精二次函数动轴动区间问题
人教B版必修一二次函数动轴与动区间问题二
3 ,2 上的最大值为 3， 2
x2 x 在区间 [m, n] 上的最小值是 3 m 最大值是 3 n ，求 例 3 已知函数 f ( x) 2 m ， n 的值。
四、当堂检测 1. 已知函数 f ( x ) ax (2a 1) x 3(a≠ 0) 在区间[
当 a 0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上 f ( x ) 的 最值： （1）当
2 b b 4ac b m，n 时， f ( x ) 的最小值是 f ，f ( x ) 的 2a 2a 4a
最大值是 f (m) 、f (n) 中的较大者。 （2）当
(2)仔细体会函数的定义域对研究函数性质的影响
3、教学方法： 自主探究，小组合作
课堂内容展示 复习二次函数的定义，图像的形状 一、自学指导：
一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关 系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设 f ( x) ax 2 bx c(a 0) ，求 f ( x ) 在 x [m，n] 上的最大值与最小值。 分析：将 f ( x ) 配方，得顶点为
1.01 的 365 次方约等于 37.8 ；0.99 的 365 次方约等于 0.03。每天进步一点点，穷屌一年变富帅;每天退步一点点，富美一年变挫矮。 最大值是 f ( n)
二次函数动轴与动区间问题（二）
编者:侯宇虹 审稿人： 邢桂明、张爱莲 星期
（
）月（
）日 若n
授课类型：新授课
b ，由 f ( x ) 在 m ， n 上是减函数则 f ( x ) 的最大值是 f (m) ， 2a
二次函数定轴动区间和动轴定区间习题
仅供个人参考
定轴动区间
1. 2. 3. 4. 5. 求函数 y=x -2x-3 在 x∈【-2，m】上的最大值 求函数 y=x2-2x+3 在 x∈【0，m】上的最小值 求函数 f（x）= y=x2-4x-4 在 x∈【t，t+1】上的最值 求函数 y=-x2+4x-2 在定义区间【0，m】上的最值 求函数 f（x）=（x-1）2+1 在 x∈【t，t+1】上的最值
不得用于商业用途
仅供个人参考
仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur für den persönlichen für Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l 'étude et la recherche uniquement à des fins personnelles; pas à des fins commerciales. только для людей, которые используются для обучения, исследовани=x2+2a-3 在 x∈【-2,4】上的最大值 2.求函数 f（x）=-x2+2ax+1-a 在 x∈【0,1】上的最小值 3.求函数 f（x）=x2+2ax+1 在 x∈【-1,2】上的最值 4.求函数 f（x）=-x（x-a）在定义区间【-1,1】上的最值 5.求函数 f（x）= ax2+2ax+1 在 x∈【-3,2】上的最值
(精)二次函数动轴与动区间问题
二次函数在闭区间上的最值一、 知识要点：二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b aac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：（1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b af x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]-∉bam n 2，时 若-<bam 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n ba<-2，由f x ()在[]m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。
二、例题分析归类： （一）、正向型是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1. 轴定区间定二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1. 函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
图1练习. 已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
图22、轴定区间变二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
二次函数求最值动轴定区间动区间定轴
10
15
f(x) min =f(k)=k 2-2k-3
4
6
8
10
例: 求函数y=x 2-2x-3 在x∈[k,k+2]时的最值
4
2 x=1 k+2
k
2
4
x=1
2
k
5
k+2
10
2
4
x=1
2
k k+2
5
15
10
5
2
6
4
2 x=1
15
k 10
k+2 5
2
4
4
4
4
当k ≤-1时 6
f(x)
max
=f(k)=k
?
?
练习：已知函数f(x)= x2–2x –3. （1）若x∈[ –2，0 ], 求函数f(x)的最值；
解：画出函数在定义域内的图像如图
6
对称轴为直线 x=1
由图知， y=f(x) 在[ –2，0 ]上为减函数 故x=-2时有最大值 f(-2)=5
4
x=1
2
x=0时有最小值 f(0)=-3
0
5
-2
二次函数在闭区间上的最值问题 动轴定区间、动区间定轴
练习：已知函数f(x)= x2 –2x – 3
（1）若x∈ [–2，0]，求函数f(x)的最值；
（2）若x∈ [ 2，4 ]，求函数 f(x)的最值；
（3）若x∈ [ 1 , 5 ]，求函数 f(x)的最值；
2
（4）若x∈[?
12 ,
2
3 2
]，求函f(数x)的最值；
2
4
6
例1、已知函数f(x)= x2 –2x – 3. （1）若x∈[ –2?? ，0 ]，求函数f(x)的最值； （2）若x∈[2 ，4 ]，求函数f(x)的最值；
二次函数动轴动区间最值问题
二次函数动轴动区间最值问题求解二次函数动轴动区间最值问题需要将二次函数转化成标准形式：$y = ax^2 + bx + c$，然后根据二次函数的性质进行分析。
首先，二次函数的动轴是$x = -\frac{b}{2a}$，即二次函数的平衡位置，该点的纵坐标为$\frac{-\Delta}{4a}$，其中 $\Delta = b^2 - 4ac$ 是二次函数的判别式。
1. 若 $a > 0$，则二次函数开口向上，动轴为最低点，动区间为整个实数集 $(-\infty, +\infty)$。
在动轴两侧取两个不同的点 $x_1$ 和 $x_2$，比较它们的纵坐标值可得：$f(x_1) = ax_1^2 + bx_1 + c$$f(x_2) = ax_2^2 + bx_2 + c$若 $x_1 < x_2$，则有$f(x_1) < f(-\frac{b}{2a}) < f(x_2)$所以动区间的最小值是 $-\infty$，最大值是 $+\infty$。
2. 若 $a < 0$，则二次函数开口向下，动轴为最高点。
根据二次函数的对称性，动区间为 $(-\infty, -\frac{b}{2a}]$ 和 $[\frac{-b}{2a}, +\infty)$。
在动区间的两个端点取两个不同的点 $x_1$ 和 $x_2$，比较它们的纵坐标值可得：$f(x_1) = ax_1^2 + bx_1 + c$$f(x_2) = ax_2^2 + bx_2 + c$若 $x_1 < \frac{-b}{2a} < x_2$，则有$f(x_1) > f(-\frac{b}{2a})$ 且 $f(x_2) > f(-\frac{b}{2a})$所以动区间的最小值是 $f(-\frac{b}{2a})$，最大值是 $+\infty$。
需要注意的是，若二次函数有定义域的限制，则动区间也受到限制。
初高中衔接 二次函数求最值(动轴定区间、动区间定轴)
4
4
4
4
6
6
6
6
思考：通过以上几题，你发现二次函数在区间[m，n]上的最值通常在哪里取到？
8
8
8
8
10
10
10
10
总结：求二次函数f(x)=ax2+bx+c在[m，n]上的最值或值域的一般方法是：
b （1）检查x0= 是否属于 [ m，n]； 2a
（2）当x0∈[m，n]时，f(m)、f(n)、f(x0） 中的较大者是最大值,较小者是最小值； （3）当x0 [m，n]时，f(m)、f(n)中的较大 者是最大值，较小者是最小值.
y =x2+ax+3的最小值：
y
-1
O
1
x
例3：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
解：
a ⑴当 1即a≥ 2时 2
y
y的最小值为f(-1) =4-a
x
-1
O
1
例3：若x∈ x 1 x 1，求函数
y =x2+ax+3的最小值：
(2)当 1 <
0
y
X=a
0
1 2 3 x
X=a
y
3、当2 < a < 3时， f ( x ) max f (1) a 2 2a 3
1 2 3 x
y
X=a
0
4、当a 3时， f ( x ) max f (1) a 2 2a 3
1 2 3 x
X=a
y
0
1 2 3 x
综上可知：
f ( x) max a 6a 11 (a < 2) 2 a 2a 3 (a 2)
35二次函数动轴与动区间问题
专题35、二次函数在闭区间上的最值一、二次函数解析式的三种形式(1)一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠． (2)顶点式：2()()(0)f x a x m n a =-+≠(3)两根式：12()()()(0)f x a x x x x a =--≠。
2()(0)f x ax bx c a =++≠ 0a >0a <图象定义域 RR值域24,4ac b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ 24,4ac b a ⎛⎤--∞ ⎥⎝⎦单调性在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上递减， 在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递增 在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上递增，在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上递减 奇偶性0b =时为偶函数，0b ≠时既不是奇函数也不是偶函数图象特点 ①对称轴：2bx a=-；②顶点：24(,)24b ac b a a --解决二次函数图象与性质问题的注意点⑴抛物线的开口方向、对称轴位置、定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论;⑵要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”（作草图），再“定量”（看图求解），事半功倍。
二次函数在闭区间上的最值问题一般有以下三类题型(1)定轴动区间，此时讨论对称轴与区间端点的位置关系． (2)定区间动轴，此时讨论对称轴与区间的位置关系．⑶轴定区间定：此时题目相对比较简单，只需要作出图形分析即可。
注意：对于闭区间上含参数的二次函数的最值，应对系数进行讨论，要遵守分类讨论中的三原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，决不无原则地分类讨论．一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.设2()(0)f x ax bx c a =++≠，要求函数()f x 在[,]x m n ∈上的最大值与最小值。
第13节 二次函数轴动区间定和轴定区间动问题
第二章 函数 第13节 二次函数轴动区间定和
轴定区间动问题
第二章 函数
第十三节 二次函数轴定区间动和轴动区间定问题
典例分析：
例 1：已知函数 f（x）=x2﹣4x﹣4 在闭区间[t，t+1]（t∈R）上的最小值记为 g
（t）．
解：（1）由于函数 f（x）=x2﹣4x﹣4 的对称轴为 x=2， 当 2＜t 时，函数 f（x）在闭区间[t，t+1]上单调递增，
f（x）min=f（﹣ ）=4﹣ ，
综上：f（x）min=
．
练习：设函数 f（x）=x2﹣ax+1，x∈[﹣1，2]． （1）若函数 f（x）为单调函数解，：（求1）函a数的f（取x）值=x2﹣范ax围+1，；的对称轴为：x= ，函数 f（x）为单调函数， （2）求函数 f（x）的最小值．可得 或 ，解得 a∈（﹣∞，2]∪[4，+∞）．
3.已知二次函数 f（x）=ax2+bx+3 在 x=2 时取得最小值，且函数 f（x）的图象在 x 轴上截得的线段长为 2． （1）求函数 f（x）的解析式； （2）若函数 g（x）=f（x）﹣mx 的一个零点在区间（0，2）上，另一个零点在 区间（2，3）上，求实数 m 的取值范围． （3）当 x∈[t，t+1]时，函数 f（x）的最小值为﹣ ，求实数 t 的值．
∴△=（2a+1））2=0，可得 2a+1=0，即 a=﹣ ，
∴f（x）=﹣ x2+x；
（Ⅱ）g（x）=﹣x2+3x+6，其图象的对称轴 x= ，
①当 m﹣2≥ 即 m≥ 时，g（x）max=g（m﹣2）=﹣m2+7m﹣4=2， 解得：m=1 或 m=6，故 m=6； ②当 m﹣2＜ ＜m 即 ＜m＜ 时，
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
精二次函数动轴动区间问
题
The pony was revised in January 2021
二次函数在闭区间上的最值
一、 知识要点：
二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。
一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
设f x ax bx c a ()()=++≠20，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。
分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b a
ac b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：
（1）当[]
-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。
（2）当[]
-∉b a m n 2，时 若-<b a m 2，由f x ()在[]
m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a <-2，由f x ()在[]
m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。
二、例题分析归类：
（一）、正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。
对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。
此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；
（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。
1.轴定区间定
二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。
例1.函数y x x =-+-242在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。
图1
练习.已知232x x ≤，求函数f x x x ()=++21的最值。
图2
二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。
例2.如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]
t t ，+1上，求f x ()的最小值。
图1图2图8
例3.已知
2()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值． 。
二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
当a >0时⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+<-+≥-=))((212)())((212)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f 当a <0时⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，，如图如图212212910
二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。
例4.已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x ax ()=++23的最值。
解。
图3
例5.(1)求2f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。
(2)求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。
4.轴变区间变
二次函数是含参数的函数，而定义域区间也是变化的，我们称这种情况是“动二次函数在动区间上的最值”。
例6.已知24()(0),y a x a a =->，求22(3)u x y =-+的最小值。
二）、逆向型
是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中参数的取值。
例7.已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。
例8.已知函数2
()2
x f x x =-+在区间[,]m n 上的最小值是3m 最大值是3n ，求m ，n 的值。
例9.已知二次函数2f (x )ax (2a 1)x 1=+-+在区间3,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的最大值为3，求实数a 的值。
三、巩固训练
1．函数y 12++=x x 在]1,1[-上的最小值和最大值分别是（）)(A 1,3 )(B 43,3 （C ）21-
,3 （D ）41-,3 2．函数242-+-=x x y 在区间]4,1[上的最小值是（ ）)(A 7- )(B 4-
)(C 2- )(D 2
3．函数5
482+-=x x y 的最值为（ ） )(A 最大值为8，最小值为0 )(B 不存在最小值，最大值为8
（C ）最小值为0,不存在最大值 )(D 不存在最小值，也不存在最大值
4．若函数]4,0[,422∈+--=x x x y 的取值范围是______________________
5．已知函数f x ax a x a ()()()[]=+---2213032
2≠在区间，上的最大值是1，则实数a 的值为
6．如果实数y x ,满足122=+y x ，那么)1)(1(xy xy +-有（）
(A)最大值为1,最小值为21(B)无最大值，最小值为4
3
（C ）)最大值为1,无最小值(D)最大值为1，最小值为4
3 7．已知函数322+-=x x y 在闭区间],0[m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是
（）
(A)),1[+∞(B)]2,0[(C)]2,1[(D)]2,(-∞
8．若12,0,0=+≥≥y x y x ，那么232y x +的最小值为__________________
9．设21,,x x R m ∈是方程01222=-+-m mx x 的两个实根，则2221x x +的最小值______
10．设),](1,[,44)(2R t t t x x x x f ∈+∈--=求函数)(x f 的最小值)(t g 的解析式。
11．已知)(x f 2
2a ax x +-=，在区间]1,0[上的最大值为)(a g ，求)(a g 的最小值。
12.（2009江苏卷）设a 为实数，函数2()2()||f x x x a x a =+--.(1)若(0)1f ≥，求a 的取值范围；(2)求()f x 的最小值；(3)设函数()(),(,)h x f x x a =∈+∞，直接写出．．．．
(不需给出演算步骤)不等式()1h x ≥的解集.。