二次函数求最值动轴定区间动区间定轴

（1）检查x0=
b 2a
是否属于
[
m，n]；
（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0）
中的较大者是最大值,较小者是最小值；
（3）当x0 [m，n]时，f(m)、f(n)中的较大
者是最大值，较小者是最小值.
思考：如何 求函数y=x2-2x-3在 x∈[k,k+2]时的最值?
解析: 因为函数 y=x2-2x-3=(x-1)2-4的对称 轴为 x=1 固定不变,要求函数的最值, 即要看区间[k,k+2]与对称轴 x=1的位 置,则从以下几个方面解决如图:
y1=0 x2 2∙x 3
10
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3
10
例:8 求函数yy == x28x2∙x2-3 2x-3在x∈[k,k+210 ]时
8
的最6 值
6
8
6
6
4
4
4
2 x=1
k+2
15
k
5
x=1
2
k
10
5
15
k+2
5
10
10
x=1
2
k k+2
5
15
5
4
2 x=1
10 5
6
由图知，y=f(x)在[ 2，4 ]上为增函数
4
故x=4时有最大值f(4)=5
x=2时有最小值f(2)=-3
10
5
2 x=1 2
45
2
4
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3
10
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈[ –2，0]，求函数f(x)的最值；8
（2）若x∈[ 2，4]，求函数f(x)的最值；
二次函数在闭区间上的最值问题 动轴定区间、动区间定轴
练习：已知函数f(x)= x2 –2x – 3
（1）若x∈[–2，0]，求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值；
2
（4）若x∈[
12, 2
3 2 ]，求函数f(x)的最值；
当a≥2时
f(x)min=f(-1)=4-a
例2：若x∈ x1x1，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
y
y
O -1 1 x
O -1 1 x
O -1 1 x
评注：例2属于“轴动区间定”的问题，看作对 称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化,即对 称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定区间上 变化情况,要注意开口方向及端点情况。
4
4
4
2 x=1
x=1
2
x=1
2
k+2
k k+2
k k+2
k 15
5
10
5
15
5 10
5
15
10
10
5
5
2
2
2
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
6
评注6：例1属于6“轴定区间动”的问题，看6 作动区
间沿8x轴移动的过8 程中，函数8 最值的变化，8 即动区
间在定轴的左、右两侧及包10含定轴的变化，要注
例3：求函数y=x2+2ax+3在x[-2,2]时的 最值？ 解析：
因为函数y=x2+2ax+3 =（x+a)2+3-a2 的对称轴为x=-a。要求最值则要看x=-a 是否在区间[-2，2]之内，则从以下几个 方面解决如图：
4
4
4
2 x=1
x=1
2
x=1
2
k+2
k k+2
k k+2
k 15
5
10
5
15
5 10
5
15
10
10
5
5
2
2
2
8
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
当k ≤-1时பைடு நூலகம்6
f(x)max6=f(k)=k2-2k-3
6 f(x)min=f(k+2)=k6 2+2k-3
当-1<k <0时 8
f(x)8max=f(k)=k2-2k-38
2
x=0时15有最小值f(010)=-3
5
0
5
-2
2
4
6
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3.
（1）若x∈yy ==[xx22
–2，0 2∙x 3 2∙x 3
]，求函数f(x)的最10 值；
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值；
解：画出函数在定义域内的图像如图 8
对称轴为直线x=1
y =x2+ax+3的最小值：
y
(3)当 a 1 即a<-2时 2
函数在[-1,1]上是减函数
O -1 1 x
y的最小值为f(1) =4+a
例2：若x∈ x1x1，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
y
y
O -1 1 x
O
O
-1 1
x
-1 1 x
当a<-2时 当-2≤a<2时
f(x)fmm ini=nf(1)f=4+aa23a42
y
y
-3 o 1 a 5 x -3 o 1
5a x
(2)当 1a<5时
fmin=f(1)=-4 fmax=f(-3)=12
(3)当a5时
fmin=f(1)=-4 fmax=f(a)= a2-2a-3
例题讲解：
例1 设函数 f(x) =x2-2x-3.3在区间[t，t+1]上的最小值 为g(t)，求g(t)的解析式。
k
2
2
2
2
1105
k+2
4
4
4
4
6
6
6
6
8
8
8 8
10
6
4
2 x=1 k+2
k
2
4
6
8
当k+2≤1即k ≤-1时
f(x)max=f(k)=k2-2k-3
5
10
15
f(x)min=f(k+2)=（k+2)2-2(k+2)-3 =k2+2k-3
4
x=1
2
k k+2
10
82
64
4 6
x=1
2 8
k k+2
<0
,即-2<a<0时，f(x)min=f(
a 2
)=a-a2/4，f(x)max=f(1)=1;
(3)若0 ≤
a 2
<1
,即0≤a<2时，f(x)min=f(
a )= 2
a-a2/4，
f(x)max=f(-1)=1+2a;
(4)若a 1 , 2
即a≥2时， f(x)min=f(1)=1，
f(x)max=f(-1)=1+2a;
15
6
（3）若x∈[ , ],求函数f(x)的最值；
22
4
解：画出函数在定义域内的图像如图
对称轴为直线x=1,由图知，
10
5
5
x=
2
时有最大值 f ( 5 ) 1 3
2
4
2 x=1
1
5
2
2
5
2
4
x=1时有最小值f(1)=-4 6
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3
（1）若x∈yy[== xx–22 222∙∙xx，33 0]，求函数f(x)的最值；
（2）若x∈[ 2，4 ]，求函数f(x)的最值； 10
（3）若x∈[ 1 , 5 ]，求函数f(x)的最值； 8
2
（4）若x∈[
12, 2
3
6
2 ]，求函数f(x)的最值；
4
解：画出函数在定义域内的图像如图
对称轴为直线x=1,由图知，
15
10
5
x= 1 时有最大值 f (1) 13
2
24
x=1时有最小值f(1)=-4
分析 解：f(x)=(x-1)2-4.3，对称轴为x=1
(1)当t>1时，则g(t)=f(t)=t2-2t-3.3;
(2)当0≤t ≤1时，则g(t)=f(1)=-4.3;
(3)当t+1<1，即t<0时，则g(t)=f(t+1)=t2-4.3;
g(t)=
t2-4.3; -4.3; t2-2t-3.3;
练习:已知x2+2x+a≥4在x∈ [0，2]上
恒成立，求a的值。
y
解:令f(x)=x2+2x+a
它的对称轴为x=－1， ∴f(x)在[0，2]上单 调递增，
∴f(x)的最小值为 f(0)=a，即a≥ 4
-1 O 2 x
练一练
1.已知y=－x2+ax+3 ，x∈[－1,1]，
y
求y的最大值
O
-1
当 x1,3时，求函数的最大值.
1、当 a1时 .