人教a版必修1学案：2.3幂函数(含答案)

2.3 幂函数

自主学习

1．掌握幂函数的概念．

2．熟悉α＝1,2,3，12

，－1时幂函数y ＝x α的图象与性质． 3．能利用幂函数的性质来解决一些实际问题．

1．一般地，幂函数的表达式为________________；其特征是以幂的________为自变量，

________为常数．

2．幂函数的图象及性质 在同一坐标系中，幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12

，y ＝x －1的图象如图．结合图象，填空．

(1)所有的幂函数图象都过点________，在(0，＋∞)上都有定义．

(2)若α>0时，幂函数图象过点________________，且在第一象限内________；当0<α<1时，图象上凸，当α>1时，图象________．

(3)若α<0，则幂函数图象过点________，并且在第一象限内单调________，在第一象限内，当x 从＋∞趋向于原点时，函数在y 轴右方无限地逼近于y 轴，当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限逼近x 轴．

(4)当α为奇数时，幂函数图象关于________________对称；当α为偶数时，幂函数图象关于________对称．

(5)幂函数在第________象限无图象．

对点讲练

理解幂函数的概念

【例1】 函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋m －3是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )是增函数，求f (x )的解析式．

规律方法 幂函数y ＝x α (α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根．

变式迁移1 已知y ＝(m 2＋2m －2)x 1m 2－1

＋2n －3是幂函数，求m ，n 的值．

幂函数单调性的应用

【例2】 比较下列各组数的大小

(1) 3－52与3.1－52；(2)－8－78

与－⎝⎛⎭⎫1978.

规律方法 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数．

变式迁移2 比较下列各组数的大小：

(1)⎝⎛⎭⎫－23－23与⎝⎛⎭⎫－π6－23； (2)4.125，(－1.9)35与3.8－23

.

幂函数性质的综合应用

【例3】 已知幂函数y ＝x 3m －9 (m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随

x 的增大而减小，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－m 3

的a 的范围．

规律方法 (1)解决与幂函数有关的综合题时，一定要考虑幂函数的定义．(2)幂函数y ＝x α，由于α的值不同，单调性和奇偶性也就不同．

变式迁移3 已知幂函数y ＝xm 2－2m －3 (m ∈Z )的图象与x 轴、y 轴都无公共点，且关于y 轴对称，求m 的值，且画出它的图象．

1．求幂函数的定义域时要看指数的正负和指数n m

中的m 是否为偶数；判断幂函数的奇偶性时要看指数n m 中的m 、n 是奇数还是偶数．y ＝x α，当α＝n m

(m 、n ∈N *，m 、n 互质)时，有： 2.幂函数y ＝x n m 的单调性，在(0，＋∞)上，n m >0时为增函数，n m

<0时为减函数．

课时作业

一、选择题

1．下列命题：

①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能在第四象限；③n ＝0时，y ＝x n 的图象是一条直线；④幂函数y ＝x n ，当n >0时，是增函数；⑤幂函数y ＝x n ，当n <0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小．

其中正确的是( )

A ．①和④

B ．④和⑤

C ．②和③

D ．②和⑤

2．下列函数中，不是幂函数的是( )

A ．y ＝2x

B ．y ＝x －1

C ．y ＝x

D ．y ＝x 2

3．设α∈⎩⎨⎧⎭

⎬⎫－2，－1，－12，13，12，1，2，3，则使f (x )＝x α为奇函数且在(0，＋∞)内单调递减的α值的个数是( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

4．当x ∈(1，＋∞)时，下列函数图象恒在直线y ＝x 下方的偶函数是( )

A ．y ＝x 12

B ．y ＝x －2

C ．y ＝x 2

D ．y ＝x －1 5．如果幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )

A ．－1≤m ≤2

B ．m ＝1或m ＝2

C ．m ＝2

D ．m ＝1

二、填空题 6．若幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭

⎫9，13，则f (25)＝________. 7．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2.若对任意的x ∈[t ，t ＋2]，不等式f (x ＋t )≥2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是____________．

8. 如图所示是幂函数y ＝x α在第一象限内的图象，已知α取±2，±12

四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α依次为________________．

三、解答题

9．已知点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝

⎛⎭⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，

(1)f (x )>g (x )； (2)f (x )＝g (x )； (3)f (x )

10．已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，求其解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．

§2.3 幂函数 答案

自学导引

1．y ＝x α 底数 指数

2．(1)(1,1) (2)(0,0)，(1,1) 递增 下凸 (3)(1,1) 递减 (4)原点(0,0) y 轴

(5)四

对点讲练

【例1】 解 根据幂函数定义得

m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1，

当m ＝2时，f (x )＝x 3在(0，＋∞)上是增函数；

当m ＝－1时，f (x )＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f (x )＝x 3.

变式迁移1 解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋2m －2＝1m 2－1≠0

2n －3＝0

， 解得⎩⎪⎨⎪⎧

m ＝－3n ＝32

，所以m ＝－3，n ＝32. 【例2】 解 (1)函数y ＝x －52

在(0，＋∞)上为减函数， 又3<3.1，所以3－52>3.1－52

. (2)－8－78＝－⎝⎛⎭⎫1878，函数y ＝x 78在(0，＋∞)上为增函数，又18>19

，则⎝⎛⎭⎫1878>⎝⎛⎭⎫1978， 从而－8－78

<－⎝⎛⎭⎫1978. 变式迁移2 解 (1)⎝⎛⎭⎫－23－23＝⎝⎛⎭⎫23－23

， ⎝⎛⎭⎫－π6－23＝⎝⎛⎭⎫π6－23

， ∵函数y ＝x －23在(0，＋∞)上为减函数，