苏教版高中数学必修一学案：3.3幂函数(1)
高中数学 幂函数教案 苏教版必修1
幂函数教学目标：使学生认识到幂函数同样也是一种重要的函数模型，掌握从特殊到一般地去进行类比研究幂函数的性质，并注意与指数函数进行对比学习.教学重点：幂函数的定义和图象.教学难点：幂函数的图象.教学过程：Ⅰ.复习引入幂函数的定义Ⅱ.讲授新课问题1：我们知道，分数指数幂可以与根式相互转化．把下列各函数先化成根式形式，再指出它的定义域和奇偶性．利用计算机画出它们的图象，观察它们的图象，看有什么共同点？（1）y ＝21x ；（2）y ＝31x ；（3）y ＝32x ；（4）y ＝34x ．思路：先将各式化为根式形式，函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x 的集合；奇偶性直接利用定义进行判断．（1）定义域为［0，＋∞），（2）（3）（4）定义域都是R ；其中（1）既不是奇函数也不是偶函数，（2）是奇函数，（3）（4）是偶函数．它们的图象都经过点（0，0）和（1，1），且在第一象限内函数单调递增．问题2：仿照问题1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象看有什么共同点？（1）y ＝x －1；（2）y ＝x －2；（3）y ＝21－x ；（4）y ＝31－x ．思路：先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式，函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x 的集合；（1）（2）（4）的定义域都是{x |x ≠0}，（3）的定义域是（0，＋∞）；（1）（4）是奇函数，（2）是偶函数，（3）既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点（1，1），且在第一象限内函数单调递减，并且以两坐标轴为渐近线． 总结：研究幂函数时，通常先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式（幂指数是负整数时化为分式）；根据得到的分式或根式研究幂函数的性质．函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x 的集合；奇偶性和单调性直接利用定义进行判断．问题1和问题2中的这些幂函数我们要记住它们图象的变化趋势，有利于我们进行类比．［例1］讨论函数y ＝52x 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图．思路：函数y ＝52x 是幂函数．（1）要使y ＝52x ＝5x 2 有意义，x 可以取任意实数，故函数定义域为R ． （2）∵x ∈R ，∴x 2≥0．∴ y ≥0． （3）f （－x ）＝5（－x ）2 ＝5x 2 ＝f （x ）， ∴函数y ＝52x 是偶函数； （4）∵n ＝25＞0， ∴幂函数y ＝52x 在［0，＋∞］上单调递增．由于幂函数y ＝52x 是偶函数，∴幂函数y ＝52x 在（－∞，0）上单调递减．（5）其图象如右图所示．［例2］比较下列各组中两个数的大小：（1）1.553，1.753；（2）0.71.5，0.61.5；（3）（－1.2）32-，（－1.25）32-． 解析：（1）考查幂函数y ＝53x 的单调性，在第一象限内函数单调递增，∵1.5＜1.7 ∴1.553＜1.753（2）考查幂函数y ＝23x 的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． （3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数，∵（－1.2）32-＝1.232-，（－1.25）32-＝1.2532-，又1.232-＞1.2532- ∴（－1.2）32-＞（－1.25）32-点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小．［例3］求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域．解析：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3． 当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋∞）．点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法．Ⅲ.课堂练习课本P 73 1，2Ⅳ.课时小结［师］通过本节学习，大家能熟悉并掌握幂函数的图象，提高数学应用的能力. Ⅴ.课后作业课本P 73 习题1，2，3，4。
高中数学苏教版必修1第3章《3.3 幂函数》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学苏教版必修1第3章《3.3 幂函数》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
⑴知识与技能
1.通过实例,了解幂函数的概念,知道幂函数也是一类函数模型,了解幂函数与指数函数的区别;
2.通过几个常见的幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=x1/2的图象,观察、总结出幂函数的变化情况和性质,培养学生的抽象概括能力;
3.会用幂函数的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式值的大小。
⑵过程与方法
通过生活实例引出幂函数的概念,感受函数模型的拓广过程,同时要求学生利用多媒体加深对幂函数图像规律的理解并加以运用,从而感知传统教学与现代技术相结合的方法。
⑶情感态度与价值观
加强学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验,培养学生的协作精神、创新能力和信息技术能力,激发学生的学习兴趣,感受逻辑思维的丰富内涵。
2学情分析
高一学生在理解函数知识的环节上相对比较薄弱,认知水平普遍不高。
前面学生已经掌握了指数函数和对数函数,初步完成了初高中函数知识的衔接,幂函数模型的提出,既是对前面知识的巩固,也是建构思想的新一轮挑战。
所以,结合本课的实际需要,要使学生在创设的问题情景中通过观察类比、思考探究、概括归纳和动手尝试相结合,理解幂函数的概念, 测重对图象的绘制及归纳,从而突显学生的主体地位,培养学生由具体到抽象,由特殊到一般的数学思维能力,形成实事求是的科学态度,增强锲而不舍的求学精神。
3重点难点
教学重点:常见幂函数的图像和性质。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修1 3.3 幂函数》1
《幂函数》教学设计常州市第二中学蒋理一、教学需求分析1、适用对象分析适用于高一已经学习了函数的概念和图象以及指数函数，对数函数这两大类函数的学生，由学习上述两类函数的经验，从定义域，值域，奇偶性，单调性，定点这5个相同的角度来自我学习一类新的函数，从而化解了学习的难度。
2、学习内容分析参照指、对函数的学习经验，通过ece，几何画板作图从五个角度直观分析函数，找出三类幂函数的异同，并且利用总结出的性质比较幂函数的大小关系。
3、教学目标分析（1）三维教学目标分析A、过程目标：通过观察、总结幂函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力，使学生体会数形结合的思想。
B、知识技能目标：了解幂函数的概念，会画幂函数2132,1y=x=y==-,的图象，并能结合这几个x=,x,,yxxyy幂函数的图象，了解幂函数的图象的变化情况和性质。
C、情感目标：通过生活实例引出幂函数的概念，使学生体会到生活中处处有数学，激发学生的学习兴趣。
利用计算机等工具，了解幂函数和指数函数的本质差别，使学生充分认识现代技术在人们认识世界的过程中的作用，从而激发学生的学习欲望。
（2）教学重难点分析教学重点：幂函数的概念和性质。
教学难点：幂函数的单调性与幂函数的关系。
4、教学教法分析（1）教法分析利用软件绘制幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，类比指数函数，对数函数的研究方法，从定义域，值域，奇偶性，单调性，定点这五个角度来学习一类新的函数。
（2）学法分析通过软件绘制的幂函数21132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，直观感知五类常见的幂函数，回忆指数函数，对数函数的学法，类比总结幂函数的性质。
（3）教学用具分析利用ece 软件和几何画板作图让学生直观感知幂函数的图象。
二．教学设计。
苏教版高中数学必修一学案幂函数(1)
第30课时 幂函数（2）【学习目标】1．巩固幂函数的概念和一些简单幂函数图象并了解它们的图形特征； 2．掌握判断某些简单函数奇偶性的方法；3．培养学生判断推理的能力，加强数形结合思想，化归转化能力的培养． 【课前导学】 【复习回顾】1． 幂函数的定义：一般地，形如y x α=()a R ∈的函数称为幂函数，其中α为常数.2．幂函数性质：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x =）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+)∞上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）；特别地，当α＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，α越大，下凸的程度越大； 当0<α＜1时，x ∈（0，1），y x α=的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大．（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴.【课堂活动】 一．应用数学：例1 证明幂函数12()f x x =在[0,)+∞上是增函数． 分析：直接根据函数单调性的定义来证明．【解】证：设120x x ≤<，则11221212()()f x f x x x -=-==12x x <Q ，120x x ∴-<， 0>， 12()()0f x f x ∴-< 即12()()f x f x <． ∴此函数在[0,)+∞上是增函数．例2已知,,,abcdy x y x y x y x ====的图象如图所示，则a ，b ，c ，d 的大小关系是 ．【思路分析】 重点掌握幂函数在第一象限的图象特征，它是判断一些问题的法宝，当自变量x＞1时，幂指数大的函数的函数值大．解：由幂函数的性质，当自变量x ＞1时，幂指数大的函数的函数值较大，故有c ＞a ＞b ＞d ． 【解后反思】通过这道题，使学生体会不仅仅是“形式上”掌握幂函数的概念、图象和性质，更重要的是真正的理解，例如需要掌握幂函数在第一象限的图象特征，这在今后的学习中也应注意．例3 如果函数2223()(1)m m f x m m x --=--是幂函数，且在区间(0,)+∞上是减函数，求满足条件的实数m 的集合．【思路分析】 我们从题中得到两条信息：一是幂函数，二是此函数在(0,)+∞上是减函数．由幂函数定义：形如y x α=的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数．x α的系数只能是１，从而得到211m m --=；又由于该幂函数在(0,)+∞上是减函数，由幂函数的性质可知，0α<，即2230m m --<．由以上两条可求出满足所求的m 的范围．解： 据题意得 211m m --= 且 2230m m --<． 解得 m=2 或 m= -1 （舍去）∴ m=2．【解后反思】要注意最简单的概念和性质的熟练运用． 例4 已知1133(3)(12)x x ---<+，求x 的取值范围．【思路分析】由于对幂函数的概念和性质的不理解，就可能在解题过程中出现一些错误．错解１ 根据函数13y x-=在其定义域内单调减，得312x x ->+．4343x x ⇒<-⇒<-为所求． 错解２ 根据函数13y x -=在(,0)-∞和(0,)+∞上均为减函数得：312120x x x ->+⎧⎨+>⎩…⑴， 31230x xx ->+⎧⎨-<⎩…⑵解得：4x <-为所求．【反思】错解１是函数性质运用错误，函数13y x-=在(,0)-∞和(0,)+∞上为减函数，但函数在整个定义域上没有单调性．错解２是没考虑不等式两边的底数一个大于０另一个小于０的情况． 解：因为13y x-=在(,0)-∞和(0,)+∞上为减函数，0x >时，0y >；0x <时，0y <．原不等式可以化为：312120x xx ->+⎧⎨+>⎩…⑴， 31230x xx ->+⎧⎨-<⎩…⑵， 12030x x +>⎧⎨-<⎩…⑶． ⑴无解； ⑵的解为4x <-； ⑶的解是132x -<<． 所以所求的x 的取值范围为1{|43}2x x x <--<<或．【解后反思】本题实质上是解不等式1133(3)(12)x x ---<+，由于不等式的左右两边的幂指数都是13-，因此可借助于幂函数13y x -=的图象性质来求解． 要注意数形结合思想的运用，考虑问题要细致全面． 例5 已知幂函数y ＝x23212++-p p (p ∈Z )，在(0，＋∞)内，y 随x 增大而增大，且在定义域内图象关于y 轴对称．⑴ 求p 值及相应的f (x )；⑵ 对于⑴中所求函数f (x )，设函数()(())(21)()1g x qf f x q f x =-+-+， 问是否存在)0(<q q ，使得g(x)在区间(]4,-∞-上是减函数且在区间（-4 ，0）上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．【思路分析】抓住题目里所给的信息,分析解决题目结论的方法，是找到解决问题途径的关键所在．解： ⑴ f (x )在(0，＋∞)内，y 随x 的增大而增大．则－21p 2＋p ＋23＞0，解之－1＜p ＜3，又p ∈Z ，∴p ＝0，1，2；又f (x )图象关于y 轴对称．∴－21p 2＋p ＋23是偶数，∴p ＝1，f (x )＝x 2．⑵ 本问题有一定难度，留给同学们作为探究．（解法略）【解后反思】本题需要透彻理解幂函数的一般性质并能灵活运用，要求高于考纲，对提高同学的思维能力有一定的帮助． 二．理解数学：1． ⑴求函数y ＝(x ＋2)－2的定义域．值域．讨论当x 增大时，函数值如何变化？并画出图象；⑵问上述函数的图象与函数y ＝x －2的图象有何关系？ 解⑴{}2x |－且≠∈R x x ；R ＋．当x ＜－2时，函数值y 随x 的增大而增大，当x ＞－2时，y 随x 的增大而减小．⑵将2y x -=的图象向左平移2个单位，即得到y=(x+2)-2图象．2．求函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）值域． 解：设t ＝x 51，∵x ≥－32，∴t ≥－2，则y ＝t 2＋2t ＋4＝（t ＋1）2＋3．当t ＝－1时，y min ＝3．∴函数y ＝52x ＋2x 51＋4（x ≥－32）的值域为［3，＋)∞ 【课后提升】 １．函数122(2)y x x -=-的定义域是 (,0)(2,)-∞+∞U ．2．函数122(1)y x =-的值域是 ［0，1］ ． 3．函数25y x =的单调递减区间为 (,0)-∞ ． 4．若a 21＜a21－，则a 的取值范围是 01a << ．5．函数y ＝32)215(x x －＋的定义域是 [3,5]- ． 6．函数y ＝221m m x－－在第二象限内单调递增，则m 的最大负整数是___－1_____．7．对于函数y ＝x 2，y ＝x 21有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点（0，0）（1，1）；⑥两个函数互为反函数．其中正确的有___①②⑤______． 8．已知函数y ＝42215x x －－． （1）求函数的定义域．值域； （2）判断函数的奇偶性； （3）求函数的单调区间．解：这是复合函数问题，利用换元法令t ＝15－2x －x 2，则y ＝4t ，（1）由15－2x －x 2≥0得函数的定义域为［－5，3］， ∴t ＝16－（x －1）2∈［0，16］．∴函数的值域为［0，2］．（2）∵函数的定义域为［－5，3］，且关于原点不对称，∴函数既不是奇函数也不是偶函数．（3）∵函数的定义域为［－5，3］，对称轴为x ＝1，∴x ∈［－5，1］时，t 随x 的增大而增大；x ∈（1，3）时，t 随x 的增大而减小．又∵函数y ＝4t 在t ∈［0，16］时，y 随t 的增大而增大，∴函数y ＝42215x x －－的单调增区间为［－5，1］，单调减区间为（1，3）．。
苏教版数学高一苏教版必修1学案第3章3.3幂函数
3．3 幂函数1．了解幂函数的概念，会画出幂函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝1x，12y x =的图象．2．能根据幂函数的图象，了解幂函数的性质． 3．会用几个常见的幂函数性质比较大小．1．幂函数一般地，我们把形如y ＝x α(α∈R )的函数叫做幂函数，其中x 为自变量，α为常数．幂函数的定义域是使x α有意义的所有x 的集合，因α的不同，定义域也不同，如函数y ＝x 2的定义域为R ，而函数y ＝1x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．判断函数是否为幂函数时要根据定义，即x α的系数为1，指数位置的α为一个常数，或者经过变形后满足条件的均可．【做一做1】下列函数是幂函数的有________．①y ＝x 2②y ＝1x③y ＝x 3＋x④y ＝2x⑤y ＝x －3答案：①②⑤2．幂函数的图象与性质函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x －1，12y x =，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．从图中可以观察得到它们的特征如下：【做一做2－1】1412a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1613b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，1815c -⎛⎫= ⎪⎝⎭的大小关系是__________．答案：a ＜b ＜c【做一做2－2】函数35y x =的奇偶性是__________，单调性是__________． 答案：奇函数 在R 上单调递增【做一做2－3】函数y ＝x －2的值域为__________． 答案：(0，＋∞)当n 取不同的有理数时，幂函数y ＝x n的图象及性质． 剖析：我们只研究n 是有理数的情况，规定n ＝p q是既约分数： y ＝x n 奇函数(p 奇q 奇) 偶函数(p 偶q 奇) 非奇非偶函数(q 偶)n ＞10＜n ＜1n ＜0(2)当n ∈N *时，定义域为R ； 当n ＝0时，定义域为{x |x ≠0}；当n 为负整数时，定义域为{x |x ≠0}；当n ＝pq(p ，q ∈N *，q ＞1，且p ，q 互质)时，①若q 为偶数，则定义域为[0，＋∞)，②若q 为奇数，则定义域为R ，当n ＝－p q(p ，q ∈N *，q ＞1，且p ，q 互质)时，①若q 为偶数，则定义域为(0，＋∞)，②若q 为奇数，则定义域为{x |x ≠0}．(3)①在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．②当n ＞0时，图象都通过原点，并且在(0，＋∞)上的图象是上升的，向上无限伸展，是增函数；当n ＝0时，图象是除去点(0,1)的直线y ＝1；当n ＜0时，图象都不过原点，并且在(0，＋∞)上的图象是下降的，向右与x 轴无限靠近，是减函数．③在直线x ＝1的右侧，指数n 越大图象位置越高．题型一 幂函数的性质【例1】当x ∈(0，＋∞)时，幂函数y ＝(m 2－m －1)x －5m －3为减函数，求实数m 的值．分析：幂函数的一般形式为y ＝x α，说明其系数为1，由此确定m 值．解：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，－5m －3<0，解得m ＝2.反思：对于幂函数y ＝x α来说，其系数为1，当题目中还有其他性质时，必须根据此性质写出约束条件．本题函数在(0，＋∞)上为减函数，说明指数小于0.【例2】将四个数1.20.5,1.20.6,0.51.2,0.61.2按从小到大的顺序排列．分析：本题要用到两类函数，既要运用指数函数的性质，又要运用幂函数的性质，不能混淆两种函数．解：因为函数y ＝1.2x在R 上单调递增，所以1.20.6＞1.20.5＞1.20＝1.因为函数y ＝x 1.2在(0，＋∞)上单调递增，所以0.51.2＜0.61.2＜11.2＝1.综上所述，0.51.2＜0.61.2＜1.20.5＜1.20.6.反思：在函数值的大小比较中，0和1是两个特殊值，它们起着桥梁作用． 题型二 幂函数的图象及其应用【例3】画函数y ＝1＋3－x 的草图，并求出其单调区间．分析：此函数的作图有两种途径，一是根据描点的方法作图，二是利用图象变换来作图．一般说来，作草图时，利用图象变换较为方便．解：y ＝1＋3－x ＝－x －3＋1. 此函数的图象可由下列变换而得到：先作函数y ＝x 的图象，作其关于y 轴的对称图象，即y ＝－x 的图象，将所得图象向右平移3个单位，向上平移1个单位，即为y ＝1＋3－x 的图象(如下图所示)．从图象知y ＝1＋3－x 的单调递减区间为(－∞，3]．反思：本题容易发生的错误：一是函数概念不清(该函数是以x 为自变量的函数)；二是将函数式变形的过程不是等价变形，导致变形后的函数已不再是原有的函数了．【例4】已知点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，问当x 为何值时，有(1)f (x )＞g (x )；(2)f (x )＝g (x )；(3)f (x )＜g (x )?解：设f (x )＝x a，因为点(2，2)在幂函数f (x )的图象上，将点(2，2)代入f (x )＝x a 中，得2＝(2)a ，解得a ＝2，即f (x )＝x 2；设g (x )＝x b ，因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数g (x )的图象上，将点⎝⎛⎭⎪⎫－2，14代入g (x )＝x b中，得14＝(－2)b ，解得b ＝－2，即g (x )＝x －2. 在同一平面直角坐标系中作出f (x )＝x 2与g (x )＝x －2的图象如图所示． 由图象可知：(1)当x ＞1，或x ＜－1时，f (x )＞g (x )；(2)当x ＝1，或x ＝－1时，f (x )＝g (x )； (3)当－1＜x ＜1且x ≠0时，f (x )＜g (x )．反思：幂函数的一般形式是y ＝x α(α为常数)，要求幂函数的解析式只要解出α即可．1函数23y x =图象的大致形状是__________．答案：④2已知函数f (x )＝(a －1)·xa 2＋a －1， 当a ＝________时，f (x )为正比例函数； 当a ＝________时，f (x )为反比例函数； 当a ＝________时，f (x )为二次函数； 当a ＝________时，f (x )为幂函数．解析：当f (x )为正比例函数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －1＝1，a －1≠0，即a ＝－2；当f (x )为反比例函数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －1＝－1，a －1≠0，即a ＝0或a ＝－1；当f (x )为二次函数时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －1＝2，a －1≠0，即a ＝－1±132；当f (x )为幂函数时，a －1＝1，即a ＝2.答案：－2 0或－1 －1±13223设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α的值为__________．答案：1,34比较下列各组中两个值的大小：(1)351.5和351.6；(2)0.18－0.3和0.15－0.3.解：(1)因为函数35y x =在R 上单调递增， 又1.5＜1.6，所以351.5＜351.6.(2)因为函数y ＝x －0.3在(0，＋∞)上单调递减， 又0.18＞0.15，所以0.18－0.3＜0.15－0.3.5求出函数f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调区间，并比较f (－π)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22的大小．解：f (x )＝x 2＋4x ＋4＋1x 2＋4x ＋4＝1＋1x 2＋4x ＋4＝1＋(x ＋2)－2，它是由g (x )＝x －2向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度而得到的．∵g (x )的单调增区间是(－∞，0)，单调减区间是(0，＋∞)，∴f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调增区间是(－∞，－2)，单调减区间是(－2，＋∞)，f (x )的图象关于直线x ＝－2对称．∵－π∈(－∞，－2)，－22∈(－2，＋∞)，且－2－(－π)＜－22－(－2)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＜f (－π)．。
2020-2021学年苏教版必修1 3.3 幂函数 学案
3.3 幂函数1.了解幂函数的概念．2.掌握y ＝x 、y ＝x 2、y ＝x 3、y ＝x －1、y ＝x －2、y＝x 12的图象和性质．3．会运用幂函数的图象和性质解决问题．[学生用书P58]1．幂函数的概念函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数． 2．幂函数的图象与性质 (1)五种常见幂函数的图象(2)五类幂函数的性质 幂函数 y ＝x y ＝x 2 y ＝x 3 y ＝x 12y ＝x －1 定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪ (0，＋∞) 值 域 R [0，＋∞) R [0，＋∞){y |y ∈R 且y ≠0}奇偶性奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 x ∈[0，＋∞)，增x ∈(－∞，0]，减增 增 x ∈(0，＋∞)，减x ∈(－∞，0)，减公共点 都经过点(1，1)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝x 0(x ≠0)是幂函数．( )(2)幂函数的图象必过点(0，0)和(1，1)．( ) (3)幂函数的图象都不过第二、四象限．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×2．下列函数中不是幂函数的是( ) A ．y ＝x B ．y ＝x 3 C ．y ＝2x D ．y ＝x －1答案：C3．若y ＝mx α＋(2n －4)是幂函数，则m ＋n ＝________． 答案：34．若幂函数f (x )＝x α的图象经过点(3，9)，那么函数f (x )的单调增区间是________． 答案：[0，＋∞)幂函数的概念[学生用书P58](1)下列函数为幂函数的序号是________． ①y ＝－x 2；②y ＝2x ； ③y ＝x π；④y ＝(x －1)3； ⑤y ＝1x 2；⑥y ＝x 2＋1x.(2)若幂函数f (x )的图象经过点(2，22)，则f (9)＝________．【解析】 (1)①y ＝－x 2的系数是－1而不是1，故不是幂函数；②y ＝2x 是指数函数；④y ＝(x －1)3的底数是x －1而不是x ，故不是幂函数；⑥y ＝x 2＋1x 是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．很明显③⑤是幂函数．(2)设f (x )＝x α，则2α＝22，所以α＝32，所以f (x )＝x 32.所以f (9)＝932＝33＝27.【答案】 (1)③⑤ (2)27幂函数y ＝x α(α∈R )，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x 为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．1.已知函数f (x )＝(m 2＋2m －2)·xm 2－m －1是幂函数，则m ＝( )A ．1B ．－3C ．1或－3D ．1或3解析：选C.由题意知，若f (x )为幂函数， 则m 2＋2m －2＝1.即m 2＋2m －3＝0，解得m ＝1或m ＝－3.幂函数的图象[学生用书P59]已知幂函数y ＝x m －2(m ∈N )的图象与x ，y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m的值，并画出它的图象．【解】 因为图象与x ，y 轴都无交点， 所以m －2≤0，即m ≤2. 又m ∈N ，所以m ＝0，1，2.因为幂函数图象关于y 轴对称，所以m ＝0，或m ＝2. 当m ＝0时，函数为y ＝x －2，图象如图1； 当m ＝2时，函数为y ＝x 0＝1(x ≠0)，图象如图2.(1)幂函数y ＝x α的图象恒过定点(1，1)，且不过第四象限．(2)解决幂函数图象问题，需把握两个原则：①幂指数α的正负决定函数图象在第一象限的升降；②依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，在第一象限内，直线x ＝1的右侧，图象由上到下，相应的指数由大变小．2.已知当n 取±2，±12四个值时，幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则相应的曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 值依次为________．解析：抓住幂函数图象的特征，在第一象限内当0＜α＜1时，图象平缓上升；当α＞1时，图象陡峭上升；当α＜0时，图象下降，且在(1，＋∞)上，指数大的图象在上方．由题图，知C 1的指数n ＞1，C 2的指数0＜n ＜1，即C 1的指数n 取2，C 2的指数n 取12.再取x ＝2，由2－12＞2－2知C 3的指数n 取－12，C 4的指数n 取－2.答案：2，12，－12，－2幂值的大小比较问题[学生用书P59]比较下列各组数的大小： (1)1.332，1.432，(－2)13；(2)1.712，0.712，0.72.【解】 (1)考察幂函数y ＝x 32，因为32>0，所以y ＝x 32在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于0<1.3<1.4，所以0<1.332<1.432， 又因为(－2)13<0，所以1.432>1.332>(－2)13.(2)考察幂函数y ＝x 12.因为12>0，所以y ＝x 12在区间[0，＋∞)上是单调增函数．由于0.7<1.7，所以0.712<1.712，再考察指数函数y ＝0.7x ，因为0<0.7<1，所以y ＝0.7x 是R 上的单调减函数．由于0<12<2，所以0.712>0.72，综上1.712>0.712>0.72.当两个值的底数是同一个正数时，用指数函数模型比较两个值的大小；当两个值的指数是同一个实数时，用幂函数模型比较两个值的大小，特别地，当底数是负数时，先利用幂函数的性质，将底数是负数的幂化为底数是正数的幂，再利用指数函数模型或幂函数模型比较两个值的大小．3.比较下列各组数的大小：(1)2.112，2.212，0.213；(2)3.535，0.535，0.545.解：(1)考察幂函数y ＝x 12，因为12>0，所以y ＝x 12在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于1<2.1<2.2，所以1<2.112<2.212，又因为0.213<1，所以2.212>2.112>0.213.(2)考察幂函数y ＝x 35.因为35>0，所以y ＝x 35在区间[0，＋∞)上是单调增函数，由于0.5<3.5，所以0.535<3.535，再考察指数函数y ＝0.5x ，因为0<0.5<1，所以y ＝0.5x 是R 上的单调减函数，由于0<35<45，所以0.535>0.545，综上3.535>0.535>0.545.1．指数函数与幂函数的区别 函数名称 解析式 解析式特征指数函数 y ＝a x (a ＞0， 且a ≠1) 底数是常数，自变量在指数位置上 幂函数y ＝x α(α∈R )指数是常数，自变量在底数位置上2.幂函数的性质归纳(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1，1)． (2)α＞0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数． 特别地，当α＞1时，幂函数的图象下凸； 当0＜α＜1时，幂函数的图象上凸．(3)α＜0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x 从右趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴；当x 趋于＋∞时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为________．[解析] 当α＝1，3时，函数y ＝x α的定义域为R ，且为奇函数，当α＝－1时，y ＝1x 的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }．当α＝12时，y ＝x 12＝x 的定义域是{x |x ≥0}． [答案] 1，3(1)y ＝x－1易忽视定义域的限制，其定义域应为{x |x ≠0}．(2)在幂函数的有关问题中，要理解幂函数的概念，掌握好五种幂函数的图象和性质，当α为正奇数时幂函数f (x )＝x α的定义域为R 且为奇函数，解决此类问题，要特别注意α的取值范围．1．下列所给出的函数中，是幂函数的是( ) A ．y ＝－x 3 B ．y ＝x －3 C ．y ＝2x 3 D ．y ＝x 3－1答案：B2．下列函数中值域为(－∞，＋∞)的函数是( )A ．y ＝⎝⎛⎭⎫12xB ．y ＝x 2C ．y ＝1x 2D ．y ＝x 3答案：D 3．函数y ＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是________．解析：因为函数y ＝x －3＝1x 3在(－∞，0)上单调递减，所以当x ＝－2时，y min ＝(－2)－3＝1（－2）3＝－18. 答案：－184．当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限．解析：因为y ＝x－1图象在第一、三象限，y ＝x 与y ＝x 3图象都经过第一、三象限，y ＝x 12图象仅经过第一象限，故α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，图象不可能经过第二、四象限． 答案：二、四[学生用书P116(单独成册)])[A 基础达标]1．在下列函数中，定义域和值域不同的是( ) A ．y ＝x 13B ．y ＝x 12C ．y ＝x 53D ．y ＝x 23解析：选D.A 、C 的定义域和值域都是R ；B 的定义域和值域都是[0，＋∞)；D 的定义域是R ，值域是[0，＋∞)．故选D.2．已知幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，则k ＋α＝( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选A.因为幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝⎛⎭⎫12，2，所以k ＝1，f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12α＝2，即α＝－12，所以k ＋α＝12.3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －1 C ．y ＝x 2D ．y ＝x 13解析：选A.所给选项都是幂函数，其中y ＝x－2和y ＝x 2是偶函数，y ＝x－1和y ＝x 13不是偶函数，故排除选项B 、D ，又y ＝x 2在区间(0，＋∞)上单调递增，不合题意，y ＝x －2在区间(0，＋∞)上单调递减，符合题意，故选A.4．已知m ＝(a 2＋3)－1(a ≠0)，n ＝3－1，则( ) A ．m >n B ．m <n C ．m ＝nD ．m 与n 的大小不确定解析：选B.设f (x )＝x －1，已知a ≠0， 则a 2＋3>3>0，f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 则f (a 2＋3)<f (3)， 即(a 2＋3)－1<3－1， 故m <n .5．函数y ＝x |x |的图象大致是( )解析：选A.由题可得，y ＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ≥0，－x 2， x <0，从而可知A 为正确选项，另外，易知函数y ＝x |x |为奇函数．6.如图，曲线C 1与C 2分别是函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则m ，n 与0的大小关系是________．解析：由图象可知，两函数在第一象限内递减， 故m ＜0，n ＜0. 取x ＝2，则有2m ＞2n ， 故n ＜m ＜0. 答案：n ＜m ＜07．当x ∈(1，＋∞)时，幂函数y ＝x α的图象在直线y ＝x 的下方，则α的取值范围是________．解析：幂函数y ＝x 12，y ＝x －1，y ＝x 0在区间(1，＋∞)上时图象在直线y ＝x 的下方，一般地，当α<0，α＝0，0<α<1时f (x )＝x α在(1，＋∞)上的图象都在直线y ＝x 下方，故α的取值范围是(－∞，1)．答案：(－∞，1)8．已知2.4α＞2.5α，则α的取值范围是________． 解析：因为0＜2.4＜2.5，而2.4α＞2.5α， 所以y ＝x α在(0，＋∞)上为减函数，故α<0. 答案：α＜0 9．已知函数f (x )＝x －m ＋3(m ∈N *)是偶函数，且f (3)<f (5)，求m 的值，并确定f (x )的函数解析式．解：由f (3)<f (5)，得3－m ＋3<5－m ＋3，所以⎝⎛⎭⎫35－m ＋3<1＝⎝⎛⎭⎫350.因为y ＝⎝⎛⎭⎫35x是减函数， 所以－m ＋3>0. 解得m <3. 又因为m ∈N *， 所以m ＝1或2； 当m ＝2时，f (x )＝x －m ＋3＝x 为奇函数，所以m ＝2舍去． 当m ＝1时，f (x )＝x －m ＋3＝x 2为偶函数，所以m ＝1， 此时f (x )＝x 2.10．已知f (x )＝x ，g (x )＝x 13，设F (x )＝f (x )＋g (x )，试判断F (x )的奇偶性与单调性． 解：因为f (x )，g (x )的定义域均为R ， 所以F (x )＝f (x )＋g (x )＝x ＋x 13的定义域为R .又F (－x )＝－x ＋(－x )13＝－(x ＋x 13)＝－F (x )， 所以F (x )是奇函数．因为f (x )与g (x )在R 上均为增函数， 所以F (x )在R 上也为增函数．[B 能力提升]1．如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1＜n ＜0＜m ＜1B ．n ＜－1，0＜m ＜1C ．－1＜n ＜0，m ＞1D ．n ＜－1，m ＞1解析：选B.在(0，1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0＜m ＜1，n ＜－1.2.给出下列四个函数：①y ＝x 13；②y ＝x －13；③y ＝x －1；④y ＝x 23，其中定义域和值域相同的是________．(写出所有满足条件的函数的序号) 解析：函数y ＝x 13的定义域和值域都为R ；函数y ＝x －13与y ＝x－1的定义域和值域都为(－∞，0)∪(0，＋∞)；函数y ＝x 23的定义域为R ，值域为[0，＋∞)．答案：①②③ 3.已知幂函数y ＝x m2＋2m －3(m ∈Z )在(0，＋∞)上是减函数，求幂函数的解析式，并讨论此函数的单调性和奇偶性．解：由幂函数的性质可知m 2＋2m －3＜0⇒(m －1)(m ＋3)＜0⇒－3＜m ＜1， 又因为m ∈Z ， 所以m ＝－2，－1，0.当m ＝0或m ＝－2时，y ＝x －3， 定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为－3＜0， 所以y ＝x－3在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，又因为f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )， 所以y ＝x－3是奇函数．当m ＝－1时，y ＝x －4，定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为f (－x )＝(－x )－4＝1（－x ）4＝1x 4＝x －4＝f (x )， 所以函数y ＝x－4是偶函数．因为－4＜0， 所以y ＝x－4在(0，＋∞)上是减函数．又因为y ＝x －4是偶函数，所以y ＝x－4在(－∞，0)上是增函数．4．(选做题)已知函数f (x )＝2x －x m ，且f (4)＝－72.(1)求m 的值；(2)判断f (x )在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明； (3)试在(－∞，0)上解不等式f (x )<f (2x ＋1)． 解：(1)因为f (4)＝－72，所以24－4m ＝－72，m ＝1.(2)f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上是减函数．证明如下：任取x 1、x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则x 1－x 2<0， 所以f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 2－⎝⎛⎭⎫2x 1－x 1 ＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎫2x 2－2x 1＝(x 1－x 2)＋2x 1x 2(x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2x 1x 2＋1. 因为x 1－x 2<0，x 1x 2>0，所以f (x 2)－f (x 1)<0，即f (x 2)<f (x 1)． 所以f (x )＝2x －x 在(0，＋∞)上是减函数．(3)因为f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝2－x＋x ＝－⎝⎛⎭⎫2x －x ＝－f (x )， 所以f (x )是奇函数．所以f (x )在(－∞，0)上是减函数．所以f (x )<f (2x ＋1)的解满足⎩⎪⎨⎪⎧x <0，2x ＋1<0，x >2x ＋1.解得x <－1.所以f (x )<f (2x ＋1)的解集为{x |x <－1}．。
苏教版高中数学必修一学案幂函数
第29课时 幂函数（1）【学习目标】1．了解幂函数的概念，会画出幂函数12312,,,,y x y x y x y x y x -=====的图象，根据上述幂函数的图象，了解幂函数的变化情况和性质；2．了解几个常见的幂函数的性质，会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数值的大小；3．进一步体会数形结合的思想． 【课前导学】【问题情境】分析以下五个函数，它们有什么共同特征？（1）边长为a 的正方形面积2S a =，S 是a 的函数；（2）面积为S 的正方形边长12a S =，a 是S 的函数； （3）边长为a 的立方体体积3V a =，V 是a 的函数；（4）某人ts 内骑车行进了1km ，则他骑车的平均速度1/v t km s -=，这里v 是t 的函数； （5）购买每本1元的练习本w 本，则需支付p w =元，这里p 是w 的函数. 上述五个函数都可以写成 y x α=()a R ∈ 的形式． 【课堂活动】 一．建构数学：【定义】一般地，形如y x α=()R α∈的函数称为幂函数，其中α为常数． 【试试】判断下列函数哪些是幂函数：①1y x=；②22y x =；③3y x x =-；④1y =．注意：幂函数与指数函数的区别．例1 写出下列函数的定义域，指出它们的奇偶性，并画出它们的图象，观察这些图象，看看有什么共同点？⑴ y ＝21x ；⑵ y ＝31x ；⑶ y ＝32x ；⑷ y ＝53x ．【思路分析】分数指数幂可以与根式相互转化．把各函数解析式先化成根式形式即可．解：⑴y =y =y ．函数的定义域就是使这些根式有意义的实数x 的集合；奇偶性直接利用定义进行判断．⑴的定义域为[0,)+∞，⑵⑶⑷的定义域都是R ；其中⑴既不是奇函数也不是偶函数，⑵⑷是奇函数，⑶是偶函数．它们的图象都经过点(0,0)和(1,1)，且在第一象限内函数图象自左而右呈上升趋势，即函数在[0,)x ∈+∞单调递增．例2 仿照例1研究下列函数的定义域和奇偶性，观察它们的图象，看看有什么共同点？ ⑴ y ＝x －1；⑵ y ＝x －2；⑶ y ＝21－x；⑷ y ＝31－x．【思路分析】 先将负指数幂化为正指数幂，再将分数指数幂化为根式． 解： ⑴ 1yx =；⑵ 21y x =；⑶ y =；⑷ y =．函数的定义域就是使这些分式和根式有意义的实数x 的集合；⑴⑵⑷的定义域都是{|0}x x ≠，⑶的定义域是(0,)+∞；根据函数奇偶性的定义可得⑴⑷是奇函数，⑵是偶函数，⑶既不是奇函数也不是偶函数．它们的图象都经过点(1,1)，且在第一象限内函数图象自左向右呈下降趋势，并且以两坐标轴为渐近线．反应出这些函数在(0,)x ∈+∞上单调递减．【解后反思】通过例1和例2的解决过程，体现数学学习的过程是一个建立在经验基础上的主动建构的过程，让学生在合作中获取知识． 【探究】幂函数的图象与性质【问题】作出下列函数的图象：（1）y x =；（2）12y x =；（3）2y x =；（4）1y x -=；（5）3y x =． 从图象分析出幂函数所具有的性质. 解：图像略．【拓展】通过以上例子试总结幂函数y x α=()R α∈的一般性质：（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x =）； （2）α＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+)∞上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）．特别地，当α＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，α越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？） 当0<α＜1时，x ∈（0，1），y x α=的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）．（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 二．应用数学：例3 讨论下列函数的定义域、值域、奇偶性与单调性：⑴ 5x y = ；（2） 34-=xy ．【思路分析】 根据幂函数的性质讨论定义域、奇偶性、单调性．解 ： ⑴ y ＝x 5的定义域是(－∞，＋∞)，值域也是(－∞，＋∞)，是奇函数，∵5＞1，∴y ＝x 5在(－∞，＋∞)上是增函数．⑵∵y ＝x34-＝341x，∴定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域是(0，＋∞)，是偶函数，∵－34＜0，∴y ＝x 34-在(－∞，0)是增函数，在(0，＋∞)，是减函数．【解后反思】由例3让学生对幂函数性质的认识有一个提升． 例4 比较下列各题中两个值的大小． ⑴(－1.5)52与(－1.7) 52 ⑵ 3.1432-与π32-⑶(－5)31-与(－6)31- ⑷ 314与221【思路分析】比较两数的大小可构造一个函数，考虑这个函数的单调区间． 【解法】 ⑴考察函数y ＝x 52，∵52＞0 ， ∴y ＝x 52在(－∞，0)上是减函数．又∵－1.5＞－1.7， ∴(－1.5)52＜(－1.7) 52． ⑵考察函数y ＝x32-，∵－32＜0 ∴y ＝x 32-在(0，＋∞)上是减函数．又∵3.14＜π， ∴3.1432-＞π32-．⑶(－5)31-＝－531-，(－6)31-＝－631-，又531-＞631- ∴－531-＜－631-，∴(－5)31- ＜(－6)31-．⑷∵314＝97，221＝87，又97＞87∴314＞221．【解后反思】学生学习了幂函数以后,关键还在于对其性质要会灵活运用,例4是做一个基本的铺垫． 三．理解数学：1．求函数1322(1)(3)y x x -=-+-的定义域．答案：[1,3)2． 已知221(22)23my m m x n -=+-+-是幂函数，求m ，n 的值.解：由题意可得：m 2+ 2m – 2 = 1且2n – 3 = 0，解得3m =或1-，32n =． 【解后反思】表达式y =αx (x ∈R )的要求比较严格，系数为1，底数是x ，α∈R 为常数，如221-==x x y ，y = 1 = x 0为幂函数，而如y = 2x 2，y = (x – 1)3等都不是幂函数.3．比例下列各组数的大小：（1）8787)91(8---和；（2）(–2)–3和(–2.5)–3； （3）(1.1)–0.1和(1.2)–0.1； （4）533252)9.1()8.3(,)1.4(--和.解:（1）8787)81(8-=--，函数87x y =在 (0, +∞)上为增函数，又9181>，则8787)91()81(>，从而8787)91(8-<--.（2）幂函数y = x –3在(–∞, 0)和(0, +∞)上为减函数， 又∵–2＞–2.5，∴(–2)–3＜(–2.5)–3. （3）幂函数y = x–0.1在(0, +∞)上为减函数， 又∵1.1＜1.2，∴1.1–0.1＞1.2–0.1.（4）52)1.4(＞521= 1；0＜32)8.3(-＜321-= 1；53)9.1(-＜0，∴53)9.1(-＜32)8.3(-＜52)1.4(.【解后反思】比较大小题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善于用“搭桥”法（即插值法）进行分组，常数0和1是常用的“桥梁”.【课后提升】1. 下列命题中正确的是 （4） ．（1）当n ＝0时，函数y ＝x n的图象是一条直线； （2）幂函数的图象都经过(0，0)，(1，1)两点；（3）若幂函数y ＝x n 的图象关于原点对称，则y ＝x n在定义域内y 随x 的增大而增大； （4）幂函数的图象不可能在第四象限．2. 下列函数中，定义域为(0，＋∞)的函数为 （2） ．（1）y ＝x 32-；（2）y ＝x 23-；（3） y ＝x 23；（4） y ＝x 3． 3. 下列函数中是幂函数的是 （1） （2）（4） ．（1）y ＝x ；（2）y ＝x3；（3）y ＝2x ；（4）y ＝x －1．4. 已知幂函数()y f x =的图象过，试求出这个函数的解析式． 答案：12y x =5. 已知函数f (x )＝(a －1)·x 12-+a a当a ＝ －2 时，f (x )为正比例函数； 当a ＝ 0或－1 时，f (x )为反比例函数；当a ＝2131±- 时，f (x )为二次函数； 当a ＝ 2 时，f (x )为幂函数．(提示：当f (x )为正比例函数时，⎩⎨⎧≠-=-+01112a a a ，即a ＝－2；当f (x )为反比例函数时，⎩⎨⎧≠-=-+01112a a a －，即a ＝0或a ＝－1； 当f (x )为二次函数时，⎩⎨⎧≠-=-+01212a a a ，即a ＝2131±-；当f (x )为幂函数时，a －1＝1，即a ＝2)6. 函数y ＝x a(a ∈Q )的图象，当0＜x ＜1时，在直线y ＝x 的上方；当x ＞1时，在直线y ＝x 的下方，则a 的取值范围是 [－2，3) ． (提示：⎩⎨⎧≥0302＞－＋x x 即2≤x ＜3)7．若(a ＋1)31-＜(3－2a )31-，试求a 的取值范围．解：由幂函数的性质，有三种可能情况：⎪⎩⎪⎨⎧a a a a 23102301－＞＋＞－＞＋或⎩⎨⎧02a 301a ＞－＜＋或⎪⎩⎪⎨⎧<<a a a a 23102301－＞＋－＋解得：a ∈(－∞，－1)∪(32，23)．8．m 为怎样的值时，函数f (x )＝(mx 2＋4x ＋m ＋2)43-＋(x 2－mx ＋1)0的定义域是R ？解： ⎪⎩⎪⎨⎧≠++++ ②－ ①＞0102422mx x m x mx由①⎩⎨⎧001＞△＞m ⇒⎩⎨⎧02(4160）＜＋－＞m m m ⇒ m ＞5－1，由②△2＝m 2－4＜0，∴－2＜m ＜2， 综上：5－1＜m ＜2．。
苏教版高中数学必修一幂函数教案(3)(1)
幂函数一．三维目标： 1．知识技能（1）理解幂函数的概念；（2）通过具体实例了解幂函数的图象和性质，并能进行初步的应用. 2．过程与方法类比研究一般函数，指数函数、对数函数的过程与方法，后研幂函数的图象和性质.3．情感、态度、价值观（1）进一步渗透数形结合与类比的思想方法； （2）体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性. 二．重点、难点重点：从五个具体的幂函数中认识的概念和性质 难点：从幂函数的图象中概括其性质 5．学法与教具（1）学法：通过类比、思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质 ; （2）教学用具：多媒体 三．教学过程： 引入新知阅读教材P 90的具体实例（1）~（5），思考下列问题. （1）它们的对应法则分别是什么？（2）以上问题中的函数有什么共同特征？让学生独立思考后交流，引导学生概括出结论 答：1、（1）乘以1 （2）求平方 （3）求立方（4）求算术平方根 （5）求－1次方2、上述的问题涉及到的函数，都是形如：y x α=，其中x 是自变量，α是常数.探究新知1．幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x 是自变量，α是常数. 如11234,,y x y x y x -===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.2．研究函数的图像（1）y x = （2）12y x = （3）2y x = （4）1y x -= （5）3y x =一．提问：如何画出以上五个函数图像引导学生用列表描点法，应用函数的性质，如奇偶性，定义域等，画出函数图像，最后，教师利用电脑软件画出以上五个数数的图像.3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）（原因：11x=）； （2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（从左往右看，函数图象逐渐上升）.特别地，当x ＞1，x ＞1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =图象的下方，形状向下凸越大，下凸的程度越大（你能找出原因吗？）当∠α＜1时，x ∈（0，1），2y x =的图象都在y x =的图象上方，形状向上凸，α越小，上凸的程度越大（你能说出原因吗？）（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.在第一家限内，当x 向原点靠近时，图象在y 轴的右方无限逼近y 轴正半轴，当x 慢慢地变大时，图象在x 轴上方并无限逼近x 轴的正半轴. 例题：1．证明幂函数()[0,]f x =+∞上是增函数证：任取121,[0,),x x x ∈+∞且＜2x 则12()()f x f x -=因12x x -＜0所以12()()f x f x <，即()[0,]f x =+∞上是增函数.思考：我们知道，若12()()0,1()f x y f x f x =><若得12()()f x f x <，你能否用这种作比的方法来证明()[0,]f x =+∞上是增函数，利用这种方法需要注意些什么？2．利用函数的性质 ，判断下列两个值的大小 （1）11662,3 （2）3322(1),(0)x xx +> （3）22244(4),4a --+分析：利用幂函数的单调性来比较大小.5．课堂练习画出23y x =的大致图象，并求出其定义域、奇偶性，并判断和证明其单调性. 6．归纳小结：提问方式（1）我们今天学习了哪一类基本函数，它们定义是怎样描述的？ （2）你能根据函数图象说出有关幂函数的性质吗？。
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§29 幂函数（1）
主备：韩梅花 审核：马佩珊 做题：姜荣华
一、教学重、难点
幂函数的图象和性质
二、新课导航
1.经调查，一种商品的价格和需求如下表所
根据此表，我们可以把价格x 与需求量y 之间近似地满足关系：38
.082.114-=x y ，这个关
系式与函数38
..0-=x y 是相关联的.函数38
..0-=x
y 是指数函数吗？
2．幂函数的定义：
3．根据活动2填写表中几个幂函数的性质
三、合作探究
活动1、（1）下列函数中，是幂函数的有 ．
①x y 2=； ②2
x y -=； ③4
3
y x =； ④2
1-
=x
y ； ⑤y x =．
（2）已知函数2
2
()(1)m
f x m x -=-是幂函数，则m = ．
（3）已知点4)在幂函数()f x 的图象上，则函数()f x 的解析式
为 ．
活动2、分别作出下列幂函数的示意图
（1）3
x y =； （2）2
1x y =； （3）2-=x y ； （4）y x =； （5）0
y x =．
四、提高拓展
1．（1）
12
+=x y ；（2）3
2
-
=x
y ；（3）12
1-=x
y ；（4）2
2x y -=中是幂函数的有 ____．
2．（1）x y =；（2）x
y -=2；（3）12
1
-=x
y ；（4）2
-=x y 中在()+∞,0上是减函数的有
________． 3．函数2
1
-=x
y 的定义域是 ．
4．函数3
1
x y =的图象关于 对称．
5．函数1
-=x y 在)0,(-∞上是 函数（填“增”或“减”）．
五、知识网点
§29 幂函数（1）作业
班级 姓名 学号 得分 日期 一、填空题
1．下列函数中，定义域为),0(+∞的是 ．
1）1（-=x y ； 2
1
）2（-
=x
y ；
2
1
）3（x y =； 3
1）4（-
=x
y ．
2、下列函数中是偶函数的是 ． （1）x
y 3
-=；（2）]3,3(,2-∈=x x y ；（3）32
-=x
y ；（4）1)1(22+-=x y ．
3、下列函数中，在)0,(-∞上单调递减的是 ．
（1）3
x y =；（2）2
1
x y =；（3）2-=x y ；（4）2
x y =．
4、若一个幂函数)(x f 的图象过点)4
1,2(，则)(x f 的解析式为 ．
5、指出下列函数的定义域和奇偶性
4
1x y =的定义域是 ，是 函数；
2x y =的定义域是 ，是 函数； 3
1
-
=x y 的定义域是 ，是 函数； 3
2x y =的定义域是 ，是 函数．
6、函数2
3x y =的定义域是 ，单调递 区间为 ．
7、比较下列各组数的大小
（1）1122
3.5____3.4； （2）221.2___1.3--； （3） 1.6
1.4
2.4
___0.8--． 二、解答题
8．画出函数3
2x y =的示意图，并指出其定义域，值域，奇偶性，单调性．
9．已知函数1
222
)()(--+=m m x m m x f 是幂函数，求实数m 的值．
三、错题剖析。