基于群体平衡模型计算气泡大小分布

基于群体平衡模型计算气泡大小分布
王铁峰，王金福
1
（清华大学化学工程系，绿色反应工程与工艺北京市重点实验室，北京 100084） 摘要：将群体平衡模型(Population Balance Model：PBM) 用于气-液流动体系中气泡大小分布的计 算。考虑了气泡聚并和破碎的不同机制。通过离散区间法对 PBM 进行数值求解，模型对均匀鼓泡 区和不均匀鼓泡区的气泡大小分布均得到了较好的预测结果，可以对流区转变进行预测。将 PBM 和 CFD 相结合建立 CFD-PBM 耦合模型，可用于更复杂的流动行为的模拟。 关键词：群体平衡模型(PBM)；气泡大小分布；聚并；破碎
(8)
hb ,ij = 6.3(N i / ∆d i + N j / ∆d j )
−1 / 3
(9)
气泡聚并效率按照Luo等[8]提出的模型计算：
t ij PT (d i , d j ) = exp − τ ij
取值 1.0.
3 1/ 2 0.75(1 + ξ ij2 )(1 + ξ ij ) 1/ 2 = exp − c e Weij ( ρ g / ρ l + γ )(1 + ξ ij ) 3
(3)
考虑上述三种气泡聚并机制，总气泡聚并速率为各机制所引起气泡聚并速率的加和，即：
c(d i , d j ) = ϖ T PT + ϖ W PW + ϖ U PU
1.2.1 湍流涡引起的聚并
(4)
Wang 等[4]在考虑气泡碰撞频率时考虑了气含率的影响， 其表达式为： (5)
ϖ T (d i , d j ) =
b( d ) = ∫ b( f v d ) d f v
0.5 0
(16) (17)
d
β ( fv , d) =
2b( f v d )
b( f v d ) = 0.923(1 − α g )ε 1 / 3 ∫
∞
∫
1
0
b ( f v d ) df v
Байду номын сангаасλmin
Pb ( f v d , λ )(λ + d ) 2 λ−11 / 3 dλ
Abstract: The Population Balance Model (PBM) was used to calculate the bubble size distribution in a gas-liquid flow. Bubble coalescence and breakup caused by different mechanisms were considered. The proposed PBM was numerically solved with a discrete-region method to calculate the bubble size distribution, and was successful in obtaining good results both in homogeneous and heterogeneous regimes and successful in predicting the flow regime translation. A CFD-PBM coupled model which combines the PBM and CFD model can be used to simulate more complex flow behavior. Keywords: Population Balance Model; bubble size distribution; coalescence; breakup
(23) (24)
f v, min = πλ3σ / (6e(λ )d )
(
)
3
1.3.2
由大气泡不稳定性引起的破碎
当气泡大小超过一定值时会由于气泡表面的不稳定性
很快发生破碎，这种机制引起的气泡破碎速率通过下式进行估算：
b2 (d ) = b *
(
)
(10)
其中ξij = di/dj；γ 为附加质量力系数，本文取值 0.5；Weij 为 Weber 准数；ce 为模型参数，本文
1.2.2
气泡尾涡引起的聚并
大尺寸的气泡一般呈球帽形，具有很强的尾涡区，对位于该尾
涡区内的其它气泡有明显的加速作用，从而引起气泡聚并。Hibiki 等[9]对将气泡分为小气泡和 大气泡两个分组时气泡尾涡引起的聚并建立了模型。Wang 等[4]进一步将该模型扩展为多气泡 分组的情形，并认为只有大于 dc 的气泡其尾涡对气泡聚并过程有影响，该模型的表达式为：
(13) (14)
PW (d i , d j ) = exp − 0.46 ρ l1 / 2ε 1 / 3σ −1 / 2 (d i d j (d i + d j ))
上升速度差引起的聚并
(
5/ 6
)
1.2.3
气泡上升速度差引起的气泡聚并模型和湍流涡引起的气泡聚
并模型类似，只是将气泡碰撞过程的特征速度采用气泡上升速度差|uri-urj|代替。由于气泡上 升速度沿竖直方向，因此不需对气含率的影响进行修正。为简单起见，气泡上升速度差引起 的聚并效率取值为 0.5。由气泡上升速度差引起的气泡碰撞频率的表达式为：
(
)
1/ 2
(7)
可以认为气泡自由湍动距离 l bt 等于与该气泡等大小的湍流涡的湍动距离。由湍流涡的 湍动距离等于湍流涡平均湍动速度和该湍流涡存在时间 τ e 的乘积可得：
lbt = u btτ e = 2 (εd b )1 / 3 (rb / ε )1 / 3 ≈ 0.89d b
hb,ij 和气泡平均距离有关：
Calculation of bubble size distribution based on PBM
WANG Tiefeng，WANG Jinfu
(Department of Chemical Engineering, Tsinghua University Beijing Key Laboratory of Green Reaction Engineering and Technology, Beijing 100084, China)
1
1.1
模型建立
群体平衡模型 对于气-液体系，忽略压力变化及相间传质的影响，离散后的 PBM 方程为[5]：
dN i (t ) + ∇ ⋅ (u b N i (t )) = 1 4 4 2 4 43 dt 123
I II M
1 (1 − δ j ,k )η i , jk c( g j , g k ) N j (t ) N k (t ) 2 j ,k g i −1 ≤ ( g j + g k ) ≤ g i +1 1 4 4 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 4 4 43
(18) (19) (20) (21)
Pb ( f v d , λ ) = ∫ Pb ( f v d , e(λ ), λ )Pe (e(λ ) )de(λ ) Pe (e(λ ) ) = 1 / e(λ ) exp − e(λ ) e(λ ) e( λ ) =
1 12
(
0
) (
)
πλ3 ρ c u λ2
引
言
气-液反应器广泛应用于石油化工、生物化工和环境工程等领域。在气-液反应器中，气泡
大小是影响流体力学行为及相间传质的重要参数，许多学者对气泡行为进行了深入的研究。 近几年，群体平衡模型（Population Balance Model：PBM）在气-液体系中的应用得到了研究 本文建立了气-液两相流中气泡相的群体平衡模型， 基于湍流理论和概率统 者的广泛关注[1~4]。 计方法建立了气泡的聚并和破碎速率模型，对不同流区内气泡的大小分布进行了深入研究。
π
α g,max 2/3 2/3 Γ ij 2ε 1 / 3 (d i + d j ) 2 (d i + d j )1 / 2 4 α g,max − α g
和文献[6]的模型相比，式 (5) 包括了气含率引起的修正项，其中αg,max/(αg,max−αg) 表示气含率 造成气泡自由运动空间减小的影响，αg,max 为最大气含率值，考虑到气泡大小存在一定分布，
ϖ W (d i , d j ) = 15.4Θd i2 u slip ,i
u slip ,i = 0.71 gd i
(d − d c / 2 )6 Θ= j
d c = 4 σ ( g∆ρ )
(11) (12)
((d
j
− d c / 2 ) + (d c / 2 ) 0
6
6
)
d j ≥ dc / 2 else
Γij 表示气泡间距和气泡 因此该值大于等大小的气泡所对应的最大气含率， 本文取αg,max为0.8；
自由湍动距离之比对气泡碰撞频率的影响，采用下面的关联式计算：
Γ ij = exp − (hb ,ij lbt ,ij )
2 2 lbt ,ij = l bt ,i + l bt , j
(
6
)
(6)
其中 l bt,ij 为平均的气泡自由湍动距离，即：
ϖ U (d i , d j ) =
1.3 气泡破碎
π
4
(d i + d j ) 2 u ri − u rj
(15)
考虑了两种气泡破碎机制，即湍流涡碰撞引起的破碎和大气泡不稳定引起的破碎。 1.3.1 湍流涡引起的破碎 Luo 等[10]建立的气泡破碎速率模型基于各向同性均匀湍流理论和 概率统计，该模型近几年来得到了广泛应用。但是，该模型只考虑了能量约束条件，没有考 虑压力约束条件，且在模型推导中存在错误，后来一些研究者对该类模型进行了改进[2,11, 12]。 被 Kostoglou 等[13]在建立统一 Wang 等[12] 等提出的模型同时考虑了能量约束和压力约束条件， 化的气泡破碎模型时作为标准模型讨论。该模型的最终表达式为：