北京市丰台区2014届高三数学上学期期末考试试题-理
北京市丰台区2023-2024学年高三上学期期末练习数学试卷含答案
丰台区2023～2024学年度第一学期期末练习高三数学（答案在最后）2024.01本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分选择题（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，则()U A B ⋃=ð（）A.{3,2}-- B.{3,2,1,2}--C.{3,2,1,0,1}--- D.{3,2,1,0,2}---【答案】A【解析】【分析】由补集和并集的定义求解即可.【详解】因为{3,2,1,0,1,2}U =---，{1,0,1}A =-，{1,2}B =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，U ð(){}3,2A B ⋃=--.故选：A .2.若(1i)1i z -=+，则||z =（）A.iB.1C. D.2【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算法则进行运算，继而直接求模即可.【详解】因为(1i)1i z -=+，所以()()()()1i 1i 1i 2i i 1i 1i 1i 2z +++====-+-，所以i 1z z =-=，，故选：B ．3.在6(2)x y -的展开式中，42x y 的系数为（）A.120- B.120C.60- D.60【答案】D【解析】【分析】求出6(2)x y -的通项，令2r =即可得出答案.【详解】6(2)x y -的通项为：()()66166C 2C 2r rr r r r r r T x y x y --+=-=-，令2r =可得：42x y 的系数为()226C 215460-=⨯=.故选：D .4.在中国文化中，竹子被用来象征高洁、坚韧、不屈的品质．竹子在中国的历史可以追溯到远古时代，早在新石器时代晚期，人类就已经开始使用竹子了．竹子可以用来加工成日用品，比如竹简、竹签、竹扇、竹筐、竹筒等．现有某饮料厂共研发了九种容积不同的竹筒用来罐装饮料，这九种竹筒的容积129,,,a a a L （单位：L ）依次成等差数列，若1233a a a ++=，80.4a =，则129a a a +++= （）A.5.4B.6.3C.7.2D.13.5【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的性质及求和公式求解.【详解】∵129,,,a a a L 依次成等差数列，1233a a a ++=，∴233a =，即21a =，又80.4a =，则()()()81912299910.49 6.3222a a a a a a a +⨯+⨯+⨯+++==== .故选：B.5.已知直线y kx =与圆221x y +=相切，则k =（）A.1± B.C. D.2±【答案】B【解析】【分析】根据题意可得圆心(0,0)O 到0-=kx y 的距离等于半径1，即可解得k 的值．【详解】直线y kx =+即0-=kx y ，由已知直线y kx =+与圆221x y +=相切可得，圆221x y +=的圆心(0,0)O 到0kx y -=的距离等于半径1，1=，解得k =，故选：B ．6.如图，函数()f x 的图象为折线ACB ，则不等式π()tan 4f x x >的解集是（）A.{|20}x x -<< B.{|01}x x <<C.{|21}x x -<< D.{|12}x x -<<【答案】C【解析】【分析】利用正切型函数的图象与性质结合分段函数性质即可得到解集.【详解】设()πtan4h x x =，令π242k x k ππππ-<<+，且k ∈Z ，解得4242k x k -<<+，k ∈Z ，令0k =，则22x -<<，则()h x 在()2,2-上单调递增，()00h =1,1BC AC k k =-=，则2,02()2,20x x f x x x -+≤<⎧=⎨+-<<⎩，则当20x -<≤时，()0h x ≤，()0f x >，则满足()()f x h x >，即π()tan 4f x x >，当02x <<时，()11f =，且()f x 单调递减，()11h =，且()h x 单调递增，则()0,1x ∈时，()()f x h x >，即π()tan4f x x >；()1,2x ∈时，()()f x h x <，即()πtan 4f x x <；综上所述：π()tan4f x x >的解集为()2,1-，故选；C.7.在某次数学探究活动中，小明先将一副三角板按照图1的方式进行拼接，然后他又将三角板ABC 折起，使得二面角A BC D --为直二面角，得图2所示四面体ABCD ．小明对四面体ABCD 中的直线、平面的位置关系作出了如下的判断：①CD ⊥平面ABC ；②AB ⊥平面ACD ；③平面ABD ⊥平面ACD ；④平面ABD ⊥平面BCD ．其中判断正确的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】对于①中，因为二面角A BC D --为直二面角，可得平面ABC ⊥平面BCD ，又因为平面ABC ⋂平面BCD BC =，DC BC ⊥，且DC ⊂平面BCD ，所以DC ⊥平面ABC ，所以①正确；对于②中，由DC ⊥平面ABC ，且AB ⊂平面ABC ，可得AB CD ⊥，又因为AB AC ⊥，且AC CD C = ，,AC CD ⊂平面ACD ，所以AB ⊥平面ACD ，所以②正确；对于③中，由AB ⊥平面ACD ，且AB ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面ACD ，所以③正确；对于④，中，因为DC ⊥平面ABC ，且DC ⊂平面BCD ，可得平面ABC ⊥平面BCD ，若平面ABD ⊥平面BCD ，且平面ABD ⋂平面ABC AB =，可得AB ⊥平面BCD ，又因为BC ⊂平面BCD ，所以AB BC ⊥，因为AB 与BC 不垂直，所以矛盾，所以平面ABD 和平面BCD 不垂直，所以D 错误.8.已知,a b 是两个不共线的单位向量，向量c a b λμ=+r r r （,λμ∈R ）．“0λ>，且0μ>”是“()0c a b ⋅+> ”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】举例验证必要性，通过向量的运算来判断充分性.【详解】当0λ>，且0μ>时，()()()()()22cos ,c a b a b a b a a b b a b λμλλμμλμλμ⋅+=+⋅+=++⋅+=+++ ()0λμλμ>+-+=，充分性满足；当()0c a b ⋅+> 时，()()cos ,c a b a b λμλμ⋅+=+++ ，当0λ>，0μ=时，()cos ,c a b a b λλ⋅+=+ 是可以大于零的，即当()0c a b ⋅+> 时，可能有0λ>，0μ=，必要性不满足，故“0λ>，且0μ>”是“()0c a b ⋅+>”的充分而不必要条件.故选：A .9.在八张亚运会纪念卡中，四张印有吉祥物宸宸，另外四张印有莲莲．现将这八张纪念卡平均分配给4个人，则不同的分配方案种数为（）A.18B.19C.31D.37【答案】B【分析】设吉祥物宸宸记为a ，莲莲记为b ，将这八张纪念卡分为四组，共有3种分法，再分给四个人，分别求解即可.【详解】设吉祥物宸宸记为a ，莲莲记为b①每人得到一张a ，一张b ，共有1种分法；②将这八张纪念卡分为()()()(),,,,,,,a a a a b b b b 四组，再分给四个人，则有2242C C 6=种分法③将这八张纪念卡分为()()()(),,,,,,,a b a a a b b b 四组，再分给四个人，则有2142C C 12=种分法共有：161219++=种.故选：B .10.已知函数2()||2||f x x a x =++，当[2,2]x ∈-时，记函数()f x 的最大值为()M a ，则()M a 的最小值为（）A.3.5B.4C.4.5D.5【答案】C【解析】【分析】先利用函数的奇偶性，转化为求()f x 在[]0,2上的最大值；再根据a 的取值范围的不同，讨论函数()f x 在[]0,2上的单调性，求函数()f x 的最大值.【详解】易判断函数()f x 为偶函数，根据偶函数的性质，问题转化为求函数()22f x x a x =++，[]0,2x ∈上的最大值()M a .当0a ≥时，()22f x x x a =++，二次函数的对称轴为1x =-，函数在[]0,2上单调递增，所以()()288M a f a ==+≥；当10a -≤<时，()222,022x x a x f x x x ax ⎧-+-≤≤⎪=⎨++≤⎪⎩，1≤，所以()f x在⎡⎣上递增，在2⎤⎦上也是递增，所以()()287M a f a ==+≥；当41a -<<-时，()222,022x x a x f x x x ax ⎧-+-≤≤⎪=⎨++≤⎪⎩，因为12<<，所以()f x 在[]0,1上递增，在(上递减，在2⎤⎦上递增，所以()()11M a f a ==-或()()28M a f a ==+，若18a a -≥+⇒742a -≤≤-，则()()9112M a f a ==-≥；若18a a -<+⇒712a -<<-，则()()9282M a f a ==+>;当4a ≤-时，()22f x x x a =-+-，[]0,2x ∈2≥），所以函数()f x 在[]0,1上递增，在(]1,2上递减，所以()()115M a f a ==-≥.综上可知：()M a 的最小值为92.故选：C【点睛】关键点点睛：问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题，然后讨论函数在给定区间上的单调性，从而求最大值.认真分析函数的单调性是关键.第二部分非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.双曲线2214x y -=的渐近线方程________．【答案】12y x =±【解析】【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程．【详解】∵双曲线2214x y -=的a=2，b=1，焦点在x 轴上而双曲线22221x y a b-=的渐近线方程为y=±b x a ∴双曲线2214x y -=的渐近线方程为y=±12x故答案为y=±12x 【点睛】本题考查了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想12.已知()44x x f x -=-，则11(()22f f -+=___．【答案】0【解析】【分析】由解析式直接代入求解即可.【详解】因为1122113()442222f -=-=-=，1122113()442222f --=-=-=-，所以11((022f f -+=.故答案为：0.13.矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，且,E F 分为,BC CD 的中点，则AE EF ⋅= ___．【答案】74-##-1.75【解析】【分析】以A 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，求出,AE EF ，由数量积的坐标表示求解即可.【详解】以A 为坐标原点，建立如下图所示的平面直角坐标系，()()()()()10,0,2,0,2,1,0,1,2,,1,12A B C D E F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以112,,1,22AE EF ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()11172122244AE EF ⋅=⨯-+⨯=-+=- .故答案为：74-.14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，角(0π)αα<<的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆O 交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ．若记点M 到直线OP 的距离为()f α，则()f α的极大值点为___，最大值为___．【答案】①.π4或3π4②.12##0.5【解析】【分析】根据三角函数的概念得(cos ,sin )P αα及,,OP OM MP ，利用面积法求得()f α，根据α的范围及三角函数的性质讨论()f α的单调性，进而求得答案.【详解】由题意(cos ,sin )P αα，1,cos ,sin OP OM MP αα===，由()1122OP f OM MP α⋅=⋅，得()1πsin 2,0122cos sin sin cos sin 21π2sin 2,π22f αααααααααα⎧<<⎪⎪=⋅===⎨⎪-<<⎪⎩，∴当π04α<<时，()f α单调递增；当ππ42α<<时，()f α单调递减；当π3π24α<<时，()f α单调递增；当3ππ4α<<时，()f α单调递减，则()f α的极大值点为π4或3π4，∵0πα<<，022πα<<，∴当sin 21α=±，即π4α=或3π4α=时，()f α取最大值为12．故答案为：π4或3π4；12.15.在平面直角坐标系内，动点M 与定点(0,1)F 的距离和M 到定直线:3l y =的距离的和为4．记动点M 的轨迹为曲线W ，给出下列四个结论：①曲线W 过原点；②曲线W 是轴对称图形，也是中心对称图形；③曲线W 恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）；④曲线W 围成区域的面积大于则所有正确结论的序号是___．【答案】①③④【解析】【分析】根据题目整理方程，分段整理函数，画出图象，可得答案.【详解】设(),M x y ，则MF =，M 到直线l 的距离3d y =-，34y +-=，222(1)(43)x y y +-=--，22221168369x y y y y y +-+=--+-+，224483x y y =---，当3y ≥时，2214812412x y y x =-=-+，，则2214312,12x x x -+≥≤-≤≤，当3y <时，22144x y y x ==，，则2134x <，212x <，x -<<可作图如下：由图可知：曲线W 过原点，且是轴对称图形，但不是中心对称图形，故①正确，②错误；曲线W 经过()()()()0,02,10,42,1O A C E -，，，4个点，没有其它整点，故③正确；由()B ，()D -，()0,3F ，四边形AFEO 的面积113462S =⨯⨯=，122ABF EFD S S ==⨯= ，112BCD S =⨯⨯= ，多边形ABCDEO 的面积626S =+⨯=+曲线W 围成区域的面积大于，故④正确.故答案为：①③④.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.在△ABC 中，a =，2π3A =．（1）求C 的大小；（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在且唯一确定，并求出AC 边上的中线的长度．条件①：2a b =；条件②：△ABC 的周长为4+ABC 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π6（2【解析】【分析】（1）由正弦定理可解得；（2）条件②由余弦定理可得；条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得.【小问1详解】在ABC 中，因为sin sin a cA C=，又a =，所以sin A C =．因为2π3A =，所以1sin 2C =．因为π03C <<，所以π6C =．【小问2详解】选择条件②：因为ABC 中，2π3A =，π6C =，πA B C ++=，所以π6B =，即ABC 为等腰三角形，其中b c =．因为a =，所以24a b c b ++=+=+．所以2b =．设点D 为线段AC 的中点，在ABD △中，1AD =．因为ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22221221cos73π=+-⨯⨯⨯=，所以7BD =AC 7．选择条件③：因为ABC 中，2π3A =，π6C =，πA B C ++=，所以π6B =，即ABC 为等腰三角形，其中b c =．因为ABC 的面积为312πsin 323ABC S bc ∆==，所以2b c ==．设点D 为线段AC 的中点，在ABD △中，1AD =．因为ABD △中，2222cos BD AB AD AB AD BAD=+-⋅∠22221221cos73π=+-⨯⨯⨯=，所以7BD =AC 7．由题可知3a b =，故①不合题意.17.如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，PA ⊥底面ABCD ，AD PA =，点E 为PA 中点．（1）求证：AD //平面BCE ；（2）点Q 为棱BC 上一点，直线PQ 与平面BCE 所成角的正弦值为515，求BQ BC 的值．【答案】（1）证明见解析（2）12BQ BC =【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法可得Q 的坐标，即可得解.【小问1详解】因为正方形ABCD 中，//BC AD ．因为BC ⊂平面BCE ，AD ⊄平面BCE ，所以//AD 平面BCE ．【小问2详解】因为PA ⊥底面ABCD ，正方形ABCD 中AB AD ⊥，分别以,,AB AD AP的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，如图不妨设2PA =，因为AD PA =，点E 为PA 的中点，点Q 为棱BC 上一点，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,0,1)E ，(0,0,2)P ，(2,,0)Q m (02)m ≤≤．所以(0,2,0)BC = ，(2,0,1)BE =- ，(2,,2)PQ m =-．设(,,)n x y z =为平面BCE 的法向量，则BCn ⊥ ，BE n ⊥．所以2020BC n y BE n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1x =，得102x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以(1,0,2)n = ．设直线PQ 与平面BCE 所成角为θ，则sin cos ,15PQ n PQ n PQ n θ⋅==== ，解得21m =，因为02m ≤≤，所以1m =，所以12BQ BC =．18.2023年冬，甲型流感病毒来势汹汹．某科研小组经过研究发现，患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异．在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值a ，将该指标小于a 的人判定为阳性，大于或等于a 的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为()p a ；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为()q a ．假设数据在组内均匀分布，用频率估计概率．（1）当临界值20a =时，求漏诊率()p a 和误诊率()q a ；（2）从指标在区间[20,25]样本中随机抽取2人，记随机变量X 为未患病者的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）在该地患病者占全部人口的5%的情况下，记()f a 为该地诊断结果不符合真实情况的概率．当[20,25]a ∈时，直接写出使得()f a 取最小值时的a 的值．【答案】（1）(20)0.1p =，(20)0.05q =（2）分布列见解析；期望为65（3）20a =【解析】【分析】（1）由频率分布直方图计算可得；（2）利用超几何分布求解；（3）写出()f a 的表达式判单调性求解.【小问1详解】由频率分布直方图可知(20)0.0250.1p =⨯=，(20)0.0150.05q =⨯=．【小问2详解】样本中患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0252⨯⨯=，未患病者在指标为区间[20,25]的人数是200.0353⨯⨯=，总人数为5人．X 可能的取值为0，1，2．202325C C 1(0)10C P X ===，112325C C 3(1)C 5P X ===，022325C C 3(2)10C P X ===．随机变量X 的分布列为X012P11035310随机变量X 的期望为1336()012105105E X =⨯+⨯+⨯=．【小问3详解】由题，()()()95%5%f a q a p a =⨯+⨯，[20,25]a ∈时，令()20,0,1,2,3,4,5a t t =+=()()50.010.03,50.020.0255t t q a p a ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯=⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以()()50.010.0395%50.020.025%55t t f a g t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯⨯+⨯-⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，关于t 的一次函数系数为()50.0319%0.021%0⨯-⨯>，故()g t 单调递增，则0=t 即20a =时()f a 取最小值19.已知函数2()e ()x f x x ax a =--．（1）若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，求实数a 的值；（2）求函数()f x 的单调区间．【答案】（1）1（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先求函数()f x 的导函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，只需保证()01f '=，求实数a 的值即可；（2）求得()0f x '=有两个根“2x =-和x a =”，再分2a <-、2a =-和2a >-三种情况分析函数()f x 的单调性即可.【小问1详解】由题可得2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，因为()f x 在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴，所以()01f '=，即e(33)0a -=，解得1a =，经检验1a =符合题意．【小问2详解】因为2()e [(2)2]x f x x a x a '=+--，令()0f x '=，得2x =-或x a =．当2a <-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,)a -∞a(,2)a -2-(2,)-+∞()f 'x +-+()f x 单调递增()f a 单调递减(2)f -单调递增所以()f x 在区间(,)a -∞上单调递增，在区间(,2)a -上单调递减，在区间(2,)-+∞上单调递增．当2a =-时，因为2()e (2)0x f x x '=+≥，当且仅当2x =-时，()0f x '=，所以()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递增．当2a >-时，随x 的变化，()f x '，()f x 的变化情况如下表所示：x(,2)-∞-2-(2,)a -a(,)a +∞()f 'x +-+()f x 单调递增(2)f -单调递减()f a 单调递增所以()f x 在区间(,2)-∞-上单调递增，在区间(2,)a -上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增．综上所述，当2a <-时，()f x 的单调递增区间为(,)a -∞和(2,)-+∞，单调递减区间为(,2)a -；当2a =-时，()f x 的单调递增区间为(,)-∞+∞，无单调递减区间；当2a >-时，()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-和(,)a +∞，单调递减区间为(2,)a -．20.已知椭圆22:143x y E +=．（1）求椭圆E 的离心率和焦点坐标；（2）设直线1:l y kx m =+与椭圆E 相切于第一象限内的点P ，不过原点O 且平行于1l 的直线2l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，点A 关于原点O 的对称点为C ．记直线OP 的斜率为1k ，直线BC 的斜率为2k ，求12k k 的值．【答案】（1）离心率为12，焦点坐标分别为(1,0)-，(1,0)（2）121k k =【解析】【分析】（1）根据椭圆方程直接求出离心率与焦点坐标；（2）根据直线1l 与椭圆E 相切求出P 坐标并得到134k k=-，法一：设直线2l 的方程为y kx n =+，由韦达定理求出234k k=-证得结论．法二：记1122(,),(,)A x y B x y ，由点差法求2k k ⋅可证得结论．【小问1详解】由题意得2222243a b c a b ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．所以椭圆E 的离心率为12c e a ==，焦点坐标分别为(1,0)-，(1,0)．【小问2详解】由22,143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222()4384120k x kmx m +++-=①其判别式Δ0=得222(8)4(43)(412)0km k m -+-=，化简为2243m k =+．此时方程①可化为2228160m x kmx k ++=，解得4kx m=-，(由条件知,k m 异号)．记00(,)P x y ，则04k x m=-，所以220443()k m k y k m m m m -=-+==，即点43(,)k P m m -．所以OP 的斜率13344m k k k m==--．法一：因为12//l l ，所以可设直线2l 的方程为(0,)y kx n n n m =+≠≠．由22,143y kx n x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得：222(43)84120k x knx n +++-=．当其判别式大于零时，有两个不相等的实根，设1122(,),(,)A x y B x y ，则21212228412,4343kn n x x x x k k -+=-=++．因为C 是A 关于原点O 的对称点，所以点C 的坐标为11(,)C x y --．所以直线BC 的斜率22121221212122243384443y y kx n kx n n n k k k k k kn x x x x x x k k k +++++===+=+=-=-+++-+．所以121k k =．法二：记1122(,),(,)A x y B x y ，因为点C 与点A 关于原点对称，所以11(,)C x y --．因为12//l l ，所以直线AB 的斜率为k ，所以22212121222212121y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-．因为点,A B 在椭圆上，所以2211143x y +=，2222143x y+=．两式相减得：22222121043x x y y --+=．所以2221222134y yx x-=--，即234k k⋅=-，所以234kk=-．所以121kk=．【点睛】方法点睛：将P视为1l与椭圆相交弦中点，由中点弦定理得212bk ka⋅=-，设AB中点为M，由中点弦定理得22OMbk ka⋅=-，由2OMk k=得222bk ka⋅=-，故12k k=.21.对于数列{}n a，如果存在正整数T，使得对任意*()n n∈N，都有n T na a+=，那么数列{}na就叫做周期数列，T叫做这个数列的周期．若周期数列{}n b，{}n c满足：存在正整数k，对每一个*(,)i i k i∈N≤，都有i ib c=，我们称数列{}n b和{}n c为“同根数列”．（1）判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；①sinπna n=；②121,1,3,2,, 3.nn nnb nb b n--=⎧⎪==⎨⎪-≥⎩（2）若{}n a和{}n b是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：6k≤；（3）若{}n a和{}n b是“同根数列”，且周期的最小值分别是2m+和4m+*()m∈N，求k的最大值．【答案】（1）{}n a、{}n b均是周期数列，数列{}n a周期为1（或任意正整数），数列{}n b周期为6（2）证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由周期数列的定义求解即可；（2）由“同根数列”的定义求解即可；（3）m是奇数时，首先证明25k m+≥不存在数列满足条件，其次证明24k m=+存在数列满足条件.当m 是偶数时，首先证明24k m+≥时不存在数列满足条件,其次证明23k m=+时存在数列满足条件．【小问1详解】{}n a 、{}n b 均是周期数列，理由如下：因为1sin (1)π0sin πn n a n n a +=+===，所以数列{}n a 是周期数列，其周期为1（或任意正整数）．因为32111n n n n n n n b b b b b b b +++++=-=--=-，所以63n n n b b b ++=-=．所以数列{}n b 是周期数列，其周期为6（或6的正整数倍）．【小问2详解】假设6k ≤不成立，则有7k ≥，即对于17i ≤≤，都有i i a b =．因为71a a =，722b b a ==，所以12a a =．又因为63a a =，611b b a ==，所以13a a =．所以123a a a ==，所以1=n n a a +，与1T 的最小值是3矛盾．所以6k ≤．【小问3详解】当m 是奇数时，首先证明25k m +≥不存在数列满足条件．假设25k m +≥，即对于125i m +≤≤，都有i i a b =．因为()54m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24454t t t a b a t m ---==≤≤+，即1352m a a a a +==== ，及2461m a a a a +==== ．又5t m =+时，12(2)12511m m m m a a b b a +++++====，所以1=n n a a +，与1T 的最小值是2m +矛盾．其次证明24k m =+存在数列满足条件．取(2)31,=21(1)212,2(1)2m l im i k k a m i k k +++⎧-≤≤⎪⎪=⎨+⎪=≤≤⎪⎩()l ∈N及()431,=21(1)212,2(1)21,32,4m l i m i k k m i k k b i m i m +++⎧-≤≤⎪⎪+⎪=≤≤=⎨⎪=+⎪⎪=+⎩()l ∈N ，对于124i m +≤≤，都有i i a b =．当m 是偶数时，首先证明24k m +≥时不存在数列满足条件．假设24k m +≥，即对于124i m +≤≤，都有i i a b =．因为()53m t m t a b t m ++=≤≤+，所以()24453t t t a b a t m ---==≤≤+，即1351m a a a a +==== ，及246m a a a a ==== ．又4t m =+时，2m m m a b a +==，所以2=n n a a +，与1T 的最小值是2m +矛盾．其次证明23k m =+时存在数列满足条件．取()221,=21(1)22,2(1)23,2m l i m i k k a m i k k i m +++⎧-≤≤⎪⎪=⎨=≤≤⎪⎪=+⎩()l ∈N 及()421,=21(1)22,2(1)23,21,32,4m l im i k k m i k k b i m i m i m +++⎧-≤≤⎪⎪⎪=≤≤⎪=⎨⎪=+⎪=+⎪⎪=+⎩()l ∈N ，对于123i m +≤≤，都有i i a b =．综上，当m 是奇数时，k 的最大值为24m +；当m 是偶数时，k 的最大值为23m +．【点睛】关键点睛：本题(3)的突破口是利用“同根数列”的定义分类讨论，当m 是奇数时，首先证明25k m +≥不存在数列满足条件，其次证明24k m =+存在数列满足条件.当m 是偶数时，首先证明24k m +≥时不存在数列满足条件，其次证明23k m =+时存在数列满足条件．。
2014北京市丰台区高三(一模)数学(文)
2014北京市丰台区高三（一模）数学（文）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={x∈R|﹣1≤x≤1}，B={x∈R|x（x﹣3）≤0}，则A∩B等于（）A．{x∈R|﹣1≤x≤3} B．{x∈R|0≤x≤3} C．{x∈R|﹣1≤x≤0} D．{x∈R|0≤x≤1}2．（5分）已知等比数列{a n}中，a2+a3=1，a4+a5=2，则a6+a7等于（）A．2 B．2 C．4 D．43．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，它在[0，+∞）上是减函数．则下列各式一定成立的是（）A．f（0）＜f（6）B．f（﹣3）＞f（2） C．f（﹣1）＞f（3） D．f（﹣2）＜f（﹣3）5．（5分）设向量=（2，x﹣1），=（x+1，4），则“x=3”是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．（5分）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大赛．经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示．若甲乙两人的平均成绩分别是，，则下列说法正确的是（）A．＞，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛B．＞，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛C．＜，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛D．＜，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A．18B．36C．12D．248．（5分）在同一直角坐标系中，方程ax2+by2=ab与方程ax+by+ab=0表示的曲线可能是（）A．B． C．D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）已知tanα=2，则的值为．10．（5分）复数在复平面内对应的点的坐标是．11．（5分）以点（﹣1，1）为圆心且与直线x﹣y=0相切的圆的方程为．12．（5分）已知函数f（x）=2x，点P（a，b）在函数y=（x＞0）图象上，那么f（a）?f（b）的最小值是．13．（5分）A，B两架直升机同时从机场出发，完成某项救灾物资空投任务．A机到达甲地完成任务后原路返回；B 机路过甲地，前往乙地完成任务后原路返回．如图中折线分别表示A，B两架直升机离甲地的距离s与时间t之间的函数关系．假设执行任务过程中A，B均匀速直线飞行，则B机每小时比A机多飞行公里．14．（5分）设不等式组表示的平面区域为M，不等式组（0≤t≤4）表示的平面区域为N．在M内随机取一个点，这个点在N内的概率为P．①当t=1时，P= ；②P的最大值是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2cos2x﹣sin（π+2x）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最小值和最大值．16．（13分）年龄在60岁（含60岁）以上的人称为老龄人，某小区的老龄人有350人，他们的健康状况如下表：健康指数 2 1 0 ﹣160岁至79岁的人数120 133 34 1380岁及以上的人数9 18 14 9其中健康指数的含义是：2代表“健康”，1代表“基本健康”，0代表“不健康，但生活能够自理”，﹣1代表“生活不能自理”．（Ⅰ）随机访问该小区一位80岁以下的老龄人，该老人生活能够自理的概率是多少？（Ⅱ）按健康指数大于0和不大于0进行分层抽样，从该小区的老龄人中抽取5位，并随机地访问其中的3位．求被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率．17．（14分）如图，四边形ABCD与四边形ADMN都为正方形，AN⊥AB，F为线段BN的中点，E为线段BC上的动点．（Ⅰ）当E为线段BC中点时，求证：NC∥平面AEF；（Ⅱ）求证：平面AEF⊥BCMN平面；（Ⅲ）设=λ，写出λ为何值时MF⊥平面AEF（结论不要求证明）．18．（13分）已知曲线f（x）=ax﹣e x（a＞0）．（Ⅰ）求曲线在点（0，f（0））处的切线；（Ⅱ）若存在实数x0使得f（x0）≥0，求a的取值范围．19．（14分）如图，已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过左焦点F（﹣，0）且斜率为k的直线交椭圆E于A，B两点，线段AB的中点为M，直线l：x+4ky=0交椭圆E于C，D两点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求证：点M在直线l上；（Ⅲ）是否存在实数k，使得四边形AOBC为平行四边形？若存在求出k的值，若不存在说明理由．20．（13分）从数列{a n}中抽出一些项，依原来的顺序组成的新数列叫数列{a n}的一个子列．（Ⅰ）写出数列{3n﹣1}的一个是等比数列的子列；（Ⅱ）设{a n}是无穷等比数列，首项a1=1，公比为q．求证：当0＜q＜1时，数列{a n}不存在是无穷等差数列的子列．数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】B={x∈R|x（x﹣3）≤0}={x∈R|0≤x≤3}，则A∩B={x∈R|0≤x≤1}，故选：D．2．【解答】设等比数列{a n}的公比为q，则q2==2，∴a6+a7=（a4+a5）q2=2×2=4故选：C3．【解答】由程序框图知：程序第一次运行i=0+1=1，x=1+=2；第二次运行i=1+1=2，x=1+=；第三次运行i=2+1=3，x=1+=；第四次运行i=3+1=4，x=1+=．满足条件i≥4，输出x=．故选：A．4．【解答】∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在[0，+∞）上是减函数；∴当0＜6时，f（0）＞f（6），∴命题A错误；又∵f（﹣3）=f（3），且3＞2，∴f（3）＜f（2），命题B错误；又∵f（﹣1）=f（1），且1＜3，∴f（1）＞f（3），即f（﹣1）＞f（3），∴命题C正确；又∵f（﹣2）=f（2），f（﹣3）=f（3），且2＜3，∴f（2）＞f（3），即f（﹣2）＞f（﹣3），∴命题D错误；故选：C．5．【解答】当时，有2×4﹣（x﹣1）（x+1）=0，解得x=±3；因为集合{3}是集合{3，﹣3}的真子集，故“x=3”是“”的充分不必要条件．故选A6．【解答】有茎叶图中的数据可知，甲的数据主要集中85以下，乙的数据主要集中在86以上，∴根据数据分布可知＜，乙比甲成绩稳定，故选：乙参加比较，故选：D．7．【解答】由三视图知：几何体是三棱锥，且三棱锥的高为6，底面三角形的底边长为3+3=6，高为3，∴几何体的体积V=××6××6=18．故选：A．8．【解答】方程ax2+by2=ab 即；方程ax+by+ab=0，即y=﹣x﹣a．考察A选项，椭圆的焦点在x轴上，即b＞a＞0，直线的斜率小于0，此时方程ax+by+ab=0的斜率﹣＜0，符合题意；考察B选项，椭圆的焦点在y轴上，即a＞b＞0，直线的斜率大于0，但此时方程ax+by+ab=0的斜率﹣＜0，不符合题意；考察C选项，双曲线的焦点在y轴上，则a＞0，b＜0，直线的斜率大于0，此时方程ax+by+ab=0的斜率﹣＞0，但截距﹣a＜0，不符合题意；考察D选项，双曲线的焦点在x轴上，则b＞0，a＜0，直线的斜率小于0，但此时方程ax+by+ab=0的斜率﹣＞0，不符合题意；故选：A．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】∵tanα=2，∴===，故答案为：．10．【解答】=．∴复数在复平面内对应的点的坐标是．故答案为：．11．【解答】设点（﹣1，1）为圆心的圆的半径为r，依题意知，圆心（﹣1，1）到直线x﹣y=0的距离d=r==，∴所求的圆的方程为：（x+1）2+（y﹣1）2=2．故答案为：（x+1）2+（y﹣1）2=2．12．【解答】∵P（a，b）在函数y=（x＞0）图象上，∴b=，即ab=1，∴f（a）?f（b）==22=4，即f（a）?f（b）的最小值是4，故答案为： 413．【解答】设机场到甲地的距离为s，则A机的速度是（公里/小时），B机的速度是：（公里/小时），B机每小时比A机多飞行=20公里．故答案为：20．14．【解答】①不等式组表示的平面区域为M，则对应三角形的面积S M=．不等式组（0≤t≤4）表示的平面区域为矩形，则对应的矩形面积为2t（4﹣t）=﹣2t2+8t=﹣2（t﹣2）2+8，当t=1时，对应的面积S1=2×3=6，此时对应的概率P=．②当t=2时，区域N的面积最大为8，此时区域N的最大面积为8，则由几何概型的概率公式可知P的最大值是，故答案为：①，②．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【解答】（Ⅰ）函数f（x）=2cos2x﹣sin（π+2x）﹣1=cos2x+sin2x=sin（2x+），∴函数的周期为T==π．（Ⅱ）∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，∴当2x+=时，函数f（x）取得最小值为﹣1，当2x+=时，函数f（x）取得最大值为．16．【解答】（Ⅰ）该小区80岁以下老龄人生活能够自理的频率为，所以该小区80岁以下老龄人生活能够自理的概率约为．（Ⅱ）该小区健康指数大于0的老龄人共有280人，健康指数不大于0的老龄人共有70人，由分层抽样可知，被抽取的5位老龄人中有4位健康指数大于0，有1位健康指数不大于0．设被抽取的4位健康指数大于0的老龄人为1，2，3，4，健康指数不大于0的老龄人为B．从这五人中抽取3人，结果有10种：（1，2，3），（1，2，4），（1，2，B），（1，3，4），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，4），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），其中恰有一位老龄人健康指数不大于0的有6种：（1，2，B），（1，3，B），（1，4，B），（2，3，B），（2，4，B），（3，4，B，），∴被访问的3位老龄人中恰有1位老龄人的健康指数不大于0的概率为．17．【解答】（Ⅰ）证明：∵F为线段NB的中点，E为线段BC中点，∴NC∥EF，又NC不包含平面AEF，EF?平面AEF，∴NC∥平面AEF．（4分）（Ⅱ）证明：四边形ABCD与四边形ADMN都为正方形，∴AD⊥NA，AD⊥AB，NA∩AB=A，∴AD⊥平面NAB，AF?平面NAB，故AD⊥AF，AD∥BC，∴BC⊥AF，由题意NA=AB，F为线段NB的中点，∴AF⊥NB，NB∩BC=B，∴AF⊥平面BCMN，∵AF?平面AEF，∴平面AEF⊥平面BCMN．（11分）（Ⅲ）解：λ=时，MF⊥平面AEF．（14分）18．【解答】（Ⅰ）∵f（x）=ax﹣e x（a＞0），∴f（0）=﹣1，则切点为（0，﹣1）．f′（x）=a﹣e x，f′（0）=a﹣1，∴曲线在点（0，f（0））处的切线方程为：y=（a﹣1）x﹣1；（Ⅱ）∵a＞0，由f′（x）＞0得，x＜lna，由f′（x）＜0得，x＞lna，∴函数f（x）在（﹣∞，lna）上单调递增，在（lna，+∞）上单调递减，∴f（x）的最大值为f（lna）=alna﹣a．∵存在x0使得f（x0）≥0，∴alna﹣a≥0，∴a≥e．19．【解答】（Ⅰ）解：由题意可知，c=，于是a=2，∴．∴椭圆的标准方程为；（Ⅱ）证明：设A（x1，y1），B（x2，y1），M（x0，y0），由，即．，，，于是．∵，∴M在直线l上；（Ⅲ）设存在这样的平行四边形，则M为OC中点，设点C的坐标为（x3，y3），则．∵，解得．于是，解得，即．∴当时四边形AOBC的对角线互相平分，即当时四边形AOBC是平行四边形．20．【解答】（Ⅰ）解：数列{3n﹣1}中的2，8，32是一个等比数列，∵，，a3=32=22×3﹣1，由此猜想，∴数列{3n﹣1}的一个是等比数列的子列为{22n﹣1}．（若只写出2，8，32三项．给满分）．（5分）（Ⅱ）证明：假设存在是等差数列的子列{b n}，∵a1=1，0＜q＜1，∴，且数列{a n}是递减数列，∴{b n}也为递减数列且b n∈（0，1]，d＜0，令b1+（n﹣1）d＜0，得n＞1﹣，即存在n∈N*（n＞1），使得b n＜0，这与b n∈（0，1]矛盾．∴数列{a n}不存在是无穷等差数列的子列．（13分）。
北京市丰台区2014学年度高三年级第一学期期末考试理科数学
丰台区2013-2014学年度第一学期期末练习高 三 数 学（理科） 2014.1第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在复平面内，复数1i i-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限2. 函数11(0)=++>y x x x的最小值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43. 已知命题p: ∀21x x >,22x >12x ，则p ⌝是（A ）∀21x x >,22x ≤12x （B ）∃21x x >,22x ≤12x（C ）∀21x x >,22x <12x （D ）∃21x x >,22x <12x4. 过双曲线221916x y -=的右焦点，且平行其渐近线的直线方程是 （A ） 3(5)4y x =±- （B ） 4(5)3y x =±- （C ） 3(5)4y x =±+ （D ） 3(5)4y x =±+5.如图，已知曲边梯形ABCD 的曲边DC 所在的曲线方程 为1(0)y x x=>，e 是自然对数的底，则曲边梯形的面积是 （A ）1 （B ）e （C ）1e （D ）126. 已知平行四边形ABCD 中，AB=1，AD=2，∠DAB=60o，则且⋅AC AB uu u r uu u r 等于（A ）1 （B （C ）2 （D ）7.已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,||)ωϕπ><的部分图象如图所示,那么()f x 的表达式为（A ）5()2sin(2)6π=+f x x （B ）5()2sin(2)6π=-f x x （C ）()2sin(2)6f x x π=+（D ）()2sin(2)6f x x π=-8. 如图，一个底面半径为R 的圆柱被与其底面所成角为θ（00090θ<<）的平面所截，截面是一个椭圆.当θ为30o 时，这个椭圆的离心率为 （A ）12 （B（C（D ）23第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2014届高考数学专题汇编5：集合
专题5：集合1．（2012年海淀一模理1）已知集合{}1A x x =>，{}B x x m =<，且A B =R ，那么m 的值可以是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．22.（2012年丰台一模理1）已知集合A={x ∣x 2<1}，B={a}，若A ∩B=∅，则a 的取值范围是（ ） A.(,1)(1,)-∞-+∞ B.(,1][1,)-∞-+∞ C.(1,1)- D.[1,1]- 3．（2012年密云一模理1）设全集U={}6<∈*x N x ，集合A={1,3}，B={3,5}，则U ()C A B ⋃=（ ）A ．｛0，4｝B ．｛1，5｝C ．｛2，4｝D ．｛2，5｝4.（2012年东城11校联考理1）设全集2,{|30},{|1}U A x x x B x x ==-->=<-R ，则图中阴影部分表示的集合为 ( )A.}0|{>x xB.}13|{-<<-x xC.}03|{<<-x xD.}1|{-<x x5．（2012年房山一模理1）已知集合{}{}2,0,250,,,M a N x x x x M N a ==-<∈≠∅Z 如果则等于（ ）A.1B.2C.12或D.256．（2012年门头沟一模理1）已知全集U R =，集合{}2340A x x x =--≤，{}23B x x x =<->或，则集合A B C U 等于（ ）A.{}24x x -≤≤ B.{}21x x -≤≤-C.{}13x x -≤≤D.{}34x x <≤7.（2012年西城二模理1）已知集合2{|log 1}A x x =<，{|0B x x c =<<，其中0}c >．若A B B = ，则c 的取值范围是（ ）A ．(0,1] B.[1,)+∞ C.(0,2] D.[2,)+∞8.（2012年昌平二模理1）已知全集U = R ，集合}{042≤-=x x |x A ，}2{<=x |x B ，则B A =（ ）A. {0≥x |x }B. {20<≤x |x }C. {42≤<x |x }D. {40≤≤x |x } 9．（2012年朝阳二模）. 设集合{0,1234,5}{12}U A ==，，，，，，{}2540B x x x =∈-+<Z ，则()U A B = ð（ ）A ．{0,1,2,3}B ．{5}C ．{124}，，D ．{0,4,5}10．（2012年东城二模）若集合{}0A x x =≥，且A B B = ，则集合B 可能是（ ）A ．{}1,2B ．{}1x x ≤C ．{}1,0,1-D ．R11.（2012年房山二模）集合{}10≤≤=x x A ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=21x x B ，则B A 等于（ ） (A){}1<x x (B){}1≤x x (C){}10<≤x x (D){}0≤x x 12.（2012年怀柔二模）已知全集U={一l ，0，1，2}，集合A={一l ，2}，则=A C U （ ）A ．{0,1}B ．{2}C ．{0，l ，2}D ．φ13.（2012年顺义二模）已知集合{}0,1,3M =,{}|3,N x x a a M ==∈,则集合M N =I （ ）A.{}0B.{}0,1C. {}0,3D. {}1,314．（2013届北京海滨一模理科）集合2{6},{30}A x x B x x x =∈≤=∈->N|R|，则A B =（ ）A ．{3,4,5}B ．{4,5,6}C ．{|36}x x <≤D ．{|36}x x ≤<15．（2013届北京市延庆县一模数学理）已知集合},3,1{m A =，},1{m B =，A B A = ，则=m （ ）A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或316．（2013届北京西城区一模理科）已知全集U =R ，集合{|02}A x x =<<，2{|10}B x x =->，那么U A B = ð（ ）A ．{|01}x x <<B ．{|01}x x <≤C ．{|12}x x <<D ．{|12}x x ≤<17．（2013届东城区一模理科）已知全集{1,2,3,4}U=，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为（ ）A ．{3}B ．{3,4}C ．{1,2}D ．{2,3}18．（2013届房山区一模理科数学）已知全集U =R ，集合2{|1},{|4}M x x N x x =≤=>，则()M C N =R（ ）A ．(2,1]-B ．[2,1]-C ．(,1]-∞-D ．(,2)-∞-19．（2013届房山区一模理科数学）设集合M 是R 的子集，如果点0x ∈R 满足：00,,0a x M x x a ∀>∃∈<-<，称0x 为集合M 的聚点.则下列集合中以1为聚点的有：{|}1n n n ∈+N ； ②*2{|}n n ∈N ； ③Z ； ④{|2}x y y =（ ） A ．①④ B ．②③ C ．①② D ．①②④ 20．（2013届门头沟区一模理科）已知全集U = R ，集合A {}24x x =≤，B {}1x x =<，则集合AB 等于（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}12x x ≤≤C ．{}1x x ≥D ．R21．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）设集合2{40}A x x =->，1{2}4xB x =<，则A B =（ ）A ．{}2x x >B ．{}2x x <-C ．{}22或x x x <-> D ．12x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭22．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）设集合{1,2}A =，则满足{1,2,3}A B = 的集合B 的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．823．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知集合}|{2x y y M ==，}2|{22=+=y x y N ，则N M =（ ）A ．)}1,1(),1,1{(-B ．}1{C ．]1,0[D ．]2,0[24．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B = （ ）A ．1(0,)2B ．(1,1)-C ．1(,1)(,)2-∞-+∞D ．(,1)(0,)-∞-+∞U25．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））已知集合{}()(){}021,012<-+∈=<+∈=x x x B x x A R R ,则=⋂B A（ ）A ．()1,-∞-B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛--21,1 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,21 D ．()+∞,226．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知集合{}24A x x =<，{}0,1,2B =，则A B =（ ）A ．φB ．{}0C ．{}0,1D ．{}0,1,227．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，5-a }，{5,7}U C M = ，则实数a 的值为 （ ）A ．2或－8B ．－2或－8C ．－2或8D ．2或828．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于（ ）A ．{|2}x x >B ．{}20<<x xC ．{}21<<x xD ．{|01}x x <<29．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）设集合{}2A=230x x x +->，集合{}2B=210,0x x ax a --≤>.若A B 中恰含有一个整数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1,+∞30．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）设集合{}4,3,2,1=U，{}2,1=A ,{}4,2=B ,则=⋃B A C U ）（ （ ）A ．{}2,1B ．{}4,32，C ．{}4,3D ．{}4,3,2,131．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知集合2{|60},{|13}M x x x N x x =+-<=≤≤，则（ ）A ．N M ⊆B ．M N ⊆C ．)2,1[=N MD ．]3,3[-=N M。
2014届高考数学专题汇编13：线性规划
专题13：线性规划1.（2012年西城一模理3）若实数x ，y 满足条件0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则2x y -的最大值为（ ）A ．9B ．3C ．0D ．3-2．（2012年东城一模理3）若实数x ，y 满足不等式组1,2,0,y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x z 2-=的最小值为（ ） A ．27-B ． 2-C ．1D ．253.（2012年丰台一模理2）若变量x ，y 满足约束条件0,21,43,y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z=3x+5y 的取值范围是（ ）A.[3,)+∞B.[-8,3]C.(,9]-∞D.[-8,9]4.（2012年东城11校联考理7）已知约束条件340,210,380,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩若目标函数)0(>+=a ay x z 恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A. 310<<aB.31≥a C . 31>a D . 210<<a5．（2012年门头沟一模理13）在平面上有两个区域M 和N ，其中M 满足002y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，N 由1t x t +≤≤ 确定，当0t =时，M 和N 公共部分的面积是 ；当01t ≤≤时， M 和N 的公共部分面积的最大值为 ．6.（2012年朝阳二模理11）若实数,x y 满足10,0,x y x -+≤⎧⎨≤⎩则22x y +的最小值是 .7.（2012年海淀二模理4）若整数,x y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥+≤-2311y y x y x 则2x y +的最大值是（ ）A ．1B.5C.2D.38.（2012年昌平二模理13）若变量 x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤400x y y x 表示平面区域M ，则当-42≤≤a 时，动直线a y x =+所经过的平面区域M 的面积为_____________.9.（2012年房山二模理）．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为（ ）（A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）610．（2013届北京丰台区一模理科）已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2x ye +的最大值是（ ）A ．3eB ．2eC ．1D ．4e -11．（2013届北京丰台区一模理科）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（ ） A ．13 B ．18 C ．21 D ．2612．（2013届北京海滨一模理科）不等式组1,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为Ａ.2-B ．1-C ．0D ．113．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知2,,z x y x y =+满足2y xx y x m ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．1714．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）设0,0.a b >>若1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．1D ．1415．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（ ） A ．[6,15] B ．[7,15] C ．[6,8] D ．[7,8]16．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ）A ．416(,)55B ．4(,16)5C ．(1,16)D ．16(,4)517．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D .若圆()()22211:r y x C =+++ ()0>r 不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是（ ） A ．[]52,22 B ．(]23,22C ．(]52,23D ．()()+∞⋃,5222,018．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知,x y 满足约束条件24,2400x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，，则zx y =+的最大值为 19．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）已知直线y x b =+与平面区域C:||2,||2x y ≤⎧⎨≤⎩的边界交于A ，B 两点，若AB ≥b 的取值范围是________.20．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）若关于x ，y 的不等式组0,,10x y x kx y ⎧⎪⎨⎪-+⎩………（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k = . 21．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）点(,)P x y 在不等式组0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，若点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为___.k =22．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为4，则=a ；若点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 .。
【2014丰台一模】北京市丰台区2014届高三下学期期中练习 数学理 Word版含答案
丰台区2013-2014学年度第二学期期中练习高 三 数 学（理科） 2014.3第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）设集合{|11}A x R x =∈-≤≤,{|(3)0}B x R x x =∈-≤,则A B 等于 （A ） {|13}x R x ∈-≤≤ （B ） {|03}x R x ∈≤≤ （C ） {|10}x R x ∈-≤≤ （D ） {|01}x R x ∈≤≤ （2）在极坐标系中，点A （1,π）到直线cos 2=ρθ的距离是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 （3）执行如图所示的程序框图，输出的x 值为 （A ）85 （B ）2912 （C ）53（D ）138（4）已知函数()f x 是定义在[6,6]-上的偶函数，且(3)(1)f f >，则下列各式中 一定成立的是（A ）(0)(6)f f < （B ）(-3)(-2)f f > （C ）(1)(3)f f -< （D ）(-2)(1)f f > （5） “1m n >>”是 “log 2log 2m n <”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 （6）某企业开展职工技能比赛，并从参赛职工中选1人参加该行业全国技能大 赛.经过6轮选拔，甲、乙两人成绩突出，得分情况如茎叶图所示.若甲乙两 人的平均成绩分别是x 甲，x 乙，则下列说法正确的是 （A ）x x >甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛 （B ）x x >甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛 （C ）x x <甲乙，甲比乙成绩稳定，应该选甲参加比赛（D ）x x <甲乙，乙比甲成绩稳定，应该选乙参加比赛（7）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如 图所示，那么该几何体的体积是（A ）143 （B ）4 （C ）103（D ）3（8）如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年 年份2014的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年 到2999年中“七巧年”共有（A ）24个 （B ）21个 （C ）19个 （D ）18个侧视图俯视图主视图第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2018-2019学年北京市丰台区高三(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2018-2019学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，那么A∩B＝（）A．{﹣1，0，1}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{x|﹣2≤x≤2} 2．（5分）若复数（2﹣i）（a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数a＝（）A．3B．C．D．﹣33．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S的值为（）A．B．C．D．4．（5分）已知等差数列{a n}中，a1＝3，a2＝6．若b n＝a2n，则数列{b n}的前5项和等于（）A．30B．45C．90D．1865．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的棱中，最长的棱的长度为（）A．2B．C．D．6．（5分）设，是非零向量，则“＝”是“2＝”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．（5分）一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB 通过O 处的铰链与固定好的短杆OA 连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A ，另一端固定在点B ，套上铅笔（如图所示）．作图时，使铅笔紧贴长杆OB ，拉紧绳子，移动笔尖M （长杆OB 绕O 转动），画出的曲线即为双曲线的一部分．若|OA |＝10，|OB |＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．8．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G 分别是棱AB ，BC ，CC 1的中点，P 是底面ABCD 内一动点，若直线D 1P 与平面EFG 不存在公共点，则三角形PBB 1的面积的最小值为（ ）A ．B ．1C ．D ．2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在极坐标系中，圆C ：ρ＝2sin θ的圆心到点（1，0）的距离为 ． 10．（5分）在（2x ﹣1）5的展开式中，x 2的系数为 ．11．（5分）能够说明“设a，b是任意非零实数．若，则b＞a”是假命题的一组整数a，b的值依次为．12．（5分）若x，y满足则z＝x﹣2y的最大值为．13．（5分）动点A（x，y）在圆x2+y2＝1上沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是，则当0≤t≤6时，动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的值域为．14．（5分）已知函数①若a＝0，则函数f（x）的零点有个；②若存在实数m，使得函数y＝f（x）+m总有三个不同的零点，则实数a的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝3，，．（Ⅰ）求c的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱P A⊥底面ABCD，Q为棱PD的中点，P A＝AB．（Ⅰ）求证：AQ⊥CD；（Ⅱ）求直线PC与平面ACQ所成角的正弦值；（Ⅲ）求二面角C﹣AQ﹣D的余弦值．17．（13分）2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会．本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展．其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如表：备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值．（Ⅰ）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；（Ⅱ）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．（i）记X为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量X的分布列；（ii）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升10%．记Y为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数．试比较随机变量X，Y的均值E（X）和E（Y）的大小．（只需写出结论）18．（14分）已知椭圆C：的右焦点为F（1，0），离心率为，直线l：y＝k（x﹣4）（k≠0）与椭圆C交于不同两点M，N，直线FM，FN分别交y轴于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：|F A|＝|FB|．19．（13分）设函数．（Ⅰ）当a＝1时，求证：f（x）≥0；（Ⅱ）如果f（x）≥0恒成立，求实数a的最小值．20．（13分）将m×n阶数阵记作{a ij}m×n（其中，当且仅当i＝s，j＝t时，a ij＝a st）．如果对于任意的i＝1，2，3，…，m，当j1＜j2时，都有，那么称数阵{a ij}m×n具有性质A．（Ⅰ）写出一个具有性质A的数阵{a ij}3×4，满足以下三个条件：①a11＝4，②数列{a1n}是公差为2的等差数列，③数列{a m1}是公比为的等比数列；（Ⅱ）将一个具有性质A的数阵{a ij}m×n的每一列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列，形成一个新的m×n阶数阵，记作数阵{b ij}m×n．试判断数阵{b ij}m×n是否具有性质A，并说明理由．2018-2019学年北京市丰台区高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|﹣2≤x≤2}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：B．2．【解答】解：∵（2﹣i）（a+i）＝（2a+1）+（2﹣a）i的实部与虚部互为相反数，∴2a+1+2﹣a＝0，即a＝﹣3．故选：D．3．【解答】解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S＝+++的值，可得：S＝+++＝（1﹣）+（）+（）+（﹣）＝1﹣＝．故选：B．4．【解答】解：等差数列{a n}中，a1＝3，a2＝6，∴d＝a2﹣a1＝6﹣3＝3，∴a2n＝3+3（2n﹣1）＝6n，∴b n＝6n，∴{b n}的前5项和等于6（1+2+3+4+5）＝90，故选：C．5．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为四棱锥，侧棱P A⊥底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，P A＝AB＝BC＝2AD＝2．∴最长的棱为PC，其长度为．故选：D．6．【解答】解：设，是非零向量，若“＝”则可得2＝，若“2＝”，则（﹣）＝0，则⊥（），或＝，故“＝”是“2＝”的充分而不必要条件，故选：A．7．【解答】解：可设MB＝t，可得MO＝12﹣t，MA＝8﹣t，即有MO﹣MA＝4＜AO＝10，由双曲线的定义可得动点M的轨迹为双曲线的一支，且双曲线的2c＝10，2a＝4，即c＝5，a＝2，可得e＝＝．故选：D．8．【解答】解：补全截面EFG为截面EFGHQR如图，∵直线D1P与平面EFG不存在公共点，∴D1P∥平面EFGHQR，易知平面ACD1∥平面EFGHQR，∴P∈AC，且当P与O重合时，BP最短，此时△PBB1的面积最小，＝，故选：C．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【解答】解：在圆C的极坐标方程两边同时乘以ρ得，ρ2＝2ρsinθ，化为普通方程得x2+y2＝2y，即x2+（y﹣1）2＝1，所以，圆C的圆心为C（0，1），该圆心到点（1，0）的距离为．故答案为：．10．【解答】解：（2x﹣1）5的展开式中含x2的项是C52（2x）2（﹣1）3＝﹣40x2所以x2的系数是40．故答案为：﹣40．11．【解答】解：设a，b是任意非零实数．若，则b＞a”是假命题的一组整数a，b 的值，只要满足满足b＜a＜0且a，b∈Z即可，故可取a＝﹣1，b＝﹣2，故答案为：﹣1，﹣2．12．【解答】解：作出x，y满足对应的平面区域如图：由z＝x﹣2y，得y＝x﹣，平移直线y＝x﹣，由图象可知当直线y＝x﹣经过点B时，直线y＝x﹣的截距最小，此时z最大，由解得A（1，0），此时z max＝1﹣2×0＝1．故答案为：1．13．【解答】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t＝0时cosα＝，即α＝，每秒钟旋转，在t∈[0，6]上时α∈[，π]，∴sinα∈[﹣，1]，即动点A的纵坐标y关于t（单位：秒）的函数的值域为[﹣，1]，故答案为：[﹣，1]．14．【解答】解：①若a＝0，则f（x）＝，由f（x）＝0，可得x＝0或，可得f（x）的零点有两个；②函数，y＝3x﹣x3，y′＝3﹣3x2，令y′＝0，可得x＝±1函数的极小值点x＝﹣1，极小值为﹣2；极大值点为x＝1，极大值为2．函数的图象如图：使得函数y＝f（x）+m有三个零点，a＜﹣1时y＝3x﹣x3，与y＝﹣m有3个交点，a∈（﹣1，0）时，y＝3x﹣x3，与y＝﹣m有2个交点，y＝2x与y＝﹣m可以有一个交点，综上，a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）．故答案为：2，（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．【解答】（本题满分为13分）解：（Ⅰ）在△ABCD中，因为a＝3，，，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，………．（2分）可得c2﹣2c﹣3＝0，………．（4分）所以c＝3，或c＝﹣1（舍）．…………．（6分）（Ⅱ）因为，所以．所以△ABC的面积．…………．（13分）16．【解答】（共14分）证明：（Ⅰ）因为P A⊥底面ABCD，CD⊂底面ABCD，所以P A⊥CD，正方形ABCD中，AD⊥CD，又因为P A∩AD＝A，所以CD⊥平面P AD，因为AQ⊂平面P AD，所以AQ⊥CD．……………．（4分）解：（Ⅱ）正方形ABCD中，AB⊥AD，侧棱P A⊥底面ABCD．如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，不妨设AB＝2．依题意，则A（0，0，0），C（2，2，0），P（0，0，2），Q（0，1，1），所以＝（﹣2，﹣2，2），＝（2，2，0），＝（0，1，1）．设平面ACQ的法向量＝（x，y，z），则，令x＝1，得＝（1，﹣1，1），所以cos＜，＞＝＝，所以直线PC与平面ACQ所成角的正弦值为．………（11分）（Ⅲ）由（Ⅰ）知CD⊥平面P AD，所以＝（2，0，0）为平面P AD的法向量，因为cos＜＞＝＝，且二面角C﹣AQ﹣D为锐角，所以二面角C﹣AQ﹣D的余弦值为．………（14分）17．【解答】解：（Ⅰ）7个展区企业数共400+60+70+650+1670+300+450＝3600家，其中备受关注的智能及高端装备企业共400×25%＝100家，设从各展区随机选1家企业，这家企业是备受关注的智能及高端装备为事件A，所以P（A）＝＝；………………（4分）（Ⅱ）消费电子及家电备受关注的企业有60×20%＝12（家），医疗器械及医药保健备受关注的企业有300×8%＝24（家），共36家．∴X的可能取值为0，1，2；计算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝；所以随机变量X的分布列为：……（11分）（Ⅲ）计算E（X），结合题意知E（X）＞E（Y）．…………（13分）18．【解答】（共14分）解：（Ⅰ）由题意得解得，所以椭圆C的方程为………（5分），（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2）（x1≠1且x2≠1）．由得（4k2+3）x2﹣32k2x+64k2﹣12＝0，依题意△＝（﹣32k2）2﹣4•（4k2+3）•（64k2﹣12）＞0，即．则………（8分）因为＝＝＝＝0．所以直线MF的倾斜角与直线NF的倾斜角互补，即∠OF A＝∠OFB．因为OF⊥AB，所以|F A|＝|FB|．……（14分）19．【解答】解：（Ⅰ）因为a＝1，所以f（x）＝sin x﹣x cos x，则f'（x）＝x sin x；当时，f'（x）≥0恒成立，所以f（x）在区间上单调递增，所以f（x）≥f（0）＝0；…………（5分）（Ⅱ）因为，所以f'（x）＝（a﹣1）cos x+x sin x；①当a＝1时，由（Ⅰ）知，f（x）≥0对恒成立；②当a＞1时，因为，所以f'（x）＞0，因此f（x）在区间上单调递增，所以f（x）≥f（0）＝0对恒成立；③当a＜1时，令g（x）＝f'（x），则g'（x）＝（2﹣a）sin x+x cos x，因为，所以g'（x）≥0恒成立，因此g（x）在区间上单调递增，且，所以存在唯一使得g（x0）＝0，即f'（x0）＝0；所以任意x∈（0，x0）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，x0）上单调递减；所以f（x）＜f（0）＝0，不合题意；……（12分）综上可知，a的最小值为1．……（13分）20．【解答】（共13分）解：（Ⅰ）：①a11＝4，②数列{a1n}是公差为2的等差数列，③数列{a m1}是公比为的等比数列；具有性质A的数阵{a ij}3×4，不妨为：（答案不唯一）．………．（4分）（Ⅱ）数阵{b ij}m×n具有性质A．只需证明，对于任意的i＝1，2，3，…，n，都有b ij＜b i（j+1），其中j＝1，2，3，…，n ﹣1．下面用反证明法证明：假设存在b pq＞b p（q+1），则b（p+1）q，b（p+2）q，…，b mq都大于b p（q+1），即在第q列中，至少有m﹣p+1个数大于b p（q+1），且b p（q+1）＞b（p﹣1）（q+1）＞…＞b2（q+1）＞b1（q+1）．根据题意，对于每一个b t（q+1）（t＝1，2，…，p），都至少存在一个（i t∈{1，2，3，…，m}），使得，即在第q列中，至少有p个数小于b p（q+1）．所以，第q列中至少有m﹣p+1+p＝m+1个数，这与第q列中只有m个数矛盾．所以假设不成立．所以数阵{b ij}m×n具有性质A．……．（13分）。
2014-2015学年北京市丰台区高三上学期期末数学试卷(理科)含答案
2014-2015学年北京市丰台区高三上学期数学期末试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={1，2，3}，那么A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{﹣1，0，3}C．{1，2，3}D．{1，2}2．（5分）已知向量=（2，1），=（x，y），则“x=﹣4且y=﹣2”是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查．假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是（）A．两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同B．两组同学的样本平均数一定相等C．两组同学的样本标准差一定相等D．该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同4．（5分）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，，，，那么a等于（）A．1 B．2 C．4 D．1或45．（5分）已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A．B．C．D．6．（5分）2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有（）A．种B．种C．种 D．种7．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是（）A． B． C．D．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点B在y轴上，则菱形内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是（）A．{1，3}B．{0，1，3}C．{0，1，3，4}D．{0，1，2，3，4}二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是A，B（如图所示），则复数的值是．10．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，如果a1=2，a3+a5=22，那么S3等于．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是．12．（5分）若变量x，y满足条件且z=x+y的最大值是10，则k的值是．13．（5分）过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果y 0=0，那么切线的斜率是；如果∠OMN≥，那么y0的取值范围是．14．（5分）设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x ∈D，都有f（x+T）=T•f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T 为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2x是“似周期函数”；④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是．（写出所有满足条件的命题序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x﹣）﹣1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值及相应的x的值．16．（13分）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（Ⅰ）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为X，求X的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率）17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，BC=2．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣C的大小；（Ⅲ）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值．18．（13分）已知函数f（x）=x+e﹣x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）如果直线y=kx﹣1与函数f（x）的图象无交点，求k的取值范围．19．（14分）已知椭圆C：的右焦点，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，过原点O作直线l的垂线，垂足为P，如果△OAB的面积为（λ为实数），求λ的值．20．（13分）已知数列{a n}满足a1=1，a n=λa n﹣1+1，（λ≠1，n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求证：当λ≠0时，数列为等比数列；（Ⅱ）如果λ=2，求数列{na n}的前n项和S n；（Ⅲ）如果[a n]表示不超过a n的最大整数，当时，求数列{[（λ﹣1）a n]}的通项公式．2014-2015学年北京市丰台区高三上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）设集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，B={1，2，3}，那么A∩B=（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{﹣1，0，3}C．{1，2，3}D．{1，2}【解答】解：由x2﹣x﹣2≤0得，﹣1≤x≤2，则A={x|﹣1≤x≤2}，又B={1，2，3}，则A∩B={1，2}，故选：D．2．（5分）已知向量=（2，1），=（x，y），则“x=﹣4且y=﹣2”是“∥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若∥，则x﹣2y=0，即x=2y，若x=﹣4且y=﹣2，满足x=2y，即充分性成立，当x=y=0时，满足x=2y但x=﹣4且y=﹣2不成立，即必要性不成立，故“x=﹣4且y=﹣2”是“∥”充分不必要条件，故选：A．3．（5分）高二年级某研究性学习小组为了了解本校高一学生课外阅读状况，分成了两个调查小组分别对高一学生进行抽样调查．假设这两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，则下列结论正确的是（）A．两组同学制作的样本频率分布直方图一定相同B．两组同学的样本平均数一定相等C．两组同学的样本标准差一定相等D．该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同【解答】解：∵两组同学抽取的样本容量相同且抽样方法合理，∴每一个个体被抽到的概率都为，∴该校高一年级每位同学被抽到的可能性一定相同，故选：D．4．（5分）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，，，，那么a等于（）A．1 B．2 C．4 D．1或4【解答】解：∵△ABC中，b=，c=，cosB=，∴由余弦定理得：b2=a2+c2﹣2accosB，即7=a2+3﹣3a，解得：a=4或a=﹣1（舍去），则a的值为4．故选：C．5．（5分）已知函数y=log b（x﹣a）（b＞0且b≠1）的图象如图所示，那么函数y=a+sinbx的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解∵由对数函数图象可知，函数为增函数，∴b＞1，y=log b（x﹣a）函数的图象过定点（a+1，0），∴a+1=2，∴a=1∴函数y=a+sinbx（b＞0且b≠1）的图象，是有y=sinbx的图象向上平移1的单位得到的，由图象可知函数的最小正周期T=＜2π，故选：B．6．（5分）2014年11月，北京成功举办了亚太经合组织第二十二次领导人非正式会议，出席会议的有21个国家和地区的领导人或代表．其间组委会安排这21位领导人或代表合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在第一排正中间位置，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，如果对其他领导人或代表所站的位置不做要求，那么不同的排法共有（）A．种B．种C．种 D．种【解答】解：由题意，其余18人有种站法，美俄两国领导人站在与中国领导人相邻的两侧，有种站法，根据乘法原理，可得不同的排法共有种，故选：B．7．（5分）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的侧视图和俯视图，则该锥体的正视图可能是（）A． B． C．D．【解答】解：由已知中锥体的侧视图和俯视图，可得该几何体是四棱锥，由侧视图和俯视图可得，该几何的直观图如图所示：顶点P在底面ABCD上的射影为CD的中点O，故该锥体的正视图是：故选：A．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，如果菱形OABC的边长为2，点B在y轴上，则菱形内（不含边界）的整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是（）A．{1，3}B．{0，1，3}C．{0，1，3，4}D．{0，1，2，3，4}【解答】解：根据对称性我们只研究在x轴上方的整点情况，∵菱形OABC的边长为2，点B在y轴上，∴A，C点在半径为2的圆上，且A，C关于y轴对称，①如图1，若对角线OB的长度OB≤1，此时区域内整点个数为0，排除A，②如图2．此时区域内整点为（0，1），个数为1，③如图3，此时区域内整点为（﹣1，1），（0，1），（1，1），个数为3，④如图4．则此时区域内整点为（﹣1，1），（0，1），（0，2），（1，1），个数为4个，⑤如图5．则此时区域内整点为（0，1），（0，2），个数为2个，综上菱形内（不含边界）整点（横纵坐标都是整数的点）个数的取值集合是{0，1，2，3，4}，故选：D二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在复平面内，复数z1，z2对应的点分别是A，B（如图所示），则复数的值是﹣1+i．【解答】解：由复数的几何意义可知：z1=2i，z2=1﹣i．∴===﹣1+i．故答案为：﹣1+i．10．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，如果a1=2，a3+a5=22，那么S3等于15．【解答】解：由等差数列的性质得，a3+a5=2a4=22，解得a4=11，又a1=2，所以公差d==3，所以S3==3×2+9=15，故答案为：15．11．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果是20．【解答】解：执行程序框图，有a=1，b=1，s=2c=2，s=4不满足条件c＞5，a=1，b=2，c=3，s=7不满足条件c＞5，a=2，b=3，c=5，s=12不满足条件c＞5，a=3，b=5，c=8，s=20满足条件c＞5，退出循环，输出s的值为20．故答案为：20．12．（5分）若变量x，y满足条件且z=x+y的最大值是10，则k的值是5．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大为x+y=10．由解得，即B（k，k），代入x+y=10得k+k=2k=10，解得k=5．故答案为：513．（5分）过点作圆O：x2+y2=1的切线，切点为N，如果y 0=0，那么切线的斜率是；如果∠OMN≥，那么y0的取值范围是﹣1≤y0≤1．【解答】解：y0=0，设切线方程为y=k（x﹣），即kx﹣y﹣k=0，圆心到直线的距离为d==1，∴k=；∠OMN≥，则≥，∴OM≤2，∴3+≤4，∴﹣1≤y0≤1，故答案为：；﹣1≤y0≤1．14．（5分）设函数y=f （x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x ∈D，都有f（x+T）=T•f （x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T 为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2x是“似周期函数”；④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是①④．（写出所有满足条件的命题序号）【解答】解：①∵似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，∴f（x﹣1）=﹣f（x），∴f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x），故它是周期为2的周期函数，故正确；②若函数f（x）=x是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），即x+T=Tx恒成立；故（T﹣1）x=T恒成立，上式不可能恒成立；故错误；③若函数f（x）=2x是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），即2x+T=T2x恒成立；故2T=T成立，无解；故错误；④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，则f（x+T）=T•f （x），即cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；故cos（ωx+ωT）=Tc osωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，故，故ω=kπ，k∈Z；故正确；故答案为：①④．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x﹣）﹣1，x∈R．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值及相应的x的值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2sin（x+）cos（x+）+2cos2（x﹣）﹣1=sin（2x+）+cos（2x﹣）=cos2x+sin2x=2sin（2x+）T==π．…7 分（Ⅱ）因为x∈，所以．所以当2x=，即x=时，y max=2；当2x=，即x=时，．…（13分）所以当x=时，函数有最大值是2；当x=时，函数有最小值是﹣．16．（13分）某市为了了解本市高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（Ⅰ）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（Ⅱ）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上（含80分）的概率；（Ⅲ）如果从参加本次考试的同学中随机选取3名同学，这3名同学中考试成绩在80分以上（含80分）的人数记为X，求X的分布列及数学期望．（注：频率可以视为相应的概率）【解答】解：（Ⅰ）估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.15×95=76.5；…（2分）（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上为事件A．P（A）=0.025×10+0.015×10=0.4；∴被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上的概率为0.4；…（6分）（Ⅲ）从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80（分）以上的概率为P=；X可能的取值是0，1，2，3；∴P（X=0）=••=；P（X=1）=•=；P（X=2）=••=；P（X=3）=••=；∴X的分布列为：…（12分）所以E（X）=0×+1×+2×+3×=；…（13分）（或X～B（3，），∴E（X）=np=3×=．17．（14分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，PA⊥底面ABCD，M是棱PD的中点，且PA=AB=AC=2，BC=2．（Ⅰ）求证：CD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角M﹣AB﹣C的大小；（Ⅲ）如果N是棱AB上一点，且直线CN与平面MAB所成角的正弦值为，求的值．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC，∵在△ABC中，AB=AC=2，，∴BC2=AB2+AC2，∴AB⊥AC，∵AB∥CD，∴AC⊥CD，又∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥CD，∵AC∩PA=A，∴CD⊥平面PAC；（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），D（﹣2，2，0），∵M是棱PD的中点，∴M（﹣1，1，1），∴=（﹣1，1，1），=（2，0，0），．设=（x，y，z）为平面MAB的法向量，∴，即令y=1，则，∴平面MAB的法向量=（0，1，﹣1）∵PA⊥平面ABCD，∴=（0，0，2）是平面ABC的一个法向量．∴cos＜，＞===﹣∵二面角M﹣AB﹣C 为锐二面角，∴二面角M﹣AB﹣C的大小为；（Ⅲ）∵N是在棱AB上一点，∴设N（x，0，0），=（﹣x，2，0），．设直线CN与平面MAB所成角为α，因为平面MAB的法向量=（0，1，﹣1），∴=，解得x=1，即AN=1，NB=1，∴=118．（13分）已知函数f（x）=x+e﹣x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的极小值；（Ⅱ）如果直线y=kx﹣1与函数f（x）的图象无交点，求k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为R．∵f（x）=x+e﹣x﹣1，∴．令f′（x）=0，则x=0．当x＜0时，f′（x）＜0，当；x＞0x＞0时，f′（x）＞0∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴当x=0时函数有极小值f′（x）=f（0）=0．极小值（Ⅱ）∵函数，当x=0时，y=k•0﹣1=﹣1，所以要使y=kx﹣1与f（x）无交点，等价于f（x）＞kx﹣1恒成立．令，即g（x）=（1﹣k）x+e﹣x，所以．①当k=1时，，满足y=kx﹣1与f（x）无交点；②当k＞1时，，而，，所以，此时不满足y=kx﹣1与f（x）无交点．③当k＜1时，令，则x=﹣ln（1﹣k），当x∈（﹣∞，﹣ln（1﹣k））时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，﹣ln（1﹣k））上单调递减上单调递减；当x∈（﹣ln（1﹣k），+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣ln（1﹣k），+∞）上单调递增；当x=﹣ln（1﹣k）时，g（x）min=g（﹣ln（1﹣k））=（1﹣k）（1﹣ln（1﹣k））．由（1﹣k）[1﹣ln（1﹣k）]＞0 得1﹣e＜k＜1，即y=kx﹣1与f（x）无交点．综上所述 当k ∈（1﹣e ，1]时，y=kx ﹣1与f （x ）无交点．19．（14分）已知椭圆C ：的右焦点，点在椭圆C 上．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）直线l 过点F ，且与椭圆C 交于A ，B 两点，过原点O 作直线l 的垂线，垂足为P ，如果△OAB 的面积为（λ为实数），求λ的值． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知：c=，左焦点F′（﹣，0）．根据椭圆的定义得：2a=|MF′|+|MF |=+，解得a=2，∴b 2=a 2﹣c 2=4﹣3=1，∴椭圆C 的标准方程为：+y 2=1；（Ⅱ）由题意知，S△ABC =|AB |•|OP |=，整理得：λ=|OP |2﹣．①当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为：x=，此时|AB |=1，|OP |=，∴λ=|OP |2﹣=﹣1；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y=k （x ﹣），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立，消去y 整理得：（1+4k 2）x 2﹣8k 2x +12k 2﹣4=0，显然△＞0，则x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，∵y 1=k （x 1﹣），y 2=k （x 2﹣），∴|AB |==•=4•，∴|OP|2=（）2=，此时，λ=﹣=﹣1；综上所述，λ为定值﹣1．20．（13分）已知数列{a n}满足a1=1，a n=λa n﹣1+1，（λ≠1，n≥2且n∈N*）．（Ⅰ）求证：当λ≠0时，数列为等比数列；（Ⅱ）如果λ=2，求数列{na n}的前n项和S n；（Ⅲ）如果[a n]表示不超过a n的最大整数，当时，求数列{[（λ﹣1）a n]}的通项公式．【解答】（Ⅰ）证明：当λ≠0，1时，设，∵a n=λa n﹣1+1，∴当n≥2时，===λ为常数．∵，∴数列为等比数列，首项为，公比为λ．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知λ=2时，{a n+1}为首项为2，公比为2的是等比数列，∴a n+1=2n，na n=n•2n﹣n．设A n=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，则2A n=22+2×23+…+（n﹣1）×2n+n×2n+1．相减得=﹣n×2n+1=（1﹣n）×2n+1﹣2，∴．设B n=1+2+…+n=，则S n=A n﹣B n=．（Ⅲ）由（Ⅰ）可知：=．设c n=（λ﹣1）a n=λn﹣1=，由二项式定理可知：为整数，∴[c n]=，（k∈N*）．∴[c n]=﹣．。
2012届北京市丰台区高三期末数学理科试题(WORD精校版)
丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习 2012.1高三数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合A={x ∣x<4}，B={x ∣x2<4}，则(A) A ⊆B(B) B ⊆A(C) A ⊆R Bð(D) B ⊆R Að2．在复平面内，复数2i1+i 对应的点位于(A) 第一象限(B) 第二象限(C) 第三象限(D) 第四象限3．已知命题p ：x R ∃∈，2lg x x ->，命题q ：x R ∀∈，20x >，则(A) 命题p q ∨是假命题 (B) 命题p q ∧是真命题 (C) 命题()p q ∨⌝是假命题(D) 命题()p q ∧⌝是真命题4．若某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是(A) 23 (B) 43(C) 2 (D)65．预测人口的变化趋势有多种方法，“直接推算法”使用的公式是0(1)(1)nn P P k k =+>-，其中Pn 为预测人口数，P0为初期人口数，k 为预测年内增长率，n 为预测期间隔年数．如果在某一时期有-1<k<0，那么这期间人口数(A) 呈上升趋势 (B) 呈下降趋势 (C) 摆动变化 (D) 不变 6．执行如右图所示的程序框图，输出的S 值为(A) 252(41)3-(B) 262(41)3-(C) 5021-(D) 5121-侧视图正视图7．若函数21()log ()f x x a x =+-在区间1(,2)2内有零点，则实数a 的取值范围是(A) 25(log ,1]2-- (B)25(1,log )2 (C)25(0,log )2 (D)25[1,log )28．如图，P 是正方体ABCD —A1B1C1D1对角线AC1上一动点，设AP 的长度为x ，若△PBD 的面积为f(x)，则f(x)的图象大致是(A)(B)(C)(D)第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．设Sn 是等差数列{an}的前n 项和，若S5= a8+5，S6= a7+ a9-5，则公差d 等于 ． 10．若过点A(-2,m)，B(m,4)的直线与直线2x+y+2=0平行，则m 的值为 ． 11．曲线y=3-3x2与x 轴所围成的封闭图形的面积为 ．12．已知平面向量(4,3)a = ，2(2,2)a b -=- ，则a 与b的夹角余弦值等于 ．1A13．在面积为S 的矩形ABCD 内随机取一点P ，则△PBC 的面积小于4S的概率是 ． 14．函数()f x 的导函数为()f x '，若对于定义域内任意1x ，2x 12()x x ≠，有121212()()()2f x f x x x f x x -+'=-恒成立，则称()f x 为恒均变函数．给出下列函数：①()=23f x x +；②2()23f x x x =-+；③1()=f x x ；④()=xf x e ；⑤()=ln f x x ．其中为恒均变函数的序号是 ．（写出所有满足条件的函数的序号）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数2()2cos 2xf x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若α为第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值．16.（本小题共14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC ，AC=BC=2，AB =CC1=4，M 是棱CC1上一点．（Ⅰ）求证：BC ⊥AM ；（Ⅱ）若M ，N 分别是CC1，AB 的中点，求证：CN //平面AB1M ；（Ⅲ）若132C M =，求二面角A-MB1-C 的大小．17.（本小题共13分）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自A B CA 1B 1C 1MN主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们的选择是相互独立的． （Ⅰ）求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（Ⅲ）设4名参加保险人员中选择A 社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．18.（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，动点P 与两个定点(1,0)M ，(4,0)N 的距离之比为12．（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）若直线l ：3y kx =+与曲线W 交于A ，B 两点，在曲线W 上是否存在一点Q ，使得OQ OA OB =+，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．19.（本小题共14分）设函数x bx a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值．（Ⅰ）求a 与b 满足的关系式；（Ⅱ）若1>a ，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若3>a ，函数3)(22+=x a x g ，若存在1m ，21[,2]2m ∈，使得12()()9f m g m -<成立，求a 的取值范围．20.（本小题共13分） 若有穷数列{an}满足：（1）首项a1=1，末项am=k ，（2）an+1= an+1或an+1=2an ，(n=1，2，…，m-1)，则称数列{an}为k 的m 阶数列． （Ⅰ）请写出一个10的6阶数列；（Ⅱ）设数列{bn}是各项为自然数的递增数列，若312222+2(l b b b b k l N =+++∈ ，且2)l ≥，求m 的最小值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）丰台区2011—2012学年度第一学期期末练习2012.01 高三数学（理科）答案及评分参考一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．5 10．8- 11．412．2425 13．12 14． ①②（只写出一个给2分）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）已知函数2()2cos 2xf x x =．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和值域；（Ⅱ）若α为第二象限角，且1()33f πα-=，求cos 21cos 2sin 2ααα+-的值． 解：（Ⅰ）因为()1cos f x x x =+ ……………………1分12cos()3x π=++， ……………………2分所以函数()f x 的周期为2π，值域为[1,3]-． ……………………4分（Ⅱ）因为1()33f πα-=， 所以 112cos =3α+，即1c o s 3α=-． ……………………5分因为222cos 2cos sin 1cos 2sin 22cos 2sin cos αααααααα-=+-- ……………………8分 (cos sin )(cos sin )2cos (cos sin )ααααααα+-=-cos sin 2cos ααα+=， (10)分又因为α为第二象限角， 所以sin α=． ……………………11分所以原式1cos sin 13322cos 23ααα-++-===-． ……………………13分16.（本小题共14分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥底面ABC ，AC=BC=2，AB =CC1=4，M 是棱CC1上一点．（Ⅰ）求证：BC ⊥AM ；（Ⅱ）若M ，N 分别是CC1，AB 的中点，求证：CN //平面AB1M ；（Ⅲ）若132C M =，求二面角A-MB1-C 的大小． 证明：（Ⅰ）因为三棱柱ABC-A1B1C1中CC1⊥平面ABC ，所以CC1⊥BC ． ……………………1分 因为AC=BC=2，AB =，所以由勾股定理的逆定理知BC ⊥AC ． ……………………2分 因为AC ∩CC1=C ，所以BC ⊥平面ACC1A1． ……………………3分 因为AM ⊂平面ACC1A1，所以BC ⊥AM ． ……………………4分（Ⅱ）连结A1B 交AB1于P ． ……………………5分 因为三棱柱ABC-A1B1C1， 所以P 是A1B 的中点．因为M ，N 分别是CC1，AB 的中点， 所以NP // CM ，且NP = CM ，所以四边形MCNP 是平行四边形， ……………………6分 所以CN//MP ． ……………………7分因为CN ⊄平面AB1M ，MP ⊂平面AB1M ， ………………8分 所以CN //平面AB1M ． ……………………9分 （Ⅲ）因为BC ⊥AC ，且CC1⊥平面ABC ，以C 为原点，CA ，CB ，CC1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系C-xyz ．PN MC 1B 1A 1CBAABCA 1B 1C 1MN因为132C M =，所以C(0,0,0)，A(2,0,0)，B1(0,2,4)，5(0,0,)2M ，5(2,0,)2AM =-，13(0,2,)2B M =--． (10)分设平面1AMB 的法向量(,,)n x y z = ，则0n AM ⋅=，10n B M ⋅= ．即5(2,0,)(,,)=023(0,2,)(,,)=0.2x y z x y z ⎧-⋅⎪⎪⎨⎪--⋅⎪⎩， ……………………11分 令5x =，则3,4y z =-=，即(5,3,4)n =-．又平面MB1C 的一个法向量是=(2,0,0)CA，所以cos ,>=2||||n CA n CA n CA ⋅<=． ………………12分 由图可知二面角A-MB1-C 为锐角，所以二面角A-MB1-C 的大小为4π． (14)分17.（本小题共13分）某市医疗保险实行定点医疗制度，按照“就近就医、方便管理”的原则，参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在的地区附近有A ，B ，C 三家社区医院，并且他们对社区医院的选择是相互独立的．（Ⅰ）求甲、乙两人都选择A 社区医院的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人不选择同一家社区医院的概率；（Ⅲ）设4名参加保险人员中选择A 社区医院的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）设“甲、乙两人都选择A 社区医院”为事件A ，那么 ……………………1分111()339P A =⨯=． ……………………3分zM所以甲、乙两人都选择A 社区医院的概率为19． ……………………4分（Ⅱ）设“甲、乙两人选择同一个社区医院”为事件B ，那么 ……………………5分111()3333P B =⨯⨯=， ……………………7分所以甲、乙两人不选择同一个社区医院的概率是2()1()3P B P B =-=． ……………………8分 （Ⅲ）（方法一）随机变量ξ可能取的值为0，1，2，3，4．那么 ……………………9分044216(0)()381P C ξ==⨯=； 1341232(1)()3381P C ξ==⨯⨯=； 22241224(2)()()3381P C ξ==⨯⨯=； 334128(3)()()3381P C ξ==⨯⨯=； 44411(4)()381P C ξ==⨯=． （错三个没分）所以ξ的分布列为……………………1632248140123481818181813E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………13分（方法二）依题意1(4,)3B ξ , ……………………10分所以ξ的分布列为4444122()()()3381k k k k kP k C C ξ--==⨯⨯=⨯，0,1,2,3,4k =．即……………………所以14433E ξ=⨯=． ……………………13分18.（本小题共13分）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，动点P 与两个定点(1,0)M ，(4,0)N 的距离之比为12．（Ⅰ）求动点P 的轨迹W 的方程；（Ⅱ）若直线l ：3y kx =+与曲线W 交于A ，B两点，在曲线W 上是否存在一点Q ，使得OQ OA OB =+，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．解：（Ⅰ）设点P的坐标为(,)P x y ，依题意，||1||2PM PN =， ……………………1分即= ……………………3分化简得224x y +=． 所以动点P 的轨迹W 的方程为224x y +=． ……………………5分（Ⅱ）因为直线l ：3y kx =+与曲线W 相交于A ，B 两点，所以2O l d -=<，所以k >或k <． ……………………7分假设存在点Q ，使得OQ OA OB =+． ……………………8分因为A ，B 在圆上，且OQ OA OB =+，由向量加法的平行四边形法则可知四边形OAQB 为菱形， 所以OQ与AB互相垂直且平分， ……………………9分 所以原点O 到直线l ：3y kx =+的距离为1||12d OQ ==． ……………………10分即1O l d -==，解得28k =，k =±，经验证满足条件． ……………………12分所以存在点Q ，使得OQ OA OB =+． ……………………13分19.（本小题共14分）已知函数x bx a x x f +-=ln )(在1=x 处取得极值．（Ⅰ）求a 与b 满足的关系式；（Ⅱ）若1>a ，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若3>a ，函数3)(22+=x a x g ，若存在1m ，21[,2]2m ∈，使得12()()9f m g m -<成立，求a 的取值范围．解：（Ⅰ）2()1a bf x x x '=--， (2)分由(1)0f '= 得 a b -=1． ……………………3分 （Ⅱ）函数)(x f 的定义域为),0(+∞， ……………………4分由（Ⅰ）可得22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a f x x x x x -------'=--==．令()0f x '=，则11=x ，12-=a x ． (6)分因为1=x 是)(x f 的极值点， 所以21x x ≠，即2≠a ． ……………………7分所以当2>a 时，11>-a ，所以单调递增区间为)1,0(，),1(+∞-a ，单调递减区间为)1,1(-a ． ……………………8分当21<<a 时，110<-<a ，所以单调递增区间为)1,0(-a ，),1(+∞，单调递减区间为)1,1(-a ． ……………………9分（Ⅲ）当3>a 时，)(x f 在1[,1)2上为增函数，在(1,2]为减函数，所以)(x f 的最大值为02)1(<-=a f ． ……………………10分因为函数)(x g 在1[,2]2上是单调递增函数，所以)(x g 的最小值为0341)21(2>+=a g ． ……………………11分所以)()(x f x g >在1[,2]2上恒成立． ……………………12分要使存在1m ，21[,2]2m ∈，使得12()()9f m g m -<成立，只需要9)1()21(<-f g ，即9)2(3412<--+a a ，所以48<<-a ． …………………13分又因为3>a ， 所以a 的取值范围是(3,4)a ∈． ……………………14分20.（本小题共13分） 若有穷数列{an}满足：（1）首项a1=1，末项am=k ，（2）an+1= an+1或an+1=2an ，(n=1，2，…，m-1)，则称数列{an}为k 的m 阶数列． （Ⅰ）请写出一个10的6阶数列；（Ⅱ）设数列{bn}是各项为自然数的递增数列，若312222+2(l b b b b k l N =+++∈ ，且2)l ≥，求m 的最小值．解：（Ⅰ）1，2，3，4，5，10或1，2，4，8，9，10． ……………………2分（Ⅱ）由已知在数列{an}中 an+1= an+1或an+1=2an ，当ma 为偶数时，1(2)2mm m a a a -=≥，或11m m a a -=-．因为12mm a a -≤ (2)m a ≥，所以在数列{an}中12mi a a ≤≤中i 的个数不多于11j m a a -≤≤中j 的个数，要使项数m 最小，只需 1(2)2mm m a a a -=≥． (5)分当am 为奇数时，必然有11(2)m m m a a a -=-≥，1m a -是偶数，可继续重复上面的操作．所以要使项数m 最小，只需遇到偶数除以2，遇到奇数则减1． 因为312222+2lb b b b m a k ==+++ ，且1230lb b b b <<<< ≤，只需除以1b 次2，得到31121122+2l b b b b b b ---+++ 为奇数；减1，得到3112122+2l b b b b b b ---++ 为偶数，再除以21b b -次2，得到322122l b b b b --+++ ；再减1，得到32222l b b b b --++ 为偶数，…………， 最后得到12l l b b --为偶数，除以1l l b b --次2，得到1，即为1a ．所以121321()()+()(1)1l l m b b b b b b b l -=+-+-+-+-+ =l b l+． ……………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编31：几何证明(.
北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编31:几何证明一、选择题1 .(北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题如图,PC 与圆O 相切于点C ,直线PO 交圆O 于,A B 两点,弦CD 垂直AB 于E . 则下面结论中,错误..的结论是( A .BEC ∆∽DEA ∆ B .ACE ACP ∠=∠C .2DE OE EP =⋅D .2PC PA AB =⋅2 .(顺义区2013届高三第一次统练数学理科如图,AC AB ,分别与圆O 相切于点ADE C B ,,是⊙O 的割线,连接CE BE BD CD ,,,.则(A .DE AD AB ⋅=2B .CE AC DE CD ⋅=⋅ C .CE BD CD BE ⋅=⋅ D .CD BD AE AD ⋅=⋅3 .(2012北京理5.如图.90=∠ACB ,AB CD ⊥于点D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E .则(A .DB AD CB CE ⋅=⋅ B .AB AD CB CE ⋅=⋅C .2CD AB AD =⋅ D .2CD CB CE =⋅4 .(北京市石景山区2013届高三一模数学理试题如图,直线AM 与圆相切于点M , ABC 与ADE 是圆的两条割线,且AD BD ⊥,连接EC MD ,.则下面结论中,错误..的结论是 ( A .90=∠ECAB .DBA DMA CEM ∠+∠=∠C .AE AD AM ⋅=2D .BC AB AE AD ⋅=⋅5 .(北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学(理试题如图,已知AB 是⊙O 的一条弦,点P 为AB 上一点, PC OP ⊥,PC 交⊙O 于C ,若4AP =, 2PB =,则PC 的长是(A .3B.C .2D6 .(2011年高考(北京理如图,,,AD AE BC 分别于圆O 切于点,,D E F ,延长AF 与圆O 交于点G ,给出下列三个结论:①AD AE AB BC CA +=++;②AF AG AD AE ⋅=⋅; ③AFB ∆∽ADG ∆,其中正确的结论的序号是 ( A .①② B .②③ C .①③ D .①②③BABCOP7 .(2013北京房山二模数学理科试题及答案如图,,,,A B C D 是⊙O 上的四个点,过点B 的切线与DC 的延长线交于点E .若110BCD ︒∠=,则DBE ∠= (A .75︒B .70︒C .60︒D .55︒二、填空题D C B PAO9. (2013北京丰台二模数学理科试题及答案如图,已知⊙O 的弦AB 交半径OC 于点D ,若4=AD ,3=BD ,4=OC ,则CD 的长为______.19.(海淀区北师特学校13届高三第四次月考理如图,BC 是半径为2的圆O 的直径,点P 在BC 的延长线上,PA 是圆O 的切线,点A 在直径BC 上的射影是OC 的中点,则ABP ∠= ;PB PC ⋅= .14. (2013北京朝阳二模数学理科如图,PC 切圆O 于点C ,割线PAB 经过圆心O ,,4=PC 8=PB ,则=∠COP tan _______,△OBC 的面积是_________.F26.(2013届北京丰台区一模理科如图,已知直线PD 切⊙O 于点D ,直线PO 交⊙O 于点F E ,.若21PF PD =+=,则⊙O的半径为 ;EFD ∠= .27.(2013北京高考数学(理如图,AB 为圆O 的直径,PA 为圆O 的切线, PB 与圆O相交于D.若3=PA ,916PD DB =::,则PD =_________;AB =___________.(20题图等22. (2013北京昌平二模数学理科圆O 于点A ,AC 为圆北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编31:几何证明参考答案一、选择题 1. 【答案】D解:由切割线定理可知2PC PA PB =⋅,所以D 错误,所以选D.2. 答案C 由切线长定理知2AB AD AE =⋅,所以A 错误.选C.3. 【解析】在ACB ∆中,∠ACB=90º,CD ⊥AB 于点D,所以DB AD CD ∙=2,由切割线定理的CB CE CD ∙=2,所以CE ·CB=AD ·DB.【答案】A 4. D 5. B6. 【答案】A【命题立意】本题考查了平面几何问题,圆以及圆的切线问题的研究,通过圆的切线所具有的性质反映出平面几何中的转化思想以及三角形的相似关系.【解析】因为,,AD AE BC 都是圆的切线,所以B D B E=,CE CF =,所以A B B C C A A++=+++,所以①正确;因为,,AD AE BC 都是圆的切线,所以AD AE =,由切割线定理得2AF AG AD AD AE ⋅==⋅,所以②正确; 由切线定理知ACD BDF BFD ∠=∠=∠,ABF BDF BFD ∠=∠+∠,所以③错误,选择A. 7. B二、填空题8. 2459. 2; 11. 【答案】5【解析】取BD 的中点,连结OM ,则O M B D ⊥,因为8BD =,所以4,549DM MB AM ===+=,所以22290819OM AO AM =-=-=,所以半径5OB ====,即5OC =。
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北京市丰台区2014届高三数学上学期期末考试试题-理丰台区2013-2014学年度第一学期期末练习高 三 数 学（理科） 2014.1第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 在复平面内，复数1i i-对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 2. 函数11(0)=++>y x x x的最小值为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3. 已知命题p: ∀21xx >,22x >12x ，则p ⌝是（A ）∀21x x >,22x ≤12x （B ）∃21xx >,22x≤12x（C ）∀21x x >,22x <12x （D ）∃21xx >,22x<12x4. 过双曲线221916x y 的右焦点，且平行其渐近线的直线方程是（A ） 3(5)4y x =±- （B ） 4(5)3y x =±-（C ） 3(5)4y x =±+ （D ） 3(5)4y x =±+ 5.如图，已知曲边梯形ABCD 的曲边DC 所在的曲线方程为1(0)y x x=>，e 是自然对数的底，则曲边梯形的 面积是（A ）1 （B ）e （C ）1e （D ）126. 已知平行四边形ABCD 中，AB=1，AD=2，∠DAB=60o，则且⋅AC AB 等于 （A ）1 （B ）3 （C ）2（D ）237.已知函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,||)ωϕπ><的部分图象如图所示,那么()f x 的表达式为（A ）5()2sin(2)6π=+f x x （B ）5()2sin(2)6π=-f x x （C ）()2sin(2)6f x x π=+ （D ）()2sin(2)6f x x π=-8. 如图，一个底面半径为R 的圆柱βθα被与其底面所成角为θ（0090θ<<）的平面所截，截面是一个椭圆.当θ为30o时，这个椭圆的离心率为（A ）12（B ）32 （C ）33 （D ）23第二部分 （非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9. 已知等差数列{}na 满足3412aa +=, 253aa =，那么na =___________.10. 甲、乙两位同学近期参加了某学科的四次测试，右图为依据他们的四次测试成绩绘制的折线图.由此可以判断：在甲、乙两位同学中，成绩较稳定的是_______ 同学（填“甲”或“乙”）.11.二项式61(2+)x x展开式中的常数项为 _________.12.已知一个三棱柱的底面是正三角形、侧棱垂直于底面，其正视图如图所示，则这个三棱柱的体积为____.13．小明准备用积攒的300元零用钱买一些科普书和文具，作为礼品送给山区的学生．已知科普书每本6元，文具每套10元，并且买文具的钱不少于买科普书的钱．那么最多可以买的科普书与文具的总数是____.14.若()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--，其中a b c≤≤的，对于下列结论：①()0f b ≤； ②若2a cb +=，则,()()x R f x f b ∀∈≥；③若2a cb +≤，则()()f a fc ≤；④()()f a f c =成立充要条件为0b =.其中正确的是_________.(请填写序号) 三、解答题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
15. （本小题共13分）在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是,,a b c ，已知22ab bc-=，sin 2sin C B =.（Ⅰ）若b=2，求c ； （Ⅱ）求∠A 的大小. 16.（本小题共14分）如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上不同于A、B的一点，∠BAC=45°，点V是圆O所在平面外一点，且VA=VB=VC，E是AC的中点.（Ⅰ）求证：OE∥平面VBC；（Ⅱ）求证：VO⊥面ABC；（Ⅲ）已知θ是平面VBC与平面VOE所形成的二面角的平面角，且0°θ<<90°,若OA=OV=1，求cosθ的值．17. （本小题共13分）某市采取“限价房”摇号制度，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号．已知甲、乙、丙三个友好家庭均已中签，并决定共同前往某小区抽取房号．目前该小区提供的房源数量如下表所示：单元号一单元二单元三单元3 3 4房源数量（套）（Ⅰ）求甲、乙、丙三个家庭能住在同一单元的概率；（Ⅱ）求甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭能住在同一单元的概率． 18. （本小题共14分）已知函数()()ln f x x a x =-，()f x 的导函数为'()f x . （Ⅰ）当a =0时，求()f x 的最小值；（Ⅱ）设21()+-'()(1)2g x x ax f x a =>-，求函数()g x 的单调区间.19.（本小题共13分） 已知抛物线C ：22ypx=(0p >)的焦点为F （1,0），点O 为坐标原点，A ，B 是曲线C 上异于O的两点.（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）若直线OA ，OB 的斜率之积为12-,求证：直线AB 过定点．20. （本小题共13分）已知数列{}na 各项均不相等，将数列从小到大重新排序后相应的项数构成的新数列称为数列{}na 的排序数列，例如：数列123,,a a a 满足231a a a <<，则排序数列为2，3，1.（Ⅰ）写出数列2，4，3，1的排序数列； （Ⅱ）求证：数列{}na 的排序数列为等差数列的充要条件是数列{}na 为单调数列；（Ⅲ）若数列{}na 的排序数列仍为{}na ，那么是否一定存在一项ka k=，证明你的结论.2013-2014学年度丰台区高三第一学期期末数学(理科)试题答案一、 选择题 ACBB ACDA 二、 填空题9. 2n-1 10.乙 11. 160 12.13. 40 14.①②③分注:14题给出一个正确得1分，给出两个正确得3分，给出三个正确得5分.若给出④均不得分. 三、 解答题15.解：（Ⅰ）在△ABC 中sin sin c bC B,∴sin sin C bB c=.--------------------------2分∵sin 2sin C B=,∴sin 2sin CB=,-----------------------------------2分∴2c b=,--------------------------------------------------------5分∴c=4 .-------------------------------------------- -------6分（Ⅱ）在△ABC 中，222cos 2b c a A bc+-=，--------------------------------8分∵22a b bc-=，∴2cos 2c bcA bc-=.-------------------------------10分∵2c b=，∴222421cos 42b b A b -==.-------------------------------12分∴A=.------------------------------------60o-------------------13分16. （Ⅰ）证明：O,E分别是AB和AC的中点，∴OE ∥BC .--------------2分又⊄BC面OE面VBC, ⊂VBC.----------------------------3分∴OE面VBC.//-----------------------------------------4分（Ⅱ）证明：VA=VB，∵△ABC为等腰三角形，又 O为AB中点，∴VO⊥AB;--------------------------------------5分在△VOA和△VOC中，OA =OC, VO=VO，VA=VC, △VOA≌△VOC;-----------6分∴∠V0A=∠VOC=90o. ∴VO⊥OC;--------------------------------------7分AB∩OC=O, AB⊂平面ABC, OC⊂平面ABC, ---------------------8分∴ VO ⊥平面ABC.---------------------------------------------------9分（Ⅲ）解：在圆O 内，OA=OC ，∠CAO=45o，所以CO ⊥AO.由（Ⅱ）VO ⊥平面ABC ，如图， 建立空间直角坐标系.-------------------------10分OA=OB=OC=OV=1, ∴C(1,0,0),A(0,1,0),B(0,-1,0),V(0,0,1),E(11,22,0).-------------------------------------------11分CB=(-1，-1，0), CV =(-1，0，1)VEC BO zyxA设(,,)m x y z =为平面VBC 的法向量，则0,0.CB m CV m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩， 所以0,0.x y x z +=⎧⎨-=⎩令1x =，解得(1,1,1)m =-.----------------------12分 同理，求得平面VOE 的法向量为(1,1,0)n =-.--------------------13分cos ,||||u v u v u v ⋅<>=⋅ 6332=⨯，所以6cos θ=.----------------------------------------------14分 17.解：（Ⅰ）设甲、乙、丙三个家庭能住在同一单元为事件A.------------------ ---1分则3333343101()20C C C P A C ++==答：甲、乙、丙三个家庭能住在同一单元的概率为120.-------------------6分（没有答，不扣分）（Ⅱ）设甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭能住在同一单元为事件B.----------7分则21211233343431022213()20C C C C C C P B C ++==或111334310113()12020C C C P B C =--=答：甲、乙、丙三个家庭中恰有两个家庭能住在同一单元的概率为1320.--------13分 (没有答，不扣分)18.解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0,)+∞.当a=0时，()ln f x x x=，'()ln 1f x x =+.-----------------------1分令'()0f x =得1x e=.------------------------------------------2分.x 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1e 1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭'()f x - 0 +()f x 递减 极小值 递增------------5分 ∴()f x 的最小值为11()f e e=-.--------------------------------6分 （Ⅱ）∵'()ln x a f x x x-=+ ∴21()(ln )2x ag x x ax x x-=+-+.-----------------------------7分21'()()ag x x a x x=+-+,--------------------------------------8分21()(1)x a x =+-,2(1)()(1)x x a x x+=+-.------------------------------------9分（1）当10a -<<时，在(0,)a -，(1,)+∞内'()0g x >；在(,1)a -内'()0g x <.∴ (),1a -为递减区间，()()0,,1,a -+∞递增区间.----------------11分(2)当0a ≥时，在(0,1)内，'()0g x <；在()1,+∞内，'()0g x >.∴()0,1递减区间，()1,+∞递增区间.---------------------------13分 综上所述，当10a -<<时，()g x 单调递增区间为()()0,,1,a -+∞，递减区间为(),1a -；当0a ≥时，()g x 单调递增区间为()1,+∞，减区间 为()0,1.-----------------------------------------------------14分19. 解：（Ⅰ）∵焦点为F （1,0），∴2p =,∴抛物线方程为24yx=.-----3分（Ⅱ）方法一：∵直线OA 、OB 的斜率之积为12-∴设直线OA 的方程为y kx =；直线OB 的方程为12y x k =-.------5分联立24y kx y x=⎧⎨=⎩得244(,)A k k，同理2(16,8)B k k -.-----------------9分由抛物线关于x 轴对称可知定点在x 轴上，那么当A ，B 横坐标相同时的横坐标即为定点的横坐标.-------------------------------11分 令22416k k =，解得212k=，则22416k k ==8，点M （8,0）为直线AB 过的定点.----------------------------------------------------------12分下面证明直线AB 过M 点∵ 244(8,)MA k k =-，2(168,8)MB kk =--由2244(8)(8)(168)k kk k-⋅-=-⋅可知向量MA 与MB 共线.∴直线AB 过定点M ．----------------------------------------13分方法二：设()()1122,,,A x y B x y .（1）若直线AB 斜率存在，设其方程为y kx b=+.---------------4分24y kx b y x=+⎧⎨=⎩即222(24)0k x kb x b +-+=.----------------------7分∴2122b x x k=，124b y y k=.----------------------------------9分∵直线OA 、OB 的斜率之积为12-，即121212y y x x ⋅=-,∴412k b =-，即8b k =-,带入直线方程，得直线AB 方程为8y kx k =-.∴即直线AB 过定点（8,0）.-------------------------------11分（2）若直线AB 斜率不存在，则1212,x x yy ==-，由121212y yx x⋅=-可得128xx ==，∴直线AB 方程为8x =，过定点（8,0）.-------------------12分综上，直线AB过定点．---------------------------------13分20.解：（Ⅰ）排序数列为4,1,3,2.--------------------------------3分（Ⅱ）证明：充分性：当数列{}na 单调增时，∵12a a <<…na <, ∴排序数列为1,2,3，…，n.∴排序数列为等差数列.----------------------------------4分当数列{}na 单调减时，∵1nn aa -<<…1a <,∴排序数列为n,n-1,n-2，…，1 . ∴排序数列为等差数列.综上，数列{}na 为单调数列时，排序数列为等差数列. ---------5分 必要性：∵排序数列为等差数列∴排序数列为1,2,3，…，n 或n,n-1,n-2，…，1.--------------7分∴12a a <<…na <或1nn aa -<<…1a <∴数列{}na 为单调数列.-------------------------------------8分 （Ⅲ）∵数列{}na 的排序数列仍为{}na∴数列{}na 是1,2,3，…，n 的某一个排序，----------------9分假设不存在一项k a k=，即i a j=，(,1,2,3,,1,2,3,)i j i j ≠==…………则在各项从小到大排列后ia 排在第j 位--------------------11分∴排序数列{}na 中jai=，∴n 为偶数12分.∴当n 为奇数时，一定存在一项kak=,当n 为偶数时，不一定存在一项k a k=.-------------------13分。