二次函数动轴动区间问题
二次函数在闭区间上的最值
一、 知识要点：
二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
设fxaxbxca()()20，求fx()在xmn[]，上的最大值与最小值。
分析：将fx()配方，得顶点为baacba2442，、对称轴为xba2
当a0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上fx()的最值：
（1）当bamn2，时，fx()的最小值是fbaacbafx2442，()的最大值是fmfn()()、中的较大者。
（2）当bamn2，时
若bam2，由fx()在mn，上是增函数则fx()的最小值是fm()，最大值是fn()
若nba2，由fx()在mn，上是减函数则fx()的最大值是fm()，最小值是fn()
当a0时，可类比得结论。
二、例题分析归类：
（一）、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数yxx242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
。
图1
练习. 已知232xx，求函数fxxx()21的最值。
2 图2
2、轴定区间变
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2. 如果函数fxx()()112定义在区间tt，1上，求fx()的最小值。
图1图2图8
例3. 已知2()23fxxx，当[1]()xtttR，时，求()fx的最大值．
。
二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
当a0时))((212)())((212)()(21max如图如图，，nmabnfnmabmfxf)(2)()(2)2()(2)()(543min如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxf
当a0时3 )(2)()(2)2()(2)()(876max如图如图如图，，，mabmfnabmabfnabnfxffxfmbamnfnbamn()()()()()()()min，，如图如图212212910
3、轴变区间定
二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例4. 已知x21，且a20，求函数fxxax()23的最值。
解 。
图3
例5. (1) 求2f(x)x2ax1在区间[-1,2]上的最大值。
(2) 求函数)(axxy在]1,1[x上的最大值。
4. 轴变区间变
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。
例6. 已知24()(0),yaxaa，求22(3)uxy的最小值。
二）、逆向型
是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。
例7. 已知函数2()21fxaxax在区间[3,2]上的最大值为4，求实数a的值。
例8.已知函数2()2xfxx在区间[,]mn上的最小值是3m最大值是3n，求m，n的值。
例9. 已知二次函数2f(x)ax(2a1)x1在区间3,22上的最大值为3，求实数a的值。
三、巩固训练
1．函数y12xx在]1,1[上的最小值和最大值分别是 （ ）
)(A1 ,3 )(B43 ,3 （C）21 ,3 （D）41, 3
2．函数242xxy在区间]4,1[ 上的最小值是 （ ）)(A7 )(B4 )(C2 )(D2
3．函数5482xxy的最值为 （ ）
)(A最大值为8，最小值为0 )(B不存在最小值，最大值为8
（C）最小值为0, 不存在最大值 )(D不存在最小值，也不存在最大值
4．若函数]4,0[,422xxxy的取值范围是______________________
5．已知函数fxaxaxa()()()[]22130322≠在区间，上的最大值是1，则实数a的值为
6．如果实数yx,满足122yx，那么)1)(1(xyxy有 （ ）
(A)最大值为 1 , 最小值为21 (B)无最大值，最小值为43 （C）)最大值为 1, 无最小值 (D)最大值为1，最小值为43
7．已知函数322xxy在闭区间],0[m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是
（ ）
(A) ),1[ (B) ]2,0[ (C) ]2,1[ (D) ]2,(
8．若12,0,0yxyx，那么232yx的最小值为__________________
9．设21,,xxRm是方程01222mmxx的两个实根，则2221xx的最小值______
10．设),](1,[,44)(2Rtttxxxxf求函数)(xf的最小值)(tg的解析式。
11．已知)(xf22aaxx，在区间]1,0[上的最大值为)(ag，求)(ag的最小值。
12.（2009江苏卷）设a为实数，函数2()2()||fxxxaxa.
(1)若(0)1f，求a的取值范围；
(2)求()fx的最小值；
(3)设函数()(),(,)hxfxxa，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式()1hx的解集.
二次函数含参问题
1 二次函数含参问题 (1)
姓名________ 班级________ 学号____________
1.“动轴定区间”型的二次函数最值
例 函数2()23fxxax在[0,4]x上的最值。
例 函数2()(21)3fxaxax在区间3[,2]2上最大值为1,求实数a的值
2“动区间定轴”型的二次函数最值
例 求函数2()23fxxx在x∈［a,a+2］上的最值。
2 3.“动轴动区间”型的二次函数最值
已知函数22()96106fxxaxaa在1[,]3b上恒大于或等于０，其中实数[3,)a,求实数b的范围．
巩固习题
1．已知函数222fxxx，若Raaax,2,，求函数的最小值，并作出最小值的函数图象。
2．已知函数2()3fxx，若()26fxkx在区间2,1上恒成立，求实数k的取值范围。
3．已知k为非零实数，求二次函数,122kxkxy(,2]x的最小值。
3 4．已知3a，若函数221fxxax在3,1上的最大值为aM，最小值为am，又已知函数amaMag，求ag的表达式。
5. 已知函数12axaxxf，若0xf恒成立，求实数a的取值范围。
6. 当20x时，函数3142xaaxxf在2x时，取得最大值，求实数a的取值范围。
7. 已知函数322xxy，在mx0时有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围。
4 8. 已知函数122pxxxf，当0x时，有0xf恒成立，求实数p的取值范围。
9. 方程0122xax至少的一个负数根，求实数a的取值范围。
10. 方程0322aaxx的两根都在2,0内，求实数a的取值范围。
二次函数求最值的六种考法(含答案)
1 二次函数与最值的六种考法-重难点题型
【知识点1 定轴定区间】
对于二次函数2(0)yaxbxca在mxn≤≤上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，maxy表示y的最大值，miny表示y的最小值）：
（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在2bxa时，取到最小值，无最大值．
（2）若2bna，如图①，当xm，maxyy；当xn，minyy．
（3）若2bma，如图①，当，xmminyy；当xn，maxyy．
（4）若2bmna≤≤，22bbnmaa，如图①，当2bxa，minyy；当xn，maxyy．
【知识点2 动轴或动区间】
对于二次函数2(0)yaxbxca，在mxn（m，n为参数）条件下，函数的最值需要分别讨论m，n与2ba的大小．
【题型1 二次函数中的定轴定区间求最值】
【例1】（2021春•瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值4，有最小值0 B．有最大值0，有最小值﹣4 x=-b2ax=-b2ax=-b2ax=-b2a④③②①2 C．有最大值4，有最小值﹣4 D．有最大值5，有最小值﹣4
【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．
【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，
∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，
故选：D．
【变式1-1】（2020秋•龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝ ．
【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．
二次函数的区间最值问题
二次函数最值问题
二次函数2(0)yaxbxca 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当0a时，函数在2bxa处取得最小值244acba，无最大值；当时0a，函数在2bxa处取得最大值244acba，无最小值．
本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题．在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的x的取值范围区间的两个端点，二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴，注意结合图像学会用数形结合解题。高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面：1.定轴定区间。2.动轴定区间。3.定轴动区间。下面我们来看例题。
【例1】当22x时，求函数223yxx的最大值和最小值．
分析：这个问题十分简单，属于定轴定区间这一类题目，只需要画出函数图像即可以解决。
【例2】当1txt时，求函数21522yxx的最小值(其中t为常数)．
分析：这类问题属于定轴动区间的问题，由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数21522yxx的对称轴是1x。画出其草图。
(1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t时；当xt时，2min1522ytt；
(2) 当对称轴在所给范围之间．即11tt01t时；当1x时，2min1511322y；
(3) 当对称轴在所给范围右侧．即110tt时，当1xt时，22min151113222yttt.
综上所述：2min213,023,0115,122ttytttt。
【例3】设二次函数221fxxaxa在区间0,1上的最大值为2，求实数a的值。
分析：这类问题属于动轴定区间的问题，由于函数的对称轴随a的变化而变化，所以需要讨论函数对称轴与其范围的相对位置。
二次函数的区间最值问题知识讲解
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word可编辑 二次函数最值问题
二次函数2(0)yaxbxca 是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当0a时，函数在2bxa处取得最小值244acba，无最大值；当时0a，函数在2bxa处取得最大值244acba，无最小值．
本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题．在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的x的取值范围区间的两个端点，二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴，注意结合图像学会用数形结合解题。高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面：1.定轴定区间。2.动轴定区间。3.定轴动区间。下面我们来看例题。
【例1】当22x时，求函数223yxx的最大值和最小值．
分析：这个问题十分简单，属于定轴定区间这一类题目，只需要画出函数图像即可以解决。
【例2】当1txt时，求函数21522yxx的最小值(其中t为常数)．
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word可编辑 分析：这类问题属于定轴动区间的问题，由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．
解：函数21522yxx的对称轴是1x。画出其草图。
(1)
(2) 当对称轴在所给范围左侧．即1t时；当xt时，2min1522ytt；
(3)
(4) 当对称轴在所给范围之间．即11tt01t时；当1x时，2min1511322y；
(5)
(6) 当对称轴在所给范围右侧．即110tt时，当1xt时，22min151113222yttt.
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二次函数区间最值问题解析
1/24二次函数区间及最值问题解析
对于二次函数2(0)yaxbxca
在mxn≤≤
上的最值问题（其中a、b、c、m和n均为定值，
maxy
表示y
的最大值，
miny
表示y的最小值）：
（1）若自变量x为全体实数，如图①，函数在
2b
x
a
时，取到最小值，无最大值．
（2）若
2b
n
a
，如图②，当xm
，
maxyy
；当xn
，
minyy
．
（3）若
2b
m
a
，如图③，当，xm
minyy
；当xn
，
maxyy
．
（4）若
2b
mn
a≤≤，
22bb
nm
aa，如图④，当
2b
x
a
，
minyy
；当xn
，
maxyy．
【题型1二次函数中的定轴定区间求最值】
【例1】已知二次函数y＝﹣x2
+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）
A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4
C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4
【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2
≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．
【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2
+2x+4＝﹣（x﹣1）2
+5，
∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，
∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，
故选：D．
【变式1-1】当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2
﹣3x+m最大值为5，则m＝．
【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．
【解答过程】解：∵二次函数y＝x2
﹣3x+m＝（x−32）2
+m−94，
∴该函数开口向上，对称轴为x=32，
∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2
﹣3x+m最大值为5，
∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m，
解得m＝1，
2/24故答案为：1．
【变式1-2】已知二次函数y＝x2
﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．
二次函数专题——含参二次函数
含参的二次函数
二次函数在初中的时候就比较重要，那么在高中阶段二次函数的考点更加重要，难度也会加大。高中阶段比较喜欢考含有参数的二次函数，参数就会让函数形成一种动态，随着参数不同，函数是不一样的，这就使得本来简单的二次函数变得复杂起来。
例1.
求2()2fxxax在[2,4]上的最大值和最小值。 解析：这道题因为参数的存在使得函数的本身是动的，在动的情况下考虑这个函数最大值和最小值的问题，这就涉及到高中比较爱考的一类问题，动轴定区间问题。
这道题中对称轴正好是xa，随着a不同，这个对称轴在变化，但是在给定区间上问最大值和最小值，那么就会有下面几种情况，在[2,4]这个区间上，有可能（1）这个对称轴不在这个区间里面这个时候的最大值最小值；也有可能（2）这个对称轴就在区间里面，这个时候的最值，还可能（3）对称轴在区间右侧
这几个图针对这个函数并不严谨，上面的是一般函数的示意图，这道题中的函数一定是过原点的。可以感受，随着a的不同，最大值和最小值是不一样的，所以这种含参的动态的问题往往需要我们做的一个工作就是分类讨论。
那么函数在什么时候取到最大值呢，比如说（1），就会在4的地方取得最大值，（2）在4的地方取得最大值，（3）就会在2的地方取得最大值。那么在整个函数的区间上，什么时候能取得最大值呢，我们就要看在这个区间上，哪个数离对称轴最远。那么就有两种情况了，有的时候是2离得比较远，有的时候是4离得比较远，是怎么分界的呢？这个分界线就应该在2和4中间的位置上是3，当对称轴在3x这条线左边的时候，对称轴离2就比较近，离4就比较远，对称轴在右边的时候，离2就比较近，离4就比较远。因此这个函数的最大值，经过分类讨论之后，就会得到一个分段函数：max(4)=168(3)()(2)44(3)faafxfaa也就是如果这个对称轴在3的左侧，也就是3a的时候，离4远，在4处取得最大值，如果在右侧的话，也就是3a的时候，离2远，在2处取得最大值。3a放在哪边都行，代入上面的16816838a，代入下面的444438a，所以3a放在上面下面都是可以的。
含参数二次函数分类讨论的方法总结
含参数二次函数分类讨论的方法总结
二次函数求最值参数分类讨论的方法
分类讨论是数学中重要的思想方法和解题策略。它是根据研究对象的本质属性的相同点和不同点，将对象分为不同种类然后逐类解决问题。
对于二次函数y=a(x-m)+n，x∈[t，s]求最值的问题，解决此类问题的基本思路为：根据对称轴相对定义域区间的位置，利用分类讨论思想方法。为做到分类时不重不漏，可画对称轴相对于定义域区间的简图分类。
分类图如下：t+s/2为对称轴，①表示对称轴在区间［t，s］的左侧，②表示对称轴在区间［t，s］内且靠近区间的左端点，③表示对称轴在区间内且靠近区间的右端点，④表示对称轴在区间［t，s］的右侧。然后，再根据口诀“开口向上，近则小、远则大”；“开口向下，近则大、远则小”即可快速求出最值。
含参数的二次函数求最值的问题大致分为三种题型，无论哪种题型都围绕着对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论。
题型一：“动轴定区间”型的二次函数最值。例如，求函数f(x)=x-2ax+3在x∈[0,4]上的最值。先配方，再根据对称轴相对于区间的位置讨论，然后根据口诀写出最值。
解：f(x)=x-2ax+3=(x-a)+3-a，此函数图像开口向上，对称轴x=a。
①、当a＜0时，距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a最远，∴x=0时，ymin=3，x=4时，ymax=19-8a。
②、当0≤a＜2时，a距对称轴x=a最近，4距对称轴x=a最远，∴x=a时，ymin=3-a2，x=4时，ymax=19-8a。
③、当2≤a＜4时，a距对称轴x=a最近，距对称轴x=a最远，∴x=a时，ymin=3-a2，x=0时，ymax=3.
④、当4≤a时，4距对称轴x=a最近，距对称轴x=a最远，∴x=4时，ymin=19-8a，x=0时，ymax=3.
题型二：“区间定动轴”型的二次函数最值。例如，已知函数f(x)=ax^2+(1-2a)x-3在[0,1]上最小值为-2，求实数a的值。根据对称轴与定义域区间的位置关系进行分类讨论。
2023年新高考数学大一轮复习专题08 幂函数与二次函数(解析版)
专题08 幂函数与二次函数
【考点预测】
1.幂函数的定义
一般地，()ayxaR(a为有理数)的函数，即以底数为自变量，幂为因变量，指数为常数的函数称为幂函数.
2.幂函数的特征：同时满足一下三个条件才是幂函数
①ax的系数为1； ②ax的底数是自变量； ③指数为常数.
(3)幂函数的图象和性质
3.常见的幂函数图像及性质：
函数 yx 2yx 3yx 12yx 1yx
图象
定义域 R R R {|0}xx {|0}xx
值域 R {|0}yy R {|0}yy {|0}yy
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 在R上单调递增 在(0)，上单调递减，在(0+)，上单调递增 在R上单调递增 在[0+)，上单调递增 在(0)，和(0+)，上单调递减
公共点 (11)，
4.二次函数解析式的三种形式
（1）一般式：2()(0)fxaxbxca；
（2）顶点式：2()()(0)fxaxmna；其中，(,)mn为抛物线顶点坐标，xm为对称轴方程.
（3）零点式：12()()()(0)fxaxxxxa，其中，12,xx是抛物线与x轴交点的横坐标.
5．二次函数的图像
二次函数2()(0)fxaxbxca的图像是一条抛物线，对称轴方程为2bxa，顶点坐标为24(,)24bacbaa.
（1）单调性与最值
①当0a时，如图所示，抛物线开口向上，函数在(,]2ba上递减，在[,)2ba上递增，当
2bxa时，2min4()4acbfxa；②当0a时，如图所示，抛物线开口向下，函数在(,]2ba上递增，在[,)2ba上递减，当2bxa时，；2max4()4acbfxa.
（2）与x轴相交的弦长
当240bac时，二次函数2()(0)fxaxbxca的图像与x轴有两个交点11(,0)Mx和22(,0)Mx，212121212||||()4||MMxxxxxxa.
[教案]二次函数给定区间最值问题的思维导图讲解及测试题
二次函数给定区间最值问题的思维导图讲解及测试题
二次函数在某一区间上的最值问题，是初中二次函数内容的继续和发展，随着区间的确定或变化，以及在系数中增添参变数，使其又成为高考数学中的热点。
一、轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“轴定区间定”。
例1. 函数2()42fxxx在区间[]3,0[上的最大值是_______，最小值是______。
思维导图：第一步：对2()42fxxx配方第二步：求出对称轴，判断图
像开口方向第三步：判断对称轴与区间]3,0[的关系第四步：确
定该函数在]3,0[上的单调性第五步：求最值。
解析：由配方法得2(2)2yx，
其对称轴方程是x2，且图象开口向下， 又2[0,3]，
)(xf在]2,0[上单调递增，]3,2[上单调递减，
如图所示，故函数的最大值为f()22，
最小值为f()02。
同学们试着求一下：2()42fxxx分别在区间]5,3[],1,1[上的最值。
小结：二次函数2(),(0)fxaxbxca在给定区间],[nm内的最值情况：
当0a时，
（1）当[,]2bmna时，fx()的最小值是24()()24bacbffxaa，的
最大值是fmfn()()、中的较大者。
（2）当[,]2bmna时，若bam2，由fx()在[,]mn上是增函数
则fx()的最小值是fm()，最大值是fn()
二次函数含参最值问题精选全文
1 精选全文完整版（可编辑修改）
二次函数含参最值问题
题型一、动轴定范围
例1.当20x时，函数3142xaaxy在2x时，取得最大值，求实数a的取值范围
随堂练习
练习1.已知2223ttxxy，当31-x时，有0y恒成立，求实数t的取值范围。
练习2.已知txxy232，当11x时，有0y恒成立，求实数t的取值范围。
练习3.已知2234aaxxy，当21x时，有0y恒成立，求实数a的取值范围。
2 练习4.已知bbxxy23，当12x时，有0y恒成立，求实数b的取值范围。
练习5.(1) 求2yx2ax1在12x的最大值。
(2) 求函数)(axxy在11x上的最大值。
题型二、定轴动范围
例1.已知函数322xxy，在mx0时有最大值3，最小值2，求实数m的取值范围。
随堂练习
练习1.如果函数2(1)1yx定义在区间1txt上，求y的最小值。
练习2.已知223yxx，当1txt时，求y的最大值．
3
练习3.求函数223yxx在x∈［a,a+2］上的最值。
题型三、动轴动范围
例1.已知函数6106922aaaxxy在bx31-上恒大于或等于０，其中实数a3,求实数b的范围．
随堂练习
练习1.已知抛物线cbxxy2交x轴于点A(-1,0)、B（3,0），当43-x时，求y
最大值.
4 练习2.对某一个函数给出如下定义：若存在实数M>0，对于任意的函数值y，都满足-M≤y≤M，则称这个函数是有界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，下图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数y=x1（x > 0）和y= x + 1（-4 < x ≤ 2）是不是有界函数？若是有界函数，求边界值；