利用勾股定理求面积
勾股定理面积与等边三角形
不难证明S1=S2+S3 .
C S2
S1 a b
B
c
A
S3
五变： 直角三角形ABC的面积为20cm2 ,在 AB的同侧分别以AB、BC、CA为直径做三 个半圆，求阴影部分的面积。
C
b
a
A
c
B
S阴=S较大半圆 +S小半圆 +S△ S大半圆
如图6，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，分别以 AB、BC、AC为直径作三个半圆，那么阴影部分的面 积为
面积.
A
⑴求它的高. ⑵求它的面积.
6 30° 6
33
B
D
C
6
1、如图，在△ABC中，AB=AC=17， BC=16，求△ABC的面积。
(2)求腰AC上的高。
A
17 15 17
88
B
D
C
16
2 、 如 图 6 ， 在 △ ABC 中 ， AD⊥BC ， AB=15，AD=12，AC=13，求△ABC的 周长和面积。
A
17 8 10
∟
B
C
∟
D
2
A
4
6
B4 C
如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2,BC=4, ∠B= 450 求梯形的面积。
如图，在直角梯形ABCD中，AD=6,BC=11, AB=13,求梯形的周长。
已知：如图，四边形ABCD
中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，
CD＝12，AD＝13,求四边形
ABCD的面积?
解 在直角三角形ABC中
c2
S1
S2
1
a2
b2
17.1勾股定理的应用 面积问题 正式稿5
b2
8
SC
1 •
2
• c 2 2
8
c2
C
A
B
C
A
B
如图矩形ABCD中,以各边为直径向外作半圆,以对 角线为直径作圆.若矩形的面积为S,则图中所有阴 影部分的面积之和为多少?
A
D
S阴影=S矩形=S
B
C
S2
S5 S1
S3 S4
图中S1、S
2、S
3、S
4
和S
面积有什么关系？
5
S1 S2 S3 S4 S5
结论： SC=SA+SB
快速抢答
1、下图中的三角形是直角三角形,其余是正方形,求 下列图中字母所表示的正方形的面积.
A =625
225
400
81
B =144
225
2、如图所示的图形中，所 有的四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三 角形，其中最大的正方形 的边长是8厘米，则正方形 A，B，C，D的面积之和是
___6_4____平方厘米
(1)若正方形A的面积为64,则 第④个正方形的面积
为 4.
(2)若正方形A的面积为S,则
第①个正方形的面积为 ,
第②个正方形的面积为 ,
第③个正方形的面积为 ,
第④个正方形的面积为 ,
第n个正方形的面积为 .
勾股定理的应用 ——面积问题
探究1 如图，以Rt△
的三边为边向外作正方形，
其面积分别为 S1 、S2、S3，请同学们想一想
S1 、S2、S3 之间有何关系呢？
S2 + S3 =a2+b2
S1=c2
B
S1c a S2
b
勾股定理在几何学中的应用
勾股定理在几何学中的应用引言：勾股定理是数学中的一条基本定理，可以用来描述直角三角形的边长关系。
不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在几何学中也有重要的应用。
本文将探讨勾股定理在几何学中的应用，并详细介绍一些相关的几何问题和解决方法。
一、勾股定理的基本原理勾股定理是描述直角三角形边长关系的基本公式，其数学表达方式为：c²= a²+ b²。
其中，c 表示直角三角形的斜边（也即斜边的长度），a 和 b 分别表示直角三角形的两条直角边（也即直角边的长度）。
勾股定理是由古希腊数学家毕达哥拉斯所发现和证明的，他因此而得到了命名。
二、直角三角形的面积计算在几何学中，勾股定理可以用来计算直角三角形的面积。
根据勾股定理，可以推导得到直角三角形的面积公式为：面积 = 1/2 * 底 * 高。
在这个公式中，底表示直角三角形的一条直角边（也即直角边的长度），高表示直角三角形的另一条直角边（也即直角边的长度）。
通过勾股定理，我们可以得到直角三角形两条直角边的长度，从而计算出其面积。
三、勾股定理在解决三角形问题中的应用勾股定理不仅可以用来计算直角三角形的边长和面积，还可以应用于解决一些与三角形相关的几何问题。
1. 判断三角形是否为直角三角形：通过勾股定理，我们可以判断一个三角形是否为直角三角形。
如果三角形的三条边满足勾股定理的条件（即a² + b² = c²），那么该三角形就是直角三角形。
2. 寻找直角三角形的边长：在一些问题中，已知一个直角三角形的一条直角边和斜边的长度，我们可以利用勾股定理求解出另一条直角边的长度。
通过这种方法，我们可以准确地确定直角三角形的边长。
3. 解决相关角度和长度问题：勾股定理可以被应用于解决一些涉及角度和长度的几何问题，如计算三角形的内角和、外角和以及边长比例等。
通过建立相关方程，我们可以利用勾股定理得到所需的结果。
四、勾股定理在实际问题中的应用除了在几何学中的应用，勾股定理还可以在实际生活和工作中的问题中得到应用。
初中数学 如何使用勾股定理计算三角形的面积
初中数学如何使用勾股定理计算三角形的面积
勾股定理是一个三角形的重要定理，它可以帮助我们计算三角形的边长和面积。
勾股定理指出，在一个直角三角形中，直角边的平方等于两个直角边的平方和。
以下是使用勾股定理计算三角形面积的方法：
假设已知一个直角三角形ABC，其中直角边为AB，斜边为AC，直角边和斜边的长度分别为a，b，c。
方法1：使用勾股定理和面积公式
步骤1：根据勾股定理，可得到以下关系：
- a² + b² = c²
步骤2：根据三角形的面积公式，可得到以下关系：
-面积= (1/2) * 直角边1 * 直角边2
步骤3：将勾股定理中的等式代入面积公式，整理得到以下关系：
-面积= (1/2) * a * b
方法2：使用勾股定理和海伦公式
步骤1：根据勾股定理，可得到以下关系：
- a² + b² = c²
步骤2：根据海伦公式，可得到以下关系：
-面积= √[s * (s - a) * (s - b) * (s - c)]
其中，s为半周长，s = (a + b + c) / 2
需要注意的是，以上方法适用于直角三角形。
对于一般的三角形，我们可以先使用勾股定理判断是否为直角三角形，然后再进行计算。
通过以上方法，我们可以计算出三角形的面积。
在计算过程中，需要注意保持精度和正确使用长度单位。
勾股定理的面积公式
勾股定理的面积公式
勾股定理是一个古老的数学定理，它指出，在一个直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
它是由古希腊数学家苏格拉底发现的，他发现了一个直角三角形的三条边的长度之间的关系，即勾股定理。
勾股定理的面积公式是：面积=1/2*直角边1*直角边2。
这个公式表明，在一个直角三角形中，两条直角边的乘积除以2，就是该三角形的面积。
勾股定理的面积公式可以用来计算任何直角三角形的面积，只要知道它的两条直角边的长度。
这个公式也可以用来计算任何矩形的面积，因为矩形也是一个特殊的直角三角形，它的两条直角边相等。
勾股定理的面积公式也可以用来计算任何梯形的面积，因为梯形也是一个特殊的直角三角形，它的两条直角边不相等。
只要知道梯形的两条直角边的长度，就可以用勾股定理的面积公式来计算梯形的面积。
勾股定理的面积公式是一个非常有用的数学工具，它可以用来计算任何直角三角形、矩形和梯形的面积。
它的简单性和实用性使它成为一个非常有用的数学工具，它可以帮助我们解决许多实际问题。
勾股定理的三角形面积计算方法
勾股定理的三角形面积计算方法勾股定理是数学中的一个基本定理，它描述了直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方。
根据这个定理，我们可以推导出计算三角形面积的方法。
本文将探讨如何利用勾股定理来计算三角形的面积，并提供一些例题来帮助读者更好地理解。
一、勾股定理简介勾股定理可追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派，以其名字命名。
它的数学表达式为：c² = a² + b²，其中c表示斜边的长度，a和b分别表示直角边的长度。
该定理可以用于求解任意直角三角形中的边长，也可以应用于计算三角形的面积。
二、计算三角形面积的方法根据勾股定理，我们可以利用直角三角形的两个直角边的长度来计算其面积。
一般而言，我们可以使用以下公式来计算三角形的面积：面积 = 1/2 * 直角边a * 直角边b其中，直角边a和直角边b分别表示直角三角形的两个直角边的长度。
这个公式的推导过程如下：1. 已知直角边a和直角边b的长度，根据勾股定理可得斜边c的长度：c = √(a² + b²)。
2. 将斜边c代入三角形面积公式：面积= 1/2 * a * b = 1/2 * a * √(c² - a²)。
值得注意的是，我们一般会选择较为简便的方法来计算三角形的面积。
在已知直角边a和直角边b的情况下，可以直接使用公式面积 = 1/2 * a * b来计算三角形的面积。
三、例题解析为了更好地理解利用勾股定理计算三角形面积的方法，我们提供以下例题解析。
例题1：已知直角三角形的直角边a = 3，直角边b = 4，求三角形的面积。
解答：根据上述公式，面积 = 1/2 * a * b。
将已知数据代入公式，可得面积= 1/2 * 3 * 4 = 6。
因此，该直角三角形的面积为6。
例题2：已知直角三角形的直角边a = 5，直角边b = 12，求三角形的面积。
解答：同样地，根据面积 = 1/2 * a * b的公式，代入已知数据可得面积 = 1/2 * 5 * 12 = 30。
专题01 勾股定理的基本应用(解析版)
专题01 勾股定理的基本应用题型一 求面积1．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设“赵爽弦图”中直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2()24a b +=，大正方形的面积为14，则小正方形的面积为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【解答】解：设大正方形的边长为c ，则22214c a b ==+，2()24a b +=Q ，22224a ab b \++=，解得5ab =，\小正方形的面积是：1441425141042ab -´=-´=-=，故选：C ．2．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，则正方形C 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．12【解答】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，A B D CS S S S \+=-正方形正方形正方形正方形Q 正方形A 、B 、D 的面积依次为6、10、24，24610C S \-=+正方形，8C S \=正方形．故选：C ．3．如图，点C 是线段AB 上的一点，分别以AC 、BC 为边向两侧作正方形．设6AB =，两个正方形的面积和1220S S +=，则图中BCD D 的面积为( )A ．4B ．6C ．8D ．10【解答】解：设AC a =，BC b =，由题意得：6a b +=，2220a b +=，222()2a b a b ab +=+-Q ，22062ab \=-，8ab \=，BCD \D 的面积118422ab ==´=．图中BCD D 的面积为4．故选：A ．4．正方形ABCD 的边长为1，其面积记为1S ，以CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为2S ，L 按此规律继续下去，则2022S 的值为( )A ．20221()2B ．20211()2C ．2022D ．2021【解答】解：在图中标上字母E ，如图所示．Q 正方形ABCD 的边长为1，CDE D 为等腰直角三角形，222DE CE CD \+=，DE CE =，221S S S \+=．观察，发现规律：2111S ==，211122S S ==，321124S S ==，431128S S ==，¼，11()2n n S -\=．当2022n =时，202212021202211()()22S -==，故选：B ．5．如图，以正方形ABCD 的边AD 为直径作一个半圆，点M 是半圆上一个动点，分别以线段AM 、DM 为边各自向外作一个正方形，其面积分别为1S 和2S ，若正方形的面积为10，随点M 的运动12S S +的值为( )A ．大于10B ．小于10C ．等于10D ．不确定【解答】解：AB Q 为半圆的直径，90AMD \Ð=°，22210AM DM AD \+==，21S AM =Q ，22S DM =，1210S S \+=．故选：C ．6．如图，在四边形ABDE 中，//AB DE ，AB BD ^，点C 是边BD 上一点，BC DE a ==，CD AB b ==，AC CE c ==．下列结论：①ABC CDE D @D ；②90ACE Ð=°；③四边形ABDE 的面积是21()2a b +；④22111()2222a b c ab +-=´；⑤该图可以验证勾股定理．其中正确的结论个数是( )A ．5B ．4C ．3D ．2【解答】解：//AB DE Q ，AB BD ^，DE BD \^，90B D \Ð=Ð=°．在ABC D 和CDE D 中，90AB CD B D BC DE =ìïÐ=Ð=°íï=î，()ABC CDE SAS \D @D，A DCE \Ð=Ð，ACB E Ð=Ð．90A ACB Ð+Ð=°Q ，90DCE ACB \Ð+Ð=°．180DCE ACB ACE Ð+Ð+Ð=°Q ，90ACE \Ð=°，故①②正确；//AB DE Q ，AB BD ^，\四边形ABDE 的面积是21()2a b +；故③正确；Q 梯形ABDE 的面积-直角三角形ACE 的面积=两个直角三角形的面积，\22111()2222a b c ab +-=´，222a b c \+=．故③④⑤都正确．故选：A ．7．如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，AD 平分BAC Ð，交BC 于点D ，6CD =，12AB =，则ABD D 的面积是( )A ．18B ．24C ．36D ．72【解答】解：作DH AB ^于D ，如图，AD Q 平分BAC Ð，DH AB ^，DC AC ^，6DH DC \==，1126362ABD S D \=´´=．故选：C ．8．如图，Rt ABC D 中，90C Ð=°，5AC =，12BC =，分别以AB 、AC 、BC 为边在AB 的同侧作正方形ABEF 、ACPQ 、BCMN ，四块阴影部分的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ，则1234S S S S +++等于( )A ．60B ．80C ．90D ．120【解答】解：连接PF ，过点F 作FD AK ^于点D ，AB EB =Q ，90ACB ENB Ð=Ð=°，而90CBA CBE EBN CBE Ð+Ð=Ð+Ð=°，CBA EBN \Ð=Ð，()CBA NBE AAS \D @D ，故4ABC S S D =；同理ADF ABC D @D ，AC DF AQ CP \===，90QAC KDF PCD Ð=Ð=Ð=°Q ，//AQ DF \，\四边形CDFP 是矩形，90CPF \Ð=°，180QPC CPF \Ð+Ð=°，Q \，P ，F 三点共线，又FA AB =Q ，90FDA ACB Ð=Ð=°，而90FAD CAB CAB ABC Ð+Ð=Ð+Ð=°，FAD ABC \Ð=Ð，()FAD ABC AAS \D @D ，同理可证ACT FDK D @D ，2FDA ABC S S S D D \==，同理可证TPF KME D @D ，AQF ABC D @D ，13ADF ABC S S S S D D \+==，综上所证：1234133125902ABC S S S S S D +++==´´´=．故选：C ．9．如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为4和10，则b 的面积为 14 ．【解答】解：如图，a Q 、b 、c 都为正方形，BC BF \=，90CBF Ð=°，24AC =，210DF =，1290Ð+Ð=°Q ，2390Ð+Ð=°，13\Ð=Ð，在ABC D 和DFB D 中，13BAC FDB BC FB Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，ABC DFB \D @D ，AB DF \=，在ABC D 中，2222241014BC AC AB AC DF =+=+=+=，b \的面积为14．故答案为14．10．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，90BAC Ð=°，3AB =，4AC =，点D ，E ，F ，G ，H ，I 都在矩形KLMJ 的边上，则空白部分的面积为 60 ．【解答】解：如图，延长AB 交KF 于点O ，延长AC 交GM 于点P ，所以，四边形AOLP 是正方形，90BAC Ð=°Q ，3AB =，4AC =，347AO AB AC \=+=+=，3710KL \=+=，4711LM =+=，因此，矩形KLMJ 的面积为1011110´=，\空白部分的面积为22211034560---=，故答案为：60．11．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图，若勾6AE =，弦10AD =，则小正方形EFGH 的面积是 4 ．【解答】解：如图，Q 勾6AE =，弦AD =弦10AB =，\股8BE ==，\小正方形的边长862=-=，\小正方形的面积224==．故答案是：4．12．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，则正方形B 的面积为 8 ．【解答】解：由题意：A B E S S S +=正方形正方形正方形，D C E S S S -=正方形正方形正方形，A B D CS S S S \+=-正方形正方形正方形正方形Q 正方形A 、C 、D 的面积依次为4、6、18，4186B S \+=-正方形，8B S \=正方形．故答案为：8．13．如图，在同一平面内，直线l 同侧有三个正方形A ，B ，C ，若A ，C 的面积分别为9和4，则阴影部分的总面积为 6 ．【解答】解：如图，作LM FE ^交FE 的延长线于点M ，交JI 的延长线于点N ，Q 四边形A 、B 、C 都是正方形，且正方形A 、C 的面积分别为9、4，90EKI EDR IHG \Ð=Ð=Ð=°，29DE =，24HI =，3DE \=，2HI =，1809090EDK KHI Ð=Ð=°-°=°Q ，90DKE KHI HIK \Ð=°-Ð=Ð，在EDK D 和KHI D 中，EDK KHI DKE HIK EK KI Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EDK KHI AAS \D @D ，2DK HI \==，3DE HK ==，13232EDK KHI S S D D \==´´=；90DEF HIJ Ð=Ð=°Q ，18090DEM DEF \Ð=°-Ð=°，18090HIN HIJ Ð=°-Ð=°，90KEL KIL Ð=Ð=°Q，90MEL DEK KEM \Ð=Ð=°-Ð，90NIL HIK KIN Ð=Ð=°-Ð，//EF l Q ，//IJ l ，//EF IJ \，90EML EMN N \Ð=Ð=Ð=°，在EML D 和EDK D 中，MIL DEK EML EDK EL EK Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()EML EDK AAS \D @D ，EM ED EF \==，3EFL EML EDK S S S D D D \===；在LNI D 和KHI D 中，NIL HIK N KHI IL IK Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()LNI KHI AAS \D @D ，IN IE IJ ==Q ，3LJI LNI KHI S S S D D D \===，336EFL LJI S S D D \+=+=，\阴影部分的总面积为6．14．如图，正方形ABDE 、CDFI 、EFGH 的面积分别为25、9、16，AEH D 、BDC D 、GFI D 的面积分别为1S 、2S 、3S ，则123S S S ++= 18 ．【解答】解：DF DC =Q ，DE DB =，且180EDF BDC Ð+Ð=°，过点A 作AJ EH ^，交HE 的延长线于点J ，90J DFE \Ð=Ð=°，90AEJ DEJ DEJ DEF Ð+Ð=Ð+Ð=°Q ，AEJ DEF \Ð=Ð，AE DE =Q ，()AEJ DEF AAS \D @D ，AJ DF \=，EH EF =Q ，AHE DEF S S D D \=，同理：BDC GFI DEF S S S D D D ==，1233AHE BDC GFI DEF S S S S S S S D D D D ++=++=´，13462DEF S D =´´=，12318S S S \++=．故答案为：18．题型二 求线段长15．一个大正方形，被两条线段分割成两个小正方形和两个小长方形，若两个小正方形的面积分别为10和6，则小长方形的对角线AB 的长为( )A ．4B ．6C ．10D ．16【解答】解：如图，Q 两个小正方形的面积分别为10和6，26AC \=，210BC =，由勾股定理得，4AB ===．故选：A ．16．如图，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，以AB 为边在ABC D 外作正方形，其面积为9，以BC 为斜边在ABC D 外作等腰直角三角形，其面积为4，过点B 作BD AC ^交AC 于点D ，则(AD = )A ．85B ．94C ．95D ．2【解答】解：Q 以AB 为边的正方形的面积为9，29AB \=，Q 以BC 为斜边的等腰直角三角形的面积为4，\等腰直角三角形的腰长为216BC \=，在Rt ABC D 中，90ABC Ð=°，则5AC ===，1122ABC S AB AC AC BD D =´´=´´Q ，\1134522BD ´´=´´，解得：125BD =，由勾股定理得：95AD ===，故选：C ．17．如图，在Rt ABC D 中，90ACB Ð=°，CD AB ^于D ．已知15AB =，Rt ABC D 的周长为15+，则CD 的长为( )A ．5BC ．D ．6【解答】解：如图所示：Rt ABC D Q 的周长为15+，90ACB Ð=°，15AB =，AC BC \+=，222215225AC BC AB +===，22()AC BC \+=，即222405AC AC BC BC +´+=，2405225180AC BC \´=-=，90AC BC \´=，Q 1122AB CD AC BC ´=´，90615AC BC CD AB ´\===；故选：D ．18．若ABC=，高24=，则BC的长为( )cm．AD cmAC cmD中，30AB cm=，26A．28或8B．8C．28D．以上都不对Q为边BC上的高，【解答】解：AD\Ð=Ð=°．90ADB ADCBD===，在Rt ABDD中，18CD===．在Rt ACDD中，10当点D在线段BC上时，如图1，181028=+=+=；BC BD CD当点D在线段CB的延长线上时，如图2，18108=-=-=．BC BD CD\的长为28或8．BC故选：A．19．如图，在ABCBC=，6AB=，4AC=，则DE的^于D，且5D中，CE是AB边上的中线，CD AB长 2 ．【解答】解：设BD x=-，=，则5AD x在Rt ACD D 中，222CD AC AD =-，在Rt BCD D 中，222CD BC BD =-，2222AC AD BC BD \-=-，即22226(5)4x x --=-，解得，12x =，则12BD =，2DE BE BD \=-=，贵答案为：2．20．如图，锐角三角形ABC 中，2C B Ð=Ð，AB =，8BC CA +=，则ABC D 的面积为 【解答】解：过A 作AE BC ^于E ，延长BC 到D 使CD AC =，则CAD D Ð=Ð，ACB D CAD Ð=Ð+ÐQ ，2ACB D \Ð=Ð，2C B Ð=ÐQ ，B D \Ð=Ð，AB AD \=，BE DE \=，8BC CA +=Q ，8BD BC CD BC AC \=+=+=，4BE \=，AE \==，222AE CE AC \+=，即228(4)(8)BC BC +-=-，解得：5BC =，ABC \D 的面积11522BC AE ==´´=g故答案为：．21．如图所示，ABC D 的顶点A 、B 、C 在边长为1的正方形网格的格点上，BD AC ^于点D ，则BD 的长为 3 ．【解答】解：由图形可知，5BC =，BC 边上的高为3，ABC \D 的面积1155322=´´=，由勾股定理得，5AC ==，则115522BD ´´=，解得，3BD =，故答案为：3．22．如图，在Rt ABC D 中，90B Ð=°，3AB =，6BC =，AC 的中垂线DE 交AC 于点D ，交BC 于点E ．延长DE 交AB 的延长线于点F ，连接CF ．（1）求出CD 的长；（2）求出CF 的长．【解答】解：（1）在Rt ABC D 中，90B Ð=°，3AB =，6BC =，则AC ===，DE Q 是AC 的中垂线，12CD AC \==（2）DF Q 是AC 的中垂线，FA FC \=，3AB =Q ，33FB FA CF \=-=-，在Rt FBC D 中，222CF BC FB =+，即2226(3)CF CF =+-，解得：152CF =．23．如图，在ABC D 中，AB AC =，AD BC ^于点D ，45CBE Ð=°，BE 分别交AC ，AD 于点E 、F ．（1）如图1，若13AB =，10BC =，求AF 的长度；（2）如图2，若AF BC =，求证：222BF EF AE +=．【解答】（1）解：如图1，AB AC =Q ，AD BC ^，BD CD \=，10BC =Q ，5BD \=，Rt ABD D 中，13AB =Q ，12AD \==，Rt BDF D 中，45CBE Ð=°Q ，BDF \D 是等腰直角三角形，5DF BD \==，1257AF AD DF \=-=-=；（2）证明：如图2，在BF 上取一点H ，使BH EF =，连接CF 、CH 在CHB D 和AEF D 中，Q 45BH EFCBH AFE BC AF=ìïÐ=Ð=°íï=î，()CHB AEF SAS \D @D ，AE CH \=，AEF BHC Ð=Ð，CEF CHE \Ð=Ð，CE CH \=，BD CD =Q ，FD BC ^，CF BF \=，45CFD BFD \Ð=Ð=°，90CFB \Ð=°，EF FH \=，Rt CFH D 中，由勾股定理得：222CF FH CH +=，222BF EF AE \+=．24．如图，在ABC D 中，AD BC ^，垂足为点D ，13AB =，5BD =，15AC =．（1）求AD 的长；（2）求BC的长．【解答】解：（1）AD BC ^Q ，90ADB CDA \Ð=Ð=°．在Rt ADB D 中，90ADB Ð=°Q ，222AD BD AB \+=，222144AD AB BD \=-=．0AD >Q ，12AD \=．（2）在Rt ADC D 中，90CDA Ð=°Q ，222AD CD AC \+=，22281CD AC AD \=-=．0CD >Q ，9CD \=．5914BC BD CD \=+=+=．题型三 通过勾股定理设方程25．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD 和正方形EFGH ，即赵爽弦图．连接AC ，分别交EF 、GH 于点M ，N ，连接FN ．已知3AH DH =，且21ABCD S =正方形，则图中阴影部分的面积之和为( )A ．214B ．215C ．225D ．223【解答】解：21ABCD S =Q 正方形，221AB \=，设DH x =，则33AH DH x ==，22921x x \+=，22110x \=，根据题意可知：AE CG DH x ===，3CF AH x ==，32FE FG CF CG x x x \==-=-=，2FGN CGNS S D D \=AEM CGN S S D D =Q ，FGN AEM CGN S S S D D D \=+，\阴影部分的面积之和为：()12NGFM S NG FM FG =+×梯形1()2EM MF FG =+×12FE FG =×21(2)2x =´22x =215=．故选：B ．26．如图，在ABC D 中，90C Ð=°，点M 是AB 的中点，点N 在AC 上，MN AB ^．若8AC =，4BC =，则NC 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．【解答】解：如图，连接BN ，AB Q 的垂直平分线交AB 、AC 于点M 、N ，AN BN \=，设NC x =，则8AN BN x ==-，在Rt BCN D 中，由勾股定理得：222BN BC CN =+，即222(8)4x x -=+，解得：3x =，即3NC =，故选：A ．27．如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE a =，HG b =，则斜边BD 的长是()A B C ．a b +D ．a b-【解答】解：设CD x =，则DE a x =-，HG b =Q ，AH CD AG HG DE HG a x b x \==-=-=--=，2a bx -\=，22a b a bBC DE a -+\==-=，2222222()()222a b a b a b BD BC CD +-+\=+=+=，BD \=，故选：B ．28．在长方形ABCD 中，52AB =，4BC =，CE CF =，延长AB 至点E ，连接CE ，CF 平分ECD Ð，则BE = 76 ．【解答】解：如图，延长CF ，BA 交于点G ，连接EF ，过点F 作FH CE ^于H ，过点E 作EM CF ^于M ，Q 四边形ABCD 是矩形，且52AB =，4BC =，//AB CD \，52AB CD ==，90D ABC CBE Ð=Ð=Ð=°，DCF G \Ð=Ð，CF Q 平分ECD Ð，DCF FCE \Ð=Ð，FH DF =，G ECF \Ð=Ð，EC EG \=，ECG \D 是等腰三角形，CM MG \=，CE CF =Q ，ECF \D 是等腰三角形，EM CF ^Q ，FH CE ^，EM \和FH 是等腰三角形腰上的高，EM FH DF \==，Rt CDF Rt CME(HL)\D @D ，52CM CD \==，5CG \=，Rt CBG D 中，3BG ===，设BE x =，则3EC EG x ==+，Rt CBE D 中，222(3)4x x +=+，解得：76x =，76BE \=．故答案为：76．29．如图是“赵爽弦图”， ABH D ，BCG D ，CDF D 和DAE D 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形，如果10AB =，且:3:4AH AE =．那么AH 等于 6 ．【解答】解：10AB =Q ，:3:4AH AE =，设AH 为3x ，AE 为4x ，由勾股定理得：222222(3)(4)(5)AB AH AE x x x =+=+=，510x \=，2x \=，6AH \=，故答案为：6．30．[阅读理解]如图，在ABC D 中，4AB =，6AC =，7BC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ，求线段AD 的长．解：设BD x =，则7CD x =-．AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°．在Rt ABD D 中，222AD AB BD =-，在Rt ACD D 中，222AD AC CD =-，2222AB BD AC CD \-=-．又4AB =Q ，6AC =，222246(7)x x \-=--．解得2914x =，2914BD \=．AD \==．[知识迁移]（1）在ABC D 中，13AB =，15AC =，过点A 作直线BC 的垂线，垂足为D ．)i 如图1，若14BC =，求线段AD 的长；)ii 若12AD =，求线段BC 的长．（2）如图2，在ABC D 中，AB =，AC =，过点A 作直线BC 的垂线，交线段BC 于点D ，将ABD D 沿直线AB 翻折后得到对应的ABD D ¢，连接CD ¢，若252AD =，求线段CD ¢的长．【解答】解：（1）)i 设BD x =，则14CD x =-，AD BC ^Q ，90ADB ADC \Ð=Ð=°，在Rt ABD D 中，222AD AB BD =-，在Rt ACD D 中，222AD AC CD =-，2222AB BD AC CD \-=-，13AB =Q ，15AC =，22221315(14)x x \-=--，5x \=，5BD \=，12AD \===；)ii 在Rt ABD D 中，5BD ===，在Rt ACD D 中，9CD ===，当ABC Ð为锐角时，如图11-，5914BC BD CD =+=+=，当ABC Ð为钝角时，如图12-，954BC BD CD =-=-=；（2）如图2，连接DD ¢交AB 于点N ，则DD AB ¢^，过点D ¢作D H BD ¢^于H ，在Rt ABD D 中，254BD ==；在Rt ACD D 中，5CD ==，AB Q 垂直平分DD ¢，254D B DB ¢\==，2D D DN ¢=，1122ABD S AD BD AB DN D =×=×Q ，\252524DN ´=，DN \=2D D DN ¢\==，设HB m =，则254HD HB BD m =+=+，22222D H D D HD D B HB ¢¢¢=-=-Q ，22222525(()44m m \-+=-，154m \=，154HB \=，152541544HC HB BD CD \=++=++=，5D H ¢===，D C ¢\===．。
妙用勾股定理巧求图形面积
勾股定理知识总结一：勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。
（即：a2+b2＝c2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题二：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c，则有关系a2+b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
要点诠释：用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c；（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2＝a2+b2，则△ABC是以∠C为直角的直角三角形（若c2>a2+b2，则△ABC是以∠C为钝角的钝角三角形；若c2<a2+b2，则△ABC 为锐角三角形）。
三：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。
四：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
规律方法指导1．勾股定理的证明实际采用的是图形面积与代数恒等式的关系相互转化证明的。
2．勾股定理反映的是直角三角形的三边的数量关系，可以用于解决求解直角三角形边边关系的题目。
3．勾股定理在应用时一定要注意弄清谁是斜边谁直角边，这是这个知识在应用过程中易犯的主要错误。
4. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a，b，c有下列关系：a2+b2＝c2，•那么这个三角形是直角三角形；该逆定理给出判定一个三角形是否是直角三角形的判定方法．5.•应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的过程主要是进行代数运算，通过学习加深对“数形结合”的理解．我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。
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S2
π 8
a2,S3
π 8
b 2 ,S1
π 8
c2
S2 S3 S1
总结：与直角三角形三边相连的正方 形、等腰直角三角形、等边三角形以 及半圆甚至正多边形都有相同的结论： 即两直角边上图形面积的和等于斜边 上的图形的面积。
பைடு நூலகம்
1、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三 角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边 和长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为
a2 b2 c2
3 2
c2
S2
S3
S1
探究二：向外拓展半圆
1、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，
AC=b,BC=a,AB=c，分别以Rt △ABC三边为 边向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2， S3表示，求证：S1 S2 S3
ACB 90
a2 b2 c2
由以上探究知：SDCA SCBF SABE
即：S1 S4 S3 S5 S2 S4 S5 S6
S1
S3
S2
S6
68 2
24
勾股定理在求图形面积中的应用
如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，
AC=b,BC=a,AB=c，分别以Rt △ABC三边为边向 外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表 示，容易得出S1，S2，S3之间的关系
为 S1 S2 S3 ．
探究一：向外拓展三角形
1、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，
AC=b,BC=a,AB=c，分别以Rt △ABC三边为
边向外作三个等腰直角三角形，其面积分
别用S1，S2，S3表示，求证：S1 S2 S3
S1 S2
S3
S1 S2
S3
过点E作ED⊥AB
∵△ABE是等腰三角形
∴AE=BE
∴D是AB的中点
1
1
ED 2 AB 2 c
D
SABE
S1，S2，S3表示，求证：S1 S2 S3
F H
E
F
D
H
E 过点E作ED⊥AB
∵△ABE是等边三角形
∴BE=AB=c
1
1
BD 2 AB 2 c
DE BE2 DB2
SABE
S1
AB DE 2
3 4
c2
同理可得S2
3 4
b2,S3
3 4
a2
ACB 90
_____4_9_____cm2
E F
2、如图，分别以直角三角形ABC的三边作正三 角形，已知AC=6，AB=10，阴影部分的面积分
别记为S1，S2，S3，则S1+S3﹣S2的值为（ A ）
A．24 B．48 C．25 3 D. 50 3 24
E F
H
D
G
E F
H
D
G
记△ACG的面积为S4, △CHB的面积为S5, △ACB的面积为S6.
S1
AB DE 2
1 4
c2
同理可得
S2
1 4
b2,S3
1 4
a2
ACB 90
a2 b2 c2
S2 S3 S1
2、如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，
AC=b,BC=a,AB=c，分别以Rt △ABC三边为
边向外作三个等边三角形，其面积分别用