流体力学 第3章流体运动学
第三章流体运动学
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第三章 流体运动学
研究内容：流体运动的位移、速度、加速度和转速等随时间和 空间坐标的变化规律，不涉及力的具体作用问题。但从中得出 的结论，将作为流体动力学的研究奠定基础。
第1节 研究流体运动的两种方法
第2节 流体运动学的基本概念 第3节 流体运行的连续方程 第4节 相邻点运动描述――流体微团的运动分析
特点：流场内的速度、压强、密度等参量不仅是坐标的函数，而且 还与时间有关。
即：
（） 0 t
3.2 基本概念
二、均匀流动与非均匀流动
1. 均匀流动
流场中各流动参量与空间无关，也即流场中沿流程的每一个断面 上的相应点的流速不变。位不变
v v ( x, y, z, t ) p p( x, y, z, t ) ( x, y, z, t )
由于空间观察点（x,y,z）是固定的，当某个质点
从一个观察点运动到另外一个观察点时，质点位移是 时间t的函数。故质点中的（x,y,z,t）中的x,y,z不是 独立的变量，是时间的函数：
x x (t ) y y (t ) z z (t )
所以，速度场的描述式：
u x u x {x（t） , y（t） , z（t） , t} u y u y {x（t） , y（t） , z（t） , t} u z u z {x（t） , y（t） , z（t） , t}
v2
s1
s2
v1
折点
v2
s
强调的是空间连续质点而不是某单个质点
1. 定义 流动参量是几个坐标变量的函数，即为几维流动。 v v ( x) 一维流动 v v ( x, y ) 二维流动 v v ( x, y , z ) 三维流动
流体力学-第三章
二 均匀流和非均匀流 渐变流和急变 流
按各点运动要素（主要是速度）是否随位置变化，可将流体 运动分为均匀流和非均匀流。在给定的某一时刻，各点速度 都不随位置而变化的流体运动称均匀流。均匀流各点都没有 迁移加速度，表示为平行流动，流体作匀速直线运动。反之， 则称为非均匀流。
按限制总流的边界情况，可将流体运动分为有压流、无压流和射 流。
边界全为固体的流体运动称为有压流或有压管流。 边界部分为固体、部分为气体，具有自由表面的液体运动称为 无压流或明渠流。 流体经由孔口或管嘴喷射到某一空间，由于运动的流体脱离了 原来限制他的固体边界，在充满流体的空间继续流动的这种流 体运动称为射流。
四 三维流（三元流）、二维流（二元流）、一维流（一元流）
按决定流体的运动要素所需空间坐标的维数或空间坐标变量的 个数，可将流体运动分为三维流、二维流、一维流。
若流体的运动要素是空间三个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为三维流或三元流。
若流体的运动要素是空间两个坐标和时间t的函数，这种流体运 动称为二维流或二元流。
拉格朗日法来研究流体运动，就归结为求出函数x（a, b, c, t）, y (a, b, c, t), z (a, b, c, t)。（1）由于流体运动的复杂，要想求 出这些函数是非常繁复的，常导致数学上的困难。（2）在大多 数实际工程问题中，不需要知道流体质点运动的轨迹及其沿轨迹 速度等的变化。（3）测量流体运动要素，要跟着流体质点移动 测试，测出不同瞬时的数值，这种测量方法较难，不易做到。
3 脉线
脉线又称染色线，在某一段时间内先后流过同一空间点的所 有流体质点，在既定瞬时均位于这条线上。
在恒定流时，流线和流线上流体质点的迹线以及脉线都相互 重合。
流体力学3----流体运动学
显然，渐变流是一种近似的均匀流。因此，渐变流有如下性质： 显然，渐变流是一种近似的均匀流。因此，渐变流有如下性质： 渐变流的流线近于平行直线，过流断面近于平面； （1）渐变流的流线近于平行直线，过流断面近于平面； 渐变流过流断面上的动压强分布与静止流体压强分布规律相同， （2）渐变流过流断面上的动压强分布与静止流体压强分布规律相同，
∂u ∂p ∂ρ = = =0 ∂t ∂t ∂t
§3.1 流体运动的基本概念
1 恒定流与非恒定流
恒定流动与时间无关； 非恒定流动研究比较复杂； 客观存在的流体绝大部分为非恒定流——变化不大的非恒定流进行 简化——恒定流动——结果能近似客观实际。 如紊流运动时，空间点上的流体速度有一定程度脉动，实际上是一 种非恒定流动；若此脉动的真实流速在足够长时间过程中能保持在某一 定数值上下脉动，以平均流速代替真实流速，且时均流速不变，则可简 化为恒定流动。
当t＝1、x＝2、y＝1时，有 ax = 4m/ s2 同理 即
ay = −2m/ s2
a = 4i − 2 j
§3.3 迹线与流线
1 迹线：流体质点在某一时段的运动轨迹。迹线微分方程 ： 迹线：流体质点在某一时段的运动轨迹。
dx dy dz = = = dt ux uy uz
2 流线
式中时间t是自变量。 式中时间t是自变量。
Qm = ρQ，QG = ρgQ
dQ = udA
Q = ∫ dQ = ∫udA
A
5 断面平均流速
流过过流断面上各点的流速u一般不相等，为了便于计算， 流过过流断面上各点的流速u一般不相等，为了便于计算，设 过流断面上各点的速度都相等，大小均为断面平均流速v 过流断面上各点的速度都相等，大小均为断面平均流速v。以v计 算所得的流量与实际流量相同。 算所得的流量与实际流量相同。
第三章 流体运动学基础
场：分布在空间某一区域内的物理量或数学函数。
标量场：场内定义的是标量函数 矢量场：场内定义的是矢量函数 均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值都相等 不均匀场：如果同一时刻场内各点函数的值不相等 定常场(稳定场)：如果场内函数不随时间改变 不定常场(不稳定场) ：如果场内函数随时间改变
x
y
y
z
z
v
t
x
x
y
y
z
z
xvi
y
v
j z
v k
v
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
vi
y
t
x
y
x
y
dt
dt
dt
y x
xy
yx
d xy
dt
=
d yx
dt
( x
y
y )
x
y dxdt
x
剪切变形速率：两条 正交流体边单位时间 角度变化的平均值
xOy平面
xy
yx
1
2
x
y
y
x
yOz平面
yz
zy
z
z t
z (a,b, c,t)
ax
x
t
2x t 2
ax
(a,b,c,t
)
a
y
y
t
流体力学 3-1-2流体运动学-33页PPT资料
a xd d x t tx x x x y y x z zx ayd d y t ty x xy y yy z zy a zd d z t tz x xz y yz z zz
描述方法
拉格朗日法 欧拉法
质点轨迹：r r(a,b,c),t 参数分布：B = B（x, y, z,t）
一、拉格朗日法
着眼于流体质点，设法描述单个流体质点的运动过程，研 究流体质点的运动参数随时间的变化规律，以及相邻流体 质点之间这些参数的变化规律。如果知道了所有流体质点 的运动状况，整个流场的运动状况也就明了了。 实质是一种质点系法。
y, z,t)
y,
z
,
t
)
或
uu(x,y,z,t)
uz
uz (x,
y,
z
,
t
)
固定x,y,z而令t改变，各函数代表：
空间中某固定点上各物理量随时间的变化规律。
固定t而令 x,y,z改变，各函数代表：
某时刻各物理量在空间中的分布规律。
二、欧拉法
压力场、密度场和温度场表示为：
p px, y, z,t x, y, z,t T T x, y, z,t
第三章 流体运动学（Fluid Kinematics）
•流体运动学（kinematics）：研究流体运动的方式和 速度、加速度、位移、转角等参量随空间和时间的变 化；流体运动学主要研究流场中各个运动参数的变化 规律，以及这些运动参数之间的关系等问题。由于这 些问题并不涉及这些运动参量与力之间的关系，因此 流体运动学的结论对于理想流体和实际流体均适用。
第三章流体的运动
以Ｖ除各项得: 1 1 2 2 P 1 gh1 P2 2 gh2 1 2 2
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对同一流管中的任一垂直截面有:
1 P 2 gh 常量 2
上二式称为伯努利方程，它说明理想 流体在流管中作定常流动时，单位体积的 动能、重力势能以及该点的压强之和为一 常量。 上式中的三项都具有压强的量纲，其中： 1/2ρυ２项与流速有关，常称为动压；Ｐ和ρ ｇｈ项与流速无关，常称之为静压。
粘性力的大小与流体从一层到另一层流速变化 的快慢（剧烈）程度有关。 速度梯度（dυ/dχ）：垂直于流速方向上单位 距离的液体层间的速度差。 单位为s-1。 实验证明，粘性力F的大小与两流层的接 触面积S以及接触处的速度梯度dυ/dχ成正比，
33
即：
d F S dx
上式称为牛顿粘性定律，式中比例系数η称为 流体的粘度系数简称为粘度，单位是Pa· s或 (N/m2)· s。
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对一细流管而言，υ、 h 、 Ρ均指流管 横截面上的平均值。 若S1→0， S2→0，细流管就变成流线， 连续性方程反映的是同一直线上不同点的υ、 h 、 Ρ的关系。
伯努利方程的适用范围: 仅适用于理想流体作定常流动。
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二 伯努利方程的应用
1﹑空吸作用
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如图3–4所示，1处横截面积远大于2处的横截 面积，根据连续性方程可知，横截面小处流 速大，2处的流速远大于1处。又由于管处于 水平，根据伯努利方程有：
实验结果表明，当： （1）Re<1000时，流体作层流； （2）Re>1500时，流体作湍流；
（3）1000< Re<1500时，叫做过渡流。
Re愈大，流动状态愈不稳定。
40
第四节 泊肃叶定律 一、泊肃叶定律
工程流体力学-第三章
四、有效断面、流量和平均流速
1. 有效断面 流束中处处与速度方向相垂直的横截面称为该流束的有效断面， 又称过流断面。 说明：
（1）所有流体质点的
速度矢量都与有效断面 相垂直，沿有效断面切
向的流速为0。
（2）有效断面可能是 平面，也可能是曲面。
2. 流量
(1) 定义：单位时间内通过某一过流断面的流体量称为流量。
压强的拉格朗日描述是：p=p(a,b,c,t)
密度的格朗日描述是：
(a, b, c, t)
二、欧拉法（Euler）
1. 欧拉法：以数学场论为基础，着眼于任何时刻物理量在场上 的分布规律的流体运动描述方法。 2. 欧拉坐标（欧拉变数）：欧拉法中用来表达流场中流体运动 规律的质点空间坐标(x,y,z)与时间t变量称为欧拉坐标或欧拉变 数。
（1）x,y,z固定t改变时， 各函数代表空间中某固
定点上各物理量随时间
的变化规律； （2）当t固定x,y,z改变 时，它代表的是某一时 刻各物理量在空间中的 分布规律。
密度场
压力场
( x, y , z , t )
p p ( x, y , z , t ) T T ( x, y , z , t )
u y du z du z ( x, y , z , t ) u z u z u z az ux uy uz dt dt t t t t du u a (u )u dt t
在同一空间上由于流动的不稳定性引起的加速度，称 为当地加速度或时变加速度。 在同一时刻由于流动的不均匀性引起的加 速度，称为迁移加速度或位变加速度。
一元流动
按照描述流动所需的空间坐标数目划分
二元流动
三元流动
流体力学第03章流体运动学剖析
该式表明三个方向的线变形率之和必须等于零。 适用范围:理想、实际、恒定流或非恒定流的不可压缩流体流动
2 对于一元流：
u1A1 u2 A2
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恒定一元流连续性方程常识性推导
液流的连续性方程是质量守恒定律的一种特殊方式。 它总结和反映了水流的过水断面面积与断面平均流速沿程 变化的规律。
Q AudA AvdA vAA vA
25
Q AudA AvdA vAA vA
由此可见，通过总流过流断面的流量等于断 面平均流速与过流断面面积的乘积，也即过 流断面上各点流体均以同一平均流速运动。 引入断面平均流速的概念，可以使流体运动 的分析得到简化。
26
第三节 连续性方程
27
在流场中取一空间微分平
14
渐变流和急变流举例
通常边界近于平行 直线时水流往往是 渐变流。管道转弯、 断面突扩或收缩水 工建筑物引起水面 突变水流为急变流。
15
二、流线与迹线
拉格朗日法研究个别液体质点在不同时刻的运动情况， 引出了迹线的概念；
欧拉法考察同一时刻液体质点在不同空间位置的运动情 况引出了流线的概念。
1、迹线与流线的概念
在同一时刻，A2点的流速向量设为u2，在向量u2上取
与A2点相距为 s1 的点A3；若该时刻A3点的流速向量 为u3，在向量u3上再取与A3相距为 s3 的点A4，如此继
续，可以得出一条折线A1A2A3A4……，若让所取各点
距离 s趋近于零，则折线变成一条曲线，这条曲线就
是t1时刻通过空间点A1的一条流线.
取恒定流中微小流束，因液体 为不可压缩的连续介质，有
1 2
根据质量守恒定律在dt时段 内流入的质量应与流出的质量相等。
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第3章流体运动学选择题：【3.1】用欧拉法表示流体质点的加速度a等于：（a）2 2d d t r；（b）vt∂∂；（c）()v v⋅∇；（d）()t∂+⋅∇∂vv v。
解：用欧拉法表示的流体质点的加速度为()dd t t∂==+∇∂v va vv（d）【3.2】恒定流是：（a）流动随时间按一定规律变化；（b）各空间点上的运动要素不随时间变化；（c）各过流断面的速度分布相同；（d）迁移加速度为零。
解：恒定流是指用欧拉法来观察流体的运动，在任何固定的空间点若流体质点的所有物理量皆不随时间而变化的流动.（b）【3.3】一元流动限于：（a）流线是直线；（b）速度分布按直线变化；（c）运动参数是一个空间坐标和时间变量的函数；（d）运动参数不随时间变化的流动。
解：一维流动指流动参数可简化成一个空间坐标的函数。
（c）【3.4】均匀流是：（a）当地加速度为零；（b）迁移加速度为零；（c）向心加速度为零；（d）合加速度为零。
解：按欧拉法流体质点的加速度由当地加速度和变位加速度（亦称迁移加速度）这两部分组成，若变位加速度等于零，称为均匀流动（b）【3.5】无旋运动限于：（a）流线是直线的流动；（b）迹线是直线的流动；（c）微团无旋转的流动；（d）恒定流动。
解：无旋运动也称势流，是指流体微团作无旋转的流动，或旋度等于零的流动。
（d）【3.6】变直径管，直径1320mmd=，2160mmd=，流速11.5m/sV=。
2V为：（a）3m/s；（b）4m/s；（c）6m/s；（d）9m/s。
解：按连续性方程，22112244V d V d ππ=，故2212123201.56m/s160d V V d ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（c ）【3.7】 平面流动具有流函数的条件是：（a ）理想流体；（b ）无旋流动；（c ）具有流速势；（d ）满足连续性。
解：平面流动只要满足连续方程，则流函数是存在的。
（d ）【3.8】恒定流动中，流体质点的加速度：（a ）等于零；（b ）等于常数；（c ）随时间变化而变化；（d ）与时间无关。
解：所谓恒定流动（定常流动）是用欧拉法来描述的，指任意一空间点观察流体质点的物理量均不随时间而变化，但要注意的是这并不表示流体质点无加速度。
（d ）【3.9】 在 流动中，流线和迹线重合：（a ）无旋；（b ）有旋；（c ）恒定；（d ）非恒定。
解：对于恒定流动，流线和迹线在形式上是重合的。
（c ）【3.10】流体微团的运动与刚体运动相比，多了一项 运动：（a ）平移；（b ）旋转；（c ）变形；（d ）加速。
解：流体微团的运动由以下三种运动：平移、旋转、变形迭加而成。
而刚体是不变形的物体。
（c ）【3.11】一维流动的连续性方程VA =C 成立的必要条件是：（a ）理想流体；（b ）粘性流体；（c ）可压缩流体；（d ）不可压缩流体。
解：一维流动的连续方程VA C =成立的条件是不可压缩流体，倘若是可ρ=（d）压缩流体，则连续方程为VA C【3.12】流线与流线，在通常情况下：（a）能相交，也能相切；（b）仅能相交，但不能相切；（c）仅能相切，但不能相交；（d）既不能相交，也不能相切。
解：流线和流线在通常情况下是不能相交的，除非相交点该处的速度为零（称为驻点），但通常情况下两条流线可以相切。
（c）【3.13】欧拉法描述流体质点的运动：（a）直接；（b）间接；（c）不能；（d）只在恒定时能。
解：欧拉法也称空间点法，它是占据某一个空间点去观察经过这一空间点上的流体质点的物理量，因而是间接的。
而拉格朗日法（质点法）是直接跟随质点运动观察它的物理量（b）【3.14】非恒定流动中，流线与迹线：（a）一定重合；（b）一定不重合；（c）特殊情况下可能重合；（d）一定正交。
解：对于恒定流动，流线和迹线在形式上一定重合，但对于非恒定流动，在某些特殊情况下也可能重合，举一个简单例子，如果流体质点作直线运动，尽管是非恒定的，但流线和迹线可能是重合。
（c）【3.15】一维流动中，“截面积大处速度小，截面积小处速度大”成立的必要条件是：（a）理想流体；（b）粘性流体；（c）可压缩流体；（d）不可压缩流体。
解：这道题的解释同3.11题一样的。
（d）【3.16】速度势函数存在于流动中：（a）不可压缩流体；（b）平面连续；（c）所有无旋；（d）任意平面。
解：速度势函数（速度势）存在的条件是势流（无旋流动）（c）【3.17】流体作无旋运动的特征是：（a）所有流线都是直线；（b）所有迹线都是直线；（c）任意流体元的角变形为零；（d）任意一点的涡量都为零。
解：流体作无旋运动特征是任意一点的涡量都为零。
（d）【3.18】速度势函数和流函数同时存在的前提条件是：（a ）两维不可压缩连续运动；（b ）两维不可压缩连续且无旋运动；（c ）三维不可压缩连续运动；（d ）三维不可压缩连续运动。
解：流函数存在条件是不可压缩流体平面流动，而速度势存在条件是无旋流动，即流动是平面势流。
（b ）计算题【3.19】设流体质点的轨迹方程为123e 1e 1t t x C t y C t z C ⎫=--⎪=+-⎬⎪=⎭其中C 1、C 2、C 3为常数。
试求（1）t=0时位于a x =，b y =，c z =处的流体质点的轨迹方程；（2）求任意流体质点的速度；（3）用Euler 法表示上面流动的速度场；（4）用Euler 法直接求加速度场和用Lagrange 法求得质点的加速度后再换算成Euler 法的加速度场，两者结果是否相同。
解：（1）以0t =，x a =，y b =，z c =代入轨迹方程，得12311a c b c c c=-⎧⎪=-⎨⎪=⎩故得12311c a c b c c =+⎧⎪=+⎨⎪=⎩当0t =时位于(,,)a b c 流体质点的轨迹方程为(1)e 1(1)e 1t tx a t y b t z c ⎧=+--⎪=++-⎨⎪=⎩（a ）（2）求任意质点的速度12e 1e 10tt x u c t y v c t w ∂⎧==-⎪∂⎪∂⎪==+⎨∂⎪=⎪⎪⎩（b ）（3）若用Euler 法表示该速度场由（a ）式解出,,a b c ；即 ()()111e 111e t t a x t b y t c z ⎧=++-⎪⎪⎪=-+-⎨⎪=⎪⎪⎩（c ）（a ）式对t 求导并将（c ）式代入得(1)e 1(1)e 120tt x u a x t t y v b y t t z w t ∂⎧==+-=+⎪∂⎪∂⎪==++=-+⎨∂⎪∂⎪==⎪∂⎩ （d ）（4）用Euler 法求加速度场x u u u ua u v w t x y z ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂1()1x t x t =++=++y v v v v a u v w t x y z ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂1(2)1y t y t =-+-+=-+0z w w w w a u v w t x y z ∂∂∂∂=+++=∂∂∂∂由（a ）式Lagrange 法求加速度场为222222(1)e (1)et x ty z x a a t y a b t z a t ⎧∂==+⎪∂⎪∂⎪==+⎨∂⎪⎪∂==⎪∂⎩（e ）将（c ）式代入（e ）式 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=011z y x a t y a t x a两种结果完全相同【3.20】已知流场中的速度分布为u yz t v xz t w xy =+⎫⎪=-⎬⎪=⎭（1）试问此流动是否恒定。
（2）求流体质点在通过场中（1,1,1）点时的加速度。
解：（1）由于速度场与时间t 有关，该流动为非恒定流动。
（2）x u u u u a u v w t x y z ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂)()(1xy y t xz z +-+=y v v v v a u v w t x y z ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂)()(1xy x t yz z +++-=z w w w w a u v w t x y z ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂)()(t xz x t yz y -++=将 1,1,1x y z ===代入上式，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=213z y x a t a t a【3.21】一流动的速度场为22(1)(2)v i j x t y t =+++试确定在t=1时通过（2,1）点的轨迹线方程和流线方程。
解：迹线微分方程为d d d x y t u v == 即2d (1)d xu x t t ==+2d (2)d yv y t t ==+以上两式积分得1331)1ln(c t x +=+2331)2ln(c t y +=+两式相减得 1lnln 2x c y +=+即)21+=+c(y x将 2=x ,1=y 代入得 1=c故过（2,1）点的轨迹方程为 1=-y x流线的微分方程为d d x y uv = 即22d d (1)(2)x y x ty t =++消去t ,两边积分得c y x ln )2ln()1ln(++=+或者 )21+=+c(y x 以2=x ,1=y 代入得积分常数1=c故在1=t ,通过（2，1）点的流线方程为1=-y x【3.22】已知流动的速度分布为2222()()u ay y x v ax y x ⎫=-⎬=-⎭其中a 为常数。
（1）试求流线方程，并绘制流线图；（2）判断流动是否有旋，若无旋，则求速度势ϕ并绘制等势线。
解：对于二维流动的流线微分方程为d d x y u v =即 2222d d ()()x y ay y x ax y x =--消去 22()a y x - 得 d d x x y y =积分 得 221122x y c =+或者22x y c -=若c 取一系列不同的数值，可得到流线族—双曲线族，它们的渐近线为x y =如图有关流线的指向，可由流速分布来确定。
2222()()u ay y x v ax y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩习题.223图对于 0y >, 当||||y x >时，0u > 当||||y x <时，0u <对于 0y <, 当|||y x >时，0u <当||||y x <时，0u >据此可画出流线的方向判别流动是否有旋，只要判别rot v 是否为零，2222[()][()]v u ax y x ay y x x y x y ∂∂∂∂-=---∂∂∂∂222222()2()2a y x a x a y x a y =----+22220ax ay =-+≠所以流动是有旋的，不存在速度势。
【3.23】一二维流动的速度分布为u Ax By v Cx Dy =+⎫⎬=+⎭其中A 、B 、C 、D 为常数。