激光原理第三章

2iq(kz)q(kz2)2(x2 y2)
2i
dPd(zz)q(kz2)2
x2
y2
dqd(zz)0
(3-1-5)
将x和y的同次幂项合并在一起得:
[
q
k2 2(z
)
dq( z ) dz
q
k2 2(z
)
](
x
2
y2)
[2i
k q(z)
2k
dP( z ) ] dz
0
欲使该式对 x 和 y 的任何值都成立,要求x和y同次幂的系数之和分别等于零. 结果可得
2 ]
利用（3-1-11）式，则上式可写成：
2
(
z)
02[1
( z 02
)2
]
（3-1-15）
再将（3-1-14）式中的第二个指数因子中 的有关项写成：
R(z)=
1 z
( z 2 + z02 )
= z [ 1 + ( 02 )2 ] z
（3-1-16）
根据第二章第七节可以清楚滴了解（3-1-15）式和（3-1-16）式的物理意义。 现在讨论（3-1-7）式的解，把（3-1-8）式代入（3-1-7）式，表示P（z）与q（z）的关系
z 02
)]
=
0 (z
)
exp[i
arctan(
z
)]
(3-1-20)
将(3-1-20) ,(3-1-14) 代入(3-1-2) 式, 并考虑到前面所作的各种定义 , 求得波动方 程的解:
u0 (
x,y,z) =
{
0 exp [(z)
2(rz)2] }
exp{
-
i
[
k
z
-
arc
tan
(
z 02
下列两个简单的常微分方程:
dq( z ) dz
1
dP(
z)
i
dz
q(z)
由（3-1-6）式与其他参量无关，所以先讨论
它的解及其含义。它的解很简单：q(z) q0 z
(3-1-6) (3-1-7) （3-1-8）
场的相对振幅 1 Z=0
0.368 0
r
图3-1-1 场在横向平面上的变化
q 0 是 z = 0 处的复光束参数, 适当选择 z =0 ,就可消去q 0 的实部,因此q 0为虚数, 令 q 0 = i z 0 上式可写为:
)]}
exp [ - i k r 2 ]
2 R(z)
径向相位
振幅因子
纵向相位
(3--1--21)
（3-1-21）式是波动方程（3-1-22）式的一个特解，叫做基模（TEM00）高斯光束。光束参 数基R模（高z斯）光表束示的等性相质面，的包曲括率场半分径布，及w传(z)输表特示点光，斑主半要径由，下arc面tan三个wz02参 数决表定示：附加相位。由该式可见
u0 k 2 u0 0
(3-1-1)
这里标量u0 表示相干光的场分量,式中u0与电场强度的复表示u之间的关系为:
u u0eit
(3-1-2)
可以证明它不是上述亥姆霍兹方程的精确解,它是在缓变振幅近似下的一个特解,它可被 表示为:
u0 (x, y, z)eikz
这里 ( x , y , z ) 可看成是振幅函数,一般是一个沿z轴缓慢变化的复函数.
第三章 高斯光束 一、高斯光束的基本性质 二、高斯光束的传输 三、高斯光束通过薄透镜的变换 四、高斯光束的聚焦 五、高斯光束的自再现变换和ABCD定律在光学谐振腔中的应用 六、高斯光束的匹配 七、高斯光束的准直
第一节 高斯光束的基本性质
一、波动方程的基模(TEM00模)高斯光束 在标量近似下稳态传播的电磁场满足的赫姆霍茨方程：
dP(z) i i
dz
q(z) z q0
（3-1-17）
上式关于参数P的解为：
则上式成为
ip
z
z 0
z
dz q0
ln
z
q0
ln
q0
Piln(1qz0)
将（3-1-12）代入（3-1-18）式，得：
iP(z) ln[1 i(z02 )]
现在我们利用关系式:
（3-1-18) (3-1-17)
2 2
x2 y2 2ik z 0
设该方程的试探解:
exp{i[P(z) k (x2 y2 )]}
2q(z)
(3-1-3) ( 3-1-4)
P(z)为与光波传输有关的复相移, q(z)是复光束参数, 即复曲率半径,表示光强距离轴距 离r呈高斯变化,也表示xy平面上的相移,将(3-1-4)代入(3-1-3)式得：
q(z) z iz0
（3-1-9）
将（3-1-9）式代入 （3-1-4）式 , 并令 z=0, 得 z=0 处基模的振幅分布:
0
(z
0)
exp(
kr 2 2z0
)
exp[ip(z
0)]
（3-1-10）
第一指数项是实数，当 r2 2z0 k时,振幅下降到中心值
的 1 e 0.368 ,此时的 r 值定义为光斑尺寸 (光斑半径) , 用0
u0
x,
y,
z
{
w0
wz
exp
r w2
2
z
exp
ikz
z arc tan(w02
)
exp[i
kr2 ]
2R(z)
2
2
wz w0
1
z w02
w0
1
z z0
与轴线交于z点的等相平面
上的光斑半径
R(z)
z(1
w
2 0
)
z[1
( z0
)2 ]
z
z
z0
w
2 0
基模光束腰 斑半径
与轴线相交于z点的高斯光
表示, 则：
02
2z0 k
z0
,
z0
02
(3-1-11)
如图3-1-1
q0
i02
(3-1-12)
在任意 z 处, q 值按 3--1--7 式变化,下面讨论 q 的倒数
1 q(z)
1 z iz0
z2
z
z02
i
z0 z 2 z02
(3-1-13)
将（3-1-13）代入（3-1-4）可
得：
{exp[
2(
kz0r z2
2
z02
)
]}{exp[
2(
ikzr 2 z2 z02
)
]}{exp[iP(
z)]}
（3-1-14）
r 在上式的第一个指数因子中，乘以 2 的项是一个标度的长度，并把它称为光束的光斑
尺寸，它是Z的函数：
2 (z)
2 kz0
(z2
z02 )
2z0 k
[1
z z0
束等相位面的曲率半径
二、基模高斯光束的性质
1、振幅：在横截面内的场振幅分布按高斯函数所描述的规律从中心向外平滑降落。光 斑半径随z的变化规律为：
wz w0
1
z
w
2 0
2
w0
1
z z0
1
z i(02
)
[1
z (02
)2
]1/
2
exp[i
arctan(
z 02
)]
求出 P (z) 的实部和虚部:
iP( z )
ln[1
(
z 02
)2
]1/ 2
i
arctan(
z 02
)
(3-1-19)
这样,我们感兴趣的指数项变为:
exp[iP( z )]
[1
1
(z02
)2 ]1/ 2
exp[i
arctan(