专题八第3讲不等式选讲课件理课件
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不等式及其性质ppt课件
位置吗？
（不可随意互换位置）
(3)什么叫不等式？
（用不等号表示不等关系的式子叫不等式）
练习：
1.判断下列式子哪些是不等式？为什么？
√(1)3＞ 2 √(2)a2+1＞ 0 (3)3x2+2x
√(4)＜ 2x+1
(5)x=2x-5
√(6)x2+4x＜ 3x+1
√(7)a+b≠c
2.用“＞”或“＜”填空： (1)4＞-6 (2)-1＜0 (3)-8＜-3 (4)-4.5＜-4
小结： 1.掌握不等式是否成立的判断方法； 2.依题意列出正确的不等式. （留意：表示不等关系的词语要用
不等号来表示，“不大于〞即“≤”， “不小于〞即“≥” ）
1.什么是等式？ 2.等式的基本性质是什么？ 3.用“＞”或“＜”填空：
7 + 3 ＞4 + 3 7 +（-3） ＞4 +（-3） 7×3 ＞4×3 7×（-3） ＜ 4×（-3）
2.已知数值：-5, 0.5, 3, 0, 2, -2.5, 5.2 (1)判别:上述数值，哪些使不等式x+3＜6
成立？哪些使之不成立？ (2)说出几个使不等式x+3＜6成立的x的值，
及使之不成立的x的值.
总结：判断不等式是否成立的方法-------不等号两边的大小关系是否与不等号一致
反馈练习：
1.当x取下列数值时，哪些是不等式 x+3＞6解？
2.统计全班同学的年龄，年龄最大者为16岁， 可以知道全班每个同学的年龄都小于17岁；
若设物体A的重量为x克；某天的气温为 t℃； 本班某同学的年龄为a岁，上述不等关系能 用式子
思考教材的3个问题
《不等式的性质》不等式与不等式组PPT课件
不等式基本性质3：不等式的两边都 乘以（或除以）同一个负__数__，不等 号如的果方_a_>改向_b_，变____c__<__0。,那么_a_c_<_b_c_(_或__ac____bc_ )
例1：
我是最棒的 ☞
判断下列各题的推导是否正确？为什么(学生口答)
(1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7；
方向不变。
➢如式不果的等a两>式边b，基都c本乘<性0以质（那3或么：除ac以<b）c同(或一ac个负bc数，不)就等是号说的不方等向
改变。
等式性质与不等式性质的区别和联系
• 区别：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不 为0）时，结果仍相等；不等式两边都乘以（或除以） 同一个数（除数不为0）时，会出现两种情况，若是 正数，不等号方向不改变，若是负数不等号方向要改 变，而且不等式两边同乘以0，结果相等.
5. 8 x 1,两边都乘 7 ，得 _x____87_.
7
8
例 已知a<0 ，试比较2a与a的大小。 解法一：∵2＞1，a＜0， ∴2a＜a（不等式的基本性质3）
解法二： 在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0）， 如图.2a位于a的左边，所以2a＜a
∣a∣ ∣a∣
2a
a
想一想：还有其 他比较2a与a的 大小的方法吗？
如果_a_>_b_,那么a±c>b±c _________.
不等式还有什么类似的性质呢？ ➢如果 7 ＞ 3
那么 7×5 _＞___ 3× 5 , 7÷5 __＞__ 3÷ 5 ,
➢如果-1< 3,
那么-1×2<____3×2,
-1÷2__<__3÷2,
不等式基本性质2：不等式的两边都乘以
例1：
我是最棒的 ☞
判断下列各题的推导是否正确？为什么(学生口答)
(1)因为7.5＞5.7，所以-7.5＜-5.7；
方向不变。
➢如式不果的等a两>式边b，基都c本乘<性0以质（那3或么：除ac以<b）c同(或一ac个负bc数，不)就等是号说的不方等向
改变。
等式性质与不等式性质的区别和联系
• 区别：等式两边都乘以（或除以）同一个数（除数不 为0）时，结果仍相等；不等式两边都乘以（或除以） 同一个数（除数不为0）时，会出现两种情况，若是 正数，不等号方向不改变，若是负数不等号方向要改 变，而且不等式两边同乘以0，结果相等.
5. 8 x 1,两边都乘 7 ，得 _x____87_.
7
8
例 已知a<0 ，试比较2a与a的大小。 解法一：∵2＞1，a＜0， ∴2a＜a（不等式的基本性质3）
解法二： 在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0）， 如图.2a位于a的左边，所以2a＜a
∣a∣ ∣a∣
2a
a
想一想：还有其 他比较2a与a的 大小的方法吗？
如果_a_>_b_,那么a±c>b±c _________.
不等式还有什么类似的性质呢？ ➢如果 7 ＞ 3
那么 7×5 _＞___ 3× 5 , 7÷5 __＞__ 3÷ 5 ,
➢如果-1< 3,
那么-1×2<____3×2,
-1÷2__<__3÷2,
不等式基本性质2：不等式的两边都乘以
不等式ppt3 人教版
礼品标价是10元，八折出售，老师问服务员： “能否再优惠？”，服务员说：“如果一次性买
10件及以上可打6折”，你能给老师提供省钱的购
买方案吗？
回 眸 课 堂
☻谈谈你对不等式有了哪些认识？
不等式的解
继续探 索……
一元一次 不等式
用数轴表 示不等式 解集
不
等
不等式 的解集
式
生活中的不等关系
回 眸 课 堂
含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式 的解集(solution set) 。
怎样表示不等式的解集？
文字语言 小于10的数 数学式子 数轴表示 x＜10
0
5
10
15
20
求不等式解集的过程叫做解不等式.
做一做
1、已知下列各数,请将是不等 式3x＞5的解的数填到椭圆 中．－4，－2.5，0，1， 2，4.8， 3， 8 5 x＞
……
不等式3x＞5的解
2、不等式3x＞5的解集是:_________ 3 3、在数轴上表示不等式3x＞5的解集，正确的是（ A ） （A） (B)
0
1
5 2 3
0
1
5 2 3 5 2 3
(C)
0
1
5 2 3
(D)
0
1
4、请直接想出下列不等式的解集，并在数轴上表示。
（1） 2x＜８
（2）x-2＞0
0
9.1.1 不等 式
数学与生活
问题1：老师按八折买了2件圣诞礼品, 共付了16元钱，
你知道礼品的标价每件是多少元吗?
用x表示礼品的标价,由题意,得： ８
x = １６
问题2：老师按八折买了2件圣诞礼品,付费少于16元
，你知道礼品的标价每件是多少元吗？
10件及以上可打6折”，你能给老师提供省钱的购
买方案吗？
回 眸 课 堂
☻谈谈你对不等式有了哪些认识？
不等式的解
继续探 索……
一元一次 不等式
用数轴表 示不等式 解集
不
等
不等式 的解集
式
生活中的不等关系
回 眸 课 堂
含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式 的解集(solution set) 。
怎样表示不等式的解集？
文字语言 小于10的数 数学式子 数轴表示 x＜10
0
5
10
15
20
求不等式解集的过程叫做解不等式.
做一做
1、已知下列各数,请将是不等 式3x＞5的解的数填到椭圆 中．－4，－2.5，0，1， 2，4.8， 3， 8 5 x＞
……
不等式3x＞5的解
2、不等式3x＞5的解集是:_________ 3 3、在数轴上表示不等式3x＞5的解集，正确的是（ A ） （A） (B)
0
1
5 2 3
0
1
5 2 3 5 2 3
(C)
0
1
5 2 3
(D)
0
1
4、请直接想出下列不等式的解集，并在数轴上表示。
（1） 2x＜８
（2）x-2＞0
0
9.1.1 不等 式
数学与生活
问题1：老师按八折买了2件圣诞礼品, 共付了16元钱，
你知道礼品的标价每件是多少元吗?
用x表示礼品的标价,由题意,得： ８
x = １６
问题2：老师按八折买了2件圣诞礼品,付费少于16元
，你知道礼品的标价每件是多少元吗？
不等式及其性质ppt课件
1+
0,求证：
3+
>
1
.
3
证明：因 > 0,所以3 + > 0,从而
1+m 1
>
3+m 3
3(1 + m)
> 3+m
又因为已知 > 0,所以结论成立.
m>0
跟踪训练.已知, , 都是正数， >
+
,求证：
+
>
.
证明：因 > 0,所以 + > 0, + > 0从而
的不等式与原不等式同向.由性质3很容易得出
综合法
+ > ⟹ + + (−) > + (−) ⟹ > −
推论1：如果 + > ,那么 > −.（移向法则）
从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到
结论的方法，在数学中通常称为综合法. 由因导果：顺推法
的实数大.
a
b
思考3：对任意两实数和，它们可能有怎样的不等关系？如何
来判断这种不等关系呢？
数轴上两点A，B的位置关系有下列三种：
点A和点B重合、点A在点B右侧、点A在点B左侧
两实数,的大小有下列三种关系：
= ， > ， <
− <0⇔ <
− =0⇔ =
− >0⇔ >
不等式是刻画不等关系的工具.这节课我们一起来
学习一下吧.
1.会用不等式表示不等关系.（重点）
2.会用作差法比较大小.（重点）
不等式完整PPT课件
学习 提示
与 只是符号，而不表示具体的数.
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• 问题：
• 一次函数的图像、一元一次方程与一元一次不等式之间 存在着哪些联系？
• 比如： • 一次函数：y=2x-6 • 一元一次方程：2x-6=0 • 一元一次不等式：2x-6>0或2x-6<0
• 归纳： • 观察函数y=2x-6的图像：
• 方程2x-6=0的解恰好是函数图像与x轴交点的横坐标；在x 轴上方的函数图像所对应的自变量x的取值范围，恰好是 不等式2x-6>0的解集{x|x>3}；在x轴下方的函数图像所对 应的自变量x的取值范围，恰好是不等式2x-6<0的解集 {x|x<3}．
念
ax2+bx+c＞（≥）0 或 ax2+bx+c＜（≤）0， 其中，a、b、c 为常数，且 a≠0.
如果一元二次不等式中的二次项系数是负数，即 a 0 ，则可
以根据不等式的性质，将不等式两边同乘以 1，使其二次
项系数化为正数，然后再求解.
（1）当方程 ax2+bx+c=0 的判别式=b2-4ac＞0 时，方程有两个不相等 的实数根 x1、x2（x1＜x2），此时不等式 ax2+bx+c＞0 的解集为（-∞， x1）∪（x2，+∞）；不等式 ax2+bx+c＜0 的解集为（x1，x2）.
x a(a 0) 型不等式来求解.这种方法称为“变量替换法”或
“换元法”.
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• 问题： • 资料显示：随着科学技术的发展，列车运行速度不断
提高．运行时速达200公里以上的旅客列车称为新时 速旅客列车．在北京与天津两个直辖市之间运行的， 设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越 世界的“中国速度”，使得新时速旅客列车的运行速度 值界定在200公里/小时与350 公里/小时之间．
不等式ppt课件
不等式的应用场景
01
02
03
04
数学领域
解决各种不等关系的问题，如 最值、范围等。
物理领域
描述物理现象和规律，如力学 、电磁学等。
经济领域
描述经济变量之间的关系，如 价格、成本等。
实际生活
描述日常生活中的不等关系， 如时间、距离等。
02
不等式的类型
算术平均数与几何平均数的不等式
总结词
算术平均数与几何平均数的不等式是一种基本的不等式，它反映了平均值与方 差之间的关系。
实际应用定义
描述实际生活中两个量之 间的不等关系，如价格、 距离等。
不等式的性质
加法单调性
即同向不等式相加，不等号不 改变方向。
反身性
任何实数都大于它本身。
传递性
如果a>b，b>c，则a>c。
乘法单调性
即不等式乘以一个正数，不等 号不改变方向；乘以一个负数 ，不等号改变方向。
非空性
不等式的两边都可以取无穷大 或无穷小。
03
不等式的证明方法
利用导数证明不等式
总结词
导数是一阶导数的简称，它描述了函数在某一点的变化率， 可以用来判断函数的单调性和凹凸性，从而帮助我们证明不 等式。
详细描述
首先，我们需要找到不等式两边的函数，然后求导，通过比 较导数值的大小来判断函数的单调性，从而得出不等式的证 明结论。
利用拉格朗日中值定理证明不等式
详细描述
柯西不等式表明，对于任何实数x 和y，都有$x^2+y^2 \geq 2xy$ ，当且仅当x=y时等号成立。这 个不等式在解决一些最优化问题 时非常有用。
排序不等式
总结词
排序不等式是一种基于排序原理的不 等式，它反映了有序实数之间的差值 与乘积之间的关系。
不等式选讲课件
[例 1]
(2011· 甘肃兰州一中月考)解关于 x 的不等式|ax
－1|>a＋1(a>－1)． 分析：这是|ax＋b|>c(c>0)型不等式，先去掉绝对值号等 价转化为一元一次不等式，由于含字母系数 a，故须分类讨 论．
解析：|ax－1|>a＋1⇔ax－1>a＋1，或 ax－1<－a－1⇔ ax>a＋2，或 ax<－a. a＋2 当－1<a<0 时，x< a 或 x>－1，原不等式的解集为(－ a＋2 ∞， )∪(－1，＋∞)． a 当 a＝0 时，原不等式的解集为∅. a＋2 当 a>0 时，x> a ，或 x<－1， a＋2 原不等式的解集为(－∞，－1)∪( a ，＋∞)．
(4)反证法：证明不等式时，首先假设要证明的命题不成 立，把它作为条件和其它条件结合在一起，利用已知定义、 定理、公理、性质等基本原理进行正确推理，逐步推证出一 个与命题的条件或已证明过的定理、性质，或公认的简单事 实相矛盾的结论，以此说明原假设不正确，从而肯定原命题 成立的方法称为反证法．
(5)放缩法：证明不等式时，根据需要把需证明的不等式 的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明 目的，这种方法称为放缩法．
因此，用比商法必须先判定符号．
5．分析法证明不等式的每一步都是寻求使不等式成立的 充分条件． ．． 6．换元法证明不等式时，要注意换元后，新元的取值范 ．．．．．． 围会发生变化，而有时忽视这种变化会导致错误结论或无法 ． ．． 进行下去． *7.柯西不等式及排序不等式中 ai、bi(i＝1,2，„，n)均为 实数，而平均值不等式中 ai 为正数．
分析：将分数指数幂转化为根式，可以发现，作差通分 可以提取公因式分解因式，故用比较法证明．
不等式课件ppt
_______.
5. 8 x 1,两边都乘 7 ，得 ______.
7
8
例 已知a<0 ，试比较2a与a的大小。 解法一：∵2＞1，a＜0， ∴2a＜a（不等式的基本性质3）
解法二： 在数轴上分别表示2a和a的点（a＜0）， 如图.2a位于a的左边，所以2a＜a
∣a∣ ∣a∣
2a
a
想一想：还有其 他比较2a与a的 大小的方法吗？
C
●
-2 0
B
●
-2 0
D
试一试: 写出下列数轴所表示的不等式的解集:
○
-3 0 ⑴
X > -3
●
02 ⑵
X≥2
○
-3 0 ⑶
X < -3
●
0a ⑷
X ≤a
2、下列数哪些是不等式3X＞6的解？哪些不是？ －4，－2.5，0，1，2.5，3，3.2，4.8，8，12。
3、在数轴上表示不等式3X＞6 的解集，正确的 是（ B ）
3
收获和体会
不等式的定义 不等式的解 不等式的解集 不等式解集的表示方法
根据以下图形，写出不等式的解集：
(1)
( x≤4 )
(2)
( x>2 )
(3)
( x≥-2 )
大于向右，小于 向左，有等号为实 心，无等号为空心
.
在数轴上表示下列不等式的解集：
(1)x≤-1 (3)x＜2
(2)x≥-3 (4)-3≤x＜2
形相类似？
•（1）x－7<8
解：
x-7+7 <8+7
移 x <8+7
x <15
（2）3x<2x-3
《不等式》课件
示为一组数的集合。
3
数集表示法
将不等式的解集表示为一组数字的集 合。
区间表示法
使用圆括号、方括号和省略号来描述 不等式的解集。
不等式的性质
1 可加性
两个不等式相加的结果仍是一个不等式。
2 可乘性
两个不等式相乘的结果仍是一个不等式，前提是两个不等式的乘积不为零。
3 传递性
如果a > b且b > c，那么a > c。
不等式的求解方法
1
代数法
通过代数运算（加减乘除、移项等）求解不等式，找出使得不等式成立的解。
2
图形法
通过绘制图形（数轴图、坐标图等）找出使得不等式成立的解。
3
估算法
通过估算数值找出使得不等式成立的解。
不等式的应用
商业应用力、风险控制和市场预测。
不等式可以用于评估运动员的 能力、竞争对手之间的差距和 优胜劣汰。
不等式在数学和实际生活中起着重要作用，它们帮助我们理解和解决各种问题。
不等式的表示方法
符号表示法
数学符号（>、<、≥、≤）用于 表示不同的不等式关系。
数轴表示法
可以通过数轴来直观地表示不 等式的解集。
图像表示法
使用图形来展示不等式的解集， 帮助我们更好地理解。
不等式的解集表示
1
集合表示法
2
使用大括号表示法将不等式的解集表
《不等式》PPT课件
欢迎大家来到今天的课程，我将为你们带来有趣而又实用的不等式知识。让 我们一起探索这个令人兴奋的数学领域！
什么是不等式
定义
不等式是通过不等于号（>、<、≥、≤）表示的数学陈述。它描述了两个数之间的大小关系。
浙教版初中数学八年级上册 3.1 认识不等式 课件 _3优质课件PPT
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
小结
怎样在数轴上表示出以下的不等式?
（1）x ＜ a
a
（2） x ≥ a
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱa•
（3）b≤x＜a （b<a）
•
b
a
试一试
1.在数轴上表示下列不等式
（1） x≥3
（2）-2＜x≤0
2.写出下列各图所表示的不等式
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
• -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 • -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x＜－2 x≥0 -3＜x≤2
应用新 一座小水知电站的水库水位在12～20m（包括12m，20m）时，发电
机能正常工作。设水库水位为x（m）. （1）用不等式表示发电机正常工作水位范围，并表示在数轴上； （2）当水位在下列位置时，发电机能正常工作吗？ ①x1=8；②x2=10；③x3=15；④x4=19. 用不等式和数轴给出解释。
（1）已知a1=-1，a2=3，你能在数轴上表示 备 分
出a1，a2吗？
好清
（2）a＞3表示哪些数？如何在数轴上表示出 来？
数 轴
空 实
(3) a＜3 如何在数轴上表示呢？
a≤3
呢？
找 准
定 方
点向
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
(4) -1＜ a≤3 又该如何表示呢？
又要注意 啦！！
(3) 8＞9 是 (4) 3x-1≤x 是
认
一
(5) 4-2x 不是 (6) x-y≠1 是
1、根据下列数量关系列出不等式:
(1) x的平方大于1