随机利率模型下几何平均亚式期权定价的新解法
美式几何平均亚洲期权定价问题的近似解析解
０ 引 言
１ 金融市场数学模型
的收益ꎬ这使得投资人难以获得套利机会ꎮ 相比而
洲期权则转化为普通的几何平均亚洲期权ꎬ考虑固
言ꎬ美式几何平均亚洲期权具备提前实施条款ꎬ赋
定执行价格情形下的看涨期权ꎬ投资人在到期日的
予了投资人更多权利ꎬ交易起更加灵活ꎮ 因此对美
现金收益为
普通的几何平均亚洲期权仅依赖到期日当天
２０１９
文章编号:１００８ － １４０２(２０１９)０６ － １００６ － ０４
美式几何平均亚洲期权定价问题的近似解析解
①
孙玉东ꎬ 田景仁ꎬ 陈 瑛
( 贵州民族大学商学院ꎬ贵州 贵阳 ５５００２５)
摘 要: 针对美式几何平均亚洲期权定价问题ꎬ首先利用自融资策略、结合财富过程的交易费
用给出了美式几何平均亚洲期权和相应欧式几何平均亚洲期权价格之间的等价关系式ꎮ 其次通
(２)
其中随机噪声 { Ｗ( ｔ) ꎬｔ ⩾ ０} 为标准 Ｂｒｏｗｎｉａｎ
运动ꎬ假定当前时刻是 ｔ 时刻ꎬ则 Ｓ( ｔ) ＝ ｓ 已知ꎮ
利用金融资产的复制策略ꎬ在 Ｂｌａｃｋ － Ｓｃｈｏｌｅｓ 模型
(２) 下ꎬ损益为 Ｆ( Ｔ) 的美式几何平均亚洲看涨期
权的价值 Ｃ( ｔꎬＳ) 适合变分不等式
ìïｍｉｎ{ ∂ｔ Ｃ ＋ ＡＣꎬＣ － ｍａｘ{ Ｊ － Ｋꎬ０} } ＝ ０ꎬ
Ｃ( ｔꎬＳꎬＪ) ⩾ ｃ( ｔꎬＳꎬＪ)
(１１)
考察投资人投资美式几何平均亚洲期权和无
此ꎬ将投资人放弃提前实施条款带来的损失视为财
富过程的交易费用ꎬ结合文献[５ꎬ６] 推导出了美式
几何平均亚洲期权适合的抛物方程ꎬ得到了一个结
构更加简单、使用更加灵活的期权近似定价公式ꎮ
分数布朗运动环境中几何平均亚式期权的定价_沈明轩_何朝林
∞
Ｔ ， ｆ ０ ， ｔ ］ 满足 ｆ 且 ｎ 限于［ ｎ∈ Ｒ ， Ｉ （ ｆ ）＝ ｎ ｎ
２ ｎ
ｎ ｔ
∫
０ … ｔ ≤ｔ １ ｎ
Ｈ Ｈ ｆ （ ｔ ， …， ｔ ） ｄ Ｂ …ｄ Ｂ 。 ｔ ｔ ｎ １ ｎ １ ｎ
［ ９ ］ ２ Ｈ Ｈ 定义 １ 假设 Ｇ∈ 珘 Ｌ （ ， Ｆ Ｐ ） ， 则 Ｇ关于 Ｆ （ Ｂ ｓ ） ， ０≤ ｓ ）的拟条件期望为 Ω ≤ｔ ｔ， ｔ ＝σ Ｈ（ ∞ ｎ 珘 珘 Ｅ ［ Ｇ ］ ：＝Ｅ ［ Ｇ｜ Ｆ ｔ ） ］ ＝∑ Ｉ （ ｆ Ｉ ） ， ｔ Ｈ（ ｎ ｎ ［ ０ ， ｔ ］ ｎ ＝ ０
１ ２ ］ 几何布朗运动的假设下讨论的 ［ 。然而实证表明金融市场具有长记忆性和自相似性等分形特性， 这使得 ３ ５ ］ 分数布朗运动驱动下的定价模型 ［ 更符合市场真实情形。文献［ ６ ７ ］ 考虑了分数布朗运动中具有固定执
行价格的亚式期权的定价问题， 给出了几何平均亚式期权的定价公式， 但是具有浮动执行价格的亚式期权的 定价问题却很少被研究， 因此我们这里考虑在分数布朗运动驱动下浮动执行价格的几何平均亚式期权的定 价问题。
ｎ 其中， Ｉ ［ ０ ， ｔ ］
－１ ， ｔ ； ≤ ｓ＜０ ＝Ｉ （ ｔ ） …Ｉ （ ｔ ） ， Ｉ （ ｓ ）＝ １ ， ０≤ ｓ ； ≤ｔ ［ ０ ， ｔ ］ １ ［ ０ ， ｔ ］ ｎ ［ ０ ， ｔ ］
{
０ ， 其他。
引理 ２
［ １ ０ １ １ ］
２ Ｈ 珘 任意有界 Ｆ ， Ｆ Ｐ ） ， 在任意时刻 ｔ ０ ， Ｔ ］的价格为 Ω ∈［ ｔ， Ｔ 可测函数的未定权益 Ｇ∈ Ｌ（ 珘 Ｇ （ ｔ ） ＝ｅ ｘ ｐ ｛ －ｒ （ Ｔ－ｔ ） ｝ Ｅ ［ Ｇ ］ ， ｔ
随机波动率下的亚式期权定价问题在GPU集群上的实现_徐磊
第29卷第11期计算机应用与软件Vol.29No．112012年11月Computer Applications and Software Nov．2012随机波动率下的亚式期权定价问题在GPU 集群上的实现徐磊1徐莹1姜广鑫2梁义娟2寇大治1徐承龙21（上海超级计算中心上海201203）2（同济大学数学系上海200092）收稿日期：2011－11－28。
国家高技术研究发展计划（2009AA012201）；上海市科委科研计划项目（08dz1501600）；上海浦江人才计划（10PJ1430600）。
徐磊，工程师，主研领域：并行计算，高性能系统评测，GPU 应用移植及优化。
徐莹，高工。
姜广鑫，硕士生。
梁义娟，博士。
寇大治，工程师。
徐承龙，教授。
摘要期权定价作为计算金融领域的核心问题之一，越来越受到关注。
随着期权交易的规模和交易量的迅速增长，当前的期权定价平台越来越受到挑战，在尽可能短的时间内对期权进行定价变得越来越困难。
传统的计算平台通常使用基于CPU 的计算集群，而图形处理器（GPU ）具有更高的浮点性能和访存带宽，在价格与功耗方面也优于CPU 。
尝试使用GPU 集群来对具有随机波动率的亚式期权进行定价，同时使用带控制变量的Monte Carlo 方法，减小模拟的方差。
最终的测试结果表明GPU 集群较CPU 集群具有更多的优势，适合应用于期权定价领域。
关键词GPU 集群CUDA亚式期权随机波动蒙特卡洛MPI中图分类号TP301文献标识码ADOI ：10．3969/j．issn．1000-386x．2012．11．021IMPLEMENTATION OF PRICING ASIAN OPTIONS WITH STOCHASTICVOLATILITY ON GPU CLUSTERXu Lei 1Xu Ying 1Jiang Guangxin 2Liang Yijuan 2Kou Dazhi 1Xu Chenglong 21（Shanghai Supercomputer Center ，Shanghai 201203，China ）2（Department of Mathematics ，Tongji University ，Shanghai 200092，China ）Abstract Options pricing is one of the core issues in the field of computational finance ，which has attracted increasing focus．With therapid growth of options trading in both scale and volume ，there is growing challenge on existing options pricing platforms ，and to price an option in shortest possible period of time has become increasingly difficult．Traditional computing platforms often use CPU-based computationclusters ，but compared with the tradition CPU ，GPU （Graphic Processing Unit ）can possess higher floating-point performance andbandwidth ，and its cost and power consumption outperform CPU as well．In this paper ，we try to use GPU cluster to price Asian options with stochastic volatility ，and meanwhile use Monte Carlo method with control variables to reduce the variance simulated．Final testing results show that the GPU cluster has more advantages than the CPU cluster and is well suited for pricing options．KeywordsGPU clusterCUDAAsian optionsStochastic volatilityMonte CarloMPI0引言期权，在期货基础上发展而来，是金融领域中投资者用以进行套利和规避风险的一种衍生性金融工具。
随机利率情形下多种股票的算术亚式看涨期权定价龚珺
CHINACOLLECTIVEECONOMY现新起点计量行为，企业需进行二次确认。
2.税务财务会计确认的基础由于各国税法在一个很长的历史阶段都是按收付实现制原则计税，因为它符合税收的支付能力原则，税务会计当然也要按收付实现制原则确认纳税义务的发生时点。
在财务会计采用权责发生制之后，各国税法也先后由收付实现制改为权责发生制，税务会计当然也就采用权责发生制。
这样，可以减少与财务会计的差异，降低征纳双方的成本。
因为企业涉税行为纷繁复杂，税法并未采取“一刀切”的做法，而是在以权责发生制为主要确认基础的前提下，对特定事项或特定行为，仍然以收付实现制为确认基础或以两者相结合的为确认基础。
在税务会计中，应税收入、扣除费用和应税所得等的确认，除符合税法规定的确认基础外，同时还必须取得符合规定的票据，否则，还是不能实际予以确认。
以权责发生制为确认基础我国《企业所得税法实施条例》第九条明确规定，企业应纳税所得额的计算，以权责发生制为原则，属于当期的收入和费用，不论款项是否收付，均作为当期的收入和费用；不属于当期的收入和费用，即使款项已经在当期收付，均不作为当期的收入和费用。
除税法特别规定外，税法扣除的基本原则是以权责发生制为原则，只要是当期的收入和费用，不论款项是否收付，均作为当期的费用，而不是按收付实现制原则扣除。
“应纳税所得额”的确认以权责发生制为基础，基于不同时期企业享受的税收政策可能不同，特别强调应税收入、扣除费用的确认时间不能提前或滞后。
参考文献：1.盖地.论会计确认[J].会计之友,2012(3).2.牛晓叶,曹志文.企业碳能力的会计确认、计量与报告[J].财会研究,2012(5).3.赵艳丽.现行会计确认、计量模式的评价与思考[J].财会月刊,2010(30).4.罗绍德,王永超.现值:计量属性还是计量方法———基于可靠性视角的解读[J].财经科学,2011(9).5.周洁,谢新安.论公允价值会计的确认[J].商业时代,2012(27).6.赵艳丽,杨光.我国现行会计确认、计量模式存在的问题及对策分析[J].湖南财经高等专科学校学报,2010(3).7.郑淘.会计准则对会计确认与计量的影响分析[J].财会通讯(学术版),2007(3).（作者单位：福建邵化化工有限公司）摘要：文章在随机利率情形下讨论了含多种股票投资的欧式未定权益定价问题。
Vasicek利率模型下几何亚式期权的定价
+
Tu
σ2 ( s) d B 2 ( s) d u)
tt
=
∫ ∫ T
T
C2 ( t , T , rt , S t) + f ( s , T) d B 1 ( s) + g ( s , T) d B 2 ( s)
t
t
∫ ∫ 其中 , C2 ( t , T , rt , S t)
=
TT
tln
S ( t)
Pricing Asian Option Under Vasicek Interest Rate
YA O L uo gen , W A N G Xiong , YA N G Xiang qun
(College Of Mat hematics & Computer Science , Hunan Normal University ,Changsha 410081 China)
a2 + b2 + 2ρab
.
详细证明参见[ 1 ]
定理 1 (t 时刻的平均价格型亚式期权的定价公式)
在模型 (1) , (2) 式下 ,股票上的到期时刻为 T ,敲定价格为 K 的几何平均亚式看涨期权在 Π t ,0 ≤
t ≤ T 的价格 C ( t , T , rt , S t) 为 :
∫ C ( t , T , rt , S t)
∫ ∫ S ( u)
e = S t
, u (
t
r(
x)
-
1σ2 22
(
x)
)
d
x
+
uσ
t2
(
x)
dB2
(
x)
∫ ∫∫ ∫ ln S ( u)
随机波动率模型下几何平均亚式期权的定价
实数． 随机波动率模型的提出， 增加 了市场上的随 机源， 而 风 险资 产 只有 一种 ， 因此 市 场 不再 完 备 ， 数 学上 意味着 风 险资产 的价格 过程 的等 价鞅 测度
不再 唯一 ， 通常 ， 研 究者 们考虑 寻求 最小 等价 鞅测
市场 上风 险资 产价格 Ｓ 满足 如下条 件 ：
玲 ，林 志超
２ ３ ０ ６ ０ １ ；２ ．安徽 大学 数学学院 ，安徽 合肥 ２ ３ ０ ０ ０ ９ ）
要 ：假设股票价格波动率服从对数正态分布 ， 在此随机波动率模 型下 ， 利用等价鞅测度变换 ， 得 到了 词 ：随机波动率 ； 几何平均 ；亚式期权 ；固定执行价格
文 献 标 志 码 ：Ａ
杂得 多 ， 虽 然有很 多学 者讨 论 了其定 价 ， 但 几乎 都 是在 Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ — Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ 模 型下 股 票 波 动 率 为 常 数 的 假设 下 进 行 的ｌ ＿ ２ ］ ， 然 而实证表 明 Ｂ ｌ ａ ｃ ｋ － Ｓ ｃ ｈ ｏ ｌ ｅ ｓ
虑波动率的平方服从对数正态分布的随机模型． 假设 市场 只有两 种 资产 ， 一 种是 无风 险债 券 ， 种 是风 险资 产股票 ．
最小 等价鞅测 度下 固定 执行 价格 的几何平 均亚式期 权定 价公式 ， 并讨论 了其近似解的求法．
中 图 分 类 号 ：Ｆ ８ ３ ０ ． ９ ；Ｏ ２ ２ １ ． ６
亚式期 权是 一 种 强路 径 依 赖 期 权 ， 也 是 当今
金融 衍生 品市 场 上 交 易 最 为 活 跃 的新 型期 权 之
ｄ Ｘ ＝ａ Ｘ ｄ ｔ ＋ｂ Ｘ ｄ ｗ ．
（ ４ ）
式中： 为 股 票 的期 望 收 益 率 为 股 票 的 波 动
Vasiek利率模型下的亚式期权的定价问题和数值分析
263Vol.26No.3 20037ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA July,2003 Vasiˇc ek∗(200092)(230026)Vasiˇc ekCauchyCauchy1(Call/Put Option)(Exotic Option).Black-ScholesVasiˇc ek T,[0,T]2001107∗(10201029)46826Monte Carlo[1,2],[3–5].Turnbull &Wakeman (1991)Levy (1992).LaplaceTaylor([6–9]),[3,10,11].Cauchy[12].1CauchyCauchy2T ,[0,T ]T 0(Zero-Coupon).(Ω,F,P )rSd r t =(β−αr t )d t +γd Z t ,d S t =S t (r t dt +σB t ).(2.1)(Z t ,B t )(Ω,F,P )2(F t )t ≥0σ-α,β,λ=0σ=0T ,1TTS (τ)d τTξ=S T −1TTS (τ)d τ+.(2.2)C (t )C (t )=E p ξexp−Ttr s d s F t .(2.3)I t =tS (τ)d τ,(t,r t ,S t ,I t )MarkovianC (t )(t,r,S,I )C (t,r,S,I ).Feymann-kac3Vasiˇc ek469 PDE Cauchy⎧⎪⎨⎪⎩∂V∂t+12σ2S2∂2V∂S2+12γ2∂2V∂r2+rS∂V∂S+(β−αr)∂V∂r+S∂V∂I−rV=0,V(T,S,r,I)=S−IT+,(2.4)0≤t<T,−∞<r<+∞,0≤S,I<+∞.(2.4),x=IT S ,V(t,S,r,I)=Sf(t,x,r),⎧⎨⎩∂f∂t+1T−rx∂f∂x+12σ2x2∂2f∂x2+(β−αr)∂f∂r+12γ2∂2f∂r2=0,f(T,x,r)=(1−x)+.(2.5)t→T∂2f(x,t,r)∂x2→δ(1−x),δ(ξ)0DiracT(2.5)f=f1+f2,f1f2PDE:⎧⎨⎩∂f1∂t+rx∂f1∂x+12σ2x2∂2f1∂x2+(β−αr)∂f1∂r+12γ2∂2f1∂r2−rf1=0,f1(T,x,r)=(1−x)+(2.7)⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩∂f2∂t+1T−rx∂f2∂x+12σ2x2∂2f2∂x2+(β−αr)∂f2∂r+12γ2∂2f2∂r21 =−1T−2rx∂f1∂x−rf,f2(T,x,r)=0,(2.7)0≤t<T,−∞<r<+∞,0≤x<+∞.f1Vasiˇc k1Call-PutC(t,r t,S t,K)−P(t,r t,S t,K)=S t−KP(t,T),(2.8) P(t,T)T0t Vasiˇc k([13]):C(t,r t,S t,K)=S t N(d1)−Ke−C1(t,T,r t)+σ2X2N(d2).(2.9)d1=log S tK+12σ2Y+C(t,T,r t)σ2X+σ2Y,d2=log S tK−σ2X+12σ2Y+C(t,T,r t)σ2X+σ2Y,σ2X=1αTtγ2e2α(T−u)d u,σ2Y=σ2(T−t),C1(t,T,r t)=γα(eα(T−t)−1)−γα2(T−t+1)+γα2eα(T−t).47026(2.6)f1(t,x,r)=xN(d1)−e−C1(t,T,r)+σ2X2N(d2)+e A(t,T)−B(t,T)r−x,(2.10)B(t,T)=1α[1−e−α(T−t)],A(t,T)= Tt12γ2B(s,T)−βB(s,T)d s.∂f1∂x=N(d1)−1,τ=T−t,(2.7)⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩∂f2∂τ−1T−rx∂f2∂x−12σ2x2∂2f2∂x2+(β−αr)∂f2∂r−12γ2∂2f2∂r2 =1T−2rxN(d1)−1+rf1=F(τ,x,r),f2(0,x,r)=0.(2.11)Cauchyx∈[0,X],r∈[−R,R],τ∈[0,T],∆x=XN,∆r=2RM,∆τ=TK.∂f∂τki,j=f k+1i,j−f k i,j∆τ+O(∆τ),∂f∂xki,j=f k i+1,j−f k i−1,j2∆x+O(∆x2),∂f∂rki,j=f k i,j+1−f k i,j−12∆r+O(∆r2),∂2f∂xki,j=f k i+1,j+f k i−1,j−2f k i,j∆x+O(∆x2),∂2f∂r2ki,j=f k i,j+1+f k i,j−1−2f k i,j∆r2+O(∆r2),(2.11),f k+1 i,j =1−σ2x2∆τ∆x2−γ2∆τ∆r2f k i,j+∆τ2∆xσ2x2i∆x+1−r j x if k i+1,j+∆τ2∆rγ2∆r+β−αr jf k i,j+1+∆τ2∆xσ2x2i∆x−1+r j x if k i−1,j+∆τ2∆rγ2∆r+αr j−βf k i,j−1+∆τF k i,j,(2.12)1≤i≤N−1,−M+1≤j≤M−1,1≤k≤K−1.∆r=∆x,∆x≤min{σ2x2i|1−r j x i|,γ2β−αr j},∆τ∆x2≤1γ2+σ2x2i3Vasiˇc ek471(2.12)O (∆τ+∆x 2),f k N,j ,f k 0,j ,f k i,M ,f ki,−M ,0≤i ≤N ,−M ≤j ≤M ,1≤k ≤K∀0<p <1,f k N,j =pf k −1N,j +(1−p )f kN −1,j ;(2.13)f k 0,j =pf k −10,j +(1−p )f k 1,j ;(2.14)f k i,M =pf k −1i,M +(1−p )f k i,M −1;(2.15)f k i,−M =pf k −1i,−M +(1−p )f k i,−M +1;(2.16)3f1S =100,I =1t t0S (τ)d τ=1003,T =3t =0.03,σ=30%,α=1,β=0.05γ=0.1γ=0.05r =Vasick Constant Vasick 0.115.847818.673315.63400.318.291134.416118.17360.520.814347.859820.74790.723.344257.774423.3150S =50,I =1t t0S (τ)d τ=1003,T =3t =0.03,σ=30%,α=1,β=0.05γ=0.1γ=0.05r =Vasick Constant Vasick 0.18.00239.39147.89230.39.249317.33959.18640.510.541324.203010.50410.711.840029.258711.82202β=0.1S =100,I =1t t0S (τ)d τ=1003,T =3t =0.03,σ=30%,α=1,β=0.1γ=0.1γ=0.05r =Vasick Constant Vasick 0.118.794018.673318.69760.321.396234.416121.34730.521.396247.859823.9827S =50,I =1t t0S (τ)d τ=1003,T =3t =0.03,σ=30%,α=1,β=0.1γ=0.1γ=0.05r =Vasick Constant Vasick 0.19.45869.39149.40540.310.793417.339510.76440.512.132524.203012.1204γ47226γβ<r,β=rβ1,23T=3,t=0.03,σ=30%,r=10%,α=1,β=0.1x1T=3,t=0.03,σ=30%,x=1,α=1,β=0.05r23Vasiˇc ek473 T=3,t=0.03,σ=30%,r=10%,α=1,β=0.05x34VasicekCauchy1Kemna A G Z,Vorst A C F.A Pricing Method for Options Based on Average Asset Values.Journal of Banking and Finance,1990,14:113–1292Carverhill A,Clewlow L.Flexible Convolution.RISK,1990,5:25–293Rogers L,Shi Z.The Value of an Asian Option.Journal of Applied Probability,1995,32:1077–1088 4Alziary B,Decamps J,Koehl P,A P.D.E.Approach to Asian Option:Analytical and Numerical Evidence.Journal of Banking and 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Av-erage Rate Options.Journal of Computational Finance,2001,5(1):1–2013Wang L J,Zhang S.Princing the Reset Option under Stochastic Interest Rate.Applied Mathematics,A Journal of Chinese Universities,2002,17:471–478PRICING THE ASIAN OPTION UNDERV ASIˇCEK INTEREST RATEWANG Lijun(Department of Applied Mathematics,Tong-Ji University,Shanghai200093)ZHANG Shuguang(Department of Statistics and Finance of University of Science&Technology of China,Hefei230026) Abstract This paper presents a theory of continuous sampled Asian option pricing when the interest rate is modeled by Vasiˇc ek model.For arithmetic Asian option,we subtract an explicit formula from the solution of the price and get a PDE satisfied by the residue with smooth coefficients and0initial condition.We adopt infinite difference scheme to calculate the solution numerically.Key words Asian option,floating strike price,infinite difference scheme。
基于Hull-White随机波动率模型的算术平均亚式期权Monte-Carlo定价
基于Hull-White随机波动率模型的算术平均亚式期权Monte-Carlo定价梁艳;王玉文【摘要】在Black-Schole期权定价模型中,假设股票红利q、无风险利率r及股票收益的标准差σ都是常数.然而在实际的交易市场,波动率却是随机变化的,而非常数.因此,把波动率考虑到期权定价公式中是十分必然的.在建立随机波动率定价模型中,假设波动率是一个随机变量,以亚式期权为研究对象,让随机波动率满足Hull-White 模型,对算术平均亚式期权进行Monte-Carlo模拟定价.【期刊名称】《哈尔滨师范大学自然科学学报》【年(卷),期】2017(033)005【总页数】4页(P1-4)【关键词】Hull-White模型;亚式期权;Monte-Calor模拟【作者】梁艳;王玉文【作者单位】哈尔滨师范大学;哈尔滨师范大学【正文语种】中文【中图分类】O290 引言自1973年著名的Black-Scholes期权定价公式的问世,金融市场迎来了前所未有的变革.随着国际金融衍生品市场越来越复杂，应运而生了大量的新型期权，它们的交易方式、交易价格等更能适应市场和投资的需求，其中研究比较多的就是亚式期权.近年来，如何科学的给亚式期权定价成为非常受欢迎的金融研究课题[1,5]. 在现有的对亚式期权定价模型中，常假设波动率是不变的,但实际市场的波动率却是随机的，所以建立的随机波动率模型需要把这个问题考虑进去.宋逢明[2]研究了Hull-White三叉树利率期限结构模型，并进行了模拟，结果表明其实用性很强.该文研究的Hull-White模型是时变的，而Hull-White模型与Vasick模型都是波动率可以出现负值，这是Hull-White模型[3]最大的缺陷，为了克服这一困难，把波动率的变化范围大致进行了限制，所以并未影响 Hull-White模型在随机波动率期权定价中的应用.1 模型与假设算术平均亚式期权，设其中标的股价为S，在t时刻无风险资产的价格为Bt,无红利支付的风险资产St,无风险利率为r.在t时刻的St 及Vt[4]满足(0≤t≤T)该模型具有与时间有关的漂移率θt(时间t的确定性连续函数)，均值回复速度为κ和波动系数σ为正常数，模型以速率向均值及回复，在返回程度上依赖于时间.{W1(t):0≤t≤T},{W2(t):0≤t≤T}是满足风险中性概率测度条件下的一维标准Brownan运动，Cov(dW1(t),dW2(t))=ρdt,相关系数ρ是常数且|ρ|<1令其中Zt 是与W1，W2独立的布朗运动[5].2 Monte- Carlo模拟法由参考文献[5]可知，该文的模拟的原理如下：假设有两个相似金融衍生品A、B，其中A是待求解，B与A相似，但可求出VB的显式解，用相同的▯t及相同随机序列样本类似模拟出A的近似估计值与B的近似估计值则A的近似估计值为模拟步骤：(1)若E[X]无显式解，找出与X无关的另一个随机变量Y，且E[Y]有显式解.(2)用同样▯t及同样的随机序列样本平行模拟出序列X,Y.(3)用模拟出X,Y，求出最优系数c*=(4)求出模拟序列X及Y的数学期望由求出E[X]的近似值[6].3 算术平均亚式期权的Monte-Carlo模拟3.1 模拟随机波动率过程Vt的路径(1)Wt、Zt是两个相互独立的Brownan运动，ρ是确定的常数，则可解出分割时间区间[0,T]为n等分，记▯▯t，则▯▯……▯又由于Wt1-Wt0,…,Wtn-Wtn-1与Zt1-Zt0,…,Ztn-Ztn-1是相互独立的增量，且Wt1-Wti-1▯N(0,ti-ti-1)=N(0,▯t),Zti-Zti-1▯N(0,ti-ti-1)=N(0,▯t)i=1,…,n.可由Matlab随机生成两组服从标准正态分布N(0,1)的相互独立的n×m个数，分别记作A、B，则A=(a1,a2,…,an)',B=(b1,b2,…,bn)',且ai=aij,bi=bij,i=1,…,n,j=1,…,m对Vti(i=0,1,2,…,n)取对数，有对(1)式等号两边的元素取指数，有则Vt=Vtn为第m次模拟后得到的随机波动率终值，可间接得到波动率的路径变化过程[7].3.2 模拟股票价格过程St的路径若St满足dSt=rS1dt+VtStdW1(t)，则(4)分割时间区间[0,T]为n等分，记▯▯t，由上式有而Wt1-Wt0,…,Wtn-Wtn-1是相互独立的增量，且Wti-Wti-1▯N(0,ti-ti-1)=N(0,▯t),i=1,…,n.同样由Matlab生成两组服从标准正态分布N(0,1)的相互独立的随机数，记作向量C，则对S(ti)(i=1,…,n)取对数，有对(2)式等号两边的元素取对数，有则经过m次模拟近似得出了股票价格的可能变化过程[8].3.3 算术平均亚式期权的关于Monte Carlo模拟的估计值由3.2可估计出S的m条可能路径上的变化值，Sk(t1),…, Sk(tn),k=1,…,m,可计算出m条路径上的算术平均亚式期权价格为：(6)则算术平均亚式期权价格用U1，…,Um的算术平均值来估计(7)4 总结与展望该文在波动率满足Hull-White模型的条件下，对固定执行价格的算术平均亚式期权进行了定价，由于亚式期权是求所有可能股票价格的平均值的期权，所以采用了Monte-Calor模拟法对其路径进行模拟，在最后得出了关于Hull-White随机波动率模型的算术平均亚式期权定价的近似解.但是在用Monte-Calor模拟法时，需要用matlab对数据进行计算，为了得到的数据更加接近于理论值，在计算时需要加大运算次数和运算的数据的密度，为结果的得出增大了难度，会在以后的学习中，继续改进此方法，争取得到运算简便，结果准确的模型.参考文献[1] 郑小迎,陈金贤. 关于亚式期权及其定价模型的研究. 系统工程,2000(18): 22-26.[2] John H, Alan W. The General Hull-White Model and Supercalibration J. Financial Analysts, 2011, 57(6): 34-43.[3] 宋逢明, 石峰. 基于Hull-White模型的债券市场利率期限结构研究[J]. 运筹与管理，2006, 15(3): 85-89.[4] 许聪聪, 许作良. 随机波动模型下算术亚式期权的Monte Carlo模拟定价[J]. 数学的实践与认识，2015, 45(21): 114-121.[5] 王欣欣,王玉文.约化模型下互联网理财产品的信用违约互换保费的确定[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2016,32(1):16-18.[6] 詹慧蓉,程乾生.拟蒙特卡罗法在亚式期权定价中的应用[J].数学的实践与认识,2005,3(35):20-27.[7] 邵斌, 丁娟. GARCH模型中美式亚式期权价值的蒙特卡罗模拟算法[J]. 经济数学,2004, 21(2): 142-148.[8] 叶春翠.CIR随机波动率模型的亚式期权蒙特卡洛模拟定价方法[D].广西师范大学,2012.。
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收稿 日期 ：０９— ５— ０ ２０ ０ ２ 基 金 项 目 ： 西 省 自然 科 学 基 金项 目（０ ８ Ｚ ０ ２ ） 江 ２ ０ Ｇ Ｓ０ ５ 作者简介 ： 坚（９ ９一） 男 ， 潘 １７ ， 赣南师范学 院数学与计算机科学学院讲师、 硕士， 从事偏微分方程与金融数学 的研究
２ ０正 ０１
赣 南 师 范 学 院 学 报
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＧａ ｎ ｎ Ｎｏｍａ ｉｅ ｓｔ ｏ ｒ ａ ｎ ａ ｒ ｌＵｎ ｖ ｒ ｉ ｏ ｙ
Ｎ ． ｏ３
第三期
・
Ｊｎ ．０ ０ ｕ ｅ ２ １
基础 数 学 ・
随机 利 率 模 型 下 几 何 平 均 亚 式期 权 定 价 的新 解 法
１ １ 基 本假设 ．
．
（Ｉ） 原生 资产 （ 股票 ） 的价格 服从几 何布 朗运动 ：
： ＝ｒ ｔ ｒ ｕ ， ＋ｏ ｄ ｄ
＾ ）ｆ
（） １
其中 是资产的期望增长率 ， ｒ ｏ 是原生资产变化的波动率且为常数 ， ”为标准的布朗运动． （Ⅱ） 市 场利 率采用 能 自动地适 合今 天期 限结构 的 Ｈｕｌ ｌ—Ｗｈｔ模 型 ： ｉ ｅ ｄ ＝ ［ （）一ａ ］ ｔ ｒ 。 ｒ ｔ ｒ ｄ ＋ｏ ｄ ’ ２ （） ２ 其 中 ａ 均值 回复速度 且为 常数 ， （） 是 是确定 性 的 函数 ， ｒ ｏ 是短 期利 率 的瞬时 波动 率且 为常数 ， 为 标准 的布朗运 动 ． ｕｌ Ｗｈｔ 模 型仅有 的缺 陷是 在这样 一个 Ｇ ｕｓ Ｈ ｌ— ｉ ｅ ａ ｓ 环境 中并 未排 除负 利率 ． 尽管如 此 ， 该 注意 应 到， 对于合理 的参数 ， 样 的事件 有 相 当低 的发 生 的概 率 （ 这 见文 献 ［ ］ ． 且 ， ｏ （ ＂ ｄ ） ＝ ６ ）并 Ｃｙｄ ， ｐ ｔ Ｉ ＜ １ ， 里常数 Ｐ表示两 个 随机源 的相关 系数 ． ｄ（ ＰＩ ） 这 （ Ⅲ） 市场无 摩擦 ， 无套利 ． １２ 建立方程 ．
潘 坚
（ 赣南师范学 院 数学 与计算机科学学院 ， 江西 赣州 ３ １０ ） ４ ００ 摘 要 ： Ｈ ｌ—Ｗｈ ｅ 率模型 下， 在 ｕ ｌ ｉ利 ｔ 利用偏微分方程基本解方法和 Ｆ ｕｉ ｏｒ ｒ变换分别得到 了具有 固定敲定价格 ｅ 和具有浮动敲定价格 的几何平均亚式期权的定价公 式．
第 ６期
潘 坚 随机利率模型下几何平均亚式期权定价的新解法
２ ３
（） ３
利用 △对冲原理， 我们在时间（ ｔ ｄ 作一个投资组合丌 ， ｆ ＋ｔ ， ） 使得兀 在（，＋ ｔ时间段内无风险， ￡ ｄ） ￡ 其
中Ｈ 是由 份 期 ｒ ，， 和 △ 份 票｜ △ 份 票债 （，Ｔ 空 成， 一 亚式 权 （ ｓ ｔ ， Ｊ ） 股 ｓ 零息 券Ｐｒ ； 头组 即丌 ＝ 一 及 ￡） Ｖ
未定 权益 的定价 是现代 金融 数学研 究 的核心 问题之 一 ． 近年 来 ， 随着 金 融市 场 的不 断 发展 和 完 善 ， 准 标 期 权 已不 能满 足市场 的需求 ， 为适应 客 户的不 同需求 和 丰富可用 于风 险管理 的金 融工具 ， 融机构 不断推 出 金 新 的金融 产 品 ， 各种类 型 的期 权 ＿也 应运 而 生． 式 期权 就 是 其 中 的一 种 ． 式期 权 是 一 张期 权 合 约 ， １ 亚 亚 在期 权 到期 １ ３的收益依 赖 于在整 个期权 有效期 内原 生资产 所经 历 的价 格平 均值 ． 里所 谓 的平 均值 ： 以是算术 这 可 平均， 也可 以是几 何平 均． 于亚式期 权 的定 价 问题 ， 键是 如何 确定平 均价 格的概 率分 布 ， 对 关 这是 得 到解析定 价公式的主要难点． 目前为止， 到 在假定资产价格服从对数正态分布的情况下 ， 我们并不知道资产价格的算 术平均的概率的分布， 因而， 我们得不到该类期权的公式解 ， 一般都以近似解代替． 但是 ， 在假定资产价格服 从 对数正 态分 布 的情 况下 ， 以证 明资产价格 的几何 平 均仍然 服从对 数正 态分 布 ． 可 因而 ， 以得 到解析解 ． 可 文 献 ［ ３ 在所有 参数假 定为 常数 的情况 下 ， １— ］ 推导 出了几 何平 均亚 式期权 的定 价公式 ． 而实 际 中有 些期权 的生 存期 限 比较 长 ，比如 说员 工 持 股计 划 中的期权 工资 ，其合 同一 般 都长 达 数年 ， 这个 时候 利率 的波动对 其定 价 和相 关 问题 都将 具有一 定 的影 响 ． 以在许 多 情况 下 都有 必 要把 利 率 的随 机 所 因素考虑进去． 基于此 ， 文献［ ］ ４ 在利率服从 Ｖ ｓ ｅ 模型下 ， ａ ｃｋ ｉ 利用概率论方法得到了股票价格与利率独立时 候 的几何 平 均亚式 期权 的定价公 式 ． 文献 ［ ］ 利 率 服从 Ｈ ｌ— ｉ 模 型 下 ， ５在 ｕｌ ｔ ｅ 利用 概 率论 方 法 得 到 了股票 价格 与利率相 关 时的几何 平均 亚式期 权 的定 价公 式． 文在假 定 随机利 率服从 Ｈ ｌ— ｉ 模 型 ， 本 ｕｌ Ｗｈｔ ｅ 利用 偏微 分方程方 法得 到 了股 票价 格与利 率相关 时 的几何平 均亚 式期权 的定 价公 式． １ 数学 模型