(精)二次函数动轴与动区间问题
九年级二次函数中的区间动轴的解题方法
成稿标题：深入解析九年级二次函数中的区间动轴的解题方法一、引言在九年级数学中，学习二次函数是一个重要的内容。
而在二次函数的解题中，区间动轴是一个关键的概念和解题方法。
本文将深入探讨九年级二次函数中的区间动轴的解题方法，帮助读者更深入地理解和掌握这一知识点。
二、区间动轴的概念1. 区间的概念在解析区间动轴之前，首先需要了解区间的概念。
区间是数轴上两个点之间的所有实数的集合。
通常表示为[a, b]，其中a和b为区间的端点。
2. 动轴的定义动轴是指二次函数图像的对称轴，也就是抛物线的对称轴。
它是二次函数图像的一个重要特征，也是解题的关键之一。
三、区间动轴的解题方法在九年级数学中，解决二次函数中区间动轴的问题需要掌握一定的解题方法。
下面将从简到繁，逐步介绍区间动轴的解题方法。
1. 确定二次函数的图像需要根据给定的二次函数，确定其图像的开口方向和顶点的坐标。
这一步是确定区间动轴的基础。
2. 确定动轴的坐标根据二次函数的一般式或标准式，可以求出动轴的坐标。
动轴的坐标通常表示为(x, y)，其中x为动轴的横坐标，y为动轴的纵坐标。
3. 确定区间根据二次函数的图像和动轴的坐标，可以确定区间的范围。
通过分析二次函数图像和动轴的位置关系，可以得出区间的范围。
4. 解答问题根据确定的区间范围和动轴的坐标，可以解答与区间动轴相关的具体问题。
这一步是将区间动轴的解题方法应用到实际问题中，从而得出问题的解答。
四、个人观点和理解区间动轴是二次函数解题中的一个重要概念，也是解答问题的关键之一。
通过深入理解和掌握区间动轴的解题方法，可以更加灵活地应用到实际问题中，并得出准确的结论。
在学习二次函数时，我认为深入理解区间动轴的解题方法是十分重要的，可以帮助我们更好地理解和掌握这一知识点。
五、总结与回顾本文对九年级二次函数中的区间动轴的解题方法进行了深入的探讨，并从概念、解题方法和个人观点三个方面进行了详细的介绍。
通过本文的阅读，读者可以更加全面、深刻和灵活地理解区间动轴的解题方法，从而在解答相关问题时能够得心应手。
(精)二次函数动轴与动区间问题
二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉bam n 2，时 若-<bam 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n ba<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。
二、例题分析归类： （一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
图1练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
高中数学破题致胜微方法(高中常见函数及解题技巧)：二次函数轴动区间动问题
当二次函数，对称轴不固定，所求区间也不固定时，讨论起来当然会显得复杂一些，但如果我们能抓住问题的本质，即区间端点与轴的位置关系。
进行讨论，仍然可以顺利解决问题，一起来看。
先看例题：例：若函数2()(3)4()([,))f x x a x a x a =-+-∈+∞，求f (x )的最小值.注意：当区间为无限区间时，只有轴与区间的位置关系，只有两种。
规律整理：轴动区间动求二次函数的最值：分类讨论区间与对称轴的位置关系，然后由单调性讨论确定二次函数的最值。
练：是否存在实数m ，使函数2111()()424g x x m x =-++在区间[,2]m m +有最小值-5？若存在，请求出实数m 的值；若不存在请说明理由.解：先求函数的对称轴为：21x m =+(1)21,1,m m m +<<-对称轴在[,2]m m +的左边，函数在所求区间单调递增， 所以有min ()()5,g x g m ==- 解得21117()()5,3()4243g m m m m m m =-++=-=-=或舍 (2)212,11,m m m m ≤+≤+-≤≤对称轴在[,2]m m +中，所以在顶点处取到最小值， 即：min ()(21)5,g x g m =+=- 解得2111(21)(21)()(21)5,424g m m m m +=+-+++=- 11))22m m =-=--舍或舍 注意：此时两个解都不在分类区间中，所以都要舍去。
(3)212,1,m m m +>+>对称轴在[,2]m m +右侧，函数在所求区间单调递减， 所以有，min ()(2)5,g x g m =+=- 解得：2111(2)(2)()(2)5,424g m m m m +=+-+++=-1)1m m =--=-+舍或综上，31m m =-=-+或总结：轴动区间动，是二次函数中最复杂的问题，但我们应该结合其它类型问题，综合思考。
汤氏数学二次函数动轴与动区间问题 (1)
⎝ ⎭ [ ]2a ⎝ 2a ⎭ 二次函数动轴与动区间上的最值问题注：这一块，是整个高中函数的一大重难点，很多学生死活学不明白。
上过我的课的同学应该知道，这样类型的题目，我们应该是分类讨论。
希望大家好好看看下面我整理的题型及方法分类。
看完之后，这一块以后不再是个问题。
一、 知识要点：二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为： 对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设 f (x ) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) ，求 f (x ) 在 x ∈[m ，n ] 上的最大值与最小值。
⎛ b 4ac - b 2 ⎫ b分析：将 f (x ) 配方，得顶点为 - 2a ， 4a ⎪ 、对称轴为 x = - 2a当a > 0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上 f (x ) 的最值： （ 1 ）当 - b ∈[m ，n ] 时， f (x ) 的最小值是 f ⎛- b ⎫⎪ =f (m )、f (n ) 中的较大者。
（2）当- b ∉ m ，n 时2a[ ] 4ac - b 2 ，f (x ) 的最大值是4a 若- b < m ，由 f (x ) 在 m ，n 上是增函数则 f (x ) 的最小值是 f (m ) ，最大值是 f (n ) 2a若n < - b 2a，由f (x) 在[m，n]上是减函数则f (x) 的最大值是f (m) ，最小值是f (n) 当a < 0时，可类比得结论。
二、例题分析归类：（一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
二次函数动轴定区间最值问题
二次函数动轴定区间最值问题对于二次函数动轴定区间最值问题，我们可以通过以下步骤解决：
1. 首先，要确定二次函数的开口方向。
如果二次函数的二次项系数大于零，则抛物线向上开口，最值为最小值；如果二次函数的二次项系数小于零，则抛物线向下开口，最值为最大值。
2. 接下来，找到二次函数的顶点坐标。
二次函数的顶点坐标可以通过使用公式 h = -b / (2a) 来计算，其中 a 是二次项系数，b 是一次项系数。
3. 根据找到的顶点坐标，可以确定二次函数的动轴位置。
动轴是与抛物线对称的直线，通过顶点的中垂线。
4. 根据确定的动轴位置，可以划定出二次函数的区间。
5. 最后，根据开口方向和区间的限制条件，确定二次函数在该区间内的最值。
需要注意的是，如果给定的区间超出了二次函数的定义域，则该区间内没有最值。
通过以上步骤，可以解决二次函数动轴定区间最值问题，并找到相应的最值点。
二次函数求最值动轴定区间动区间定轴
10
15
f(x) min =f(k)=k 2-2k-3
4
6
8
10
例: 求函数y=x 2-2x-3 在x∈[k,k+2]时的最值
4
2 x=1 k+2
k
2
4
x=1
2
k
5
k+2
10
2
4
x=1
2
k k+2
5
15
10
5
2
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
当k ≤-1时 6
f(x)
max
=f(k)=k
?
?
练习：已知函数f(x)= x2–2x –3. （1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值；
解：画出函数在定义域内的图像如图
6
对称轴为直线 x=1
由图知， y=f(x) 在[ –2，0 ]上为减函数 故x=-2时有最大值 f(-2)=5
4
x=1
2
x=0时有最小值 f(0)=-3
0
5
-2
二次函数在闭区间上的最值问题 动轴定区间、动区间定轴
练习：已知函数f(x)= x2 –2x – 3
（1）若x∈ [–2，0]，求函数f(x)的最值；
（2）若x∈ [ 2，4 ]，求函数 f(x)的最值；
（3）若x∈ [ 1 , 5 ]，求函数 f(x)的最值；
2
（4）若x∈[?
12 ,
2
3 2
]，求函f(数x)的最值；
2
4
6
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. （1）若x∈[ –2?? ，0 ]，求函数f(x)的最值； （2）若x∈[2 ，4 ]，求函数f(x)的最值；
二次函数动轴与动区间问的题目
实用标准文案二次函数在闭区间上的最值、知识要点:一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般 分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况 设 ，求 在上的最大值与最小值。
二、例题分析归类: （一）、正向型求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形: 区间变；（3）轴变，区间定；（4 ）轴变，区间变。
1.轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1.函数在区间［0，3］上的最大值是 _____________ ，最小值是 __________解：函数是定义在区间［0，3］上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2 ），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在］0, 3 :上,如图1所示。
函数的最大值为，最小值为。
分析:配方，得顶点为、对称轴为时, 它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在 ［m ，n ］上 的最值:的最小值是 的最大值是(2 )当中的较大者。
时, ，由 ，由 可类比得结论。
上是增函数则 上是减函数则 的最小值是 的最大值是 ，最大值是，最小值是是指已知二次函数和定义域区间,（1 ）轴定，区间定；（2 ）轴定,，最大值为g一7q A101322、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2.如果函数定义在区间上，求的最小值。
练习•已知 解：由已知 ，求函数 ,可得 将二次函数配方得 的最值。
，即函数 是定义在区间 上的二次函数。
图象开口向上。
显然其顶点横坐标不在区间，其对称轴方程 ，顶点坐标 ，且，如图2所示。
函数 的最小值为解：函数 ，其对称轴方程为 ，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。
X JI\/1T i jj d1 L Hl x图1如图1所示，若顶点横坐标在区间 石 t 1 计1 x to Hl图2图3 左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。
二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴)
4
4
4
2 x=1
x=1
2
x=1
2
k+2
k k+2
k k+2
k 15
5
10
5
15
5 10
5
15
10
10
5
5
2
2
2
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
6
评注6：例1属于6“轴定区间动”的问题，看6 作动区
间沿8x轴移动的过8 程中，函数8 最值的变化，8 即动区
间在定轴的左、右两侧及包10含定轴的变化，要注
y 解： ⑴当
即a≥ 2时
y的最小值为f(-1)
O -1 1 x
=4-a
例3：若x∈
，求函数
•
y =x2+ax+3的最小值：
(2)当 1 < a 1
2
y
即-2≤ a<2时
y的最小值为
O
f( )=
-1 1 x
例2：若x∈
•
，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
y
O -1 1
(3)当
即a<-2时
解：画出函数在定义域内的图像如图 8
对称轴为直线x=1
6
由图知，y=f(x)在[ 2，4 ]上为增函数
4
故x=4时有最大值f(4)=5
x=2时有最小值f(2)=-3
10
5
2 x=1 2
45
2
4
y = x2 2∙x 3
y = x2 2∙x 3
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二次函数在闭区间上的最值
一、 知识要点：
二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫
⎭⎪
b a
ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：
（1）当[]
-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a
f x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442
，()的最大值是
f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]
-
∉b
a
m n 2，时 若-
<b
a
m 2，由f x ()在[]
m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b
a
<-
2，由f x ()在[]
m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。
二、例题分析归类： （一）、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-2
42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
图1
练习. 已知232
x x ≤，求函数f x x x ()=++2
1的最值。
图2
2、轴定区间变
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2. 如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]
t t ，+1上，求f x ()的最小值。
图1图2图8
例3. 已知
2
()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值． 。
二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
当a >0时⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+<-+≥-=)
)((212)())((2
12)()(21max
如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543m i n 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f
当a <0时⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧
<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max
如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨
⎪⎪⎩
⎪⎪，，如图如图212212910
3、轴变区间定
二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例4. 已知x 2
1≤，且a -≥20，求函数f x x ax ()=++23的最值。
解 。
图3
例5. (1) 求2
f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。
(2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。
4. 轴变区间变
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。
例6. 已知24()(0),y a x a a =->，求22
(3)u x y =-+的最小值。
二）、逆向型
是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。
例7. 已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。
例8.已知函数2
()2
x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。
例9. 已知二次函数2f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为3，求实
数a 的值。
三、巩固训练
1．函数y 12
++=x x 在]1,1[-上的最小值和最大值分别是 （ ）
)(A 1 ,3 )
(B 43 ,3 （C ）21- ,3 （D ）4
1
-, 3 2．函数242
-+-=x x y 在区间]4,1[ 上的最小值是 （ ）
)(A 7- )(B 4- )(C 2- )(D 2
3．函数5
48
2+-=
x x y 的最值为 （ ）
)(A 最大值为8，最小值为0 )(B 不存在最小值，最大值为8
（C ）最小值为0, 不存在最大值 )(D 不存在最小值，也不存在最大值 4．若函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的取值范围是______________________ 5．已知函数f x ax a x a ()()()[]=+---2
21303
2
2≠在区间，上的最大值是1，则实数a 的值为
6．如果实数y x ,满足12
2
=+y x ，那么)1)(1(xy xy +-有 （ ）
(A)最大值为 1 , 最小值为
21 (B)无最大值，最小值为4
3
（C ）)最大值为 1, 无最小值 (D)最大值为1，最小值为4
3
7．已知函数322
+-=x x y 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是
（ ）
(A) ),1[+∞ (B) ]2,0[ (C) ]2,1[ (D) ]2,(-∞ 8．若12,0,0=+≥≥y x y x ，那么232y x +的最小值为__________________
9．设21,,x x R m ∈是方程0122
2
=-+-m mx x 的两个实根，则2
2
21x x +的最小值______ 10．设),](1,[,44)(2R t t t x x x x f ∈+∈--=求函数)(x f 的最小值)(t g 的解析式。
11．已知)(x f 2
2
a
ax x +-=，在区间]1,0[上的最大值为)(a g ，求)(a g 的最小值。
12.（2009江苏卷）设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.。