建筑力学3轴向拉伸和压缩DOC

105第3章 轴向拉伸和压缩一、基本要求１．熟练掌握截面法求轴力，绘轴力图。

２．掌握轴向拉、压杆的强度计算。

３．熟练掌握轴向拉、压时的胡克定律及变形、位移计算。

４．了解弹性模量Ｅ、泊松系数μ。

５．了解材料力学性能的主要指标。

６．熟练掌握一次超静定杆系的求解。

７．掌握“用切线代替圆弧”法求简单珩架节点位移的方法。

的力学模型（图１）受力特点 件轴线重合。

变形特点 ２．内力定义 在外力作用下，杆件内部各部分之间的相互作用力。

根据连续性假设，内力是连续分布于截面上的分布力系。

分布力系的合力（或合力偶）简称为内力。

轴力 轴向拉压时，杆件横截面上分布力系的合力的作用线与杆件轴线重合，故称为轴力。

用符号Ｎ表示，单位为牛顿（Ｎ）。

拉力为正，压力为负。

轴力图 表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。

３．应力定义 杆件截面上某点处分布内力的集度称为该点处的应力P 。

正应力 垂直于截面的应力分量，用符号σ表示。

剪应力 切于截面的应力分量，用符号τ表示。

１）拉压杆横截面上的应力拉压杆横截面上只有正应力σ，且为均匀分布，其计算公式为式中Ｎ为该截面的轴力，Ａ为横截面的面积。

A N =σ106 正负号规定 拉应力为正，压应力为负。

２）拉压杆斜截面上的应力（如图２）拉压杆任意斜截面（α面）上的应力为均匀分布，其计算公式为 全应力 p α＝σcos α正应力 σα＝σcos2α剪应力τα=正负号规定：α负。

ασ 拉应力为正，压应力为负。

ατ 对脱离体内一点产生顺时针力矩的ατ为正，反之为负。

４、材料的力学性能 １）胡克定律：σ＝Ｅε２）弹性极限σe 、比例极限σp 、屈服极限σs 和强度极限σb 。

３）延伸率δ、断面伸缩率ψ。

５、拉压杆的强度条件式中[σ]为杆件材料的许用应力，塑性材料：脆性材料：其中n s ，n b 称为安全系数。

６、拉压杆件的变形计算 １）变形杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短（如图３）；受到轴向压力ｂｂn σσ=][SSn σσ=][[]σσ≤=AN107时，轴向缩短，横向伸长。

轴向绝对变形：l l =∆1轴向线应变：ll ∆=ε 横向绝对变形：b =∆横向线应变：bb ∆='ε ２）胡克定律的第二种形式：EAl =∆ ＥＡ称为杆件的抗拉压刚度。

对于Ｎ或Ａ沿杆轴线ｘ变化的拉压杆件，其轴向变形应分段计算后再求代数和，或按积分计算（当Ｎ与Ａ随轴线ｘ连续变化时）：７、轴向拉伸或压缩的变形能杆件在外力作用下因变形而存储的能量，称为变形能。

在线弹性范围内，杆件轴向拉伸或压缩时的变形能为：变形比能 杆件单位体积内储存的变形能。

轴向拉压时的弹性变形比能为：８、拉压超静定问题在拉压杆件结构中，当未知约束力数多于独立的平衡方程数时，称为超静定问题。

求解超静定问题需要综合静力平衡方程、变形协调方程和物理方程。

一般步骤如下：（１） 分析结构的约束力数和独立平衡方程数，确定超静定次数； （２） 根据结构的约束条件作出变形位移图，建立变形协调方程； （３） 根据物理条件，即变形与力的关系，将杆件变形用载荷及未知约束力表示，并代入变形协调方程，得到补充方程，与静力平衡方程联立()()⎰=∆l x EA dx x N l EA l N l P U 2212=∆=σεμ21=解之。

三、典型例题分析例１如图所示，一变截面圆钢杆ABCD。

已知Ｐ1=20kN，P2=35kN，P3=35kN，L1=L3=300mm，L2=400mm，d1=12mm，d2=16mm，d3=24mm，弹性模量E=210GPa。

试求：1．I-I，II-II，及III-III截面上的轴力，并作AD杆的轴力图；2．杆的最大正应力σmax；3．B截面的轴向位移u B及AD杆的伸长ΔL AD；解：１．求轴力及画轴力图用截面法分别在I-I、II-II及III-III截面处将杆件截开，保留右边部分，截面处都加正方向的轴力N1-1、N2-2及N3-3。

图b分别表示三个保留部分的受力图。

由轴向静力平衡条件，分别可求得：108109MPa 8.176max =σ其中“－”号的轴力表示压力。

显然N 1-1、N 2-2、N 3-3分别表示了AB 、BC 、CD 段杆内任意截面上的轴力，因此其轴力图如图C 所示。

２．求最大正应力σmax可见最大正应力发生在AB 段，即３．B 截面的轴向位移u B 及AD 杆的伸长ΔL AD例２ 刚性梁ＡＢＣ由圆杆ＣＤ悬挂在Ｃ点，Ｂ端作用集中载荷Ｐ＝25kN ，已知ＣＤ杆的直径d ＝20mm ，许用应力［σ］＝160MPa ，试校核ＣＤ杆的强度，并求：１．结构的许用载荷［Ｐ］；２．若Ｐ＝50kN ，设计ＣＤ杆的直径d 。

kN50kN 15kN 20321332122111-=--=-=-===---P P P N P P N P N MPa 8.176Pa 108.1764)1012(1020623311=⨯=⨯⨯⨯==--πσAB ABA N AB 段：MPa 5.110Pa 105.1104)1024(1050623333-=⨯-=⨯⨯⨯-==--πσCD CDA N CD 段：m1047.0mm3.0m 100.310)58.142.1(m 1058.14)1024(102103.01050m 1042.14)1016(102104.01015m 1053.24)1012(102103.010*******3933334239322242393111------------⨯-=∆+∆+∆=∆∴-=⨯-=⨯--=∆+∆=∴⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==∆⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯⨯-==∆⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯==∆CD BC AB AD CD BC B CD CD BC BC ABAB l l l l l l EA l N l CD EA l N l BC EA l N l AB μπππ段：段：段：110 kN5.33][kN5.33N 105.33610160)1020(6][][423362322=∴=⨯=⨯⨯⨯⨯=≤∴≤==-P d P dPA N CD CD πσπσπσ mm25mm 4.24m 1044.21016010506][6][63632==⨯=⨯⨯⨯⨯=≥∴≤==-d P d dPA N CD CD 取πσπσπσ 解：１．作AB受力图如图b 件为：CD 因为σCD <［σ］，所以CD 杆安全。

２． 许用载荷［Ｐ］３． 若Ｐ＝50kN ，设计ＣＤ杆的直径d例３ 由刚性杆AB 及两弹性杆EC 及FD 组成的结构，在B 端受到力F 作用。

两弹性杆的抗拉压刚度分别为E 1A 1和E 2A 2。

试求杆EC 和FD 的内力。

解：该结构为一次超静定，需要一个补充方程。

为此，从下列三方面来分析。

PN aN m CD CD A 23320=∴-=∑MPa 4.119Pa 104.1194)1020(10252342362332=⨯=⨯⨯⨯⨯===-ππσd P A NCD CD111（1）静力方面 取脱离体如图b 所示，设两杆的轴力分别为1N F 和2N F 。

由AB 杆的平衡方程0=∑A m ，得（２）几何方面 由于AB 杆是刚性杆，在力F 的作用下绕A 点转动，杆EC 和FD 产生伸长。

由于是小变形，可认为Ｃ、Ｄ两点铅垂向下移动到Ｃ’和Ｄ’点。

设1'∆=CC ,2'∆=DD 。

它们应满足以下关系：（i ）这就是变形协调方程。

（３） 物理方面 根据胡克定律，有：将式（j ）代入式（m ）得：2221112A E aF A E a F N N =（j ） 由（h ）、（j ）两式解出2121=∆∆22221111,A E a F A E a F N N =∆=∆（h ）032321=⨯-⨯+⨯L F L F L F N N112例４ 如图（a ）所示，为埋入土中深度为l 的一根等截面木桩，在顶部承受载荷P 。

这载荷完全由沿着木桩的摩擦力f 所平衡，f 按抛物线变化，如图（b ）所示。

试确定木桩的总缩短，以P ，l ，E ，A 表示。

解：（１）求常数k 。

木桩微段dy 上的摩擦力：整个木桩的摩擦力：由平衡条件可知： 33kl F P ==即： 33l P k =（２）确定木桩的总缩短量。

由图（b ）可知，木桩任意截面上的轴力为：杆中微段dy 的缩短量为：EAdyy N l d )()(=∆所以木桩的总缩短量为：221122222111114643A E A E F A E F A E A E F A E F N N +=+=，dyky fdy dF 2==⎰⎰===3302kl dy ky dF F lPly y k dy ky y N y3302)(3)(===⎰⎰⎰⎰===∆=∆l ll EAPl dy y EAl P EA dy y N l d l 00334)()(113例５ 如图所示三角架，AB 杆和AC 杆的抗拉压刚度分别为E 1A 1和解：（１）图解法。

由节点A 的平衡方程：45sin 0045cos 0=-︒==︒-=∑∑P Ny N N x ABAB AC得： 压力）；拉力）( (2P N P N AC AB ==由此可求得各杆的变形：如图（b ）所示：由各杆之间的变形几何关系可得：2211442245cos A E PlA E Pl l l DA AD AA AC AB A +=∆+︒∆=+==δ （２）能量法。

由于P 所完成的功在数值上应等于杆系的变形能，亦即等于AB 、AC2222111111222A E Pl A E l N l A E PlA E l P A E l N l AC AC AC ABAB AB ==∆===∆114 两杆变形能的总和。

故：221122211222211222222221A E PlA E Pl A E lP A E l P A E l N A E l N P A AC AC AB AB A +=+=+=δδ。