武汉市圆的中考解题思路及变式探究
2015年中考题解题思路及变式探究
（2015武汉中考）如图，AB是⊙O的直径，∠ABT=45°，AT=AB.
（1）求证：AT是⊙O的切线；
（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值.
〖方法探究〗
〖变式探究〗
变式一：连接OT，求tan∠BTO的值；
变式二：连接BC，求tan∠BCO的值；
变式三：BT交⊙O于点M,TO的延长线交⊙O于点E，连接ME,求tan∠BME的值；
变式四：连接BC,求tan∠TBC的值.
2014年中考题解题思路及变式探究
（2014武汉中考）如图，AB是⊙O的直径，C，P是上两点，AB=13，AC=5.
（1）如图1，若点P是的中点，求PA的长；（2）如图2，若点P是的中点，求PA的长. 〖方法探究〗
〖变式探究〗
变式一：若点P是的中点，求CP的长；
变式二：若点P是的中点，求CP的长；
变式三：连接BC,交AP于点F,求AF和PF的长.
圆与勾股定理及三角函数的结合
〖方法提炼〗
运用勾股定理及求锐角三角函数值的关键是设法将锐角转化到直角三角形中.
〖典例精讲〗
〖例〗（课本124页13题改）如图，AB 是⊙O 的直径，=,D
是半圆上一点，AB=10，AD=8
，AE 平分∠BAD 交CD 于E ，连接CB.
（1）求证：CE=CB ；
（2）求；
（3）连接AE ，求cos ∠AEC
〖典题精练〗
1、如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为⊙O 的弦，且AB ⊥CD 于E ，F 为上一点，BF 交CD 于G ，
FH 切⊙O 于点F ，交CD 的延长线于H.
（1）求证：FH=GH ；
（2）若AB=2FH=10,tan ∠FGH=2，求AG 的长.
2、已知AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上的动点,P 是优弧
的中点.
(1)如图1,求证:OP ∥BC
(2)如图2,若tan ∠A=1/2.,求tan ∠ABC 的值.
(3)如图3，在(2)的条件下，求tan ∠BOC 的值 ADE S △。
2024年中考数学答题技巧与模板构建—与圆有关的计算
2024年中考数学答题技巧与模板构建—与圆有关的计算模型01阴影部分面积计算求阴影部分面积在考试中主要考查学生对图形的理解和数形结合的认识能力具有一定的难度.一般考试中选择题或填空题型较多，熟练掌握扇形面积、弧长的计算、等边三角形的判定和性质，特殊平行四边形性质是解题的关键．模型02阴影部分周长计算求阴影部分弧长或周长的计算，掌握弧长计算方法是正确计算的前提，求出相应的圆心角度数和半径是正确计算的关键．该题型一般考试中选择题或填空题型较多，圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=360πR2或S扇形=12lR（其中l为扇形的弧长）．熟练应用公式是解题的关键.模型03与最值相关的计算阴影部分面积和周长中求最值，此题有一定的难度，解题中注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．本题考查中经常与轴对称--最短路线问题、勾股定理、等边三角形的判定和性质、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识点相结合，解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为数学模型，把两条线段的和转化为一条线段，属于中考选择或填空题中的压轴题.模型01阴影部分面积计算考｜向｜预｜测阴影部分面积计算问题该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主.解这类问题的关键是将所给问题抽象或转化为规则图形的面积进行求解，属于中考选择或填空题中的压轴题.｜｜｜例1．（2023·四川）一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD 中，6cm AB =，4cm BC =，以点A 为圆心，AD 为半径作圆与BA 的延长线相交于点F ，则阴影部分的面积是（）A ．2(4π4)cm +B ．2(4π8)cm +C ．2(8π4)cm +D ．2(4π16)cm -【答案】A 【详解】解：由题意知4cm AF AD BC ===，10cm BF AF AB =+=，阴影部分的面积211π42S AB BC AD BF BC =⋅+-⋅21164π410442=⨯+⨯-⨯⨯244π20=+-4π4=+，故选A ．例2．（2023·湖北）如图，在ABC 中，90A ∠=︒，3,6,AB AC O ==是BC 边上一点，以O 为圆心的半圆分别与,AB AC 边相切于,D E 两点，则图中两个阴影部分面积的和为．【答案】5π-/5π-+【详解】解：如图，连接OD ，OE ，以O 为圆心的半圆分别与,AB AC 边相切于,D E 两点，∴OD AB ⊥，OE AC ⊥，90A ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形，又 OD OE =，∴四边形ADOE 是正方形，∴AD DO OE AD ===，90DOE ∠=︒，90A OEC ∠=∠=︒，ACB ECO ∠=∠，∴ACB ECO ∠ ∽，∴AC AB EC EO=，设AD DO OE AD r ====，则6EC AC AE r =-=-，∴636r r=-，解得2r =，∴2AD DO OE AD ====，90DOE ∠=︒，∴DOB 和EOC △所包含扇形的面积之和为：22180901ππ2π3604r ︒-︒⨯=⨯=︒，∴图中两个阴影部分面积的和为：21π362π5π2ABC ADOE S S --=⨯⨯--=- 正方形，故答案为：5π-．模型02阴影部分周长计算考｜向｜预｜测阴影部分弧长或周长计算该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查求与弧结合的不规则图形的周长，准确应用弧长公式是解题的关键.但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求规则图形的长度问题.｜｜｜例1．（2023·河北）如图，正方形ABCD 的边长为2，分别以B ，C 为圆心，以正方形的边长为半径的圆相较于点P ，那么图中阴影部分①的周长为，阴影部分①②的总面积为．【答案】2π+23π【详解】解：连接PB 、PC ，作PF BC ⊥于F ，2PB PC BC === ，PBC ∴△为等边三角形，60PBC PCB ∴∠=∠=︒，30PBA ∠=︒，∴sin 602PF PB =⋅︒==，∴阴影部分①的周长 AP BPl l AB =++3026022180180ππ⨯⨯=++2π=+阴影部分①②的总面积()2BPC ABP BPC S S S ⎡⎤=--⨯⎣⎦ 扇形扇形223026021223603602ππ⎡⎤⎛⨯⨯=-⨯⨯⨯⎢⎥ ⎝⎣⎦23π=，，故答案为：2π+；23π．例2．（2023·浙江）如图，正方形ABCD 中，分别以B ，D 为圆心，以正方形的边长a 为半径画弧，形成树叶形（阴影部分）图案，则树叶形图案的周长为．【答案】aπ【详解】解： 四边形ABCD是正方形，边长为a，AB CB AD CD a∴====，90B D∠=∠=︒，∴树叶形图案的周长902180a aππ⋅=⨯=．故答案为：aπ．模型03与最值相关的计算考｜向｜预｜测圆的弧长与面积和最值相关的计算主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压轴题的形式考查，学生不易把握.该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主要考查轴对称－－－最短路径问题、勾股定理、三角形及平行四边形的判定与性质，要利用“两点之间线段最短”“点到直线距离垂线段最短”等，但许多实际问题没这么简单，需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题，进而解决求阴影部分的最值问题.｜｜｜例1．（2023·江苏）如图，点C为14圆O上一个动点，连接AC，BC，若1OA=，则阴影部分面积的最小值为（）A ．31444π--B ．142π-C ．242π-D ．184π-【答案】C【详解】解：连接AB ，OC '，AC '，BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足ABC 的面积最大即可，从而可得当点C 位于弧AB 的中点C '时，ABC 的面积最大，连接OC '，则OC AB '⊥于D ，221112222OD AB +∴===，212DC OC OD ''∴=-=-，221111212222AOB ABC AOBC S S S ''⎛∴=+=⨯⨯+⨯⨯-= ⎝⎭ 四边形 扇形AOB 的面积29013604ππ⨯==，∴阴影部分面积的最小值242π=，故选：C ．例2．（2022·浙江）如图，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，42P 的坐标为（2，2），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值为（）A ．8πB ．323πC ．8π﹣16D ．32833π-【答案】D【详解】解：由题意当OP ⊥A'B'时，阴影部分的面积最小，∵P （2，2），∴OP 2222+2，∵OA '=OB '=42∴PA'=PB ()()2222422226OB OP --=，∴tan ∠A'OP =tan ∠B'OP 26223，∴∠A'OP =∠B'OP =60°，∴∠A'OB'=120°，∴S阴=S 扇形OA'B'-S △A'OB''=(212013236023ππ-- ，故答案为：D ．例3．（2023·吉林）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，以AB 直径作圆，P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，则图中阴影部分周长的最小值为．【答案】483π+【详解】解：如图，连接CE ，连接BP∵P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，∴点C 和点B 关于直线DE 对称，∴CP BP =,∴AP CP AP BP+=+∴当动点P 与点E 重合时AP BP +最小，此时AP CP +最小，∵90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，4AC =，∴28AB AC ==，4AE =,∴CP AP AC ==，∴ACP △是等边三角形，∴60APC ∠=︒，∵8AP CP AP BP AB +=+==，∴阴影部分的周长最小值为6044881803ππ︒⨯⨯+=+︒.故答案为483π+.1．（2023·江苏）如图，在Rt ABC △中，9034A AB AC ∠=︒==,,，以O 为圆心的半圆分别与AB AC 、边相切于D E 、两点，且O 点在BC 边上，则图中阴影部分面积S =阴（）A ．12B ．π3C ．35π4-D ．15036π4949-【答案】D 【详解】解：连接,OD OE ，设O 与BC 交于M 、N 两点，∵AB AC 、分别切O 于D 、E 两点，∴90ADO AEO ∠=∠=︒，又∵90A ∠=︒，∴四边形ADOE 是矩形，∵OD OE =，∴四边形ADOE 是正方形，∴90DOE ∠=︒，∴90DOM EON ∠+∠=︒，设OE x =，则AE AD OD x ===，4EC AC AE x =-=-．∵,90C C CEO A ∠=∠∠=∠=︒，∴COE CBA ∽，∴CE OE CA AB =，∴443x x -=，解得127x =，∴()ABC ADOE DOM EON S S S S S =--+ 阴影正方形扇形扇形22129011273427360π⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯⨯-- ⎪⎝⎭150364949π=-．故选D．2．（2022·湖北）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、F ．若圆半径为2．则阴影部分面积（）．A ．13πB ．43πC ．23πD 3-【答案】C【详解】解：连接OD ，OF ．∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠DAB ＝∠DAC ，∵OD ＝OA ，∴∠ODA ＝∠OAD ，∴∠ODA ＝∠DAC ，∴OD ∥AC ，∴∠ODB ＝∠C ＝90°，∴S △AFD ＝S △OFA ，∴S 阴＝S 扇形OFA ，∵OD ＝OA ＝2，AB ＝6，∴OB ＝4，∴OB ＝2OD ，∴∠B ＝30°，∴∠A ＝60°，∵OF ＝OA ，∴△AOF 是等边三角形，∴∠AOF ＝60°，∴S 阴＝S 扇形OFA ＝26022=3603p p .故选：C ．3．（2023·安徽）如图是某芯片公司的图标示意图，其设计灵感源于传统照相机快门的机械结构，圆O 中的阴影部分是一个正六边形，其中心与圆心O 重合，且AB BC =，则阴影部分面积与圆的面积之比为（）A ．338πB ．32πC ．3πD ．239π【答案】B【详解】解：如图所示，连接OA ，OB ，OC设正六边形的边长为1，则1OA =，60AOB ∠=︒，OA OB=∴AOB 为等边三角形，则60BOA OBA ∠=∠=︒，1OA OB AB ===，2AC =，∴BCO BOC ∠=∠，又∵ABO BCO BOC ∠=∠+∠，∴30BCO BOC ∠=∠=︒，则=90AOC ∠︒，∴OC所以圆的面积为3π，正六边形的面积为1166sin 6061122AOB S AB OA =⨯⋅⋅︒=⨯⨯⨯△则阴影部分面积与圆的面积之比为232ππ=，故选：B ．4．（2022·广西）如图所示，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，4为半径的圆，点P，弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值等于（）A ．2π﹣4B ．4π﹣8C ．83π-D ．163π-【答案】D 【详解】由题意当OP ⊥AB 时，阴影部分的面积最小，∵P ），∴OP=2，∵OA=OB=4，∴∴tan ∠AOP=tan ∠∴∠AOP=∠BOP=60°，∴∠AOB=120°，∴S 阴=S 扇形OAB ﹣S △AOB =2120·41-23602π⨯=163π，故选D ．5．（2023·山东）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于AB 、两点，分别以AB 、两点为圆心，画与x 轴相切的两个圆，若点A 的坐标为（2，1），则图中两个阴影部分面积的和是（）A ．12πB ．14πC ．πD ．4π【答案】C【详解】解：∵点A 的坐标为（2，1），且⊙A 与x 轴相切，∴⊙A 的半径为1，∵点A 和点B 是正比例函数与反比例函数的图象的交点，∴点B 的坐标为（-2，-1），同理得到⊙B 的半径为1，∴⊙A 与⊙B 关于原点中心对称，∴⊙A 的阴影部分与⊙B 空白的部分完全重合，∴⊙A 的阴影部分与⊙B 空白的部分的面积相等，∴图中两个阴影部分面积的和=π•12=π．故选C ．6．（2023·山西）如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，30B ∠=︒，点O 在AB 上，以O 为圆心作圆与BC 相切于点D ，与AB 、AC 相交于点E 、F ；连接AD 、FD ，若O 的半径为2．则阴影部分面积为（）A ．13πB ．43πC ．23πD ．233π【答案】C【详解】解：连接OD ，OF ．∵O 与BC 相切，∴90ODB ∠=︒.∵90C ∠=︒，∴ODB C ∠=∠，∴OD AC ∥，∴.AFD OFA S S = ，∴OFA S S =阴影扇形，∵30B ∠=︒，∴60BAC ∠=︒，∵OF OA =，∴AOF 是等边三角形，∴60AOF ∠=︒，∴260223603OFAS S ππ⋅⋅===阴影扇形．故选C ．7．（2023·黑龙江）如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，4AC BC ==，分别以点A ，B 为圆心，AC ，BC 的长为半径作圆，分别交AB 于点DE ，则弧CD 弧CE 和线段DE 围成的封闭图形（图阴影部分）的面积（结果保留π）【答案】4π8-【详解】解：∵904ACB AC BC ∠=︒==，，∴14482ABC S =⨯⨯=△，24542360CAD S ππ⨯==扇形，()282164S ππ=⨯-=-空白，∴()816448ABC S S S ππ=-=--=- 阴影空白，故答案为：48π-．8．（2022·河南）在矩形ABCD 中，4,AB AD ==，以BC 为直径作半圆（如图1），点P 为边CD 上一点．将矩形沿BP 折叠，使得点C 的对应点E 恰好落在边AD 上（如图2），则阴影部分周长是．4+/4【详解】解：设阴影部分所在的圆心为O ，如图，连接OF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =∠A =90°，由折叠得，BE BC ==∵4,AB =∴4AE ==∴,AB AE =∴1(18090)452ABE AEB ∠=∠=︒-︒=︒∴90904545,OBE ABE ∠=︒-∠=︒-︒=︒∵OB OF=∴45OBF OFB ∠=∠=︒∴180454590BOF ∠=︒-︒-︒=︒∴ BF 的长=90180π⨯=，4BF =，∴阴影部分周长4+4+．9．（2022·内蒙古）如图，在Rt AOB 中，90AOB ∠=︒，以O 为圆心，OB 的长为半径的圆交边AB 于点D ，点C 在边OA 上且CD AC =，延长CD 交OB 的延长线于点E ．(1)求证：CD是圆的切线；(2)已知4sin5OCD∠=，5AB=AC长度及阴影部分面积．【答案】(1)证明见详解；(2)AC=3，阴影部分面积为50-43π．【详解】（1）证明：连接OD∵OD=OB∴∠OBD=∠ODB∵AC=CD∴∠A=∠ADC∵∠ADC =∠BDE∴∠A =∠EDB∵∠AOB =90°∴∠A +∠ABO =90°∴∠ODB +∠BDE =90°即OD ⊥CE ，又D 在o 上∴CD 是圆的切线；（2）解：由（1）可知，∠ODC =90°在Rt △OCD 中，4sin 5OD OCD OC ∠==∴设OD =OB =4x ，则OC =5x ，∴3CD x ===∴AC =3x∴OA =OC +AC =8x在Rt △OAB 中：222OB OA AB +=即：()()(22248x x +=解得1x =，（-1舍去）∴AC =3，OC =5，OB =OD =4在Rt △OCE 中，4sin 5OE OCD CE∠==∴设OE =4y ，则CE =5y ，∵222OE OC CE +=()()222455y y +=解得53y =，（53-舍去）∴2043OE y ==219012050-5-4-42360233OB S OE OC πππ⋅=⋅=⨯⨯=阴影∴阴影部分面积为50-43π．1．如图，在以点O 为圆心的半圆中，AB 为直径，且AB=4，将该半圆折叠，使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，则图中阴影部分面积为（）A ．3πB ．23πC ．3πD ．23π【答案】D 【详解】∵AB 是直径，且AB=4，∴OA=OE=2，∵使点A 和点B 落在点O 处，折痕分别为EC 和FD ，∴AC=OC=OD=DB=1，∴CD=2，=∴△EOF 是等边三角形，∴∠EOF=60°，S半圆=21222=ππ⨯，S 长方形CDFE =2∴S 阴=S 长方形CDFE -(S 半圆-S 长方形CDFE )+2（S 扇形OEF -S △EOF ）=212232+（-ππ⨯=23π故选D.2．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E是AB中点，在AD上取一点G，以点G为圆心，GD的长为半径作圆，该圆与BC边相切于点F，连接DE，EF，则图中阴影部分面积为（）A．3πB．4πC．2π+6D．5π+2【答案】B【详解】如图，连接GF，∵四边形ABCD是矩形∴AD＝BC＝6，∠ADC＝∠C＝90°＝∠A＝∠B，AB＝CD＝4∵点E是AB中点∴AE＝BE＝2∵BC与圆相切∴GF⊥BC，且∠ADC＝∠C＝90°∴四边形GFCD是矩形，又∵GD＝DF∴四边形GFCD是正方形∴GD ＝GF ＝CD ＝CF ＝4∴BF ＝BC ﹣FC ＝2∵S 阴影＝（S 四边形ABFD ﹣S △AED ﹣S △BEF ）+（S 扇形GDF ﹣S △GDF ）∴S 阴影＝（(26)4116222222+⨯-⨯⨯-⨯⨯）+（4π﹣1442⨯⨯）＝4π.故选B ．3．如图，四边形ABCD 为正方形，边长为4，以B 为圆心、BC 长为半径画 AB ，E 为四边形内部一点，且BE ⊥CE ，∠BCE ＝30°，连接AE ，求阴影部分面积()A ．4π-B ．6πC ．42π--D ．43π--【答案】C 【详解】过E 点作EM ⊥BC 于M 点，作EN ⊥AB 于N 点，如图，∵BE ⊥CE ，∴∠BEC =90°，∵∠BCE =30°，∴∠EBC =60°，∵EM ⊥BC ，∴在Rt △EMC 中，∴tan ∠ECM =EM MC∴MC ，∴∴在Rt △EBM 中，∴tan ∠EBM =EMBM∴BM ，∵BM +MC =BC =4，=4，∴EM =∴BM =133EM ==，∵NE ⊥AB ，EM ⊥BC ，且∠ABC =90°，∴四边形BMEN 是矩形，∴NE =BM =1，∵AB =BC =4，∠ABC =90°，∴1141222ABE S AB NE =⨯⨯=⨯⨯=△，11422BEC S BC EM =⨯⨯=⨯=△22901443604ABC S AB πππ=⨯⨯=⨯⨯=扇形o o∴42ABE BEC ABC S S S S π=--=--△△阴影扇形故选：C ．4．如图，正三角形ABC 的边长为4cm ，D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，以A ，B ，C 三点为圆心，2cm 为半径作圆．则图中阴影部分面积为（）A ．（3）cm 2B ．（3cm 2C ．（3-2π）cm 2D ．（3cm 2【答案】C【详解】连接AD ，∵△ABC 是正三角形，∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，∵BD=CD ，∴AD ⊥BC ，∴22AB BD -224223-=∴S 阴影=S △ABC -3S 扇形AEF =12326023360π⨯⨯32π)cm 2，故选C ．5．如图，在Rt AOB △中，90AOB ∠=︒，2OA =，1OB =，将Rt AOB △绕点O 顺时针旋转90︒后得Rt FOE △，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90︒后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA 、ED 长为半径画弧AF 和弧DF ，连接AD ，则图中阴影部分面积是（）A ．πB ．5π+C ．524π-D ．724π-【答案】C 【详解】解：作DH AE ⊥于H ，∵90AOB ∠=︒，2OA =，1OB =，∴225AB OA OB =+=由旋转，得EOF BOA ≌ ，∴OAB EFO ∠=∠，∵90FEO EFO FEO HED ∠+∠=∠+∠=︒，∴EFO HED ∠=∠，∴HED OAB ∠=∠，∵90DHE AOB ∠=∠=︒，DE AB =，∴()AAS DHE BOA ≌，∴1DH OB ==，阴影部分面积ADE =V 的面积EOF +V 的面积+扇形AOF 的面积-扇形DEF 的面积211902905311222360360ππ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯+-5124π=-故选：C ．6．如图，在半径为2、圆心角为90︒的扇形OAB 中， 2BC AC =，点D 从点O 出发，沿O A →的方向运动到点A 停止．在点D 运动的过程中，线段BD ，CD 与 BC所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为（）A ．23πB ．213π-C ．3πD ．132π-【答案】B【详解】当点D 在线段OA 上时，易得当点D 与点A 重合时，阴影部分面积最小，连接OC 、BC ，过点C 作CH OA ⊥于点H ，如图，190303AOC ︒︒∠=⨯=，112CH OC ∴==，∵290603BOC ︒︒=⨯=∠，∴260223603BOC S =⨯⨯=扇形ππ．∴2112212213223BOC AOC AOB S S S S ππ=+-=+⨯⨯-⨯⨯=-△△阴扇形；∴线段BD 、CD 与 BC 所围成的区域（图中阴影部分）面积的最小值为213π-．故答案为B ．7．如图，矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，F 是AB 中点，以点A 为圆心，AD 为半径作弧交AB 于点E ，以点B 为圆心，BF 为半径作弧交BC 于点G ，则图中阴影部分面积的差12S S -为（）A ．13124π-B ．9124π-C ．1364π+D ．6【答案】A 【详解】解：∵在矩形ABCD 中，4,3AB BC ==，F 是AB 中点，∴2BF BG ==，∴12ABCD ADE BGF S S S S S -+=-矩形扇形扇形，∴22129039021343123603604S S πππ⋅⨯⋅⨯-=⨯--=-，故选A ．8．如图，在半径为4的扇形OAB 中，90AOB ∠=︒，点C 是 AB 上一动点，点D 是OC 的中点，连结AD 并延长交OB 于点E ，则图中阴影部分面积的最小值为（）A ．44π-B ．4πC ．24π-D ．2π【答案】B 【详解】∵点D 是OC 的中点，2OD =，∴点D 在以O 为圆心2为半径的圆弧上，∴可知当AE 与小圆O 相切于D 时，OE 最大，即△AOE 的面积最大，此时阴影部分的面积取得最小值，∵24OA OD ==，∴1sin =2OD OAE OA =∠,则30OAE ∠=︒，∵∠AOB =90°，∴tan 3OE OA OAE =⋅∠=，∴43OAE OAB S S S π=-=-阴影扇形，故选B ．9．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，6AB =，AD 是BAC ∠的平分线，经过A ，D 两点的圆的圆心O 恰好落在AB 上，O 分别与AB 、AC 相交于点E 、.F 若圆半径为2.则阴影部分面积=．【答案】23π/23π【详解】解：连接OD ，OF ．AD 是BAC ∠的平分线，DAB DAC ∴∠=∠，OD OA = ，ODA OAD ∴∠=∠，ODA DAC ∴∠=∠，OD ∴∥AC ，90ODB C ∴∠=∠=︒，∴AFD OFA S S = ，∴OFA S S =阴扇形，2OD OA == ，6AB =，4OB ∴=，2OB OD ∴=，30B ∴∠=︒，60A ∴∠=︒，OF OA = ，AOF ∴ 是等边三角形，60AOF ∴∠=︒，260π22π3603OFA S S ⋅∴===阴影部分扇形，故答案为：2π3．10．如图，在Rt ABC 中，30A ∠=︒，BC =点O 为AC 上一点，以O 为圆心，OC 长为半径的圆与AB相切于点D ，交AC 于另一点E ，点F 为优弧DCE 上一动点，则图中阴影部分面积的最大值为．【答案】223π+【详解】解：连接DE ，OD ，∵Rt ABC 中，30A ∠=︒，3BC =∴33236tan 30BC AC ==︒，∵AB 为O 的切线，∴90ADO ∠=︒，∴2AO OD =，60AOD ∠=︒，∵OD OE OC ==，∴36AC AO OC OD =+==，△ODE 为等边三角形，∴2DE OE OD OC ====，∵S 阴影=S 弓形DGE +S △DEF ∴当OF ⊥DE 时，阴影部分面积最大，此时OF 与DE 交于G ，∴∠DOG =∠EOG =30°，∠DGO =90°，∴3cos30232OG OD =⋅︒=⨯23GF OG OF =+=，∴S 阴影=S 扇形ODE -S △DEO +S △DEF =2602112232(23)2360223ππ⨯⨯-⨯+⨯⨯=+．11．如图，点C 为14圆O 上一个动点，连接AC ，BC ，若OA ＝1，则阴影部分面积的最小值为．【答案】242π-【详解】取弧AB 的中点C ′，连接AB 、OC '、AC '、BC '，要使阴影部分的面积最小，需要满足四边形AOBC 的面积最大，只需满足△ABC 的面积最大即可，从而可得当点C 位于弧AB 的中点C '时，△ABC 的面积最大，则OC AB '⊥于D221112222OD AB +∴===212DC OC OD ''∴=-=-1122112(1)2222AOB ABC AOBC S S S D D ''∴=+=⨯⨯+⨯⨯-=四边形 扇形AOB 的面积29013604ππ⨯==∴阴影部分面积的最小值为242π=-故答案为：42π-．12．如图所示，⊙O 是以坐标原点O 为圆心，4为半径的圆，点P），弦AB 经过点P ，则图中阴影部分面积的最小值=．【答案】163π-【详解】解：由题意当OP ⊥AB 时，阴影部分的面积最小．∵P ），∴OP =2．∵OA '=OB '=4，∴PA '=PB ∴tan ∠A 'OP =tan ∠B 'OP∴∠AOP =∠BOP =60°，∴∠A 'OB '=120°，∴S 阴=S 扇形OA 'B '-S 'OB '=2120π4360⋅⋅﹣122⋅=13．如图，扇形OAB 中，OA R =，60AOB ∠=︒，C 为弧AB 的中点，点D 为OB 上一动点，连接AD DC 、，当阴影部分周长最小时，tan ADC ∠等于．33133【详解】解：如图，作点C 关于OB 的对称点E ，连接AE 交OB 于点F ，连接FA 、OC ，由对称可知，DC DE =，FC FE =，∵AD CD AD DE AE AF EF +=+≥=+，当点D 移动到点F 时，取等号，此时AD CD +最小，∵C 为弧AB 的中点，∴AC BC =，则30AOC COB BOE ∠=∠=∠=︒，90AOE ∴∠=︒，又 OA OE =，∴45OEF ∠=︒，∴304575EFB BOE OEA ∠=∠+∠=︒+︒=︒，由轴对称可知，75CFB EFB ∠=∠=︒，∴30AFC ∠=︒，∴当阴影部分周长最小时，30ADC AFC ∠=∠=︒，则3tan 3ADC ∠=．3314．如图，扇形AOB 中，120AOB ∠=︒，M 切弧AB 于点C ，切OA ，OB 分别于点D ，E ，若1OA =，则阴影部分面积的周长为．【答案】13ππ136-【详解】∵⊙M 内切于扇形AOB ，∴C 、M 、O 三点共线，连接C 、M 、O ，连接ME 、MD ，如图所示，根据相切的性质可知DM ⊥AO ，ME ⊥OB ，设⊙M 的半径为R ，∴ME =MD =MC =R ，∠MDO =∠MEO =90°，结合MO =MO ，可得t t R MDO R MEO ≅△△，∴∠MOD =∠MOE =12∠AOB =120°×12=60°，∴在Rt △MOE 中，∠OME =90°-∠MOE =30°，∴OE =3ME =3R ，OM =2OE =3R ，又∵OA =OC =OB =1，∴OM +MC =1，即3R +R =1，解得R =3-，∴OE =2，则BE =OB -OE 1-，∵∠MOE =60°，∴»60123603BC OA ππ=⨯⨯=o o ，∵∠OME =30°，∴∠CME =180°-∠OME =180°-30°=150°，150150152236036036EC ME R ππππ=⨯⨯=⨯⨯=- ，则阴影部分的周长为：BE + BC + EC 1+13π156π-1316π-，1316π-．15．如图，在AOB 中，2OA =，3OB =，32AB =．将AOB 绕点O 逆时针旋转45︒后得到COD △，则图中阴影部分（边AB 扫过的图形）的周长为．【答案】534π+【详解】解：∵32CD AB ==， AC 的长为4521801802n OA πππ⋅⨯==， BD 的长为45331801804n OB πππ⋅⨯==，∴阴影部分的周长为 533534224AC BD AB CD ππ+++=++=+．故答案为534π+．16．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，以点C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于点D ．(1)若25B ∠=︒，求 AD 的度数；(2)若D 是AB 的中点，且4AB =，求阴影部分（弓形）的面积．【答案】(1)50°(2)233π-【详解】（1）解：连接CD ，如图，90ACB ∠=︒ ，25B ∠=︒，902565BAC ∴∠=︒-︒=︒，CA CD = ，65CDA CAD ∴∠=∠=︒，180656550ACD ∴∠=︒-︒-︒=︒，∴ AD 的度数为50︒；（2）解：过点C 作CH AB ⊥于点H ，D 是AB 的中点，90ACB ∠=︒，122CD AD BD AB ∴====，CD CA = ，ACD ∴为等边三角形，60ADC ∴∠=︒，sin 603CH CD =⋅︒=∴阴影部分的面积26021223336023ACD ACD S S ππ⋅⋅=-=-⨯⨯=-扇形 17．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ,以AB 为直径作圆O ，分别交AC ,BC 于点D 、E ．(1)求证：BE ＝CE ;(2)当∠BAC ＝40°时，求∠ADE 的度数；(3)过点E 作圆O 的切线，交AB 的延长线于点F ,当AO ＝BE ＝2时,求图中阴影部分面积．【答案】(1)见解析(2)110︒(3)2233π【详解】（1）证明：如图，连接AE ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠AEB =90°，∴AE ⊥BC ，∵AB =AC ，∴BE =CE ；（2）∵AB =AC ，AE ⊥BC ，∠BAC ＝40°∴1==20°,2BAE BAC ∠∠∴∠ABE =90°-∠BAE =70°，∵四边形ABED 是圆内接四边形,∴∠ADE =180°-∠ABE =110°，（3）连接OE ，∵EF 是O 的切线，∴OE EC ⊥，∵22AO BE OB OE AO =====，，∴BOE 是等边三角形，∴60BOE ∠=︒，30F ∠=︒∴EF ==∴160××42==223603OEF OBE S S S ππ-⨯⨯ 阴影部分扇形．18．如图，ABC 中，90,ACB BAC ∠=︒∠的平分线交BC 于点O ，以点O 为圆心，OC 长为半径作圆．（1）求证：AB 是O 的切线；（2）若30,4CAO OC ∠=︒=，求阴影部分面积．【答案】（1）见解析；（2）163π-【详解】解：（1）证明：过O 作OD AB ⊥于D ，如图所示，90,ACB ∠=︒ OC AC ∴⊥，OA 平分,BAC ∠OD OC ∴=，OC 为O 的半径，OD ∴为O 的半径，AB ∴是O 的切线．（2）∵OD ⊥AB ，∴∠ODB=90°，∵∠CAO=30°，∠ACB=90°，∴AC∵∠AOC=90°-30°=60°，∴∠COD=2∠AOC=120°，由（1）得：AB是⊙O的切线，OC⊥AC，∴AC为⊙O的切线，∴AD=AC∴阴影部分面积=△AOC的面积+△AOD的面积-扇形OCD的面积2 1112044422360π⨯=⨯+⨯-163π=-．。
武汉市中考数学专题——-隐圆问题
武汉市中考数学专题——-隐圆问题生态课堂导学案：隐圆问题教与导学的过程：一、导疑――情境导入、提出疑问研究目标：了解圆的定义和隐圆的概念，能够利用隐圆解决几何问题。
在一个平面内，线段OA绕它的一个固定的端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。
从画圆的过程可以看出：（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上。
根据圆的定义，在解决几何问题中，只要观察出几个点到同一个定点的距离相等，这里常常隐藏了一个圆，我们就可以以这个定点为圆心，以这个距离为半径作出这个隐藏的圆，从而帮助我们解决问题。
因为这个圆没有画出，因此我们把它称为“隐圆”。
二、引探――自主研究、探究问题例1：如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF,连接CF交BD与点G,连接BE交AG与点H,若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是多少？例2：如图，△ABC中，∠ABC=90°。
AB=6，BC=8，O为AC的中点，过O作OE⊥OF,OE,OF分别交射线AB,BC于E、F,则EF的最小值为多少？三、释疑――主动展示、阐释疑点例3：如图，∠xOy=45°，一把直角三角形△ABC的两个顶点A,B分别在Ox，Oy上移动，其中AB=10，点O到AB的距离的最大值为多少？例4：在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3.0），点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是什么？例5：如图，已知A、B两点的坐标分别为（8,0）、（，-6），C的坐标为（，7），点P是坐标平面内一个动点，且PC=5，线段PB与x轴交于点D，则△ABD面积的最大值是多少？例6：如图，四边形ABCD中，∠ACD=∠ADB=90°，∠XXX°,则∠ABC等于多少度？例7：如图，⊙A与⊙B外切于点D，PC、PD、PE分别是圆的切线，C、D、E是切点，若∠CED=x0,∠ECD=y0,⊙B 的半径为R，则弧DE的长度是多少？1.在平面直角坐标系中，已知直线y = - x + 6与x轴、y 轴交于点A、B两点，点C在y轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C的横坐标Xc的取值范围是__。
武汉中考22题圆的计算与证明
与圆有关的计算一、构造思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径、弓高(知二推二)； ④构造勾股定理模型（已知线段长度）； ⑤构造三角函数(已知有角度的情况）; ○6找不到，找相似二、方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解决问题。
三、建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。
范例讲解：例题1：△ABP 中，∠ABP =90°，以AB 为直径作⊙O 交AP 于C 点，弧⋂CF =⋂CB ，过C 作AF 的垂线，垂足为M ，MC 的延长线交BP 于D.（1）求证：CD 为⊙O 的切线；（2）连BF 交AP 于E ，若BE =6，EF =2，求AFEF的值。
例题2：直角梯形ABCD 中，∠BCD =90°，AB=AD+BC ，AB 为直径的圆交BC 于E ，连OC 、BD 交于F. ⑴求证：CD 为⊙O 的切线 ⑵若53=AB BE ，求DF BF 的值例题3：如图，AB 为直径，PB 为切线，点C 在⊙O 上，AC ∥OP 。
（1）求证：PC 为⊙O 的切线。
（2）过D 点作DE ⊥AB ，E 为垂足，连AD 交BC 于G ，CG =3，DE =4，求DBDG的值。
例题4（2009调考）：如图，已知△ABC 中，以边BC 为直径的⊙O 与边AB 交于点D ，点E 为的中点，AF 为△ABC 的角平分线，且AF ⊥EC 。
（1）求证：AC 与⊙O 相切；（2）若AC ＝6，BC ＝8，求EC 的长O FH ED CB ABD FOE CDB AO CF ED B A OC F EDBAOFEDCBAOE DCBAE A O FDCB练习：1．如图，Rt △ABC ，以AB 为直径作⊙O 交AC 于点D ， ，过D 作AE 的垂线，F 为垂足. （1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若DF =3，⊙O 的半径为5，求tan BAC ∠的值.2．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两点， ，过D 作直线BC 的垂线交直线AB 于点E ，F 为垂足.（1）求证：EF 为⊙O 的切线；（2）若AC =6，BD =5，求sin E 的值.3．如图，AB 为⊙O 的直径，半径OC ⊥AB ，D 为AB 延长线上一点，过D 作⊙O 的切线，E 为切点，连结CE 交AB 于点F .（1）求证：DE=DF ； （2）连结AE ，若OF =1，BF =3，求tan A ∠的值.4．如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，BD 平分∠ABC ，以AB 上一点O 为圆心过B 、D 两点作⊙O ，⊙O 交AB于点一点E ，EF ⊥AC 于点F .（1）求证：⊙O 与AC 相切； （2）若EF =3，BC =4，求tan A ∠的值.5．如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于点D ，DE ⊥AC 于E.（1）求证：DE 为⊙O 的切线；（2）若BC =45，AE =1，求cos AEO ∠的值. BD=DE AD=DCFO E D C B A FM HO NE D C B A 6．如图，BD 为⊙O 的直径，A 为 的中点，AD 交BC 于点E ，F 为BC 延长线上一点，且FD=FE. （1）求证：DF 为⊙O 的切线；（2）若AE =2，DE =4，△BDF 的面积为83，求tan EDF ∠的值.7、如图，AB 是⊙O 的直径，M 是线段OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于点N ，交BC 的延长线于点E ，直线CF 交EN 于点F ，且∠ECF =∠E ．（1）求证：CF 是⊙O 的切线； （2）设⊙O 的半径为1，且AC =CE 3=，求AM 的长．8、如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB ，过点C 作⊙O 的切线CE ，点D 是CE 延长线上一点，连结AD ，且AD+BC=CD .（1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）设OE 交AC 于F ，若OF =3，EF =2，求线段BC 的长.9、如图，△ABC 中，AB=BC ，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，且CD=BD . （1）求证：BC 是⊙O 的切线；（2）已知点M 、N 分别是AD 、CD 的中点，BM 延长线交⊙O 于E ，EF ∥AC ，分别交BD 、BN 的延长线于H 、F ，若DH =2，求EF 的长.BC FOED CBAN MF OE CBAD AOFE C B10、如图，AB 是半⊙O 上的直径，E 是 ⌒BC 的中点，OE 交弦BC 于点D ，过点C 作交AD 的平行线交OE 的延长线于点F . ∠ADO =∠B.（1）求证：CF 为⊙O 的⊙O 切线； （2）求sin ∠BAD 的值.11、如图，⊿ABC 中，AB ＝AC ，以AC 为直径的⊙O 与AB 相交于点E ，点F 是BE 的中点． （1）求证：DF 是⊙O 的切线．（2）若AE ＝14，BC ＝12，求BF 的长 真题：OFE DC B A。
2024年湖北省武汉市中考数学复习课件++第21讲+与圆有关的位置关系
3 cm，OB＝2 cm，则直线AB与⊙O的位置关系为( D )
A．相离
B．相交
C．相切
D．相交或相切
当OB⊥AB时
当OB与AB不垂直时
直线AB与⊙O相切
直线AB与⊙O相交
命题点1
命题点2
命题点3
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与圆有关的位置关系
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如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x－2与x轴、y轴分别
A．
B．
C．
D．
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7
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3．如图，△ABC的周长为24，面积为48，△ABC的内切圆的半径为
__________．
4
1
2
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4
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4．若⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝90°，AO的延长线交BC于点K，
连接OE，OD
四边形EODC为正方形
AC＋BC＝AB＋6，(BC－AC)2＝49
命题点1
命题点2
命题点3
3
课堂反馈 落实学业要求
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1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝7，点D在边BC
上，CD＝3，以点D为圆心作⊙D，其半径长为r，要使点A恰在⊙D外，
切线的 (2)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
武汉市元月调考复习圆的证明和计算
武汉市2013元月调考复习圆的证明和计算圆的证明和计算（有切线型）圆的证明与计算是中考中的一类重要的问题，一般出现在第22题，此题完成情况的好坏对解决后面问题的发挥有重要的影响，所以解决好此题比较关键。
一、考点聚焦：主要以解答题的形式出现,第1问主要是判定切线；第2问主要是与圆有关的计算：①求线段长②求面积③求线段比…二、回顾圆的证明、计算题中常用的几个重要定理 1.垂径定理定理及其推论：①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
②平分弦( )的直径 于弦，并且 弦所对的两条 。
③弦的垂直平分线过 ，且 弦对的两条弧。
④平分一条弦所对的两条弧的直线过 ，且 和 此弦。
⑤平行弦夹的弧 。
2.切线的判定定理、性质定理、切线长定理： (1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。
(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径。
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点。
③经过切点作切线的垂线经过圆心。
(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线。
(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
三、基础练习：1、如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，并且OA=OB ，CA=CB ，求证：直线AB 是⊙O 的切线。
2、如图，直线AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上的一点，且BC=AB21，∠PCA= 30°，试判断⊙O 与直线CP 的位置关系，并证明你的结论。
方法总结：（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。
（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。
四、典型基本图型例析：已知：AB 是⊙O 的直径，点E 、C 是⊙O 上的两点，AC 平分∠BAE ；AD ⊥CD ； 基本结论有：（1）如图1，证明：DC 是⊙O 的切线。
（2）如图2，证明DC =OF ；如图3，证明DE =CF 。
武汉中考数学---圆考题汇总(含答案)
武汉中考数学---圆考题汇总本文选编了2007—2012武汉中考、四月调考中圆相关内容的考题，如需可编辑版本请与作者联系：1.QQ邮箱：957468321@ 2.百度站内私信：用户名 ronnie_rocket2012 22．（本题满分8分）在锐角△ABC 中，BC ＝5，54sin =A ． （1）如图1，求△ABC 的外接圆的直径； （2）如图2，点I 为△ABC 的内心，若BA ＝（四调）10．如图，E 为正方形ABCD 的边上任意一点．若正方形ABCD 的边长为4， D ．21 O 相切于点E ，F ，G ，且AB ∥CD ．OB 与EF 相交于点M ，OC 与FG 相交于点N ，连接MN ． （1）求证：OB ⊥OC ；（2）若OB ＝6，OC ＝8，求MN 的长．第10题图PC第22题图CP2011. （本题满分8分）如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C,交⊙O 于点B,延长BO 与⊙O 交于点D ，与PA 的延长线交于点E,(1)求证：PB 为⊙O 的切线；（2）若tan ∠ABE=21,求sin ∠E.︒=30ABC ，AC 的延长线与过点B 的⊙O CD 的长为( )，弦CD 平分AC ，2010 22. (本题满分8分) 如图，点O 在∠APB 的平分在线，圆O 与PA 相切于点C ；(1) 求证：直线PB 与圆O 相切；(2) PO 的延长线与圆O 交于点E 。
若圆O 的半径为3，PC=4。
求弦CE 的长。
O 的直径22.如图，Rt ABC △中，90ABC ∠=°，以AB 为直径作O ⊙交AC 边于点D ，E 是边BC 的中点，连接DE ．（1）求证：直线DE 是O ⊙的切线；（2）连接OC 交DE 于点F ，若OF CF =，求tan ACO ∠的值．EC EBA OFD（四调）10．如图，已知△ABC 的外接圆⊙O 的半径为1，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，则sin ∠BAC 的值等于线段A ．BC 的长．B ．DE 的长．C ．AD 的长． D ．AE 的长22．(本题满分8分)如图，已知△ABC ，以边BC 为直径的圆与边AB 交于点D ，点E 为的中点，AF 为△ABC 的角平分线，且AF ⊥EC ．AC 是弦，∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于2007 22．(本题8分)如图，等腰三角形ABC 中，AC ＝BC ＝10，AB ＝12。
2024中考数学新定义及探究题专题 《圆与新定义》 (含解析)
2024中考数学新定义及探究题专题《圆与新定义》（学生版）通用的解题思路：①对于圆中角度之间的等量关系，主要是两个方面：一是同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，二是圆内接四边形中外角等于内角的对角。
②对于求圆中的线段长度，主要从两个方向着手，首先看是否可以用垂径定理构建直角三角形，用勾股定理来求线段的长度；如果勾股定理行不通，则尝试着去找相似三角形，用相似三角形的对应线段成比例来求线段的长度。
1．（长沙中考）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做“十字形”．（1）①在“平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是“十字形”的有；②在凸四边形ABCD 中，AB=AD 且CB≠CD ，则该四边形“十字形”．（填“是”或“不是”）（2）如图1，A ，B ，C ，D 是半径为1的⊙O 上按逆时针方向排列的四个动点，AC 与BD 交于点E ，∠ADB ﹣∠CDB=∠ABD ﹣∠CBD ，当6≤AC 2+BD 2≤7时，求OE 的取值范围；（3）如图2，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ＞0，c ＜0）与x 轴交于A ，C 两点（点A 在点C 的左侧），B 是抛物线与y 轴的交点，点D 的坐标为（0，﹣ac ），记“十字形”ABCD 的面积为S ，记△AOB ，△COD ，△AOD ，△BOC 的面积分别为S 1，S 2，S 3，S 4．求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①S =1S 2S +；②S 3S 4S +“十字形”ABCD 的周长为10．2．（一中）定义:三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1，△ABC中，点D是BC边上一点，连结AD，若2AD BD CD=⋅，则称点D是△ABC中BC边上的“好点”.（1）如图2，△ABC的顶点是43⨯网格图的格点，请仅用直尺画出AB边上的一个“好点”.（2）△ABC中，BC=9，4tan3B=，2tan3C=，点D是BC边上的“好点”，求线段BD的长.（3）如图3，△ABC是O的内接三角形，OH⊥AB于点H，连结CH并延长交O于点D．①求证：点H是△BCD中CD边上的“好点”.②若O的半径为9，∠ABD=90°，OH=6，请直接写出CHDH的值.3．（青竹湖）我们不妨定义：有两边之比为1“勤业三角形”．(1)下列各三角形中，一定是“勤业三角形”的是________；（填序号）①等边三角形；②等腰直角三角形；③含30︒角的直角三角形；④含120︒角的等腰三角形．(2)如图1，△ABC是⊙O的内接三角形，AC为直径，D为AB上一点，且2BD AD=，作DE OA⊥，交线段OA于点F，交⊙O于点E，连接BE交AC于点G．试判断△AED和△ABE是否是“勤业三角形”？如果是，请给出证明，并求出EDBE的值；如果不是，请说明理由；(3)如图2，在（2）的条件下，当AF：FG＝2：3时，求BED∠的余弦值．4．（华益）约定：若三角形一边上的中线将三角形分得的两个小三角形中有一个三角形与原三角形相似，我们则称原三角形为关于该边的“华益美三角”．例如，如图1，在ABC 中，AD 为边BC 上的中线，ABD △与ABC 相似，那么称ABC 为关于边BC 的“华益美三角”．(1)如图2，在ABC 中，BC =，求证：ABC 为关于边BC 的“华益美三角”；(2)如图3，已知ABC 为关于边BC 的“华益美三角”，点D 是ABC 边BC 的中点，以BD 为直径的⊙O 恰好经过点A ．①求证：直线CA 与O 相切；②若O 的直径为，求线段AB 的长；(3)已知ABC 为关于边BC 的“华益美三角”，4BC =，30B ∠=︒，求ABC 的面积．5．（华益）约定：三角形的一条中线将三角形分成两个小三角形，如果其中的一个小三角形与原三角形相似，那么称原三角形为“华益三角”，这条中线叫做原三角形的“华益中线”，这条中线所在的边叫做“华益边”，原三角形与小三角形的相似比叫做“华益比”．(1)如图1，已知CD 是ABC 边AB 上的中线，若ABC ACD ∽，那么ABC 就是“华益三角”，中线CD 是ABC 的“华益中线”，边AB 就是ABC 的“华益边”．爱思考的你们一定能发现：“华益三角”的“华益比”总是一个定值，以图1为例，求出“华益比”；(2)如图2，已知在ABC 中，45,1AB A AC ∠=︒+，求证：ABC 是“华益三角”；(3)如图3，已知ABC 是“华益三角”，边AB 是ABC 的“华益边”，ABC 的外接圆O 的半径是2．①若A ∠是一个锐角，求sin BC A的值；②记2,AB x BC ==，若1x =，求y 的值．6．（北雅）如图1，⊙O 的半径为r （0r >），若点P '在射线OP 上，满足2OP OP r '⋅=，则称点P '是点P 关于⊙O 的“反演点”．(1)若点A 关于⊙O 的“反演点”是本身，那么点A 与⊙O 的位置关系为（）A ．点A 在⊙O 内B ．点A 在⊙O 上C ．点A 在⊙O 外(2)如图1，若⊙O 的半径为4，点P '是点P 关于⊙O 的“反演点”，且6PP '=，过点P 的直线与⊙O 相切于点Q ，求PQ 长．(3)如图2，若⊙O 的半径为4，点Q 在⊙O 上，点A 在⊙O 内，且2OA =，点Q '、A '分别是点Q 、A 关于⊙O 的“反演点”，过点A '作A B A O '⊥'且A B A O '='，连接BQ '，Q A ''，求12BQ Q A ''+'的最小值．7．（青竹湖）定义：两个角对应互余，且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”．如图1，在△ABC 和DEF 中，若90A E B D ∠+∠=∠+∠=︒，且AB DE =，则△ABC 和DEF 是“青竹三角形”．45BAC ACD ∴∠=∠=︒（1）以下四边形中，一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是；（填序号）①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形．（2）如图2，△ABC ，90ACB ∠=︒，AC BC =，点D 是AB 上任意一点（不与点A 、B 重合），设AD 、BD 、CD 的长分别为a 、b 、c ，请写出图中的一对“青竹三角形”，并用含a 、b 的式子来表示2c ；（3）如图3，⊙O 的半径为4，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，且△ABC 和△ADC 是“青竹三角形”．①求22AD BC +的值；②若BAC ACD ∠=∠，75ABC ∠=︒，求△ABC 和△ADC 的周长之差．8．（中雅）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N 上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“雅近值”，记为d（M，N），特别地，若图形M，N有公共点，规定d（M，N）＝0．(1)如图1，⊙O的半径为2，①点A（1，0），B（3，4），则d（A，⊙O）＝______，d（B，⊙O）＝______．②已知直线l：y＝43x+4与⊙O，求直线l与⊙O的雅近值d（l，⊙O）．(2)如图2，C为x轴正半轴上的一点，⊙C的半径为1，直线y＝ax+b（a≠0）与x轴交于点D，与y轴交于点E．①若a，b，线段DE与⊙C的“雅近值”d（DE，⊙O）＜12，请直接写出圆心C的横坐标m的取值范围；②若b＝C的横坐标m DE与⊙C的“雅近值”d（DE，⊙C）＝0，求a的取值范围．9．（广益）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”．（1）若平行四边形ABCD是“婆氏四边形”，则四边形ABCD是．（填序号）①矩形；②菱形；③正方形（2）如图1，Rt ABC中，∠BAC=90°，以AB为弦的⊙O交AC于D，交BC于E，连接DE、AE、BD，AB=6，3sin5C ，若四边形ABED是“婆氏四边形”，求DE的长．（3）如图2，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连接AC，BD，OA，OB，OC，OD，已知∠BOC+∠AOD=180°．①求证：四边形ABCD是“婆氏四边形”；②当AD+BC=4时，求⊙O半径的最小值．10．（雅礼）圆内各几何要素之间存在一定的数量关系和位置关系，这也是国内外数学家感兴趣的研究对象，其中就有对角线互相垂直的圆内接四边形．我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“雅系四边形”．(1)若平行四边形ABCD 是“雅系四边形”，则四边形ABCD 是______（填序号）；①矩形；②菱形；③正方形(2)如图，四边形ABCD 内接于圆，P 为圆内一点，90APD BPC ∠=∠=︒，且ADP PBC ∠=∠，求证：四边形ABCD 为“雅系四边形”；(3)在（2）的条件下，3BD =，且AB =．①当DC =时，求AC 的长度；②当DC 的长度最小时，请直接写出tan ADP ∠的值．11．（青竹湖）定义：有一组对角互补且一组邻边相等的四边形叫做“完美四边形”．(1)如图1，四边形ABCD 是O 的内接四边形，且对角线BD 平分ABC ∠，四边形ABCD _______（填“是”或者“不是”）“完美四边形”，若90ABC ∠=︒，且2AD =，则O 的直径为；(2)如图2，四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，CE AB ⊥于E ，AD BE AE +=．求证：四边形ABCD 为“完美四边形”；(3)如图3，在“完美四边形”ABCD 中，AB AD =，8AC =，60BAD ∠=︒，对角线AC 与BD 相交于点P ，设BC x =，CP y =，求y 与x 的函数关系式，并求y 的最大值．12．（师大附中）若凸四边形的两条对角线所夹锐角为60︒，我们称这样的凸四边形为“美丽四边形”．(1)①在“平行四边形、梯形、菱形、正方形”中，一定不是“美丽四边形”的有；②若矩形ABCD 是“美丽四边形”，且3AB =，则BC =；(2)如图1，“美丽四边形”ABCD 内接于⊙O ，AC 与BD 相交于点P ，且对角线AC 为直径，15AP PC ==，，求另一条对角线BD 的长；(3)如图2，平面直角坐标系中，已知“美丽四边形”ABCD 的四个顶点()()3020A C -，、，，B在第三象限，D 在第一象限，AC 与BD 交于点O ，且四边形ABCD 的面积为函数2y ax bx c =++（a 、b 、c 为常数，且0a ≠）的图象同时经过这四个顶点，求a 的值．2024中考数学新定义及探究题专题《圆与新定义》（解析版）通用的解题思路：①对于圆中角度之间的等量关系，主要是两个方面：一是同弧或者等弧所对的圆周角相等，同弧或者等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，二是圆内接四边形中外角等于内角的对角。
中考“圆重”知多少——武汉市中考数学圆的分量变化分析(精).docx
众所周知，今年武汉中考数学在题型结构上已经做了调整，选择题和填空题由原先的12道、4道，变更为10道和6道，大题的分量仍然保持9道不变。
这形式上的变化是中考改革的信号，那么形式上的变化是否带来内容上的变更呢？其实，只要我们对比往年中考对初中29章知识点考察的比例来看，今年中考对“圆”的相关知识的考察分量比往年有了不小的上升。
在2012年以前，中考试卷上的圆只有22题，分值只有8分，但是今年它的分值增加到14分，提升了75%,除了第22题外，还有选择题第10题和填空题第16题。
从考察的难度来看，第10题和第16题分别属于选择题和填空题的压轴，这两个压轴都直接或间接考察圆的知识，可见对圆的考察不只是在容量上有了提升，在难度上也有了加大。
这一变化给我们敲响了警钟：必须重视圆。
那么，接下来我们就进入到2013年中考的题目中来详细分析:今年的圆考了什么？究竟怎么考？2013年中考第10题10、如图1, 0A与CDB外切于点D, PC, PD, PE分别是圆的切线，若ZCED=x°,ZECD=y°0B的半径为R则孤DE的长度是（）分析思路：1、因为题目中要求的是孤DE的长，而孤DE是在圆B上，求孤长，根据孤长公式可知，需要找到“半径和圆心角”这两个关键要素。
由于已知圆B的半径为R,那么我们的目标便直接锁定求出该弧所对应的圆心角的大小。
所以辅助线就是连接BD,BE,即求出ZDBE （见图1）。
2、因为已知PC,PD,PE分别是圆的切线，所以根据切线长定理可知PC=PD=PE。
这样我们可以看到，三条等边均有一共点，由此便可以P点为圆心, 以PC长为半径作圆P,这样C,D,E三个点便都在这个圆上。
3、作出圆P后我们可以发现，因为ZDPE是孤DE的圆心角，而ZDCE则是孤DE的圆周角，根据同弧所对的圆心角与圆周角的关系可知：ZECD=y°所以ZEPD=2y°,由于ZBDP=ZBEP=90°,根据四边形内角和可推出圆心角71（90-y） Ji ZDBE=18O°-2y°o再代入孤长公式可得：孤DE的长度是90。
中考第22题圆的计算分析
中考第22题圆的计算分析
一、解题困难原因分析：
1.基础知识理解不透；
2.缺乏灵活性，能力不足；
3.没有掌握常规的解题方法。
二、常用解法介绍：
1. 结合考点，利用解直角三角形、相似形、全等形分析；
2. 善于设未知数、列方程求解；
3.善于寻找和构造基本图形，这是解题的突破口。
三、复习建议：
1..注重基础，使学生正确理解如下知识点：
1）圆中五大定理：
垂径定理，
圆周角定理和推论，
切线的判定和性质，
切线长定理，适当补充射影定理，弦切角的知识
圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距间关系；
2）特殊的三角形，特殊的四边形，特别是矩形；
3）平行线的判定和性质，中位线，角平分线，内心、外心等。
特别注意训练利用圆的基础知识进行边角的转换。
武汉市中考数学——圆专题复习
武汉市中考数学九年级圆专题复习第21题圆这道题对于升学考高中的学生来说是一道必得分题，随着中考复习的逐步深入，学生从知识上对于这道题已经很熟练了，都知道这道题的第（2）问主要考查圆与相似、三角函数、勾股定理等等。
如果不进行归类，学生的脑海中还是显得比较杂，比较乱。
在复习的过程中，教师如何引导学生进行归类，如何提升学生的转化能力，这些则是教学最需要突破的地方。
如果教师能够引导学生对第21题考查的题型结构进行有效的归类，那么学生在面对这道题的时候，首先将这道题归纳为几个重要的熟悉的题型，然后利用自己对这几个题型的熟练理解，则可以大大提高解决问题的速度和准确性。
一、历年题型对比分析及2017年中考题型预测1. （2013•武汉四月调考）在圆O 中，AB 为直径，PC 为弦，且PA=PC. （1）如图1，求证：OP//BC ；（2）如图2，DE 切圆O 于点C ，若DE//AB ，求tan ∠A 的值。
2. （2013•武汉中考）如图，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB ＝AC ，点P 是弧AB 的中点，连接PA 、PB 、PC（1）如图①，若∠BPC ＝60°，求证：AP AC 3 ；（2）如图②，若sin ∠BPC=2524,求tan ∠PAB 的值。
3. （2014•武汉四月调考）已知：P 为⊙O 外一点，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B 两点，点C 为⊙O 上一点． （1）如图1，若AC 为直径，求证：OP ∥BC ； （2）如图2，若sin ∠P=，求tan ∠C 的值．4.（2014•武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、P 是弧AB 上两点，AB ＝13，AC ＝5 (1) 如图(1)，若点P 是弧AB 的中点，求PA 的长 (2) 如图(2)，若点P 是弧BC 的中点，求PA 得长5.（2015•武汉四月调考）已知：⊙O 为Rt △ABC 的外接圆，点D 在边AC 上，AD ＝AO ． （1）如图1，若弦BE ∥OD ，求证：OD=BE ；（2）如图2，点F 在边BC 上，BF ＝BO ，若OD ＝2 2 ，OF ＝3，求⊙O 的直径．6.（2015•武汉中考）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABT=45°，AT=AB ． （1）求证：AT 是⊙O 的切线；（2）连接OT 交⊙O 于点C ，连接AC ，求tan ∠TAC ．7.（2016•武汉四月调考） 已知⊙O 为△ABC 的外接圆，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交⊙O 于点D ．(1)如图1，求证：BD= ED ；(2)如图2,AO 为⊙O 的直径，若BC= 6,sin ∠BAC=53，求OE 的长．E D OA B CFDOA BC8.（2016•武汉中考）如图，点C 在以AB 为直径的⊙O 上，AD 与过点C 的切线垂直，垂足为点D ，AD 交⊙O 于点E ．(1) 求证：AC 平分∠DAB ；(2) 连接BE 交AC 于点F ，若cos ∠CAD ＝54，求FCAF 的值．9.（2017•武汉四月调考）如图，□ABCD 的边AD 与经过A 、B 、C 三点的⊙O 相切(1) 求证：弧AB ＝弧AC(2) 如图2，延长DC 交⊙O 于点E ，连接BE ，sin ∠E ＝1312，求tan ∠D 的值归纳：1.从知识上归纳：（1）已知三角函数求三角函数的有：（2017•武汉四月调考）、（2013•武汉中考）、（2014•武汉四月调考）（2）已知三角函数求比值的：（2016•武汉中考）（2015•武汉中考） （3）已知三角函数求长度：（2016•武汉四月调考）（5）求三角函数：（2013•武汉四月调考）、（2015•武汉中考） （6）已知勾股定理求长度：（2014•武汉中考）（2015•武汉四月调考） 2.从题型上归纳：（1）考查圆周角转到圆心角一半的位置及圆中等腰三角型有：（2014•武汉四月调考）、（2016•武汉四月调考）、（2013•武汉中考）、（2017•武汉四月调考） （2）考查1，2，5三角型的有：（2015•武汉中考） （3）考查垂径定理和勾股定理的有：（2014•武汉中考） （4）考查旋转型相似与圆中构矩形的有：（2016•武汉中考）预测：近几年的四调和中考，对圆中三角函数的考查的年份占到很大的比例，单独考勾股定理的年份较少，仅仅只有2014年中考和2015年四调，其他年份都涉及三角函数，而且今年的四调更是已知三角函数求三角函数。