第九章常微分方程[1].
常微分方程
dy y
P(
x)dx,
ln | y | P( x)dx lnC1 ,(C1为任意常数)
齐次方程的通解为 y Ce P( x)dx (C eC1 )
17
2. 线性非齐次方程 dy P( x) y Q( x) dx
线性齐次方程是线性非齐次方程的特殊情况.
线性齐次方程的通解是 Ce P( x)dx ,
（3）检验改进模型， 观察所得的解能够在多大程度或范围上反映实际问题，
用实际问题检验该模型， 如果存在问题，则需研究， 改进模型.
27
例 冷却问题 将一个温度为50º的物体，放在20º的恒温 环境中冷却，求物体温度变化的规律.
解 冷却定律：“温度为T的物体，在温度为 T0 的环境中 冷却的速率与温差T T0成正比.” 设物体的温度T与时间 t的函数关系为 T T (t),
(t2 x)dt xdx 0 一阶 z x y 一阶
x
未知函数是一元函数的方程为 常微分方程;
未知函数是多元函数的方程为 偏微分方程.
方程中所出现的导数的最高阶数称为 微分方程的阶.
一般的n阶微分方程为 F ( x, y, y,, y(n) ) 0,
或已解出最高阶导数 y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
9.4 微分方程的应用问题
例 把“大气压随高度变化而降低的速率与所在高度 处的气压成正比”所含关系表示出来.
解：第一步，设未知函数：
设大气压P和高度x之间的函数关系为 P P(x),
大气压随高度变化的速率为 dP
dx
第二步，根据条件写出方程 dP P, 为比例系数，
dx
第三步，取比例系数为正：因 dP 0， 故 0，
第九章 常微分方程
第九章 常微方程数值解法
第8章 序
许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动， 许多科学技术问题，例如天文学中的星体运动，空间 技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析， 技术中的物体飞行，自动控制中的系统分析，力学中的振 动，工程问题中的电路分析等，都可归结为常微分方程的 工程问题中的电路分析等， 初值问题。 初值问题。 所谓初值问题， 所谓初值问题，是函数及其必要的导数在积分的起始 点为已知的一类问题，一般形式为： 点为已知的一类问题，一般形式为：
⇒ y n +1 = y n −1 + 2hf ( xn , y n )
第9章 常微分方程数值解法
(8 - 4)
8-10
Euler公式的推导（ Euler公式的推导（续5） 公式的推导
上对y )=f 四、利用数值积分公式：在[xn,xn+1]上对y′(x)=f (x,y(x)) 积分 利用数值积分公式：
x0 < x1 < L < xn < L
（i=1,2,…,n）构造插值函数作为近似函数。上述离散点 i=1,2,…,n）构造插值函数作为近似函数。 相 邻两点间的距离h 称为步长， 邻两点间的距离hi=xi-1-xi 称为步长，若hi 都相等为一定数 h, 则称为定步长，否则为变步长。( x, y ( x)) 则称为定步长，否则为变步长。 a≤ x≤b y ′( x) = f 本章重点讨论如下 y (a ) = y0 一阶微分方程： 一阶微分方程： 在此基础上介绍一阶微分方程组与 8-5 第9章 常微分方程数值解法 高阶微分方程的数值解法。 高阶微分方程的数值解法。
⇒ yn +1 = yn + hf ( xn , yn ) + E ( xn , h) ⇒ yn +1 = yn + hf ( xn , yn )
数值分析第九章常微分方程数值解法
松弛法
通过迭代更新函数值并逐步放松约束 条件来逼近解，适用于刚性和非刚性 问题。
利用线性组合迭代函数值来逼近解， 具有更高的收敛速度和稳定性。
03
数值解法的稳定性分析
数值解法的稳定性定义
数值解法的稳定性是指当微分方程的初值有微小的扰动时， 其数值解的近似值的变化情况。如果数值解在微小扰动下变 化较小，则称该数值方法是稳定的。
更高的精度和稳定性。
数值逼近法
泰勒级数法
将微分方程的解展开为泰勒级数，通过截断级数来逼 近解。
多项式逼近法
利用多项式来逼近微分方程的解，通过选取合适的基 函数和系数来提高逼近精度。
样条插值法
利用样条函数来逼近微分方程的解，具有更好的光滑 性和连续性。
迭代法
雅可比迭代法
通过迭代更新函数值来逼近微分方程 的解，具有简单易行的优点。
初值和边界条件的处理
根据实际问题，合理设定初值和边界 条件，以获得更准确的数值解。
收敛性和误差分析
对数值解进行收敛性和误差分析，评 估解的精度和稳定性。
数值解法的应用案例分析
人口增长模型
通过数值解法求解人口增长模型，预测未来人口数量，为政策制 定提供依据。
化学反应动力学
利用数值解法研究化学反应的动力学过程，模拟反应过程和结果。
数值分析第九章常微分方 程数值解法
• 引言 • 常微分方程数值解法的基本思想 • 数值解法的稳定性分析 • 数值解法的收敛性和误差分析 • 数值解法的实现和应用案例
01
引言
常微分方程的应用背景
自然科学
描述物理、化学、生物等自然 现象的变化规律。
工程领域
控制系统设计、航天器轨道计 算等。
第九章 连续时间：微分方程
c c 2 4d (b )
m 两根都为负，时间路径收敛，若两根相等， 1 m2 c / d 都小于零，其时间路径也为收敛的。最后，如果为共轭复 数，其实数部分c / d 小于零， P 的时间路径同样为收敛 的，尽管此时带有不断衰减的循环。
第7节 高阶线性微分方程
• 高阶微分方程
Y 2Y 0, 2 0 K K
Y 2Y 0, 2 0 L L
一次齐次（规模报酬不变）性
Y ( K , L) Y ( K , L)
人均项目表示为
y (k )
净投资：
K I K S K sY K
同除 L 可得
• 瓦尔拉斯均衡
• 马歇尔
• 瓦尔拉斯线性模型：
动态调整过程 dP (QD QS ) dt 代入可得
QD aP QD bP
0
dP (a b) P ( ) dt
为常系数的一阶线性微分方程，一特解（潜在均衡点）为
P
• 情形2：相等实根 辅助方程有相等实根m1 m2 r ，则该齐次方程的通解为
y (c1 c2 x)e
rx
• 情形3：共轭复根 辅助方程根为共轭复根m1 a bi 和 m2 a bi ，齐次方程 的通解为
y eax (c1 cos bx c2 sin bx)t
其中 为任意常数而g (b a) 当且仅当 g 0时 P(t ) P ，因 0 条件即为b a 在正常商品时，供给曲线不后仰，条件满足 • 马歇尔供求函数： Q
c
PD
a Q PS b b
a
其中 y1 不是 y 2的常数倍，则该方程的通解为 y c1 y1 c2 y2 ， 其中 c1 , c2 为任意常数 • 定义 m2 pm q 0 • 辅助方程:
高等数学：第九章 常微分方程1-2
设在微小的时间间隔 [t, t t], o
100 cm
水面的高度由h降至 h h, 则 dV r 2dh,
r 1002 (100 h)2 200h h2 ,
dV (200h h2 )dh,
(2)
比较(1)和(2)得: (200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
28
(200h h2 )dh 0.62 2ghdt,
解 设制动后 t 秒钟行驶 s 米, s s(t)
d 2s dt 2 0.4
t 0时, s 0,v ds 20, dt
v
ds dt
0.4t
C1
s 0.2t 2 C1t C2
代入条件后知 C1 20, C2 0
7
例 2 列车在平直的线路上以 20 米/秒的速度行驶,
当制动时列车获得加速度 0.4 米/秒 2,问开始制动
其中c1, …,cn是n个独
立的任意常数，则称y是F=0的一个通解。
例： y=x2+C是方程y'=2x 的通解.yBiblioteka x2 2C1x C2
是
方程y"=1的通解.
y
y=x2+C
独立：C1 C2 x C3 x 2 不独立：C1x C2 x (C1 C2 )x Cx
0
x
15
5. 特解： 不包含任何常数的解.
隐函数的形式Φ(x,y;c1, …,cn)=0,给出， 把Φ(x,y;c1, …,cn)=0称作方程的通积分。
求微分方程满足某些条件的特解。即
9. 初值问题：求出方程F(x, y, y‘, …, y (n) ) = 0满足
初始条件的解。其中x0,y0,y1,…,yn-1是
已知常数。y(x0 ) y0,
数值分析 第9章 常微分方程初值问题数值解法
9 .2 .2 梯形方法/* trapezoid formula */— 显、隐式两种算法的平均 为得到比欧拉法精度高的计算公式, 在等式( 2.4) 右端积分 中若用梯形求积公式近似, 并用yn 代替y ( xn ) , yn+1 代替y ( xn+1 ) ,则得
h yn 1 yn [ f ( xn , yn ) f ( xn 1 , yn 1 )], 2
yn 1 yn f ( xn , yn ), xn 1 xn
即 yn+1 = yn + hf ( xn , yn ) . ( 2 .1)
这就是著名的欧拉( Euler ) 公式.
• 若初值y0 已知, 则依公式( 2.1)可逐步算出
• y1 = y0 + hf ( x0 , y0 ) ,
为了分析迭代过程的收敛性, 将( 2. 7) 式与(2. 8 )式相减, 得
h ( k 1) (k ) yn 1 yn [ f ( x , y ) f ( x , y 1 n 1 n 1 n 1 n 1 )] 2
于是有
| yn 1 y
( k 1) n 1
hL (k ) | | yn 1 yn 1 |, 2
| f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) | L | y1 y2 |, y1, y2 R,
定理1 设f在区域Ｄ＝{(x,y)|a≤x ≤b,y∈R}上连续， 关于y满足利普希茨条件，则对任意x0 ∈[a,b], y0 ∈R，常微分方程初值问题(1.1)式和(1.２)式当x ∈[a,b]时存在唯一的连续可微解y(x). 定理２ 设f在区域Ｄ上连续，且关于y满足利 普希茨条件，设初值问题
1 2 1 2 dy x ydy xdx y x c 2 2 dx y y (0) 2 y2 x2 4
第9章 常微分方程初值问题数值解法
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
《常微分方程》中介绍的微分方程主要有:
(1)变量可分离的方程 (2)一阶线性微分方程(贝努利方程) (3)可降阶的一类高阶方程 (4)二阶常系数齐次微分方程 (5)二阶常系数非齐次微分方程 (6)全微分方程 本章主要介绍一阶常微分方程初值问题的数值解法。
进一步: 令
y n1 y n
xn 1 xn
y n 1 y( x n 1 ) , y n y( x n )
f ( x , y( x ))dx h f ( x n , y n )
宽
9
高
实际上是矩形法
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
(3)
用Taylor多项式近似并可估计误差
解决方法：有的可化为显格式，但有的不行 18
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
与Euler法结合，形成迭代算法 ，对n 0，2， 1，
( yn0 )1 yn hf x n , yn ( k 1) h ( yn1 yn f x n , yn f x n1 , ynk )1 2
7
数值分析
第9章 常微分方程初值问题数值解法
建立数值解法的常用方法
建立微分方程数值解法,首先要将微分方程离散 化. 一般采用以下几种方法: (1) 用差商近似导数
dy yx yx x x dx x y
n 1 n n 1 n
n
,
n
进一步: 令
yn1 y( xn1 ) , yn y( xn )
由 x0 , y0 出发取解曲线 y y x 的切线（存在！），则斜率
常微分方程数值解法
ρ ρ
n+1 n
≤1
三、梯形公式
由 分 径 y ( xn+1) = y ( xn) + 积 途 ： xn+1
∫
f ( x, y)dt
（
积分 梯形 式 且令：yn+1 = y( xn+1), yn = y( xn) 用 公 ， h 则 yn+1 = yn + ( f (xn , yn) + f (xn+1 , yn+1)) 得： 2
第九章 常微分方程数值解法
§1 、引言
一 常 分 程 初 问 : 阶 微 方 的 值 题 dy dx = f (x, y) y( x0) = y0
'
a ≤ x ≤b
2 y 例 : 方 程 xy -2 y = 4 x ⇒ y = + 4 x 2 y 令 ：f ( x , y ) = + 4 且 给 出 初 值 y (1 )= -3 x 就 得 到 一 阶 常 微 分 方 程 的 初 值 问 题 ： 2 y dy = f (x, y) = + 4 dx x y(1) = − 3
n n n n n 2 // n n+1
~
y
n+1
= yn + hf ( xn, yn ) = y(xn) + hf
n+1
~
y
n+1
( x , y( x ))
n n
则 T = y( x ) − = h y (ξ ) x y 2 ~
// n+1 n+1
2
n
< ξ < xn+1
令
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第九章 常微分方程（1、2）陈建英 主编第一节 微分方程的基本概念（1、2）教学目的：理解微分方程、方程的阶，方程的解、通解、初始条件和特解概念。
教学重点、难点： 微分方程的概念。
方程的通解与特解异同。
教学形式：多媒体教室里的讲授法 教学时间：90分钟 教学过程一、引入新课初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。
这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。
方程的定义：含有未知数的的等式。
它表达了未知量所必须满足的某种条件。
根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。
20ax bx c ++= （一元二次方程） 214211x x x x -=++- （分式方程）= （无理方程）对未知量x 施行的是代数运算。
因此它们是代数方程。
而方程2sin3cos 3sin 20x x x -+-= （三角方程） 1272214x x x x ---++= （指数方程）2lg(1)2lg(3)ln 20x x +-++=（对数方程）对未知量x 所施行的是超越函数运算。
因此是超越方程。
二、新授课1。
微分方程的定义：含有未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，称为微方程如果未知函数是一元函数，则其满足的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数，其导数就是偏导数，则其所满足的微分方程式称为偏微分方程。
例如，22;d yx y x dx=+=dx 和是常微分方程dyzxy x∂=∂是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。
一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '=例如：2354()0y x y x '+-=，2()20dy dyx y x dx dx-+=都是一阶微分方程。
二阶微分方程的一般形式为 (,,,)0F x y y y '''= 例如：222sin 0d y dyyx dx dx-+=，2223()(2)y k y '''=+都是二阶微分方程。
类似可写出n 阶微分方程的一般形式 ()(,,,,)0n F x y y y y '''=。
其中F 是n +2个变量的函数。
这里必须指出，在方程()(,,,,)0n F x y y y y '''=中，()n y 必须出现，而,,,x y y '(1),n y y -''等变量可以不出现。
例如()()n y f x =也是n 阶微分方程。
例1 课堂练习：P1982）．指出下列方程中哪些是微分方程，并说明它们的阶数：122222222(1) 0; (2) 2;(3) sin 0; (4) 3;(5) '''3; (6) ;(7) '''(')0. t dy y dx y y x d yxdy y xdx y e dt yy y x dy dx x yxy y -==++=+=+==+-=2。
微分方程的解能够满足微分方程的函数都称为微分方程的解 求微分方程的解的过程，称为解微分方程例如，函数3x 16是微分方程22d yx dx=的解。
如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。
通解即为在一定范围内就是方程的所有解的一个共同表达式。
例如 312x C x C ++1y=6是微分方程22d yx dx=的通解。
在通解中，利用附加条件确定任意常数的取值，所得的解称为该微分方程的特解，这种附加条件称为初始条件，例如微分方程22d y x dx=，初始条件'(0)1,(0)2y y ==，则满足初始条件的特解为321x x ++1y=6。
带有初始条件的微分方程称为微方程的初值问题。
微分方程的通解不一定包含所有的解，不在通解中的解称为奇解。
由于微分方程的解是通过积分而获得的，所以我们也把微分方程的解称为微分方程的积分曲线，把通解称为微分方程的积分曲线族。
微分方程的解根据函数的形式可分为显式解和隐式解。
例2 P1943）验证下列函数(其中C 为任意常数)是否是相应的微分方程的解，是通解还是特解：222(1) '2,,; (2) '',sin ,3sin 4cos ; (3) 2,,.x x xy y y Cx y x y y y x y x x dy y y e y Ce dx====-==-===如果微分方程中关于未知函数及其导数()(),"(),...,()n t x t x t 'x(t),x 是一次有理整式，则称方程是线性的，称它是n 阶线性微分方程，一般形式为：(1)'11()()()()()()()()n n n t a t x t a t x t a t x t f t --++⋅⋅⋅++=(n)x如果≡f(t)0，则称为n 阶线性齐次方程；否则称为线性非齐次方程，这时称f(t)为线性方程的非齐次项。
如果微分方程不是线性的微分方程，则称为非线性方程。
三、小结微分方程定义及概念：微分方程的阶，通解，特解， 四、练习课堂完成P194选择题1第九章 常微分方程（3、4）第二节 如何建立微分方程（1）（视情况加成两节课） 第三节 微分方程的求解（2）（视情况加成两节课）教学目的：学会建立微分方程和掌握可分离变量微分方程的解法。
教学重点、难点：建立微分方程，可分离变量方程的解法，会用常微分方程解决一些简单的实际问题。
教学形式：多媒体教室里的讲授法 教学时间：90分钟 教学过程一、引入新课课堂提问：微分方程的定义，微分方程的阶、通解和特解的概念 二、新授课1。
微分方程的建立建立微分方程的基本思想是,把研究的问题中已知函数和未知函数之间的关系找出来,从列出的包含未知函数的一个或几个方程中去求得未知函数的表达式.建立微分方程属于构建数学模型的范畴,建立起实际问题的数学模型一般比较困难,因为这需要对与问题有关的自然规律有一个清晰的了解,同时也需用要有一定的数学知识.微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模型.我们在建立微分方程的时候 ,只能考虑影响这个物理现象的一些主要因素,而把其他的一些次要因素忽略掉,如果说的确考虑到了那些最主要的因素,那么我们所得到的微分方程,它的解与所考虑的物理现象比较接近的.例1 设曲线过点（1，2），且在该曲线上任意点M （,x y ）处的切线斜率为2x ，求此曲线方程。
解：设所求曲线为()y f x =，由导数的几何意义，()y f x =满足关系式2dyx dx=或2dy xdx = 又因曲线经过（1，2），即所求曲线应满足12x y==，对此关系式的两边积分得：22y xdx x C ==+⎰（其中C 是任意常数）221,1C C =+= 则所求的曲线方程为 21y x =+例 2 放射性元素轴由于不断有原子放射出微粒子变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变。
由原子物理学知道，铀的衰变束率与当时未衰落变的原子的含量M 成正比。
已知t = 0时铀的含量为0M ，求在衰变过程中铀的含量M(t)随时间t 变化的规律。
解： 铀的衰变速率就是铀的含量M(t)对于时间的变化率，即dMdt。
由于铀的衰变速率与其含量成正比，设比例常数为(0)λλ>，故有M λ=-dMdt其中，等式右边的负号是由于在衰变过程中M(t)是单调减少的，从而有0<dMdt的缘故。
根据题意，初值条件为0M =t=0M| 。
例3 连续价格调整模型假设需求函数a bp =-D Q ，供给函数c dp =+sQ ，其中,,,0a b c d >。
一般地，如果需求大于供给，则价格上升；如果需求小于供给，则价格下降，于是，价格调整模型为(),0D s a Q Q a =->dpdt 即 ()(),0a b d p a a c a ++=->dpdt例4 研究悬挂重物的弹簧的振动。
假设弹簧的质量与重物的质量相比是很小，以至于可以略去不计，试建立其微分方程。
解： 当质量为m 的重物静止不动时，它所受到的两个力，即重力mg 和弹簧的恢复力，互相平衡。
如果把它向下拉（或向上推）一小段距离x ，然后放手。
根据常识，知道重物将作上下振荡动若干次，振幅愈来愈小，最后仍归于静止。
今取x 轴的正方向铅直向下，取重物静止不动时其重心的位置为x=0。
在振动过程中，重物受到三个力的作用：（1）重力mg ，方向向下；（2）弹簧的恢复力mg+cx ，其中c>0是弹簧的刚度，即把它拉长一个单位长度所需用的力。
这个力的方向要看mg+cx>0还是mg+cx<0而定。
在前一情况，弹簧的长度比没有悬挂重物时要长，因此恢复力方向向上；在后一情况则相反，恢复力向下；（3）空气阻力。
根据实验知道空气阻力的大小与重物运动的速度成正比，而方向与运动方向相反。
这样，应用牛顿第二定律，得2()x dxmg mg cx a dt dt =-+-2d m即 2x dxcx a dt dt=--2d m其中0a >称为阻尼系数2。
可分离变量的微分方程（1）可分离变量的微分方程：形如()()f x g y =dydx称为可分离变量的微分方程，其特点是方程的左端可分离为只含x 的函数f(x)与只含y 的函数g(y)的乘积。
（2）可分离变量的微分方程的求解步骤： 第一步 分离变量为 g(y)dy =f(x)dx第二步 将上式两端积分得： =⎰⎰g(y)dy f(x)dx设G(y).F(x)分别为g(y)、f(x)的原函数，则得微分方程()()f x g y =⋅dydx的通解为 ()()G y F x C =+例1 求解微分方程x y=-dy dx 例2 求微分方程2=dyxy dx的通解 例3 求微分方程)0dy xydx +=2(1+x 的通解sin x 2x=0dy 例4 求方程=y 满足初始条件y|=-1的特解dx在求解微分方程时，一般都会遇到求解不定积分，而有些不定积分虽然是存在的，却不能用初等函数表达所求的结果，通常称为“积不出”，因此，并非所有的微分方程都能求出精确解，我们只能求解一些特殊的微分方程，如可分离变量的微分方程等等，微分方程的应用广泛，数学家提出了许多求微分方程数值（近似解）的方法，在实际应用中发挥了很大作用。
三、小结建立微分方程；解可分离变量的微分方程。