圆锥曲线基础例题解析
圆锥曲线例题展示
1．（Ⅰ）已知椭圆的左右焦点分别为)0,1(),0,1(21F F -，且经过点)4
14
,
21
(P ，求该椭圆的标准方程；（Ⅱ） 已知某椭圆过点)2
6
,
1(),1,2(--，求该椭圆的标准方程. 分析：求椭圆方程可采用待定系数法，首先根据焦点位置设出椭圆方程，将已知条件代入方程求得参数值，从而确定椭圆方程 析：（Ⅰ）a PF PF 2224
2
3425161441161449||||21==+=+++=
+，又椭圆焦点为)0,1(±，所以椭圆方程为12
22
=+y x . （Ⅱ）设椭圆方程为12
2
=+ny mx ，则有12
3
,12=+
=+n m n m ，解得2
1
,41==n m ，所以椭圆方程为12422=+y x . 2．已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，
20y -+=平
行，若点(2,3)在双曲线上，求双曲线的标准方程。
析：依题意可设出曲线方程为2
2
3
y x λ-=，将点（2，3）的坐标代入可求得λ的值 试题解析：由 3=a b 及19422=-b a 得3,12
2==b a 得双曲线方程为1322=-y x 3．设21,F F 分别为椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右两个焦点．
（Ⅰ）若椭圆C 上的点21,)2
3
,1(F F A 到两点的距离之和等于4， 求椭圆C 的方程和焦
点坐标；
（Ⅱ）设点P 是（Ⅰ）中所得椭圆上的动点，的最大值求||),2
1
,0(PQ Q 【解析】
由椭圆上的点A 到F 1、F 2两点的距离之和是4，得2a=4，即a=2．
又点.1,31)23(21
,)23,1(2222
2===+c b b
A 于是得因此在椭圆上
所以椭圆C 的方程为).0,1(),0,1(,134212
2F F y x -=+焦点 （Ⅱ）设134),,(22=+y x y x P 则223
44y x -=∴ 222222141117
||()423434
PQ x y y y y y y =+-=-+-+=--+
5)2
3
(312++-=y
又33≤≤-y 5||,2
3
max =-=∴PQ y 时当
4．已知()2,0A ，M 是椭圆22
2:1x C y a
+=（其中1a >）的右焦点，P 是椭圆C 上
的动点．（Ⅰ）若M 与A 重合，求椭圆C 的离心率； （Ⅱ）若3a =，求PA 的最大值与最小值．
解析：（Ⅰ）由条件可知2c =，又1b =，所以2415a =+=
，即a =
所以离心率为5e =
=．4分 （Ⅱ）若3a =，则椭圆方程为2
219
x y +=，设(,)P x y ， 则22
2
2
2
2891
||(2)(2)1()(33)9942
x PA x y x x x =-+=-+-
=-+-≤≤8分 故当9
4
x =
时min ||PA =；当3x =-时max ||5PA =．12分（若未说明x 的取值扣1
分）
考点：1．椭圆的标准方程及几何性质；2．二次函数的最值．
5
．已知离心率为2的椭圆2222:1x y E a b +=(0)a b >>
经过点(1,2
A .
（1）求椭圆E 的方程；（2）若不过点A
的直线:2
l y x m =
+交 椭圆E 于,B C 两点，求ABC ?面积的最大值.
解析：
（Ⅰ）因为
c a =,
所以设a =，c n =，则b n =， 椭圆E 的方程为22
2212x y n n +=.代入点A 的坐标得2211122n n
+=，2
1n =，所以椭圆E 的方程为22
+=12
x y .
（Ⅱ）设点B ，C 的坐标分别为11(,)x y ，22(,)x y ，
由222
+2=2
y x m x y ?=+????
得2
2212()22x x m ++=
，即2210x m +-=，
12x x +=，2121x x m ?=- 2224(1)0m m ?=-->，22m <.
BC =
=
= 点A 到直线l
的距离d =
ABC ?的面积12S BC d =
?=
=
2
2
2222
m m +-≤
=222m m =-，即21m =时等号成立. 所以当1m =±时，ABC ?
面积的最大值为
2
. 考点：（1）椭圆的方程；（2）直线与椭圆的综合问题.
【方法点睛】解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程，有的题设条件已知点，而斜率未知；有的题设条件已知斜率，点不定，可由点斜式设直线方程.第二步：联立方程：把所设直线方程与椭圆的方程联立，消去一个元，得到一个一元二次方程.第三步：求解判别式?：计算一元二次方程根.第四步：写出根与系数的关系.第五步：根据题设条件求解问题中结论.
6．已知双曲线C 与椭圆22
184
x y +=
（1）求双曲线C 的方程；（2
）若直线:l y kx =+C 有两个不同的交点A 和B ,且2OA OB ?>（其中O 为原点）,求k 的取值范围．
【解】：（1）解：设双曲线的方程为)0,0(122
2
2>>=-b a b y a
x 2,3==c a 1=∴b , 故双曲线方程为2
213
x y -=． （2）解：将2+=kx y 代入
2
213
x
y -=得0926)31(22=---kx x k 由???>?≠-00312k 得,312≠k 且12
)2)(2(21212121+++=+kx kx x x y y x x =2)(2)1(21212++++x x k x x k
2231262319)
1(2
22>+-+--+=k k k k k ,得.331
2< 又21k <，21 13k ∴<<,即)1,3 3()33,1(?- -∈k 考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程 7．已知抛物线x 2 =4y 的焦点为F ，P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点 （Ⅰ）当|PF|=2时，求点P 的坐标；（Ⅱ）求点P 到直线y=x ﹣10的距离的最小值． 【解】：（Ⅰ）由抛物线x 2 =4y 的焦点为F ，P 为该抛物线在第一象限内的图象上的一个动点，故设P （a ， ），（a ＞0），∵|PF|=2，结合抛物线的定义得， +1=2， ∴a=2，∴点P 的坐标为（2，1）； （Ⅱ）设点P 的坐标为P （a ， ），（a ＞0）， 则点P 到直线y=x ﹣10的距离d 为=， ∵ ﹣a+10=（a ﹣2）2 +9，∴当a=2时， ﹣a+10取得最小值9， 故点P 到直线y=x ﹣10的距离的最小值= = ． 8．已知椭圆C:)0(12222>>=+b a b y a x 短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角 形，椭圆C 上任意一点到椭圆左右两个焦点的距离之和为4. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）椭圆C 与x 轴负半轴交于点A ，直线过定点()0,1-交椭圆于M ，N 两点，求AMN ?面积的最大值. 解：（Ⅰ）由题意2,a b =又24a =，所以2a =，1b = 椭圆方程为2 21 4x y += （Ⅱ）A 点坐标为(-2,0)，直线MN 过定点(-1,0)， ∴令直线MN 的方程为1-=my x ,联立??? ??=+-=14 1 2 2y x my x 消去x 得032)4(2 2 =--+my y m ，12224m y y m ∴+= +， 12 23 4 y y m -=+， 21221214)(21 21y y y y y y AD S AMN -+=-= ? 4 12 )4(42122 22+++=m m m 222)4(32++=m m , 令32 +=m t ，3≥t 23 23 13122112 )1(2 2 = ++≤++=+=∴?t t t t S AMN ， 当且仅当332=+=m t 即0=m 时，AMN ?面积的最大值为2 3 . 考点：圆锥曲线椭圆的方程以及椭圆与直线位置关系应用. 9．已知：椭圆 （a ＞b ＞0），过点 ， 的直线倾斜角为 ，原点到该直线的距离为． （1）求椭圆的方程；（2）斜率大于零的直线过 与椭圆交于E ，F 两点，若 ，求直线EF 的方程． 【解】（1）由题意，，，得，b=1， 所以椭圆方程是： （2）设EF ：x=my ﹣1（m ＞0）代入，得（m 2+3）y 2 ﹣2my ﹣2=0， 设 ， ，由 ，得y 1=﹣2y 2． 由， 得，∴m=1，m=﹣1（舍去），（没舍去扣1分） 直线EF 的方程为：x=y ﹣1即x ﹣y+1=0 10．已知圆:C 22 40x y x ++=，相互垂直的两条直线1l 、2l 都过点(,0)A t . （Ⅰ）若圆心为1(,)2 M m 的圆和圆C 外切且与直线2x =相切，求圆M 的方程； （Ⅱ）若1l 、2l 截圆C t 的值. 解析：圆:C 22 40x y x ++=即2 2 (2)4x y ++=,圆心为(2,0)-,半径为2 (Ⅰ)设圆M 的方程为2221 ()()2 x y m r -+-= 依题意得2221221(2)(2)2 r m r ?-=????++=+?? 解得32m r ?=??=?? 或32m r ?=? ?= ?? ∴圆M 的方程为2219()(24x y -+= 或2219()(24 x y -+= （Ⅱ）法一: 显然，1l 、2l 的斜率都是存在的，设1:()l y k x t =-，则21 :()l y x t k =-- 则由题意，得圆心到直线1l 、2l 2 = ∴ = = 解得1=k 即|2|1t +=,解得3t =-或1- 法二: 设圆C 的圆心为C ，1l 、2l 被圆C 所截得弦的中点分别为F E ,， 则||||2 CE CF == = 因为1l 2l ⊥, 所以四边形AECF 是正方形， 所以|||12 AC CE = == 即|2|1t +=,解得3t =-或1- 11．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点为(1,0)F ， 且点(-在椭圆C 上．⑴求椭圆C 的标准方程； ⑵已知动直线l 过点F 且与椭圆C 交于,A B 两点．试问x 轴上是否存在定点Q ,使得 7 16 QA QB =- 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 解析：（1）由题知，1c = 根据椭圆的定义得：22 a == 即a = ，2211b =-=，∴椭圆C 的标准方程为2 212 x y += （2）假设在x 轴上存在点(,0)Q m ，使得7 16 QA QB =- 恒成立． ① 当直线 l 的斜率为0时， A ，(B ． 则7 ,0)(2,0)16 m m --=- 解得 54m =± ． ② 当直线l 的斜率不存在时，A ，(1, B ． 则7 (1(1,16 m m ---=- 解得 54m =或34m = ③ 由①②可知当直线l 的斜率为0或不存在时，5 4 m =使得716QA QB ?=-成立． 下面证明54m = 即5 (,0)4 Q 时716QA QB ?=-恒成立． 设直线l 的斜率存在且不为0时，直线l 方程为(1)y k x =-，11(,)A x y ,22(,)B x y 由2 2(1)1 2 y k x x y =-+=?????，可得2222(21)4220k x k x k +-+-= ∴ 2212122 2422,2121 k k x x x x k k -+==++ 11(1)y k x =-，22(1)y k x =- ∴ 212121212(1)(1)[2()1] y y k x k x k x x x x ?=-?-=-++222 2 222 2241212121k k k k k k k ??--=-+=??+++?? ∴ QA QB ?= 1122121212 55525 (,)(,)()44416 x y x y x x x x y y -?-=-+++222222225425214211621k k k k k k --=-?+++++7 16 =- 综上所述：在x 轴上存在点5 (,0)4 Q ，使得716QA QB ?=-恒成立． 考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程 12．已知双曲线22 22:1x y C a b -=()0,0a b >> 4． （Ⅰ）求双曲线的标准方程； （Ⅱ）过点()0,1，倾斜角为0 45的直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，O 为坐标原 点，求OAB ?的面积． 解：(Ⅰ)依题意 1,2,a b c ===∴双曲线的标准方程为2 2 14 y x -=． (Ⅱ)直线l 的方程为1y x =+ 设11(,)A x y 、22(,)B x y 由22 1 44 y x x y =+?? -=?可得2 3250x x --= 由韦达定理可得 122 3 x x += ，1253x x =- 即 3 AB === 原点到直线l 的距离为2 d = 于是 114 22323 OAB S AB d ?= ??=??= ∴OAB ?的面积为4 3 考点：1双曲线的方程,简单几何性质;2直线与双曲线的位置关系问题. 13．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F （）， 且过点2,0D （） . （1）求该椭圆的标准方程； （2）设点），（2 1 1A ，若P 是椭圆上的动点，求线段PA 的中点M 的轨迹方程. 【解析】 (1)由已知得椭圆的半长轴2=a ，半焦距3= c ，则半短轴1=b . 又椭 圆的焦点在x 轴上, ∴椭圆的标准方程为1422 =+y x . (2)设线段PA 的中点为,M x y （） ,点P 的坐标是）（00y ,x ， 由??? ????+= +=2212100y y x x ，得??? ??-=-=21 21200y y x x ，由点P 在椭圆上,得121241222=-+-）（）（y x , ∴线段PA 中点M 的轨迹方程是14 14212 2=-+-）（）（y x . 考点：1、椭圆的标准方程；2、相关点法求动点的轨迹.