2021年高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数6.1幂函数课件苏教版必修一.ppt
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指数函数、幂函数、对数函数增长的比较(45张PPT)——高中数学必修第一册
一次函数y＝kx(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)和对数函数y＝logbx(b＞1)的增长有何差异？
一般地，无论k(k＞0)、a(a＞1)、b(b＞1)如何取值，三种函数在区间(0，＋∞)上都单调递增，但一次函数总是保持固定的增长速度；指数函数的增长速度都会越来越快，并且指数函数的函数值最终总会大于一次函数的函数值；对数函数的增长速度都会越来越慢，并且对数函数的函数值最终总会小于一次函数的函数值．
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
【解析】(1)由于指数型函数的增长式为爆炸式增长，则当x越来越大时，函数y=的增长速度最快，故选A.
(2)从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，可知变量y2关于x呈指数函数变化.
x
y=2x
y=2x
0
1
0
2
4
4
4
16
8
6
64
12
8
256
16
10
1024
20
12
4096
24
…
…
…
可以看到，当自变量x越来越大时，y＝2x的图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长；而函数y＝2x的增长速度依然保持不变，与函数y＝2x的增长速度相比几乎微不足道．
苏教版高中学案数学必修第一册 第6章 幂函数、指数函数和对数函数 幂函数、指数函数与对数函数的综合
函数，且 = ( − )在(, +∞)上是增函数，所以()在(, +∞)上是增函数.
∣ + ∣> ,
由( + ) < ()得(| + |) < (||)，所以ቐ∣ ∣> ,
所以
∣ + ∣<∣ ∣,
( + ) > ,
第6章 幂函数、指数函数和对数函数
午练23 幂函数、指数函数与对数函数的综合
1
1.当0 < ≤ 时，4 < log ，则实数的取值范围是() B
2
A.(0,
2
2
)B.( , 1)C.(1,
2
2
2)D.( 2, 2)
[解析]易知 < < ，则函数 = 与 = 的图象大致如图所示，只需满足
C.()在定义域内是偶函数D.()的图象关于直线 = 1对称
[解析]由| − | > ，得函数 = | − |的定义域为{| ≠ }.设
− , > ,
() =∣ − ∣= ቊ
则()在(−∞, )上单调递减，在(, +∞)上单调递
或 = .当 = 时，得 = ，解得 = .当 = 时，得 = ，即 = .
所以函数的定义域为[, ]( ≤ )，
所以当 = ， = 时， + 最大为3.
9.已知()是定义在[−2,2]上的奇函数，当 ∈ (0,2]时，() = 2 − 1，函数
1
2
1
4
因为() = log 2 (2 − 4 ) = log 2 [−(2 )2 + 2 ] = log 2 [−(2 − )2 + ]，所以当
苏教版高中数学必修一课件第3章-指数函数、对数函数和幂函数3.1.1+56张
【答案】 (1)－8 (2)10 (3)π－3 (4)m－n
根式与分数指数幂的互化
【思路探究】 各小题中均含有根式，可将根式化为分 数指数幂形式，根据分数指数幂的运算性质求解．
【自主解答】
1．此类问题应熟练应用 ＝n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)求解．当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数， 由里向外用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简．
2．一般来说，应化根式为分数指数幂，利用幂的运算性 质运算．
用分数指数幂的形式表示下列各式(a>0 ，b>0)：
3 (1)
8－4；(2)4
－260；(3)a33
a2；(4)
a
a；(5)
ab3 ab5.
【解】
利用分数指数幂的运算性质化简求值
【思路探究】 先化简各个分数指数幂，然后再进行四 则运算，注意一般先将小数化为分数．
3．已知 a>0 且 a＋a－1＝2，则 a2＋a－2＝________. 【解析】 a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝4－2＝2. 【答案】 2
【解】
课时作业（十一）
【思路探究】 令 pa3＝qb3＝rc3＝k，用等量代换分别表 示出所证等式左、右两边的量，最后化简判断．
【自主解答】
对于“恒等式”，如本例，我们往往令它等于一个常数 k，然后以 k 为“媒介”化简，这样可以使问题很容易解决．
计算下列各式的值
3 (1)
－83＝________；(2)
－102＝________；
4 (3)
3－π4＝________；(4)
m－n2(m>n)＝________.
【解析】 3 －83＝－8； －102＝ 102＝10；
高中数学第3章指数函数对数函数和幂函数3.3幂函数课件苏教版必修1
重点突破
解析答案
(2)已知函数 f(x)＝(a2－3a＋3) x a2 5 a 5 (a 为常数)为幂函数，且在(0，＋∞)
上单调递减，求实数 a 的值.
解 ∵f(x)为幂函数， ∴a2－3a＋3＝1，得a＝1或a＝2. 当a＝1时，f(x)＝x，在(0，＋∞)上单调递增，不合题意. 当a＝2时，f(x)＝x－1，在(0，＋∞)上单调递减，符合题意. 综上，得a的值为2.
解析答案
题型三 比较幂的大小
例3 比较下列各组数的大小.
5
5
(1) 3 2 和 3.1 2 ；
5
解 函数 y x 2 在(0，＋∞)上为减函数，
又3<3.1，所以 3
5 2
>
3
5
.1 2
.
(2)
8
89
和
(
1
)
8 9
9
；
8
解 函数 y x9 在(0，＋∞)上为增函数，
又18>19，
解析答案
返回
当堂检测
1.下列给出的函数中，是幂函数的是___③_____.
①y＝3x
②y＝2x3
③y＝x－3
④y＝x3－1
12345
答案
12345
2.若函数y＝(k2－k－5)x2是幂函数，则实数k的值为__3_或__－__2_. 解析 由幂函数的概念可知k2－k－5＝1， 即k2－k－6＝0，得k＝－2，或k＝3.
解 ∵3 y＝x3是1 R上的增函数，且3.14＜π，∴3.143＜π3，∴－3.143＞－π3.
(3)12 4
与34 2 .
3
1
解 ∵y＝12x 是减函数，∴12 4 ＜12 2 .
单元复习第6章幂函数、指数函数与对数函数-高一数学(苏教版必修第一册)课件
改进数学模型.
题型探究
一、直观想象
在本章中，函数图象的识别及应用均突出体现了直观想象的核心素养.
图象的识别
[例 1]
m
n
(1)已知函数 y＝x (m，n∈N *，且互质)的图象如图所示，
那么下面说法正确的是
(
)
m
A．m，n 是奇数， n <1
m
B．m 是偶数，n 是奇数， n >1
m
C．m 是偶数，n 是奇数， n <1
)
答案 (1)C (2)B
1 -1
解析 (1)函数 y=log2x 的反函数为 y=2 ,故 f(x)=2 ,于是 f(1-x)=2 = 2
,此函
x
x
1-x
数在 R 上为减函数,其图象过点(0,2),所以 C 中的图象符合要求.
8
8
39 -3-9
3-9
(2)由 f(1)=3>0 可排除 D,由 f(-1)=-3<0 可排除 A,又 f(9)= 4 =3- 4 >f(1),所
3.函数与方程
(1)实系数一元二次方程当Δ＞0时有两个不等实根；当Δ＝0时有两个相
等实根；当Δ＜0时无实数根.
(2)方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象和x轴交点的横坐标，也叫作
函数的零点；方程f(x)＝g(x)的解也就是两个函数y＝f(x)和y＝g(x)图象
交点的横坐标.
(3)可以用二分法或其他近似方法求得函数零点的近似值.
1
2
由于 f(x)是奇函数,从而 f(x)=- −
1
在(-∞,0)上为增函数.
2 -1
归纳提升对于形如y=af(x)或y=f(ax)的复合函数,要注意转化思想的应用,将
题型探究
一、直观想象
在本章中，函数图象的识别及应用均突出体现了直观想象的核心素养.
图象的识别
[例 1]
m
n
(1)已知函数 y＝x (m，n∈N *，且互质)的图象如图所示，
那么下面说法正确的是
(
)
m
A．m，n 是奇数， n <1
m
B．m 是偶数，n 是奇数， n >1
m
C．m 是偶数，n 是奇数， n <1
)
答案 (1)C (2)B
1 -1
解析 (1)函数 y=log2x 的反函数为 y=2 ,故 f(x)=2 ,于是 f(1-x)=2 = 2
,此函
x
x
1-x
数在 R 上为减函数,其图象过点(0,2),所以 C 中的图象符合要求.
8
8
39 -3-9
3-9
(2)由 f(1)=3>0 可排除 D,由 f(-1)=-3<0 可排除 A,又 f(9)= 4 =3- 4 >f(1),所
3.函数与方程
(1)实系数一元二次方程当Δ＞0时有两个不等实根；当Δ＝0时有两个相
等实根；当Δ＜0时无实数根.
(2)方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图象和x轴交点的横坐标，也叫作
函数的零点；方程f(x)＝g(x)的解也就是两个函数y＝f(x)和y＝g(x)图象
交点的横坐标.
(3)可以用二分法或其他近似方法求得函数零点的近似值.
1
2
由于 f(x)是奇函数,从而 f(x)=- −
1
在(-∞,0)上为增函数.
2 -1
归纳提升对于形如y=af(x)或y=f(ax)的复合函数,要注意转化思想的应用,将
(完整版)指数函数、对数函数和幂函数知识点归纳
一、幂函数1、幂的有关概念正整数指数幂：...()nna a a a n N=∈零指数幂：01(0)a a=≠负整数指数幂：1(0,)ppa a p Na-=≠∈分数指数幂：正分数指数幂的意义是：(0,,,1)mn mna a a m n N n=>∈>且负分数指数幂的意义是：11(0,,,1) mnm n mna a m n N naa-==>∈>且2、幂函数的定义一般地，函数ay x=叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数(我们只讨论a是有理数的情况)．3、幂函数的图象幂函数ay x=当11,,1,2,332a=时的图象见左图；当12,1,2a=---时的图象见上图：由图象可知，对于幂函数而言，它们都具有下列性质：a y x =有下列性质： (1)0a >时：①图象都通过点(0,0)，(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而增大，即在(0,)+∞上是增函数． (2)0a <时：①图象都通过点(1,1)；②在第一象限内，函数值随x 的增大而减小，即在(0,)+∞上是减函数； ③在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近． (3)任何幂函数的图象与坐标轴至多只有一个交点； (4)任何幂函数图象都不经过第四象限； (5)任何两个幂函数的图象最多有三个交点．二、指数函数①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞；3）当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数. 4）有两个特殊点：零点(0,1)，不变点(1,)a .5）抽象性质： ()()(),()()/()f x y f x f y f x y f x f y +=⋅-=三、对数函数如果b a N =（0a >，1a ≠），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N b =log b a a N N b =⇔=（0a >，1a ≠，0N >）． 1．对数的性质()log log log a a a MN M N =+． log log log aa a MM N N=-．log log n a a M n M =．（00M N >>，，0a >，1a ≠）（ a, b > 0且均不为1）2．换底公式：log log log m a m NN a=( a > 0 , a ≠ 1 ；0,1m m >≠) 常用的推论：（1）log log 1a b b a ⨯= ； ．（2）log log m na a nb b m=（a 、0b >且均不为1）．1log log 1N N a a mn n m==． （3）， （4）对数恒等式．一、对数函数的图像及性质① 函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数② 对数函数的性质：定义域：(0,)+∞； 值域：R ； 过点(1,0)，即当1x =时，0y =．当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时，在（0，+∞）上是减函数．二、对数函数与指数函数的关系对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法）b mnb a n am log log =1log log log =⋅⋅a c b c b a 01log =a 1log =a a N a N a =log()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= (取对数法)。
苏教版高中数学必修1第6章幂函数、指数函数和对数函数章末复习课课件
1a
跟踪训练1 已知函数f(x)＝ x 3 在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函 数，则最小的正整数a＝___3__.
∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 1－a
∴ 3 <0，∴a>1. 又∵f(x)在(－∞，0)上是增函数，且在(0，＋∞)上是减函数， ∴f(x)为偶函数， ∴1－a为负偶数，∴a为奇数， ∴最小的正整数a＝3.
例2 (1)已知a>0且a≠1，则函数f(x)＝ax和g(x)＝ loga－1x 的图象只可能是
√
函数g(x)的定义域是(－∞，0)，排除A，B， 若0<a<1，则f(x)＝ax是减函数， 此时 g(x)＝loga－1x是减函数，C，D 都不满足； 若a>1，则f(x)＝ax是增函数， 此时 g(x)＝loga－1x是增函数，C 满足.
(2)已知函数f(x)＝ 2|lnx－x－1，1x|，≤x1>，1，若方程f(x)－k＝0有3个根，则实数k的 取值范围是
A.[0,1]
√C.(0,1]
B.(0,1) D.[1，＋∞)
方程f(x)－k＝0有3个根，即函数f(x)的图象与直线y＝k有3个不同的交点. 作出函数f(x)的图象，如图. 根据图象可得，当0<k≤1时，函数f(x)的 图象与直线y＝k有3个不同的交点，所以 当方程f(x)－k＝0有3个根时，0<k≤1.
反思感悟
指数函数、对数函数图象既是直接考查的对象，又是数形结合求 交点、最值、解不等式的工具，所以要能熟练画出这两类函数图 象，并会进行平移、对称、翻折等变换.
跟踪训练2 (1)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)与二次函数y＝(a－1)x2－x在同一 坐标系内的图象可能是
第6章-6.1-幂函数高中数学必修第一册苏教版
有 = − ；（2）对 0, +∞ 中任意的1 ，2 1 ≠ 2 ，都有
(2 − 1 )[ 2 − 1 ] < 0.请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式：
− （答案不唯一）
=
__________________________．
【解析】由题意知幂函数 满足性质：对定义域中任意的,有 = − ，则
调递增，且0 < 0.31 < 0.35，∴ 0.31 < 0.35 ，即 −0.31
6
5
6
5
< 0.35 .
【学会了吗丨变式题】
2.若 =
1
2
2
3
1
5
， =
A. < <
2
3
， =
1
2
1
3
，则,,的大小关系是( D
B. < <
2
3
【解析】 = 在[0, +∞)上单调递增，∴
间 0, +∞ 上单调递减，对应图象①；函数3 在区间[0, +∞)上单调递增，对应图象②；
函数4 在区间 0, +∞ 上单调递减，对应图象④.
例10 已知点
2, 2 在幂函数 的图象上，点
当为何值时：
（1） > ；
（2） = ；
（3） < .
则( B
)
A. > > >
B. > > >
C. > > >
D. > > >
图6.1-3
【解析】由幂函数的图象特征可知， < 0， > 0， > 0， > 0.
(2 − 1 )[ 2 − 1 ] < 0.请写出满足这两个性质的一个幂函数的表达式：
− （答案不唯一）
=
__________________________．
【解析】由题意知幂函数 满足性质：对定义域中任意的,有 = − ，则
调递增，且0 < 0.31 < 0.35，∴ 0.31 < 0.35 ，即 −0.31
6
5
6
5
< 0.35 .
【学会了吗丨变式题】
2.若 =
1
2
2
3
1
5
， =
A. < <
2
3
， =
1
2
1
3
，则,,的大小关系是( D
B. < <
2
3
【解析】 = 在[0, +∞)上单调递增，∴
间 0, +∞ 上单调递减，对应图象①；函数3 在区间[0, +∞)上单调递增，对应图象②；
函数4 在区间 0, +∞ 上单调递减，对应图象④.
例10 已知点
2, 2 在幂函数 的图象上，点
当为何值时：
（1） > ；
（2） = ；
（3） < .
则( B
)
A. > > >
B. > > >
C. > > >
D. > > >
图6.1-3
【解析】由幂函数的图象特征可知， < 0， > 0， > 0， > 0.
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第6章 幂函数、指数函数和对数函数 6.1 幂 函 数
必备知识·自主学习
导思
1.除了一次函数、二次函数、反比例函数外还有哪些常见函数? 2.幂函数有哪些特征?
1.幂函数的概念 一般地,我们把形如_y_=_x_α_的函数称为幂函数,其中_x_是自变量,_α__是常数.
2.常见幂函数的图象与性质
解析式
【变式探究】
把本例的各组数据更换如下,再比较其大小关系:
（1）（ 2 ）0.5与（1 ）0.5；（2）（ 2 ）1与（ 3 ）1.
5
3
3
5
【解析】(1)因为幂函数y=x0.5在[0,+∞)上是单调递增的,又 2 1，所以
53
（ 2 ）0.5 （1 ）0.5.
5
3
(2)因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的,又 2＜所 以3，
【思考】 在区间(0,+∞)上,幂函数有怎样的单调性? 提示:幂函数在区间(0,+∞)上,当α>0时,y=xα是增函数;当α<0时,y=xα是减函 数.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1). ( )
(2)幂函数的图象都不过第二、四象限. ( )
2
【解题策略】 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即 函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量; (3)系数为1.
【补偿训练】
下列函数中是幂函数的是
()
①y= 1 ； ②y=axm(a,m为非零常数,且a≠1);
【解析】选C.只有y=3x不符合幂函数y=xα的形式.
3.已知幂函数 f（x）（m2－3）x－m 在（0, ）上为增函数,则实数m的值为 ()
A. 3
B.±2
C.2
D.-2
【解析】选D.由于 f（x）为幂函数,所以m2-3=1,m=±2,当m=2时, f（x）=x-2在
（0, ）上为减函数,不符合题意,当m=-2时 f（x）=x2在（0, ）上为增函数,符
35
（ 2 ）1 3
（ 3 ）1. 5
角度2 幂函数性质的综合应用 【典例】已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递减, 求满足 （a 1）m3 <（3 2a）m3 的a的取值范围. 【思路导引】根据函数的图象关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递减及m∈N*求出 m的值,代入不等式解不等式即可,解不等式时注意幂函数的定义域.
x2
【补偿训练】 在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax- 1 的图象可能是
a
()
类型三 幂函数性质的综合应用(数学抽象、逻辑推理)
角度1 比较大小
【典例】比较下列各组中幂值的大小:
(1)0.213,0.233;(2)
1
1
1.22 ,0.9 2
,
1.1.
【思路导引】构造幂函数,借助其单调性求解.
(3)y=
3
x2
与y=
6
x4
定义域相同. (
)
提示:(1)×,幂函数y= 不1 过点(0,0).
x
(2)×,幂函数y=x2过第二象限.
(3)×,y= 的3 定义域为[0,+∞),而y=
x2
的x定64 义域为R.
2.下列函数中不是幂函数的是 ( )
A.y= x C.y=3x
B.y=x3 D.y=x-1
x3
③y=
1
x5
+x4;④y=xn;⑤y=(x-6)3;⑥y=8x2;⑦y=x2+x.
A.①②③
B.①④
C.③④⑤⑥ D.②④⑦
【解析】选B.由幂函数的定义:形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数,则y= 1
x3
=x-3,y=xn是幂函数.
类型二 幂函数图象的应用(数学抽象、直观想象) 【题组训练】 1.函数y= 1 的图象是 ( )
合题意.
关键能力·合作学习
类型一 幂函数的概念(数学抽象) 【题组训练】 1.在函数y= 1 ，y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为 ( )
x4
A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2020·吉林高一检测)函数f(x)=(2m-3) xm23 是幂函数,则m的值为 () A.2 B.-1 C.0 D.1 3.已知幂函数f(x)=xα的图象过点（2， 2 ），则f(4)=________.
函数
解析式 y=x
增区间
_R_
减区间
无
定点
y=x2 _[_0_,_+_∞__)_ _(_-_∞__,_0_)_
y=x3
y= 1
x
_R_
无
_(_-_∞__,_0_)_,_
无
_(_0_,_+_∞__)_
_(_1_,_1__)_
无
(1)本质:幂函数的图象是函数的图形表示,幂函数的性质是根据函数图象总结 得到的. (2)应用:①求定义域;②求值域;③比较大小;④求单调区间.
y=x
y=x2
y=x3
y= 1
x
y=
1
x2
图象
定义域 值域
奇偶性
R R _奇__函数
R _[_0_,_+_∞__)_ _偶__函数
R R _奇__函数
_{_x_|_x_≠__0_}_ _{_y_|_y_≠__0_}_
_奇__函数
_[_0_,_+_∞__)_ _[_0_,_+_∞__)_ _非__奇__非__偶__
x3
2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的 大小关系是 ( )
A.d>c>b>a C.a>b>c>d
B.d>c>a>b D.a>b>d>c
3.已知幂函数f(x)=(m2-2m+1) xm2m2 的图象不过原点,则m的值为 ( ) A.0 B.-1 C.2 D.0或2 【解析】选A.由幂函数定义可知m2-2m+1=1, 所以m=0或m=2; 当m=0时,f(x)=x-2,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞); 当m=2时,f(x)=x4定义域为R; 又因为f(x)=(m2-2m+1x)m2m2 的图象不过原点; 所以m2+m-2<0,所以m=0.
【解题策略】 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图 象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴 (简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图 象(类似于y=x-1或y= 1 或y=x3)来判断.
必备知识·自主学习
导思
1.除了一次函数、二次函数、反比例函数外还有哪些常见函数? 2.幂函数有哪些特征?
1.幂函数的概念 一般地,我们把形如_y_=_x_α_的函数称为幂函数,其中_x_是自变量,_α__是常数.
2.常见幂函数的图象与性质
解析式
【变式探究】
把本例的各组数据更换如下,再比较其大小关系:
（1）（ 2 ）0.5与（1 ）0.5；（2）（ 2 ）1与（ 3 ）1.
5
3
3
5
【解析】(1)因为幂函数y=x0.5在[0,+∞)上是单调递增的,又 2 1，所以
53
（ 2 ）0.5 （1 ）0.5.
5
3
(2)因为幂函数y=x-1在(-∞,0)上是单调递减的,又 2＜所 以3，
【思考】 在区间(0,+∞)上,幂函数有怎样的单调性? 提示:幂函数在区间(0,+∞)上,当α>0时,y=xα是增函数;当α<0时,y=xα是减函 数.
【基础小测】
1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)
(1)幂函数的图象必过点(0,0)和(1,1). ( )
(2)幂函数的图象都不过第二、四象限. ( )
2
【解题策略】 判断一个函数是否为幂函数的方法 判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y=xα(α为常数)的形式,即 函数的解析式为一个幂的形式,且需满足:(1)指数为常数;(2)底数为自变量; (3)系数为1.
【补偿训练】
下列函数中是幂函数的是
()
①y= 1 ； ②y=axm(a,m为非零常数,且a≠1);
【解析】选C.只有y=3x不符合幂函数y=xα的形式.
3.已知幂函数 f（x）（m2－3）x－m 在（0, ）上为增函数,则实数m的值为 ()
A. 3
B.±2
C.2
D.-2
【解析】选D.由于 f（x）为幂函数,所以m2-3=1,m=±2,当m=2时, f（x）=x-2在
（0, ）上为减函数,不符合题意,当m=-2时 f（x）=x2在（0, ）上为增函数,符
35
（ 2 ）1 3
（ 3 ）1. 5
角度2 幂函数性质的综合应用 【典例】已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递减, 求满足 （a 1）m3 <（3 2a）m3 的a的取值范围. 【思路导引】根据函数的图象关于y轴对称且在(0,+∞)上单调递减及m∈N*求出 m的值,代入不等式解不等式即可,解不等式时注意幂函数的定义域.
x2
【补偿训练】 在同一坐标系内,函数y=xa(a≠0)和y=ax- 1 的图象可能是
a
()
类型三 幂函数性质的综合应用(数学抽象、逻辑推理)
角度1 比较大小
【典例】比较下列各组中幂值的大小:
(1)0.213,0.233;(2)
1
1
1.22 ,0.9 2
,
1.1.
【思路导引】构造幂函数,借助其单调性求解.
(3)y=
3
x2
与y=
6
x4
定义域相同. (
)
提示:(1)×,幂函数y= 不1 过点(0,0).
x
(2)×,幂函数y=x2过第二象限.
(3)×,y= 的3 定义域为[0,+∞),而y=
x2
的x定64 义域为R.
2.下列函数中不是幂函数的是 ( )
A.y= x C.y=3x
B.y=x3 D.y=x-1
x3
③y=
1
x5
+x4;④y=xn;⑤y=(x-6)3;⑥y=8x2;⑦y=x2+x.
A.①②③
B.①④
C.③④⑤⑥ D.②④⑦
【解析】选B.由幂函数的定义:形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数,则y= 1
x3
=x-3,y=xn是幂函数.
类型二 幂函数图象的应用(数学抽象、直观想象) 【题组训练】 1.函数y= 1 的图象是 ( )
合题意.
关键能力·合作学习
类型一 幂函数的概念(数学抽象) 【题组训练】 1.在函数y= 1 ，y=3x2,y=x2+2x,y=1中,幂函数的个数为 ( )
x4
A.0 B.1 C.2 D.3 2.(2020·吉林高一检测)函数f(x)=(2m-3) xm23 是幂函数,则m的值为 () A.2 B.-1 C.0 D.1 3.已知幂函数f(x)=xα的图象过点（2， 2 ），则f(4)=________.
函数
解析式 y=x
增区间
_R_
减区间
无
定点
y=x2 _[_0_,_+_∞__)_ _(_-_∞__,_0_)_
y=x3
y= 1
x
_R_
无
_(_-_∞__,_0_)_,_
无
_(_0_,_+_∞__)_
_(_1_,_1__)_
无
(1)本质:幂函数的图象是函数的图形表示,幂函数的性质是根据函数图象总结 得到的. (2)应用:①求定义域;②求值域;③比较大小;④求单调区间.
y=x
y=x2
y=x3
y= 1
x
y=
1
x2
图象
定义域 值域
奇偶性
R R _奇__函数
R _[_0_,_+_∞__)_ _偶__函数
R R _奇__函数
_{_x_|_x_≠__0_}_ _{_y_|_y_≠__0_}_
_奇__函数
_[_0_,_+_∞__)_ _[_0_,_+_∞__)_ _非__奇__非__偶__
x3
2.若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的 大小关系是 ( )
A.d>c>b>a C.a>b>c>d
B.d>c>a>b D.a>b>d>c
3.已知幂函数f(x)=(m2-2m+1) xm2m2 的图象不过原点,则m的值为 ( ) A.0 B.-1 C.2 D.0或2 【解析】选A.由幂函数定义可知m2-2m+1=1, 所以m=0或m=2; 当m=0时,f(x)=x-2,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞); 当m=2时,f(x)=x4定义域为R; 又因为f(x)=(m2-2m+1x)m2m2 的图象不过原点; 所以m2+m-2<0,所以m=0.
【解题策略】 解决幂函数图象问题应把握的两个原则 (1)依据图象高低判断幂指数大小,相关结论为:在(0,1)上,指数越大,幂函数图 象越靠近x轴(简记为指大图低);在(1,+∞)上,指数越大,幂函数图象越远离x轴 (简记为指大图高). (2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系,即根据幂函数在第一象限内的图 象(类似于y=x-1或y= 1 或y=x3)来判断.