函数的解析式和定义域
函数的定义域及函数的解析式解读
函数的定义域及函数的解析式因为函数是现实世界对应关系的抽象或者说是对应关系的数学模型，它重要而且基本，不仅是数学研究的重要对象，也是数学中常用的一种数学思想，所以全面正确深刻理解函数概念则是我们教学的关键.其中函数的定义域是研究函数及应用函数解决问题的基础，即处理函数问题必须树立“定义域优先”这种数学意识.熟练准确地写出函数表达式是对函数概念理解充分体现.下面，针对函数的定义域及函数解析式做进一步探讨.一、函数的定义域［例1］求下列函数的定义域(1)ｙ＝－221x ＋１ (2)ｙ＝422--x x (3)xx y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x(5)ｙ＝3142-+-x x (6)ｙ＝)13(113-+--x x x (7)ｙ＝x 11111++(8)ｙ＝3-ax （ａ为常数）分析：当函数是用解析法给出，并且没有指出定义域，则使函数解析式有意义的自变量的全体所组成的集合就是函数的定义域.解：(1)ｘ∈R(2)要使函数有意义，必须使ｘ２－４≠０得原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≠２且ｘ≠－２｝(3)要使函数有意义，必须使ｘ＋｜ｘ｜≠０得原函数定义域为｛ｘ｜ｘ＞０｝(4)要使函数有意义，必须使⎩⎨⎧≥-≥-0401x x 得原函数的定义域为｛ｘ｜１≤ｘ≤4｝(5)要使函数有意义，必须使⎪⎩⎪⎨⎧≠-≥-03042x x 得原函数定义域为｛ｘ｜－２≤ｘ≤２｝(6)要使函数有意义，必须使⎩⎨⎧≠-≠-01301x x 得原函数的定义域为｛ｘ｜ｘ≠31且ｘ≠１｝(7)要使函数有意义，必须使⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥++≠++≠+≠01111011110110x x x x 得 原函数的定义域为｛ｘ｜ｘ＜－１或ｘ＞０或－21＜ｘ＜０} (8)要使函数有意义，必须使ａｘ－３≥０得当ａ＞0时，原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≥a3｝ 当ａ＜0时，原函数定义域为｛ｘ｜ｘ≤a3｝ 当ａ＝０时，ａｘ－３≥０的解集为∅，故原函数定义域为∅评述：(1)求函数定义域就是求使函数解析式有意义的自变量取值的集合，一般可通过解不等式或不等式组完成.(2)对于含参数的函数定义域常常受参数变化范围的制约，受制约时应对参数进行分类讨论.例1中的(8)小题含有参数ａ，须对它分类讨论.［例2］(1)已知函数ｆ（ｘ）的定义域为(0，1)，求ｆ（ｘ２）的定义域.(2)已知函数ｆ（２ｘ＋１）的定义域为(0，1)，求ｆ（ｘ）的定义域.(3)已知函数ｆ（ｘ＋１）的定义域为［－２，３］，求ｆ（２ｘ２－２）的定义域.分析：(1)求函数定义域就是求自变量ｘ的取值范围，求ｆ（ｘ２）的定义域就是求ｘ的范围，而不是求ｘ２的范围，这里ｘ与ｘ２的地位相同，所满足的条件一样.(2)应由0＜ｘ＜1确定出２ｘ＋１的范围，即为函数ｆ（ｘ）的定义域.(3)应由－２≤ｘ≤３确定出ｘ＋１的范围，求出函数ｆ（ｘ）的定义域进而再求ｆ（2ｘ２－２）的定义域.它是(1)与(2)的综合应用.解：(1)∵ｆ（ｘ）的定义域为(0，1)∴要使ｆ（ｘ２）有意义，须使0＜ｘ２ｘ＜０或０＜ｘ＜１∴函数ｆ（ｘ２ｘ｜－１＜ｘ＜０或０＜ｘ＜１}(2)∵ｆ（２ｘ＋１）的定义域为（０，１），即其中的函数自变量ｘ的取值范围是0＜ｘ＜１，令ｔ＝２ｘ＋１，∴１＜ｔ＜３，∴ｆ（ｔ）的定义域为1＜ｘ＜３∴函数ｆ（ｘ）的定义域为｛ｘ｜１＜ｘ＜３}(3)∵ｆ（ｘ＋１）的定义域为－２≤ｘｘ令ｔ＝ｘ＋１，∴－１≤ｔ≤４∴ｆ（ｔ）的定义域为－１≤ｘ≤4即ｆ(ｘ)的定义域为－１≤ｘ≤４，要使ｆ（２ｘ２－２）有意义，须使－１≤２ｘ2－２≤４， ∴－3≤ｘ≤－22或22≤ｘ≤3｝ 函数ｆ（２ｘ２－２）的定义域为｛ｘ｜－3≤ｘ≤－22或22≤ｘ≤3｝ 注意：对于以上(2)(3)中的ｆ（ｔ）与ｆ(ｘ)其实质是相同的.评述：(1)对于复合函数ｆ ［ｇ（ｘ）］而说，如果函数ｆ（ｘ）的定义域为A ，则ｆ ［ｇ（ｘ）］的定义域是使得函数ｇ（ｘ）∈Ａ的ｘ取值范围.(2)如果ｆ ［ｇ（ｘ）］的定义域为A ，则函数ｆ(ｘ)的定义域是函数ｇ(ｘ)的值域.二、函数的解析式［例1］(1)已知ｆ（x ＋１）＝ｘ＋２x ，求ｆ(ｘ)的解析式(2)已知ｆ（ｘ＋x 1）＝ｘ３＋31x，求ｆ(ｘ)的解析式 (3)已知函数ｆ（ｘ）是一次函数，且满足关系式3ｆ（ｘ＋1）－２ｆ（ｘ－1）＝２ｘ＋１７，求ｆ(ｘ)的解析式分析：此题目中的“ｆ”这种对应法则，需要从题给条件中找出来，这就要有整体思想的应用.即：求出ｆ及其定义域. 解：(1)设ｔ＝x ＋１≥１，则x ＝ｔ－１，∴ｘ＝（ｔ－１）２∴ｆ（ｔ）＝（ｔ－１）２＋２（ｔ－１）＝ｔ２－１（ｔ≥１）∴ｆ（ｘ）＝ｘ２－１（ｘ≥１）(2)∵ｘ３＋31x ＝（ｘ＋x 1）（ｘ２＋21x－１） ＝（ｘ＋x 1）［（ｘ＋x1）２－３］∴ｆ（ｘ＋x 1）＝（ｘ＋x 1）［（ｘ＋x1）２－３］ ∴ｆ（ｘ）＝ｘ（ｘ２－３）＝ｘ３－３ｘ∴当ｘ≠0时，ｘ＋x 1≥２或ｘ＋x1≤－２ ∴ｆ（ｘ）＝ｘ３－３ｘ（ｘ≤－２或ｘ≥２）(3)设ｆ（ｘ）＝ａｘ＋ｂ则３ｆ（ｘ＋１）－２ｆ（ｘ－１）＝３ａｘ＋３ａ＋２ｂ＋２ａ－２ｂ＝ａｘ＋ｂ＋５ａ＝2ｘ＋１７∴ａ＝２，ｂ＝７∴ｆ（ｘ）＝２ｘ＋７注意：对于(1)中ｆ（ｘ）与ｆ(ｔ)本质上一样.评述：“换元法”“配凑法”及“待定系数法”是求函数解析式常用的方法，以上3个题目分别采用了这三种方法.值得提醒的是在求出函数解析式时一定要注明定义域.［例2］(1)甲地到乙地的高速公路长1500公里，现有一辆汽车以100公里／小时的速度从甲地到乙地，写出汽车离开甲地的距离S (公里)表示成时间ｔ(小时)的函数.分析：从已知可知这辆汽车是匀速运动，所以易求得函数解析式，其定义域由甲乙两地之间的距离来决定.解：∵汽车在甲乙两地匀速行驶，∴Ｓ＝１００ｔ∵汽车行驶速度为100公里／小时，两地距离为1500公里，∴从甲地到乙地所用时间为ｔ＝1001500小时 答：所求函数为：Ｓ＝１００ｔ ｔ∈［０，１５］(2)某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果该乡镇人口平均每年增长1.２％，粮食总产量平均每年增长4%，那么ｘ年后若人均一年占有ｙ千克粮食.求出函数ｙ关于ｘ的解析式.分析：此题用到平均增长率问题的分式，由于学生尚未学到，所以还应推导. 解：设现在某乡镇人口为A ，则1年后此乡镇的人口数为A (１＋１.２％)，2年后的此乡镇人口数为A （１＋１.２％）２…经过ｘ年后此乡镇人口数为A (１＋１.２％)ｘ.再设现在某乡镇粮食产量为B ，则1年后此乡镇的粮食产量为B (1＋４％)，2年后的此乡镇粮食产量为B （１＋４％）２…，经过ｘ年后此乡镇粮食产量为Ｂ（１＋４％）ｘ，因某乡镇现在人均一年占有粮食为360 ｋｇ，即A B ＝３６０，所以ｘ年后的人均一年占有粮食为ｙ，即ｙ＝x xx x A b %)2.11(%)41(360%)2.11(%)41(++=++（ｘ∈N *评述：根据实际问题求函数解析式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定自变量后去寻求等量关系，求得函数解析式后，还要注意函数定义域要受到实际问题的限制.。
函数解析式、定义域、值域
的充要条件是
m 0
(6m)2
4m(m
8)
0
0
m
1
综上可知0≤m≤1。 注:不少同学容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问
题。
例4 已知函数 f (x) kx 7 kx 2 4kx 3
三：换元法
• 通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无 理函数化为代数函数来求函数值域的方法 (关注新元的取值范围).
• 例3 求函数 y=x- x-1 的值域:
注：换元法是一种非常重工的数学解题方法， 它可以使复杂问题简单化，但是在解题的 过程中一定要注意换元后新元的取值范围。
3、求下列函数的值：
是：由a≤x≤b，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例2 已知f(2x+1)的定义域为［1,2］,求f(x)的定义域。
解：因为1≤x≤2, 2≤2x≤4,
3≤2x+1≤5. 即函数f(x)的定义域是{x|3≤x≤5}。
(3)已知f(2x-1)的定义域是[0,1],求f(3x)的定义域。 解:因为0≤x≤1,0≤2x≤2,-1≤2x-1≤1.
所以函数f(3x)的定义域是-1≤3x≤1即 {x|-1/3≤x≤1/3}。
例3 已知函数 y mx 2 6mx m 8
的定义域为R求实数m的取值范围。
分析：函数的定义域为R，表明mx2-6mx+8+m≥0，使一切x∈R 都成立，由x2项的系数是m，所以应分m=0或m≠0进行讨论。
不小于零。 4.零的零次幂没有意义,即f(x)=x0，x≠0。
常见函数解析式定义域值域的求法总结完整版
常见函数解析式定义域值域的求法总结完整版函数是一个数学概念，描述了一种输入和输出之间的关系。
函数解析式则用代数表达式的形式表示函数的输入和输出之间的关系。
定义域是函数中所有可能的输入值的集合，而值域是函数中所有可能的输出值的集合。
常见的函数解析式包括线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等。
下面将逐个介绍这些函数解析式的定义域和值域的求法。
1. 线性函数：线性函数的一般形式是y=ax+b，其中a和b是常数。
线性函数的定义域是实数集，即(-∞, +∞)，而值域也是实数集。
2. 二次函数：二次函数的一般形式是y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是常数。
对于一般的二次函数，定义域是实数集，即(-∞, +∞)。
值域则取决于二次函数的开口方向和开口点的位置。
-当a>0时，二次函数的开口向上，值域为[y0,+∞)，其中y0是二次函数的最小值。
-当a<0时，二次函数的开口向下，值域为(-∞,y0]，其中y0是二次函数的最大值。
3.指数函数：指数函数的一般形式是y=a^x，其中a是大于0且不等于1的常数。
指数函数的定义域是实数集，即(-∞,+∞)。
值域则取决于底数的大小和正负性。
-当0<a<1时，指数函数的值域为(0,+∞)。
-当a>1时，指数函数的值域为(0,+∞)。
-当a=1时，指数函数的值域为{1}。
4. 对数函数：对数函数的一般形式是y=log_a(x)，其中a是大于0且不等于1的常数。
对数函数的定义域是正实数集，即(0, +∞)。
值域则取决于底数的大小和正负性。
-当0<a<1时，对数函数的值域为(-∞,+∞)。
-当a>1时，对数函数的值域为(-∞,+∞)。
5.三角函数：常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
三角函数的定义域是实数集，即(-∞,+∞)。
值域则取决于具体的三角函数类型。
-正弦函数的值域为[-1,1]。
-余弦函数的值域为[-1,1]。
函数的定义域、解析式、值域
函数的定义域一、几类函数的定义域（1）如果f(x ）是整式，那么函数的定义域是实数集R ；（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；（3）如果f(x ）是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合。
（4）如果2[()]f x ，那么函数的定义域是使f(x)不等于0的实数的集合。
（5）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即求各集合的交集）（6）满足实际问题的意义。
二、例题讲解例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(例2 求下列函数的定义域： ①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x 11111++ ④x x x x f -+=)1()( ⑤373132+++-=x x y例3 若函数a ax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。
例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。
练习：设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域例7已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域已知f(x 2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是 （） Ａ．[]1,1- Ｂ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦已知函数()11xf x x +=-的定义域为Ａ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ，则（ ）Ａ．A B B = Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =例8、若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，求实数m 的取值范围练习、若函数222(1)(1)1y a x a x a =-+-++的定义域为R ，求实数a 的取值范围例9、（1）设二次函数f （x ）满足f （x-2）=f （-x-2），且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求f （x ）的解析式；（2）已知,2)1(x x x f +=+求f （x ）（3）已知f （x ）满足x xf x f 3)1()(2=+，求f （x ）例10、若函数()f x 的定义域为[,]a b ，且0b a >->，则函数()()()g x f x f x =--的定义域是_______________________例11. 已知函数m mx mx y ++-=862的定义域为R.(1)求实数m 的取值范围;(2)当m 变化时,若y 的最小值为f(m),求函数f(m)的值域.例12. 若函数y=x 2-6x-16的定义域为[0,m],值域为[-25,-16],则m 的取值范围( )A.(0,8]B.[3,8]C.[3,6]D.[3,+∞)例13. 已知1()1f x x =+，则函数(())f f x 的定义域是( ). A ．{|1}x x ≠- B ．{|2}x x ≠-C ．{|12}x x x ≠-≠-且D ．{|12}x x x ≠-≠-或函数的解析式我们知道，把两个变量的函数关系用一个等式表示，这个等式就叫做函数的解析表达式，简称解析式.下面我们通过例题来说明求函数解析式的几种常用方法（一）待定系数法待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。
函数的定义域与解析式
2．已知函数 f(x)的定义域是[－1,1]，求 f(log2x)的定义域．
解：∵函数 f(x)的定义域是[ －1,1] ，∴－1≤log2x≤1， 1 1 ∴ ≤x≤2.故 f(log2x)的定义域为 2，2. 2
三、函数的表示方法
表示函数的常用方法有： 解析法 、 列表法 和 图象法 ．
四、分段函数 1．若函数在其定义域的不同子集上，因 对应关系 不同而分别 用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 并集 域等于各段函数的值域的 但它表示的是一个函数． 并集 ，其值
第二章 函数、导数及其应用
一、函数与映射的概念
二、函数的有关概念 1．函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量， x的取值范围A 叫做函 数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值， 函数值的集合
{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集． 2．函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应关系 ．
函数的值域
[例 2] 求下列函数的值域： 1 (1)f(x)＝ ； (2)f(x)＝x－ 1－2x； 2＋ x－ x2 (3)f(x)＝log3 x＋logx 3－1.
12 9 9 [听课记录] (1)(配方法)由于 2＋x－x ＝－(x－ ) ＋ ≤ ，此时有三种 2 4 4 1 9 1 9 情况，若－(x－ )2＋ ＜0，则 y＜0；若－(x－ )2＋ ＝0，则 y 无意义； 2 4 2 4 1 9 9 1 4 若 0＜－(x－ )2＋ ≤ ，则 y＝ ≥ . 2 4 4 1 9 9 －x－ 2＋ 2 4 4 ∴函数的值域为(－∞，0)∪[ ，＋∞)． 9
常见函数解析式定义域值域的求法总结
常见函数解析式定义域值域的求法总结
一、常见函数解析式
1、二次函数
解析式：y=ax2+bx+c
定义域：全实数集
值域：ax2+bx+c的值
2、三角函数
解析式：y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx
定义域：全实数集
值域：[-1,1]
3、反三角函数
解析式：y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx，
y=arcsecx，y=arccscx
定义域：-[1,1],(-∞,+∞)
值域：[-π/2,π/2]
4、双曲函数
解析式：y=sinhx，y=coshx，y=tanhx，y=cothx，y=sechx，y=cschx 定义域：全实数集
值域：[-1,1]
5、对数函数
解析式：y=lgx，y=lnx
定义域：x>0
值域：(-∞,+∞)
6、指数函数
解析式：y=ex
定义域：全实数集
值域：(0,+∞)
二、定义域和值域的求法
1、函数的定义域
定义域的求法：一般取出函数的变量，求出它所在的域，如果有多个变量，一般要满足多个变量的取值范围，才能满足函数的定义域，比如：函数f(x,y)=x2+y2，则它的定义域就是x,y取得所有实数
2、函数的值域
值域的求法：一般取定义域，将变量取不同的值，将函数求出不同的值并且收集，得到函数的值域，比如：函数f(x)＝x2+x+2，值域就是1，3，5，7……。
§2.2 函数的定义域、值域及函数的解析式
(3)常见基本初等函数的定义域
①分式函数中分母不等于零． ②偶次根式函数、被开方式大于或等于0. ③一次函数、二次函数的定义域为___. R ④y＝ax (a>0且a≠1),y＝sin x, y＝cos x,定义域均为__. R { x | x R且x k π , k Z} π ⑤y＝tan x的定义域为________________________. 2 0的定义域为_________________． ⑥函数f(x)＝x {x|x∈R且x≠0}
R
{ y | y R且y 0}
④y＝ax (a>0且a≠1) ⑤y＝logax (a>0且a≠1) ⑥y＝sin x, y＝cos x ⑦ y＝tan x 主页
(0, ) R [1, 1] R
要点梳理
忆一忆知识要点
3．函数解析式的求法
(1)换元法：若已知f(g(x))的表达式，求f(x)的解析式, 通常是令g(x)＝t，从中解出x＝ (t)，再将g(x)、x代入已知 解析式求得f(t)的解析式，即得函数f(x)的解析式，这种方 法叫做换元法，需注意新设变量“t”的范围． (2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的 解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数． (3)消去法：若所给解析式中含有f(x), f ( 1 ) 或 f(x), f(－x) x 等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f(x)． (4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特 殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．
对称性
函数的 基本性质 奇偶性 周期性 最值 函数常见的 几种变换 基本初等 函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 常见函数模型
函 数
平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换. 正(反)比例函数; 一次(二次)函数; 幂、指、对函数;
函数的定义域与解析式 - 解析版
函数定义域与解析式【教学目标】一、函数定义域【知识点】1.函数是一种非空的数集组成的映射，是从自变量x 到应变量y 的对应关系；期中x 的范围叫做定义域；2.定义域的常见形式有分式，根式，指数，对数，复合函数以及抽象函数；【定义域常见类型】一 、具体函数定义域的常见类型：1.分式中分母不为零2.偶次根式非负3.零次幂底数非零4. 当题中出现多个函数的四则运算及复合时，注意考虑每一个函数定义域并取交集二 、抽象函数常见类型1.已知()f x 定义域求()()f g x 定义域2已知()()f g x 定义域求()f x 定义域3. 已知()()f g x 定义域求()()f h x 定义域（一）具体函数【例题讲解】★☆☆例题1：求函数11y x =+的定义域； 答案： {}|1x x ≠−解析： 10,1x x +≠≠−，{}|1x x ∴≠−★☆☆练习1．求函数2123y x x =−−的定义域； 答案：{}|13x x x ≠−≠且解析：2230x x −−≠()()310x x −+≠，{}|13x x x ∴≠−≠且★☆☆例题2． 求函数y答案：{}R|1x x ∈≥解析：,x x −≥≥101，{}R|1x x ∴∈≥★☆☆练习1：求函数y =答案：[)(,-],−∞⋃+∞13解析：2230x x −−≥，()()310x x −+≥13x x ≤−≥或，(][),,∴−∞−⋃+∞13 ★☆☆例题3．求函数()023y x =−的定义域 3,2⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭解析：230x −≠3,2⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭★☆☆练习1求函数0221x y x −⎛⎫= ⎪+⎝⎭的定义域 ()1,22,2⎫⎛⎫−+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭()1,22,2⎫⎛⎫−+∞⎪ ⎪⎭⎝⎭★☆☆例题4．．求函数y解析：1010x x −≥−≥且★☆☆练习1．求函数()04y x =−的定义域； 答案：(][)(),13,44,+−∞−∞解析：2230x x −−≥且40x −≠(][)(),13,44,+x ∴∈−∞−∞（二）抽象函数★☆☆例题5．已知()f x 定义域是[]1,3，求()21f x +的定义域答案：[]0,1解析： 因为()f x 的定义是[]1,3,即()f x 中,[]1,3x ∈,那么()21f x +中,[]211,3x +∈,得[]0,1x ∈则()21f x +中,[]0,1x ∈∴ ()21f x +的定义域是[]0,1★☆☆练习1．已知()f x 定义域是()0,1，求()2f x 的定义域答案： ()()1,00,1−解析：因为()f x 的定义是()0,1,即()f x 中,()0,1x ∈,那么()2f x 中, ()20,1x ∈,得()()1,00,1x ∈−则()2f x 中, ()()1,00,1x ∈−∴ ()2f x 的定义域是()()1,00,1x ∈−★☆☆例题6．已知()1f x −定义域是[]3,3−，求()f x 的定义域.答案：[]4,2−．解析：∵()1f x −的定义域为[]3,3−，即33x −≤≤∴412x −≤−≤即函数()f x 定义域为[]4,2−．★☆☆练习1已知)2f 定义域是[]4,9，求()f x 的定义域答案：[]0,1即函数()f x 定义域为[]0,1．★☆☆例题7．已知()21f x +定义域是()3,5，求()41f x −的定义域答案：()2,3.解析：∵(21)f x +定义域为()3,5，即35x <<，∴72111x <+< ，则()f x 定义域为()7,11，∴(41)f x −定义域为74111x <−<，∴23x <<．即()41f x −的定义域为()2,3.★☆☆练习1已知()1f x +定义域是()2,3−，求()222f x −的定义域2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝解析：∵()1f x +定义域为()2,3−，即23x −<<，∴114x −<+< ，则()f x 定义域为()1,4−，∴()222f x −定义域为21224x −<−<， 2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝2,32⎫⎛⎪ ⎪ ⎭⎝★☆☆例题8．若函数()f x = 的定义域为R ，则实数a 的取值范围.答案：(],0−∞解析：偶次根号下非负，当x 的范围为R 时，20x a −≥在R 上恒成立，等价于2a x ≤在R 上恒成立求出a 的范围为0a ≤，(],0a ∴∈−∞★☆☆练习1若函数()212f x x ax a=−+ 的定义域为R ，则实数a 的取值范围. 答案：()0,1解析：分式型函数分母不为零，当x 的范围为R 时，220x ax a −+≠恒成立；2(2)40a a ∆=−−<即01a <<； 所以a 的取值范围是()0,1.知识点要点总结：一 具体函数定义域的常见类型：1.分式中分母不为零2.偶次根式非负3.零次幂底数非零4. 当题中出现多个函数的四则运算及复合时，注意考虑每一个函数定义域并取交集5. 实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求．二．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．二、函数的解析式【知识点】求函数解析式的四种常用方法1. 拼凑法：将等号右侧的式子拼凑成关于f 后括号内东西的表达式，然后将其直接写成x ．2. 换元法：已知复合函数(())f g x 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.3.待定系数法：已知函数类型．①正比例函数：(0)y kx k =≠； ②反比例函数：(0)k y k x=≠； ③一次函数：(0)y kx b k =+≠；④二次函数：2(0)y ax bx c a =++≠．4.方程组法：两个f ，将题目中的x 换成另一个括号内的东西构造方程组．比如：若给出()f x 和()f x −，或()f x 和1()f x 的一个方程，则可以x 代换x −（或1x），构造出另一个方程，解此方程组，消去()f x −（或1()f x）即可求出()f x 的表达式。
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函数的解析式和定义域课时07 函数的解析式和定义域【考点指津】1．把握函数的三种表示方法，会求简单函数的解析式．函数的表示方法通常有：解析法、列表法、图象法，三者各具特点．解析式中包括分段函数，它由一个或多个式子构成，是一个函数；通过函数的图象能够直观地反映出函数的一些性质，因此要把握函数的图象，并熟悉一些差不多初等函数（正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等）的图象特点．2．会求简单函数的定义域．定义域是构成函数的重要要素之一，一切函数咨询题的研究都离不开函数的定义域，要熟练把握求函数定义域的原则和方法．当一个函数能够用解析式表示时，函数的定义域确实是使其解析式有意义的自变量的取值集合．在实际咨询题中，还应注意实际意义的制约． 【知识在线】1．已知⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,0,1)(x x x x x f π，则f {f [f (-1)]}= ．2．下列函数：①y =2x +5；②y =xx 2+1；③y = |x |-x ；④y = ⎩⎨⎧2x ， x ＜0，x +4，x ≥0．其中定义域为R 的函数共有m 个，则m 的值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知函数f (x ) = ⎩⎨⎧2x 2+1，x ≤0，-2x ， x ＞0，当f (x ) = 33时，x = ．4．若f (x -1)=2x +5，则f (x 2) = （ ） A ．2x 2+3 B ．2x 2+7 C ．x 2+3 D ．x 2+7 5．已知函数f (x ) = lgxx-+11的定义域为A ，函数g (x )=lg(1+x ) – lg(1-x )的定义域为B ，则下述关于A 、B 关系不正确的为 （ ） A ．A ⊇B B ．A ∪B =B C ．A ∩B =B D ．B ⊂≠A 【讲练平台】例1 求函数xx x x x x f +-++-=02)1(65)(的定义域．分析 依照有关条件列出不等式组，再求出不等式组的解集即为所求函数的定义域． 解 由函数解析式有意义，得⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+≠-≥+-010652x x x x x ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，或x ≤2x ≠1，x ＞0．⇒0＜x ＜1或1＜x ≤2，或x ≥3． 故函数的定义域是),3[]2,1()1,0(+∞ ．点评 （1）求以解析式给出的函数定义域时，应遵循以下几条原则：①分式的分母不为零；②偶次根号下被开方数非负；③在a °中底数a ≠0；④若f (x )是由几个部分构成的，则应采纳交集法；⑤实际咨询题结合变量的实际意义来确定，等等；（2）求不等式组的解集，通常借助数轴的直观性；（3）函数的定义域一样应用集合或区间形式表示，在用区间表示时，要弄清区间端点的归属，正确使用开区间和闭区间符号，需专门注意的是，“∞”不是一个确定的数，而是一个变化趋势，只能用开区间；（4）必须把所有的限制条件都列出来，专门是在0)1(-x 中，x -1≠0，不能遗漏．例2 若函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ，求实数a 的取值范畴．分析 由函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R 知：x 2+ax +1＞0对x ∈R 恒成立，而f (x )= x 2+ax +1为二次函数，函数值恒正，故可利用“△”法求解．解 因函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ，故x 2+ax +1＞0对x ∈R 恒成立，而f (x )= x 2+ax +1是开口向上的抛物线，从而△＜0，即a 2-4＜0，解得 -2＜a ＜2，它便是所求的a 的取值范畴．点评（1）“△”法可判定一元二次函数值恒正、恒负或非正、非负；（2）必须注意所用△的值是大于零、小于零、依旧不大于零、不小于零．如下面的咨询题：关于x 的不等式x 2+ax +1＜0的解集为∅，试求实数a 的取值范畴．咨询题便等价于x 2+ax +1≥0的解集为R ，从而有△≤0，解得 –2≤a ≤2．变题1已知函数y=lg(x2+ax+1)的值域为R，求a的取值范畴．提示：利用△≥0 a≥2或a≤-2．变题2 已知函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域为R，求a的取值范畴．摸索：变题1、变题2及原题，它们的区不何在？例3《中华人民共和国个人所得税法》第十四条中有下表：个人所得税税率表一（工资、薪金所得适用）表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去1000元后的余额．例如某人月工资、薪金收入1220元，减除1000元，应纳税所得额确实是220元，应缴纳个人所得税11元．（1）请写出月工资、薪金的个人所得y关于收入额x（0＜x≤3000）的函数表达式；（2）一公司职员某月缴纳个人所得税75元，咨询他该月工资、薪金的收入多少？分析先读明白题意，正确明白得“全月应纳税所得额”等的意义，然后利用分段函数法列出个人所得y关于收入额x的函数关系式，利用该关系式连续求解其它的咨询题．解（1）当0＜x≤1000时，y=x；当1000＜x≤1500时，扣税：(x-1000) ·5%，从而所得为y =x - (x -1000) ·5% = 0.95x +50；当1500＜x ≤3000时，扣税： (x -1500)·10%+500 ·5% = 0.1x -125，从而所得为y = x -(0.1x -125) =0.9x +125．故 y = ⎩⎪⎨⎪⎧x ， （0＜x ≤1000），0.95x +50，（1000＜x ≤1500），0.9x +125，（1500＜x ≤3000）．（2）明显，该职员的工资、薪金x 满足1500＜x ≤3000，故由0.1x -125=75，解得 x =2000．答：该职员的该月工资、薪金收入为2000元．点评 （1）函数的表示法有：解析法、列表法、图象法；而解析式中包含一类重要的函数——分段函数：对应于自变量x 的不同取值范畴，对应关系也不同．分段函数不管x 被分成了几段，它仍是一个函数，而不是几个函数，它由几个部分构成了一个函数；（2）写函数解析式时，不要忘了写上函数的定义域；关于实际咨询题，还不要忘了咨询题的实际意义．变题 在原题的条件下，若设某人一月份应缴纳此项税款26.78元，则他当月工资总收入介于 （ D ）A ．500~600元B ．900~1200元C ．1200~1500元D ．1500~1800元 例4 （1）设f (x )是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，求f (x )． （2）设x x x f 2)1(+=+，求f (x +1)． （3）若f (x )满足f (x )+2f (x1)=x ，求f (x )．分析 （1）已知了函数f (x )的类型，可采纳待定系数法；（2）视（1+x ）为整体，采纳换元法或配方法可求得f (x )的解析式，再用(x +1)整体代换f (x )中的x ，即可求出f (x +1)的解析式；（3）注意到x 与x1互为倒数，可通过倒数代换联立方程组解出f (x )．解 （1）设f (x )=ax +b (a ≠0)，则f [f (x )]=af (x )+b =a (ax +b )+b =a 2x +ab +b ，∴ ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=12342b a b ab a 或⎩⎨⎧-=-=32b a ，∴ f (x )=2x +1或f (x )= -2x -3．（2）解法一 ∵1)1()1(2-+=+x x f ，∴ f (x )=x 2-1 (x ≥1)，∴ f (x +1)= (x +1)2-1 = x 2+2x (x ≥0)．解法二 令t =1+x ，则x = t -1，∴f (t )= (t -1)2+2(t -1)= t 2-1． 又t =1+x ≥1，∴ f (x )=x 2-1 (x ≥1)，从而f (x +1)= x 2+2x (x ≥0)． （3）在f (x )+2f (x 1)=x ①中，用x 1代换x 得 f (x 1)+2 f (x )= x1 ②， 联立①、②解得 )0(32)(2≠-=x xx x f ． 点评 （1）正确明白得函数的概念，是求抽象函数解析式的关键；（2）求抽象函数的解析式常用配凑法（如题（2）的解法一）、换元法（如题（2）的解法二）、待定系数法（如题（1）的解答）以及取倒相消法（如题（3）的解答）等；（3）在用换元法或配凑法求解析式时，应注意中间变量的取值范畴，以确定函数f (x )的定义域．在题（2）中，由f (x )的定义域是{x ∣x ≥1}，则在f (x +1)中必须x +1≥1，即x ≥0，从而f (x +1)的定义域是{x ∣x ≥0}． 变题 已知f (x )是定义在R 上的函数，且f (1)=1，对任意x ∈R 都有下列两式成立：（1）f (x +5)≥f (x )+5； （2）f (x +1)≤f (x )+1．若g (x )=f (x )+1-x ，求g (6)的值． 提示：反复利用条件（2），有f (x +5) ≤f (x +4)+1≤f (x +3)+2≤f (x +2)+3≤f (x +1)+4≤f (x )+5，（★） 结合条件（1）得 f (x +5)=f (x )+5． 因此，由（★），可得 f (x +1) = f (x )+1． 故g (6)=f (6)+1-6= [f (1)+5 ]-5=1．注意：数列{f (n )}（n ∈N *）构成公差是1的等差数列．【知能集成】1．求函数的解析式的方法通常有待定系数法、配方法、换元法，有时还要用到方程的思想． 2．求函数的定义域，要紧涉及以下几个方面：①分式的分母不为零；②对数函数的真数都必须大于零，底数必须大于零且不为1；③偶次方根的被开方数非负；④零次幂的底数不为零，等． 关于实际咨询题，还应注意变量的实际意义或物理意义．复合函数的定义域是使各部分都有意义的自变量取值范畴的交集．【训练反馈】 1．函数23)(x x x f -=的定义域为 （ ）A ．[0，32] B ．[0，3] C ．[-3，0] D ．（0，3）2．若f [g (x )] = 9x +3，且g (x ) = 3x +1，则f (x )的解析式为 （ ） A ．3x B ．3 C ．9(3x +1) +1 D ．3(9x +3) +13．已知g (x )=1-2x ，f [g (x )]= 1-x 2x 2 (x ≠0)，则f (0.5)= （ ）A ．1B ．3C ．15D ．304．若函数f (x )满足f (xy )= f (x )+ f (y )，且f (2)=m ，f (3)=n ，则f (72)= （ ） A ．6mn B ． m 3+n 2 C ．2m +3n D ．3m +2n 5．函数y =f (x )的图象如题图所示，则f (x )的解析式为（ ） A ．122+-x x B ．1||22+-x xC ．|x 2 – 1|D ．x 2 – 2x +16．若函数f (x )的定义域为[a ，b ]，且b ＞-a ＞0，则函数g (x )=f (x )-f (-x )的定义域是（ ）A ．[a ，b ]B ．[-b ，-a ]C ．[-b ，b ]D ．[a ，-a ]7．若f (2x +3)的定义域是{x |-4≤x ＜5＝，则函数f (2x -3)的定义域是 ． 8．求函数y =)233(log 12x x -+的定义域．9．动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点A 动身顺次通过B 、C 移动一周回到A 点，设x 表示点P 的行程，y 表示线段P A 的长，试求y 关于x 的函数式．10．若函数f (x ) =3x -5kx 2+4kx +3的定义域为R ，求实数k 的取值范畴．11．已知函数f (x ) =xax+b(a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)=1，f (x )=x 只有惟一实数解，试求函数y =f (x )的解析式及f [f (-3)]的值． 12．定义在（0，+∞）上的函数f (x )满足：①f (2)=1；②f (xy )=f (x )+f (y )，其中x 、y 为任意正实数； ③任意正实数x 、y 满足x ＞y 时，f (x )＞f (y )． 试回答下列咨询题： （1）求f (1)、f (4)；（2）试判定函数f (x )为单调性；（3）假如f (x )+f (x -3)≤2，试求x 的取值范畴．【知识在线】1．π+1 2．D 3． - 4 4． B 5．D 【训练反馈】1．B 2．A 3．C 4．D 5．B 6．D 7． {x |-1≤x ＜8} 8．（0，5] 9． y =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-≤+-≤+-≤≤.43,4,32,106,21,22,10,22x x x x x x x x x x 10．提示：若k =0，则函数的定义域为R ；若k ≠0，则对任意x ∈R ，kx 2+4kx +3≠0，从而，△＜0，解得0＜k ＜34．从而所求k 的取值范畴为{k |0≤k ＜34}． 11．提示：f (x ) =x 只有惟一实数解，即x ax+b = x (*)只有惟一实数解， 当ax 2+(b -1)x =0有相等的实数根x 0, 且a x 0+b ≠0时,解得f(x)=2x x +2, f [f (-3)] = 32, 当ax 2+(b -1)x =0有不相等的实数根,且其中之一为方程(*)的增根时,解得f(x)= 1, f [f (-3)] =1． 12．（1）f (1) =0，f (4)=2；（2）增函数；（3）3＜x ≤4．。