4系统稳定性分析
现代控制理论-4-控制系统的稳定性分析
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3
4-4相对稳定性
系统临界稳定
幅值裕量
Kg
20 lg
1
G jwg H jwg
20 lg
G
jwg H jwg
Kg 0
系统稳定(Kg 越大稳定性越好)
Kg 0
系统不稳定
Kg 0
系统临界稳定
要综合两者考虑稳定性和相对稳定性，不能只考虑一个指标。
要求 : 30 r 60, Kg 2
求稳定裕度
1) 解析法 由前述相角裕度和幅值裕度的定义式来求。
例1
G(s)H
(s)
s(s2
40 2s
25)
解：系统的开环频率特性为
所以
G( jw)H ( jw)
40
jw(25 w 2
j 2w )
G( jw)H ( jw) 1
40
w (25 w 2 )2 4w 2
G( jw)H ( jw) 900 arctg 2w 25 w 2
相对稳定性
相对稳定性——稳定裕度 求稳定裕度
解析法 奈氏曲线 波特图 增加稳定裕度的方法
1
相对稳定性——稳定裕度
Routh判据和Nyquist判据给出系统绝对稳定的 信息，但稳定程度如何，离不稳定边缘还有多 远？这是工程上最关心的。由此引出稳定裕度
相对稳定性——稳定裕度
幅值裕度 相角裕度
相对稳定性——稳定裕度
argtg(wg ) argtg(0.1wg ) 900
wg
1
0.1w g
得到ωg ＝3.2
ωg
又因为ωc1 ＝2.24, ωc2 ＝4.47
k 5 kg1 [40(lg 3.2 lg 2.24)] 6.2dB
系统稳定性的判断方法
系统稳定性的判断方法
评估系统稳定性的方法主要分为两种：静态评估方法和动态评估方法。
1. 静态评估方法：
- 系统规模评估：评估系统的规模，包括数据量、用户量、
交互过程等。
系统规模越大，稳定性要求越高。
- 系统结构评估：评估系统的组成结构，包括硬件、软件等
部分，是否符合规范、合理。
系统设计得越合理，稳定性越高。
- 代码质量评估：评估系统代码的质量，包括代码的可读性、可维护性、注释、错误处理等。
代码质量越高，稳定性越高。
- 异常处理评估：评估系统对异常情况的处理能力，包括错
误提示、异常恢复、日志记录等。
异常处理能力越强，稳定性越高。
2. 动态评估方法：
- 压力测试：通过模拟高负荷情况，对系统性能进行测试，
观察系统在负荷下是否能正常运行。
系统能够承受更高的负荷，说明稳定性越高。
- 故障注入测试：有意诱发系统的故障，观察系统在故障情
况下的表现和恢复能力。
系统对故障的容错和恢复能力越强，稳定性越高。
- 监控和日志分析：通过实时监控系统的运行状态，并对日
志进行分析，发现系统潜在的问题或异常，并及时采取措施解决。
能够及时发现并解决问题，说明稳定性越高。
根据以上评估方法，可以综合分析系统的稳定性水平，并采取相应的优化措施来提高系统的稳定性。
实验四三阶系统的瞬态响应及稳定性分析
实验四三阶系统的瞬态响应及稳定性分析引言：实际工程中经常遇到三阶系统，对三阶系统的瞬态响应及稳定性进行分析能够帮助我们更好地设计和优化控制系统。
本实验旨在通过实验，研究三阶系统的瞬态响应及稳定性，并加深对其理论知识的理解和掌握。
实验一：三阶系统的瞬态响应1.实验目的：通过三阶系统的瞬态响应实验，观察系统的输出响应情况，了解系统的动态特性。
2.实验仪器：示波器、波形发生器、三阶系统实验箱3.实验原理：三阶系统的瞬态响应是指系统在初始状态发生突变时，输出的响应情况。
三阶系统的瞬态响应主要涉及到系统阶跃响应、系统脉冲响应。
4.实验步骤：a.将波形发生器的正弦波信号输入三阶系统实验箱。
b.设置示波器的观测通道，将示波器的探头连接到三阶系统实验箱的输出端口。
c.调节波形发生器的频率和幅度，观察示波器上得到的输出响应波形。
5.数据处理：a.根据示波器上输出的响应波形，可以观察到系统的超调量、调整时间等指标，根据公式可以计算得到这些指标的具体数值。
b.将实验得到的数据记录下来，进行分析和比较。
1.实验目的：通过三阶系统的稳定性分析实验，了解系统的稳定性及稳定性判据。
2.实验仪器：示波器、三阶系统实验箱3.实验原理：三阶系统的稳定性是指系统在初始状态发生突变或受到外部扰动时，系统是否能够回到稳定状态。
常见的稳定性分析方法包括极点判据、频率响应法等。
4.实验步骤：a.将示波器的探头连接到三阶系统实验箱的输出端口。
b.调节系统的输入信号，观察示波器上得到的系统输出响应波形。
c.根据观察到的输出波形，分析系统的稳定性。
5.数据处理：a.根据实验得到的数据和观察到的波形，可以从输入输出关系中提取出系统的稳定性信息，比如振荡频率、稳定的输出值等。
b.根据提取出的信息，判断系统的稳定性。
实验三：实验结果和分析1.通过实验一，我们可以观察到三阶系统的瞬态响应，并根据输出波形，计算得到系统的超调量、调整时间等指标。
通过对比不同输入频率和幅度下的响应波形，可以分析系统的动态特性。
第4章 系统稳定性
4.1 稳定性一般概念 4.1 Concept of the System Stability
对于一个实际的控制系统， 对于一个实际的控制系统，其工作的稳定性无疑是一个极其 重要的问题， 重要的问题，因为一个不稳定的系统在实际应用中是很难有效地 发挥作用的。从直观上看， 发挥作用的。从直观上看，系统的稳定性就是一个处于稳态的系 在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置， 统，在某一干扰信号的作用下，其状态偏离了原有平衡位置，如 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内， 果该系统是稳定的，那么当干扰取消后有限的时间内，系统会在 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定， 自身作用下回到平衡状态；反之若系统不稳定，则系统永远不会 回到原来的平衡位置。 回到原来的平衡位置。
(4 − 2)
式中X(t)为n维状态向量，f(X,t)是状态向量 和显式时间 的n 为 维状态向量 维状态向量， 是状态向量X和显式时间 式中 是状态向量 和显式时间t的 维向量函数。 不一定是线性定常的。 维向量函数。 f(X,t)不一定是线性定常的。如果对于 ，状态 e总 不一定是线性定常的 如果对于t，状态X 满足： 满足：
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 李雅普诺夫第一法（间接法） 4.3 First Method of the Lyapunov (Indirect Method)
李雅普诺夫第一法通过分析系统微分方程的显式解来分析系 统的稳定性，对线性定常系统， 统的稳定性，对线性定常系统，它可以直接通过系统的特征根情 况来分析。 况来分析。李雅普诺夫第一法的基本思路与经典控制论中的稳定 性判别思路基本一致。 性判别思路基本一致。 设线性定常系统的动态方程为： 设线性定常系统的动态方程为：
判断系统稳定性的方法
判断系统稳定性的方法系统稳定性是指系统在一定条件下保持正常运行的能力，是衡量系统可靠性和安全性的重要指标。
在日常工作和生活中，我们经常需要对系统的稳定性进行评估和判断。
那么，如何判断系统的稳定性呢？下面我将介绍几种常用的方法。
首先，我们可以通过系统的运行时间来判断其稳定性。
通常情况下，系统运行时间越长，其稳定性就越高。
因此，我们可以通过查看系统的运行时间来初步评估其稳定性。
当然，这只是一个简单的参考指标，我们还需要结合其他方法来进行综合评估。
其次，我们可以通过系统的负载情况来判断其稳定性。
系统的负载情况反映了系统的运行状态和性能表现。
如果系统的负载长时间处于高水平，那么很可能会导致系统的不稳定。
因此，我们可以通过监控系统的负载情况，及时发现并解决潜在的稳定性问题。
另外，我们还可以通过系统的日志信息来判断其稳定性。
系统日志记录了系统的运行状态、错误信息、异常情况等重要信息，通过分析系统日志，我们可以及时发现系统的异常情况，进而采取相应的措施，确保系统的稳定性。
此外，我们还可以通过系统的性能指标来判断其稳定性。
系统的性能指标包括CPU利用率、内存使用率、磁盘IO等，通过监控这些性能指标，我们可以了解系统的运行状态和性能表现，及时发现并解决潜在的稳定性问题。
最后，我们还可以通过系统的故障率来判断其稳定性。
系统的故障率反映了系统的可靠性和稳定性，通过分析系统的故障率，我们可以对系统的稳定性进行评估，并采取相应的措施，提高系统的稳定性。
综上所述，判断系统的稳定性需要综合考虑系统的运行时间、负载情况、日志信息、性能指标和故障率等多个方面的因素。
只有综合考虑这些因素，我们才能全面准确地评估系统的稳定性，及时发现并解决潜在的稳定性问题，确保系统的正常运行。
自动控制原理控制系统的稳定性分析
Course 自动控制原理东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control Chap 4 控制系统的稳定性分析稳定性分析的意义稳定性是控制系统能够正常工作的首要条件。
稳定压倒一切。
只有稳定的情况下，性能分析和改进才有意义。
负反馈只是使系统稳定的一种手段，并不一定能够保证闭环系统的稳定。
例子：秋千东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control Chap 4 控制系统的稳定性分析4.1 稳定性stability的概念和定义d f b c a b c 平衡点单/多平衡点系统干扰，偏差稳定的物理意义东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 稳定范围/区域a 4.1 稳定性的概念和定义若控制系统在任何足够小的初始偏差作用下，随着时间的推移，偏差会逐渐衰减并趋于零，具有恢复原平衡状态的性能，则称该系统是稳定stable的；否则，称该系统是不稳定unstable的。
可通过研究描述系统的微分或差分方程的解得到系统稳定性。
东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义基于稳定性研究的问题是扰动作用去除后系统的运动情况与输入量和初始偏差无关。
稳定性是系统本身的“固有特性”，一个控制系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数值。
线性系统稳定性分析只需考虑齐次系统情况即可。
东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义李亚普诺夫Lyapunov 1892稳定性x t F x t t xc t F xc t t 0 x0 x t0 Lyapunov stability 0 0 if x0 xc then x t xc n Lyapunov asymptotic stability x xc xi xic 2 i 1 If in addition lim x t xc 0 t东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义x2 x2 xc xc x1 x1东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义x2 xc x1东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control 4.1 稳定性的概念和定义x x x t x 0e t x t 0 x 0 e t x 0 0 xx x t x 0et x1 x2 x2 x1 1 x1 0 x东南大学自动控制系Southeast University Dept. of Automatic Control Chap 4 控制系统的稳定性分析4.2 线性定常系统稳定的充分必要条件4.2.1 状态空间模型若讨论稳定性是基于状态空间模型的，则只关心是齐次状态方程的响应是否收敛到xe0－渐进稳定性连续线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是：它的系数矩阵A的特征值全都具有负实部。
系统的稳定性 常见判据
s s s
i
n
j k
,
s s i j i j i 1, j 2 n a0 n ( 1) si an i 1 an 2 an
n
系统稳定的必要条件： 各系数同号且不为零 或： an>0, an-1>0, … , a1>0, a0>0
二、Routh （劳斯）稳定判据
2. 系统稳定的充要条件
n n1 D ( s ) a s a s a1 s a0 0 特征方程： n n1
Routh 表：
s
n
an
an 2 an 3 A2 B2 D2
an 4 an 5 A3 B3
an 6 an 7 A4 B4
其中：
一、系统的稳定性与稳定条件
1. 系统不稳定现象
例：液压位置随动系统
原理：
外力→阀芯初始位移Xi(0)→阀口2、4打开 →活塞右移→阀口关闭（回复平衡位置）
→（惯性）活塞继续右移→阀口1、3开启→活塞左移→ 平衡位置
→（惯性）活塞继续左移→阀口2、4开启…… ① 随动：活塞跟随阀芯运动 ② 惯性：引起振荡 ③ 振荡结果： ③ 增幅振荡 ① 减幅振荡 ② 等幅振荡 （收敛，稳定） （临界稳定） （发散，不稳定）
例2 已知=0.2及n=86.6，试确定K取何值时，系统方能稳定。 系统开环传递函数：
2 n (s K ) Xo( s ) GK ( s ) 2 E ( s) s ( s 2n )
系统闭环传递函数： 特征方程：
3
2 X o ( s) n (s K ) GB ( s ) 3 2 2 X i ( s ) s 2n s 2 n s K n
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4系统稳定性分析稳定性描述当系统遭受外界扰动偏离原来的平衡状态，在扰动消失后系统自身能否恢复到原来平衡状态的一种性能。
一个不稳定系统是不能正常工作的，如何判别系统的稳定性以及如何改善系统的稳定性是系统分析与设计的首要问题。
所以讨论稳定性时只考虑的自由系统。
Lyapunov稳定性考虑阶自由系统：状态向量：，向量：对，若存在某一状态点，使得对所有的都为系统的平衡状态（平衡点）一个系统不一定存在平衡点，但有时又可以有多个平衡点。
平衡点大多数在状态空间的原点。
若平衡点不在原点，而是状态空间的孤立点，则可以通过坐标变换移到原点。
经典控制理论：用传递函数描述线性定常系统，主要用特征函数的极点分布、Routh（劳斯）判据、Hurwitz（胡尔维茨）判据、Nyquist（奈奎斯特）判据等来判别系统的稳定性。
现代控制理论：用状态空间描述MIMO线性时变系统或非线性时变系统。
根据系数矩阵的特征值即系统极点的分布来判别系统的稳定性。
求出的是“既能控又能观”的极点，它也可以由传递函数求出；求出的是“能控不能观”、求出的是“不能控能观”、求出的是“既不能控又不能观”部分的极点，他们由于“零极点相消”不能反映在传递函数中，因而也不能由传递函数求出；Lyapunov间接法：通过求解系统的动态方程（求解困难甚至求解不出，受到很大限制!），再根据解的性质判断系统的稳定性；Lyapunov直接法：不通过求解系统的动态方程，只通过构造Lyapunov标量函数直接判定系统的稳定性。
4.1.1Lyapunov稳定性定义定义4-2（Lyapunov临界稳定）对任意给定的“小距离”（无论多么小的），总可以根据给定的和初始时间找到一个“半径”，只要系统初态与平衡点的距离小于“半径”时，就有任何时状态与平衡点的距离小于给定的“小距离”，，则称平衡状态是Lyapunov稳定（）。
如果不需根据初始时刻来寻找“半径”，则称一致稳定（）。
称多维空间距离Euclid 范数（4-2）这就是说：根据指定的小和系统的初始状态，以平衡点，以后系统的状态就只能在指定的范围内运行，在平衡点附近振荡，称为Lyapunov临界稳定。
如果我们只根据指定的小就能划定一个半径为的范围，使系统只能在指定的范围内运行，称为一致Lyapunov稳定图4-1小球的稳定性图4-2李氏稳定定义4-3（渐近稳定，局部稳定）系统不仅Lyapunov稳定，而且，则称平衡状态是渐近稳定（）。
如果不需根据初始时刻来寻找半径，则称一致渐近稳定。
物理意义：系统状态开始在平衡点附近，则系统状态轨线最终落在平衡点。
只有渐近稳定才是工程意义上的稳定。
但渐近稳定仍然是某平衡点附近的稳定（局部稳定），并不意味着整个系统就能运行。
图4-3渐进稳定（局部稳定）图4-4全局稳定图4-5不稳定定义4-4若对任意初始状态，都有，则称平衡状态是大范围渐近稳定物理意义：无论开始系统状态在何处，其状态轨线最终会落在平衡点定义4-5（不稳定）对任意给定的“小距离”，无论“半径”怎么小，系统至少有一个初态，当，则有任何时候的状态与平衡点的距离大于给定的“小距离”，，则称平衡状态是不稳定（李氏不稳定）。
几何意义是：无论系统初始状态如何接近平衡点，状态远离平衡点不会回到原平衡点或原平衡点附近。
Lyapunov间接法判别稳定性定理4-1状态稳定性（内部稳定性）判别定理间接法。
判断平衡点的稳定性。
的特征值，所对应的约当块是二维的是不稳定平衡点。
，显然，当，有是不稳定平衡点。
由此不难得出：“渐近稳定”的结论（2）和“不稳定”的结论（3）*非线性系统的稳定性间接法稳定性判别定理只能用于线性系统，因此，对于非线性系统，必须先作线性化处理，是高阶导数项。
（4-3）令，，则（4-4）在系统一次近似的线性化方程基础上，Lyapunov给出如下结论：分析系统平衡的稳定性系统非线性通常有多个平衡点。
令，可求出系统的平衡点：将系统在处线性化：其特征值，表明非线性系统在处不稳定。
将系统在处线性化：其特征值的实部为零，不能来判断系统在处是否稳定。
Lyapunov直接法判别稳定性）力学原理：消耗能量能量，吸收能量—能量电学原理：放电能量，充电能量，但系统能量图4-6RC电路的充放电过程（1）若能量变化小于零，系统渐近稳定；（2）若能量变化大于零，系统不稳定（3）若能量变化等于零，系统“临界稳定”。
分析系统（1）电感、电容都是线性的，（例4.1.1）；（2）电感、电容都是线性的，（例4.1.2）；（3）电感是线性的，电容具有非线性的库伏特性，（例4.1.3）；RLC串联电路系统解：（1）当电感、电容都是线性的，，以电感磁通和电容电荷为状态变量，可写出状态方程，该电路无外界能量输入，同时电路中没有能量损耗，图（1）时状态方程图所以电路总能量W恒定。
可见，系统的状态轨迹是一个椭圆。
系统是稳定的，但不是渐近稳定的。
（2）当电感、电容都是线性的，且，相应的状态方程为图（2）时状态方程图，电阻是耗能的，电路的总能量不断减少。
设，再令初始状态为，求得方程的解为当时，，故系统总能量状态轨迹图表明，从原点附近出发的状态轨迹不仅能保持在原点附近，且随着时间的推移逐渐趋向于原点，因此系统是渐近稳定的。
（3）当电感是线性的，电容具有非线性的库伏特性，时，相应的状态方程为此时电路无外界能量输入，电路中也没有能量损耗，所以电路总能量W恒定。
图（3），时状态方程图令，得到系统的3个平衡点，分别是（0,0）、（±1,0）。
状态轨迹图如图。
纵轴交点为，横轴交点为由图看出，过原点的状态轨迹有的回到原点，也有的离开原点，因此，从原点任意小邻域出发的轨迹都不能始终保持在原点附近，因此系统在原点处是不稳定。
以上例题表明了系统能量与系统稳定性的关系。
4.2Lyapunov稳定性定理1892年，俄国数学力学家Lyapunov在他的博士论文《运动稳定性的一般问题》中提出了著名的Lyapunov稳定性理论。
其核心是构造一个标量函数作为虚构的广义能量函数（Lyapunov函数）。
设阶系统，平衡状态，如果存在一个对所有都有连续的一阶偏导数的正定的标量函数定义（4-5）Sylvester判据Lyapunov稳定性定理）对非线性系统，，，如果存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数，满足以下条件若负定（，则是渐近稳定（局部稳定）；若当时，，则系统是全局稳定；半负定（，则是Lyapunov稳定（临界稳定）；若（不是状态方程的非零解），则是渐近稳定（局部稳定）；正定（，则是不稳定；试确定例4.2.1）系统，a=const.平衡点的稳定性。
令求得是唯一平衡点。
试取处，渐进稳定不稳定李氏稳定有连续偏导数①当，有，是稳定平衡点；②当，有，是不稳定平衡点；③当，有，是Lyapunov稳定平衡点；表明所选可判定系统稳定性，是Lyapunov函数。
试确定平衡点的稳定性。
Lyapunov函数法：令求得是唯一平衡点。
取有连续偏导数符号不定，无法确定系统是否稳定，因此不是Lyapunov函数取有连续偏导数，只要在的“横轴”上（不一定在原点），就有，因此是Lyapunov稳定平衡点，是Lyapunov函数。
，但不恒等于0（半负定），是渐近稳定又，因而是大范围渐近稳定。
取函数：根据定理可知是渐近稳定，所以是Lyapunov函数。
可见Lyapunov函数并非唯一，无论怎样取Lyapunov，只要符合函数的条件，能判别平衡点的稳定性，就是Lyapunov函数此题为线性系统，也可以采用“间接法”来判断系统的稳定性：系数矩阵为，，根据Routh方法，一阶和二阶系统，只要系数为正，系统就是稳定的。
实际上的实部<0。
例4-5设闭环系统如图，试分析稳定性。
→即→，取，并不影响讨论系统的稳定性，故其解为这是系统。
Lyapunov函数法：设于是稳定性与输入无关，只考虑齐次方程是唯一平衡点。
试取有连续偏导数根据定理可知系统是Lyapunov，Lyapunov稳定在工程意义上是不稳定的这与经典控制理论的结是的，显然，故是Lyapunov试分析系统平衡点的稳定性。
令是唯一平衡点。
试取，有连续偏导数当，在的圆上，，故是Lyapunov稳定平衡点；当，在的圆内，，同上讨论，对状态方程的非零解，，故是渐近稳定平衡点；所选可判定系统稳定性，是Lyapunov函数。
其稳定域是单位圆内系统不是大范围渐近稳定的。
Lyapunov函数构造方法4.3.1线性系统Lyapunov函数构造方法以下给出判别线性定常系统渐近稳定的充要条件。
设，取正定二次型作Lyapunov函数，即为正定对称矩阵，有（4-5）（4-6）式中：，显然，若是正定对称矩阵，则，系统是渐近稳定的，于是有以下定理。
线性定常系统渐近稳定的充要条件是，给定一个正定对称矩阵，若一个正定对称矩阵，满足Lyapunov方程（4-7）此时Lyapunov函数为（4-8）矩阵只要满足正定对称，并无其他要求的任意性正表明Lyapunov函数的不唯一性），取然后通过Lyapunov方程求解出正定对称矩阵，对阶对称矩阵共有个独立元素，求解出这个独立元素，就可确定，计算的顺序主子式的符号可确定对称矩阵的定号性，由此可构造出Lyapunov函数，再根据判断系统的稳定性。
Lyapunov方程方法分析系统平衡点的稳定性。
设对称矩阵求解Lyapunov方程确定→解得：一个对称矩阵若方程无解，说明找不到对称矩阵。
计算的顺序主子式的符号的正定性奇数主子式：偶数主子式：根据判据，有，即是正定对称矩阵，再根据定理4-可以判别系统是的。
系统的一个Lyapunov函数为Matlab软件给出了求解Lyapunov方程的函数，他的一般形式为P=lyap(A′，Q)的解。
应用Matlab软件来判断上例的稳定性，可执行m-文件（eye(2)为2阶单位矩阵）得到进一步，由给出矩阵的特征值或者，由于矩阵所有特征值都是正的，矩阵是正定的，系统是渐进稳定。
（任何矩阵都可以通过非奇异变换成“对角元是矩阵特征值”的对角矩阵，而对角元为正的对角矩阵，矩阵必定是正定的）。
在一些实际控制系统中，操作员往往需要在线调整一些参数以改善系统的特性，然而这些参数的改变不应该导致系统的不稳定，为此需要确定这些参数可允许调节的范围，以确保系统是稳定的。
例4-8（例4.3.2）在保证系统是渐进稳定的情况下，确定系统增益的可调节范围。
解：，；，；，。
由图可得系统的状态方程为考虑系统稳定性时，均可假设在用Lyapunov方程处理方法来判别线性时不变系统渐近稳定性时，右边的矩阵有时也允许是半正定的，这样可以使数学运算得到简化。
式中矩阵，，，，满足半正定的充要条件，所以是半正定的。
求解相应的线性方程组可得：矩阵是正定的充要条件是：，因此当满足条件时，系统在原点处是大范围渐近稳定的。