等差数列知识点解读
等差数列知识点归纳总结
等差数列知识点归纳总结
等差数列是数学里最基本的概念之一，是定义数轴上元素排列方式的基础。
一个等差数列是从第二项开始，后一项减去前一项的差都是固定值的数列，称为等差数列。
等差数列的特点是可以求出中间的项，预测后面的项，计算等差数列的和等。
第一，等差数列的定义。
等差数列，也称等差级数，是由一系列等差的数构成的数列，也就是前面两项的差相同，且为有限数，叫做等差数列。
第二，等差数列的特点。
等差数列的特点是，前一项与下一项的差是一个固定的值，也就是等差数列的公差，从而可以从其中推测出等差数列中的其他数。
第三，等差数列的公式。
等差数列的通用公式为：Sn = a1 + (n - 1) d,其中，a1表示等差数列的第一项，d表示等差数列的公差，n 表示等差数列的项数，Sn表示等差数列中第n项的值。
第四，等差数列的求和计算。
等差数列的求和计算有两种方法，一种是利用求和公式，一种是利用构造法来求和。
求和公式是：Sn = a1 + a2 + a3 + + an = n(a1 + an) / 2。
构造法是把等差数列分成两半，把两半数列的首项和末项相乘，得到的积叫做构造法的和。
第五，等差数列的应用。
等差数列广泛应用于数学、计算机、统计学和其他学科，如时间序列分析、有限项计算、数列递推、方程定义等，这些都可以利用等差数列的特性加以计算。
综上所述，等差数列是数学里最基本的概念之一，包括定义、特
点、公式、求和计算、应用等。
它在数学、计算机、统计学和其他学科有着广泛的应用，是这些学科里重要的基础概念，也是几乎所有数学计算研究的基础。
常见数列知识点总结归纳
常见数列知识点总结归纳数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。
数列的研究在数学中具有广泛的应用，涉及到多个领域。
本文将对常见数列的相关知识点进行总结和归纳。
一、等差数列等差数列是最基础也是最常见的数列类型之一。
它的特点是数列中的每一项与前一项之间的差值都是相等的。
1. 通项公式等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an为第n项，a1为首项，d为公差。
2. 前n项和公式等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 * (a1 + an)，其中Sn为前n项的和。
3. 性质与运算等差数列具有多个性质和运算规则，例如：任意两项之和等于其间项数乘以公差、删除相同项后，剩下的数列仍然是等差数列等。
二、等比数列等比数列是另一种常见的数列类型，它的特点是数列中的每一项与前一项之比都是相等的。
1. 通项公式等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
2. 前n项和公式等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。
3. 性质与运算等比数列也有多个性质和运算规则，例如：相邻两项之商等于公比、删除相同项后，剩下的数列仍然是等比数列等。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一种特殊的数列，它的前两项为1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。
斐波那契数列的通项公式为an = an-1 + an-2，其中an为第n项，an-1为第n-1项，an-2为第n-2项。
斐波那契数列具有独特的性质，例如：相邻两项之比逐渐接近黄金分割比、在数列中，某一项与它之后的项之商趋近于黄金分割比等。
四、几何数列几何数列是一种特殊的数列，它的前一项与后一项之比都是相等的。
几何数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an为第n项，a1为首项，r为公比。
几何数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn为前n项的和。
(完整版)等差数列知识点总结
等差数列1. 定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。
用递推公式表示为d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：（1）*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈（首项:1a ，公差:d ，末项:n a ）（2）d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A +=或b a A +=2（2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+ 211()22d n a d n =+- 2An Bn =+（其中A 、B 是常数） （当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）5．等差数列的证明方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3）数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
注：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）；偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（公差为2d ）7.等差数列的性质：（1）当公差0d ≠时，等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 和211(1)()222n n n d dS na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.（2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。
等差数列知识点总结归纳
等差数列知识点总结归纳等差数列，顾名思义，是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。
它是数学中一种重要的基本数列，不仅在数学中有着广泛的应用，而且在实际问题中也有很多的应用。
本文将为您总结归纳一些等差数列的重要知识点。
一、等差数列的定义与性质1. 等差数列的定义：设数列a₁, a₂, a₃, ..., an, ...，如果它的公差d 是一个常数，即对于任意的正整数n，有an+1 - an = d，那么我们称这个数列为等差数列。
2. 等差数列的通项公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，那么等差数列的第n项an可以表示为an = a₁ + (n-1)d。
3. 等差数列的前n项和公式：设等差数列的首项为a₁，公差为d，前n项和Sn可以表示为Sn = (a₁ + an)n/2，其中an为等差数列的第n 项。
二、等差数列的常见问题1. 求等差数列的公差：根据等差数列的定义，可以通过求相邻两项的差来确定等差数列的公差。
2. 求等差数列的前n项和：使用前n项和公式，带入相应的数值进行计算即可。
3. 求等差数列的第n项：使用通项公式，将n带入公式中即可求得等差数列的第n项。
4. 求等差数列中满足特定条件的项数：将通项公式中的an与给定的值进行比较，解方程可以求得满足条件的项数。
三、等差数列的应用场景等差数列在实际问题中有着广泛的应用，以下是一些用途的例子：1. 资金的等额递增或等额递减：在金融领域中，等差数列可以用来描述资金的等额递增或等额递减情况，比如按固定金额逐月还贷款。
2. 数学建模问题：在一些数学建模问题中，等差数列可以用来描述数量的变化规律，例如人口增长问题、物品价格变化问题等。
3. 科学实验中的数据分析：在科学实验中，往往需要对一系列数据进行分析，若这些数据满足等差数列的规律，就可以使用等差数列的知识进行处理和预测。
四、等差数列与数学思维培养研究等差数列的性质，可以促进我们培养一些重要的数学思维，比如：1. 归纳推理能力：通过观察等差数列的规律，总结归纳出等差数列的通项公式和前n项和公式。
等差数列知识点总结
等差数列知识清单1、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示。
用递推公式表示为或。
根据定义，当我们看到形如：、、、、时，应能从中得到相应的等差数列。
等差数列的判定方法1. 定义法：若或(常数) 是等差数列．2.等差中项：数列是等差数列．3.数列是等差数列（其中是常数）。
4.数列是等差数列,（其中A、B是常数）。
等差数列的证明方法定义法：若或(常数) 是等差数列．例1．设S n是数列{a n}的前n项和，且S n=n2，则{a n}是（）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列2．等差数列通项公式：， 首项:，公差:d，末项:推广： ． 从而；等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；说明：等差数列（通常可称为数列）的单调性：为递增数列，为常数列， 为递减数列。
例2．等差数列{a n}中，已知a1＝，a2＋a5＝4，a n＝33，则n为( ) A．48 B．49 C．50 D．51如(1)等差数列中，，，则通项 ；（2）首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是______ ；例3.设{a n}是公差为正数的等差数列,若a1+a2+a3＝15,a1a2a3＝80,则a11+a12+a13等于（）A.120B.105C.90D.75例4：已知数列{a n}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和S n有最大值，则使S n>0的n的最大值为( )A．11 B．19 C．20 D．211..已知数列{a n}的前n项和S n＝n(n-40),则下列判断正确的是( )A.a19＞0,a21＜0B.a20＞0,a21＜0C.a19＜0,a21＞0D.a19＜0,a20＞02.若数列{a n}的前n项和S n＝n2-10n(n＝1,2,3,…),则此数列的通项公式为_______________;数列{na n}中数值最小的项是第_______项.3．等差中项（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或. (2）等差中项：数列是等差数列.例5．“公差为0的等差数列是等比数列”；“公比为的等比数列一定是递减数列”；“a,b,c三数成等比数列的充要条件是b2=ac”；“a,b,c三数成等差数列的充要条件是2b=a+c”，以上四个命题中，正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个1．已知1，a，b成等差数列，3，a＋2，b＋5成等比数列，则等差数列的公差为( )A．3或－3 B．3或－1 C．3 D．－32．在等差数列中，，则的值为( )（A）5 （B） 6 （C）8 （D）103 已知{a n}为等差数列，若a1+a5+a9＝π,则cos(a2+a8)的值为________________.4、等差数列的前和的求和公式：（其中A、B是常数，所以当d≠0时，S n是关于n的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数时，是项数为2n+1的等差数列的中间项（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）前和是关于的二次函数且常数项为0.例6：等差数列{a n}的前n项和记为S n，若a2＋a4＋a15的值是一个确定的常数，则数列{S n}中也为常数的项是( )A．S7 B．S8 C．S13 D．S15例7：设S n是等差数列{a n}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝________.1．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，a1＝－2010，－＝2，则S2010的值为________．2. 设{}为等差数列，公差d = -2，为其前n项和.若，则=（）A.18B.20C.22D.243 数列 中，，，前n项和，则＝＿，＝＿4已知数列 的前n项和，求数列的前项和5设等差数列{a n}的前n项和为S n,且a3+a7-a10＝8,a11-a4＝4,则S13等于（）A.168B.156C.78D.1526.在各项均不为零的等差数列{a n}中,若a n+1-a n2+a n-1＝0(n≥2),则S2n-1-4n等于…（）A.-2B.0C.1D.25、等差数列的性质：（1）在等差数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2）在等差数列中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列， 如：，，，，……；，，，，……；（3）在等差数列中，对任意，，，；（4）在等差数列中，若，，，且，则；特别地，当时，则有，注：，（1）等差数列中，，则＝____设数列是等差数列，且公差为，（Ⅰ）当项数为偶数时，（Ⅱ）当项数为奇数时，则（其中是项数为2n+1的等差数列的中间项）．1 在等差数列中，S11＝22，则＝______2 项数为奇数的等差数列中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数3 .已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )A.5B.4C.3D.26、在等差数列中,有关的最值问题（1）邻项变号法① 当 、时，满足 的项数使得取最大值.② 当 、时，满足 的项数使得取最小值.（2）利用（时，是关于的二次函数）进行配方（注意应取正整数）（1）等差数列中，，，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。
(完整版)等差数列知识点总结
(完整版)等差数列知识点总结1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都相等的数列。
2. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为 a1，公差为 d，则第 n 项的通项公式为 an = a1 + (n - 1) * d。
3. 等差数列的前 n 项和公式设等差数列的首项为 a1，末项为 an，项数为 n，公差为 d，则前 n 项的和公式为 Sn = n * (a1 + an) / 2。
4. 判断数列是否为等差数列- 检查数列中连续两项的差是否相等，即是否满足等差数列的定义。
- 可以通过计算数列的前 n 项和是否满足 Sn = n * (a1 + an) / 2 来判断。
5. 求等差数列的公差设等差数列的首项为 a1，第二项为 a2，则公差可以通过计算差值 d = a2 - a1 获得。
6. 求等差数列的项数设等差数列的首项为 a1，末项为 an，公差为 d，则项数可以通过以下公式计算：n = (an - a1 + d) / d。
7. 求等差数列的首项设等差数列的第一项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项为an，则首项可以通过以下公式计算：a1 = an - (n - 1) * d。
8. 求等差数列的末项设等差数列的首项为 a1，公差为 d，已知项数为 n，末项可以通过以下公式计算：an = a1 + (n - 1) * d。
9. 等差数列的性质- 等差数列的任意三项成等差数列。
- 等差数列中的取任意几项可以组成一个等差数列。
- 等差数列的平均数等于首项与末项的平均数。
10. 应用场景等差数列的应用非常广泛，常见的应用场景包括：- 数学题中的数列问题，如求和、推导等。
- 统计学中的数据分析，如平均数、标准差等。
- 金融学中的投资计算，如等额本息还款、定期存款等。
- 工程学中的时间序列分析，如温度变化、电压波动等。
以上是等差数列的一些重要知识点总结，希望能对你有所帮助！。
等差数列知识点总结与题型归纳讲义
10.1等差数列知识梳理.等差数列1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)．(2)①通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d )⇒当d ≠0时，a n 是关于n 的一次函数．②通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(3)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．①若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．②当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(4)前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2――→a n ＝a 1＋(n －1)dS n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋a 1－d2n ⇒当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且没有常数项．2.常用结论：已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(2)若{a n }是等差数列，则S nn 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的12.(3)若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.题型一.等差数列的基本量1．已知等差数列{a n}满足a3+a4＝12，3a2＝a5，则a6＝11．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a3+a4＝12，3a2＝a5，∴2a1+5d＝12，3（a1+d）＝a1+4d，联立解得a1＝1，d＝2，∴a6＝a1+5d＝11故答案为：112．（2018•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若3S3＝S2+S4，a1＝2，则a5＝（）A．﹣12B．﹣10C．10D．12【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，3S3＝S2+S4，a1＝2，∴3×(31+3×22p=a1+a1+d+4a1+4×32d，把a1＝2，代入得d＝﹣3∴a5＝2+4×（﹣3）＝﹣10．故选：B．3．（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5＝24，S6＝48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝48，∴1+3+1+4=2461+6×52=48，解得a1＝﹣2，d＝4，∴{a n}的公差为4．故选：C．题型二.等差数列的基本性质1．在等差数列{a n}中，已知a5+a10＝12，则3a7+a9等于（）A．30B．24C．18D．12【解答】解：∵等差数列{a n}中，a5+a10＝12，∴2a1+13d＝12，∴3a7+a9＝4a1+26d＝2（2a1+13d）＝24．故选：B．2．在等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12＝120，则a9−1311的值为（）A．17B．16C．15D．14【解答】解：由a4+a6+a8+a10+a12＝（a4+a12）+（a6+a10）+a8＝5a8＝120，解得a8＝24．a9−1311=a1+8d−1+103=23a1+143d=23（a1+7d）=23a8＝16故选：B．3．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝10，S4＝36，则公差d为2．【解答】解：∵a3＝10，S4＝36，∴a1+2d＝10，4a1+4×32d＝36，解得d＝2．故答案为：2．题型三.等差数列的函数性质1．下面是关于公差d＞0的等差数列{a n}的四个命题：（1）数列{a n}是递增数列；（2）数列{na n}是递增数列；（3）数列{}是递减数列；（4）数列{a n+3nd}是递增数列．其中的真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差d＞0，则a n＝a1+（n﹣1）d＝dn+a1﹣d，∴数列{a n}是递增数列，故（1）正确；B=B2+(1−p，当n＜K12时，数列{na n}不是递增数列，故（2）错误；=+1−，当a1﹣d≤0时，数列{}不是递减数列，故（3）错误；a n+3nd＝4nd+a1﹣d，数列{a n+3nd}是递增数列，故（4）正确．∴真命题个数有2个．故选：C．2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2（n∈N*），则{a n}的通项公式为（）A．a n＝2n B．a n＝2n﹣1C．a n＝3n﹣2D．=1，=12，≥2【解答】解：∵S n＝n2，∴当n＝1时，a1＝S1＝1．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2＝2n﹣1，而当n＝1时也满足，∴a n＝2n﹣1．故选：B．3．在数列{a n}中，若a n＝5n﹣16，则此数列前n项和的最小值为（）A．﹣11B．﹣17C．﹣18D．3【解答】解：令a n＝5n﹣16≤0，解得n≤3+15．则此数列前n项和的最小值为S3=3×(−11+15−16)2=−18．故选：C．题型四.等差数列的前n项和经典结论1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，则S6＝（）A．27B．33C．36D．45【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S9＝72，∴S3，S6﹣S3，S9﹣S6成等差数列，故2（S6﹣S3）＝S3+S9﹣S6，即2（S6﹣9）＝9+72﹣S6，求得S6＝33，故选：B．2．等差数列{a n}中，S n是其前n项和，1=−11，1010−88=2，则S11＝（）A．﹣11B．11C．10D．﹣10【解答】解：=B1+oK1)2，得=1+(K1)2，由1010−88=2，得1+10−12−(1+8−12)=2，d＝2，1111=1+(11−1)2=−11+5×2=−1，∴S11＝﹣11，故选：A．3．若两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别是S n和T n，已知=2r1，则77等于（）A．1321B．214C．1327D．827【解答】解：∵=2r1，∴77=2727=132(1+13)132(1+13)=1313=132×13+1=1327，故选：C．题型五.等差数列的最值问题1．已知等差数列{a n}中，S n是它的前n项和，若S16＞0，S17＜0，则当S n最大时，n的值为（）A．8B．9C．10D．16【解答】解：∵等差数列{a n}中，S16＞0且S17＜0∴a8+a9＞0，a9＜0，∴a8＞0，∴数列的前8项和最大故选：A．2．在等差数列{a n}中，已知a1＝20，前n项和为S n，且S10＝S15，求当n为何值时，S n取得最大值，并求出它的最大值．【解答】解：∵等差数列{a n}中S10＝S15，∴S15﹣S10＝a11+a12+a13+a14+a15＝5a13＝0，∴a13＝0，∴数列的前12项为正数，第13项为0，从第14项开始为负值，∴当n＝12或13时，S n取得最大值，又公差d=13−113−1=−53，∴S12＝12×20+12×112（−53）＝130∴S n的最大值为1303．（2014·江西）在等差数列{a n}中，a1＝7，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n＝8时S n取得最大值，则d的取值范围为（﹣1，−78）．【解答】解：∵S n＝7n+oK1)2，当且仅当n＝8时S n取得最大值，∴7＜8 9＜8，即49+21＜56+2863+36＜56+28，解得：＞−1＜−78，综上：d的取值范围为（﹣1，−78）．题型六.证明等差数列1．已知数列{a n}满足1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，数列{b n}满足=1−1(∈∗)．（1）求证数列{b n}是等差数列；（2）求数列{a n}中的最大项和最小项．【解答】解：（1）由1=35，=2−1K1(≥2，∈∗)，得a n+1＝2−1（n∈N•）b n+1﹣b n=1r1−1−1−1=12−1−1−1−1=1…（4分）又b1=−52，所以{b n}是以−52为首项，1为公差的等差数列…（6分）（2）因为b n＝b1+（n﹣1）＝n−72，所以a n=1+1=22K7+1．…（9分）1≤n≤3时数列{a n}单调递减且a n＜1，n≥4时数列{a n}单调递减且a n＞1所以数列{a n}的最大项为a4＝3，最小项为a3＝﹣1．…（14分）2．已知数列{a n}中，a2＝1，前n项和为S n，且S n=o−1)2．（1）求a1；（2）证明数列{a n}为等差数列，并写出其通项公式；【解答】解：（1）令n＝1，则a1＝S1=1(1−1)2=0（2）由=o−1)2，即=B2，①得r1=(r1)r12．②②﹣①，得（n﹣1）a n+1＝na n．③于是，na n+2＝（n+1）a n+1．④③+④，得na n+2+na n＝2na n+1，即a n+2+a n＝2a n+1又a1＝0，a2＝1，a2﹣a1＝1，所以，数列{a n}是以0为首项，1为公差的等差数列．所以，a n＝n﹣1课后作业.等差数列1．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝72，则a1+a5+a9＝（）A．36B．24C．16D．8【解答】解：由等差数列的求和公式可得，S9=92（a1+a9）＝72，∴a1+a9＝16，由等差数列的性质可知，a1+a9＝2a5，∴a5＝8，∴a1+a5+a9＝24．故选：B．2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S8＝4a3，a7＝﹣2，则a10＝（）A．﹣8B．﹣6C．﹣4D．﹣2【解答】解：等差数列{a n}中，前n项和为S n，且S8＝4a3，a7＝﹣2，则81+28=41+81+6=−2，解得a1＝10，d＝﹣2，∴a10＝a1+9d＝﹣8．故选：A．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1＞0，2a5+a11＝0，则下列说法错误的为（）A．a8＜0B．当且仅当n＝7时，S n取得最大值C．S4＝S9D．满足S n＞0的n的最大值为12【解答】解：∵2a5+a11＝0，∴2a1+8d+a1+10d＝0，∴a1＝﹣6d，∵a1＞0，∴d＜0，∴{a n}为递减数列，∴a n＝a1+（n﹣1）d＝﹣6d+（n﹣1）d＝（n﹣7）d，由a n≥0，（n﹣7）d≥0，解得n≤7，∴数列前6项大于0，第7项等于0，从第8项都小于0，∴a8＜0，当n＝6或7时，S n取得最大值，故A正确，B错误；∵S4＝4a1+6d＝﹣24d+6d＝﹣18d，S9＝9a1+36d＝﹣28d+36d＝﹣18d，∴S4＝S9，故C正确；∴S n＝na1+oK1)2=2（n2﹣13n）＞0，解得0＜n＜13，∴满足S n＞0的n的最大值为12，故D正确．故选：B．4．若等差数列{a n}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当n＝8时，{a n}的前n项和最大；当S n＞0时n的最大值为15．【解答】解：∵a7+a8+a9＝3a8＞0，a7+a10＝a8+a9＜0，∴a8＞0，a9＜0，∴n＝8时，{a n}的前n项和最大；∵S15=15(1+15)2=15a8＞0，S16=16(1+16)2=8（a8+a9）＜0，∴当S n＞0时n的最大值为15．故答案为：8；15．5．在数列{a n}中，a2＝8，a5＝2，且2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），则|a1|+|a2|+…+|a10|的值是（）A．210B．10C．50D．90【解答】解：∵2a n+1﹣a n+2＝a n（n∈N*），即2a n+1＝a n+2+a n（n∈N*），∴数列{a n}是等差数列，设公差为d，则a1+d＝8，a1+4d＝2，联立解得a1＝10，d＝﹣2，∴a n＝10﹣2（n﹣1）＝12﹣2n．令a n≥0，解得n≤6．S n=o10+12−2p2=11n﹣n2．∴|a1|+|a2|+…+|a10|＝a1+a2+…+a6﹣a7﹣…﹣a10＝2S6﹣S10＝2（11×6﹣62）﹣（11×10﹣102）＝50．故选：C．6．已知在正整数数列{a n}中，前n项和S n满足：S n=18（a n+2）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=12a n﹣30，求数列{b n}的前n项和的最小值．【解答】解：（1）∵S n=18（a n+2）2，∴当n＝1时，1=18(1+2)2，化为(1−2)2=0，解得a1＝2．当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1=18（a n+2）2−18(K1+2)2，化为（a n﹣a n﹣1﹣4）（a n+a n﹣1）＝0，∵∀n∈N*，a n＞0，∴a n﹣a n﹣1＝4．∴数列{a n}是等差数列，首项为2，公差为4，∴a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（2）b n=12a n﹣30=12(4−2)−30=2n﹣31．由b n≤0，解得≤312，因此前15项的和最小．又数列{b n}是等差数列，∴数列{b n}的前15项和T15=15(−29+2×15−31)2=−225．∴数列{b n}的前n项和的最小值为﹣225．。
等差数列知识点总结
等差数列知识点总结等差数列是数学中的一个重要概念，具有广泛的应用。
在学习等差数列的过程中，我们需要掌握以下几个方面的知识点。
1.等差数列的定义等差数列是指一个数列中的每一项与它的前一项的差相等。
即对于数列 {a1, a2, a3, ..., an}，满足 ai - ai-1 = d，其中 d 为常数，称为公差。
2.等差数列的通项公式通项公式是等差数列的核心，它表示第 n 项的值与 n 之间的关系。
对于等差数列 {a1, a2, a3, ..., an}，通项公式可以表示为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 为首项，d 为公差。
3.等差数列的性质等差数列具有多个性质，包括：- 任意两项的差是公差，即 ai - aj = d；-任意三项可以构成一个等差数列；-一个数列是等差数列的充分必要条件是数列的前三项成等差数列；-等差数列中的任意k项组成的数列也是等差数列。
4.等差数列的和等差数列的和表示数列中前 n 项的和。
求和公式为 Sn = (n/2)(a1 + an)，其中 Sn 表示前 n 项的和。
5.等差数列的前n项和的推导利用等差数列的通项公式可以从数列中推导出前n项和的公式。
具体的推导过程为：-两个等差数列的和相减，得到每一项与公差的关系；-利用等差数列的通项公式，将每一项与公差的关系代入前n项和的公式；-化简表达式，得到前n项和的公式。
6.等差数列的媒数等差数列的媒数是指两个等距离首项相同的等差数列之间的项。
媒数可以用公式表示为M=a1+(n-1)d/27.等差数列的应用等差数列在数学中具有广泛的应用，特别是在算术和几何等领域实际问题的数学建模中。
常见的应用包括：-财务问题中的等差数列：如每月定期存款、贷款还款等；-时间和距离的等差数列：如速度与时间的关系、地理坐标系等；-数据分析中的等差数列：如平均数、中位数、众数等。
总之，等差数列是数学中的重要概念之一，通过掌握其定义、通项公式、性质、求和公式和应用，能够帮助我们更好地理解和应用等差数列的知识。
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等差数列一、学习目标：等差数列的概念、性质及前n 项和求法。
1.设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知5a 1=，13n n n a S +=+，*n ∈N ．设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式；解：依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n n n S S +=+， 由此得1132(3)n n n n S S ++-=-．因此，所求通项公式为n n n n 23-S b ==。
2．设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ． 3．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316．【考点梳理】1.在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，n S ，n 中任意三个，可求其余两个。
2.补充的一条性质1）项数为奇数21n -的等差数列有：1s ns n =-奇偶n s s a a -==奇偶中，21(21)n n s n a -=-2）项数为偶数2n 的等差数列有：1n n s as a +=奇偶，s s nd -=偶奇 21()n n n s n a a +=+3.等差数列的判定：{a n }为等差数列⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+==-⇔+++数”）（缺常数项的“二次函的“一次函数”）（关于（定义）Bn An S n B An a a a a d a a nn n n n n n 22112 即：*),2(2(11n 1n N n n a a a d d a a a n n n n ∈≥+=⇔=-⇔-++为常数）｝｛Bn An s b kn a n n +=⇔+=⇔2；4.三个数成等差可设：a ，a ＋d ，a ＋2d 或a －d ，a ，a ＋d ； 四个数成等差可设：a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d .5．等差数列与函数：1）等差数列通项公式与一次函数的关系：从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a 1+(n-1)d=d ·n+ a 1-d, a n 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,n a ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.k=d=11--n a a n ，d=m n a a mn --，由此联想点列（n ，a n ）所在直线的斜率.2）点)S (n,n 在没有常数项的二次函数2n S pn qn =+上。
其中，公差不为0. 6.等差数列前n 项和最值的求法（结合二次函数的图象与性质理解） 1）若等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，则前n 项和n S 有最大值。
（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最大⇔100n n a a +≥⎧⎨≤⎩；（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2qp-的非零自然数时n S 最大； 2）若等差数列{}n a 的首项10a <，公差0d >，则前n 项和n S 有最小值（ⅰ）若已知通项n a ，则n S 最小⇔10n n a a +≤⎧⎨≥⎩；（ⅱ）若已知2n S pn qn =+，则当n 取最靠近2qp-的非零自然数时n S 最小。
7.等差数列的定义、通项公式、求和公式、性质等 等 差 数 列 定义 {a n }为等差数列⇔a n+1-a n =d （常数），n ∈N +⇔2a n =a n-1+a n+1（n ≥2，n ∈N +） 通项公式 1）n a =1a +（n-1）d=k a +（n-k ）d ；n a =dn +1a -d b kn += 2）推广：a n =a m +（n －m ）d. 3）变式：a 1=a n －（n －1）d ，d=11--n a a n ，d=mn a a mn --，由此联想点列（n ，a n ）所在直线的斜率.求和公式1）n B n A )2(22)1(2)(S 21211⨯+⨯=-+=-+=+=n da n d d n n na a a n n n 2）变式：21n a a +=n S n =n a a a n +⋅⋅⋅++21=a 1+（n －1）·2d=a n +（n －1）·（－2d）.等差中项 1）等差中项：若a 、b 、c 成等差数列，则b 称a 与c 的等差中项，且b =2ca +；a 、b 、c 成等差数列是2b =a +c 的充要条件.2）推广：2n a =m n m n a a +-+重 要 性 质1 m n l k m n l k a a a a +=+⇒+=+(反之不一定成立)；特别地,当2m n p +=时,有2m n p a a a +=；特例：a 1+a n =a 2+a n-1=a 3+a n-2=…。
2 下标成等差数列且公差为m 的项a k ，a k +m ，a k +2m ，…组成的数列仍为等差数列，公差为md .3 n n n n n s s s s s 232,,-- 成等差数列。
4)(11n m n m a a n a a d nm n ≠--=--=5 增减性 {}为递增数列n a 0d ⇔> {}为常数列n a 0d ⇔= {}为递减数列n a 0d ⇔<其 它 性 质1 a n =a m +（n －m ）d.2 若数列{a n }是公差为d 的等差数列，则数列{λa n +b }（λ、b 为常数）是公差为λd 的等差数列；若{b n }也是公差为d 的等差数列，则{λ1a n +λ2b n }（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为λ1d +λ2d .3 a n =an+b ，即a n 是n 的一次型函数，系数a 为等差数列的公差；S n =an 2+bn ，即S n 是n 的不含常数项的二次函数；三、合作探究：题型1 等差数列的基本运算 例1 在等差数列{a n }中，(1)已知a 15＝10，a 45＝90，求a 60； (2)已知S 12＝84，S 20＝460，求S 28； (3)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8．解：(1)方法一：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧=+==+=38382904410141145115d a d a a d a a ∴a 60＝a 1＋59d ＝130． 方法2 3815451545=--=--=a a m n a a d m n ，a n ＝a m ＋(n －m)d ⇒a 60＝a 45＋(60－45)d ＝90＋15×38＝130．(2)不妨设S n ＝An 2＋Bn ， ∴⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+172460202084121222B A B A B A ∴S n ＝2n 2－17n ∴S 28＝2×282－17×28＝1092(3)∵S 6＝S 5＋a 6＝5＋10＝15，又S 6＝2)10(62)(6161+=+a a a ∴15＝2)10(61+a 即a 1＝－5 而d ＝31616=--a a ∴a 8＝a 6＋2 d ＝16 S 8＝442)(881=+a a变式训练1 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7=7，S 15=75，T n 为数列{nS n}的前n 项和，求T n .解：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n =na 1+21n （n －1）d . ∵S 7=7，S 15=75， ∴⎩⎨⎧=+=+,7510515,721711d a d a 即⎩⎨⎧=+=+.57,1311d a d a 解得a 1=－2，d =1.∴n S n =a 1+21（n －1）d =－2+21（n －1）=25-n . ∴11++n S n －n S n =21. ∴数列{n S n }是等差数列，其首项为－2，公差为21. ∴T n =41n 2－49n .小结与拓展：基本量的思想：常设首项、公差及首项，公比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。
等差数列中，已知五个元素a 1，a n ，n ，d ，S n 中的任意三个，便可求出其余两个.题型2 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 6＝36. 求数列{a n }的通项公式；解：∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列，设{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝5，S 6＝36得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝56a 1＋15d ＝36，解得a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝2n －1.变式训练2 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n.设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列；证明：由已知a n ＋1＝2a n ＋2n得b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n2n＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. 又b 1＝a 1＝1， 因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．小结与拓展：证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法是：1）利用定义，证明a n －a n －1（n ≥2）为常数；2）利用等差中项，即证明2a n =a n －1+a n +1（n ≥2）. 题型3 等差数列的性质例3 设等差数列{}n a 的首项及公差均是正整数，前n 项和为n S ，且11a >，46a >，312S ≤，则2010a =_ _ _．答案：4020变式训练3 在等差数列{a n }中，已知log 2(a 5＋a 9)＝3，则等差数列{a n }的前13项的和S 13＝________.答案：52解：∵log 2(a 5＋a 9)＝3，∴a 5＋a 9＝23＝8.∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×(a 5＋a 9)2＝13×82＝52.小结与拓展：解决等差（比）数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法，即运用条件转化成关于a 1和d （q ）的方程；②巧妙运用等差（比）数列的性质（如下标和的性质、子数列的性质、和的性质）.一般地，运用数列的性质，可化繁为简. 题型4 等差数列的前n 项和及最值问题例4 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3=12，S 12＞0，S 13＜0.（1）求公差d 的取值范围；（2）指出S 1，S 2，S 3，…，S 12中哪一个最大，并说明理由. 解：（1）a 3=12，∴a 1=12－2d ，解得a 12=12+9d ，a 13=12+10d .由S 12＞0，S 13＜0，即2)(12121a a +＞0，且2)(13131a a +＜0，解之得－724＜d ＜－3.（2）易知a 7＜0，a 6＞0，故S 6最大.变式训练4设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时,n 等于( A )A ．6B ．7C ．8D ．9【解析】设该数列的公差为d ，则461282(11)86a a a d d +=+=⨯-+=-，解得2d =， 所以22(1)11212(6)362n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，所以当6n =时，n S 取最小值。