代数式与整式的概念及运算

代数式与正式的概念及运算
一、代数式的概念
1、代数式的概念
用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独的一个数或一个字母，也是代数式．
【注意点】代数式中除含有数，字母和运算符号外，还可以有括号，但不能含“ =”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”符号．
例1 判断下列式子是不是代数式
2、代数式的分类；
单项式：都是数与字母的积的代数式叫做单项式,单独的一个数或字母也是单项式。

多项式：几个单项式的和叫做多项式
整式：单项式和多项式统称整式.
分式：如果整式A除以整式B,可以表示成A
B
的形式,且除式B中含有字母,那么称式子为分
式.
有理式：整式和分式统称有理式. 所以总结：
; 2
)1 (
)8(
;0
)6(
; )4(
;0
1
)2(
+
=
≥
-
n
n
vt
S
x
; )9(
;0 4
)7(
;
)5(
;
2
1
)3(
;4
3
)1(
t
s
x
a
ah
x
=
+
+
练习：
1、填空题
（1）某种足球a 元，则涨价20%后是 元；
（2）m 箱橘子重x kg ，每箱重 kg ；
（3）购买单价为a 元的笔记本8本，共需人民币 元；
（4）小明的体重是a kg ，小红比小明重b kg ，则小红的体重是 kg ；
（5）练习本每本定价0.6元，铅笔每支定价0.2元，买a 本练习本，b 支铅笔共需_______元；
（6）三个连续偶数中间的一个为2n ，则这三个数的和表示为_________。

2、选择题：
（1）在一次数学测验中，30名男生平均得分为a,20名女生平均得分为b ，这个班所有同学的平均得分是（ ）。

Ａ．2a b + Ｂ．30202a b + Ｃ．302050a b + Ｄ． 50
a b + （2）一种小麦磨成面粉后重量减轻15%，要得到m 千克面粉，需要小麦（ ）千克。

Ａ．（1+15%）m Ｂ．(1-15%)m Ｃ．15%m + Ｄ．15%m -
3、设某数为x ，用x 表示下列各式：
（1）某数与12的差；（2）某数的12与13
的和；（3）某数与1的差的平方；（4）某数与2的和的倒数
二、列代数式和代数式所表示的实际意义
(1) 列代数式
在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来即列代数式，使问题变得简洁，更具一般性，但列代数式的关键是正确分析数量关系，弄清运算顺序，掌握诸如和、差、积、商、倍分、大、小、多、少、增加了，增加到，除、除以等概念．
(2)代数式所表示的实际意义
若将代数式中的数、字母及运算符号赋予具体的含义，则代数式的内容显得丰富，富有内涵．说出代数式表示的实际意义时，数与字母的含义必须与实际相等，把实际问题中的数量关系用代数式表示后必须与原代数式吻合．
在读代数式时，通常是按运算顺序选最后一步运算，依运算结果读．
例2、设甲数为x，乙数为y，用代数式表示.
（1）甲、乙两数的平方差；
（2）甲、乙两数差的平方；
（3）甲、乙两数的和与甲、乙两数的差的积；
（4）甲数的相反数与乙数的立方的和.
例3、（1）5a＋2b （2）abc－(a3＋b3＋c3)
（3）3n+1 （4）100a＋50＋b
解析：（1）与5a的差是b的2倍的数；
（2）a、b、c三数的积与a、b、c三数立方和的差；
（3）被3除余1的数；
（4）百位数是a，十位数是5，个位数字是b的三位数
三、代数式的求值
1、直接代值
例4、当X=2,Y=-3时，求代数式3X-2Y的值。

解：当X=2,Y=-3时
3X-2Y=3ⅹ2-2ⅹ（-3）
=6-（-6）
=12
变式：当m=5,n=3时，求代数式2()m n +-()m n -的值。

2、整体代入法
例5、已知a+b=5,ab=3,则4(a+b)-2ab 的值
解：当a+b=5,ab=3时
4(a+b)-2ab=4ⅹ5-2ⅹ3
=20-6
=14
变式：①当x+y=12,xy=-15
时，求6x+5xy+6y 的值。

四、整式的概念及运算
1．单项式的定义：都是数字与字母的积，这样的代数式叫做单项式.（学生填充）单独的一个数字或一个字母呢？
2．单项式的系数：系数是对某些字母而言，例如,5abx -对所有字母,,,x b a 来讲，它们的系数就是5-；而对字母x 而言，它的系数就是ab 5-.在没有明确交代的时候，我们规定单项式中的数字因数叫做单项式（或字母因数）的系数. 例6：根据要求填空
7
42
xy 的系数是 ， a -的系数是 ，
mn 的系数是 .
3．单项式的次数：是指单项式中所有字母的指数和。

例如：单项式23xy ，所有字母的指数和是321=+，所以23xy 是三次单项式.单独的一个数（零除外），像,8.0,3.0,1999-…，它们的次数都是零，叫做零次
单项式.
4．多项式的定义：几个单项式的和，叫做多项式（学生填充）.
其中每个单项式都是该多项式的一个项.多项式中的各项包括它前面的符号，其中不含字母的项，叫做常数项.
6．多项式的次数：在一个多项式里，次数最高的项的次数就叫做这个多项式的次数.
7．多项式的升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小（大）到大（小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列.
8．整式的定义：单项式和多项式，统称为整式.
经典例题：
1、在下列各式：4322130211.0222
-++y ，x ，x x ，，x y ，xy ，，a π中，是单项式的有（ ）个
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
2、单项式22
1x π的系数是 ，次数是 ； 单项式225xy 的系数是 ，次数是 ；
单项式n m y x 12+是 次单项式.
3、若0)3(12=++-b a ，求单项式a b a y x ---25的系数和次数.
4、若关于y x ,的多项式y y nx x m +-+122是一个三次三项式，且最高次项的系数是1，求n m +的值。

5、若312143-⎪⎭⎫ ⎝
⎛+-x m x n 是关于x 的五次二项式，试求n m ,的值.
6、多项式332244367x xy y x y x --+-,按字母x 的降幂排列是 按字母y 的降幂排列是 .。