积为V ，点M 为棱BC 的中点，点E ，F 分别为线段DM 的三等分点，点N 为线段AF 的中点，过点N 的平面α与棱AB ，AC ，AD 分别交于O ，P ，Q ，设四面体AOPQ 的体积为V '，则V V'的最小值为（）A ．14B ．18C ．116D ．127二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．给出下列命题，其中是真命题的是（）A ．已知{,,}a b c 是空间的一个基底，若23m a c =+ ，则,,}a b m 〈也是空间的一个基底B ．平面α经过三点(2,1,0)A ，(1,3,1)B -，(2,2,1)C -，向量(1,,)n u t =是平面α的法向量，则2u t +=C ．若0a b ⋅> ，则,a b <>是锐角D ．若对空间中任意一点O ，有111362OM OA OB =++，则M ，A ，B ，C 四点不共面10．下列命题正确的是（）A ．设A ，B 是两个随机事件，且1()2P A =，1()3P B =，若1()6P AB =，则A ，B 是相互独立事件B ．若()0P A >，()0P B >，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥有可能同时成立C ．若三个事件A ，B ，C 两两相互独立，则满足()()()()P ABC P A P B P C =D ．若事件A ，B 相互独立，()0.4P A =，()0.2P B =，则()0.44P AB AB = 11．平面内到两个定点A ，B 的距离比值为一定值(1)λλ≠的点P 的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点(2,0)A ，(6,0)B ，动点P 满足||1||3PA PB =，记点P 的轨迹为τ，则下列命题正确的是（）A ．点P 的轨迹τ的方程是2230x y x +-=B ．过点(1,1)N 的直线被点P 的轨迹τ所截得的弦的长度的最小值是1C ．直线220x y -+=与点P 的轨迹τ相离D ．已知点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，点M 是直线:270l x -+=上的动点，过点M 作点P 的轨迹τ的两条切线，切点为C ，D ，则四边形ECMD 面积的最小值是3三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．同时扡掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为6的概率为__________．13．已知曲线1y =+与直线y x b =+有两个相异的交点，那么实数b 的取值范围是__________．14．在空间直角坐标系中，(0,0,0)O ，(0,,3)A a ，(3,0,)B a ，(,3,0)C a ，33,3,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，P 为ABC △所确定的平面内一点，设||PO PD -的最大值是以a 为自变量的函数，记作()f a ．若03a <<，则()f a 的最小值为__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分13分）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A ，B ，C ，D 四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A ，B ，C 的概率分别是12，14，18．（1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率；（2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率．16．（本题满分15分）已知ABC △的顶点(4,2)A ，边AB 上的中线CD 所在直线方程为7250x y +-=，边AC 上的高线BE 所在直线方程为40x y +-=．（1）求边BC 所在直线的方程；（2）求BCD △的面积．17．（本题满分15分）如图所示，已知斜三棱柱111ABC A B C -中，AB a = ，AC b = ，1AA c =，在1AC 上和BC 上分别有一点M 和N 且AM k AC = ，BN k BC =，其中01k ≤≤．（1）求证：MN ，a ，c共面；（2）若||||||2a b c ===，13AB =且160BAC BB C ∠=∠=︒，设P 为侧棱1BB 上靠近点1B 的三等分点，求直线1PC 与平面11ACC A 所成角的正弦值．18．（本题满分17分）已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)A -，(7,0)B -，平面内动点P 满足||2||PB PA =．（1）求点P 的轨迹方程；（2）点P 轨迹记为曲线C ，若曲线C 与x 轴的交点为M ，N 两点，Q 为直线:17l x =上的动点，直线MQ ，NQ 与曲线C 的另一个交点分别为E ，F ，求|EF|的最小值．19．（本题满分17分）对于三维向量()(),,,,N,0,1,2,k k k k k k k a x y z x y z k =∈= ，定义“F 变换”：()1F k k a a += ，其中，1k k k x x y +=-，1k k k y y z +=-，1k k k z z x +=-．记k k k k a x y z = ，k k k k a x y z =++．（1）若0(2,3,1)a =，求2a 及2a ；（2）证明：对于任意0a ，必存在*k ∈N ，使得0a 经过k 次F 变换后，有0k a = ；（3）已知1(,2,)()a p q q p =≥ ，12024a = ，将1a再经过m 次F 变换后，m a 最小，求m 的最小值．武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案与评分细则题号1234567891011答案ADCDBA DCABADACD12．53613．1)+14．215．解：（1）设事件A ，B ，C ，D 分别表示“被评定为等级A ，B ，C ，D ”．由题意得，事件A ，B ，C ，D 两两互斥，所以1111()12488P D =---=．所以111()()()884P C D P C P D =+=+= ．因此其得分低于4分的概率为14；（2）设事件i A ，i B ，i C ，i D 表示"第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，i 1,2=．（2）设事件i A ，i B ，i C ，i D 表示“”第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，i 1,2=．则“两次射击得分之和为8分”为事件()()()121221B B AC A C ，且事件12B B ，12AC，21A C 互斥，()121114416P B B =⨯=，()()12211112816P AC P A C ==⨯=，所以两次射击得分之和为8分的概率()()()()()()121221*********2161616P P B B AC A C P B B P ACP A C ⎡⎤==++=+⨯=⎣⎦ ．16．解：（1）因为AC BE ⊥，所以设直线AC 的方程为：0x y m -+=，将(4,2)A 代入得2m =-，所以直线AC 的方程为：20x y --=，联立AC ，CD 所在直线方程：207250x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得(1,1)C -，设()00,B x y ，因为D 为AB 的中点，所以0042,22x y D ++⎛⎫⎪⎝⎭，因为()00,B x y 在直线BE 上，D 在CD 上，所以0040x y +-=，0042725022x y ++⨯+⨯-=，解得06x =-，010y =，所以(6,10)B -，10(1)11617BC k --==---，所以BC 所在直线的方程为：111(1)7y x +=--，即11740x y +-=．（2）由（1）知点(1,6)D -到直线BC 的距离为：d ==，又||BC ==，所以12722BCD S ==△．17．（1）证明：因为1AM k AC kb kc ==+，()(1)AN AB BN a k BC a k a b k a kb =+=+=+-+=-+，所以(1)(1)MN AN AM k a kb kb kc k a kc =-=-+--=-- ．由共面向量定理可知，MN ，a ，c共面．（2）取BC 的中点为O ，在1AOB △中，1AO B O ==13AB =，由余弦定理可得22211cos2AOB ∠=-，所以12π3AOB ∠=，依题意ABC △，1B BC △均为正三角形，所以BC AO ⊥，1BC B O ⊥，又1B O AO O = ，1B O ⊂平面1B AO ，AO ⊂平面1B AO ，所以BC ⊥平面1AOB ，因为BC ⊂平面ABC ，所以平面1AOB ⊥平面ABC ，所以在平面1AOB 内作Oz OA ⊥，则Oz ⊥平面ABC ，以OA ，OC ，Oz 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示：则1332B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,1,0)B -，3,0,0)A ，(0,1,0)C ，1332C ⎛⎫⎪⎝⎭，1332A ⎫⎪⎝⎭设(,,)n x y z =是平面11ACC A 的一个法向量，(3,1,0)AC =，13332AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，则100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即303332022y x y z ⎧+=⎪⎨-++=⎪⎩，取1z =得(3,3,1)n =-- ，依题意可知123BP BB =，则11112332333713,,,323232C P C B BP C B BB ⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=--+⨯-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．设直线1PC 与平面11ACC A 所成角为θ，则11169sin cos ,13213||133n C PC P n n C Pθ⋅====⋅⨯．故直线1PC 与平面11ACC A 所成角的正弦值为913．18．解：（1）设动点坐标(,)P x y ，因为动点P 满足||2||PB PA =，且(1,0)A -，(7,0)B -，2222(7)2(1)x y x y ++=++化简可得，222150x y x +--=，即22(1)16x y -+=，所以点P 的轨迹方程为22(1)16x y -+=．（2）曲线22:(1)16C x y -+=中，令0y =，可得2(1)16x -=，解得3x =-或5x =，可知(3,0)M -，(5,0)N ，当直线EF 为斜率为0时，||||EK FK +即为直径，长度为8，当直线EF 为斜率不为0时，设EF 的直线方程为x ny t =+，()11,E x y ，()22,F x y ，联立22(1)16x ny t x y =+⎧⎨-+=⎩消去x 可得：22(1)16ny t y +-+=，化简可得；()2212(1)(3)(5)0n y t ny t t ++-++-=由韦达定理可得1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，因为()11,E x y ，()22,F x y ，(3,0)M -，(5,0)N ，所以EM ，FN 的斜率为113EM y k x =+，225FN y k x =-，又点()11,E x y 在曲线C 上，所以()2211116x y -+=，可得()()()22111116135y x x x =--=+-，所以111153EM y x k x y -==+，所以EM ，FN 的方程为115(3)x y x y -=+，22(5)5y y x x =--，令17x =可得()1212205125Q x y y y x -==-，化简可得；()()121235550y y x x +--=，又()11,E x y ，()22,F x y 在直线x ny t =+上，可得11x ny t =+，22x ny t =+，所以()()121235550y y ny t ny t ++-+-=，化简可得；()()221212535(5)5(5)0n y y n t y y t ++-++-=，又1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩，代入可得()2222(3)(5)2(1)535(5)5(5)011t t t n n n t t n n +--++-+-=++，化简可得()()222253(3)(5)10(5)(1)5(5)10n t t n t t t n ++-+--+-+=，()222222(5)3951510105525250t t n t n n n t n t t n -++++-++--=，(5)(816)0t t --=，所以2t =或5t =，当5t =时EF 为5x ny =+，必过(5,0)，不合题意，当2t =时EF 为2x ny =+，必过(2,0)，又||EF 为圆的弦长，所以当EF ⊥直径MN 时弦长||EF 最小，此时半径4r =，圆心到直线EF 的距离为211-=||8EF =，综上，||EF的最小值．19．解：（1）因为0(2,3,1)a = ，1(1,2,1)a = ，2(1,1,0)a = ，所以21100a =⨯⨯= ，21102a =++=，（2）设{}max ,,(0,1,2)k k k k M x y z k == 假设对N k ∀∈，10k a +≠，则1k x +，1k y +，1k z +均不为0；所以12k k M M ++>，即123M M M >>> ，因为*(1,2)k M k ∈=N ，112321121M M M M M M +≥+≥+≥≥++ ，所以121M M +≤-，与120M M +>矛盾，所以假设不正确；综上，对于任意0a ，经过若干次F 变换后，必存在K N*∈，使得0K a =．（3）设()0000,,a x y z = ，因为1(,2,)()a p q q p =≥，所以有000x y z ≤≤或000x y z ≥≥，当000x y z ≥≥时，可得0000002p x y y z q z x=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，三式相加得2q p -=又因为12024a =，可得1010p =，1012q =；当000x y z ≤≤时，也可得1010p =，1012q =，所以1(1010,2,1012)a =；设k a的三个分量为()*2,,2m m m +∈N 这三个数，当2m >时，1k a +的三个分量为2m -，2，m 这三个数，所以14k k a a +=- ；当2m =时，k a 的三个分量为2，2，4，则1k a + 的三个分量为0，2，2，2k a +的三个分量为2，0，2，所以124k k a a ++=== ；所以，由12024a = ，可得5058a = ，5064a =；因为1(1010,2,1012)a = ，所以任意k a的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2，所以505a 的三个分量只能是2，2，4三个数，506a的三个分量只能是0，2，2三个数，所以当505m <时，18m a +≥ ；当505m ≥时，14m a +=，所以m 的最小值为505．。
河北省部分重点中学19-20学年高二上学期期末数学试卷 (附答案解析)
河北省部分重点中学19-20学年高二上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数z=2+ii的虚部是()A. 2B. 2iC. −2D. −2i2.命题“∀x∈(0,1),x2−x<0”的否定是()A. ∃x0∉(0,1),x02−x0≥0B. ∃x0∈(0,1),x02−x0≥0C. ∀x0∉(0,1),x02−x0<0D. ∀x0∈(0,1),x02−x0≥03.下列说法正确的是()A. 任何事件的概率总是在(0,1]之间B. 频率是客观存在的，与试验次数无关C. 随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D. 概率是随机的，在试验前不能确定4.已知焦点在y轴上的椭圆方程为x210−m +y2m−1=1，若该椭圆的焦距为2√6，则m为()A. 172B. 8 C. 52D. 105.曲线y=x2−1在x=1处的切线方程为()A. 2x+y−2=0B. 2x−y−2=0C. x−y−1=0D. x+y−1=06.设抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离是2，则P到该抛物线焦点的距离是()A. 3B. 2C. 4D. 17.设某中学的高中女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i,y i)(i=1,2,3，…，n)，用最小二乘法近似得到回归直线方程为ŷ=0.85x−85.71，则下列结论中不正确的是()A. y与x具有正线性相关关系B. 回归直线过样本的中心点(x,y)C. 若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD. 若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg8.已知直线l：x−y+2=0与双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)交于A，B两点，点P(1,4)是弦AB的中点，则双曲线C的离心率为()A. 43B. 2C. √52D. √59. 在一次数学竞赛中，高一⋅1班30名学生的成绩茎叶图如图所示：若将学生按成绩由低到高编为1−30号，再用系统抽样的方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[73,90]上的学生人数为( )A. 3B. 4C. 5D. 6 10. 已知椭圆C ：x 24+y 23=1，直线l ：x =4与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A ，B 两点，点C 在直线l 上，则“轴”是“直线AC 过线段EF 中点”的( ) A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件11. 若函数f(x)=x 3+e x −ax 在区间[0,+∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A. [0,1)B. (0,1]C. [1,+∞)D. (−∞,1] 12. 若双曲线E ：x 29−y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|=3，则|PF 2|等于( )A. 11B. 9C. 5D. 3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，那么A 与B 在相邻两天值班的概率为14. 如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别为OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2GN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若OG⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则x +y +z =______．15. 已知F 1，F 2分别是椭圆C 的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，且PF 1=2PF 2，∠PF 1F 2=30°，则此椭圆的离心率为________．16. 已知函数f(x)=xlnx ，g(x)=−x 2+(a +12)x +2a ，若不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）≤x≤1，命题q：x2−(2a+1)x+a(a+1)≤0，命题p是命题q的充分不必要17.设命题p：12条件，求a的取值范围．18.已知函数f(x)=x3−3x(1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[−3,2]上的最大值和最小值．19.某校随机抽取20名学生在一次知识竞赛中的成绩(均为整数)，并绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求频率分布直方图中x的值；(2)估计这次知识竞赛成绩的合格率(60分及以上为合格)；(3)从成绩在[40,60)的学生中任选2人，求此2人的成绩在同一分组区间的概率．20.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB//CD，∠BAD=90°，△PAD为等边三角形，AB=AD=DM=2CD=2，M是PB的中点．(Ⅰ)证明：平面PAD⊥平面ABCD；(Ⅱ)求直线DM与平面PBC所成角的正弦值，21.已知函数f(x)=(x−2)e x+a(lnx−x+1)．(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)若函数f(x)的最小值为−e，求a的取值范围．22.已知椭圆E:x2a2+y2=1(a>1)，过点A(0,−1)和B(a,0)的直线与原点的距离为√32．(Ⅰ)求椭圆E的方程；(Ⅱ)直线l：y=kx+1与椭圆E交于C、D两点，以线段CD为直径的圆过点M(−1,0)，求直线l的方程．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵z=2+ii =(2+i)(−i)−i2=1−2i，∴复数z=2+ii的虚部是−2．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础的计算题．2.答案：B解析：本题考查全称命题的否定，属于基础题.根据全称命题的否定规律直接给出结果即可．解：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈(0,1),x2−x<0”的否定是∃x0∈(0,1),x02−x0≥0．故选B．3.答案：C解析：解：在A中，任何事件的概率总是在[0,1]之间，故A错误；在B中，频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故B错误；在C中，由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故C正确；在D中，概率是客观的，在试验前能确定，故D错误．故选：C．由概率和频率的有关概念能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查频率、概率等基础知识，是基础题．4.答案：A解析：解：焦点在y轴上的椭圆方程为x210−m +y2m−1=1，则m−1>10−m>0，解得，112<m<10，椭圆的焦距为2√6，即有√(m−1)−(10−m)=√6，解得，m=172，符合条件，成立．故选A．由条件可得，m−1>10−m>0，求出m的范围，再由椭圆的焦距为2√6，列出方程，解得m，检验即可．本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．5.答案：B解析：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，求出导函数，求出切线斜率，利用点斜式可得切线方程．解：∵曲线y=x2−1，∴y′=2x，∴k=2，又当x=1时，y=0，∴切线方程为y=2(x−1)，即2x−y−2=0．故选B．6.答案：A解析：本题考查抛物线的定义及标准方程，属于基础题．由题意可得点P的横坐标为2，由抛物线的定义可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线x=−1的距离，由此求得结果．解：由于抛物线y2=4x上一点P到y轴的距离是2，故点P的横坐标为2．可知：抛物线y2=4x的准线为x=−1，由抛物线的定义，可得点P到该抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离，故点P到该抛物线焦点的距离是2−(−1)=3，故选A ．7.答案：D解析：此题考查回归分析与线性回归方程的应用问题，根据回归分析与线性回归方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可.解：由于线性回归方程中x 的系数为0.85，因此y 与x 具有正的线性相关关系，A 正确；由线性回归方程必过样本中心点(x,y)，因此B 正确；由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加1cm ，其体重约增加0.85kg ，C 正确；当某女生的身高为160cm 时，其体重估计值是50.29kg ，而不是具体值，因此D 错误．故选D ．8.答案：D解析：本题考查了双曲线的几何意义及性质，直线与双曲线的位置关系，解题的关键是利用“设而不求”法求直线l 的斜率．设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，根据AB 的中点P 的坐标，表示出斜率，从而得到关于a 、b 的关系式，再求离心率．解：设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，∵点P(1,4)是弦AB 的中点，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=8，∵直线l ：x −y +2=0的斜率为1，∴y 1−y2x 1−x 2=1． ∵A ，B 两点在双曲线C 上，∴{ x 12a 2−y 12b 2=1x 22a 2−y 22b 2=1, ∴x 12−x 22a 2−y 12−y 22b 2=0， 则b 2a 2=y 12−y 22x 12−x 22=(y 1+y 2)(y 1−y 2)(x 1+x 2)(x 1−x 2)=82×1=4，即ba =2，故双曲线C的离心率为√1+(ba)2=√5．故选D．9.答案：A解析：解：根据茎叶图得，成绩在区间[73,90]上的数据有15个，所以，用系统抽样的方法从所有的30人中抽取6人，成绩在区间[73,90]上的学生人数为6×1530=3．故选：A．根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，求出所要抽取的人数．本题考查了系统抽样方法的应用问题，也考查了茎叶图的应用问题，是基础题目．10.答案：A解析：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合直线和椭圆的位置关系，题目较难．根据充分条件和必要条件的定义，结合直线和椭圆的位置关系进行判断即可．解：设直线AC与x轴的交点为点N，过点A作AD⊥l，点D是垂足．因为点F是椭圆的右焦点，直线l是右准线，BC//x轴，即BC⊥l，根据椭圆几何性质，得AFAD =BFBC=e(e是椭圆的离心率)．∵AD//FE//BC．∴ENAD =CNCA=BFAB，FNBC=AFAB，即EN=AD⋅BFAB =e⋅AD⋅BCAB=AF⋅BCAB=FN．∴N为EF的中点，即直线AC经过线段EF的中点N，即充分性成立，当直线AB斜率为0时，则BC与x轴重合，此时BC//x轴不成立，则“BC//x轴”是“直线AC过线段EF中点”的充分不必要条件，故选：A．11.答案：D解析：【分析】本题主要考查利用导数解决函数的单调性以及最值问题，属于基础题．由题意可得f′(x)≥0在区间[0,+∞)上恒成立，从而转化成a≤3x2+e x在[0,+∞)上恒成立问题，通过求3x2+e x在[0,+∞)上最小值，求得结果．【解答】解：f′(x)=3x2+e x−a，令f′(x)≥0，则a≤3x2+e x在x∈[0,+∞)上恒成立，所以a≤(3x2+e x)min，而函数g(x)=3x2+e x，x∈[0,+∞)为增函数，所以g(x)min=g(0)=1，所以a≤1.故选D．12.答案：B解析：本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．确定P在双曲线的左支上，由双曲线的定义可得结论．解：由题意，双曲线E：x29−y216=1中，a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|−|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选B．13.答案：23解析：本题主要考查古典概型的概率．解：因为已知A ，B ，C 三人分别在连续三天中值班，每人值班一天，共有A 33=6中排法， 又因为A 与B 在相邻两天值班的排法由2A 22=4种方法，所以A 与B 在相邻两天值班的概率为 46=23．故答案为23． 14.答案：56解析：本题考查了空间向量的加减运算以及空间向量基本定理，属于基础题．将OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示出来，再把系数相加即可．解：∵OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )， ∴OG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =16OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ． ∴x =16,y =z =13．∴x +y +z =16+13+13=56．故答案为56．15.答案：√33解析：本题考查椭圆的简单性质，考查椭圆定义及余弦定理的应用，是中档题．由已知结合椭圆定义求得|PF 1|=43a ，|PF 2|=2a 3，又∠PF 1F 2=30°，在△F 1PF 2中，由余弦定理列式求得椭圆的离心率．解：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ，且|PF 1|=2|PF 2|，∴|PF 1|=43a ，|PF 2|=2a 3，又∵∠PF 1F 2=30°， ∴在△F 1PF 2中，由余弦定理可得：(2a 3)2=(4a 3)2+4c 2−2·4a 3·2c ·cos30° ∴整理得：a 2−2√3ac +3c 2=0，∴(a −√3c)2=0，∴a −√3c =0，解得：e =ca =√33． 故答案为√33． 16.答案：解析： 本题考查利用导数研究函数的极值，最值从而研究不等式的解，难度较大．解：由xlnx ≤−x 2+(a +12)x +2a 且x >0，可得a ≥xlnx+x 2−12x x+2， 设ℎ(x)=xlnx+x 2−12x x+2，则ℎ′(x)=x 2+2lnx+5x−22(x+2)2． 令，则ϕ′(x)=2x +2x +5>0，所以φ(x)在(0,+∞)上单调递增．由于φ(2)<0，φ(3)>0，所以ョx 0∈(2,3)，φ(x 0)=0，所以(ℎ)x 在(0,x 0)单调递减；在(x 0,+∞)单调递增．要使不等式f(x)≤g(x)的解集中恰有两个整数，即a ≥ℎ(x)的解集中恰有两个整数，必须解集中的两个整数为2和3．所以a <ℎ(1)，a ≥ℎ(2)，a ≥ℎ(3)，a <ℎ(4)，解得． 故答案为．17.答案：0≤a≤12．解析：对命题q，由x2−(2a+1)x+a(a+1)≤0，得a≤x≤a+1，∵p是q的充分不必要条件∴{a≤1 21<a+1或{a<121≤a+1,∴0≤a≤12．18.答案：解：(1)根据题意，由于f(x)=x3−3x，∴f′(x)=3(x+1)(x−1)．f′(x)>0，得到x>1或x<−1，故可知f(x)的单调增区间是(−∞,−1)，(1,+∞)，f′(x)<0，得到−1<x<1，故可知f(x)的单调减区间是(−1,1)；(2)当x=−3时，f(x)在区间[−3,2]取到最小值为−18．当x=−1或2时，f(x)在区间[−3,2]取到最大值为2．解析：(1)求导函数，由导数的正负，可得f(x)的单调区间；(2)利用函数的最值在极值点及端点处取得，即可求得结论．本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查学生的计算能力，属于中档题．19.答案：解：(Ⅰ)根据频率和为1，得；(0.010+0.020+0.030+0.020+x+0.005)×10=1，解得x=0.015；(Ⅱ)60分以上的频率为(0.030+0.020+0.015+0.005)×10=0.70，∴估计这次知识竞赛成绩的合格率为70%；(Ⅲ)成绩在[40,50)内的人数为0.1×20=2人，记为A、B，成绩在[50,60)内的学生有0.20×20=4人，记为c、d、e、f，从这6人中任选2人，基本事件是：AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef共15种；这2人的成绩在同一分组区间的基本事件是AB、cd、ce、cf、de、df、ef，共7种；所以这2人的成绩在同一分组区间的概率为P=715．解析：(Ⅰ)根据频率和为1，列出方程，求出x的值；(Ⅱ)求出60分以上的频率即可；(Ⅲ)利用列举法求出对应事件数，计算概率即可．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题目．20.答案：证明：(Ⅰ)取PA的中点N，连结MN，DN，∵M，N分别是PB，PA的中点，∴MN//AB，且MN=12AB=1，∵DN=√3，DM=2，∴DN2+MN2=DM2，∴DN⊥MN，∴AB⊥DN，∵AB⊥AD，AD∩DN=D，∴AB⊥平面PAD，∵AB⊂平面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD．解：(Ⅱ)如图，连结BD，CM，由(Ⅰ)知AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，在Rt△PAB中，PB=2√2，同理PC=√5，在梯形ABCD中，BC=√5，BD=2√2，∵PC=BC，M为PB的中点，∴CM⊥PB，由题意得S△PCB=12×PB×CM=12×2√2×√3=√6，S△BCD=12×CD×AD=1，设O为AD的中点，连结PO，由题意得PO⊥AD，∵平面PAD⊥平面ABCD，PO⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PO⊥平面ABCD，设点D到平面PBC的距离为d，∵V P−BCD=V D−PCB，∴13×S△DCB×PO=13×S△PCB×d，解得d=√22．∵DM=2，∴直线DM与平面PBC所成角的正弦值sinθ=dDM =√24．解析：(Ⅰ)取PA的中点N，连结MN，DN，推导出MN//AB，从而DN⊥MN，AB⊥DN，AB⊥AD，从而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面ABCD．(Ⅱ)连结BD，CM，由AB⊥平面PAD，得AB⊥PA，推导出CM⊥PB，S△PCB=12×PB×CM=√6，S△BCD=12×CD×AD=1，设O为AD的中点，连结PO，由题意得PO⊥AD，推导出PO⊥平面ABCD，设点D到平面PBC的距离为d，由V P−BCD=V D−PCB，求出d=√22.由此能求出直线DM与平面PBC 所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21.答案：解：(1)f′(x)=(x−1)e x+a(1x −1)=(x−1)(xe x−a)x(x>0)，令g(x)=xe x−a(x>0)，g′(x)=(x+1)e x>0，∴g(x)在(0,+∞)上单调递增，∴g(x)>g(0)=−a．∴当a≤0或a=e时，f′(x)=0只有1个零点，当0<a<e或a>e时，f′(x)有两个零点．(2)当a≤0时，xe x−a>0，则f(x)在x=1处取得最小值f(1)=−e，当a>0时，y=xe x−a在(0,+∞)上单调递增，则必存在正数x0，使得x0e x0−a=0，若a>e，则x0>1，故函数f(x)在(0,1)和(x0,+∞)上单调递增，在(1,x0)上单调递减，又f(1)=−e，不符合题意；若0<a<e时，则0<x0<1，设正数b=e−e a−1∈(0,1)，则，不符合题意．综上，a的取值范围是(−∞,0]．解析：(1)令f′(x)=0可得x=1或xe x−a=0，讨论a的范围得出方程xe x−a=0的根的情况，从而得出结论；(2)讨论a的范围，分别得出f(x)的最小值，从而得出结论．本题考查了函数单调性判断与最值计算，考查函数零点个数与单调性的关系，属于中档题．22.答案：解：(Ⅰ)由题意，直线AB的方程为：x−ay−a=0，∵过点A(0,−1)和B(a,0)的直线与原点的距离为√32， ∴√a 2+1=√32， ∴a =√3，∴椭圆E 的方程为x 23+y 2=1．(Ⅱ)设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，将直线l ：y =kx +1代入椭圆E ，消元可得(1+3k 2)x 2+6kx =0，∴x 1=0，x 2=−6k1+3k 2，∴y 1=1，y 2=1−3k 21+3k 2， ∵以线段CD 为直径的圆过点M(−1,0)，∴MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, ∴(x 1+1)(x 2+1)+y 1y 2=0，∴−6k 1+3k 2+1+1−3k 21+3k 2=0, ∴k =13, ∴直线l 的方程为y =13x +1.．解析：(Ⅰ)求得直线AB 的方程为：x −ay −a =0，利用过点A(0,−1)和B(a,0)的直线与原点的距离为√32，求得a 的值，即可得到椭圆E 的方程； (Ⅱ)将直线l ：y =kx +1代入椭圆E ，消元可得(1+3k 2)x 2+6kx =0，求得C ，D 的坐标，利用MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅MD⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即可求得直线l 的方程．。
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2019-2020学年河北省部分重点中学高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知21iz i-=-，则z 的虚部为( ) A ．12-B ．12 C ．32-D ．322．（5分）命题“2x ∀>，240x -…”的否定是( ) A ．2x ∀„，240x -< B ．2x ∀>，240x -< C ．02x ∃„，0240x -<D ．02x ∃>，0240x -<3．（5分）容量为100的样本数据，分组后的频数如表：则样本数据落在区间[80，100]内的频率是( ) A ．0.25B ．0.35C ．0.45D ．0.554．（5分）已知椭圆22:11321x y C m m +=--的焦点在x 轴上，且焦距为(m = )A ．2B ．3C ．4D ．55．（5分）若曲线2(2)y a x x=--在2x =处的切线方程为320x y b --=，则(a = ) A ．1B ．2C ．3D ．46．（5分）已知抛物线28x y =上一点P 到焦点的距离为5，则P 到x 轴的距离为( ) A ．5B ．3C ．2D ．47．（5分）若冬季昼夜温差x （单位：)C ︒与某新品种反季节大豆的发芽数量y （单位：颗）具有线性相关关系，根据一组样本数据(i x ，)(1i y i =，2，3，⋯，)n ，用最小二乘法近似得到回归直线方程为ˆ 2.53yx =-，则下列结论中不正确的是( ) A ．y 与x 具有正相关关系 B ．回归直线过点(,)x yC ．若冬季昼夜温差增加1C ︒，则该新品种反季节大豆的发芽数约增加2.5颗D ．若冬季昼夜温差的大小为10C ︒，则该新品种反季节大豆的发芽数一定是22颗8．（5分）已知直线:30l x y -+=与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>交于A ，B 两点，点(1,4)P 是弦AB 的中点，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A ．4y x =±B ．14y x =±C ．12y x =±D ．2y x =±9．（5分）一次数学考试，5名学生的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示．若随机从这5名学生中任取2人，则这2人的成绩之差的绝对值不超过8的概率是( )A ．45 B ．35C ．710D ．31010．（5分）已知点P 在椭圆22:14x C y +=上，直线:0l x y m -+=，则“35m =”是“点P 到直线l 10( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．（5分）若关于x 的不等式22(2)220x x x e a e --+>的解集包含区间(1,)+∞，则a 的取值范围为( ) A ．2(,2e -∞B ．2(2)e +∞C ．(-∞，2]e -D ．[2e -，)+∞12．（5分）已知双曲线22:145x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上．若△12PF F 为钝角三角形，则12||||PF PF +的取值范围是( ) A ．(9,)+∞B ．(0,214)(9,)+∞UC ．(6,214)(9,)+∞UD ．(6,214)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）A ，B ，C 三人在三天节日中值班，每人值班一天，则A 排在B 前面值班的概率是 ．14．（5分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为BD 的中点，若11A E xAA y AB z AD =++u u u u r u u u r u u u r u u u r，则x y z ++= ．15．（5分）已知椭圆22:195x y C +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且1260PF F ∠=︒，则△12PF F 的面积是 ．16．（5分）已知函数2()(31)x f x x x e =++，若关于x 的不等式()0f x k -…的解集中恰有两个整数，则k 的最小值是 ．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p ：函数()()x f x a m =-在R 上单调递减，q ：关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于1．（1）当5m =时，p 是真命题，求a 的取值范围；（2）若p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件，求m 的取值范围．18．（12分）已知函数31()443f x x x =-+，（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 在[0，3]上的最大值和最小值．19．（12分）为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校进行了一次问卷调查（共12道题），从该校学生中随机抽取40人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12]六组，得到如图频率分布直方图．（1）估计这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若从答对题数在[2，6)内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2，4)内的概率．20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD CDA ∠=∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，1PA AD DC ===，2AB =．（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC ．（2）求直线PD 与平面PBC 的所成角的正弦值..21．（12分）已知函数()f x mx nxlnx =+，()f x '是()f x 的导函数，且f '（1）2=，1()0f e =．（1）求()f x 的解析式，并判断()f x 零点的个数；（2）若*k N ∈，且()(2)f x k x >-对任意的2x >恒成立，求k 的最大值．（参考数据：20.69ln ≈，3 1.10)ln ≈22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为22A 在椭圆E 上，且||OA 的2(O 为坐标原点）． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知动直线l 与圆222:(0)O x y t t +=>相切，且与椭圆E 交于P ，Q 两点．是否存在实数t ，使得OP OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．2019-2020学年河北省部分重点中学高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）已知21iz i-=-，则z 的虚部为( ) A ．12-B ．12 C ．32- D ．32【解答】解：Q 2(2)(1)311(1)(1)22i i i z i i i i --+===+--+，z ∴的虚部为12． 故选：B ．2．（5分）命题“2x ∀>，240x -…”的否定是( ) A ．2x ∀„，240x -< B ．2x ∀>，240x -< C ．02x ∃„，0240x -<D ．02x ∃>，0240x -<【解答】解：由全称命题的否定是特称命题，可知命题“2x ∀>，240x -…”的否定是02x ∃>，0240x -<． 故选：D ．3．（5分）容量为100的样本数据，分组后的频数如表：则样本数据落在区间[80，100]内的频率是( ) A ．0.25B ．0.35C ．0.45D ．0.55【解答】解：根据题意，由题意可得样本数据落在区间[80，100]内的频数为17825+=， 则所求频率为250.25100=． 故选：A ．4．（5分）已知椭圆22:11321x y C m m +=--的焦点在x 轴上，且焦距为(m = )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：由题意：2132a m =-，21b m =-，所以13210m m ->->，由题意可得132(1)2m m ---=，解得4m =． 故选：C ．5．（5分）若曲线2(2)y a x x=--在2x =处的切线方程为320x y b --=，则(a = ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：因为2(2)y a x x =--，所以22y a x '=+，则22322a +=，解得1a =． 故选：A ．6．（5分）已知抛物线28x y =上一点P 到焦点的距离为5，则P 到x 轴的距离为( ) A ．5B ．3C ．2D ．4【解答】解：如图，抛物线28x y =的直线方程为2y =-．点P 到焦点的距离||5PF =，可得P 到直线的距离||5PA =，P ∴到x 轴的距离为523-=．故选：B ．7．（5分）若冬季昼夜温差x （单位：)C ︒与某新品种反季节大豆的发芽数量y （单位：颗）具有线性相关关系，根据一组样本数据(i x ，)(1i y i =，2，3，⋯，)n ，用最小二乘法近似得到回归直线方程为ˆ 2.53yx =-，则下列结论中不正确的是( ) A ．y 与x 具有正相关关系 B ．回归直线过点(,)x yC ．若冬季昼夜温差增加1C ︒，则该新品种反季节大豆的发芽数约增加2.5颗D ．若冬季昼夜温差的大小为10C ︒，则该新品种反季节大豆的发芽数一定是22颗 【解答】解：因为回归直线的斜率为2.5，所以y 与x 具有正相关关系，则A 正确； 回归直线过点样本中心点(,)x y ，则B 正确；冬季昼夜温差增加1C ︒，则该新品种反季节大豆的发芽数约增加2.5颗，所以C 正确；若冬季昼夜温差的大小为10C︒，则可估计该新品种反季节大豆的发芽数为22颗，但不可确定，所以D错误．故选：D．8．（5分）已知直线:30l x y-+=与双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>交于A，B两点，点(1,4)P是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是()A．4y x=±B．14y x=±C．12y x=±D．2y x=±【解答】解：设1(A x，1)y，2(B x，2)y，则122x x+=，128y y+=，12121y yx x-=-，因为A，B两点在双曲线C上，所以22112222222211x ya bx ya b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以2222121222x x y ya b---=，则222121212222121212()()814()()2y y y y y yba x x x x x x-+-===⨯=-+-，即2ba=，故双曲线C的渐近线方程是2y x=±，故选：D．9．（5分）一次数学考试，5名学生的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示．若随机从这5名学生中任取2人，则这2人的成绩之差的绝对值不超过8的概率是()A．45B．35C．710D．310【解答】解：设选取的2名学生的成绩分别为a，b，结果用(,)a b表示；由于5人成绩各不相同，故有20个基本事件；如表格所示：818589909581/48914854/45108984/1690951/5其中这2人的成绩之差的绝对值不超过8的基本事件有14个， 由古典概型概率公式得，所求概率1472010P ==． 故选：C ．10．（5分）已知点P 在椭圆22:14x C y +=上，直线:0l x y m -+=，则“m =”是“点P 到直线l ( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：根据题意，设直线1:0l x y n -+=，则直线1l 与直线l 平行，与椭圆方程联立，整理得2258440x nx n ++-=，令△226420(44)0n n =--=，解得n =，此时直线1l 的方程为0x y -±，与椭圆相切且与直线l 平行，若m =l 与1l 之间的距离d ==，即点P 到直线l 的距离的最小反之当点P 到直线l 的距离的最小值是l 与1l 之间的最小距离d =m =m =-故“m =”是“点P 到直线l 故选：B ．11．（5分）若关于x 的不等式2(2)0x x x e a --+>的解集包含区间(1,)+∞，则a 的取值范围为( )A ．(,2-∞B ．(2)+∞C ．(-∞，2]e -D ．[2e -，)+∞【解答】解：设2()(2)x f x x x e a =--+， 则2()(2)x f x x e '=-，当1x <<()0f x '<，函数单调递减；当x >时，()0f x '>，函数单调递增，则()2f x f a =-…．由题意可得不等式2(2)0x x x e a --+>对(1,)x ∈+∞恒成立，即()0min f x >，则2a <． 故选：A ．12．（5分）已知双曲线22:145x y C -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线C 上．若△12PF F 为钝角三角形，则12||||PF PF +的取值范围是( )A ．(9,)+∞B ．(9,)+∞UC ．(9,)+∞UD ．【解答】解：由题意可得3c =．不妨设点P 在双曲线C 的右支上，当2PF x ⊥轴时，将3x =代入22145x y -=，得52y =±，即25||2PF =，则1213||||22PF PF a =+=，故12||||9PF PF +=；当12PF PF ⊥时，则，解得1||2PF =2||2PF =-+则12||||PF PF +=12||||26PF PF c +>=．综上，12||||PF PF +的取值范围是(9,)+∞U ． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡中的横线上. 13．（5分）A ，B ，C 三人在三天节日中值班，每人值班一天，则A 排在B 前面值班的概率是12． 【解答】解：根据题意，A ，B ，C 三人在三天中值班的情况有(A ，B ，)C ，(A ，C ，)B ，(B ，A ，)C ，(B ，C ，)A ，(C ，A ，)B ，(C ，B ，)A ，共6种；其中A 排在B 前面值班的情况有(A ，B ，)C ，(A ，C ，)B ，(C ，A ，)B ，共3种． 故所求概率3162P ==； 故答案为：12． 14．（5分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，点E 为BD 的中点，若11A E xAA y AB z AD =++u u u u r u u u r u u u r u u u r，则x y z ++= 0 ．【解答】解：连接AE （图略），由题意可得1122AE AB AD =+u u u r u u u r u u u r ，则1111122A E AE AA AB AD AA =-=+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．因为11A E xAA y AB z AD =++u u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以1x =-，12y z ==， 所以0x y z ++=． 故答案为：015．（5分）已知椭圆22:195x y C +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，且1260PF F ∠=︒，则△12PF F 的面积是53． 【解答】解：由题意可得3a =，952c =-．设1||PF m =，2||PF n =，则226168cos60m n n m m +=⎧⎨=+-︒⎩，解得52m =，72n =， 故△12PF F 的面积是12115353||sin 604222m F F ︒=⨯⨯ 53． 16．（5分）已知函数2()(31)x f x x x e =++，若关于x 的不等式()0f x k -…的解集中恰有两个整数，则k 的最小值是 21e -． 【解答】解：因为2()(31)x f x x x e =++，所以2()(54)(4)(1)x x f x x x e x x e '=++=++． 令()0f x '>，得4x <-或1x >-；令()0f x '<，得41x -<<-．()f x 在(,4)-∞-，(1,)-+∞上单调递增，在(4,1)--上单调递减． 当4x =-时，()f x 取极大值45(4)0f e-=>；当1x =-时，()f x 取极小值． 因为(0)1f =，1(1)0f e -=-<，21(2)0f e -=-<，31(3)0f e -=>，且当4x <-时，()0f x >， 所以210k e-剟，不等式()0f x k -„的解集中恰有两个整数1-，2-， 故k 的最小值是21e -． 故答案为：21e -． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知p ：函数()()x f x a m =-在R 上单调递减，q ：关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根都大于1．（1）当5m =时，p 是真命题，求a 的取值范围；（2）若p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件，求m 的取值范围． 【解答】解：（1）因为5m =，所以()(5)x f x a =- 因为p 是真命题，所以051a <-<，所以56a <<． 故a 的取值范围是(5,6)（2）若p 是真命题，则01a m <-<，解得1m a m <<+． 关于x 的方程22210x ax a -+-=的两根分别为1a -和1a +． 若q 是真命题，则11a ->，解得2a >．因为p 为真命题是q 为真命题的充分不必要条件，所以2m …．18．（12分）已知函数31()443f x x x =-+，（1）求()f x 的单调区间；（2）求()f x 在[0，3]上的最大值和最小值．【解答】解：（1）因为31()443f x x x =-+，所以2()4(2)(2)f x x x x '=-=+-⋯（2分）由()0f x '>得2x <-或2x >，⋯（4分）故函数()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-，(2,)+∞；⋯（5分） 由()0f x '<得22x -<<⋯（7分）故函数()f x 的单调递减区间为(2,2)-⋯（8分） （2）令2()40f x x '=-=得2x =±⋯（9分）由（1）可知，在[0，3]上()f x 有极小值4(2)3f =-，⋯（10分）而(0)4f =，f （3）1=，因为4143-<<⋯（11分）所以()f x 在[0，3]上的最大值为4，最小值为43-．⋯（12分）19．（12分）为了解某中学学生对《中华人民共和国交通安全法》的了解情况，调查部门在该校进行了一次问卷调查（共12道题），从该校学生中随机抽取40人，统计了每人答对的题数，将统计结果分成[0，2)，[2，4)，[4，6)，[6，8)，[8，10)，[10，12]六组，得到如图频率分布直方图．（1）估计这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）若从答对题数在[2，6)内的学生中随机抽取2人，求恰有1人答对题数在[2，4)内的概率．【解答】解：（1）估计平均数为(10.02530.02550.037570.12590.1875110.1)27.9⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=． （4分）（2）答对题数在[2，4)内的学生有0.0252402⨯⨯=人，记为A ，B ； （5分） 答对题数在[4，6)内的学生有0.03752403⨯⨯=人，记为c ，d ，e ．（6分）从答对题数在[2，6)内的学生中随机抽取2人的情况有(,)A B ，(,)A c ，(,)A d ，(,)A e ，(,)B c ，(,)B d ，(,)B e ，(,)c d ，(,)c e ，(,)d e ，共10种，（8分） 恰有1人答对题数在[2，4)内的情况有(,)A c ，(,)A d ，(,)A e ，(,)B c ，(,)B d ，(,)B e ，共6种，（10分）故所求概率63105P ==．（12分） 20．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，90BAD CDA ∠=∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，1PA AD DC ===，2AB =．（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC ．（2）求直线PD 与平面PBC 的所成角的正弦值..【解答】解：（1）证明：由已知2,2,2AC BC AB ==，222AC BC AB ∴+=，BC AC ∴⊥． 又PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，PA BC ∴⊥，又AC PA A BC =∴⊥I 平面PAC ． 又BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PAC ．（2）解：以AD 所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，PA 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系A xyz -．则(0P ，0，1)，(1D ，0，0)，(1C ，1，0)，(0B ，2，0)， ∴(1,0,1),(1,1,1),(0,2,1)PD PC PB =-=-=-u u u r u u u r u u u r．设平面PBC 的一个法向量为(,,)n x y z =r ，则即∴令2z =，则(1,1,2)n =r． 设PD 与平面PBC 所成的角为θ，则直线PD 与平面PBC 的所成角的正弦值为||3sin |cos ,|||||PD n PD n PD n θ=〈〉==u u u r ru u u r g r u u u r r ．21．（12分）已知函数()f x mx nxlnx =+，()f x '是()f x 的导函数，且f '（1）2=，1()0f e =．（1）求()f x 的解析式，并判断()f x 零点的个数；（2）若*k N ∈，且()(2)f x k x >-对任意的2x >恒成立，求k 的最大值．（参考数据：20.69ln ≈，3 1.10)ln ≈【解答】解：（1）因为()f x mx nxlnx =+，所以()(1)f x m n lnx '=++．（1分）因为f '（1）2=，1()0f e =，所以f '（1）2m n =+=，1()0m nf e e e =-=．（2分）解得1m n ==，则()f x x xlnx =+．（4分） 令()0f x =，则0x xlnx +=，解得1x e=． 故()f x 有且仅有一个零点．（6分）（2）因为2x >，所以()(2)f x k x >-等价于()22f x x xlnxk x x +<=--． 设()2x xlnxg x x +=-，则224()(2)x lnx g x x --'=-．（7分）令()24h x x lnx =--，则22()1x h x x x-'=-=，故()h x 在(2,)+∞上单调递增． 因为h （8）4284620ln ln =-=-<，h （9）5430ln =->， 所以存在0(8,9)x ∈，使得0()0h x =，即0024lnx x =-，（9分） 则()g x 在0(2,)x 上单调递减，在0(x ，)+∞上单调递增，故000000000042()()222x x x x x lnx x g x g x x x -++===--g …．（11分） 因为()(2)f x k x >-对任意的2x >恒成立，所以02x k <． 因为0(8,9)x ∈，且*k N ∈，所以k 的最大值是4．（12分）22．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为A 在椭圆E 上，且||OA 的O 为坐标原点）． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）已知动直线l 与圆222:(0)O x y t t +=>相切，且与椭圆E 交于P ，Q 两点．是否存在实数t ，使得OP OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）因为||OA，所以b ， 因为椭圆E的焦距为2c =，即c 所以2224a b c =+=，故椭圆E 的标准方程是22142x y +=；（2）①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 与圆O 相切，所以直线l 的方程为x t =±， 则直线l 与椭圆E的交点为(,t或(,t -， 因为OP OQ ⊥，所以2212128204t x x y y t -+=-=，所以243t =，即t =②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y kx m =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得：222(21)4240k x kmx m +++-=， 则122421kmx x k +=-+，21222421m x x k -=+，因为1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，在直线l 上，所以2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，将则122421kmx x k +=-+，21222421m x x k -=+ 代入上式，得：222222212222(24)44212121k m k m m k y y m k k k --=-+=+++， 因为OP OQ ⊥，所以 22212122224402121m m k x x y y k k --+=+=++，即2234(1)m k =+，因为动直线l 与圆Ot =，所以222413m t k ==+，即t =综上，存在t =OP OQ ⊥．。