第九章 哈密顿理论在物理学中的应用
物理学中的哈密顿原理及其应用
物理学中的哈密顿原理及其应用哈密顿原理是一个重要的物理学原理，它是研究力学和量子力学等理论的基础。
对于一个系统的运动，哈密顿原理提供了一种数学描述的方式，能够给出最小作用量原理，可以通过这个原理得到物理学的解。
在这篇文章中，我们将讨论哈密顿原理的定义、应用以及它如何影响现代物理学。
1、哈密顿原理的定义哈密顿原理的定义是：对于一个系统，在一个确定的时间段内，系统的运动路径是使作用量函数最小的。
在系统运动的过程中，作用量表示为：S = ∫L dt，其中L是系统的拉格朗日函数，dt是时间差。
根据这个定义，哈密顿原理的表述是：对于在一个确定的时间段内运动的一个系统，当其在任何可行运动路径下的动作最小化时，它的实际路径将是真实路径。
2、哈密顿原理的应用哈密顿原理在物理学中的应用领域广泛，例如力学和量子力学等领域。
在力学领域，哈密顿原理可以用来导出量子场论和相对论理论的基础方程。
在量子力学中，哈密顿原理被用来描述粒子运动的描述方法，即“量子哈密顿力学”或“路径积分理论”。
在天体物理中，哈密顿原理也被用来描述星系、银河系、黑洞等天体的运动及其演化过程。
此外，哈密顿原理还被应用于航空、航天工程、自然科学、工程学和材料科学等领域。
3、哈密顿原理的影响哈密顿原理的提出对现代物理学产生了深刻的影响，它预示了一种新的力学理论，即哈密顿力学。
在哈密顿力学中，拉格朗日函数中的变量都可以通过一组可以互相转换的变量来替换，这里的变量包括位置、动量、时间和势能等。
这种方法在物理学研究中已经得到了广泛应用，包括分析旋转、振动和波动等行为。
此外，哈密顿原理还促进了物理学研究的发展，使科学家们更好地理解了物质和能量的性质，包括它们的高度复杂的性质。
这种方法不仅联结了现代理论物理，而且是微积分和变分原理的基础，从而成为许多物理问题的通用解法。
此外，哈密顿原理还为物理学家提供了在研究新现象和探索新原理的道路，有助于进一步扩展人类关于自然的认识面和技术实践。
哈密顿原理的应用例子
哈密顿原理的应用例子一、什么是哈密顿原理哈密顿原理是经典力学中的一种变分原理，描述了自然界中各种物理系统的运动规律。
它起源于数学家威廉·哈密顿的研究，也称为最小作用量原理。
哈密顿原理通过对系统的所有可能路径进行比较，找到系统运动的真实路径，从而得到最小作用量原理。
二、哈密顿原理的应用例子1. 光的传播路径假设有一个具有两个不同介质的透明介质界面，光从一个介质传播到另一个介质。
根据哈密顿原理，光的传播路径满足最小作用量原理。
这里的作用量是指光在传播过程中光程的积分。
光的传播路径应满足以下条件：•光线传播的路径必须满足费马原理，即光线传播的路径是光程的极值路径；•光的传播路径必须满足最小作用量原理，即光的光程在所有可能路径中取得极值。
通过应用哈密顿原理，可以求解光的传播路径，从而揭示光在界面传播的规律。
2. 量子力学中的路径积分在量子力学中，粒子的运动可以用路径积分来描述。
路径积分是一种数学工具，通过将粒子在各个可能路径上的振幅相加，来得到粒子的全体运动。
哈密顿原理在量子力学中被拓展为路径积分的形式。
应用哈密顿原理的路径积分形式可以得到以下结论：•粒子在各个可能路径上的振幅相加，得到了粒子的全体运动；•粒子的运动路径满足最小作用量原理，即粒子的作用量在所有可能路径中取得极值。
路径积分理论是现代量子力学的基石之一，它可以用来描述和计算微观粒子的行为。
3. 经典力学中的质点运动在经典力学中，物体的运动可以使用拉格朗日力学或哈密顿力学来描述。
哈密顿力学是经典力学中的一种有效工具，基于哈密顿原理进行建模和计算。
哈密顿原理在经典力学中的应用可总结为：•哈密顿原理可以用于描述质点在给定势能场中的运动；•通过求解哈密顿原理，可以得到物体的运动方程和运动轨迹。
哈密顿力学在物体的运动描述和机械系统分析中具有广泛的应用。
4. 量子场论中的路径积分在量子场论中，我们可以将经典场进行量子化，并通过路径积分来解析量子场的运动。
量子力学哈密顿
量子力学哈密顿量子力学哈密顿(Hamiltonian in Quantum Mechanics)量子力学是关于微观世界行为的理论，描述了原子和分子等微观粒子的性质和相互作用。
哈密顿量是量子力学中最重要的数学工具之一，用于描述物理系统的能量和演化规律。
本文将介绍量子力学哈密顿量的概念、性质以及在物理学中的重要应用。
1. 哈密顿量的概念和性质在量子力学中，哈密顿量是一个算符(Operator)，用于描述一个物理系统的总能量。
它通常由动能项和势能项组成，可以写作哈密顿算符的矩阵形式。
哈密顿量的本征态和本征值是描述系统可能状态和相应能量的重要工具。
根据量子力学的基本假设，系统的状态可以用波函数表示，而哈密顿量则是描述波函数时间演化的基础算符。
2. 哈密顿量的数学表达在量子力学中，哈密顿量通常用简化的形式来描述系统的动能和势能项。
例如，对于一个质量为m的自由电子，其哈密顿量可以写作：H = (p^2/2m) + V(x)其中，p是动量算符，x是位置算符，V(x)是电子受到的势能。
这个哈密顿量描述了电子在无外力作用下的能量和动态演化。
3. 哈密顿量的重要应用哈密顿量在量子力学中有着广泛的应用。
它可以用来研究原子、分子、固体和基本粒子等微观系统。
例如，在原子物理中，利用薛定谔方程和哈密顿量可以推导出原子的能级结构和谱线。
在固体物理中，哈密顿量可以用来描述电子在晶格中的行为，解释材料的导电性和磁性等性质。
在量子信息科学中，利用哈密顿量可以实现量子比特之间的相互作用，用于构建量子计算和量子通信系统。
4. 哈密顿量的扩展除了常见的哈密顿量形式之外，对于复杂的量子系统，还存在一些特殊的哈密顿算符。
例如，对于多粒子系统，可以使用相互作用哈密顿量来描述粒子之间的相互作用。
对于自旋系统，可以引入自旋哈密顿量来描述粒子的自旋行为。
此外，还有一些非常规的哈密顿量，如哈密顿量的延拓和广义哈密顿量，这些扩展形式在量子力学的研究中也有重要的应用。
哈密顿凯莱定理的应用
哈密顿凯莱定理的应用哈密顿凯莱定理是经典力学中的一项重要定理，它可以用于描述质点在力场中运动的性质。
这个定理的应用广泛，为我们理解和研究物体运动提供了有力的工具。
本文将介绍哈密顿凯莱定理的应用，帮助读者更好地理解并应用这个定理。
一、哈密顿凯莱定理简介哈密顿凯莱定理是经典力学中的一个基本定理，它是质点运动的一个重要定理，可以用于描述质点在力场中的运动。
该定理的基本内容是：在保守力场中，质点的轨迹满足哈密顿凯莱方程，即质点的动能与势能之和保持不变。
二、哈密顿凯莱定理的应用1. 动力学系统的稳定性分析哈密顿凯莱定理可以用于分析动力学系统的稳定性。
对于一个动力学系统，我们可以通过求解哈密顿凯莱方程，得到系统的运动轨迹。
通过分析轨迹的形状和性质，我们可以判断系统是否稳定。
如果系统的轨迹是有界的，不会发散或趋近于无穷远，那么该系统是稳定的。
2. 能量守恒定律的应用哈密顿凯莱定理可以用于推导能量守恒定律。
在保守力场中，质点的总能量等于其动能与势能之和，而根据哈密顿凯莱定理，质点的动能与势能之和保持不变。
因此，质点的总能量在运动过程中保持不变，即能量守恒。
3. 动力学系统的模拟与预测哈密顿凯莱定理可以用于模拟和预测动力学系统的运动。
通过求解哈密顿凯莱方程，我们可以得到系统的运动轨迹。
根据这些轨迹，我们可以对系统的未来状态进行预测。
这在很多领域都有重要应用，比如天体力学中对行星轨道的预测，以及工程中对机械系统的模拟和设计。
4. 动力学系统的优化设计哈密顿凯莱定理可以用于优化设计动力学系统。
通过求解哈密顿凯莱方程，我们可以得到系统的运动轨迹和能量变化情况。
根据这些信息，我们可以优化系统的结构和参数，使系统的能量损失最小，运动效率最高。
5. 弹性碰撞问题的求解哈密顿凯莱定理可以用于求解弹性碰撞问题。
在弹性碰撞过程中，质点的动能和势能会发生变化。
通过应用哈密顿凯莱定理，我们可以求解碰撞前后质点的速度和能量变化情况，从而得到碰撞的结果。
哈密顿算子在物理中的应用
哈密顿算子在物理中的应用哈密顿算子是量子力学中的一个重要概念，它描述了系统的总能量，并在物理学中有广泛的应用。
本文将介绍哈密顿算子的定义和性质，并探讨其在物理中的应用。
一、哈密顿算子的定义和性质哈密顿算子是量子力学中的一个算符，通常用H表示。
它的定义如下：H = T + V其中，T是动能算符，V是势能算符。
动能算符描述了粒子的运动状态，势能算符描述了粒子所处的势能场。
哈密顿算子的本征值和本征函数分别表示了系统的能量和相应的态。
哈密顿算子具有以下性质：1. 哈密顿算子是厄米算子，即H† = H。
这意味着它的本征值是实数，本征函数之间是正交的。
2. 哈密顿算子是线性算子，即对于任意的常数a和b，有aH + bH = (a + b)H。
3. 哈密顿算子是可观测量的算符，即它的本征值可以通过实验进行测量。
二、哈密顿算子在量子力学中的应用1. 薛定谔方程哈密顿算子在薛定谔方程中起着重要的作用。
薛定谔方程描述了量子力学中粒子的运动状态，它的一般形式为：Hψ = Eψ其中，ψ是波函数，E是能量。
通过求解薛定谔方程，可以得到系统的能级和相应的波函数。
2. 能级结构哈密顿算子的本征值表示了系统的能级，而本征函数表示了相应的态。
通过求解哈密顿算子的本征值问题，可以得到系统的能级结构。
这在原子物理学和固体物理学中有着重要的应用。
3. 动力学演化哈密顿算子还可以用来描述系统的动力学演化。
根据薛定谔方程，系统的波函数随时间的演化可以通过哈密顿算子进行描述。
这在量子力学中有着重要的应用，例如描述粒子在势能场中的运动。
4. 算符的期望值哈密顿算子还可以用来计算算符的期望值。
对于任意的算符A，其在态ψ下的期望值可以表示为：< A > = < ψ | A | ψ >其中，| ψ > 表示态ψ，< ψ | 表示其共轭转置。
通过计算算符的期望值，可以得到系统的物理量的平均值。
三、结论哈密顿算子是量子力学中的一个重要概念，它描述了系统的总能量，并在物理学中有广泛的应用。
哈密顿力学的数学原理和实际应用案例
哈密顿力学的数学原理和实际应用案例哈密顿力学是经典力学的一种扩展形式，由爱尔兰物理学家威廉·哈密顿在19世纪50年代提出，是研究动力学系统的一种重要方法。
哈密顿力学可以用更加简洁直观的数学形式描述动力学系统的演化过程，同时也是理解量子力学的重要基础。
本文将介绍哈密顿力学的数学原理和实际应用案例。
一、哈密顿力学的数学原理哈密顿力学的核心概念是哈密顿量和哈密顿函数。
哈密顿量是动力学系统中的一个函数，表示了系统的总能量，它通常用动力学变量如位置和动量表示。
哈密顿函数是哈密顿量的数学形式，通常用来描述物理系统的演化过程。
以一维简谐振子为例，其哈密顿量为：$H=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}$其中，$m$是振子的质量，$\omega$是振子的角频率，$p$是振子的动量，$x$是振子的位置。
该哈密顿量表示了振子的总能量，包括动能和势能。
哈密顿函数是由哈密顿量推导出来的一个函数，它的形式为：$H(x,p)=\frac{p^{2}}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2}$哈密顿函数描述了物理系统在不同时间点的状态，可以通过哈密顿函数来预测系统随时间的演化过程。
在哈密顿力学中，物理系统的演化是通过哈密顿函数所描述的哈密顿运动方程来描绘的：$\frac{dx}{dt}=\frac{\partial H}{\partial p},\ \frac{dp}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial x}$哈密顿运动方程可以用于求解物理系统的演化过程，其数学形式非常简洁美观，因此在物理学和数学领域中得到广泛的应用。
二、哈密顿力学的实际应用案例哈密顿力学不仅是物理学中的重要研究工具，还被广泛应用于数学、工程、化学、生物等领域。
下面介绍几个实际应用案例。
1. 铁磁共振铁磁共振是一种重要的谱学技术，用于研究固体物理、化学和生物学等领域中的分子结构。
哈密顿原理的应用
哈密顿原理的应用什么是哈密顿原理？哈密顿原理是经典力学中的一种基本原理，用于描述自然界中物体在运动过程中所遵循的原理。
哈密顿原理可以简单地表述为：物体在运动过程中，其真实路径是使作用量（或称为作用积分）取得极值的路径。
哈密顿原理的数学表述从数学角度上看，哈密顿原理可以通过积分方程来表述。
假设一个运动系统的Lagrange函数为L(q, \dot{q}, t)，其中 q 为广义坐标，\dot{q} 为广义速度，t 为时间。
那么，根据哈密顿原理，系统的状态将会沿着满足以下方程的路径运动：\delta \int L(q, \dot{q}, t) dt = 0这个方程是一个变分问题，通过对方程求驻点来得到系统的真实路径。
其中，\delta 表示变分（即微小变化）。
哈密顿原理的应用哈密顿原理在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
下面列举几个典型的应用：1.经典力学：哈密顿原理是经典力学中最基本的原理之一。
它可以用来推导出Lagrange方程和Hamilton方程，从而描述物体在运动过程中所遵循的规律。
通过哈密顿原理，我们可以得到物体在势能场中的运动方程，并进一步研究力的作用和能量的变化规律。
2.量子力学：哈密顿原理在量子力学中也有重要的应用。
量子力学中的体系可以使用波函数描述，而波函数的演化过程可以通过哈密顿算符来描述。
哈密顿原理可以用来推导量子力学中的薛定谔方程，从而描述量子体系的演化规律。
3.优化问题：哈密顿原理的变分问题求解方法可以应用于优化问题中。
通过建立适当的Lagrange函数，并使用哈密顿原理进行求解，我们可以得到优化问题的最优解。
这在工程学、经济学等应用中都有重要的作用。
4.控制理论：哈密顿原理在控制理论中有着广泛的应用。
控制理论研究的是如何通过给定系统的模型和特定的控制策略来使系统达到预期的状态。
哈密顿原理可以提供一种优雅的数学框架，用于描述控制系统的演化过程，并求解最优控制问题。
总结哈密顿原理是一种基本的物理原理，在经典力学、量子力学、优化问题和控制理论等领域得到了广泛的应用。
哈密顿凯莱定理的应用
哈密顿凯莱定理的应用哈密顿-凯莱定理，又称为哈密顿凯莱原理或哈密顿原理，是经典力学中的一个重要定理。
它是由物理学家威廉·哈密顿和瑞典数学家格雷戈里·凯莱独立提出的，用于描述质点在约束下的运动规律。
本文将从不同角度探讨哈密顿-凯莱定理的应用。
第一部分：哈密顿凯莱定理的基本原理哈密顿凯莱定理是通过变分原理推导得到的。
它的核心思想是，对于一个质点在约束下的运动，其真实轨迹可以通过使作用量取极值的路径来描述。
这里的作用量是指质点在一段时间内沿着轨迹所做的功。
第二部分：应用一：自由质点的运动我们来看一个简单的应用，即自由质点的运动。
在没有外力作用下，质点的能量守恒。
根据哈密顿凯莱定理，质点的真实轨迹是使作用量取极值的路径。
由于没有约束，质点可以在空间中任意运动。
而在这种情况下，质点的真实轨迹就是直线。
这个结论可以通过哈密顿凯莱定理轻松得到。
第三部分：应用二：带有约束的质点运动接下来，我们考虑带有约束的质点运动。
在这种情况下，质点的运动受到一些限制条件，比如刚性杆的长度保持不变等。
根据哈密顿凯莱定理，质点的真实轨迹是使作用量取极值的路径。
但由于约束的存在，真实轨迹不能是任意的，而是受到约束条件的限制。
因此，我们需要引入拉格朗日乘子法来处理约束。
第四部分：应用三：经典力学中的守恒定律哈密顿凯莱定理的另一个重要应用是推导守恒定律。
根据定理，如果系统的拉格朗日函数不显含某个坐标，那么该坐标对应的广义动量守恒。
这是因为在这种情况下，作用量对这个坐标的变分为零，意味着作用量在这个坐标上取极值。
根据哈密顿凯莱定理的推导，我们可以得到守恒定律的表达式。
第五部分：应用四：量子力学中的路径积分我们来看哈密顿凯莱定理在量子力学中的应用。
在量子力学中，粒子的运动不再是确定的轨迹，而是通过波函数表示的概率分布。
路径积分是一种计算量子力学系统的方法，它基于哈密顿凯莱定理。
路径积分的基本思想是将系统的所有可能路径加权求和，得到最终的波函数。
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第九章哈密顿理论在物理学中的应用一．电磁场中的拉格朗日形式
二．薛定谔波动方程的建立
三．统计物理学中的刘维定理
()
q q q V q αα
αα-=∂∂-
以一维弹性棒的纵向振动
N+个相同的分子按0到N排列；
设：由1
m；
每个分子的质量均为
k；
相邻的分子间的作用力可以看作为弹性力，劲度系数为
a。
固有间隔为
η是第i个质点偏离平衡位置的位移，体系的动能为：设：i
2ηi
i i i x x
η=- （i x 为分子在此时刻的位置，体系平衡时所有的0i
η=）
(1)
i i
F - ： 第 1i - 个分子对第
i
个分子的作用力 (1)i i F + ： 第 1i + 个分子对第 i
个分子的作用力
()()()[]()[]
1111110
00
111i i i i i i i i i i i i i i i i i F k x x a k x a k ia a x k i a x k x x x x k x ηηηηη--------⎡⎤=---=-+--⎡⎤⎣⎦⎣⎦
=-+--=-+--⎡⎤⎣⎦
⎡⎤=-+---⎣⎦
=-
同理：
()
[]11i i i
i F k ηη++=--
()2221112i i
i i i i m m k a ka a a ηηηηηη++⎡⎤-⎛⎫⎤--=-⎢⎥ ⎪⎦⎝⎭⎢⎥∑
()222112
212i i
i i i i i i m m k a ka a a E x E x ηηηηηηηηηη++⎡⎤-⎛⎫⎤--=-⎢⎥ ⎪⎦⎝⎭⎢⎥∂⎛- ∂⎝∂⎛- ∂⎝∑2i
E x ηρη∂⎛- ∂⎝
),,t l ηη⎛=
),,t l ηη⎛= ⎝
)31
3
1
,j j t l ηδηδηηδηη==⎛= ∂+⎛∂∂∂+⎛∂∂∑∑
3 1 j l
δη
η
=∂
+
⎛∂
∂∑
2
41d x d x dt δηδηηη=- ⎪∂⎝⎭⎰
()311
1j j j j
l
d x d x dt dx δηδδηδηδηηηηηη==∂+=-- ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎥ ⎪∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎝⎭∂∂⎝⎭⎢⎥ ⎪⎥∂∂
⎪ ⎪∑∑⎰1j j dx η=-⎪⎭∑
1j k dx η=-⎪⎭∑2
i
E x ηρη∂⎛- ∂⎝
;l l d l dt ρηρηηη⎛⎫∂== ⎪∂⎝⎭
2E x
η
η∂-∂
001B B E t E E
B j t ρ
εμεμ∇∙=∂∇⨯=-∂∇∙=∂∇⨯-=∂⎩
j ：传导电流；E 和B 共有6个分量，但是这六个分量并非彼此都是独立的，由于洛仑兹力
并非是保守力，所以在非保守力体系下应用拉格朗日方程我们选取：安培定律
()
()
00A A E t B A ϕϕ∂⎛⎫⎧∇∙∇⨯==-∇-
⎪ ⎪∂⎨
⎪∇⨯∇==∇⨯j A
∙
=
ϕ
∇∙=
EρA
A A=
()
2
2
01j A A A j A t ϕρϕμ∙⎭
⎫
⎫∂⎪∇+-∇⨯-+∙⎪⎪∂⎭⎭
110101
11:E l
A E E A A εε∂∂==-∂
00E
B j
μεμ∂∇⨯-=A 和ϕ，而且也一定包含激发电磁场的源j
ρ
一定是一个标量，其量纲是能量密度的量纲；
应用拉格朗日方程建立电磁场运动方程的物理意义：
应用麦克斯韦方程组我们可以清晰地解释电磁场的运动，再应用拉格朗日方程，我们已经无法在此基础上得到更多更新的内容，但是，它有力地表明，物理学的统一性“力学运动和电磁学运动具有完全相同的运动规律，因此，我们可以在如粒子物理学中应用连续媒质的拉格朗日方程得到其运动规律，然后与实验结果去对比，或预言新的实验，如果得到的结果都被验证，那么原来的未知的领域的正确理论就被建立起来了。
”
经典力学的拉格朗日-哈密顿理论是我们探索未知物理世界的一个有力的工具！
三．薛定谔波动方程的建立
1．经典物理学的危机之一：“以太漂移”
笛卡尔（17世纪的物理学家）从朴素的唯物主义出发，为了说明“虚空不虚”最先在物理学中引进了以太。
笛卡尔认为，以太是充满整个空间的一种物质，真空中没有空气，但是有以太。
18世纪由于力的平方反比定律得发现，超距作用的观点取得了主导的地位，但是作为传输光波的介质，以太又被重新提起。
（1）近代物理学中的三大发现：
a.阴极射线的发现------1897年汤姆逊（英）
b.X射线的发现---------1895年伦琴（德）
c.放射线的发现----------1898年居里夫人（波兰）
上述的三大发现使得物理学界感到不安，同时也使得物理学界出现的分裂，
一个观点：经典物理学毁灭了，物质消灭了，没有衡量真理的标准了，洛仑兹：“我为什么没有在矛盾出现的5年前死去”。
另一观点：新物理将出现。
光波的进一步研究使得“以太”又具有了很多的性质，“光以太”的概念被提出来，麦克斯韦试图用以太来解释电磁现象，他在1855年《论法拉弟的力线》一文中还在试图用把电磁感应强度比作以太的速度。
虽然以太还没有找到，但是此时以太的存在已经成为了公认的事实。
（2）经典物理学的理论是基于三个基本关系基础之上的
（a）牛顿定律-------------实物
（b）麦克斯维方程组----电磁场
（c）伽利略变换-----------时空
绝对时空的实体是人们长期寻找的，但是却遭到了失败，最后，人们认为以太充满整个空间，由于以太的存在，使得牛顿的绝对时空观又获得了新的寄托和希望。
（3）对以太漂移的探索：
（a）斯托克斯------以太被运动物体全部拖曳的假设
（b）菲索尔
（c）赫兹------------应用拖曳说明麦克斯韦方程
（d）伽利略---------以太论的最后阶段，以太静止并被运动的物体所带动2．经典物理学的灾难之二：“紫外灾难”
12,,;,,,s s W W W q E q q q ⎫∂∂∂=⎪∂∂∂⎭
),,s q A +
lgψ其中：为常量；量纲为零。
因此与
x y z ψψψ
ψψ
ψ∂∂∂∂∂∂
E r + ⎝
上式没有任何经典假设。
假设：电子不是经典粒子，具有波粒二象性，由于不知道运动规律，我们可以假想电子象电磁波一样具有物质波，假设一个适当的拉格朗日量密度通过最小作用里昂原理，我们就可以推导出电子的波动方程。
薛定谔的做法： 设：
()2
1
,,0
J F x y z dxdydz δδ==⎰
他认为：凡是具有波粒二象性的非经典粒子都可以由上式推导出运动方程。
上式与：
E r + ⎝
E r + ⎝E r + ⎝上式即为薛定谔给出的氢原子中电子的波动力学方程，计算上式：
222m x ⎡⎛⎫∂⎢ ⎪∂⎝⎭⎣2222
222222e V m x y z r m
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂++-=-∇+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
ˆp p
i →=-∇ 2
2V m
∇+ ()22
2,2n
上式即为波尔1913年用定态跃迁假设得出的氢原子的能级公式。
薛定谔上述理论与其他量子力学在概念上的主要区别为：
（1）在薛定谔以前的理论中：（a）黑体辐射（普朗克）；（b）光量子假设（爱因斯坦）；（c）矩阵力学（海森堡）都将量子化概念作为基本假设之一。
在上述的薛定谔理论中不需要假设，量子化结论是由氢原子能量的本征值自然给出的。
（2）
lg
Wψ
=变换。
（3）
ψ代表具有波粒二象性的客体本身的性质，因此ψ就像电磁波、流体的速度场、温度场密度场一样是物理实在，这与现在正统的量子力学的解释完全不同。
),x x T V =-
)(()((22x a V x mx mxa V x mxa aV x +-+-'-。