《电路分析基础》第六章：一阶电路
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第六章一阶电路
ucp = U s
所以
uc (t ) = Ke
−
t RC
+Us
由初始状态确定K u 由初始状态确定 ， c (0 ) = K + U s = 0
t − 1 − e RC uc (t ) = U s
， K = −U s
t ≥0
分析上式。（？） 分析上式。（？）
3、零态RL电路 、零态 电路 对图6-10，t＜0，K断开，L = 0 ；t=0，K闭合。 断开， 闭合。 对图 ， ＜ ， 断开 i ， 闭合 列方程： 列方程：
diL L + iL R = U s dt
(t＞0) ＞
定性分析： 定性分析： i (1)K闭合前（t=0-）， L = 0, uL = 0. 闭合前（ 闭合前 ）， i i (2)K闭合后（t=0+），L 不能突变，L = 0, u R = 0, u L = U s 闭合后（ 闭合后 ）， 不能突变， 随t的增长， iL , uR 增大；而 u L 减少。 的增长， 增大； 减少。 的增长 ）： （3）最终（t=∞）： iL = ）最终（
一般认为， 电流或电压已经衰减为0。 一般认为，当 t = 4τ 时，电流或电压已经衰减为 。 5、一阶RL电路 、一阶 电路 如图7-6， 换路。 如图 ，当t=0，开关 1、S2换路。 ，开关S
对图b： 对图 ： 由VCR： u Ro (t ) = Roi (t ) ：
duC ， i (t ) = C dt
du 代入， 代入，得： RoC C + uC = uoc (t ) dt
对图c： 对图 ：
C
duC + GouC = isc (t ) dt
大学物理电路分析基础第6章一阶电路分析.ppt
t
iC d 1(V)
1
其波形如图6-5(c)所示。
第6章 一阶电路分析
6.1.2
通常把由导线绕成的线圈称为电感器或电感线圈。 当 线圈通过电流时, 即在线圈内外建立磁场并产生磁通Φ， 如 图6-6所示。 各线匝磁通的总和称为磁链φ(若线圈匝数为N， 则φ=NΦ )。 可见， 电感器是一种能建立磁场、 储存磁场 能量的器件。
从本例可以看出： (1) 电容电流是可以跳变的。 (2) 电容的功率也是可以跳变的，这是由于电容电流跳 变的原因。 功率值可正可负: 功率为正值， 表示电容从电 源us(t)吸收功率； 功率为负值， 表示电容释放功率且交还 电源。 (3) wC(t)总是大于或等于零，储能值可升可降， 但为连 续函数。
第6章 一阶电路分析
图6-4 例6-1波形图
第6章 一阶电路分析
例 6-2 在图6-5(a)所示电路中， is(t)的波形如图6-5(b)所 示， 已知电容C=2 F， 初始电压uC(0)=0.5 V， 试求t≥0时的 电容电压， 并画出其波形。
第6章 一阶电路分析
图6-5 例6-2题图
第6章 一阶电路分析
dq dt
和电容的定义q(t)=Cu(t)，
可得
i C du
(6-2)
dt
第6章 一阶电路分析
这就是电容元件微分形式的VCR。 若电容端电压u与电流i 参考方向不关联， 则上式右边应加负号， 即
du i C
(6-3)
dt
式(6-2)表明， 任一时刻通过电容的电流i取决于该时刻电容
两端的电压的变化率 du 。若电压恒定不变， 则虽有电压 dt
与电阻元件相类似， 若约束电容元件的q—u平面上的 曲线为通过原点的直线， 则称它为线性电容； 否则， 称为 非线性电容。 若曲线不随时间而变化， 则称为非时变电容； 否则， 称为时变电容。
电路分析基础6一阶电路
例 电路如图(a)所示，t=0时开关S由1板向2，在t＜0
时电路处于稳定。求初始值i1(0+)、 i2(0+)和uL(0+)。
Us 9 (1) 由t＜0时的电路，求iL(0-)。 iL (0 ) 3A R1 3
(2) 画出0+等效电路。根据换路定律，有 (3) 由0+等效电路，计算各初始值。
例 电路如图所示。t＜0时电路处于稳定， t=0
时开关S打开。求t＞0 时的电流iL和电压uR、uL。
§6.5 线性动态电路的叠加原理
线性动态电路的叠加原理 （1）全响应＝零状态响应＋零输入响应 （2）零状态响应线性 （3）零输入响应线性
t 0 uCh Ae Ae
pt
t RC
uCp K uCp K U s
RC
uC (0 ) A U s 0
t
A U s
t
uC U s (1 e )V t 0 duC U s iC e A t 0 dt R
令
RC , 具有时间量纲,即
u(t ) (t )V i (t ) (t ) A
1A电流源在t＝0时接入，则端口电流为
0 (t t0 ) 1
t t0 t t0
阶跃函 (t ) A (t t0 ) A[ (t ) (t t0 )]
处于稳定。当 t=0时开关闭合，求初始值 i1(0+)，
i2(0+)和iC(0+)。
(1) 求开关闭合前的电容电压uC(0-)。由于开关闭合前电路已
处于稳定， uC(t)不再变化，duC/dt=0，故 iC=0，电容可看 作开路。t=0-时电路如图所示
电路分析第6章 一阶电路1
16
R2
15
t=0+的电路
作业：
P239- 习题 633 , 634 。
17
阶跃函数介绍
0 (t ) 1 t0 t0
0
(t )
1
K + U – t=0
C
U (t )
C
+ –
R
R
阶跃响应
18
§ 6-3 零输入响应 一、RC电路的零输入响应
外加激励为0，电容有初始值。
二、RL电路的零输入响应
已知： iL (0) = I0 列方程 S t=0 R iL(t) + uL(t) – L
uL RiL 0
一阶微分方程
Ls R 0
d iL L R iL 0 dt
s R L
R t L
iL Ke st
由iL (0) = I0 得 iL(t) I 0 e
+
C1
S
20V
+ - u ( ) -
u - C2()
R3
uC1()= uC2()=E=20V
t=的电路 uR1()=0
14
例3：下图所示电路中，S合于a时电路已处于稳态。 试求：初始值iL(0+), uL(0+)。 R3 t=0 a 30+ iL S b uL L R2 – 15 R3
虽然电路中无电源，但由于电 容有初始储能，仍能引起电流。 为了简便起见，令 t0 = 0，则电路 的初始条件为 uC(0) = U0。 S +
uC(t)
–
i (t) C + u1(t) – + uC(t0) –
t0=0时开关闭合
根据KVL
R2
15
t=0+的电路
作业：
P239- 习题 633 , 634 。
17
阶跃函数介绍
0 (t ) 1 t0 t0
0
(t )
1
K + U – t=0
C
U (t )
C
+ –
R
R
阶跃响应
18
§ 6-3 零输入响应 一、RC电路的零输入响应
外加激励为0，电容有初始值。
二、RL电路的零输入响应
已知： iL (0) = I0 列方程 S t=0 R iL(t) + uL(t) – L
uL RiL 0
一阶微分方程
Ls R 0
d iL L R iL 0 dt
s R L
R t L
iL Ke st
由iL (0) = I0 得 iL(t) I 0 e
+
C1
S
20V
+ - u ( ) -
u - C2()
R3
uC1()= uC2()=E=20V
t=的电路 uR1()=0
14
例3：下图所示电路中，S合于a时电路已处于稳态。 试求：初始值iL(0+), uL(0+)。 R3 t=0 a 30+ iL S b uL L R2 – 15 R3
虽然电路中无电源，但由于电 容有初始储能，仍能引起电流。 为了简便起见，令 t0 = 0，则电路 的初始条件为 uC(0) = U0。 S +
uC(t)
–
i (t) C + u1(t) – + uC(t0) –
t0=0时开关闭合
根据KVL
电路分析基础：一阶电路(2) -例题
于短路，受控源也随之短路。
(+ )
(+ ) = =
()
求i(∞)的∞图如图5-34b所示，由图可知
(∞) =
图5-34
例5-11图
由三要素法
= (∞) + (+ ) − (∞
−
−+
= +
−
+
−
= ( +
电路的0+图如图5-7b所示。由图可知
(+ ) =
− (+
−
=
=
(+ ) = (+ ) =
图5-7 例5-3图
(+ ) = − (+ ) + = − × + =
由KCL
(+ ) = (+ ) + (+ ) = + =
(
和电容电流
解： t＜0时开关S1在a点，此时电路为原稳定状态，由于此刻电路为直流电路，
电容相当于开路，所以电容的初始状态 (0−
(−) =
× =
+
为
在t＝0时刻，开关S1由a合向b,同时开关S2断开，根据换
路定律
(+) = (−) =
= + −
−
−
×−
= + − = ( + − )
≥ +
( + −
−
(+ )
(+ ) = =
()
求i(∞)的∞图如图5-34b所示，由图可知
(∞) =
图5-34
例5-11图
由三要素法
= (∞) + (+ ) − (∞
−
−+
= +
−
+
−
= ( +
电路的0+图如图5-7b所示。由图可知
(+ ) =
− (+
−
=
=
(+ ) = (+ ) =
图5-7 例5-3图
(+ ) = − (+ ) + = − × + =
由KCL
(+ ) = (+ ) + (+ ) = + =
(
和电容电流
解： t＜0时开关S1在a点，此时电路为原稳定状态，由于此刻电路为直流电路，
电容相当于开路，所以电容的初始状态 (0−
(−) =
× =
+
为
在t＝0时刻，开关S1由a合向b,同时开关S2断开，根据换
路定律
(+) = (−) =
= + −
−
−
×−
= + − = ( + − )
≥ +
( + −
−
一阶电路
d
由KVL，得
i1(t) 4 uab (t) i2 (t) 3 0
uab (t)
25 24
t
e 12
t0
2020年4月19日星期信日息学院
24
结束结束
第6章 一阶电路
电路分析基础
6-2 零状态响应 定义：电路的初始状态为零，仅由t≥0时的外加激励 所产生的响应。
一、一阶RC电路的零状态响应 t<0时，电路处于稳定状态，t=0 时，开关闭合，求t≥0时电容两端 的电压。
2020年4月19日星期信日息学院
6
结束结束
第6章 一阶电路
三、过渡过程的定性分析
电路分析基础
电阻电路
+ i R1
us
-
R2
（t = 0） i
i U S / R2
i U S ( R1 R2 )
t 0
2020年4月19日星期信日息学院
过渡期为零
7
结束结束
第6章 一阶电路
电容电路
(t = 0) R i
2)做出t=0+时的初始值等效电路。 在t=0+瞬间，电容元件可用电压等于uC(0+)的电压源代替； 电感元件可用电流等于iL(0+) 的电流源代替。画出t=0+的初 始值等效电路如图所示。
2020年4月19日星期信日息学院
12
结束结束
第6章 一阶电路
3)由0+等效电路可求得 uL (0 ) Us uC (0 ) 10 10 0
t
uc (0)e
其中uc(0)为电容电压的初始值，τ＝RC
一阶电感电路的零输入响应
1t
iL (t) I0e
大学物理电路分析基础第6章一阶电路分析.ppt
第6章 一阶电路分析
动态电路在任一时刻的响应与激励的全部历史有关， 也就是说， 动态电路是有记忆的， 这是与电阻电路完全不 同的。 当动态电路的连接方式或元件参数发生突然变化时， 电路原有的工作状态需要经过一个过程逐步到达另一个新的 稳定工作状态， 这个过程称为电路的瞬态过程或过渡过程。 瞬态分析(或称动态电路分析)是指分析动态电路从电路结构 或参数突然变化时刻开始直至进入稳定工作状态的电压、 电流的变化规律。
t
iC d 1(V)
1
其波形如图6-5(c)所示。
第6章 一阶电路分析
6.1.2
通常把由导线绕成的线圈称为电感器或电感线圈。 当 线圈通过电流时, 即在线圈内外建立磁场并产生磁通Φ， 如 图6-6所示。 各线匝磁通的总和称为磁链φ(若线圈匝数为N， 则φ=NΦ )。 可见， 电感器是一种能建立磁场、 储存磁场 能量的器件。
第6章 一阶电路分析
事实上， 许多实际电路模型并不能只用电阻元件和电 源元件来构成。 电路中的电磁现象将不可避免地涉及到电 容元件和电感元件， 由于这两种元件的伏安关系都涉及对 电压或电流的微分或积分， 因此称这两种元件为动态元件。 含有动态元件的电路称为动态电路。 描述动态电路激励— 响应关系的数学方程称为微分方程， 在线性非时变条件下 为线性常系数微分方程。
第6章 一阶电路分析
6.1 电容元件和电感元件
6.1.1 电容元件
把两块金属极板用电介质隔开就可构成一个简单的电容 器。 由于理想介质是不导电的， 因此在外电源的作用下， 两块极板上能分别积聚等量的异性电荷， 在极板之间形成 电场。可见， 电容器是一种能积聚电荷、 储存电场能量的 器件。 电容器的种类很多， 按介质分有纸质电容器、 云母 电容器、 电解电容器等； 按极板形状分有平板电容器、 圆 柱形电容器等。
电路分析第六章 一阶电路
放电结束，电路达到稳态。 放电结束，电路达到稳态。
6
2. 电路的微分方程及其求解 设响应为 uc(t) Q uc− u R = 0
i C + uc + R uR -
duc uR =R i = − RC t ≥ 0, u c (0) = U 0 dt du c ∴ RC + uc = 0 ，≥ 0 （齐次微 t dt 分方程） 分方程） 及 u c (0 ) = U 0
14
根据公式得到
uC (t ) = U 0e
− t
τ
= 6e −20t V
t
(t ≥ 0)
duC U0 − τ iC (t ) = C =− e dt R 6 e −20t mA =− 10 ×103 = −0.6e −20t mA
(t > 0)
电阻中的电流i 可以用与 可以用与i 同样数值的电流源代替 电阻中的电流 R(t)可以用与 C(t)同样数值的电流源代替 电容， 电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)
12
电路如图(a)所示 已知电容电压u 所示， 例 电路如图 所示，已知电容电压 C(0-)=6V。 。 t=0闭合开关，求t > 0的电容电压和电容电流。 闭合开关， 的电容电压和电容电流。 闭合开关 的电容电压和电容电流
解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到 在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，
u C (0 + ) = u C (0 − ) = 6V
13
将连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻， 连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻， 等效于一个电阻 其电阻值为
6×3 Ro = (8 + )kΩ = 10kΩ 6+3
6
2. 电路的微分方程及其求解 设响应为 uc(t) Q uc− u R = 0
i C + uc + R uR -
duc uR =R i = − RC t ≥ 0, u c (0) = U 0 dt du c ∴ RC + uc = 0 ，≥ 0 （齐次微 t dt 分方程） 分方程） 及 u c (0 ) = U 0
14
根据公式得到
uC (t ) = U 0e
− t
τ
= 6e −20t V
t
(t ≥ 0)
duC U0 − τ iC (t ) = C =− e dt R 6 e −20t mA =− 10 ×103 = −0.6e −20t mA
(t > 0)
电阻中的电流i 可以用与 可以用与i 同样数值的电流源代替 电阻中的电流 R(t)可以用与 C(t)同样数值的电流源代替 电容， 电容，用电阻并联的分流公式求得 iR(t)
12
电路如图(a)所示 已知电容电压u 所示， 例 电路如图 所示，已知电容电压 C(0-)=6V。 。 t=0闭合开关，求t > 0的电容电压和电容电流。 闭合开关， 的电容电压和电容电流。 闭合开关 的电容电压和电容电流
解：在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，由此得到 在开关闭合瞬间，电容电压不能跃变，
u C (0 + ) = u C (0 − ) = 6V
13
将连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻， 连接于电容两端的电阻单口网络等效于一个电阻， 等效于一个电阻 其电阻值为
6×3 Ro = (8 + )kΩ = 10kΩ 6+3
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us(t) +
t ≥ t0 -
R i''(t) a
+
C
uC'' (t)
b
+-u1''(t)
零输入响应
零状态响应
信息学院电子系
6
2. RC电路的零状态响应
t=0时，开关由打开到闭合
中uC(0−) =0
¾ 定性分析
国 uC
i
K (t = 0)
R
i+
+
C
Us
uC
−
−
海洋 O τ 2τ 3τ 4τ t O τ
uC
(t
)
=
uC
−1
(0)e τ
t
t ≥ 0 τ=RC
−1t
iL (t) = iL (0)e τ
t ≥ 0 τ=L/R
¾ 零输入响应线性 ¾零输入响应形式也适用于非状态变量
信息学院电子系
18
6.5 线性动态电路的叠加定理
中全响应
电路的初始状态不为零，同时又有外加激励 源作用时电路中产生的响应。
国 线性动态电路的叠加定理
中电容储存能量：WC
=
1 2
CU
2 S
+
C
Us
uC
−
−
国 ∫ ∫ e 电阻消耗能量：WR =
∞i2Rdt =
0
∞ (US 0R
−
t
RC
)2
R
dtΒιβλιοθήκη =1 CU 22 S
海 电源提供能量：WS = WC + WR = CUS2
注意
洋 •电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能 大 量储存在电容中。 学 • uc由0开始按照指数规律上升趋向稳态值
•电路激励为直流源
信息学院电子系
8
2. RL电路
K(t =0)
t<0时，开关打开；t=0时，开关闭合。 R
中+
国 t
≥0时，L
diL (t) dt
+
RiL (t)
=US
−U s
iL(t) + L uL(t)
−
初始条件： iL(0+)= iL(0－)= 0
海 iL(t)
=
US R
−1t
(1−e L/R )
中uOC(t)
+
R0
+
uc(t)
C
国-
-
uR0 (t) +uc(t) = uoc(t)
R0C
duc (t dt
)
+
uc
(t
)
=
uoc
(t
)
4. 由置换定理，原电路置换为电阻电路，运用电阻电路的分析方
海 法可求得t≥t0时所有支路电压电流 ¾ 含电容的一阶电路，以电压源uc(t)置换电容 洋大学 ¾ 含电感的一阶电路，以电流源iL(t)置换电感
国 解：(1)10V电压源单独作用 海uC1(t) =10(1−e−t ) t ≥ 0 洋大学 i1(t) =(uC1(t)−10)/1= −10e−t t ≥ 0
信息学院电子系
20
各电源在t=0s时接入, uc(0)=1V,求t>0时i(t).
分析: RC电路的输入为电流源,电压源,
中 电容初始状态
信息学院电子系
2
6.1 分解方法在动态电路分析中的运用
中一阶电路
1）用一阶微分方程描述其变量的电路。
国海洋大学 2）只含一个动态元件(C、L)的电路。如：
信息学院电子系
3
K (t = 0) 2Ω
i(t)
+
1Ω
中1−00V
1F 2
+
3Ω
−uC (t)
含源 电阻 网络
N1
i
+
uc
-
C
N2
国 1. 一阶电路分解成两个单口网络
¾ 定性分析
K (t = 0)
R0 ①
+
i
U
−
0
C
②
+ −uC
R
洋 uC
i
大 O τ 2τ 3τ 4τ t O τ 2τ 3τ 4τ t
学 ¾ 数学分析
t ≥0时，
RC
duc (t) dt
+
uc
(t)
=
0
uc(0+)=uc(0-)=U0
−1t
uC (t) =U0e RC
t ≥0
i(t)
=
U0
−1t
e RC
uC3(t) = e−t t ≥ 0
大 i3(t)
=
−C
duC3 dt
= e−t
t ≥0
学 i(t) = i1(t) +i2(t) +i3(t) =1−10e−t t ≥ 0
思考：如果10V电压源改为20V电压源结果如何？
信息学院电子系
22
6.6 三要素法
中若只对电路中的某一量感兴趣，是否有直接求解方法？
中 RC电路， τ=RC
国 uC
(t)
=
uC
(t0
−1
)e τ
(t−t0
)
t ≥0
解：初始状态：uC(5+)= uC(5－)= 6V
海等效电阻：
洋R=u1/i1=2
时间常数：τ=RC=2s
大 uC(t) = 6e−0.5(t−5) t ≥ 5
学 + i(t) = −C duC = 3e−0.5(t−5)
i 1Ω
t=0
国 2V
2F +_uC
1Ω
海洋 ¾对于渐近稳定的直流一阶电路，各支路的电压或电流的响应
都是从其初始值按指数规律变化到其稳态值。
大 f (t) = f (∞) + [ f (0+ ) − f ] (∞) e−t τ 学 f(0+)：换路后瞬间的初始值
三要素法
f(∞)：换路后当tÆ ∞时的稳定值
信息学院电子系
5
6.2 零状态响应(zero state response)
中国海洋大学 1. 定义
t ≥ t0时的RC串联电路
us(t) +
t ≥ t0 -
R i(t) a
+
C
uC(t)
-
++-u1(t)
-uC(t0)
R i'(t) a
+
C
uC' (t)
b
++-u1' (t)
-uC(t0)
b
全响应
RC电路：uC(t) = uC(∞)(1−e−τ1t )
国 N2
解：用戴维南定理简化N1
海洋大 (1) 开路电压 学 uOC= 75V
(2) 等效电阻R R=4.5K
(3) uC(t)
τ=RC=4.5×10-3s
uC(∞)= 75V
uC (t) = 75(1−e−103 /4.5t )
t ≥ 0 i(t) = 50−16.7e−103/4.5t mA
线性动态电路的叠加定理
国 解：(1)10V电压源单独作用 i1(t) = −10e−t t ≥ 0 海 (2)1A电流源单独作用
uC2(t) =1−e−t t ≥ 0
洋大学 i2(t)
=1−C
duC2 dt
= 1− e−t
t ≥0
信息学院电子系
21
各电源在t=0s时接入, uc(0)=1V,求t>0时的i(t).
uC
(t
)
=
uC
(∞)(1
−1t
−e τ −1t
)
国 RL电路： τ=L/R iL (t) = iL (∞)(1− e τ )
t≥0
t≥0
R：换路后从动态元件两端看进去的等效电阻
海 ¾ 零状态响应线性
¾ 得到状态变量后，由置换定理再求出非状态变量。
洋 ¾ 对于非直流激励，需列微分方程求解
零输入响应
大 RC电路 学 RL电路
CU
2 0
洋 ∫ ∫ e 电阻消耗能量：
WR =
∞i2Rdt =
0
∞
U (
0
0R
−
t
RC
)2
R
d
t
=
1 2
CU
2 0
大 结论
学 ¾ 零输入响应是随时间按指数规律衰减的
R
¾ 电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.
信息学院电子系
15
例 已知uC(5)=6V，求i(t).
分析:电容, i(t)→uC(t), t=5s时换路, CCVS
12
例1 已知电源电压如图所示，求u(t)和i(t).
uS(t) 1
uS (t) = −3+4ε(t −1)V
中 01 t
国 -3
海洋 uS′(t) = −3V
uS′′(t) = 4ε(t −1)V
u(t) = u′(t) +u′′(t)
i2 i1
大学 u′(t) = −2V
u′′(t)
=
u(∞)(1
+
学 US_
N
+ _US⋅ε(t−t0) N
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11
¾单位阶跃函数的作用 • 表示分段常量信号
f(t)
中0.5
f(t) 2 1
国 0 1 3 4 t
0 1 34t
海 ¾ 阶跃响应 s(t)
激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。
t ≥ t0 -
R i''(t) a
+
C
uC'' (t)
b
+-u1''(t)
零输入响应
零状态响应
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6
2. RC电路的零状态响应
t=0时，开关由打开到闭合
中uC(0−) =0
¾ 定性分析
国 uC
i
K (t = 0)
R
i+
+
C
Us
uC
−
−
海洋 O τ 2τ 3τ 4τ t O τ
uC
(t
)
=
uC
−1
(0)e τ
t
t ≥ 0 τ=RC
−1t
iL (t) = iL (0)e τ
t ≥ 0 τ=L/R
¾ 零输入响应线性 ¾零输入响应形式也适用于非状态变量
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18
6.5 线性动态电路的叠加定理
中全响应
电路的初始状态不为零，同时又有外加激励 源作用时电路中产生的响应。
国 线性动态电路的叠加定理
中电容储存能量：WC
=
1 2
CU
2 S
+
C
Us
uC
−
−
国 ∫ ∫ e 电阻消耗能量：WR =
∞i2Rdt =
0
∞ (US 0R
−
t
RC
)2
R
dtΒιβλιοθήκη =1 CU 22 S
海 电源提供能量：WS = WC + WR = CUS2
注意
洋 •电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能 大 量储存在电容中。 学 • uc由0开始按照指数规律上升趋向稳态值
•电路激励为直流源
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8
2. RL电路
K(t =0)
t<0时，开关打开；t=0时，开关闭合。 R
中+
国 t
≥0时，L
diL (t) dt
+
RiL (t)
=US
−U s
iL(t) + L uL(t)
−
初始条件： iL(0+)= iL(0－)= 0
海 iL(t)
=
US R
−1t
(1−e L/R )
中uOC(t)
+
R0
+
uc(t)
C
国-
-
uR0 (t) +uc(t) = uoc(t)
R0C
duc (t dt
)
+
uc
(t
)
=
uoc
(t
)
4. 由置换定理，原电路置换为电阻电路，运用电阻电路的分析方
海 法可求得t≥t0时所有支路电压电流 ¾ 含电容的一阶电路，以电压源uc(t)置换电容 洋大学 ¾ 含电感的一阶电路，以电流源iL(t)置换电感
国 解：(1)10V电压源单独作用 海uC1(t) =10(1−e−t ) t ≥ 0 洋大学 i1(t) =(uC1(t)−10)/1= −10e−t t ≥ 0
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20
各电源在t=0s时接入, uc(0)=1V,求t>0时i(t).
分析: RC电路的输入为电流源,电压源,
中 电容初始状态
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2
6.1 分解方法在动态电路分析中的运用
中一阶电路
1）用一阶微分方程描述其变量的电路。
国海洋大学 2）只含一个动态元件(C、L)的电路。如：
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3
K (t = 0) 2Ω
i(t)
+
1Ω
中1−00V
1F 2
+
3Ω
−uC (t)
含源 电阻 网络
N1
i
+
uc
-
C
N2
国 1. 一阶电路分解成两个单口网络
¾ 定性分析
K (t = 0)
R0 ①
+
i
U
−
0
C
②
+ −uC
R
洋 uC
i
大 O τ 2τ 3τ 4τ t O τ 2τ 3τ 4τ t
学 ¾ 数学分析
t ≥0时，
RC
duc (t) dt
+
uc
(t)
=
0
uc(0+)=uc(0-)=U0
−1t
uC (t) =U0e RC
t ≥0
i(t)
=
U0
−1t
e RC
uC3(t) = e−t t ≥ 0
大 i3(t)
=
−C
duC3 dt
= e−t
t ≥0
学 i(t) = i1(t) +i2(t) +i3(t) =1−10e−t t ≥ 0
思考：如果10V电压源改为20V电压源结果如何？
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22
6.6 三要素法
中若只对电路中的某一量感兴趣，是否有直接求解方法？
中 RC电路， τ=RC
国 uC
(t)
=
uC
(t0
−1
)e τ
(t−t0
)
t ≥0
解：初始状态：uC(5+)= uC(5－)= 6V
海等效电阻：
洋R=u1/i1=2
时间常数：τ=RC=2s
大 uC(t) = 6e−0.5(t−5) t ≥ 5
学 + i(t) = −C duC = 3e−0.5(t−5)
i 1Ω
t=0
国 2V
2F +_uC
1Ω
海洋 ¾对于渐近稳定的直流一阶电路，各支路的电压或电流的响应
都是从其初始值按指数规律变化到其稳态值。
大 f (t) = f (∞) + [ f (0+ ) − f ] (∞) e−t τ 学 f(0+)：换路后瞬间的初始值
三要素法
f(∞)：换路后当tÆ ∞时的稳定值
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5
6.2 零状态响应(zero state response)
中国海洋大学 1. 定义
t ≥ t0时的RC串联电路
us(t) +
t ≥ t0 -
R i(t) a
+
C
uC(t)
-
++-u1(t)
-uC(t0)
R i'(t) a
+
C
uC' (t)
b
++-u1' (t)
-uC(t0)
b
全响应
RC电路：uC(t) = uC(∞)(1−e−τ1t )
国 N2
解：用戴维南定理简化N1
海洋大 (1) 开路电压 学 uOC= 75V
(2) 等效电阻R R=4.5K
(3) uC(t)
τ=RC=4.5×10-3s
uC(∞)= 75V
uC (t) = 75(1−e−103 /4.5t )
t ≥ 0 i(t) = 50−16.7e−103/4.5t mA
线性动态电路的叠加定理
国 解：(1)10V电压源单独作用 i1(t) = −10e−t t ≥ 0 海 (2)1A电流源单独作用
uC2(t) =1−e−t t ≥ 0
洋大学 i2(t)
=1−C
duC2 dt
= 1− e−t
t ≥0
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21
各电源在t=0s时接入, uc(0)=1V,求t>0时的i(t).
uC
(t
)
=
uC
(∞)(1
−1t
−e τ −1t
)
国 RL电路： τ=L/R iL (t) = iL (∞)(1− e τ )
t≥0
t≥0
R：换路后从动态元件两端看进去的等效电阻
海 ¾ 零状态响应线性
¾ 得到状态变量后，由置换定理再求出非状态变量。
洋 ¾ 对于非直流激励，需列微分方程求解
零输入响应
大 RC电路 学 RL电路
CU
2 0
洋 ∫ ∫ e 电阻消耗能量：
WR =
∞i2Rdt =
0
∞
U (
0
0R
−
t
RC
)2
R
d
t
=
1 2
CU
2 0
大 结论
学 ¾ 零输入响应是随时间按指数规律衰减的
R
¾ 电容不断释放能量被电阻吸收,直到全部消耗完毕.
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例 已知uC(5)=6V，求i(t).
分析:电容, i(t)→uC(t), t=5s时换路, CCVS
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例1 已知电源电压如图所示，求u(t)和i(t).
uS(t) 1
uS (t) = −3+4ε(t −1)V
中 01 t
国 -3
海洋 uS′(t) = −3V
uS′′(t) = 4ε(t −1)V
u(t) = u′(t) +u′′(t)
i2 i1
大学 u′(t) = −2V
u′′(t)
=
u(∞)(1
+
学 US_
N
+ _US⋅ε(t−t0) N
信息学院电子系
11
¾单位阶跃函数的作用 • 表示分段常量信号
f(t)
中0.5
f(t) 2 1
国 0 1 3 4 t
0 1 34t
海 ¾ 阶跃响应 s(t)
激励为单位阶跃函数时，电路中产生的零状态响应。