2016年清华大学暑期学校数学真题
2016年北大优秀中学生体验营暑期课堂数学试题及详解1
2016年北大全国优秀中学生暑期学堂数学试题参考答案2．由题意知b−a=c−b= (c−a)/2，所以()2c a====-是等差数列．3．对题中不等式整理得2x2−2(a+b)x+(a2+b2−c)⩾0,此不等式恒成立当且仅当对应判别式Δ=4(a+b)2−8(a2+b2−c)=4[2c−(a−b)2]⩽0,等价于2c⩽(a−b)2，命题得证．222112z z z z z z++=因为12(1)z z a i=-，所以12(1)z z a i=+，代入上面的式子得22-2z z a=．于是有其中λ=1时为双曲线，λ=0时为渐近线．设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，则有22112222222211x ya bx ya b⎛-=-=⎝两式相减得1212121222()()()()x x x x y y y ya b-+-+-=同样有3434343422()()()()0x x x x y y y y a b -+-+-= 因为A,B,C,D 四点共线，当此直线斜率不存在或者斜率为零时，由双曲线的对称性得AC=BD ；当此直线的斜率k 存在且不为零时，有2341221234y y y y b x x x x a k++==++ 即AB 的中点与CD 的中点在过原点的同一条直线上，所以它们重合，从而有AC=BD ． 事实上，此结论可以直接由双曲线的“垂径定理”得到．6．显然当α+β=π/2时，等式成立；由已知条件知sin 2α+sin 2β=sin αcos β+cos αsin β ,整理得sin α(sin α−cos β)=sin β(cos α−sin β).若α+β≠π/2，则有sin α−cos β与cos α−sin β同号．若它们同为正，则有sin α>cos β=sin(π/2−β),cos α=sin(π/2−α)>sin β,从而有α>π/2−β, π/2−α>β,无解；若它们同为负，用类似的方式也可以推导出矛盾．综上，α+β=π/2．S △ADE =xyS △ABC =xy, S △BCE =(1−y)S △ABC =1−y,所以有S △BDE =1−xy −(1−y)=y(1−x).从而有318(1)()327BDF BDE z y x S zS zy x ∆∆++-==-≤= 当y=z=1−x 时，即x=1/3,y=z=2/3时等号成立，此时△BDF 的面积有最大值8/27。
清华大学2016年自主招生笔试真题汇总
清华大学2016年自主招生笔试真题汇总收藏此文2016-06-13| 编辑：王老师| 阅读:17500摘要6月10日，清华大学率先开始了自主招生测试，2016年清华有754人通过了自主招生初审。
据悉，自主招生、筑梦、领军计划笔试共用一套试卷。
6月10日，清华大学率先开始了自主招生测试，2016年清华有754人通过了自主招生初审。
据悉，自主招生、筑梦、领军计划笔试共用一套试卷。
据悉，清华大学2016年自主招生、领军人才选拔一共在全国29个省市设36个初试考点，考生可根据的情况，就近选择相应的考试地点。
考试相关内容考试模式：机考系统分发和回收考卷。
考生更加安全高效，阅卷也更为及时准确，还可大大降低作弊的可能性。
考试科目：文科——数学、语文理科——数学、物理试卷结构：试题不仅引入多选题，而且采用单选题、多选题混合编排的方式，用以区分不同水平的学生，也增加了能力考查的力度。
多选题学生全部选对得满分，选对但不全得部分分，有选错的得0分科目分数：每科100分考试内容：语文——30题，数学——40题，物理——30题，数学和物理都难度大于高考考试时间：三个小时 8:30-11:30考试题型：不定项选择题；每题有一个或多个正确选项，全部选对的得满分，选对但不全的得部分分，有选错的得零分。
考试题目全部为选择题。
考察方向数学与逻辑和物理探究着重考查学生较高层次的思维能力以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。
阅读与表达重点考查学生的文学文化水平和各类文章的阅读水平等能力，在考查学生语言运用能力的同时也考查了学生的写作能力。
笔试真题语文试卷要求：阅读与表达对语文基础知识和语言文字的运用能力提出的更高的要求。
内容：除了涉猎字音、字形、词语、句子衔接等内容外，还考查了汉字书写的笔顺问题、书体知识、传统文化知识、《红楼梦》文本解读以及宋词的格律炼字等。
代文阅读材料的体裁既有论说文，也有小说和诗歌。
文言文的阅读语料未经断句标点，还新增了分析推理题，考查学生综合语文能力。
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷 Word版 含解析)
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）已知集合A=B=，则（A）（B）（C）（D）（2）若x,y满足，则2x+y的最大值为（A）0 （B）3（C）4 （D）5（3）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）设a,b是向量，则“I a I=I b I”是“I a+b I=Ia-b I”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知x,yR,且xyo，则（A）- （B）（C） (-0 （D）lnx+lny(6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（A）（B）（C）（D）1(7)将函数图像上的点P（，t）向左平移s（s﹥0）个单位长度得到点P′.若P′位于函数的图像上，则（A）t= ，s的最小值为（B）t= ，s的最小值为（C）t= ，s的最小值为（D）t= ，s的最小值为（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，（A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． （9）设aR ，若复数（1+i ）（a+i ）在复平面内对应的点位于实轴上，则a=_______________。
（10）在的展开式中，的系数为__________________.（用数字作答） （11）在极坐标系中，直线与圆交于A ，B 两点， 则 =____________________.（12）已知为等差数列，为其前n 项和，若 ，，则.（13）双曲线的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点。
1、2016年清华(自招领军自强)数学题招
f f
'
(0) 存在时，曲线 y f ( x) 在点 (0, f (0)) 处存在切线
（B）当曲线 y f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处存在切线时，导数 （C）当导数
'
f
'
(0) 存在
(0) 存在时，函数 f ( x 2 ) 在 x=0 时的导数等于零
2
（D）当函数 f ( x ) 在 x=0 时的导数等于零时，导数 （5）设 z cos
且 AO AB AC , 则实数 和 [ ]
（A）
2 4 , 9 9
（B）
4 2 , 9 9
（C）
1 2 , 9 9
（D）
2 1 , 9 9
(28)三个互异的数 a,b,c 相乘时可以有不同的相乘方法，如 ab c, ba c, c ab , c ba 就是其中 4 种不同的相 乘 方 法 ， 设 n 个 互 异 数 的 不 同 相 乘 方 法 ， 设 n 个 互 异 数 的 不 同 相 乘 方 法 共 有 In 种 ， 则 [ ] （B） I 3 12 （C） I 4 96 （D） I 4 120
f
'
(0) 存在时
[ ]
2 2 z2 2 ，则 z 2 i sin 3 3 z z2
（B）
（A）
1 3 i 2 2
3 1 i 2 2
（C）
1 3 i 2 2
（D）
3 1 i 2 2
(6)甲乙丙丁四人进行网球比赛，首先是甲与乙比，丙与丁比，这两场比赛的胜者再争夺冠军，他们之间相 互获胜的概率如下： 甲 甲获胜概率 乙获胜概率 丙获胜概率 丁获胜概率 则甲获得冠军的概率为 (A)0.165 (B)0.245 0.7 0.7 0.2 0.4 0.7 0.5 [ (C)0.275 (D0.315 ] 乙 0.3 丙 0.3 0.6 丁 0.8 0.3 0.5
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷,含解析)-推荐下载
(I I)证明：若数列 A 中存在 an 使得 an > a1 ，则 G（A） ；
(I I I）证明：若数列 A 满足 an - an1 ≤1（n=2,3, …,N）,则 G（A）的元素个数不小于 aN -
则 =____________________. （12）已知为等差数列，为其前 n 项和，若 ，，则. （13）双曲线的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该双曲线的焦点。若正方形 OABC 的边长为 2，则 a=_______________. （14）设函数
①若 a=0，则 f(x)的最大值为____________________； ②若 f(x)无最大值，则实数 a 的取值范围是_________________。
（17）（本小题 14 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAD 平面 ABCD，PA PD
5,
（I）求证：PD 平面 PAB;
（II）求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值；
AM
（II I）在棱 PA 上是否存在点 M，使得 BMll 平面 PCD?若存在，求
AP
由。
a2 b2
积为 1. （I）求椭圆 C 的方程； (I I)设 P 的椭圆 C 上一点，直线 PA 与 Y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N。
求证：lANl A lBMl 为定值。
（20）（本小题 13 分）
设数列 A： a1 ， a2 ,… aN (N≥2)。如果对小于 n(2≤n≤N)的每个正整数 k 都有 ak ＜ an ，则
2016年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(全国卷1,参考版解析)
绝密★启封并使用完毕前试题类型：A 2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合2{|430}A x x x=-+<，{|230}B x x=->，则A B =（A）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C）3(1,)2（D）3(,3)2（2）设(1i)1ix y+=+，其中x，y是实数，则i=x y+（A）1（B）2（C）3（D）2（3）已知等差数列{}na前9项的和为27，10=8a，则100=a（A）100（B）99（C）98（D）97（4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（A）（B）（C）（D）（5）已知方程–=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（A）(–1,3) （B）(–1,3) （C）(0,3) （D）(0,3)（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是（A）17π（B）18π（C）20π（D）28π（7）函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为（A）（B）（C ）（D ）（8）若101a b c >><<，，则（A ）c c a b <（B ）c c ab ba <（C ）log log b a a c b c <（D ）log log a b c c <（9）执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足（A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x =(10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的标准线于D 、E 两点.已知|AB |=2|DE|=25则C 的焦点到准线的距离为(A)2 (B)4 (C)6 (D)8(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，a ⋂平面ABCD =m ，a ⋂平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为 (A)32(B )22 (C)33 (D)1312.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为 （A ）11 （B ）9 （C ）7 （D ）5第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共3小题，每小题5分(13)设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m =. (14)5(2)x x +的展开式中，x 3的系数是.（用数字填写答案）（15）设等比数列满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为。
2016年清华大学领军计划数学试题(含部分解析)
2016年清华大学领军计划测试1．椭圆22221x y a b +=，两条直线1l ：12y x =，2l ：12y x =-，过椭圆上一点P 作两条直线的平行线，分别与两条直线交于M ，N 两点，若||MN=（ ） .A .B .C 2 .D 【解析】C(田)坐标+向量，设(cos ,sin )P a b θθ，OP ON NP =+，MN ON NP =-,1l 方向向量11(1,)2e =，21(1,)2e =-，1ON ne =，2NP me =，12OP ne me ∴=+cos sin 22n m a n mb c θ-=⎧⎪⇒⎨+=⎪⎩ (,)(2sin ,cos )21222n m a aMN m n b b θθ-=+=⇒== （孙）设(cos ,sin )P a b θθ，则PM l ，PN l 已知，M ，N 点已知. 法3：设00(,)P x y ，可得0000111(,)242M x y x y ++，0000111(,)242N x y x y --+，||MN =为定值，所以2241614a b==2=. 注（1）若将这两条直线的方程改为y kx =±1k=； （2）两条相交直线上各取一点M ，N ，使得||MN 为定值，则线段MN 中点Q 的轨迹为圆或者椭圆. 2．已知,,x y z 为正整数，x y z ≤≤，那么方程11112x y z ++=的解有（ ）组 .A 8 .B 10 .C 11 .D 12【解析】方法一、列举法.○111112666=++，○211131212++，○3 111488++，○41111055++，○51113918++ ○61113824++，○71113742++，○81114612++，○91114520++，○1011131015++方法二、x 最小，1x∴最大，36x ∴≤≤，x 以3,4,5,6分类讨论当3x =时，可得11111236y z +=-=，通分可得66y z yz +=，因式分解可得(6)(6)36y z --=，此时需要对36进行分解，则361362183124966=====，故可得37423824(,,)39183101531212x y z ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，同理当4x =时，4520(,,)4612488x y z ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，当5x =时，[](,,)5510x y z = 当6x =时，[](,,)666x y z =3．将16个数：4个1、4个2、4个3、4个4填入44⨯的矩阵中，要求每行、每列正好有2个偶数，则共有______种填法.【解析】我们将题目稍作变形，将本题变为①在44矩阵中染色，黑白二色，要求每行每列正好有两个黑色；②将数字填入这些色块第一步，我们在第一列涂上两个黑色，为方便起见，我们用#代表黑色，用O 代表白色第一列涂两个黑色如图所示##O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这样有42⎛⎫ ⎪⎝⎭种涂法，接下来我们研究第二层，分三种情况涂色：第一种####O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这样的涂法有1种，并且下面两行只有########O O O O O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这1种涂法、 第二种####O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这样的涂法有4种，下面的话有########O O O O O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦、########O O O O O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦这2种，所以第二种共有42种涂法第三种####O O O O ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，这样的涂法有1种，下面的涂法有224=种，所以第三种有14种涂法， 故共有78种涂法接下来填数，故共有887844⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭种填法.方法二、首先确定偶数的位置有多少种选择.第一行两个偶数有24C 种选择，下面考虑这两个偶数所在的列，每列还需要再填一个偶数，设为a ，b 情形一：若a ，b 位于同一行，它们的位置有3种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置唯一确定.情形二：若a ，b 位于不同的两行，它们的位置有6种选择，此时剩下的四个偶数所填的位置有2种选择.所以偶数的不同位置数为24(362)90C ⋅+⋅=种，因此总的填法数位为448890441000C C ⋅⋅=.4．对于复数(0)z z ≠，10z 和40z 的实部和虚部均为不小于1的正数，则在复平面中，z 所对应的向量OP 的端点P 运动所形成的图形面积为_______. 【解析】(田)z 与1z的角相等，设为θ，设||z r =，则cos sin 101010z r ri θθ=+⋅，404040cos sin i z r r θθ=+⋅，(cos ,sin )P r r θθ，令cos a r θ=，sin b r θ=，则有10a ≥，0b ≥○1，22140a a b ≥+，22140b a b ≥+222(20)20a b ⇒-+≤○2，222(20)20a b +-≤○3 即为阴影面积S ，1002(503150)3S π=+-(第一可以用积分的方法，第二可以用面积的方法)方法二：设z x yi =+，其中,x y R ∈.由于24040||z z z =，于是 22221,1101040401,1x y y x yx y ⎧≥≥⎪⎪⎨⎪≥≥++⎪⎩ 如图 弓形面积为2110020(sin )1002663πππ⋅⋅-=-，四边形ABCD 的面积为12(10310)1010031002⋅⋅-⋅=-，于是所求面积为 1002002(100)(1003100)100330033ππ-+-=+-5．下列计算正确的是（ ）.A tan1tan 61tan1213tan1tan 61tan121++=.B tan1tan 61tan1213tan1tan 61tan121++=-.C tan1tan 61tan1tan121tan 61tan1213++= .D tan1tan 61tan1tan121tan 61tan1213++=-【解析】BD3tan1tan13tan 61,tan12113tan113tan1+-==-+，故28tan1tan 61tan12113tan 1+=-，22tan 13tan 61tan12113tan 1-=-，由此可证6．从114的正整数中任选出若干数构成一个集合，该集合中任3个数不构成等差数列，求元素最多的集合的元素个数.【解析】(田)列举1,2,4,5,10,11,13,14（从1~14中删去公差为1时的等比数列，然后相继删去公差为2公差为3，为47．已知tan 43α=，求值sin 4sin 2sin sin cos8cos 4cos 4cos 2cos 2cos cos ααααααααααα+++. 【解析】（金刚）裂项求和，sin(84)sin(42)tan8cos8cos 4cos 4cos 2ααααααααα--++=8．一堆数乘在一起有很多种乘的顺序，如三个数,,a b c 可以有()ab c ，()ba c ，()c ab ，()c ba 四种不同的乘法，记n 个数的乘法为n I ，则（ ） 【解析】AB.A 22I = .B 312I = .C 496I = .D 5120I =根据卡特兰数的定义，可得11121221!(1)!nn n n n n n n I C A C n n C n-----=⋅=⋅⋅=-⋅ 9．,,a b c R ∈，22211a b c a b c ⎧++=⎨++=⎩，那么（ ）.A max 23a =.B max ()0abc = .C min 13a =- .D max 4()27abc =- 【解析】(田)数形结合2221a b c ++=，表示半径为1的球，1a b c ++=表示一个平面（孙）2222222211()(1)122a b c a b c a b c a b c ⎧⎪+=-⎪+=-⎨⎪+-⎪+≥⇒-≥⎩，所以c 范围出来.222222()()(1)(1)ab a b a b c c =+-+=---，所以ab 范围出来.（方法三）由1x y z ++=，2221x y z ++=，可知0xy yz zx ++=.设xyz c =，则x ，y ，z 是关于t的方程320t t c --=的三个实根.令32()f t t t c =--，利用导数可得(0)024()0327f c f c =-≥⎧⎪⎨=--≤⎪⎩，所以4027c xyz -≤=≤，等号显然可以取到.故选项A ,B 都对，因为22222()(1)2()2(1)x y z x y z +=-≤+=-，所以113z -≤≤，等号显然取到.故选项C 错，选项D 对.10．AB 为圆O 的一条弦，P 为圆O 上一点，OC AB ⊥，PA OC M =，PB 交OC 延长线于N ，则以下结论正确的是（ ）.A OMBP 共圆 .B AMBN 共圆 .C AOPN 共圆 .D AOBN 共圆【解析】P选项A ：首先连接OP 、MB ，即让证明POM PBM ∠=∠，则延长BM 交O 于P '，延长NO 交O于点E ，则易知PBM POE ∠=∠，故四点共圆选项B ，由选项A 可看出，当P 在BPE 上从B 向E 运动时，MBA PAB ∠=∠在逐渐增大，而MBN ∠也在逐渐增大，故MBN ∠并不恒等于2π，故四点并不共圆. 选项C ，连接OA 、AN ，则我们要证AOPN 四点共圆，即要证OPB OAN ∠=∠，而,OAN OBN OPN OBP ∠=∠∠=∠，故四点共圆选项D ： OAB 三点不动，显然不共圆 11．F 为BC 中点，1114A E AA =，正方体1111ABCD ABCD -棱长为1，中心为O ，则O BEF V -=（ ）O PAMBNO PAMBNEP '.A 17144 .B 1738 .C 11144 .D 1138【解析】196. 如图111111221696O EBF G EBF E BCC B V V V ---=⋅=⋅=12．问一个正2016边形，任选顶点顺序相连构成的凸多边形中，正多边形有（ ）个 .A 6552 .B 4536 .C 3528 .D 2016【解析】选C .找2016的约数，若/2016n ，则有n 多边形2016n个，则分解522016237=⨯⨯，2016201620162016481632∴++++，即1111111132016(1)(1)(1)201624816323972=++++++++-⨯3528=13．求不定方程26152yx +=*(,)x y N ∈解的个数（ ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 326152yx +=⇒2y层数为6,4，故y为偶数，设2y n=，22615(2)(2)(2)6153541n nnx x x +=⇒-+=⇒⨯⨯，252123n nx x ⎧-=⎪∴⎨+=⎪⎩或215241nn x x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩或232205n nx x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得59x =，12y = 14．O 在ABC ∆内，::4:3:2S AOB S BOC S AOC ∆∆∆=，AO AB AC λμ=+，则λ=____，μ=_____. 【解析】奔驰定理得29，4915．22cos sin 33z i ππ=+，求2322z z z z +=++_______. 【解析】原式21z z +=-=1322i -，1322z i =-+ 16．在N 项有穷数列{}n a 中，满足①1i j N ≤<≤时，i j a a <；②1i j k N ≤<<≤时，i j a a +，i k a a +，j k a a +至少有一项在{}n a 中，则N 的最大值为______.【解析】假设该数列包含正数并且正数项大于3，则取12,,n n n a a a --三项，由②可知12n n n a a a --+=，而假设有第四个正数3n a -出现时，取13,,n n n a a a --，则同理可得31n n n a a a --+=矛盾，故正项至多有三项，同理负项至多有三项，而零当然可以加进来，故至多有七项17．22120()(1sin )n n x x dx ππ--+=⎰______.【解析】22122120()(1sin )(1sin )0n n n n x x dx x x dx ππππ----+=+=⎰⎰18．2|1|||z z +=，求||z 的范围和arg z 的范围. 【解析】几何意义，根据题意画出图形OZ z =,22,1OA z OB z ==+,则在OAB ∆中，2A πθ∠=-，2,OZ OB r OA r ===可得221,1r r r r ->+>r <<，再根据余弦定理求出θ的范围 19．在正三棱锥P ABC -中，ABC ∆的边长为1，设P 到平面ABC 的距离为h ，当h 趋近于正无穷时，异面直线AB 与CP 之间的距离为_____. . 当h →+∞时，CP 趋于与平面ABC 垂直，所求极限为ABC 中AB 20．,,x y z 均为非负实数，满足2221327()(1)()224x y z +++++=，则x y z ++的最大值为______，最小值为______. 【解析】32，32-.222274x y z ⇒++=，求3x y z ++-的最值. 方法二、由柯西不等式可知，当且仅当1(,,)(1,,0)2x y z =时，x y z ++取到最大值32.根据题意，有22213234x y z x y z +++++=，于是213()3()4x y z x y z ≤+++++，解得32x y z -++≥，于是x y z ++的最小值当3(,,))2x y z -=时取到，为32- 21．实数22322()4x y x y +=，则22x y +的最大值为______.【解析】.不等式22223222()44()2x y x y x y ++=≤⋅，221x y ∴+≤ 22．2()()xf x x a e =+有最小值，则220x x a ++=的解的个数为______.【解析】2'(2)xf x a x e ++有最小值，0∴∆>，个数为223．11a =，22a =，216n n n a a a ++=-，下列叙述正确的是（ ）.A 212n n n a a a ++-为定值 .B 2(mod 9)n a lor ≡.C 147n n a a +-为完全平方数 .D 187n n a a +-为完全平方数【解析】验证，11a =，22a =，311a =，464a =，5a =因为22222231221122112211(6)6(6)n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a +++++++++++++++-=--=-+=-+ 21.2n n n a a a ++=-，所以A 正确，由于311a =，故2222121111(6)67n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a ++++++-=--=-+=-，对任意正整数恒成立，所以21147()n n n n a a a a ++-=-，21187()n n n n a a a a ++-=+，故C ，D 正确.24．已知抛物线E ：24y x =，(1,0)F ，过F 作弦交E 于A ，B 两点，M 为AB 的中点，则下列说法正确的是（ ）.A 以AB 为直径的圆与32x =-始终相离 .B ||AB 的最小值为4.C ||AM 的最小值为2 .D 以BM 为直径的圆与y 轴有且仅有一个交点【解析】ABCD25.对于函数21y x =-和ln y x =，下列说法正确的事 .A .二者在(1,0)处有公切线B .二者存在平行切线C .两者只有一个交点D .两者有两个交点 解析：BD26.p 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点，1F ,2F 为左右焦点，下列说法正确的是 .A .a =时，满足1290F PF ∠=的p 点有2个B .a >时，满足1290F PF ∠=的p 点有4个C .124PF F C a <D .1222PF F a S ≤ 【解析】焦点三角形，2tan p S C y S bc θ=⋅=≤，p 为椭圆上下顶点时，12PF F C 最大，22222b c a S bc +≤≤=，12224PF F C a c a =+<.27.随机变量ξ的分布列为()(1,2,,10)k P k a k ξ===，则下列说法正确的是 .A .若1210,,,a a a 成等差数列，则5615a a += B .若1210,,,a a a 满足1(1,2,,9)2n n a n ==，则10912a =C .若2()k P k k a ξ≤=，则11(1,2,,10)10(1)n na n n ==+D .若1(1)n n na n a +=+，则1110(1)n na n =+28.甲，乙，丙，丁四人参加比赛并有两个获奖，以下是四人对获奖人的猜测： 甲：获奖者在乙，丙，丁中 乙：我未获奖，丙获奖 丙：甲丁有一人获奖 丁：乙说的是正确的已知四人中有两个人的猜测是正确的那么获奖人是 . 解析，若乙对，则丁对，甲对，故乙错， 29.下列能够成唯一ABC ∆的是 .A .1a =，2b =，c Z ∈B .150A =，sin sin sin sin a A cC C b B +=C .cos sin cos cos()cos sin 0A B C B C B C ++=D .a =，1b =，60A =【解析】A .2c =，正确；B .正弦定理，余弦定理，135B =，错误；第 11 页 共 11 页 C .cos sin()0A B C -=，60C =，所以为直角或等边三角形，错误；D .显然成立，30B ∠=，正确.31.甲，乙，丙，丁四个人进行网球赛规定甲乙一组，丙丁一组先打，胜者再打决胜局，四人相互对战对战时胜率如图，求甲获胜的概率为 .【解析】0.165根据概率的乘法公式，所求概率为0.3(0.50.30.50.8)0.165⋅⋅+⋅=.32.已知实数a ，b ，c 满足1a b c ++=414141a b c ++++间（ ）..A (11,12) .B (12,13) .C (13,14) .D (14,15)33. sin sin sin cos cos cos A B C A B C ++>++为ABC 为锐角形的（ ）..A 充要非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件【解析】B .必要性：由于sin sin sin sin()sin cos 12B C B B B B π+>+-=+>，类似的有sin sin 1A C +>,sin sin 1A B +>，于是sin sin sin sin()sin()sin()A B C B C C A A B ++=+++++ (sin sin )cos cos cos cos cycB C A A B C =+>++∑.不充分性：当2A π=，4B C π==时，不等式成立，而ABC 并非锐角三角形.34.已知集合12{,,,}n A a a a =，任取1i j k n ≤<<≤，i j a a A +∈，j k a a A +∈，k i a a A +∈这三个式中至少有一个成立，则n 的最大值（ ）..A 6 .B 7 .C 8 .D 9【解析】B .不妨设12n a a a >>>.若集合A 中的正数的个数大于等于4，由于23a a +和24a a +均大于2a ，于是有23241a a a a a +=+=，所以34a a =，矛盾.所以集合A 中至多有3个正数，同理可知集合A 至多有3个负数.取{3,2,1,0,1,2,3}A =---，满足题意，所以n 的最大值为7.。
清华大学2017年暑期学校测试真题
清华大学暑期学校测试真题1. 已知()()()221ax f x =+b,g x =f x x c-+，其中a ，b ，c 为已知参数，且a≠0，c>0。
则以下判断中正确的有______。
①f(x)关于点(0，b )成中心对称； ①f(x)可能在(0，+∞)上单调递增； ①f(x)有界；①g(x)=0的解可能为{±1，±2}【解答】① 函数f(x)的定义域为R ，且()()2f x +f -x b =， 于是函数f(x)关于(0，b)中心对称，命题正确。
① 当x > 0时，有()a f x b c x x=++，①①，±2而(f 7722.情形二1a ≠ 0，则n a ≠0(n①N*)，根据题意，111(1)n nn n a a +-+=-， 于是1111n n a a -=-， 因此1111n a n a =+-，于是，*11,a k N k≠-∈。
综上所述，1a 的取值范围是*1|,N R x x k x k ⎧⎫≠-∈∈⎨⎬⎩⎭，3. 已知()2221f x =x x a --+，若存在0x ，使得(){}00[,2]|0x x x f x +⊆≤，则a 的取值范围是______。
4. 上，5. 2P于是104c c a ≥-> 解得314c a <≤因此双曲线的离心率的取值范围是31,4⎛⎤ ⎥⎝⎦，6. 曲线C 3=，以下判断中正确的有______。
①曲线C 过点(0，0)；①曲线C 上的点的纵坐标的取值范围是[-2，2] ①曲线C 关于x 轴对称；①P 为曲线C 上的动点，A ，B 的坐标为(0，1)和(0，-1)，则①PAB 的面积的最大值为32【解答】记(),f x y =①①是2-①①7. 且设在114334S -ABC V =ABH SC ⋅⋅=⋅=8. 已知一个四棱锥的三视图如下，该四棱锥的四个侧面中，则直角三角形的个数为______。
2016年清华大学领军计划招生数学试题
ຫໍສະໝຸດ 10. A E四等分点
F B1 .O D
C1
三等分点
C
A B 1 1 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD A1 B1C1 D1 中 ， A1 E AA1 , B1 F B1G ,O 为 中 心 , 求 体 积
4
3
V三棱锥O BEF
11.
P A
正三棱锥，高为 h，当 h→ 时，AC 与 PB 的距离， ΔABC 为边长的正三角形 B
1 i i k N ，ai a j , a j ak , ak ai 至少有一项在 { an } 中， 4.各项均不相同的数列 { an } 中， N 的最大值为
A.6 5.已知实数 x , y, z 满足 A. ( xyz ) max 0 B.7 C.8 D.9 （ C. zmin ） （ ）
C 12.有 4 个 1，4 个 2，4 个 3，4 个 4，填入 4 4 的方格中，保证每行每列均有两个偶数有几种填 法?
13.
sin sin sin sin ，求 24 cos4cos3 cos3cos2 cos2cos cos
14.三角形 AN
D.无法确定
1 1 x ， l2 ： y x 2 2
x2 y2 1 ，C 上任意一点 P，过 P 做 l1 的平行交 l 2 a 2 b2
于点 M，过 P 做 l 2 的平行线交 l1 于点 N， MN 为定值，则 A. a=2b B. a=3b C. A=5b D. A=4b
8.将 16 个数：4 个 1、4 个 2、4 个 3、4 个 4 填入一个 4 4 的矩阵中，要求每行、每列正好有 2 个偶数，则共有___________种填法。 9.已知 O 为 ABC 内一点，且满足 SAOB : SAOC : SBOC 4 : 3 : 2 ， AO AB AC ， 则 ___________， _________。
清华大学暑期学校学业水平测试模拟题 试卷
2017清华大学暑期学校学业水平测试 数学模拟题（满分200分）一、单项选择题：（共8小题，每小题6分，共48分）1．若2a b +=，则22222()8()a b a b --+的值是（ ）A ．-16B ．0C ．6D ．82．方程4422440x y x y --+=表示的图像是（ ）A ．两条平行直线B ．两条相交直线C ．两条平行直线与一个圆D ．两条相交直线与一个圆3．设12,C C 是平面上两个彼此外切且半径不相等的定圆，动圆3C 与12,C C 均外切，则动圆3C 的圆心轨迹为（ ）A ．直线B ．圆或椭圆C ．抛物线D ．双曲线的一支4．已知sin 2()sin 2n αγβ+=，则tan()tan()αβγαβγ++=-+（ ） A ．11n n -+ B ．1n n + C ．1n n - D ．11n n +- 5．已知,,αβγ满足：cos cos cos sin sin sin 0αβγαβγ++=++=,则（ ）A ．sin 2sin 2sin 21αβγ++=B ．cos3cos3cos30αβγ++=C ．cos 2cos 2cos 20αβγ++=D ．sin3sin3sin30αβγ++=6．数列{}n a 共有11项，10a =，114a =，且11k k a a +-=，1,2,3,,10k =. 满足这些条件的不同的数列个数为（ ）A ．100 B. 120 C. 140 D. 1607．设有三角形000A B C ，做它的内切圆，三个切点确定一个新的三角形111A B C ，再做三角形111A B C 的内切圆，三个切点确定三角形222A B C ，以此类推，一次一次不停地做下去，可以得到一个三角形的序列，它们的尺寸越来越小，则最终这些三角形的极限情况是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．与原三角形000A B C 相似D ．以上都不对8．三角形ABC 被一条直线分成两部分，若这两部分的周长和面积均相等，则这条直线过三角形（ ）A ．外心B ．垂心C ．重心D ．内心 二、填空题（共8小题，每小题8分，共64分）9．外接球的半径为1的正四面体的棱长为________．10．设(0,)x π∈，则函数()f x =________．11．已知曲线C 的极坐标方程2sin ρθ=，设直线l 的参数方程32545x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），l 与x 轴的交点为M ，N 是曲线C 上一动点，则MN 的最大值是________．12．一个梯形上下底的长度分别为1和4，又两条对角线长为3和4，则梯形的面积是________．13．圆内接四边形ABCD 中，136,80,150,102AB BC CD DA ====则它的外接圆直径为________． 14．54张扑克牌，将第1张扔掉，第2张放到最后，第3张扔掉，第4张放到最后，依次下去，最后手上只剩下一张牌，则这张牌在原来的牌中从上面数的第________张．15．已知函数()2f x x ax b =++与y 轴交于点A ,与x 轴交于点,B C ．若ABC ∆外心在直线y x =上，则a b +=________．16．有四副动物拼图，每副一种颜色且各不相同，每副都固定由同一动物的4个不同部分（如头、身、尾、腿）组成．现在拼图被打乱后重新拼成4副完整的拼图，但每一副都不是完全同色的，则符合上述条件的不同的打乱方式种数是________．三、解答题（共88分）：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．（16分）设()f x 为实函数，满足()f c c =的实数c 称为()f x 的不动点，设()x f x a =（0a >且1a ≠）．若()f x 恰有两个互不相同的不动点，求a 的取值范围． 18．（8+14=22分）已知椭圆的两个焦点1:(1,0)F -、2(1,0)F，且与直线y x =相切；（1）求椭圆的方程；（2）过焦点1F 作相互垂直的两条直线12,l l ，分别交椭圆于,P Q 及,M N ,求四边形PMQN 的面积的最大值和最小值．19．（6+10+10=26分）北京采用摇号买车的方式，有20万人摇号，每个月有2万个名额．（1）如果每个月摇上的退出摇号，没有摇上的继续进入下月摇号，求每个人摇上需要的平均时间；（2）如果每个月都有2万人补充进摇号队伍，则平均每个人摇上需要多长时间；（3）如果交管所可以控制摇上号的人的比例，使其成为每个季度第一个月摇上的概率为110，第二个月为19，第三个月为18，则平均每个人摇上需要多长时间． 20．（12+12=24分）设(,)(1)(1)11x y f x y x y y x=++--++，,[0,1]x y ∈． （1）若t =01t ≤≤），求(,)f x y 的最小值（用t 表示）；（2）求(,)f x y 的最小值．。
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（Ⅰ）求 m 2 与 n 2 的关系； （Ⅱ）存在一点 Q a,0 a 0 ,使得 QM 的最小值是
7 ，求 a 的值。 2
8. 数列 an 满足 an 1
1 n 2 , a1 2 。已知 an 的通项可以表示成 an 1
A sin n B 的形式，求 an 的一个表达式。 9. 已知 A x x 2 2 x 3 0 , B x x 2 ax b 0 , A B R ， A B 3,5 ，求 a b 的值。 10. 圆心在 0,1 的单位圆沿 x 轴正向滚动，初始时刻 P0,0 。当圆心滚动至 ( ,1) 2
4. 已知椭圆 C :
AC BD ， 点， 直线斜率为 1 ， 过 F1 做直线与椭圆交于 B 、 求四边形 ABCD D 两点，
的Байду номын сангаас积。
1 x M ， MN x f M x f N x 1 ， 5. 定义 f M 1 x M A x x k , k N ,1 k 2016， B x x 2k , k N 。
（Ⅰ）求 f A 2016 ， f B 2016 ； （Ⅱ）设 card X 为集合 X 的元素个数，求 J card XA card XB 的最小值。
6. 在立方体 ABCD A1 B1C1 D1 中， 在 A1 B1C1 D1 面内有一点 M ， 使得 BM ∥面 AD1C ,
求 tan D1MD 的最大值。
7. 已知圆 C : x 2 y 2 16 ， A 、 B 为圆与 x 轴的交点 x A xB 。 l1、l2 是 A 、 B 处
的切线， P 为圆上一个不与 A 、 B 重合的点，过 P 点的切线交 l1、l2 于 C 、 D 两 点。 AC 与 BD 交于点 M m, n 。
12. 已知等差数列 an 及其前 n 项的和 S n , S105 2016 ， S 2016 105 ，求 S 2121 。
2
时，求此时的 OP 。
11 . 已知 f x A sin x B ，部分自变量、相位、函数值的取值如下表。 x
3
0 1
7 12
n
f x
2 3
2
6
（Ⅰ）求 f x 的表达式； （Ⅱ）求 f x 的增区间； （Ⅲ）求 f x 在 0, 内的所有零点。
2016 年清华大学暑期学校 数学真题
2016 年清华大学暑期学校数学真题
1. 已知 0 log a 1 ，且 a 1 ，求 a 的取值范围。
2. 在锐角 ABC 中， a 7 ， b 3 ， sin A 7 sin B 2 3 ，求三角形的面积。 3. L 为 C : y a ln x 在 l , a 处的切线。 x （Ⅰ）求 L 的解析式； （Ⅱ）求证：当 a 1 时， L 除切点外恒在 C 的上方。 x2 y2 C两 过 F2 做直线与椭圆交于 A 、 1 的左右焦点为 F1 和 F2 ， 3 2