流体力学第四章
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流体力学第四章
由连续方程 V2
2
A1 V1 A2
，代入上式，有
A V A h j (1 1 ) 2 1 ，即1 (1 1 ) 2 A2 2 g A2
如以
V1
A2 则有 V2代入，则有 A1
2 A2 2 V2 h j ( 1) ， 即 2 ( A2 1) 2 A1 2g A1
4.3.2 混合长度理论
4.3.3 湍流的速度分布 1、粘性底层（层流底层）
dv （1） 很大； dy
（2）粘性底层的厚度δ很小。 2、湍流核心
dv （1） dy
很小；
（2）区域大。 3、 过渡层—有时可将它算在湍流核心的 范围。
速度分布：在粘性底层中速度分布是直 线规律；湍流核心中为对数关系。 粗糙度 Δ 管壁凹凸不平的平均尺寸。 水利光滑管 δ>Δ 粗糙度对湍流核心几乎没有影响。 水利粗糙管 δ<Δ 粗糙度的大小对湍流特性产生直接影响。
《流体力学》
教学课件
第4章 流体在圆管中的流动
1 流体在固体内部的管中流动和缝隙中流动; 2 流体在固体外部的绕流; 3 流体在固体一侧的明渠流动; 4 流体与固体不相接触的孔口出流和射流。
4.1 雷诺实验
雷诺实验
雷诺实验发现 1.用不同的流体在相同直径的管道中进行实验，
所测得的临界速度 vk 是各不相同的；
T
有
W W W ，代入上式，得
T
1 1 W W W dt W W dt T0 T0 T 1 所以 T W dt 0 0
T
即脉动量的时均值
W 0
运用时均统计法就将湍流分为两个组成部分：一部分是用时均值表示 的时均流动；另一部分是用脉动值表示的脉动运动。时均流动代表运动 的主流，脉动反映湍流的本质。
流体力学第四章：流体阻力及能量损失
减小摩擦阻力的方法
优化物体表面粗糙度、使用润滑剂、改变流体的流速和方 向等。
形状阻力
形状阻力
由于物体形状的不同，流体在绕过物体时产生的阻力。
形状阻力公式
$F_s = frac{1}{2} rho u^2 A C_s$，其中$C_s$为形状阻力系数， 与物体形状、流体性质和流速有关。
减小形状阻力的方法
详细描述
汽车设计中的流体阻力优化主要包括车身形 状设计和空气动力学套件的应用。设计师会 采用流线型设计来减小空气阻力，同时也会 采用导流板、扰流板等空气动力学套件来调 整汽车周围的空气流动，以提高汽车的行驶
稳定性、减小风噪，并降低燃油消耗。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
船舶航行中的流体阻力主要来自船体与水之间的摩擦力以及水对船体的冲击力。为了减小流体阻力， 船舶设计师通常会采用流线型设计，优化船体表面的光滑度，以及减少不必要的突出物，从而提高航 行效率。
管道流动中的能量损失
总结词
管道中流体流动时，由于流体与管壁之 间的摩擦以及流体内部的湍流等效应， 会产生能量损失。
根据伯努利方程、欧拉方程等计算公式，结合物体的形状、速度和流体密度等 参数进行计算。
02 流体阻力现象
摩擦阻力
摩擦阻力
由于流体与物体表面的相对运动产生摩擦而形成的阻力。
摩擦阻力公式
$F_f = frac{1}{2} rho u^2 A C_f$，其中$rho$为流体密 度，$u$为流速，$A$为流体与物体接触的表面积，$C_f$ 为摩擦阻力系数。
流体力学第四章流体阻力及能量损 失
目录
• 流体阻力的概念 • 流体阻力现象 • 能量损失原理 • 流体阻力的减小方法 • 实际应用案例
优化物体表面粗糙度、使用润滑剂、改变流体的流速和方 向等。
形状阻力
形状阻力
由于物体形状的不同，流体在绕过物体时产生的阻力。
形状阻力公式
$F_s = frac{1}{2} rho u^2 A C_s$，其中$C_s$为形状阻力系数， 与物体形状、流体性质和流速有关。
减小形状阻力的方法
详细描述
汽车设计中的流体阻力优化主要包括车身形 状设计和空气动力学套件的应用。设计师会 采用流线型设计来减小空气阻力，同时也会 采用导流板、扰流板等空气动力学套件来调 整汽车周围的空气流动，以提高汽车的行驶
稳定性、减小风噪，并降低燃油消耗。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
详细描述
船舶航行中的流体阻力主要来自船体与水之间的摩擦力以及水对船体的冲击力。为了减小流体阻力， 船舶设计师通常会采用流线型设计，优化船体表面的光滑度，以及减少不必要的突出物，从而提高航 行效率。
管道流动中的能量损失
总结词
管道中流体流动时，由于流体与管壁之 间的摩擦以及流体内部的湍流等效应， 会产生能量损失。
根据伯努利方程、欧拉方程等计算公式，结合物体的形状、速度和流体密度等 参数进行计算。
02 流体阻力现象
摩擦阻力
摩擦阻力
由于流体与物体表面的相对运动产生摩擦而形成的阻力。
摩擦阻力公式
$F_f = frac{1}{2} rho u^2 A C_f$，其中$rho$为流体密 度，$u$为流速，$A$为流体与物体接触的表面积，$C_f$ 为摩擦阻力系数。
流体力学第四章流体阻力及能量损 失
目录
• 流体阻力的概念 • 流体阻力现象 • 能量损失原理 • 流体阻力的减小方法 • 实际应用案例
工程流体力学 第4章 流体运动学
质量表示时，为质量流量，以 qm 标记；以体积表示为体 积流量，以 qV 标记，可表示为
qV
vdA
A
断面平均流速:过流断面各点速度的断面平均值,以V标记,有
V
vdA
A
qV
AA
对任一点有
v V v
§4-2 描述流体运动的基本概念
四、一、二、三元流动
一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。 一元流动（One-dimensional Flow）：流体的运动
v v (x, y, z) p p(x, y, z)
§4-2 描述流体运动的基本概念
三、流管、流束、流量与平均速度 流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状
曲面，见图。
流束：流管内所有流线的集合为流束。 微小流束：断面积无限小的流束。 总流：无数流束的总和。 注：（1）流束表面没有流体穿越；
间曲线，该瞬时位于曲线上各点的流体质点的速度与曲线在 该点相切,（如图示）。
§4-2 描述流体运动的基本概念
（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可
在该瞬时作A点速度 v1 ；在 v1 上靠近A点找点 2，并在同 一时刻作 2点速度 v2；再在 v2上靠近2点找点3，也在同一 时刻作速度 v3 ；依次作到 N点，得到折线A-2-3-…-N，当
工程流体力学 第四章 流体运动学
§4-1 描述流体运动的两种方法
流体运动学研究流体运动的规律，不追究导致运动的力 学因素。
研究流体运动的方法
一、拉格朗日法（Lagrange Method) 拉格朗日法又称随体法。它追踪研究每一个流体质点的
运动规律，综合所有的流体质点，从而得到整个流场的运动 规律，参见图。
a y
qV
vdA
A
断面平均流速:过流断面各点速度的断面平均值,以V标记,有
V
vdA
A
qV
AA
对任一点有
v V v
§4-2 描述流体运动的基本概念
四、一、二、三元流动
一、二、三元流动又称为一、二、三维流动。 一元流动（One-dimensional Flow）：流体的运动
v v (x, y, z) p p(x, y, z)
§4-2 描述流体运动的基本概念
三、流管、流束、流量与平均速度 流管：流场中过封闭曲线上各点作流线所围成的管状
曲面，见图。
流束：流管内所有流线的集合为流束。 微小流束：断面积无限小的流束。 总流：无数流束的总和。 注：（1）流束表面没有流体穿越；
间曲线，该瞬时位于曲线上各点的流体质点的速度与曲线在 该点相切,（如图示）。
§4-2 描述流体运动的基本概念
（2）流线的作法：欲作流场中某瞬时过A点的流线，可
在该瞬时作A点速度 v1 ；在 v1 上靠近A点找点 2，并在同 一时刻作 2点速度 v2；再在 v2上靠近2点找点3，也在同一 时刻作速度 v3 ；依次作到 N点，得到折线A-2-3-…-N，当
工程流体力学 第四章 流体运动学
§4-1 描述流体运动的两种方法
流体运动学研究流体运动的规律，不追究导致运动的力 学因素。
研究流体运动的方法
一、拉格朗日法（Lagrange Method) 拉格朗日法又称随体法。它追踪研究每一个流体质点的
运动规律，综合所有的流体质点，从而得到整个流场的运动 规律，参见图。
a y
流体力学第四章
流体力学
动量方程16－运动控制体
已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 出口截面A11= 0.003m22，求Rxx和 Ryy 出口截面A = 0.003m ，求R 和 R
解：(1) 坐标系 (2) 控制体
r r r Vr = V − U
流体力学
动量方程15－运动控制体
∂ ∂t
∫
CV
r r r r r ρVr dτ + ∫ ρVrVr ⋅ ndS = ΣF
CS
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ρ，V 在进出口截面均布，定常流动
r r & ∑ F = ∑ mriVri
(
)
out
−∑
(
r & mriVri
)
in
r r r 其中 Vr = V − VCV
φ
流体力学
雷诺输运方程1
欧拉方法描述系统物理量对时间的变化率
CSIII CSI I
t
r V
II
III
dS3
dS1 r n
r n
r V
t +δ t
DN sys Dt
流体力学
= lim
N sys (t + δt ) − N sys (t )
δt → 0
δt
雷诺输运方程2
DN sys Dt
DN sys Dt
流体力学
质点导数与系统导数
质点导数
r Dφ ∂φ = + (V ⋅ ∇ )φ Dt ∂t
流体质点某物理量随时间的变化率同空 间点上物理量之间的关系 系统导数
DN ∂ = Dt ∂t r r φV ⋅ ndS
动量方程16－运动控制体
已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 已知V = 30m/s，U = 10m/s，忽略重力和摩擦力, 出口截面A11= 0.003m22，求Rxx和 Ryy 出口截面A = 0.003m ，求R 和 R
解：(1) 坐标系 (2) 控制体
r r r Vr = V − U
流体力学
动量方程15－运动控制体
∂ ∂t
∫
CV
r r r r r ρVr dτ + ∫ ρVrVr ⋅ ndS = ΣF
CS
流体仅在控制面的有限个区域流入流出且 ρ，V 在进出口截面均布，定常流动
r r & ∑ F = ∑ mriVri
(
)
out
−∑
(
r & mriVri
)
in
r r r 其中 Vr = V − VCV
φ
流体力学
雷诺输运方程1
欧拉方法描述系统物理量对时间的变化率
CSIII CSI I
t
r V
II
III
dS3
dS1 r n
r n
r V
t +δ t
DN sys Dt
流体力学
= lim
N sys (t + δt ) − N sys (t )
δt → 0
δt
雷诺输运方程2
DN sys Dt
DN sys Dt
流体力学
质点导数与系统导数
质点导数
r Dφ ∂φ = + (V ⋅ ∇ )φ Dt ∂t
流体质点某物理量随时间的变化率同空 间点上物理量之间的关系 系统导数
DN ∂ = Dt ∂t r r φV ⋅ ndS
流体力学第四章 水头损失
全）。
P59表4-1为不同形状导管的临界雷诺数（水力半径）。
雷诺数的物理意义： Re = V d/ 粘性大、 Re 小、 易层流
13
§4–5 层流的水头损失---圆管中的层流
在这一章节主要讨论粘性力和沿程水头损失 hf 的规律。
假设流体在等截面水平圆管中作层流运动。取出其中半径 为 r 的圆柱体作为研究对象，写出运动方程式：（因为是定常
因此在计算每一个具体流动的水头损失时，首先须要判 别该流体的流动状态，而雷诺数为判别流体是层流还是湍 流提供了准则。
11
§4-4 雷诺数
管中流体的平均流速不是一个独立不变的量。
由实验知：流体平均流速与流体运动粘性成正比、与管道直 径d成反比；则引入一个无量纲比例常数Re 可写为：
V= Re /d
其中 Re 称为雷诺数。
8
（c）继续增大管内流速，则染色流束剧烈地波动，最后个别部 分出现破裂，并失掉原来的清晰的形状，混杂在很多小旋涡中。 染色液体很快充满整个管，如图c。这表明此时管内的流体向前 流动时处于完全无规则的混乱状态，称其为“湍流”，或“紊 流”。
流体由层流转变为湍流时 的平均流速，称之为“上临 界速度VC `”。
长管、短管
不是由管道的长与短来决定，而是由局部水头损失与沿程水头 损失的比例大小来确定。
长管：沿程损失比局部损失和速度水头的和大，局部损失可忽略；
短管：局部损失和速度水头的和比沿程损失大，考虑局部损失；
§4-3 流体流动两种状态
在不同条件下，流体质点的运动可能表现为两种状态。 一是、流体质点作有规则的运动，在运动过程中质点之间
互不混杂、互不干扰。 二是、流体质点的运动非常混乱。 1883年英国科学家雷诺进行了负有盛名的雷诺实验。
P59表4-1为不同形状导管的临界雷诺数（水力半径）。
雷诺数的物理意义： Re = V d/ 粘性大、 Re 小、 易层流
13
§4–5 层流的水头损失---圆管中的层流
在这一章节主要讨论粘性力和沿程水头损失 hf 的规律。
假设流体在等截面水平圆管中作层流运动。取出其中半径 为 r 的圆柱体作为研究对象，写出运动方程式：（因为是定常
因此在计算每一个具体流动的水头损失时，首先须要判 别该流体的流动状态，而雷诺数为判别流体是层流还是湍 流提供了准则。
11
§4-4 雷诺数
管中流体的平均流速不是一个独立不变的量。
由实验知：流体平均流速与流体运动粘性成正比、与管道直 径d成反比；则引入一个无量纲比例常数Re 可写为：
V= Re /d
其中 Re 称为雷诺数。
8
（c）继续增大管内流速，则染色流束剧烈地波动，最后个别部 分出现破裂，并失掉原来的清晰的形状，混杂在很多小旋涡中。 染色液体很快充满整个管，如图c。这表明此时管内的流体向前 流动时处于完全无规则的混乱状态，称其为“湍流”，或“紊 流”。
流体由层流转变为湍流时 的平均流速，称之为“上临 界速度VC `”。
长管、短管
不是由管道的长与短来决定，而是由局部水头损失与沿程水头 损失的比例大小来确定。
长管：沿程损失比局部损失和速度水头的和大，局部损失可忽略；
短管：局部损失和速度水头的和比沿程损失大，考虑局部损失；
§4-3 流体流动两种状态
在不同条件下，流体质点的运动可能表现为两种状态。 一是、流体质点作有规则的运动，在运动过程中质点之间
互不混杂、互不干扰。 二是、流体质点的运动非常混乱。 1883年英国科学家雷诺进行了负有盛名的雷诺实验。
流体力学课件第四章流动阻力和水头损失
l v hf d 2g
2
r w g J 2
w v 8
定义壁剪切速度（摩擦速度） 则
w v
*
v v
*
8
§4-4 圆管中的层流
层流的流动特征
du dy
du du dy dr
du dr
g J
r 2
r du g J 2 dr
层流 紊流
§4-3 沿程水头损失与剪应力的关系
均匀流动方程式
P G cos P2 T 0 1
P p1 A1 1
P2 p2 A2
T w l
G cos gAl cos gA( z1 z2 )
w l p1 p2 ( z1 ) ( z2 ) g g gA
v2 hj 2g
§4-2 粘性流体的两种流态
两种流态
v小
' c
v小
v > vc
v大 v大
临界流速。 下临界流速 vc ——由紊流转化为层流时的流速称为下 临界流速。
vc' ——由层流转化为紊流时的流速称为上 上临界流速
vv
层流 紊流
' c
紊流 层流
a-b-c-e-f f-e-d-b-a
第四章 流动阻力和水头损失
水头损失产生的原因： 一是流体具有粘滞性， 二是流动边界的影响。
§4-1 流动阻力和水头损失的分类
沿程阻力和沿程水头损失
在边界沿程无变化（边壁形状、尺寸、过 流方向均无变化）的均匀流段上，产生的流动 阻力称为沿程阻力或摩擦阻力。由于沿程阻力 做功而引起的水头损失称为沿程水头损失。均 匀流中只有沿程水头损失 h f 。
流体力学 第四章 量纲分析
v l
F 3 l
3 Fp Fm3 300 20 2400000 N 2400 kN l
5.按雷诺准则和佛劳德准则导出的物理量比尺表 比尺
名称
λυ=1 长度比尺λl 流速比尺λv λl λl-1
雷诺准则 λυ≠1 λl λυλl-1
弗劳德准则 λl λl1/2
加速度比尺λa
取m个基本量，组成(n－m)个无量纲的π项
F 1 , 2 ,, nm 0
例：求有压管流压强损失的表达式 解：步骤
a.找出物理过程中有关的物理量，组成未知的函数关系
f p, ,, l , d , , v 0
b.选取基本量
n7
常取：几何学量l（d），运动学量v，动力学量ρ
vp vm
up um
v λv——速度比尺
l t tm lm vm v
tp lp vp
时间比例尺 加速度比尺
v 2 a v t l
qV p qVm
流量比例尺 q 运动粘度比例尺 角速度比例尺
3 3 l 2l v lm tm t
Re
vl
雷诺数——粘性力的相似准数
（2）佛劳德准则——重力是主要的力
FGP FIP FGm FIm
改成
FIm FIP FGP FGm
FG mg gl 3
FI l 2v 2
2 vm g p l p g m lm
v2 p
无量纲数
v2 Fr gl
佛劳德数——重力的相似准数 （3）欧拉准则——压力是主要的力
20 vm v p 300 6000km / h lm 1 lp
难以实现，要改变实验条件
工程流体力学-第4章-M
运动学物理量的比例系数都可以表示为尺度比例系数和时间比例系数的不同组合形式。
如：kv=klkt-1 ka=klkt-2 k=kt-1 k=kl2kt-1 kqv=kl3kt-1 的单位是m2/s qV的单位是m3/s
三 动力相似（受力相似）
定义：两流动的对应部位上同名力矢成同一比例。 原型流动中作用有：重力、阻力、表面张力，则模型流动中相应点上也应存在这三种力，并且各同名力的方向相同、比值保持相等。 引入力比例系数 也可写成
[解]（1） 对流动起主要作用的力是黏滞力，应满足雷诺准则
流动的压降满足欧拉准则
[例2] 有一直径d=50cm的输油管道，管道长l=200m，油的运动粘滞系数 ，管中通过油的流量 。现用10℃的水和管径dm= 5 cm的管路进行模型试验，试求模型管道的长度和通过的流量。
M： 1＝ c+d L： 1＝ a+b-3c-d T： -2＝ -b -d 上述三个方程中有四个未知数，其中的三个未知数必须以第四个未知数表示： c=1-d； b=2-d； a=2-d 求得各指数值，带入假设式，得到无量纲关系式
（2）根据量纲和谐原理建立联立方程式
上式是一个无量纲方程，与具有四个未知数的原函数方程相比，仅包含一个独立的无量纲变量。在分析试验结果并确定变量之间的关系时，独立变量数的减少是非常方便的，这也是量纲分析的明显好处。
非定常相似准则
由当地惯性力与迁移惯性力的关系，得到 称为斯特罗哈（Strouhal)数，要使两个流动的当地惯性力作用相似，则它们的斯特罗哈数必须相等，这称为惯性力相似准则，也称为非定常相似准则。
流动相似理论是工程模型研究和实验的基础。模型和原型的相似参数的测试与数据处理是工程模型研究的两个核心问题。 一、模型与原型的相似 1、近似相似 1）不是所有的相似准则数都能同时被满足的； 2）甚至，有时连保证几何相似都是困难的。 2、实验方法 根据具体的问题，选择最重要的相似准则，确定模型尺寸及实验条件；得到无量纲准则数之间的关系。
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z p c
g
渐变流
均匀流 急变流
渐变流 急变流 渐变流
急变流
图 3-18 渐变流和急变流
总流的伯努利方程
实际恒定总流 1-1 、2-2过流断面 渐变流
dA
元流
总流 dA A
黏性元流的伯努利方程（单位重量流体）
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw'
单位时间流过元流1-1和2-2 过流断面 的流体重量
r
rr
Fdt mV2 mV1 动量方程
Fdt Qdt(1v1 2v2)
Fx Q(2vx2 1vx1) Fy Q(2vy2 1vy1) Fz Q(2vz2 1vz1)
恒定总流的动量方程
应用动量方程的注意事项
a) 取控制体（隔离体） 在流场中将研究的流段隔离出来，即为控制体。它是以渐变流的过流断面和固体壁 面为边界所包围的流体段，之所以取在渐变流，是因为渐变流上其过流断面平均流 速和作用在断面上的压力比较好确定。
dxdydz
Dux Dt
X 1 p Dux
x Dt
同理
Y 1 p Duy
y Dt
Z 1 p Duz
z Dt
展开成欧拉法的表达 式（3-9）
无黏性流体运动微分方程 （欧拉运动微分方程）
X
1
p x
ux t
ux
u x x
uy
ux y
1
p y
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p z
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
两边同乘以 dx
dy
dz
沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上的投影为dx、dy和dz
Xdx
1
p x
dx
ux
ux x
dx
uy
总流
渐变流及其性质 总流的伯努利方程
渐变流及其性质
流动的分类
r r
ug u 0
均匀流
非均匀流
迁移加速度很小， 或流线近乎是平行
直线的流动
r r
ug u 0
渐变流
急变流
渐变流的性质：
1）渐变流的过流断面近于平面，面上各点的速度方向近于平行； 2）渐变流过流断面上的动压强与静压强的分布规律相同。
单位时间的总流1-1和2-2 过流断面的能量关系
总流的伯努利方程
势能积分
动能积分
A1
z1
p1
g
gu1dA1
A1
u12 2g
gu1dA1
水头损失积分
A2
z2
p2
g
gu2dA2
A2
u22 2g
uz
ux z
Y
1
p y
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p z
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
黏性流体运动微分方程
黏性
存在剪切力
由于黏性作用，任一点法向应力的大小与作用 面的方位有关
P84
图4-16
3
2
0
3
2
【例4-1】 有一直径缓慢变化的锥形水管，1-1断面处直径
d1=0.15m,中心点A的相对压强为7.2kN/m2, 2-2断面处直径d2=0.3m, 中心点B的相对压强为6.1kN/m2,断面平均流速v2=1.5m/s，A,B 的高差为1米，试判断管中水流方向，并求1，2两断面间的水头 损失。
c) 求动量的变化 动量的变化往往用投影量来进行计算，由流出控制体的动量值减去流入控制体的动 量值，流速投影的正负与力的投影正负规定相同，与坐标轴的方向一致。另外，在 求解过程中还会用到连续性方程和能量方程。
p2 g
Z2
总流伯努利方程的物理意义和几何意义 元流伯努利方程的物理意义和几何意义
异同点？
1. 水流必须是不可压缩液体的恒定流； 2. 作用在液体上的质量力只有重力； 3. 在所选取的两个过水断面符合渐变流断面，但在
所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流。 4.两段面间无分流或汇流。
例如
1
1
0
b) 受力分析 作用在控制体上的外力包括重力和表面力。 表面力中包括两个断面上的压力,固体壁面对流体的压力(这个力往往就是所求的力) 还有固壁附近的摩擦阻力（通常由于相对于作用力很小，可以忽略）。控制体内还 有内力，对外而言也不予考虑。对大气压力只要暴露在大气中都会受到大气的作用 因此，绝大多数都用相对压强来计算。未知力的方向可以任意假设，最后通过计算 结果来判断方向，结果为正则实际方向与假设方向一致，否则相反。
2g
）-（z2
p2
g
2 v22
2g
）
2.57 1.74 0.83m
所以1，2断面间的水头损失为0.83米。
应用恒定总流能量方程式时应注意几点
• 基准面的选择是任意的，但在计算不同断面的位置水头z值时，必须 选取同一基准面；
p
• 能量方程中 g一项，可以是相对压强，也可以是绝对压强，但对同一 问题必须采用相同的标准；
gu2dA2
A2
hw' gu2dA2
积分整理得
z1
p1
g
gQ1
1v12
2g
gQ1
z2
p2
g
gQ2
2v22
2g
gQ2
hw gQ2
总流的伯努利方程
两过流断面无分流及汇流，则Q1=Q2=Q，两边同除pgQ可得
z1
若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点,则可得
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
在特殊情况下，绝对静止流体u=0，由可以得到静力学基本方程
z p C (常数)
g
二、元流伯努利方程的物理意义和几何意义
能量守恒
z
p g
u2 2g z p u2 g 2g
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p z
2uz
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
4.2 元流的伯努利方程
理想流体元流的伯努利方程 黏性流体元流的伯努利方程
理想流体元流的伯努利方程
理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。 在下列几个假定条件下：
2
又假设为不可压缩流体，即ρ=常数，积分后得
gz p u2 C (常数)
2
or
z p u2 C (常数)
g 2g
此上式称为理想流体微元流束的伯努利方程
方程右边的常数对不同的流线有不同的值。该方程的适用范围：
理想、不可压缩流体，在重力作用下，作恒定流动，并沿 同一流线（或微元流束）。
•
在计算过水断面的测压管水头
z
p g
时，可以选取断面上任意点计
算（？），具体选择哪一点，以计算方便为宜。例如：对管流，一
般选取管轴中心点来计算，明渠一般选择自由表面上的点。
• 不同过水断面的动能修正系数α严格讲是不相等的，实际中对渐变流， 通常令α=1，特殊情况时需根据具体情况而定。
4.5 恒定总流的动量方程
hw
总流两过流断面间单位重量流体平均的机械能失；
z p
g z p v2
g 2g
总流过流断面上单位重量流体的平均势能； 总流过流断面上单位重量流体的平均机械能；
H1 H2
水头线
1v12 2g
p1 g
Z1
总流的伯努利方程
总水头线坡度 J dhw
dL
H
HP
hw
2 v22 2g
4.1 流体的运动微分方程 4.2 元流的伯努利方程
能量方程
4.3 恒定总流的伯努利方程 4.4 ＊ 非恒定总流的伯努利方程
动量方程
4.5 恒定总流的动量方程
4.1 流体的运动微分方程
无黏性流体运动微分方程 黏性流体运动微分方程
无黏性流体运动微分方程
X轴方向
无黏性
不存在剪切力
表面力
压 强
pM
p p x
式（3-16）
Xdx
1
p x
dx
u x dux
Ydy
1
p y
dy
u y du y
相 加
1 p
Zdz z dz u z duz
( Xdx
Ydy
Zdz)
1
p x
dx
p y
dy
g
渐变流
均匀流 急变流
渐变流 急变流 渐变流
急变流
图 3-18 渐变流和急变流
总流的伯努利方程
实际恒定总流 1-1 、2-2过流断面 渐变流
dA
元流
总流 dA A
黏性元流的伯努利方程（单位重量流体）
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
hw'
单位时间流过元流1-1和2-2 过流断面 的流体重量
r
rr
Fdt mV2 mV1 动量方程
Fdt Qdt(1v1 2v2)
Fx Q(2vx2 1vx1) Fy Q(2vy2 1vy1) Fz Q(2vz2 1vz1)
恒定总流的动量方程
应用动量方程的注意事项
a) 取控制体（隔离体） 在流场中将研究的流段隔离出来，即为控制体。它是以渐变流的过流断面和固体壁 面为边界所包围的流体段，之所以取在渐变流，是因为渐变流上其过流断面平均流 速和作用在断面上的压力比较好确定。
dxdydz
Dux Dt
X 1 p Dux
x Dt
同理
Y 1 p Duy
y Dt
Z 1 p Duz
z Dt
展开成欧拉法的表达 式（3-9）
无黏性流体运动微分方程 （欧拉运动微分方程）
X
1
p x
ux t
ux
u x x
uy
ux y
1
p y
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p z
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
两边同乘以 dx
dy
dz
沿流线的微小位移ds在三个坐标轴上的投影为dx、dy和dz
Xdx
1
p x
dx
ux
ux x
dx
uy
总流
渐变流及其性质 总流的伯努利方程
渐变流及其性质
流动的分类
r r
ug u 0
均匀流
非均匀流
迁移加速度很小， 或流线近乎是平行
直线的流动
r r
ug u 0
渐变流
急变流
渐变流的性质：
1）渐变流的过流断面近于平面，面上各点的速度方向近于平行； 2）渐变流过流断面上的动压强与静压强的分布规律相同。
单位时间的总流1-1和2-2 过流断面的能量关系
总流的伯努利方程
势能积分
动能积分
A1
z1
p1
g
gu1dA1
A1
u12 2g
gu1dA1
水头损失积分
A2
z2
p2
g
gu2dA2
A2
u22 2g
uz
ux z
Y
1
p y
u y t
ux
u y x
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p z
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
黏性流体运动微分方程
黏性
存在剪切力
由于黏性作用，任一点法向应力的大小与作用 面的方位有关
P84
图4-16
3
2
0
3
2
【例4-1】 有一直径缓慢变化的锥形水管，1-1断面处直径
d1=0.15m,中心点A的相对压强为7.2kN/m2, 2-2断面处直径d2=0.3m, 中心点B的相对压强为6.1kN/m2,断面平均流速v2=1.5m/s，A,B 的高差为1米，试判断管中水流方向，并求1，2两断面间的水头 损失。
c) 求动量的变化 动量的变化往往用投影量来进行计算，由流出控制体的动量值减去流入控制体的动 量值，流速投影的正负与力的投影正负规定相同，与坐标轴的方向一致。另外，在 求解过程中还会用到连续性方程和能量方程。
p2 g
Z2
总流伯努利方程的物理意义和几何意义 元流伯努利方程的物理意义和几何意义
异同点？
1. 水流必须是不可压缩液体的恒定流； 2. 作用在液体上的质量力只有重力； 3. 在所选取的两个过水断面符合渐变流断面，但在
所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流。 4.两段面间无分流或汇流。
例如
1
1
0
b) 受力分析 作用在控制体上的外力包括重力和表面力。 表面力中包括两个断面上的压力,固体壁面对流体的压力(这个力往往就是所求的力) 还有固壁附近的摩擦阻力（通常由于相对于作用力很小，可以忽略）。控制体内还 有内力，对外而言也不予考虑。对大气压力只要暴露在大气中都会受到大气的作用 因此，绝大多数都用相对压强来计算。未知力的方向可以任意假设，最后通过计算 结果来判断方向，结果为正则实际方向与假设方向一致，否则相反。
2g
）-（z2
p2
g
2 v22
2g
）
2.57 1.74 0.83m
所以1，2断面间的水头损失为0.83米。
应用恒定总流能量方程式时应注意几点
• 基准面的选择是任意的，但在计算不同断面的位置水头z值时，必须 选取同一基准面；
p
• 能量方程中 g一项，可以是相对压强，也可以是绝对压强，但对同一 问题必须采用相同的标准；
gu2dA2
A2
hw' gu2dA2
积分整理得
z1
p1
g
gQ1
1v12
2g
gQ1
z2
p2
g
gQ2
2v22
2g
gQ2
hw gQ2
总流的伯努利方程
两过流断面无分流及汇流，则Q1=Q2=Q，两边同除pgQ可得
z1
若1、2为同一条流线（或微元流束）上的任意两点,则可得
z1
p1
g
u12 2g
z2
p2
g
u22 2g
在特殊情况下，绝对静止流体u=0，由可以得到静力学基本方程
z p C (常数)
g
二、元流伯努利方程的物理意义和几何意义
能量守恒
z
p g
u2 2g z p u2 g 2g
uy
u y y
uz
u y z
Z
1
p z
2uz
uz t
ux
uz x
uy
uz y
uz
uz z
4.2 元流的伯努利方程
理想流体元流的伯努利方程 黏性流体元流的伯努利方程
理想流体元流的伯努利方程
理想流体的运动微分方程只有在少数特殊情况下才能求解。 在下列几个假定条件下：
2
又假设为不可压缩流体，即ρ=常数，积分后得
gz p u2 C (常数)
2
or
z p u2 C (常数)
g 2g
此上式称为理想流体微元流束的伯努利方程
方程右边的常数对不同的流线有不同的值。该方程的适用范围：
理想、不可压缩流体，在重力作用下，作恒定流动，并沿 同一流线（或微元流束）。
•
在计算过水断面的测压管水头
z
p g
时，可以选取断面上任意点计
算（？），具体选择哪一点，以计算方便为宜。例如：对管流，一
般选取管轴中心点来计算，明渠一般选择自由表面上的点。
• 不同过水断面的动能修正系数α严格讲是不相等的，实际中对渐变流， 通常令α=1，特殊情况时需根据具体情况而定。
4.5 恒定总流的动量方程
hw
总流两过流断面间单位重量流体平均的机械能失；
z p
g z p v2
g 2g
总流过流断面上单位重量流体的平均势能； 总流过流断面上单位重量流体的平均机械能；
H1 H2
水头线
1v12 2g
p1 g
Z1
总流的伯努利方程
总水头线坡度 J dhw
dL
H
HP
hw
2 v22 2g
4.1 流体的运动微分方程 4.2 元流的伯努利方程
能量方程
4.3 恒定总流的伯努利方程 4.4 ＊ 非恒定总流的伯努利方程
动量方程
4.5 恒定总流的动量方程
4.1 流体的运动微分方程
无黏性流体运动微分方程 黏性流体运动微分方程
无黏性流体运动微分方程
X轴方向
无黏性
不存在剪切力
表面力
压 强
pM
p p x
式（3-16）
Xdx
1
p x
dx
u x dux
Ydy
1
p y
dy
u y du y
相 加
1 p
Zdz z dz u z duz
( Xdx
Ydy
Zdz)
1
p x
dx
p y
dy