湖北省黄冈市2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题含答案
所以切线的斜率为 1和 8，所以 k (1,8) ，所以 t 3k (3, 24) .
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分
17.解：（I）函数 f (x) 的定义域为x | x 0 ，………………………………………………………………1 分
f (x) 1 a x a ，…………………………………………………………………………………………2 分 xx
12t
4a
a
3t .因为 3AF2
2F2 B
，所以 | AF2 |
| F2B |
2 3
，所以
F2 B
3t
，
所以
F1B
F2 B
，故 k
b c
或b c
.
又 EF2
F1B ，所以
EF2
2 5
F1B
6t， 5
EF1
3 5
AF1
12 t . 5
又
EF1
EF2
，所以
6 5
t
2
12 5
t
2
(2c)2
f (2) 1 a 1 ，解得 a 1.…………………………………………………………………………………3 分 22
（Ⅱ） g(x) f (x) 1 ln x ，………………………………………………………………………………4 分
x
x
g ( x)
ln
x 1 x2
，…………………………………………………………………………………………………6
A. a c b
B. a b c
C. b c a
）
D. b a c
5.已知函数 f (x) x(2 cos x) sin x ， f (x) 是函数 f (x) 的导数，则 f (0) （ ）
A.0
B.1
C.
D.2
6.函数
f (x)
ex
x3 ex
的图象大致为（
）
1
A
B
字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
保持卡面清洁，不折叠、不破损.
第Ⅰ卷（选择题 共 60 分）
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的.
1.已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足 (z 2i)(1 i) 2 ，则复数 | z | （ ）
22.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) ax 1 ln x .
（I）讨论函数 f (x) 的单调性；
（Ⅱ）若 a
1，证明： xf
(x)
1 ex
.
黄冈市 2020 年春季高二年级期末考试
4
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分 1.C 2.B 3.A 4.A 5.D 6.B 7.B 8.D
故函数 f (x) 为 R 上的增函数 . ………………………………………………………………………………5 分
1 k1
1 k2
0.
20.（本小题满分 12 分）
如图，在四棱柱 ABCD A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，A1A 3 ，棱 A1A ⊥底面 ABCD ，
E ， F 分别为线段 AD 和 A1B1 的中点.
（1）证明： BE CF ； （Ⅱ）求二面角 B EF C 的余弦值.
同理 k3 k4
b2 a2
，故 C 正确，D
错误.
c2
由
a2
1 5
c2 a2
c2 c2 b2
1 5
b2 c2
4
b c
2 ，所以 B 错误.
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
.13.1 14பைடு நூலகம்0 15.1010 1010i
16.1 (3, 24)
16.解析：设 B x1, y1 ， C x2, y2 ，直线 l 的方程为 y k(x 2) ，
A. 2
B.1
C. 2
D. 3
2.“ x 1 ”是“ x 3 ”的（ ）
A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
3.设
f
(x)
2x, x 8
f
(
x
8),
x
，则
f
(17)
（
）
A.2
B.4
`C.8
D.16
4.已知 a log5 0.3 ， b 30.3 ， c 0.32 ，则下列选项正确的是（
C.“ x 0 ”是“不等式 1 1成立”的必要不充分条件 x
D.若对任意 x1 ， x2 R x1
x2 都满足
f
x2 f x1
x2 x1
0 ，则函数
f
(x) 是 R 上的增函数
2
12.已知 F1 ， F2 是椭圆 C1 ：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0)
的左、右焦点， M
18.解：（I） f (x) 2x 2x 2x 2x f (x) ，
2分
故函数 f (x) 为奇函数. …………………………………………………………………………………………3 分
y 2x 为增函数， y 2x 为增函数，………………………………………………………………………4 分
.
又a
3t ，所以
c2 a2
1 5
c a
5 ，故 A 正确. 5
又 c2
a2
b2
，所以
c2 a2
a2 b2 a2
1 b2
5
a2
4 5
.
5
设点
A( x,
y)
，则 k1
x
y a
， k2
x
y a
，
k1 k2
y2 x2 a2
x2 .由 a2
y2 b2
1
y2
b2
1
x2 a2
，所以
k1
k2
b2 a2
由切线过点 (2, 0) 知，切线方程为 y f x0 (x 2) ， f x0 3x02 4 ，
又点 P 在切线方程上，
所以 x03 4x0 3x02 4 x0 2 ，整理得 x0 2 x02 x0 2 x0 22 x0 1 0 ，
解得 x0 2 或 x0 1
A. 0, 4e2
B.
0,
2 e2
C. 0, 2e2
D.
0,
4 e
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9.双曲线 x2
y2 b2
1(b
0) 的一条渐近线方程为 2
3
已知点 F 是抛物线 C ： y2 2 px( p 0) 的焦点，且抛物线 C 经过点 P(4, 4) .
（Ⅰ）求抛物线 C 的方程；
（Ⅱ）过点 F 的直线 l 与 C 交于 A ， B 两点，点 E 的坐标为 (1, 0) ，若直线 EA 的斜率为 k1 ，直线 EB 的
斜率为 k2 ，证明：
A. (1, 0) 是函数 f (x) 的一个对称中心
B.函数 f (x) 的一个周期是 4
C. f (3) 1
D. f (2) 0
11.下列命题中正确的是（ ）
A.命题“ x0 0 ， x0 sin x0 ”的否定是“ x 0 ， x sin x ”
B.若函数 f (x) 在区间 (a,b) 上单调递增，则 f (x) 0 在区间 (a,b) 上恒成立
6
分 列表：
x
(0, e)
e
(e, )
g ( x)
—
0
+
g(x)
单调递减
极小值
单调递增
……………………………………………………………………………………………………………………8 分
故 x e 是函数 g(x) 的极小值点， g(x) 的极小值为 g(e) 1 1 ，无极大值. …………………………10 分 e
2x y 0 ，双曲线的离心率为 e ，双曲线的焦点到渐
近线的距离为 d ，则（ ）
A. d 2 2
B. d 2
C. e 3
D. e 3 2 4
10.已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，对任意实数 x ，恒有 f (2 x) f (x) 成立，且 f (1) 1，则（ ）
21.（本小题满分 12 分）
已椭圆 C ：
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 经过点 (
2,1) ，离心率为
2. 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）直线 l ： y kx 2 与椭圆 C 交于 A ， B 两点，以 AB 为直径的圆经过不在直线 l 上的点 D(2, 0) ，
求直线 l 的方程.
（1）求 a ； （Ⅱ）求函数 g(x) f (x) 的极值.
x
18.（本小题满分 12 分）
已知定义在 R 上的函数 f (x) 2x 2x .
（Ⅰ）判断函数 f (x) 的奇偶性和单调性；
（Ⅱ）若 22x 22x af ( x) 在区间 0, 上恒成立，求实数 a 的取值范围.
19.（本小题满分 12 分）
C
D
7.已知在平面直角坐标系中有一定点 F (1, 0) ，动点 P(x, y)(x 0) 到 y 轴的距离为 d ，且 PF d 1，则
2019-2020学年湖北省黄冈市红安县五年级(上)期末数学试卷
2019-2020学年湖北省黄冈市红安县五年级（上）期末数学试卷试题数：31，满分：1001.（填空题，3分）根据48×29=1392，直接写出下面各题的得数．___ ×4.8=1.392___ ×___ =0.1392139.2÷2.9=___2.（问答题，3分）在〇里填上“＞““＜“或“=”．0.84×1.02〇0.84a÷0.5〇a0.22〇0.2×0.23.（填空题，3分）560cm 2=___ dm 21.5时=___ 时___ 分4.（填空题，2分）在2.333…、4.15、6. 8• 0 9• 、7.353535、5.43672…这几个数中，有限小数有___ ，循环小数有___ ．5.（填空题，2分）如果两个数相除的商的小数部分有三位，精确到百分位后约是7.89，那么这两个数的商最大是___ ，最小是___ ．6.（填空题，1分）礼品店用丝带包装礼品盒，每个用1.2米，用23.4米的丝带最多可以包装___ 个这样的礼品盒．7.（填空题，2分）像如图这样摆下去，摆n 个三角形，需要___ 根小棒，用25根小棒可以摆___ 个这样的三角形．8.（填空题，1分）一个圆形水池的周长为150米，沿池边每隔37.5米安盏观景灯，一共要安装___ 盏观景灯．9.（填空题，1分）元旦期间，沃尔玛超市进行购物有奖活动，规定凡购物满58元者均可参加抽奖，设一等奖2名，二等奖5名，三等奖10名，纪念奖100名．妈妈购物70元，她去抽奖，最有可能抽中___ 奖．10.（填空题，2分）在一个上底为10厘米，下底为15厘米，高为8厘米的梯形中，截一个最大的平行四边形，这个平行四边形的面积是___ 平方厘米，剩余面积是___ 平方厘米．11.（判断题，1分）3.9÷1.1=39÷11=3……6．___ （判断对错）12.（判断题，1分）数对（5，3）和（5，9）在同一行．___ （判断对错）13.（判断题，1分）抛一枚硬币，出现正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以抛50次硬币正面朝上一定是25次．___ （判断对错）14.（判断题，1分）一个三角形的面积是4.5cm2，它的一条高为1.5cm，则它对应的底的长度为6cm．___ （判断对错）15.（判断题，1分）把一个长方形木框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小了．___ （判断对错）16.（单选题，2分）对6.8×101-6.8进行简便计算，将会运用（）A.乘法交换律B.乘法分配律C.乘法结合律D.都不是17.（单选题，2分）元旦晚会表演开始啦!大合唱时李老师站在第3列第2行，用数对（3，2）表示，王老师站在李老师正后方第一个位置上，王老师的位置用数对表示是（）A.（3，3）B.（4，3）C.（3，1）D.（4，2）18.（单选题，2分）参加小主持人兴趣小组的女生有a人，比男生多b人，小主持人兴趣小组共有（）人．A.a+bB.a-bC.2a+bD.2a-b19.（单选题，2分）如图中平行四边形的面积是64cm2，涂色部分的面积是（）cm2．A.16B.32C.64D.12820.（单选题，2分）学校主干道的一边长是247.5米，在这条边上均匀地安装红安籍老将军生平事迹简介牌，每隔22.5米安装一块（两端都安装），共需要（）块简介牌．A.10B.11C.1221.（问答题，8分）直接写出得数．1.8×0.3= 0.209×100= 0.12×0.5= 0.24×0.4=3.5÷0.05= 21÷30= 40÷0.8= 52.6÷0.01=22.（问答题，6分）列竖式计算．8.45×3.9≈（保留一位小数）8.54÷2.8=4÷33=（商用循环小数表示）23.（问答题，6分）解方程．5.5x+x=3.91.8-0.8x=1（x-0.8）×1.3=0.2624.（问答题，6分）计算下面各题，你认为怎样简便就怎样算．（7.8-2.4×0.3）÷0.021.25×3.2×0.255.5×3.6+3.6×14.525.（问答题，7分）计算下面各图形的面积．（单位：dm）26.（问答题，8分）如图中每个小正方形的面积是1cm2．图中有一个面积是8cm2的三角形，它的两个顶点所在的位置分别是A （3，1），B （7，1）．（1）这个三角形第三个顶点所在的位置可能是C___ ．（2）在图中画出这个三角形，并标上字母．（3）在图中的空白处分别画平行四边形、梯形各一个，使每个图形的面积与图中三角形的面积都相等．27.（问答题，4分）李老师为五（2）班阳光体育活动买了4个足球和4个篮球，一共花去了424元，已知每个足球48元，每个篮球多少元？28.（问答题，5分）甲乙两艘轮船同时从上海出发开往青岛，经过12小时后，乙船落后甲船42km．甲船每小时行37.5km，乙船每小时行多少千米？29.（问答题，5分）如图，在一块梯形的地面上留一条小路，其余铺上草坪，每平方米草坪需要28元，铺这些草坪需要多少钱？30.（问答题，5分）元旦佳节，小新和爸爸妈妈一起去电影院观看电影，共花了97.5元钱，已知成人票的票价是儿童票的2倍，买一张儿童票需要多少钱？（列方程解答）31.（问答题，5分）上海市居民阶梯电价收费标准（按月计算）第一档：用电量不超过180度的部分，每度0.45元；第二档：超过180度，但不超过300度的部分，每度比第一档加价0.1元；第三档：超过300度的部分，每度比第一档加价0.5元．王欣家12月份用电240度，按照以上收费标准，王欣家12月份应付电费多少元？2019-2020学年湖北省黄冈市红安县五年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：31，满分：1001.（填空题，3分）根据48×29=1392，直接写出下面各题的得数．___ ×4.8=1.392___ ×___ =0.1392139.2÷2.9=___【正确答案】：[1]0.29; [2]0.48; [3]0.29; [4]48【解析】：根据积的变化规律：两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数扩大或缩小几倍（0除外），积也会随之扩大或缩小相同的倍数，以及乘除法的互逆关系解答即可得到答案．【解答】：解：根据48×29=1392，可得：0.29×4.8=1.3920.48×0.29=0.1392139.2÷2.9=48故答案为：0.29，0.48、0.29，48．【点评】：此题主要考查的是商的变化规律的灵活应用．2.（问答题，3分）在〇里填上“＞““＜“或“=”．0.84×1.02〇0.84a÷0.5〇a0.22〇0.2×0.2【正确答案】：【解析】：一个数（0除外）乘大于1的数，积大于这个数；一个数（0除外）除以小于1的数，商大于这个数；先计算出结果再比较即，据此解答．【解答】：解：0.84×1.02＞0.84a÷0.5＞a0.22=0.04，0.2×0.2=0.04所以0.22=0.2×0.2故答案为：＞，＞，=．【点评】：此题主要依据积或商的变化规律解决问题．3.（填空题，3分）560cm 2=___ dm 21.5时=___ 时___ 分【正确答案】：[1]5.6; [2]1; [3]30【解析】：（1）低级单位平方厘米化高级单位平方分米除以进率100．（2）1.5时看作1时与0.5时之和，把0.5时乘进率60化成30分钟．【解答】：解：（1）560cm 2=5.6dm 2（2）1.5时=1时 30分．故答案为：5.6，1，30．【点评】：本题是考查时间的单位换算、面积的单位换算．单位换算首先要弄清是由高级单位化低级单位还是由低级单位化高级单位，其次记住单位间的进率．4.（填空题，2分）在2.333…、4.15、6. 8• 0 9•、7.353535、5.43672…这几个数中，有限小数有___ ，循环小数有___ ．【正确答案】：[1]4.15、7.353535; [2]2.333……、6. 8• 0 9•【解析】：小数的位数是有限的小数叫有限小数，小数的位数是无限的小数叫无限小数，无限小数后面有省略号或循环节上有小点，一个小数的小数部分从某一位起，有一个数字或几个数字依次不断的重复出现，这样的小数就是循环小数，循环小数都是无限小数，据此判断．【解答】：解：在2.333……、4.15、6. 8• 0 9•、7.353535、5.43672……这几个数中，有限小数有 4.15、7.353535，循环小数有 2.333……、6. 8• 0 9• ．故答案为：4.15、7.353535，2.333……、6. 8• 0 9• ．【点评】：本题要用有限小数、循环小数的意义来解答，所以关键是掌握它们的意义．5.（填空题，2分）如果两个数相除的商的小数部分有三位，精确到百分位后约是7.89，那么这两个数的商最大是___ ，最小是___ ．【正确答案】：[1]7.894; [2]7.885【解析】：要考虑7.89是一个三位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的7.89最大是7.894，“五入”得到的7.89最小是7.885，由此解答问题即可．【解答】：解：如果两个数相除的商的小数部分有三位，精确到百分位后约是7.89，那么这两个数的商最大是7.894，最小是7.885．故答案为：7.894；7.885．【点评】：取一个数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的近似数比原数小，“五入”得到的近似数比原数大，根据题的要求灵活掌握解答方法．6.（填空题，1分）礼品店用丝带包装礼品盒，每个用1.2米，用23.4米的丝带最多可以包装___ 个这样的礼品盒．【正确答案】：[1]19【解析】：每个礼品盒要用1.2米的丝带，根据除法的意义可知23.4米长的丝带可以包装23.4÷1.2个这样的礼盒．【解答】：解：23.4÷1.2=19（个）…0.6（米）答：最多可以包装19个这样的礼品盒．故答案为：19．【点评】：完成本题要注意，由于剩下的丝带不够做一个的了，本题在取整时要用去尾法． 7.（填空题，2分）像如图这样摆下去，摆n 个三角形，需要___ 根小棒，用25根小棒可以摆___ 个这样的三角形．【正确答案】：[1]2n+1; [2]12【解析】：摆一个三角形需3根小棒；摆二个三角形需5根小棒；摆三个三角形时需要7根小棒；摆四个三角形时需要9根小棒；…第一个三角形需要3根小棒，以后每增加1个三角形就需要增加2根小棒；当有n个三角形时小棒的数量就是3+2（n-1），然后化简，找出小棒的根数与与三角形个数直接的关系，进而求出25根小棒可以摆出的三角形的数量．【解答】：解：当有n个三角形时小棒的数量就是：3+2（n-1）=3+2n-2=2n+1当有25根小棒时：2n+1=252n=24n=12答：摆n个三角形，需要 2n+1根小棒，用25根小棒可以摆 12个这样的三角形．故答案为：2n+1，12．【点评】：解决本题关键是找出小棒的数量随三角形的数量变化的规律，写出通项公式，进而求解．8.（填空题，1分）一个圆形水池的周长为150米，沿池边每隔37.5米安盏观景灯，一共要安装___ 盏观景灯．【正确答案】：[1]4【解析】：根据题意，在圆形上植树，植树的棵数与间隔数相等，直接用150除以37.5即可．【解答】：解：根据题意可得：150÷37.5=4（盏）答：一共需要装4盏灯．故答案为：4．【点评】：在封闭线路上植树，棵数与间隔数相等，即：棵数=间隔数．9.（填空题，1分）元旦期间，沃尔玛超市进行购物有奖活动，规定凡购物满58元者均可参加抽奖，设一等奖2名，二等奖5名，三等奖10名，纪念奖100名．妈妈购物70元，她去抽奖，最有可能抽中___ 奖．【正确答案】：[1]纪念【解析】：因为奖券的总数不变，所以数量最多的摸到的可能性就最大，数量最少的可能性就最小．据此解答即可．【解答】：解：100＞10＞5＞2答：她去抽奖，最有可能抽中纪念奖．故答案为：纪念．【点评】：此题主要考查可能性的大小，根据各种奖券总数不变，数量多的摸到的可能性就大，数量少的可能性就小．10.（填空题，2分）在一个上底为10厘米，下底为15厘米，高为8厘米的梯形中，截一个最大的平行四边形，这个平行四边形的面积是___ 平方厘米，剩余面积是___ 平方厘米．【正确答案】：[1]80; [2]20【解析】：把一个梯形剪成一个最大的平行四边形，已知梯形的上底为10厘米，下底为15厘来，高为8厘米，那么剪成的平行四边形的底是10厘米，高是10厘米，根据平行四边形的面积=底×高计算即可解答；那么剩下部分三角形的底为（15-10）厘米，高为8厘米，根据三角形的面积公式S=ah÷2，可求出它的面积．【解答】：解：10×8=80（平方厘米）（15-10）×8÷2=5×8÷2=20（平方厘米）答：这个平行四边形的面积是80平方厘米，剩余面积是20平方厘米．故答案为：80；20．【点评】：此题主要考查梯形、平行四边形、三角形面积公式的灵活运用．11.（判断题，1分）3.9÷1.1=39÷11=3……6．___ （判断对错）【正确答案】：×【解析】：因为：被除数和除数都缩小（或都扩大）相同的倍数，商不变，但余数也随着缩小（或扩大）相同的倍数，所以本题被除数和除数都扩大了10倍，商不变，但所求的余数扩大了10倍；由此即可判断．【解答】：解：3.9÷1.1=3…0.6，39÷11=3……6，所以本题解答错误；故答案为：×．【点评】：明确：在有余数的除法里，被除数和除数都缩小（或都扩大）相同的倍数，商不变，但余数也随着缩小（或扩大）相同的倍数，是解答此题的关键．12.（判断题，1分）数对（5，3）和（5，9）在同一行．___ （判断对错）【正确答案】：×【解析】：数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此即可解答问题．【解答】：解：根据题干分析可得，数对（5，3）表示第5列第3行；数对（5，9）表示第5列第9行；所以这两个数对表示的位置在同一列，原题说法错误．故答案为：×．【点评】：本题主要考查用数对表示位置，注意分清列与行，用数对表示时先列后行．13.（判断题，1分）抛一枚硬币，出现正面朝上和反面朝上的可能性相等，所以抛50次硬币正面朝上一定是25次．___ （判断对错）【正确答案】：×【解析】：可能性相同，是指抛的次数越多，两者的大小越接近，而不是一定相同；据此解答即可．，所以正面朝上的次数不一【解答】：解：抛硬币50次，正面朝上和反面朝上的可能性是12定是25次，但有可能接近25次；所以原题说法错误；故答案为：×．【点评】：本题的关键是让学生理解是可能性，而不是一定性．14.（判断题，1分）一个三角形的面积是4.5cm2，它的一条高为1.5cm，则它对应的底的长度为6cm．___ （判断对错）【正确答案】：√【解析】：由“三角形的面积=底×高÷2”可得“三角形的高=三角形的面积×2÷底”，三角形的面积和底已知，代入关系式即可求解．【解答】：解：4.5×2÷1.5=9÷1.5=6（cm）答：它对应的底的长度为6cm．故题干的说法是正确的．故答案为：√．【点评】：此题主要考查三角形的面积的计算方法的灵活应用．15.（判断题，1分）把一个长方形木框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小了．___ （判断对错）【正确答案】：√【解析】：把长方形木框拉成平行四边形，四个边的长度没变，则其周长不变；但是它的高变短了，所以它的面积就变小了．【解答】：解：把一个长方形木框架拉成平行四边形，周长不变，面积变小了，即本题说法正确；故答案为：√．【点评】：此题主要考查平行四边形的特征及性质．16.（单选题，2分）对6.8×101-6.8进行简便计算，将会运用（）A.乘法交换律B.乘法分配律C.乘法结合律D.都不是【正确答案】：B【解析】：根据算式6.8×101-6.8的特征，可得对6.8×101-6.8进行简便计算，将会运用乘法分配律，据此解答即可．【解答】：解：对6.8×101-6.8进行简便计算，将会逆用乘法分配律．6.8×101-6.8=6.8×（101-1）=6.8×100=680故选：B。
人教A版2019-2020学年湖北省黄冈市高三上学期期末数学试卷(理科)(解析版)
2019-2020学年高三第一学期期末数学试卷（理科）一、选择题（本题共12小题）1．已知集合，集合B＝{x|x﹣x2＜0}，则A∩B＝（）A．∅B．{x|x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0}2．复数z＝的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．13．若直线x+y+a＝0平分圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的面积，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣24．已知向量，，若，则＝（）A．5 B．C．6 D．5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若AD＝5，BD＝3，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形（阴影部分）的概率为（）A．B．C．D．6．若x、y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最小值为（）A．B．﹣C．﹣5 D．57．将甲、乙、丙、丁四人分配到A，B，C三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A学校的不同分配方法有（）A．18种B．24种C．32种D．36种8．已知实数x＞0，y＞0，则“xy≤1”是“2x+2y≤4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g （x）的图象．若g（x1）•g（x2）＝9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣x2的最大值为（）A．πB．2πC．3πD．4π10．关于函数有下列结论：①图象关于y轴对称；②图象关于原点对称；③在（﹣∞，0）上单调递增；④f（x）恒大于0．其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．②④C．③④D．①③④11．已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，定点，若直线FM与抛物线C相交于A，B两点（点B在F，M中间），且与抛物线C的准线交于点N，若|BN|＝7|BF|，则AF 的长为（）A．B．1 C．D．12．如图，在△ABC中，，点D在线段BC上，且BD＝3DC，，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．4 C．D．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．在log20.2，20.2，0.20.3三个数中，则最大的数为．14．已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为．15．设数列{a n}满足a1＝a，（a n+1﹣1）（1﹣a n）＝2a n（n∈N*），若数列{a n}的前2019项的乘积为3，则a＝．16．已知函数f（x）＝（x+1）sin x+cos x，若对于任意的（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|＜a||成立，则实数a的取值范围为．三、解答题：本大题有6小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数．（1）求的值；（2）求f（x）的最小正周期及单调增区间．18．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+a n+1＝4n﹣1，n＝1，2，3…，（1）求数列{a n}的通项；（2）设S n＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+a2n﹣1a2n﹣a2n a2n+1，求S n．19．已知f（x）＝kx﹣sin2x+a sin x（k，a为实数）．（1）当k＝0，a＝2时，求f（x）在[0，π]上的最大值；（2）当k＝4时，若f（x）在R上单调递增，求a的取值范围．20．已知椭圆Γ：的离心率为，点A为该椭圆的左顶点，过右焦点F（c，0）的直线l与椭圆交于B，C两点，当BC⊥x轴时，三角形ABC的面积为18．（1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，当动直线BC斜率存在且不为0时，直线x＝c分别交直线AB，AC于点M、N，问x轴上是否存在点P，使得PM⊥PN，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由．21．黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区．为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布N（45，152），若该市总人口为750万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；（3）若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，记总得分为随机变量X，求X 的分布列与数学期望．（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545；P （μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973）22．已知函数f（x）＝alnx﹣（x﹣1）e x，其中a为非零常数．（1）讨论f（x）的极值点个数，并说明理由；（2）若a＞e，（i）证明：f（x）在区间（1，+∞）内有且仅有1个零点；（ii）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点且x1＞1，求证：x0+2lnx0＞x1．参考答案一、选择题（本题共12小题）1．已知集合，集合B＝{x|x﹣x2＜0}，则A∩B＝（）A．∅B．{x|x＜1} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＜0}【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|x≤1}，B＝{x|x＜0或x＞1}，∴A∩B＝{x|x＜0}．故选：D．2．复数z＝的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．1【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则答案可求．解：z＝＝，则复数z＝的虚部为：﹣1．故选：C．3．若直线x+y+a＝0平分圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的面积，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【分析】根据题意，由圆的方程分析圆的圆心，进而分析可得圆心在直线x+y+a＝0上，将圆心坐标代入直线方程可得a﹣2﹣1＝0，解可得a的值，即可得答案．解：根据题意，圆的方程为x2+y2﹣2x+4y+1＝0，其圆心为（1，﹣2），若直线x+y+a＝0平分圆x2+y2﹣2x+4y+1＝0的面积，则圆心在直线x+y+a＝0上，则有a+1﹣2＝0，解可得a＝1；故选：A．4．已知向量，，若，则＝（）A．5 B．C．6 D．【分析】通过向量的数量积求解x，然后求解向量的模．解：向量，，若，可得﹣x﹣10＝﹣7，解得x＝﹣3，所以＝（﹣4，3），则||＝＝5．故选：A．5．图1是我国古代数学家赵爽创制的一幅“勾股圆方图”（又称“赵爽弦图”），它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，受其启发，某同学设计了一个图形，它是由三个全等的钝角三角形与中间一个小正三角形拼成一个大正三角形，如图2所示，若AD＝5，BD＝3，则在整个图形中随机取点，此点来自中间一个小正三角形（阴影部分）的概率为（）A．B．C．D．【分析】求得∠ADB＝120°，在△ABD中，运用余弦定理，求得AB，以及DE，根据三角形的面积与边长之间的关系即可求解．解：∵∠ADB＝180°﹣60°＝120°，在△ABD中，可得AB2＝AD2+BD2﹣2AD•BD•cos∠ADB，即为AB2＝52+32﹣2×5×3×（﹣）＝49，解得AB＝7，∵DE＝AD﹣BD＝2；∴＝＝．故选：B．6．若x、y满足约束条件，则z＝3x﹣2y的最小值为（）A．B．﹣C．﹣5 D．5【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由约束条件作出可行域如图：联立，解得A（﹣1，1）．化目标函数z＝3x﹣2y为y＝，由图可知，当直线y＝过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣5．故选：C．7．将甲、乙、丙、丁四人分配到A，B，C三所学校任教，每所学校至少安排1人，则甲不去A学校的不同分配方法有（）A．18种B．24种C．32种D．36种【分析】根据题意，分两种情况讨论：①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，②没有人与甲在同一个学校，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分两种情况讨论，①其他三人中有一个人与甲在同一个学校，有C31A21A22＝12种情况，②没有人与甲在同一个学校，则有C21C32A22＝12种情况；则若甲要求不到A学校，则不同的分配方案有12+12＝24种；故选：B．8．已知实数x＞0，y＞0，则“xy≤1”是“2x+2y≤4”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】通过举反例得到“xy≤1”推不出“2x+2y≤4”；再由“2x+2y≤4”⇒“xy≤1”．能求出结果．解：∵实数x＞0，y＞0，∴当x＝3，y＝时，2x+2y＝23+＞4，∴“xy≤1”推不出“2x+2y≤4”；反之，实数x＞0，y＞0，“2x+2y≤4”⇒“xy≤1”．∴实数x＞0，y＞0，则“xy≤1”是“2x+2y≤4”的必要不充分条件．故选：B．9．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到g （x）的图象．若g（x1）•g（x2）＝9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，则x1﹣x2的最大值为（）A．πB．2πC．3πD．4π【分析】首先利用函数的关系式的平移变换的应用求出新函数的关系式，进一步利用函数的最值的应用求出结果．解：函数的图象向左平移个单位，得到y＝2sin（）的图象，再向上平移1个单位，得到g（x）＝2sin（2x+）+1的图象，由于若g（x1）•g（x2）＝9，且x1，x2∈[﹣2π，2π]，所以函数在x＝x1和x2时，函数都取得最大值．所以（k∈Z），解得，由于且x1，x2∈[﹣2π，2π]，所以，同理，所以．故选：C．10．关于函数有下列结论：①图象关于y轴对称；②图象关于原点对称；③在（﹣∞，0）上单调递增；④f（x）恒大于0．其中所有正确结论的编号是（）A．①③B．②④C．③④D．①③④【分析】利用函数的奇偶性、单调性直接求解．解：函数，在①中，f（﹣x）＝（1+）＝﹣（1+）＝（+）＝（1+）＝f（x）．∴函数是偶函数，图象关于y轴对称，故①正确；在②中，函数是偶函数，图象关于y轴对称，故②错误；在③中，在（﹣∞，0）上任取x1，x2，令x1＜x2＜0，f（x2）﹣f（x1）＝﹣（1+）＝+＞0，∴函数在（﹣∞，0）上单调递增，故③正确；在④中，当x＞0时，＞0，1+＞0，f（x）＞0，当x＜0时，＜0，1+＜0，f（x）＞0．∴f（x）恒大于0，故④正确．故选：D．11．已知抛物线C：x2＝2py的焦点为F，定点，若直线FM与抛物线C相交于A，B两点（点B在F，M中间），且与抛物线C的准线交于点N，若|BN|＝7|BF|，则AF 的长为（）A．B．1 C．D．【分析】由题意画出图形，求出AB的斜率，得到AB的方程，求得p，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A的坐标，再由抛物线定义求解AF的长．解：如图，过B作BB′垂直于准线，垂足为B′，则|BF|＝|BB′|，由|BN|＝7|BF|，得|BN|＝7|BB′|，可得sin，∴cos∠BNB′＝﹣，tan∠BNB′＝﹣，又M（，0），∴AB的方程为y＝﹣，取x＝0，得y＝，即F（0，），则p＝1，∴抛物线方程为x2＝2y．联立，解得．∴|AF|＝．故选：C．12．如图，在△ABC中，，点D在线段BC上，且BD＝3DC，，则△ABC的面积的最大值为（）A．B．4 C．D．【分析】设∠BAD＝θ，则0＜θ＜∠BAC，根据三角形的面积公式求出AC，AB，然后由S△ABC＝AB•AC•sin∠BAC＝[4sin（2θ+φ）﹣1]，根据三角函数的性质求出面积的最大值．解：设∠BAD＝θ，则0＜θ＜∠BAC．∵BD＝3DC，，∴S△ABD＝S△ABC，∴，∴，同理AB＝8sin（∠BAC﹣θ），∴S△ABC＝＝＝＝（其中tanφ＝），∵0＜θ＜∠BAC，∴当2θ+φ＝时，sin（2θ+φ）max＝1，∴．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．在log20.2，20.2，0.20.3三个数中，则最大的数为20.2．【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．解：∵log20.2＜log21＝0，∴log20.2＜0，∵20.2＞20＝1，∴20.2＞1，∵0＜0.20.3＜0.20＝1，∴0＜0.20.3＜1，∴20.2最大，故答案为：20.2．14．已知F是双曲线C：的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为．【分析】由题意画出图形，不妨设F为双曲线C：的右焦点，P为第一象限点，求出P点坐标，再由三角形面积公式求解．解：如图，不妨设F为双曲线C：的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，a2＝1，b2＝3，则c＝2，则以O为圆心，以2为半径的圆的方程为x2+y2＝4．联立，解得P（，）．∴S△OPF＝×2×＝．故答案为：．15．设数列{a n}满足a1＝a，（a n+1﹣1）（1﹣a n）＝2a n（n∈N*），若数列{a n}的前2019项的乘积为3，则a＝ 2 ．【分析】本题先根据递推式的特点可知a n≠1，然后将递推式可转化为a n+1＝．再根据a1＝a逐步代入前几项即可发现数列{a n}是以最小正周期为4的周期数列．再算出一个周期内的乘积为1，即可根据前2019项的乘积为3求出a的值．解：由题意，根据递推式，a n≠1．故递推式可转化为a n+1＝．∵a1＝a，∴a2＝，a3＝＝＝﹣，a4＝＝＝，a5＝＝＝a．∴数列{a n}是以最小正周期为4的周期数列．∴a1•a2•a3•a4＝a••（﹣）•＝1．∵2019÷4＝504…3，∴a1•a2…a2019＝a1•a2•a3＝a••（﹣）＝＝3，解得a＝2．故答案为：2．16．已知函数f（x）＝（x+1）sin x+cos x，若对于任意的（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|＜a||成立，则实数a的取值范围为[1，+∞）．【分析】求导可知函数f（x）在上为增函数，进而原问题等价于对于任意的（x1≠x2），均有，构造函数h（x）＝f（x）﹣ae x，则函数h（x）在上为减函数，求导后转化为最值问题求解即可．解：f'（x）＝sin x+（x+1）cos x﹣sin x＝（x+1）cos x，任意的（x1≠x2），f'（x）＞0恒成立，所以f（x）单调递增，不妨设x1＜x2，则f（x1）＜f（x2），又，故|f（x1）﹣f（x2）|＜a||等价于，即，设，易知函数h（x）在上为减函数，故h′（x）＝（x+1）cos x﹣ae x≤0在上恒成立，即在上恒成立，设，则＝，故函数g（x）在上为减函数，则g（x）max＝g（0）＝1，故a≥1．故答案为：[1，+∞）．三、解答题：本大题有6小题，共60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知函数．（1）求的值；（2）求f（x）的最小正周期及单调增区间．【分析】（I）结合和差角公式及二倍角，辅助角公式对已知函数进行化简，然后直接代入即可求解，（2）结合正弦函数的性质即可求解．解：（Ⅰ）因为，＝所以，（2）f（x）的最小正周期．令，解得所以f（x）的单调增区间为．18．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+a n+1＝4n﹣1，n＝1，2，3…，（1）求数列{a n}的通项；（2）设S n＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+a2n﹣1a2n﹣a2n a2n+1，求S n．【分析】（1）利用数列的递推关系式推出a n+1﹣a n﹣1＝4，通过当n为奇数，当n为偶数，，分别求解通项公式．（2）化简S n＝a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1），然后求解数列的和即可．解：（1）∵a n+a n+1＝4n﹣1，n＝1，2，3…①，∴a n﹣1+a n＝4（n﹣1）﹣1，n＝2，3，4…②①﹣②得a n+1﹣a n﹣1＝4，n＝2，3…当n为奇数，，当n为偶数，所以．（2）S n＝a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+a2n﹣1a2n﹣a2n a2n+1，S n＝a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2n（a2n﹣1﹣a2n+1）＝．19．已知f（x）＝kx﹣sin2x+a sin x（k，a为实数）．（1）当k＝0，a＝2时，求f（x）在[0，π]上的最大值；（2）当k＝4时，若f（x）在R上单调递增，求a的取值范围．【分析】（1）求导后，列表得x，f′（x），f（x）的变化情况，进而求得最大值；（2）依题意，4cos2x﹣a cos x﹣6≤0恒成立，换元后利用二次函数的图象及性质得解．解：（1）当k＝0，a＝2时，f（x）＝﹣sin2x+2sin xf′（x）＝﹣2cos2x+2cos x＝﹣4cos2x+2cos x+2＝2（2cos x+1）（1﹣cos x），则x，f′（x），f（x）的变化情况如下：∴＝．（2）f（x）在R上单调递增，则f′（x）＝4﹣2（cos2x﹣sin2x）+a cos x≥0对∀x∈R 恒成立．得4cos2x﹣a cos x﹣6≤0，设t＝cos x∈[﹣1，1]，g（t）＝4t2﹣at﹣6，则g（t）≤0在[﹣1，1]上恒成立，由二次函数图象，得﹣2≤a≤2．20．已知椭圆Γ：的离心率为，点A为该椭圆的左顶点，过右焦点F（c，0）的直线l与椭圆交于B，C两点，当BC⊥x轴时，三角形ABC的面积为18．（1）求椭圆Γ的方程；（2）如图，当动直线BC斜率存在且不为0时，直线x＝c分别交直线AB，AC于点M、N，问x轴上是否存在点P，使得PM⊥PN，若存在求出点P的坐标；若不存在说明理由．【分析】（1）由离心率及三角形ABC的面积和a，b，c之间的关系求出椭圆方程；（2）由（1）知A的坐标，设直线BC的方程，及B，C的坐标，进而写直线AB，AC的方程，与直线x＝c联立求出M，N的坐标，假设存在P点，是PM⊥PN，使数量积等于零，求出P点坐标．【解答】解（1）由已知条件得，解得；所以椭圆Γ的方程为；（2）设动直线BC的方程为y＝k（x﹣2），B（x1，y1），C（x2，y2），则直线AB、AC的方程分别为和，所以点M、N的坐标分别为，联立得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48＝0，所以；于是，假设存在点P（t，0）满足PM⊥PN，则（t﹣2）2+y M y N＝0，所以t＝﹣1或5，所以当点P为（﹣1，0）或（5，0）时，有PM⊥PN．21．黄冈“一票通”景区旅游年卡，是由黄冈市旅游局策划，黄冈市大别山旅游公司推出的一项惠民工程，持有旅游年卡一年内可不限次畅游全市19家签约景区．为了解市民每年旅游消费支出情况（单位：百元），相关部门对已游览某签约景区的游客进行随机问卷调查，并把得到的数据列成如表所示的频数分布表：（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；（2）根据样本数据，可近似地认为市民的旅游费用支出服从正态分布N（45，152），若该市总人口为750万人，试估计有多少市民每年旅游费用支出在7500元以上；（3）若年旅游消费支出在40（百元）以上的游客一年内会继续来该景点游玩现从游客中随机抽取3人，一年内继续来该景点游玩记2分，不来该景点游玩记1分，将上述调查所得的频率视为概率，且游客之间的选择意愿相互独立，记总得分为随机变量X，求X 的分布列与数学期望．（参考数据：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）≈0.9545；P （μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）≈0.9973）【分析】（1）设样本的中位数为x，可得，解得x．（2）μ＝45，σ＝15，μ+2σ＝75，旅游费用支出在7500元以上的概率为P（x≥μ+2σ）＝，即可估计有多少万市民旅游费用支出在7500元以上．（3）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，X可能取值为3，4，5，6，利用二项分布列即可得出．解：（1）设样本的中位数为x，则，解得x＝45，所得样本中位数为45（百元）．（2）μ＝45，σ＝15，μ+2σ＝75，旅游费用支出在7500元以上的概率为P（x≥μ+2σ）＝＝，0.0228×750＝17.1，估计有17.1万市民旅游费用支出在7500元以上．（3）由表格知一年内游客继续来该景点游玩的概率为，X可能取值为3，4，5，6．，，，，故其分布列为．22．已知函数f（x）＝alnx﹣（x﹣1）e x，其中a为非零常数．（1）讨论f（x）的极值点个数，并说明理由；（2）若a＞e，（i）证明：f（x）在区间（1，+∞）内有且仅有1个零点；（ii）设x0为f（x）的极值点，x1为f（x）的零点且x1＞1，求证：x0+2lnx0＞x1．【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性的关系，对a进行分类讨论即可求解函数的单调性，进而可确定极值，（2）（i）转化为证明f′（x）＝0只有一个零点，结合函数与导数知识可证；（ii）由题意可得，，代入可得，，结合函数的性质可证．解：（1）解：由已知，f（x）的定义域为（0，+∞），∵，①当a＜0时，a﹣x2e x＜0，从而f′（x）＜0，所以f（x）在（0，+∞）内单调递减，无极值点，②当a＞0时，令g（x）＝a﹣x2e x，则由于g（x）在[0，+∞）上单调递减，g（0）＝a＞0，，所以存在唯一的x0∈（0，+∞），使得g（x0）＝0，所以当x∈（0，x0）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0；当x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个极值点．（2）证明：（i）由（1）知．令g（x）＝a﹣x2e x，由a＞e得g（1）＝a﹣e＞0，所以g（x）＝0在（1，+∞）内有唯一解，从而f′（x）＝0在（0，+∞）内有唯一解，不妨设为x0，则f（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减，所以x0是f（x）的唯一极值点．令h（x）＝lnx﹣x+1，则当x＞1时，＜0，故h（x）在（1，+∞）内单调递减，从而当x＞1时，h（x）＜h（1）＝0，所以lnx＜x﹣1．从而当a＞e时，lna＞1，且f（lna）＝aln（lna）﹣（lna﹣1）e lna＜a（lna﹣1）﹣（lna ﹣1）a＝0又因为f（1）＝0，故f（x）在（1，+∞）内有唯一的零点．（ii）由题意，即，从而，即．因为当x1＞1时，lnx1＜x1﹣1，又x1＞x0＞1，故，即，两边取对数，得lne，于是x1﹣x0＜2lnx0，整理得x0+2lnx0＞x1．。
湖北省黄冈市普通高中2024-2025学年高二上学期期中阶段性联考数学试题含答案
湖北省黄冈市普通高中2024-2025学年高二上学期期中阶段性联考数学试题（答案在最后）本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1,2,10)P -关于Oxy 平面的对称点为（）A.(1,2,10)--B.(1,2,10)-C.(2,1,10)--D.(1,2,10)--【答案】A 【解析】【分析】根据平面对称的特征求解.【详解】(1,2,10)P -关于平面Oxy 的对称点的特征为,x y 坐标不变，z 取相反数，故所求坐标为(1,2,10)P --.故选：A.2.若直线1:(1)210l m x y +++=与直线2:210l x y -+=平行，则m 的值为（）A.2±B.2C.2- D.5-【答案】C 【解析】【分析】由两线平行的判定列方程求参数.【详解】由题设1212121m m +=≠⇒=--.故选：C3.近几年7月，武汉持续高温，市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是12.某人用计算机生成了10组随机数，结果如下：726127821763314245521986402862若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，依据该模拟实验，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（）A.15B.310C.12 D.25【答案】D 【解析】【分析】根据0，1，2，3，4表示高温橙色预警，在10组随机数中列出3天中恰有2天发布高温橙色预警的随机数，根据古典概型的公式计算即可得解.【详解】3天中恰有2天发布高温橙色预警包括的随机数有：127，821，245，521共4个，所以今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是42105=.故选：D.4.某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件A 为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与A 互为对立事件的是（）A.甲、乙、丙恰有两人中奖B.甲、乙、丙都不中奖C.甲、乙、丙至少有一人不中奖D.甲、乙、丙至多有一人不中奖【答案】C 【解析】【分析】根据题设及对立事件的定义写出A 事件的对立事件即可.【详解】事件“甲、乙、丙三名同学都中奖”的对立事件是“甲、乙、丙三名同学至少有一人不中奖”.故选：C5.已知点(2,1),(3,)A B m -，若[1]m ∈--，则直线AB 的倾斜角的取值范围为（）A.π3π,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C.π2π0,,π43⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D.ππ3π,,π324⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】利用两点式求斜率，结合参数范围有[AB k ∈-，根据斜率与倾斜角关系确定倾斜角范围.【详解】由题设11[32AB m k m +==+∈--，则直线AB 的倾斜角的取值范围为π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：B6.如图所示，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，1,1,3,AD AB AA BAD '===∠=90,60BAA DAA ︒''︒∠=∠=，则BD '的长为（）A.B.C.D.5【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量加减的几何意义得到BD AA AD AB ''=+-，应用向量数量积的运算律求长度.【详解】由题设BD BB B D AA BD AA AD AB ''''''=+=+=+-，所以22222()222BD AA AD AB AA AD AB AA AD AA AB AD AB'''''=+-=+++⋅-⋅-⋅91133011=+++--=，所以BD '=.故选：B7.已知实数x ，y 满足22280x y x +--=，则22x y +的取值范围是（）A.[4,10]B.[8,10]C.[4,16]D.[8,16]【答案】C 【解析】【分析】由方程确定圆心和半径，进而得到圆上点到原点距离范围，根据22x y +表示圆上点到原点距离的平方求范围.【详解】将22280x y x +--=化为22(1)9x y -+=，即圆心为(1,0)，半径为3，由22x y +表示圆上点到原点距离的平方，而圆心(1,0)到原点的距离为1，又()0,0在圆内，所以圆上点到原点距离范围为[2,4]，故22x y +的取值范围是[4,16].故选：C8.如图，边长为4的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠，使14AD BC ⋅=，则三棱锥D ABC -的体积为（）A. B.C.273D.4143【答案】D 【解析】【分析】由题设得,OB AC OD AC ⊥⊥且()()AD BC AO OD BO OC ⋅=+⋅+，结合已知条件求得3cos 4BOD ∠=-，再利用棱锥体积公式求体积.【详解】若O 为正方形的中心，由题设知,OB AC OD AC ⊥⊥，所以()()14AD BC AO OD BO OC ⋅=+⋅+=，且OA OC OB OD ====，所以14AO BO AO OC OD BO OD OC ⋅+⋅+⋅+⋅= ，即14AO OC OD BO ⋅+⋅=，所以88cos(π)14BOD +-∠=，则3cos 4BOD ∠=-，则7sin 4BOD ∠=，所以三棱锥D ABC -的体积为11414sin 323OD BOD AB BC ⨯⨯∠⨯⨯⨯=.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线:20l kx y -+=和圆22:(3)(4)16M x y -+-=，则下列选项正确的是（）A.直线l 恒过点(0,2)B.直线l 与圆M 相交C.圆M 与圆22:1C x y +=有三条公切线D.直线l 被圆M 截得的最短弦长为【答案】ABC 【解析】【分析】根据定点的特征即可求解A;根据定点在圆内判断B;判断圆与圆的位置关系确定公切线条件判断C;根据垂直时即可结合圆的弦长公式求解D.【详解】对于A ，由直线的方程:20l kx y -+=，当0x =时，2y =，可知直线恒经过定点(0,2)P ，故A 正确；对于B ，因为直线恒经过定点(0,2)，且22(03)(24)16-+-<，定点在圆内，所以直线l 与圆M 相交，故B 正确；对于C ，由圆的方程22:(3)(4)16M x y -+-=，可得圆心()3,4M ，半径14r =，又由直线:20l kx y -+=，圆22:1C x y +=，圆心()0,0C ，半径21r =，此时541CM ===+，所以圆M 与圆相外切，有三条公切线，故C 正确；对于D ，由PM ==，根据圆的性质，可得当直线l 和直线PM 垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为=，故D 错误，故选：ABC.10.柜子里有3双不同的鞋子，从中随机地取出2只，下列计算结果正确的是（）A.“取出的鞋成双”的概率等于25B.“取出的鞋都是左鞋”的概率等于15C.“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于25D.“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于12【答案】BC 【解析】【分析】用列举法列出事件的样本空间，即可直接对选项进行判断.【详解】记3双不同的鞋子按左右为121212,,,,,a a b b c c ，随机取2只的样本空间为()()()()(){1211121112,,,,,,,,,a a a b a b a c a c ()()2122,,,,a b a b ()()()()()()()()}2122121112212212,,,,,,,,,,,,,,,a c a c b b b c b c b c b c c c ，共15种，则“取出的鞋成双”的概率等于31155=，A 错；“取出的鞋都是左鞋”的概率等于31155=，B 正确；“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于62155=，C 正确；“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于62155=，D 错.故选：BC11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，且点P 满足1BP BC BB λμ=+，则下列说法正确的是（）A.若0,1λμ==，则1//D P 平面1A BDB.若11,2λμ==，则⊥PO 平面1A BD C.若12λμ==，则P 到平面1A BD 3D.若1,01λμ=≤≤时，直线DP 与平面1A BD 所成角为θ，则36sin ,33θ∈⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】根据各项参数确定P 的位置，分别应用线面平行的判定定理判断A ；线面垂直的判定定理判断B ；由P 到平面1A BD 的距离，即为1C 到平面1A BD 的距离的一半，几何法求点面距离判断C ；应用向量法求线面角，进而求范围判断D.【详解】A ：1BP BB =，即1,P B 重合，故1D P 即为11D B ，又11//D B DB ，即1//D P DB ，由1D P ⊄面1A BD ，DB ⊂面1A BD ，则1//D P 面1A BD ，对；B ：112BP BC BB =+，易知P 为1C C 的中点，此时1CP =，且2OC OD ==所以3,5OP PD ==222OP OD PD +=，即OP OD ⊥，根据正方体的结构特征，易得11//DA CB ，若E 为BC 的中点，则1//PE C B ，又11CB C B ⊥，则1CB PE ⊥，显然OE ⊥面11BCC B ，1CB ⊂面11BCC B ，则1OE CB ⊥，由PE OE E = 且在面POE 内，则1CB ⊥面POE ，OP ⊂面POE ，则1CB OP ⊥，所以1DA OP ⊥，又1DA OD D = 都在面1A BD 内，则OP ⊥面1A BD ，对；C ：11122BP BC BB =+，即P 是面11BCC B 的中心，易知P 到平面1A BD 的距离，即为1C 到平面1A BD 的距离的一半，根据正方体的结构特征，11C A BD -为正四面体，且棱长为22，所以1C 到平面1A BD 22238(22)(22)83233-⨯⨯=-=所以P 到平面1A BD 的距离为23，错；D ：1BP BC BB μ=+，则P 在线段1CC 上运动，如图构建空间直角坐标系，所以1(2,0,2),(2,2,0),(0,2,)A B P t ，且02t ≤≤，故(0,2,)DP t =，令面1A BD 的一个法向量为(,,)m x y z =，且()()12,0,2,2,2,0DA DB == ，所以1220220m DA x z m DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =-，则(1,1,1)m =- ，故2||2sin ||||34m DP m DP tθ⋅==⨯+ ，令2[2,4]x t =+∈，则2t x =-，所以2211sin 841113138()42x x x θ==⨯-+⨯-+111[,42x ∈，故36sin ,33θ∈，对.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据各项参数值确定对应P 点的位置为关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.经过(0,2),(1,4)A B -两点的直线的方向向量为(1,)k ，则k 的值为______.【答案】2-【解析】【分析】利用两点式求斜率，结合斜率与方向向量的关系列方程求参数.【详解】由题设422101kk -=⇒=---.故答案为：2-13.已知空间向量(4,7,),(0,5,2),(2,6,)a m b c n ==-=，若,,a b c 共面，则mn 的最小值为__.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】先利用题给条件求得,m n 之间的关系，再利用二次函数即可求得mn 的最小值.【详解】空间向量(4,7,),(0,5,2),(2,6,)a m b c n ==-=，若,,a b c 共面，则可令(,R)a b c λμλμ=+∈，则427562m n μλμλμ=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，解之得2122m n μλ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩则2(22)22mn n n n n =+=+二次函数222y x x =+的最小值为12-，则222mn n n =+的最小值为12-.故答案为：12-14.由1,2,3,,2024 这2024个正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ，则12a b >的概率为___.【答案】34##0.75【解析】【分析】利用古典概型即可求得12a b >的概率.【详解】12a b >即2b a <，当1a =时，b 可以取1，有211⨯-种取法；当2a =时，b 可以取1，2，3，有221⨯-种取法；当3a =时，b 可以取1，2，3，4，5，有231⨯-种取法；当1012a =时，b 可以取1，2，3，L ,2023，有210121⨯-种取法；当10132024a ≤≤时，b 可以取1，2，3，L ,2024，有2024种取法；()()()211221210121101220241220242024a P b ⨯-+⨯-++⨯-+⨯⎛⎫>=⎪⨯⎝⎭ 759310124==故答案为：34四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出相应文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC 的顶点(1,3)A ，边AB 上的中线CM 所在直线方程为10x y +-=，边AC 上的高BH 所在直线方程为21y x =+.（1）求顶点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程.【答案】（1）()5,6-（2）74110x y ++=【解析】【分析】（1）根据直线垂直和点在线上，解设坐标，联立方程组即可求解；（2）结合（1）先求H 点坐标可得H 与A 重合，再利用AB 中点M 在直线10x y +-=上，即可求出B 点坐标，进而得出直线BC 的方程.【小问1详解】由题知，BH AC ⊥，C 在直线CM 上，设(),C m n ，则321110n m m n -⎧⨯=-⎪-⎨⎪+-=⎩，解得56m n =-⎧⎨=⎩，即点C 坐标为()5,6-.【小问2详解】设()00,B x y ，则000013102221x y y x ++⎧+-=⎪⎨⎪=+⎩，解得0011x y =-⎧⎨=-⎩，即()1,1B --，所以直线BC 的方程为()()()()611151y x ----=+---，即74110x y ++=.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//,,ABCD AD BC AB BC E ⊥为PD 的中点.（1）若CD AC ⊥，证明：EA EC =；（2）若224,1AD PA BC AB ====，求平面ACE 和平面ECD 的夹角θ的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）79.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定及性质定理证PA AD ⊥、CD PC ⊥，结合直角三角形性质即可证结论；（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.【小问1详解】由PA ⊥平面ABCD ，,CD AD ⊂平面ABCD ，则PA CD ⊥，PA AD ⊥，而CD AC ⊥，PA AC A = 且都在面PAC 内，则CD ⊥面PAC ，由PC ⊂面PAC ，则CD PC ⊥，即,△△PAD PCD 均为直角三角形，且PD 为斜边，由E 为PD 的中点，故12AE CE PD ==，得证.【小问2详解】由题意，易知ABCD 为直角梯形，且AB BC ⊥，//AD BC ，且PA ⊥平面ABCD ，以A 为原点，建立如下图示空间直角坐标系，则(1,2,0),(0,4,0),(0,0,2),(0,2,1)C D P E ，所以(0,2,1),(1,2,0),(1,0,1),(1,2,0)AE AC CE CD ===-=- ，若(,,),(,,)m x y z n a b c == 分别是面ACE 、面ECD 的法向量，则2020m AE y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1y =-，则(2,1,2)m =- ，且020n CE a c n CD a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1b =，则(2,1,2)n = ，所以7cos ,9m n m n m n ⋅== ，故平面ACE 和平面ECD 的夹角余弦值为79.17.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组，据统计新生通过考核选拔进入这三个兴趣小组成功与否相互独立.2024年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组的概率依次为12m n 、、，已知三个兴趣小组他都能进入的概率为124，至少进入一个兴趣小组的概率为34，且m n <.（1）求m 与n 的值；（2）该校根据兴趣小组活动安排情况，对进入“绘画”兴趣小组的同学增加校本选修学分1分，对进入“书法”兴趣小组的同学增加校本选修学分2分，对进入“诗词”兴趣小组的同学增加校本选修学分3分.求该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率.【答案】（1）1143m n ==，（2）14【解析】【分析】（1）由于进入这三个兴趣小组成功与否相互独立，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式来列出方程求解.（2）分析该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的情形有三种，即分数为4分，5分，6分，然后进行相互独立事件同时发生的概率乘法计算，再用分类事件加法原理求解即可.【小问1详解】由题意得：()()1122413111124mn m n m n ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪<⎪⎩，解得：1413m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；【小问2详解】设该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分的分数为X ，则()11114143212P X ⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭，()1111514328P X ⎛⎫==-⨯⨯= ⎪⎝⎭，()1111643224P X ==⨯⨯=，所以()11114128244P X ≥=++=.即该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率为14.18.如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，1124,,AB A B E F ==分别为DC ，BC 的中点，上下底面中心的连线1O O 垂直于上下底面，且1O O 与侧棱所在直线所成的角为45︒.（1）求证：1//B D 平面1C EF ；（2）求点1D 到平面1C EF 的距离；（3）在线段1BD 上是否存在点M ，使得直线1A M 与平面1C EF 所成的角为45︒，若存在，求出线段BM 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2；（3）5或.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设平面1C EF 的一个法向量为(,,)n x y z = ，判断10BD n ⋅= 即可；（2）应用向量法求1D 到平面1C EF 的距离即可；（3）假设在1BD 上存在点M ，且1(3,3,)MB D B λλλ== ，01λ≤≤，结合线面角正弦值列方程，求参数即可；【小问1详解】由题设，得四棱台为正四棱台，可建立如图所示空间直角坐标系，故111(4,4,0),(0,2,0),(2,4,0)A B D C E F ，所以11(2,2,0),(3,3,EF EC D B === ，若平面1C EF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则12200n EF x y n EC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1x =，则(1,1,0)n =- ，显然10BD n ⋅= ，而1⊄BD 面1C EF ，所以1//BD 面1C EF ；【小问2详解】由（1）知：11(0,2,0)D C =uuuu r ，所以1D 到平面1C EF的距离为11||||n D C n ⋅== 【小问3详解】假设在1BD 上存在点M，且1(3,3,)MB D B λλλ== ，01λ≤≤，则1111(1,3,(3,3,)(13,33A M A B MB A B D B λλλλλ=-=-=-=--，直线1A M 与平面1C EF 所成的角为45︒，故11||2||||n A M n A M ⋅= ，所以22(13)11(1)4λλ-+-=，即2572(52)(1)0λλλλ-+=--=，可得2=5λ或1λ=，2=5λ时，66(,,55MB =，则455BM ==，1λ=时，(3,3,MB =，则BM ==，综上，BM 长为455或19.已知动点M 与两个定点(1,1),(1,4)A B --的距离的比为12，记动点M 的轨迹为曲线Γ.（1）求曲线Γ的方程，并说明其形状；（2）已知(1,0)D -，过直线5x =上的动点(5,)P p 分别作曲线Γ的两条切线PQ ，(,PR Q R 为切点），连接PD 交QR 于点N ，（ⅰ）证明：直线QR 过定点，并求该定点坐标；（ⅱ）是否存在点P ，使ADN △的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心，半径为2的圆；（2）（ⅰ）证明见解析，定点为1(,0)3-；（ⅱ）存在，(5,0)P .【解析】【分析】（1）根据已知及两点距离公式有2222(1)(1)1(1)(4)4x y x y ++-=++-，整理即可得曲线方程；（2）（ⅰ）根据题设知,R Q 在以PD 为直径的圆上，并写出对应方程，结合,R Q 在22(1)4x y ++=上，即可求直线RQ ，进而确定定点坐标；（ⅱ）根据（ⅰ），若定点为1(,0)3T -，易知N 在以DT 为直径的圆上，根据圆的性质判断ADN △面积最大时N 的位置，即可确定P 的坐标.【小问1详解】设(,)M x y ，则22||1||4MA MB =，即2222(1)(1)1(1)(4)4x y x y ++-=++-，所以2223(1)4(1)(4)x y y ++-=-，整理得22(1)4x y ++=.【小问2详解】（ⅰ）由题设，易知,,,P R D Q 四点共圆，即,R Q 在以PD 为直径的圆上，而,P D 的中点坐标为(2,2p ，||PD =以PD 为直径的圆为222(2)()924p p x y -+-=+，又,R Q 在22(1)4x y ++=上，即RQ 为两圆的公共弦，两圆方程作差，得直线RQ 为620x py ++=，显然该直线恒过定点1(,0)3T -，得证.（ⅱ）存在，(5,0)P ，理由如下：由（i ）及题设，易知N 在以DT 为直径的圆上，即2(,0)3-为圆心、半径为13，且AD x ⊥轴，则|1AD =|，且2(,0)3-到直线AD 的距离为13，故N 到直线AD 的最大距离为23，所以，当N 与1(,0)3T -重合时，ADN △面积最大，此时(5,0)P .。
2019-2020学年湖北省黄冈市高二下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年湖北省黄冈市高二下学期期末数学试题一、单选题1．已知i 为虚数单位，若复数z 满足(2)(1)2z i i --=-，则复数||z =（ ）A ．2B ．1C D【答案】C【解析】根据复数的运算先求出z ，然后根据模长公式即可求解． 【详解】解：(2)(1)2z i i --=-， 22(1)221211(1)(1)i z i i i i i i i i --+∴=+=+=--+=-+--+，则||z ==．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算及复数模长公式的应用，属于基础题． 2．“1x >”是“3x >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】1x >3x >，不满足充分性，但31x x >⇒>，满足必要性，所以“1x >”是“3x >”的必要而不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查了必要不充分条件，考查了基本知识掌握情况，属于基础题.3．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】A【解析】根据解析式，代入计算即可. 【详解】因为2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，所以1(17)(9)=(1)=22=f f f =.故选：A. 【点睛】本题考查了函数值的计算，属于基础题. 4．已知5log 0.3a =，0.33b =，20.3c =，则下列选项正确的是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】A【解析】根据指对函数单调性比大小，判断三个数的大小关系即可 【详解】因为55log 0.3log 10a =<=，0.30331b =>=，200.30.31c =<=，即01c <<所以a c b <<. 故选：A. 【点睛】本题考查了利用指对函数单调性比大小，属于基础题.5．已知函数()(2cos )sin f x x x x =+-，()'f x 是函数()f x 的导数，则(0)f '=（ ）A ．0B ．1C ．πD ．2【答案】D【解析】利用导数的运算法则和基本初等函数的导数公式对函数()f x 进行求导，令()f x '中的0x =即可求解.【详解】因为函数()(2cos )sin f x x x x =+-，所以()()()()2cos 2cos sin f x x x x x x ''=+++-''， 即()()2cos sin cos 2sin f x x x x x x x =+-=-'+-， 所以()02f '=. 故选：D 【点睛】本题考查基本初等函数的导数公式和导数的运算法则；考查运算求解能力；属于基础题.6．函数3()x xx f x e e-=+的图象大致为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】首先判断函数的奇偶性，然后再判断当0x >或x →+∞时的函数值即可得出选项. 【详解】由()3x xx f x e e -=+，定义域为R ()()33x xx x x x f x f x e e e e----==-=-++， 所以函数为奇函数，故排除A ； 当0x >时，()0f x >，故排除C ；当x →+∞时，函数x x y e e -=+的增长速度比3y x =的增产速度快， 所以()0f x →，故排除D ； 故选：B 【点睛】本题考查了函数图像的识别，考查了函数的性质，属于基础题.7．已知在平面直角坐标系中有一定点(1,0)F ，动点(,)(0)P x y x ≥到y 轴的距离为d ，且1PF d -=，则动点p 的轨迹方程为（ ）A ．2214x y +=B ．24y x = C ．28y x = D ．22y x =【答案】B【解析】根据题意，转化为点(,)P x y 到定点(1,0)F 与到1x =-轴的距离相等，结合抛物线的定义，即可求解. 【详解】由平面直角坐标系中有一定点(1,0)F ，动点(,)P x y 到y 轴的距离为d ，且满足1PF d -=，即点(,)P x y 到定点(1,0)F 与到1x =-轴的距离相等，根据抛物线的定义可得，点P 的轨迹是以F 为焦点，以1x =-为准线的抛物线，可得2p =，所以抛物线的方程为24y x =.故选：B. 【点睛】本题主要考查了抛物线的定义及标准方程，其中解答中熟记抛物线的定义是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题. 8．已知函数1()xaf x xex-=-有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()20,4eB ．220,e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．()20,2eD ．40,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】先分离参数，再零点问题转化成两个函数的交点问题来求解即可. 【详解】由121e0e xx ax a x x---=⇒=，即y a =与21e x y x -=有三个交点， 设21()e xg x x -=，1()e(2)xg x x x -'=-，故当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,2x ∈时，()0g x '>；当()2,x ∈+∞时，()0g x '<.所以函数()g x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减， 故(0)0g =，4(2)e g =，故40ea <<. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数的零点，属于中档题.二、多选题9．双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为0y +=，双曲线的离心率为e ，双曲线的焦点到渐近线的距离为d ，则（ ）A ．d =B ．d =C ．3e =D ．e =【答案】AC【解析】利用双曲线的渐近线方程求出b ，然后转化求解离心率，求出双曲线的焦点到渐近线的距离为d ，判断选项即可． 【详解】双曲线2221(0)y x b b-=>的一条渐近线方程为0y +=，可得b =，1a =，所以3c e a ===．双曲线的右焦点(3,0)，双曲线的焦点到渐近线的距离为d ==故选：AC ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查了双曲线的离心率、渐近线以及点到直线距离公式，是基本知识的考查．10．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意实数x ，恒有(2)()f x f x -=成立，且(1)1f =，则（ ）A ．(1,0)是函数()f x 的一个对称中心B ．函数()f x 的一个周期是4C ．(3)1f =-D ．(2)0f =【答案】BCD【解析】根据奇偶性和周期性，逐一判断即可. 【详解】①由(2)()f x f x -=知(1)(1)f x f x -=+，故()f x 关于1x =轴对称，故A 选项错误；②()f x 是R 上的奇函数，即()()f x f x -=-，又(2)()f x f x -=故(2)()f x f x -=--，所以(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x ∴+=-+=，故周期为4，故B 选项正确；③周期为4，()()f x f x -=-且(1)1f =，得(3)(1)(1)1f f f =-=-=-，故C 选项正确；④周期为4，()()f x f x -=-，得(2)(24)(2)f f f -=-+=，(2)(2)f f -=-，故(2)0f =，故D 选项正确.故选：BCD. 【点睛】本题考查了函数奇偶性和周期性的综合，属于中档题. 11．下列命题中正确的是（ ）A ．命题“00x ∃≥，00sin x x <”的否定是“0x ∀≥，sin x x ≥”B ．若函数()f x 在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '>在区间(,)a b 上恒成立C ．“0x <”是“不等式11x<成立”的必要不充分条件 D ．若对任意1x ，()212x R x x ∈≠都满足()()21210f x f x x x ->-，则函数()f x 是R 上的增函数 【答案】AD【解析】根据特称命题的否定变换形式可判断A ；利用导数与函数单调性的关系可判断B ；解分式不等式11x<，再根据充分条件、必要条件的定义可判断C ；根据增函数的定义可判断D. 【详解】对于A ，命题“00x ∃≥，00sin x x <”的否定是“0x ∀≥，sin x x ≥”，故A 正确； 对于B ，函数()f x 在区间(,)a b 上单调递增，则()0f x '≥在区间(,)a b 上恒成立， 故B 不正确； 对于C ，1111100x x x x-<⇒-<⇒< ()10101x x x x x-⇒>⇒->⇒>或0x <， 所以“0x <”是“不等式11x <成立”的充分不必要条件，故C 不正确；对于D ，由()()21210f x f x x x ->-，即()()()()21210f x f x x x -->，所以()()()210f x f x ->且()210x x ->，或()()()210f x f x -<且()210x x -<， 根据增函数的定义可得函数()f x 是R 上的增函数，故D 正确. 故选：AD 【点睛】本题考查了判断命题真假、含有一个量词命题的否定、增函数的定义、导数与函数单调性之间的关系，属于基础题.12．已知1F ，2F 是椭圆1C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点，M ､N 是左､右顶点，e 为椭圆C 的离心率，过右焦点2F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，已知110AF BF ⋅=， 2232AF F B =，122AF AF =，设直线AB 的斜率为k ，直线AM 和直线AN 的斜率分别为1k ，2k ，直线BM 和直线BN 的斜率分别为3k ，4k ，则下列结论一定正确的是（ ）A ．e =B ．12k =C ．1245k k ⋅=-D ．4345k k ⋅=【答案】AC【解析】过点2F 作1F B 的平行线，交1AF 于点E ，设2||2F A t =，1||4F A t =，可得|5AB t =，由椭圆定义可得3a t =．12||||3BF BF t ==，在△12EF F 中，由勾股定理可得：c ，b 即可判断AB 的正误，设(,)A x y ，则222221222222(1)45x b y y y b a k k x a x a x a x a a -====-=-+---，即可判断CD 正误． 【详解】 解：110AF BF =，11AF BF ∴⊥，过点2F 作1F B 的平行线，交1AF 于点E ，12AF EF ∴⊥．设2||2F A t =，1||4F A t =， 又2232AF F B =，||5AB t ∴=， 11AF BF ⊥，1||3F B t ∴=，124t a ∴=，3a t ∴=．12||||3BF BF t a ∴===，(0,)B b ∴，在△12EF F 中，1131255t EF AF ==，212655tEF BF ==，122F F c =，2221212EF EF F F +=，∴5c =，225b a c =-=，∴椭圆离心率55c e a ==，故A 正确，2bk c==，故B 错， 设(,)A x y ，易得(,0)M a -，(,0)N a ，则222221222222(1)45x b y y y b a k k x a x a x a x a a -====-=-+---，故C 正确， 同理234245b k k a =-=-，故D 错．故选：AC ．【点睛】本题考查了椭圆的性质，考查了转化思想、计算能力，解题的关键是利用好几何关系、椭圆的定义，属于中档题．三、填空题13．若2()1x xa e a f x e ⋅+-=+为奇函数，则a =___________. 【答案】1【解析】利用奇函数性质(0)0f =，计算即得参数并加以验证. 【详解】易见()f x 定义域为R 的奇函数，所以(0)0f =，即00222(0)012a e a a f e ⋅+--===+， 此时111(),()()111x x xx x xe e ef x f x f x e e e -----=-===-+++， ()f x ∴为奇函数，1a .故答案为：1. 【点睛】本题考查了奇函数性质，属于基础题.14．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为11D C 和1CC 的中点，则异面直线AE 与1D F 所成的角的余弦值为__________. 【答案】0【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与1D F 所成的角的余弦值． 【详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体1111ABCD A B C D -中棱长为2，则(2A ，0，0)，(0E ，1，2)，1(0D ，0，2)，(0F ，2，1)， (2AE =-，1，2)，1(0D F =，2，1)-，设异面直线AE与1D F所成的角为θ，则11||cos0||||AE D FAE D Fθ⋅==⋅，∴异面直线AE与1D F所成的角的余弦值为0．故答案为：0．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查向量法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．若i为虚数单位，则计232020232020i i i i++++=___________.【答案】10101010i-【解析】设232020232020S i i i i=+++⋯+，两边乘以i，相减，结合等比数列的求和公式和复数的乘除运算法则，计算可得所求和．【详解】设232020232020S i i i i=+++⋯+，2342021232020iS i i i i=+++⋯+，上面两式相减可得，2320202021(1)2020i S i i i i i-=+++⋯+-20202021(1)(11)20202020202011i i ii i ii i--=-=-=---，则(1)202020201010101012i i iS ii+=-=-=--．故答案为：10101010i-．【点睛】本题考查数列的求和方法：错位相减法，以及复数的运算，考查等比数列的求和公式，以及化简运算能力，属于中档题．四、双空题16．已知3()4f x x x =-，若过点(2,0)A -的动直线l 与()f x 有三个不同交点，这三个交点自左向右分别为A ，B ，C ，设线段BC 的中点是(,)E m t ，则m =_________；t 的取值范围为__________. 【答案】1 (3,24)-【解析】先设直线并联立方程得到B ，C 坐标满足的关系和斜率与t 的关系，再利用相切的临界状态，得有三个不同交点时斜率的范围，即得t 的范围. 【详解】设()11,B x y ，()22,C x y ，直线l 的方程为(2)y k x =+，则由34,(2),y x x y k x ⎧=-⎨=+⎩得2x =-或220--=x x k ，所以122x x +=.又(,)E m t 为线段BC 的中点，所以1212x x m +==. 又()()()1212122223222k x k x x x y y t k k ++++⎡⎤+===+=⎢⎥⎣⎦，设函数()f x 上的切点为()3000,4P x x x -，由切线过点(2,0)-知，切线方程为()0(2)y f x x '=+，()20034f x x '=-，又点P 在切线方程上， 所以()()3200004342x x x x-=-+，整理得()()()()220000022210x x x x x ++-=+-=，解得02x =-或01x =，所以切线的斜率为1-和8， 所以(1,8)k ∈-，所以3(3,24)t k =∈-. 【点睛】本题考查了利用函数切线解决其图像交点的问题，属于中档题.五、解答题17．已知函数()ln f x x a x =-在点(2,(2))f 处的切线方程为222ln 20x y -+-=. （1）求a ；（2）求函数()()f x g x x=的极值. 【答案】（1）1；（2）极小值为11e-，无极大值. 【解析】（1）求出函数的定义域以及导函数，由1(2)122a f '=-=即可求解. （2）求出2ln 1()x g x x -'=，求出函数的单调性以及极值点，代入极值点即可求解. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}|0x x >，()1a x a f x x x-'=-=， 1(2)122a f '=-=，解得1a =. （2）()ln ()1f x xg x x x ==-， 2ln 1()x g x x -'=列表：故e x =是函数()g x 的极小值点，()g x 的极小值为1(e)1eg =-，无极大值. 【点睛】本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的极值，考查了基本运算能力，属于基础题.18．已知定义在R 上的函数()22x x f x -=-. （1）判断函数()f x 的奇偶性和单调性； （2）若2222()xx af x -+≥在区间0,上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()f x 为奇函数，R 上的增函数；（2）(-∞.【解析】（1）奇偶性根据定义判断即可，单调性根据两个增函数相加仍然是增函数来判断；（2）利用换元法将指数型问题转化成二次函数型问题，分离参数解决恒成立问题即可. 【详解】（1）因为()()2222()xx x x f x f x ---=-=--=-，故函数()f x 为奇函数；因为2xy =为R 上的增函数，2x y -=-为R 上的增函数，()22x x f x -=- 故函数()f x 为R 上的增函数；（2）由（1）()22x x f x -=-在区间(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0f x f >=. 又()22222222x xx x ---=+-，设(2=)2xxf t x -=-，则0t >， 222222x x t -+=+，22222()2x x af x t at -+≥⇒+≥即22222()x x af x t a t-+≥⇒+≥恒成立，又2t t +≥t =时，等号成立，故min 2t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以a ≤故a的取值范围为(-∞. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、单调性和恒成立问题，属于综合题.19．已知点F 是抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点，且抛物线C 经过点(4,4)P . （1）求抛物线C 的方程；（2）过点F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点E 的坐标为(1,0)-，若直线EA 的斜率为1k ，直线EB 的斜率为2k ，证明：12110k k +=. 【答案】（1）24y x =；（2）证明见解析. 【解析】(1)点代入方程，解得参数，即得方程；(2)设直线并联立方程，利用方程根的特点计算化简即得12110k k +=. 【详解】（1）解：因为抛物线C 经过点(4,4)P ，所以168p =，故2p =， 所以抛物线C 的方程为：24y x =.（2）证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，()1,0F ，设直线l 的方程为1x my =+， 由21,4,x my y x =+⎧⎨=⎩得2440y my --=， 所以124y y m +=，124y y =-. 因为1111y k x =+，2221y k x =+，111x my =+，221x my =+，121212121211111111x x my my k k y y y y ++++++∴+=+=+=121212112222y y m m y y y y ⎛⎫+++=+ ⎪⎝⎭，又121244y y mm y y +==--， 所以12110k k +=得证. 【点睛】本题考查了直线与抛物线位置关系的综合应用，属于中档题.20．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，13A A =，棱1A A ⊥底面ABCD ，E ，F 分别为线段AD 和11A B 的中点.（1）证明：BE CF ⊥；（2）求二面角B EF C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（26【解析】（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明直线的方向向量数量积为零，可得BE CF ⊥．（2）求出平面BEF的法向量和平面CEF的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出二面角B EF C--的余弦值．【详解】（1）证明：由题意DA ，DC，1DD两两垂直，如图，以D为坐标原点，以DA的方向为x轴的正方向，以1DD的方向为y轴的正方向，以1DD的方向为z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D xyz-.故(0,0,0)D，(1,0,0)E，(2,2,0)B，(0,2,0)C，3)F，所以(1,2,0)EB=，(2,3)CF=-，所以21(1)2300CF EB⋅=⨯+-⨯=，故BE CF⊥.（2）由（1）知3)EF=，(1,2,0)EB=，(1,2,0)EC=-，设()111,,n x y z=为平面EFB的一个法向量，则有0,0,n EBn EF⎧⋅=⎨⋅=⎩即1111120,30,x yx y z+=⎧⎪⎨+=⎪⎩可取32,1,3n⎛⎫=--⎪⎪⎝⎭，设()222,,m x y z=为平面EFC的一个法向量，则有0,0,m ECm EF⎧⋅=⎨⋅=⎩即2222220,30,x yx y z-+=⎧⎪⎨+=⎪⎩可取(2,1,3)m=-，所以6cos,n mn mn m⋅〈〉==.所以二面角B EF C --的余弦值为4【点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角，属于中档题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.21．已椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点，离心率为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：2y kx =-与椭圆C 交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆经过不在直线l 上的点(2,0)D ，求直线l 的方程.【答案】（1）22142x y +=；（2）32y x =-. 【解析】（1）根据题意，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点，离心率为2，建立方程，由此算出a ，b ，即可得到椭圆C 的方程；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，由题意可得DA DB ⊥，即()()1212220x x y y --+=，即可求出参数k 的值，从而得解； 【详解】解：（1）由题意得22222211,,2,a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：2a =，b =c =所以椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222,1,42y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消y 并化简整理得()2221840k x kx +-+=，则有122821k x x k +=+，122421x x k =+ ()222164162102k k k ∆=-+>⇒>，又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =--=-++， 由DA DB ⊥得()()1212220x x y y --+=()()2121212(1)80k x x k x x ⇒+-+++=()2224812(1)802121kk k k k ⇒+-++=++ 2430k k ⇒-+=，解得3k =或1k =.当1k =时，直线l 过点(2,0)D ，与题意不符； 当3k =时，直线l 不过点(2,0)D ，符合题意，故直线l 的方程为32y x =-. 【点睛】本题考查待定系数法求椭圆方程，直线与椭圆的综合应用，属于中档题. 22．已知函数()1ln f x ax x =-+. （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若1a =，证明：1()ex xf x ≥-. 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）首先求出函数的导函数，再对参数a 分类讨论，求出函数的单调区间； （2）要证1()ex xf x ≥-，只需证e (1ln )0xx x x -+-+≥，即证2e ln 0x x x x x -+-+≥即可，设2()e ln xh x x x x x -=+-+，0x >.利用导数说明其单调性、最值即可得证，【详解】解：（1）因为()1ln f x ax x =-+，所以0x >，11()ax f x a x x+'=+=， 当0a ≥时，1()0ax f x x+'=>，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a <时，由()0f x '=得1x a=-.当10,x a ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>；当1,x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.所以函数()f x 在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上所述：当0a ≥时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； 当0a <时，函数()f x 在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）证明：要证1()ex xf x ≥-，只需证e (1ln )0x x x x -+-+≥，即证2e ln 0x x x x x -+-+≥即可，设2()eln xh x x x x x -=+-+，0x >.则()e 2ln xh x x x -'=-++，1()e 20x h x x-''=++>，所以函数()e 2ln x h x x x -'=-++在(0,)+∞上单调递增.又e 112e 10e e h -⎛⎫'=-+-< ⎪⎝⎭，1(1)20e h '=-+>，故()e2ln xh x x x -'=-++在1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上存在唯一的零点0x ，即000e 2ln 0xx x --++=.所以当()00,x x ∈时，()0h x '<；当()0x x ∈+∞时，()0h x '>， 所以函数()h x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 故()0200000()eln x h x h x x x x x -≥=+-+，所以只需证()0200000eln 0x h x x x x x -=+-+≥即可.由000e 2ln 0x x x --++=，得000e 2ln x x x -=+，所以()()()00001ln h x x x x =++.又010x +>，所以只要00ln 0x x +≥即可.当00ln 0x x +<时，000000ln e e 0x x x x x x --<-⇒<⇒-+<，所以0000eln 0x x x x --+++<与000e 2ln 0x x x --++=矛盾.故00ln 0x x +≥，故()0h x ≥，即1()ex xf x ≥-得证. 【点睛】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及利用导函数证明不等式，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．。
2019-2020学年湖北省黄冈市高二下学期期末考试数学试题及答案
y kx 2,
联立
x2 4
y2 2
，消 y 并化简整理得 1,
2k 2 1
x2 8kx 4 0 ，
则有
x1
x2
8k 2k 2
1
，
x1x2
4 2k 2 1
64k 2 16 2k 2 1 0 k 2 1 ， 2
又 y1y2 kx1 2kx2 2 k 2x1x2 2k x1 x2 4 ，
为奇函数，则
a
=___________.
14．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E ， F 分别为 D1C1 和 CC1 的中点，则异面直线 AE 与 D1F 所成的角
的余弦值为__________.
15．若 i 为虚数单位，则计 i 2i2 3i3 2020i2020 ___________.
渐近线的距离为 d ，则（ ）
A． d 2 2
B． d 2
C． e 3
D． e 3 2 4
10．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，对任意实数 x ，恒有 f (2 x) f (x) 成立，且 f (1) 1，则
（）
A． (1, 0) 是函数 f (x) 的一个对称中心
B．函数 f (x) 的一个周期是 4
极小值
减
增
故 x e是函数 g(x) 的极小值点， g(x) 的极小值为 g(e) 1 1 ，无极大值.
e
18.解：（1）因为 f (x) 2x 2x 2x 2x f (x) ，故函数 f (x) 为奇函数；
因为 y 2x 为 R 上的增函数， y 2x 为 R 上的增函数， f (x) 2x 2x 故函数 f (x) 为 R 上的增函数； （2）由（1） f (x) 2x 2x 在区间 (0, ) 上单调递增，所以 f (x) f (0) 0 .
湖北省黄冈市2019-2020学年七年级(上)期末数学试卷
湖北省黄冈市2019-2020学年七年级(上)期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.在墙壁上固定一根横放的木条，则至少需要钉子的枚数是()A. 1枚B. 2枚C. 3枚D. 任意枚2.港珠澳大桥于2018年10月24日上午9时正式通车，它是中国境内一座连接香港珠海和澳门的桥隧工程，于2009年12月15日动工建设，2017年7月7日，大桥主体工程全线贯通，2018年2月6日，大桥主体完成验收，港珠澳大桥桥隧全长55千米，工程项目总投资额1269亿元，用科学记数法表示，1269亿元为()A. 1269×108B. 1.269×1010C. 1.269×1011D. 1.269×10123.下列运算中，正确的是()A. 2a3+3a2=5a5B. 3a+2b=5abC. 3ab−3ba=0D. 5a2−4a2=14.如图，是一个正方体的平面展开图，在正方体中写有“心”字的那一面的对面的字是()A. 祝B. 你C. 事D. 成5.已知单项式−a x+3b2与2ab y是同类项，则x3−y2的值是()A. −12B. −10C. −4D. 126.如图，甲从A点出发向北偏东60°方向走到点B，乙从点A出发向南偏西15°方向走到点C，则∠BAC的度数是()A. 105°B. 115°C. 125°D. 135°7.某店把一本书按标价的9折出售，仍可获利20%.若该书的进价为21元，则标价为()A. 26元B. 27元C. 28元D. 29元8.某中学学生军训，沿着与笔直的铁路并列的公路匀速前进，每小时走4500米.一列火车以每小时120千米的速度迎面开来，测得火车与队首学生相遇，到车尾与队末学生相遇共经过60秒，如果队伍长500米，那么火车长()A. 1500米B. 1575米C. 2000米D. 2075米二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.−2的倒数是______．3x2y2的系数为m，次数为n，则mn的值为______．10.已知单项式−3411.63°30′的余角为_________．12.如果点M表示的数是−3，那么数轴上与点M的距离为4的点表示的数是______．13.已知关于x的一元一次方程(a+3)x|a|−2+6=0，则a的值为______．14.一个三位数，它的百位上的数比十位上的数的2倍大1，个位上的数比十位上的数的3倍小1，如果把这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99，求原来的三位数是______ ．15.已知代数式3x2−2x+6的值等于9，则8−3x2+2x的值为______16.如图，数轴上线段AB=2，CD=4，点A在数轴上表示的数是−10，点C在数轴上表示的数是16，若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．当B点运动到线段CD上时，P是线段AB上一点，且有关系式BD−APPC=3成立，则线段PD的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.按要求完成下面的问题：(1)已知a2+a=0，求a2+a+2016的值；(2)已知a−b=−3，求3(a−b)−a+b+5的值；(3)已知a2+2ab=−2，ab−b2=−4，求2a2+5ab−b2的值．四、解答题（本大题共8小题，共64.0分）18.计算：(1)−(−8)÷4+(−12+34)×(−8)(2)−12018−13×[(−5)×(−35)2+0.8]19.解方程：(1)2(x+1)+3=1−(x−1);(2)1−2x5=2−3−x2．20.有20筐苹果，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下：与标准质量的差值(单位：千克)−3−2−1.501 2.5筐数142328(1)在这20筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐重多少千克？(2)求这20筐苹果的总质量．21.如图，已知∠COB=2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD=25°，求∠AOB的度数．22.某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件正好配套，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在21天中使所生产的零件全部配套，那么应该安排多少天生产甲种零件，安排多少天生产乙种零件？AB，D为AC的中点，若BD=6cm，求AB的长．23.已知线段AB，延长AB到C，使BC=1424.某百货商场元月一日搞促销活动，购物不超过200元不给优惠；购物超过200元，而不足400元的优惠总价的10%；购物超过400元的，其中不超过400元的部分按9折优惠，超过400元部分按8折优惠．某人两次购物分别用了128元和424元．问：(1)此人两次购物其物品如果不打折，一共值多少钱？(2)在这次活动中他节省了多少钱？(3)若此人将两次购物合为一次购物是否更省钱？为什么？25.如图，点A，B是数轴上的两点，O为原点，点B表示的数是1，点A在点B的左侧，AB=5．(1)求点A表示的数；(2)数轴上的一点C在点B的右侧，设点C表示的数是x，若点C到A，B两点的距离的和是15，求x的值；(3)动点P从A点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，同时动点Q从B点出发，以每秒1个单位的速度向右运动，设运动时间为t秒，是否存在这样的t值，使PQ=2PB，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查了直线的性质，熟记两点确定一条直线是解题的关键．根据直线的性质，两点确定一条直线解答．解：∵两点确定一条直线，∴至少需要2枚钉子．故选B．2.答案：C解析：解：将1269亿用科学记数法表示为1.269×1011．故选：C．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.答案：C解析：解：A.2a3与3a2不是同类项，不能合并，此选项错误；B.3a与2b不是同类项，不能合并，此选项错误；C.3ab−3ba=0，此选项正确；D.5a2−4a2=a2，此选项错误；故选：C．根据同类项的定义和合并同类项的法则逐一判断即可得．本题考查了同类项与合并同类项法则，能熟记同类项的定义及合并同类项的法则是解此题的关键．4.答案：D解析：由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．解：正方体的平面展开图中，相对的面一定相隔一个正方形，所以在正方体中写有“心”字的那一面的对面的字是成．故选：D．5.答案：A解析：本题考查同类项，解题的关键是熟练运用同类项的定义，本题属于基础题型．根据同类项的定义即可求出答案．解：由题意可知：x+3=1，y=2，∴x=−2，y=2，∴原式=−8−4=−12，故选：A．6.答案：D解析：本题考查了方向角，同时也考查了角的和差运算．可先求解∠BAF的大小，由于∠BAC=∠BAF+∠FAE+∠CAE，进而可得∠BAC的大小．解：如图，由题意可得，∠DAB=60°，∴∠BAF=90°−60°=30°，而∠CAE=15°，∠FAE=90°，∴∠BAC=∠BAF+∠FAE+∠CAE=30°+90°+15°=135°，故选D．7.答案：C解析：本题主要考查了一元一次方程的应用，设该书标价是x元，根据利润=售价−进价，且一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%，若该书的进价为21元，可列方程求解．解：设该书标价是x元，0.9x−21=20%×21解得，x=28，∴该书标价是28元，故选C．8.答案：B解析：本题主要考查列一元一次方程解相遇类型的行程问题，解题时要充分理解题意寻找等量关系列方程．解：设火车的长为x米，∵学生沿着与笔直的铁路线并列的公路匀速前进，每小时走4500米，一列火车以每小时120千米的速度迎面开来∴火车相对于学生一分钟能跑多少米：120000+450060=2075米，一分钟火车能跑2075米而火车头与队伍头相遇到火车尾与队伍尾离开共60s ，也就是一分钟， ∴500+x =120000+450060，解得x =1575，∴火车的长度应该是2075m −500m =1575m ，故选B ．9.答案：−32解析：解：(−23)×(−32)=1，所以−23的倒数是−32．故答案为：−32．根据倒数的定义即可解答．倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 10.答案：−3解析：解：∵单项式−34x 2y 2的系数为m =−34，次数为n =4，∴mn 的值为：−34×4=−3．故答案为：−3．直接利用单项式的次数与系数的定义分别得出m ，n 的值，即可得出答案．此题主要考查了单项式，正确把握单项式次数与系数的定义是解题关键． 11.答案：26°30’解析：此题考查了余角，角的计算，掌握余角的定义是关键，计算90°−63°30′，即可得到答案． 解：63°30′的余角为：90°−63°30′=26°30’，故答案为26°30’．12.答案：1或−7解析：解：当与点M的距离为4的点在M的左侧时，该点表示的数为−3−4=−7，当与点M的距离为4的点在M的右侧时，该点表示的数为4+(−3)=1，故答案为：1或−7．分两种情况讨论：点在M的左侧，点在M的右侧，可得结果．本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上两点间的距离=右边点表示的数−左边点表示的数．13.答案：3解析：解：根据题意得：a+3≠0，解得：a≠−3，|a|−2=1，解得：a=3或a=−3，即a=3，故答案为：3．根据一元一次方程的定义，列出关于a的不等式和等式，解之即可．本题考查了一元一次方程的定义和绝对值，正确掌握一元一次方程的定义和绝对值的定义是解题的关键．14.答案：738解析：此题考查一元一次方程的实际运用，掌握数的计数方法，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．设十位上的数字为x，则百位上的数字为2x+1，个位上的数字为3x−1，根据这个三位数的百位上的数字和个位上的数字对调，那么得到的三位数比原来的三位数大99，列出方程解答即可．解：设十位上的数字为x，则百位上的数字为2x+1，个位上的数字为3x−1，由题意得100(3x−1)+10x+(2x+1)=100(2x+1)+10x+(3x−1)+99解得：x=3，则2x+1=7，3x−1=8，所以原来的三位数为738．故答案为738．15.答案：5解析：解：根据题意得：3x2−2x+6=9，即3x2−2x=3，则原式=8−(3x2−2x)=8−3=5，故答案为：5由题意确定出3x2−2x的值，原式变形后代入计算即可求出值．此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16.答案：5或3.5解析：解：设线段AB未运动时点P所表示的数为x，B点运动时间为t，则此时C点表示的数为16−2t，D点表示的数为20−2t，A点表示的数为−10+6t，B点表示的数为−8+6t，P点表示的数为x+6t，∴BD=20−2t−(−8+6t)=28−8t，AP=x+6t−(−10+6t)=10+x，PC=|16−2t−(x+6t)|=|16−8t−x|，PD=20−2t−(x+6t)=20−8t−x=20−(8t+x)，=3，∵BD−APPC∴BD−AP=3PC，∴28−8t−(10+x)=3|16−8t−x|，即：18−8t−x=3|16−8t−x|，①当C点在P点右侧时，18−8t−x=3(16−8t−x)=48−24t−3x，∴x+8t=15，∴PD=20−(8t+x)=20−15=5；②当C点在P点左侧时，18−8t−x=−3(16−8t−x)=−48+24t+3x，∴x+8t=332，∴PD=20−(8t+x)=20−332=3.5；∴PD的长有2种可能，即5或3.5．故答案为：5或3.5．随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况，根据题意列出方程求解即可．本题考查两点间的距离，并综合了数轴、一元一次方程和线段长短的比较，难度较大，注意对第三问进行分情况讨论，不要漏解．17.答案：解：(1)∵a2+a=0，∴原式=0+2016=2016；(2)∵a−b=−3，∴原式=3(a−b)−(a−b)+5=2(a−b)+5=−6+5=−1；(3)∵a2+2ab=−2①，ab−b2=−4②，∴①×2+②得：2a2+4ab+ab−b2=−8，则2a2+5ab−b2=−8．解析：(1)把已知等式代入计算即可求出值；(2)原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值；(3)原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．此题考查了整式的加减，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18.答案：解：(1)原式=2+4−6=0；(2)原式=−1−13×(−95+45)=−1−13×(−1)=−1+13=−23．解析：(1)原式先计算乘除运算，再计算加减运算即可求出值；(2)原式先计算乘方运算，再计算乘法运算，最后算加减运算即可求出值．此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．19.答案：解：(1)去括号，得2x+2+3=1−x+1，移项、合并同类项，得3x=−3，方程两边同时除以3，得x=−1；(2)去分母，得2(1−2x)=20−5(3−x)，去括号，得2−4x=20−15+5x，移项、合并同类项，得−9x=3，．方程两边同时除以−9，得x=−13解析：此题考查了解一元一次方程的解法，熟练掌握解一元一次方程的法则是解本题的关键．(1)方程去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解；(2)方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解．20.答案：解：(1)2.5−(−3)=5.5(千克)，答：20筐苹果中，最重的一筐比最轻的一筐重5.5千克；(2)20×25+(−3)+(−8)+(−3)+0+2+20=508(千克)答：这20筐苹果的总质量时508千克．解析：(1)根据有理数的减法，可得答案；(2)根据有理数的加法，可得答案；本题考查了正数和负数，利用有理数的运算是解题关键．21.答案：解：设∠AOC=x，则∠COB=2∠AOC=2x．∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=∠BOD=1.5x．∴∠COD=∠AOD−∠AOC=1.5x−x=0.5x．∵∠COD=25°，∴0.5x=25°，∴x=50°，∴∠AOB=3×50°=150°．解析：先设∠AOC=x，则∠COB=2∠AOC=2x，再根据角平分线定义得出∠AOD=∠BOD=1.5x，进而根据∠COD=25°列出方程，解方程求出x的值，即可得出答案．此题主要考查了角平分线定义，根据题意得出∠COD=0.5x是解题关键．22.答案：解：设应该安排x天生产甲种零件，则安排(21−x)天生产乙种零件，根据题意可得：450x÷3=300(21−x)÷5，解得：x=6，则21−6=15(天)，答：应该安排6天生产甲种零件，则安排15天生产乙种零件．解析：根据题意表示出甲乙两种零件的个数，再利用每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件正好配套得出等式，求出答案．此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．23.答案：解：∵BC=14AB，∴AC=54AB，∵D为AC的中点，∴CD=12AC=12×54AB=58AB，∴BD=CD−BC=58AB−14AB=38AB=6，解得AB=16cm．答：AB的长是16cm．解析：本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．先根据BC=14AB可知AC=54AB，再由D为AC的中点可用AB表示出CD的长，再根据BD=CD−BC=6即可求出AB的长．24.答案：解：(1)因为：200×0.9=180128<180，所以：消费的128元没有优惠。
湖北省黄冈市2019-2020学年数学高二下期末达标检测试题含解析
湖北省黄冈市2019-2020学年数学高二下期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．某个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B 23C ．43D 43 【答案】C【解析】【分析】根据三视图可知几何体为三棱锥，根据三棱锥体积公式直接求得结果.【详解】由三视图可知，几何体为高为2的三棱锥∴三棱锥体积：11142223323V Sh ==⨯⨯⨯⨯= 本题正确选项：C【点睛】本题考查棱锥体积的求解，关键是能够根据三视图确定几何体的底面积和高，属于基础题.2．38(2)(1x x -的展开式中不含．．4x 项的各项系数之和为（ ） A ．26-B ．230C ．254D ．282【答案】D【解析】【分析】采用赋值法，令1x =得：求出各项系数之和，减去4x 项系数即为所求【详解】 ()(8321x x -+展开式中，令1x =得展开式的各项系数和为82. 而(81x +展开式的的通项为28,r r C x 则()(8321x x -+展开式中含4x 项系数为8288226,C C ⋅-=-故()()8321x x -+的展开式中不含．．4x 项的各项系数之和为 ()8226282.--=故选D.【点睛】考查对二项式定理和二项展开式的性质，重点考查实践意识和创新能力，体现正难则反．3．函数y ＝﹣ln （﹣x ）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】分析函数的定义域，利用排除法，即可求解，得到答案．【详解】由题意，函数ln()y x =--的定义域为(,0)-∞，所以可排除A 、B 、D ，故选C ．【点睛】本题主要考查了函数图象的识别问题，其中解答中合理使用函数的性质，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了判断与识别能力，属于基础题． 4．在101()2x x -的展开式中，4x 的系数为( ) A ．-120B ．120C ．-15D ．15 【答案】C【解析】【分析】 写出101()2x x -展开式的通项公式1021101()2r r r r T C x -+=-，令1024r -=，即3r =，则可求系数． 【详解】 101()2x x -的展开式的通项公式为101021101011()()22r r r r r r r T C x C x x --+=-=-，令1024r -=，即3r =时，系数为33101()152C -=-．故选C【点睛】本题考查二项式展开的通项公式，属基础题．5．已知高为 H 的正三棱锥 P ABC -的每个顶点都在半径为R 的球O 的球面上，若二面角 P AB C --的正切值为 4 ，则R H =（ ） A ．37 B ．35 C ．59 D ．58【答案】D【解析】【分析】过P 作PM ⊥平面ABC 于M ，D 为AB 中点，连接,PD CD .证明面角 P AB C --的平面角为PDC ∠,计算得到2H CM =,通过勾股定理计算得到答案. 【详解】如图：正三棱锥 P ABC -，过P 作PM ⊥平面ABC 于M ，D 为AB 中点，连接,PD CD .易知：,M CD O PM ∈∈D 为AB 中点,PD AB CD AB ⇒⊥⊥⇒二面角P AB C --的平面角为PDC ∠ 正切值为442H H DM CM ⇒=⇒= 在Rt OMC ∆中，根据勾股定理：2225()()28H R R H R H =-+⇒= 故答案选D【点睛】 本题考查了三棱锥的外接球，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.6．若实数,x y 满足不等式组2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值为（ ）A ．0B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】确定不等式组表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，即可求得z ＝2x+y 的最大值．【详解】不等式组表示的平面区域如图：z ＝2x+y 表示直线y ＝﹣2x+z 的纵截距，由图象可知，在A （1，2）处z 取得最大值为4故选：B ．【点睛】本题考查线性规划知识，考查数形结合的数学思想，解题的关键是确定不等式组表示的平面区域，明确目标函数的几何意义，属于基础题．7．已知集合{}1,0,1A =-，{}2|0B x x x =-=，那么A B =I ( ) A ．{}0B ．{}1C ．{}0,1D ．∅【答案】C【解析】【分析】 解出集合B ，即可求得两个集合的交集.【详解】由题：{}{}20,1|0B x x x =-==， 所以A B =I {}0,1.故选：C【点睛】此题考查求两个集合的交集，关键在于准确求出方程的解集，根据集合交集运算法则求解.8．在二项式()12n x -的展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则展开式的中间项的系数为（ ） A ．960-B ．960C ．1120D ．1680【答案】C【解析】【分析】先根据条件求出8n =，再由二项式定理及展开式通项公式，即可得答案.【详解】由已知可得：2256n =，所以8n =，则展开式的中间项为44458(2)1120T C x x =-=， 即展开式的中间项的系数为1120.故选：C ．【点睛】本题考查由二项式定理及展开式通项公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力．9．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(0)x y a a-=>的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,则OP FP ⋅u u u v u u u v 的取值范围为（ ）A ．[3-+∞）B ．[3++∞）C ．[74-,+∞）D ．[74,+∞） 【答案】B【解析】【分析】【详解】由题意可得2,1c b ==,,故a =设(,)P m n ,则221,3m n m -=≥. 222224(,)(2,)2212133m OP FP m n m n m m n m m m m ⋅=⋅+=++=++-=+-u u u r u u u r 关于 34m =-对称,故OP FP ⋅u u u r u u u r 在)+∞上是增函数,当m =时有最小值为3+无最大值,故OP FP ⋅u u u r u u u r的取值范围为[3)++∞,故选B.10．5(1)x -展开式3x 的系数是（ ）A ．-5B ．10C ．-5D ．-10 【答案】D【解析】【分析】由题意利用二项展开式的通项公式，求出（1﹣x ）5展开式x 3的系数．【详解】解：根据（1﹣x ）5展开式的通项公式为T r+1＝r 5C •（﹣x ）r ，令r ＝3，可得x 3的系数是﹣35C ＝﹣10， 故选：A ．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 11．设函数2()ln 2a f x x x bx =+-，若1x =是函数()f x 的极大值点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(,0)-∞D ．(,0]-∞ 【答案】A【解析】 分析：()f x 的定义域为10'f x ax b x+∞=+-（，），（） ，由'10f =（）， 得1b a =+． 所以()1(1)'ax x f x x--=（） 能求出a 的取值范围． 详解：()f x 的定义域为10'f x ax b x +∞=+-（，），（） ，由'10f =（）， 得1b a =+． 所以()1(1)'ax x f x x--=（）． ①若0a = ，当01x ＜＜时，'0f x （）＞，此时()f x 单调递增； 当1x ＞时，'0f x （）＜ ，此时()f x 单调递减．所以1x =是函数()f x 的极大值点． 满足题意，所以0a =成立．②若0a ＞，由'0f x =（），得11x x a ==．，当1 1a＞ 时，即1a < ，此时 当01x ＜＜时，'0f x （）＞，此时()f x 单调递增； 当1x ＞时，'0f x （）＜ ，此时()f x 单调递减．所以1x =是函数()f x 的极大值点．满足题意，所以1a <成立．．如果11a x =＞， 函数取得极小值，不成立；②若0a ＜ ，由'0f x =（） ，得11x x a==．． 因为1x =是f （x ）的极大值点，成立；综合①②：a 的取值范围是1a < ．故选：A ． 点睛：本题考查函数的单调性、极值等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．12．甲､乙､丙､丁四位同学一起去老师处问他们的成绩.老师说:“你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给丙看甲､乙的成绩,给甲看乙的成绩,给丁看丙的成绩.”看后丙对大家说:“我还是不知道我的成绩.”根据以上信息,则下列结论正确的是( )A ．甲可以知道四人的成绩B ．丁可以知道自己的成绩C ．甲､丙可以知道对方的成绩D ．乙､丁可以知道自己的成绩【答案】B【解析】【分析】根据题意可逐句进行分析，已知四人中有2位优秀，2位良好，而丙知道甲和乙但不知道自己的成绩可知：甲和乙、丙和丁都只能一个是优秀，一个是良好，接下来，由上一步的结论，当甲知道乙的成绩后，就可以知道自己的成绩，同理，当丁知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，从而选出答案.【详解】由丙知道甲和乙但不知道自己的成绩可知：甲和乙、丙和丁都只能一个是优秀，一个是良好； 当甲知道乙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是甲不知道丙和丁的成绩；当丁知道丙的成绩后，就可以知道自己的成绩，但是丁不知道甲和乙的成绩；综上，只有B 选项符合.故选：B.【点睛】本题是一道逻辑推理题，此类题目的推理方法是综合法和分析法，逐条分析题目条件语句即可，属于中等题.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．数列{}n a 满足1211,3,(2)(1,2,)n n a a a n a n λ+===-=L ，则3a 等于__________.【答案】15.【解析】【分析】先由11a =，23a =，结合1(2)n n a n a λ+=-，求出λ，然后再求出3a ．【详解】11a =Q ，23a =，1(2)n n a n a λ+=-，223a λ∴=-=，1λ=-．3(4)315a λ∴=-⋅=．故答案为：15.【点睛】本题以数列的表示法递推法为背景，考查利用递推关系求数列中的项，考查基本运算求解能力． 14．已知直线l 过点（1,0）且垂直于x 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.【答案】(1,0)【解析】分析：根据题干描述画出相应图形，分析可得抛物线经过点(1,2)，将点(1,2)坐标代入可求参数a 的值，进而可求焦点坐标.详细：由题意可得，点(1,2)P 在抛物线上，将(1,2)P 代入24y ax =中，解得：1a =，24y x ∴=， 由抛物线方程可得：24,2,12p p p ===， ∴焦点坐标为(1,0).点睛：此题考查抛物线的相关知识，属于易得分题，关键在于能够结合抛物线的对称性质，得到抛物线上点的坐标，再者熟练准确记忆抛物线的焦点坐标公式也是保证本题能够得分的关键.15．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，()()2.4,46DX P X P X ==<=，则p =______.【答案】0.6【解析】【分析】由题意知，10)X Bp :（，，根据二项分布的概率、方差公式计算即可. 【详解】由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布，所以()()101 2.4D X p p =-=，所以0.6p =或0.4p =．由()()46P X P X =<=，得()()6444661010C 1C 1p p p p -<-， 即()221p p -<，所以0.5P >，所以0.6p =，故答案为：0.6．【点睛】本题主要考查的是二项分布问题，根据二项分布求概率，再利用方差公式求解即可．16．若sin 6x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭________． 【答案】13【解析】【分析】 利用诱导公式与二倍角的余弦公式可得2cos 263sin x x ππ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212sin 6x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，计算求得结果.【详解】63sin x Q π⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则2cos 2626sin x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2cos 212sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111233=-⨯=，故答案为13. 【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”；(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系；(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在数列{}n a ，{}n b 中，12a =，14b =，且n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列（*n N ∈）.（1）求2a ，3a ，4a 及2b ，3b ，4b ；（2）根据计算结果，猜想{}n a ，{}n b 的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】 (1) 26a =，312a =，420a =，29b =，316b =，425b = (2) 猜想(1)n a n n =+，2(1)n b n =+，证明见解析【解析】分析：（1）根据条件中n a ，n b ，1n a +成等差数列，n b ，1n a +，1n b +成等比数列及所给数据求解即可．（2）用数学归纳法证明．详解：（1）由已知条件得12n n n b a a +=+，211n n n a b b ++=，由此算出26a =，312a =，420a =，29b =，316b =，425b =.（2）由（1）的计算可以猜想()1n a n n =+，()21n b n =+， 下面用数学归纳法证明：①当1n =时，由已知12a =，14b =可得结论成立.②假设当n k =（2k ≥且*k N ∈）时猜想成立，即()1k a k k =+，()21k b k =+. 则当1n k =+时，()()212211k k k a b a k k k +=-=+-+ ()()23212k k k k =++=++， ()()()()22221121221k k k k k a b k b k ++++===++， 因此当1n k =+时，结论也成立.由①②知，对一切*n N ∈都有()1n a n n =+，()21n b n =+成立．点睛：用数学归纳法证明问题时要严格按照数学归纳法的步骤书写，特别是对初始值的验证不可省略，有时可能要取两个(或两个以上)初始值进行验证，初始值的验证是归纳假设的基础；第二步的证明是递推的依据，证明时必须要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．18．设点()00,P x y 是抛物线2:4y x Γ=上异于原点O 的一点，过点P 作斜率为1k 、2k 的两条直线分别交Γ于()11,A x y 、()22,B x y 两点（P 、A 、B 三点互不相同）． （1）已知点()3,0Q ，求PQ 的最小值； （2）若06y =，直线AB 的斜率是3k ，求123111k k k +-的值； （3）若02y =，当0PA AB ⋅=u u u v u u u v时，B 点的纵坐标的取值范围． 【答案】（1）（2）3（3）26y <-或210y > 【解析】 【分析】（1）因为()00,P x y ,设0y t =,则20=4x t ,由两点间距离公式可求得:PQ =即可得出PQ 的最小值;（2）因为06y =,所以()9,6P ,设PA 的直线方程PA l :16(9)y k x -=-,将PA l 与2:4y x Γ=联立方程组,消掉x ,通过韦达定理,将点A 坐标用1k 表示同理可得到B 坐标.即可求得直线AB 的斜率是3k ,进而求得答案;（3）因为02y =,故(1,2)P .()11,A x y 、()22,B x y 两点抛物线上,可得211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭,即可求得向量PA u u u r 和AB u u ur .由0PA AB ⋅=u u u r u u u r ,可得到关于1y 和2y 方程,将方程可以看作关于1y 的一元二次方程, 因为1y R ∈且12y ≠,21y y ≠,故此方程有实根,240b ac ∆=->,即可求得B 点的纵坐标的取值范围. 【详解】（1）Q ()00,P x y 在2:4y x Γ=,设0y t =,则20=4x t由两点间距离公式可求得:PQ =令2t m =,()0m ≥∴PQ ====≥(当=4m 即=2t ±取等号) ∴PQ 的最小值（2）Q 06y =,200:4y x Γ=,故()9,6P则PA 的直线方程PA l : 16(9)y k x -=- 将PA l 与2:4y x Γ=联立方程组,消掉x则:126(9)4y k x y x -=-⎧⎨=⎩ ,得:21694y y k ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭化简为:211424360k y y k -+-=.由韦达定理可得:111114624366y k k y k ⎧+=⎪⎪⎨-⋅⎪⋅=⎪⎩ 解得:11146k y k -= 2114y x =Q ,可得:()21121464k x k -=,故()2112114646,4k k A k k --⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭同理可得:()2222224646,4k k B k k --⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭AB 直线的斜率是()()()()212121212132222212121222221214646464644646464644k k k k y y k k k k k x x k k k k k k k k -------==-------=()()()()()()()2212212112122222121212122146464444412444646k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ⋅--⋅--=⋅=+-----()121212121411433k k k k k k k k ==+-+-故:3121113k k k =+- 即1231113k k k +-= 123111k k k ∴+-的值为3. （3）Q 02y =,200:4y x Γ=,故(1,2)PQ ()11,A x y ,()22,B x y 在()11,A x y 、()22,B x y 两点抛物线上∴ 211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 222,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴ 1121,24y PA y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ,222121,44y y AB y y ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u rQ 0PA AB ⋅=u u u r u u u r ,故 2221211211,2,0444y y y y y y ⎛⎫⎛⎫--⋅--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭整理可得:()()22212112112044y y y y y y ⎛⎫⎛⎫--⋅+-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()21212112142044yy y y y y y y --+⋅+--=∴ P 、A 、B 三点互不相同,故:12y ≠,21y y ≠可得:()()12121016y y y +++= 即:21212122160y yy y y ++++=∴ ()2121222160y y y y ++++= 此方程可以看作关于1y 的一元二次方程, Q 1y R ∈且12y ≠,21y y ≠,故此方程有两个不相等的实根:()222(2)42160=y y +-+∴>∆ 即2222448640y y y ++--> ∴ 2224600y y --> 故:()()221060y y -+>解得: 26y <-或210y >∴B 点的纵坐标的取值范围: 26y <-或210y >.【点睛】在求圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起直线的斜率与交点横坐标的关系式.将直线与抛物线恒有交点问题,转化成求解一元二次方程有实根问题,是解本题的关键.19．求证：11m m mn n n C C C -++=.【答案】见解析. 【解析】分析：直接利用组合数的公式计算证明.()()()1!!!!1!1!m m n n n n C C m n m m n m -+=+---+详解：=()()!1!!1!n n m n m m n m -++-+=()()!1!1!n n m n m +-+=()()1!!1!n m n m +⎡⎤+-⎣⎦=1mn C +.点睛：（1）本题主要考查组合数的计算，意在考查学生对该知识的掌握水平和基本的运算能力.(2) 组合数公式：mnC =m n m m A A =(1)(1)12n n n m mL L --+⨯⨯⨯=()n m n m ⋅-！！！(n ∈·N ，m N ∈，且m n ≤)这里两个公式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式及合并组合数简化计算20．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点1F ，离心率为22，点P 为椭圆E 上任一点，且1||PF 21. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线l 过椭圆的左焦点1F ，与椭圆交于A B 、两点，且OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程. 【答案】（1） 2212x y += （2）10x y ++=或10x y -+=.【解析】 【分析】（1）设椭圆的标准方程为：2222x y a b +=1（a ＞b ＞0），由离心率为22，点P 为椭圆C 上任意一点，且|PF|21，求出a 2＝2，b 2＝1，由此能求出椭圆C 的方程；（2）设AB 的方程为：1x my =-，代入2212x y +=得：22(2)210m y my +--=，由弦长公式与点到线的距离公式分别求得,AB d ，由面积公式得m 的方程即可求解 【详解】（1）设椭圆的标准方程为：2222x y a b +=1（a ＞b ＞0），∵离心率为22，∴22222212c a b e a a -===，∴a 2b =， ∵点P 为椭圆C 上任意一点，且|PF|21， ∴c ＝1，∴a 2＝b 2+c 2＝b 2+1，解得a 2＝2，b 2＝1，∴椭圆C 的方程为222x y +=1．（2）因1(1,0)F -，AB 与x 轴不重合，故设AB 的方程为：1x my =-，代入2212x y +=得：22(2)210m y my +--=，其>0∆恒成立，设1122(,),(,)A x y B x y ，则有12122221,22m y y y y m m -+=⋅=++， 222121222(1)1()4m AB my y y y +∴=++-= 又O 到AB 的距离21d m =+2221122(1)1222231OABm S AB d m m ∆+∴===++，解得1m =±，l ∴的方程为：10x y ++=或10x y -+=.【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，准确计算是关键，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．21．（12分）甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为，被甲或乙解出的概率为，（1）求该题被乙独立解出的概率； （2）求解出该题的人数的数学期望和方差 【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为.设甲独立解出此题的概率为，乙为.则考点：本题主要考查离散型随机变量的概率计算。
2019-2020学年湖北省黄冈市数学高二下期末达标检测试题含解析
2019-2020学年湖北省黄冈市数学高二(下)期末达标检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．函数()sin cos f x x x =+在点(0,(0))f 处的切线方程为( ) A ．10x y -+=B ．10x y --=C ．10x y +-=D ．10x y ++=2．已知~(10,4)Z N ，则()6P Z <≈ （ ） 附：若()2,X N μσ:，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈，(22)0.9544P X μσμσ-<<+≈A ．0.3174B ．0.1587C ．0.0456D ．0.02283．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，设()4log 7a f =，12log 3b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.62c f =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．b a c <<4．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，左右焦点分别为12,F F ，点A 在双曲线C 上，若12AF F ∆的周长为10a ，则12AF F ∆面积为（）A ．2215aB ．215aC ．230aD ．215a5．请观察这些数的排列规律，数字1位置在第一行第一列表示为（1,1），数字14位置在第四行第三列表示为（4,3），根据特点推算出数字2019的位置A ．（45,44）B ．（45,43）C ．（45,42）D ．该数不会出现6．已知某同学在高二期末考试中，A 和B 两道选择题同时答对的概率为23，在A 题答对的情况下，B 题也答对的概率为89，则A 题答对的概率为( ) A ．1 4B ．3 4C ．1 2D ．797．某城市收集并整理了该市2017年1月份至10月份每月份最低气温与最高气温（单位：C o ）的数据，绘制了折线图（如图）.已知该市每月的最低气温与当月的最高气温两变量具有较好的线性关系，则根据该折线图，下列结论错误的是（）A ．最低气温低于0C o 的月份有4个B ．10月份的最高气温不低于5月份的最高气温C ．月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月份D ．每月份最低气温与当月的最高气温两变量为正相关8．已知函数()f x 是定义在(),-∞+∞上的奇函数，若对于任意的实数0x ≥，都有()()2f x f x +=，且当[)0,2x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()()20172018f f -+的值为( ) A ．－1B ．－2C ．2D ．19．如图是某手机商城2018年华为、苹果、三星三种品牌的手机各季度销量的百分比堆积图（如：第三季度华为销量约占50%，苹果销量约占20%，三星销量约占30%）．根据该图，以下结论中一定正确的是（ ）A ．华为的全年销量最大B ．苹果第二季度的销量大于第三季度的销量C ．华为销量最大的是第四季度D ．三星销量最小的是第四季度10．12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是( ) A ．2283C AB ．2686C AC ．2286C AD ．2285C A11．等比数列{}n a 的各项均为正数，且463718a a a a +=，则31323339log log log log a a a a +++⋯+=（ ） A ．12 B ．10 C ．9D ．32log 5+12．()102x -的展开式中第5项的二项式系数是（ ）A ．510CB ．41016CC ．41032C -D ．410C二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知集合[)21{|}A B x x a A B =+∞=≤≤⋂≠∅，，，，则实数a 的取值范围是_________. 14．若曲线3()y x ax a R =-∈在点01x =处的切线斜率为1，则该切线方程为__________． 15．命题“0x ∀>，210x +>”的否定为______.16．函数()log (43)(0a f x x a =->且1)a ≠的图象所过定点的坐标是________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知曲线C 的极坐标方程是4cos ρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）．（1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且15AB =，求直线l 的倾斜角α的值． 18．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数． (1)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾； (2)全体站成一排，女生必须站在一起； (3)全体站成一排，男生互不相邻． 19．（6分）已知复数z 满足z =261ii-+-﹣1． （1）求复数z 的共轭复数z ；（2）若w =z +ai ，且|w |≤|z |，求实数a 的取值范围．20．（6分）假定某篮球运动员每次投篮命中率均为(01)p p <<.现有3次投篮机会,并规定连续两次投篮均不中即终止投篮,已知该运动员不放弃任何一次投篮机会,且恰好用完3次投篮机会的概率是2125. (1)求p 的值；(2)设该运动员投篮命中次数为X ,求X 的概率分布及数学期望()E X .21．（6分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，且//AD BC ，AB BC ⊥，2PA AD ==，19PC =，AB 6=，22PD =，10PB =.（1）证明：PA ⊥平面ABCD ； （2）求四棱锥P ABCD -的体积.22．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为2t x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（1）求曲线C 的直角坐标方程； （2）设点)M，直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ，求22MA MB +的值.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】先求出f '（x ），再利用导数求出在x ＝1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率即可． 【详解】∵f（x ）＝sinx+cosx ，∴f '（x ）＝cosx ﹣sinx ，∴f '（1）＝1， 所以函数f （x ）在点（1，f （1））处的切线斜率为1；又f （1）＝1，∴函数f （x ）＝sinx+cosx 在点（1，f （1））处的切线方程为：y ﹣1＝x ﹣1．即x ﹣y+1＝1． 故选A ． 【点睛】本题考查利用导数求曲线上在某点切线方程的斜率，考查直线的斜率、导数的几何意义等基础知识，属于基础题． 2．D 【解析】 【分析】由随机变量~(10,4)Z N ，所以正态分布曲线关于10μ=对称，再利用2σ原则，结合图象得到()6P Z <≈0.0228.【详解】因为~(10,4)Z N ，所以10,2μσ==，所以(104104)0.9544P Z -<<+≈，即(614)0.9544P Z <<≈， 所以1(6)[1(614)]0.02282P Z P Z <=-<<≈.选D ． 【点睛】本题主要考查正态分布曲线及2σ原则，考查正态分布曲线图象的对称性. 3．B 【解析】 【分析】由函数()y f x =为R 的偶函数，得出该函数在[)0,+∞上为减函数，结合性质()f x =()f x 得出()122log 3log 3b f f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，比较4log 7、2log 3、 1.62的大小关系，结合函数()y f x =的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系． 【详解】由函数()y f x =为R 的偶函数，且在(],0-∞上是增函数，则该函数在[)0,+∞上为减函数，且有()()f x f x =，则()4log 7a f =，()122log 3log 3b f f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，()1.62c f =， 222442log 3log 3log 9log 7==>Q ，且2 1.622log 3log 222<=<，1.6242log 3log 7∴>>，由于函数()y f x =在[)0,+∞上为减函数，所以，()()()1.6242log 3log 7f f f <<，因此，c b a <<，故选B ．【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性比较大小，考查中间值法比较指数式和对数式的大小关系，再利用函数单调性比较函数值大小时，要结合函数的奇偶性、对称性、周期性等基本性质将自变量置于同一单调区间，结合单调性来比较大小关系，考查分析问题的能力，属于中等题． 4．B 【解析】点A 在双曲线C 上，不妨设点A 在双曲线C 右支上，所以122AF AF a -=，又12AF F ∆的周长为1212122c 10?AF AF F F AF AF a ++=++=. 得1210?2c AF AF a +=-. 解得126,?4AF a c AF a c =-=-.双曲线C 的离心率为2，所以2ca=，得2c a =. 所以122,?AF c AF c ==. 所以112AF F F =，所以12AF F ∆为等腰三角形.边2AF ==.12AF F ∆的面积为2221122AF c ===n n n .故选B. 5．C 【解析】 【分析】由所给数的排列规律得到第n 行的最后一个数为2n ，然后根据2452025=可推测2019所在的位置． 【详解】由所给数表可得，每一行最后一个数为2221,2,3,L ，由于22441936,452025==，2244201945<<， 所以故2019是第45行的倒数第4个数， 所以数字2019的位置为（45,42）． 故选C ． 【点睛】（1）数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识． （2）解决归纳推理问题的基本步骤①发现共性，通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)； ②归纳推理，把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想)． 6．B 【解析】分析：根据条件概率公式计算即可.详解：设事件A ：答对A 题，事件B ：答对B 题， 则()()()23P AB P A P B =⋅=， ()()()8|9P AB P B A P A ∴==.()34P A ∴=. 故选：B.点睛：本题考查了条件概率的计算，属于基础题. 7．A 【解析】 【分析】由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得最低气温低于0℃的月份有3个． 【详解】由该市2017年1月份至10月份各月最低气温与最高气温（单位：℃）的数据的折线图，得：在A 中，最低气温低于0℃的月份有3个，故A 错误．在B 中，10月的最高气温不低于5月的最高气温，故B 正确；在C 中，月温差（最高气温减最低气温）的最大值出现在1月，故C 正确； 在D 中，最低气温与最高气温为正相关，故D 正确； 故选：A ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题． 8．A 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性以及函数的周期性转化求解即可． 【详解】因为f （x ）是奇函数，且周期为2，所以f （﹣2 017）+f （2 018）=﹣f （2 017）+f （2 018）=﹣f （1）+f （0）．当x ∈[0，2）时，f （x ）=log 2（x+1）， 所以f （﹣2 017）+f （2 018）=﹣1+0=﹣1． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数的周期性的应用，考查计算能力． 9．A 【解析】 【分析】根据图象即可看出，华为在每个季度的销量都最大，从而得出华为的全年销量最大，从而得出A 正确；由于不知每个季度的销量多少，从而苹果、华为和三星在哪个季度的销量大或小是没法判断的，从而得出选项B ，C ，D 都错误． 【详解】根据图象可看出，华为在每个季度的销量都最大，所以华为的全年销量最大；每个季度的销量不知道，根据每个季度的百分比是不能比较苹果在第二季度和第三季度销量多少的，同样不能判断华为在哪个季度销量最大，三星在哪个季度销量最小；B ∴，C ，D 都错误，故选A ． 【点睛】本题主要考查对销量百分比堆积图的理解． 10．C 【解析】试题分析：第一步从后排8人中选2人有28C 种方法，第二步6人前排排列，先排列选出的2人有26A 种方法，再排列其余4人只有1种方法，因此所有的方法总数的种数是2286C A 考点：排列组合点评：此类题目的求解一般遵循先选择后排列，结合分步计数原理的方法 11．C 【解析】 【分析】先利用等比中项的性质计算出5a 的值，再利用对数的运算性质以及等比中项的性质得出结果． 【详解】由等比中项的性质可得246375218a a a a a +==，等比数列{}n a 的各项均为正数，则53a =，由对数的运算性质得()3132333931289log log log log log a a a a a a a a ++++=L L()()()()()423192837465355log log a a a a a a a a a a a ⎡⎤=⋅⋅⋅⋅=⋅⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦ 99353log log 39a ===，故选C.【点睛】本题考查等比中项和对数运算性质的应用，解题时充分利用这些运算性质，可简化计算，考查计算能力，属于中等题． 12．D 【解析】试题分析：由二项展开式的通项公式得，第5项的二项式系数为410C .考点：二项式定理.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．[)2,+∞ 【解析】 【分析】通过A B ⋂≠∅，即可得到答案. 【详解】根据题意，A B ⋂≠∅，则2a ≥，所以实数a 的取值范围是[)2,+∞. 【点睛】本题主要集合交的运算，难度较小. 14．2y =x - 【解析】 【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标，进而得到切点坐标，由点斜式方程可得切线的方程． 【详解】3y x ax =-的导数为23y x a '=-，在点01x =处的切线斜率为1，可得31a -=，所以2a =，切点纵坐标为：1-， 可得切点为(1,1)-，即有切线的方程为11(1)y x +=⨯-， 即为20x y --=． 故答案为2y =x -． 【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．15．0x ∃>，210x +≤ 【解析】 【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可． 【详解】 解：因为全称命题的否定为特称命题，故命题“0x ∀>，210x +>”的否定为：“0x ∃>，210x +≤” 故答案为：0x ∃>，210x +≤ 【点睛】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的关系，属于基础题． 16．()1,0 【解析】 【分析】由log 10a =知431x -=，解出x ，进而可知图象所过定点的坐标 【详解】由log 10a =可令431x -=，解得1x =，所以图象所过定点的坐标是()1,0 【点睛】本题考查对数函数的性质，属于简单题． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）()2224x y -+=；（2）6πα=或56π． 【解析】 【分析】（1）利用222x y ρ+=，cos x ρθ=，sin y ρθ=将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，利用直线l 参数的几何意义表示出AB ，列方程求解即可. 【详解】（1）由4cos ρθ=得24cos ρρθ=．222x y ρ+=Q ，cos x ρθ=，sin y ρθ= ∴曲线C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=，即()2224x y -+= （2）将直线l 的方程1cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入2240x y x +-=的方程，化简为：22cos 30t t α--=．（A B 、对应的参数为1t 和2t ） 故：12122cos 3t t t t α+=⎧⎨=-⎩．()2212121244cos 1215AB t t t t t t α∴=-=+-=+=24cos 3α∴=，则3cos 2α=±， [)0,απ∈Q6πα∴=或56π． 【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化，直线参数方程参数的几何意义，圆的弦长问题的计算，考查了学生的运算求解能力.18．（1）3600（2）576（3）1440【解析】分析：（1）根据特殊元素“优先法”，由分步计数原理计算可得答案；(2) 根据“捆绑法”将女生看成一个整体，考虑女生之间的顺序，再将女生的整体与3名男生在一起进行全排列即可；(3）利用“插空法”，先将4名女生全排列5个空位中任选3个空位排男生，分别求出每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案.详解：(1)甲为特殊元素．先排甲，有5种方法，其余6人有A 种方法，故共有5×A ＝3 600种方法．(2)(捆绑法)将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行全排列，有A 种方法，再将4名女生进行全排列，有A 种方法，故共有A ×A ＝576种方法．(3)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有A 种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3个空位排男生，有A 种方法，故共有A ×A ＝1 440种方法．点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.19．（1）82z i =--（2）﹣1≤a ≤0【解析】【分析】（1）利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出；（2）利用复数模的计算公式、一元二次不等式的解法即可得出．【详解】解：（1）261i z i -+=- (26)(1)482(1)(1)i i z i i i -++∴=-=-+-+， ∴82z i =--．（2）w z ai =+Q8(2)w a i ∴=-++， ∴||217z =， 22||64(2)684w a a a =++=++，||||w z Q „，则268468a a ++„，240a a +„，40a -剟， 所以，实数a 的取值范围是：40a -剟． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、复数模的计算公式、一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．20．（1）35；（2）分布列见解析，期望为213125． 【解析】分析：(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”,所以, ()()1P A P A =- ()2211125p =--=(2) X 的所有可能值为0,1,2,3,计算其对应概率即可. 详解：(1)设事件A :“恰用完3次投篮机会”,则其对立事件A :“前两次投篮均不中”, 依题意, ()()1P A P A =- ()2211125p =--=， 解得35p =. (2)依题意, X 的所有可能值为0,1,2,3,且()()240125P X p ==-=, ()()211P X p p ==- ()()2411125p p p +--=， ()3273125P X p ===， 故()()210P X P X ==-= ()()5413125P X P X -=-==. X 的概率分布列为:数学期望()242125E X =+⨯ 54272133125125125+⨯=. 点睛：利用对立事件计算概率是概率问题中长用的方法，所以出现“至多”“至少”等其他关键字眼时要注意利用对立事件的思路解题，往往能够简化计算.21．（1）见解析（2）563【解析】【分析】 （1）先证明PA AD ⊥，PA AB ⊥，再证明PA ⊥平面ABCD ；（2）连接AC ，求出AC,CB 的长，再求四棱锥P ABCD -的体积.【详解】 （1）证明：因为 2PA AD ==，22PD =，所以222PA AD PD +=，即PA AD ⊥，同理可得PA AB ⊥，因为AD AB A ⋂=，所以PA ⊥平面ABCD .（2）解：连接AC ，2215AC PC PA =-=223BC AC AB =-=，156(23)622ABCD S =⨯+=. 15662323P ABCD V -=⨯=. 【点睛】本题主要考查线面垂直关系的证明，考查锥体的体积是计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.22．（1）()2224x y -+=；（2）431.【解析】【分析】（1）将曲线C 的极坐标方程转化为24cos ρρθ=由此可求出曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线l 参数方程代入到()2224x y -+=中，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，利用韦达定理能求出22MA MB +的值.【详解】解：（1）根据极坐标与直角坐标之间的相互转化，222cos ,x x y ρθρ==+曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，则24cos ρρθ=，即()2224x y -+=.故曲线C 的直角坐标方程为()2224x y -+=.（2）直线l30y +-=，点)M 在直线上，且倾斜角为120o ， 将直线l参数方程2t x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入到曲线C的直角坐标方程得：(2230t t ++-=，设A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ，则12122,3t t t t +⋅=- 由曲线的几何意义知：()222121221MA MB t t t t +=+-⋅=.【点睛】本题考查曲线的极坐标方程，考查两线段长的平方和的求法，考查运算求解能力，考查与化归转化思想，是中档题.。
湖北省黄冈市2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题
黄冈市2020年春季高一年级期末考试数学试题考生注意：1．答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上．2．选择题答案必须使用2B 铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写。
字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．保持卡面清洁，不折叠、不破损．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．sin10cos 35cos10sin 35︒︒︒︒+=（）A ．2B ．2-C ．2D ．122．已知向量(,2)a x = ，(21,3)b x =+ ，若a b λ=，则x =（）A ．12B ．2-C ．1D ．23．若等差数列{}n a 满足792a a +=，105a =-，则数列{}n a 的首项1a =（）A ．20B ．3-C ．22D ．23-4．在ABC 中，内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ,c ，已知3cos 5A =-，8a =，5b =，则B =（）A ．4πB ．6πC ．3πD ．56π5．若直线310x ay +-=与直线10x y -+=平行，则a =（）A ．3-或1-B ．1-C ．3-D ．326．已知点(2,3)A --和点(1,0)B -是平面直角坐标系中的定点，直线1y kx =+与线段AB 始终相交，则实数k 的取值范围是（）A ．[1,2]B ．[2,1]-C ．[2,1]--D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．在ABC 中，内角A ，B ，C的对边分别为a ，b ,c ，已知6A π=，b =，ABC 的面积为a =（）A ．B ．4CD ．8．如图，在三棱柱111ABC ABC -中，侧面11BBC C 为矩形，侧面11A ABB 为菱形，且平面11BBCC ⊥平面11A ABB ，160BAA ︒∠=，22AB BC ==．则异面直线1CA与1BC 所成角的余弦值为（）A ．13B ．19C ．25D ．15二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（）A ．若m α⊥，n a ⊥，则//m nB ．若//m α，//m β，则//αβC ．若αβ⊥，//m β，则m α⊥D ．若//αβ，m α⊥，则m β⊥10．在ABC 中，点E ，F 分别是边BC 和AC 上的中点，P 是AE 与BF 的交点，则有（）A ．1122AE AB AC =+B ．2AB EF= C ．1133CP CA CB=+ D ．2233CP CA CB =+11．在长方体1111A B C D ABCD -中，11A A =，2AB =，3AD =，下列选项正确的有（）A ．11BD AC ⊥B ．长方体1111A B C D ABCD -的外接球的表面积为14πC ．三棱锥1A BDC -的体积为1D ．三棱锥11A BD C -与三棱锥1A ABD -的表面积相等12．已知数列{}n a ，11a =，25a =，在平面四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点E ，且2A E E C =，当2n 时，恒有()()1213nn n n BD a a BA a a BC +=--+-，则（）A ．数列{}n a 为等差数列B ．1233BE BA BC =+C ．数列{}n a 为等比数列D ．14n nna a +-=第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案写在答题卡上．13．直线320x -=的倾斜角为________．14．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，14a =，258a a =，则3S =________．15．已知平面向量(1,2)a = ，(1,)b x = ．①若||a b a b -=⋅，则实数x 的值是________；②若2a b + 与2a b -的夹角为锐角，则实数x 的取值范围是________．（本题第一空2分，第二空3分）6．如图，设圆M 的半径为2，点C 是圆M 上的定点，A ，B 是圆M 上的两个动点，则C A C B ⋅的最小值是________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知向量n 与向量m 的夹角为3π，且||1n = ，||3m = ，()0n n m λ⋅-= ．（I ）求λ的值；（Ⅱ）记向量n与向量3n m -的夹角为θ，求cos 2θ．18．（本小题满分12分）已知函数()2sin cos f x x x =+．（I ）求函数()f x 的值域；（Ⅱ）当()0f x =时，求22sin sin2cos21x x x -+的值．19．（本小题满分12分）在ABC 中，内角A ，B ，C对的边分别为a ，b ，c ，且sin sin sin sin B C a bA B c+-=+．（I ）求A ；（Ⅱ）若2b =，1()2AD AB AC =+，且||1AD = ，求ABC 的面积．20．（本小题满分12分）已知直线1:240l x y +-=与直线2:10l x y --=的交点为A ，直线l 经过点A ，点(1,1)P -到直线l 的距离为2，直线3l 与直线1l 关于直线2l 对称．（1）求直线l 的方程；（Ⅱ）求直线3l 的方程．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足24a =，12(2)n n a a n -=+ ，已知数列{}n b 的前n 项和为n S ，且满足1n n S b =-．（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和．22．（本小题满分12分）在三棱锥D ABC -中，底面ABC 为等边三角形，DB DC ⊥，且DB DC =，E 为BC 的中点．（I ）证明：AD BC ⊥；（Ⅱ）若平面DBC ⊥底面ABC ，求AE 与平面ADB 所成角的正弦值．黄冈市2020年春季高一年级期末考试数学参考答案及评分标准一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．A2．B3．C4．B5．C6．A7．D8．D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9．AD10．AC11．BC12．BD 解析：如图，2A E E C =，所以2()BE BA BC BE -=- ．所以1233BE BA BC =+．设12n n x a a -=-，13n n y a a +=-，B D B E λ=，因为1233BE BA BC =+，所以202y x y x-+=⇒=，即11322n n n n a a a a +--=-．所以()11111132442n n n nn nn n n n n n a a a a a a a a a a a a +++-----=⇒-=-⇒=--，2n ，所以数列{}1n n a a +-是以4为首项，4为公比的等比数列，所以14nn na a +-=．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．3π14．21415．131122x -<<16．2-15．解析：①由||a b a b -=⋅ ，得|2|12x x -=+，解得3x =-或13x =．又|2|120x x -=+>，故3x =-舍去，所以实数13x =；②2(3,22)a b x +=+ ，2(1,22)a b x -=--，由2a b + 与2a b - 的夹角为锐角，故(2)(2)0a b a b +⋅-> ，即3(22)(22)0x x -++->，解得1122x -<<2a b + 与2a b- 的方向不可能相同）．16．解析：如图，延长BC ，作圆M 的切线垂直于直线BC ，设切点为1A ，切线与直线BC 的交点为D ，由数量积的几何意义可知，CA CB ⋅ 等于向量CA 在向量CB上的投影与CB ∣∣的积，当点A 运动到点1A 时，CA 在向量CB上的投影最小．设BC 的中点为N ，连接MN ，1MA ，由圆的性质可知四边形1MNDA 为矩形．设||CN x =，则||2CD x =-，22(2)24CA CB x x x x ⋅=--=- ，[0,2]x ∈．当1x =时，CA CB ⋅的最小值为2-．四、解答题：本题共6小题，共70分．17．（10分）解：（Ⅰ）由()0n n m λ⋅-= ，得20n n m λ-⋅= ．1分又21n = ，3||||cos 32n m n m π⋅== ，所以23λ=5分（Ⅱ）因为2233(3)12cos 2|||3|n n m n n m θ-⋅-===-，8分所以21cos22cos 12θθ=-=-．10分18．（12分）解：（Ⅰ）因为()2sin cos )f x x x x x x ϕ⎫=+==+⎪⎭，1tan 2ϕ=，3分所以函数()f x的值域为[．5分（Ⅱ）由()0f x =，得1tan 2x =-．则()2222sin 2sin sin sin 2cos21cos sin 2sin cos 12sin 1x x xx x x x x x x ==-++--+7分sin tan cos cos sin 1tan cos cos xx x x x xx x==++10分又1tan 2x =-，所以22sin tan 1sin 2cos211tan x xx x x==--++．12分19．（12分）解：（Ⅰ）由正弦定理得sin sin sin sin B C b c a bA B a b c++-==++，1分所以222a b c bc --=，2分由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==-，4分所以23A π=．6分（Ⅱ）由题意得2224||||||2AD AB AC AB AC =++⋅ ，即2242cos c b cb A =++，9分所以220c c -=，解得2c =．10分故1sin 2ABC S bc A == ．12分20．（12分）解：（Ⅰ）由240,10,x y x y +-=⎧⎨--=⎩解得2,1,x y =⎧⎨=⎩所以(2,1)A l ∈．1分当直线l 的斜率不存在时，其方程为2x =，此时点(1,1)P -到直线l 的距离12d =≠；2分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：1(2)y k x -=-，3分则点(1,1)P -到直线l 的距离2d ==，4分解得0k =或43k =-．5分故直线l 的方程为1y =或43110x y +-=．6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点A 的坐标为(2,1)，由42040+⨯-=，得点1(4,0)B l ∈．7分设点B 关于直线2l 的对称点为()000,B x y ，则()0003,B x y l ∈且02BB l ⊥．8分设点B 与点0B 的中点为C ，则0024,22x y C l +⎛⎫∈⎪⎝⎭，9分故00001,4410.22y x x y ⎧=-⎪-⎪⎨+⎪--=⎪⎩解得001,3,x y =⎧⎨=⎩所以0(1,3)B ．10分由3A l ∈，03B l ∈，由两点式方程可知直线3l 的方程为：123112y x --=--，化简得250x y +-=．12分21．（12分）解：（Ⅰ）由12n n a a -=+，得12n n a a --=．又24a =，所以12a =．所以数列{}n a 是以2为首项，以2为公差的等差数列，故2n a n =．2分当1n =时，111S b =-，又11S b =，所以112b =；3分当2n 时，由1n n S b =-，①可得111n n S b --=-，②由①-②可得1n n n b b b -=-+，即112n n b b -=，2n ，所以数列{}n b 是以12为首项，以12为公比的等比数列，故12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭．6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得122nn n a b n ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭．7分设数列{}n n a b ⋅的前n 项和为n T ，则23111121232222nn T n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯+⨯++⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ，③8分23111112122222n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯++⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，④9分③-④得，23111111121222222n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯++++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，10分11112211212212n n n T n +⎧⎫⎡⎤⎛⎫-⎪⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎛⎫⎣⎦=⨯-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪-⎪⎪⎩⎭，14(24)2nn T n ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以数列{}n n a b ⋅的前n 项和为14(24)2nn ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭．12分22．（12分）（Ⅰ）证明：连接DE ．因为DB DC =，且E 为BC 中点，所以DE BC ⊥．2分又ABC 为等边三角形，所以AE BC ⊥．因为DE AE E ⋂=，所以BC ⊥平面AED ，所以AD BC ⊥．4分（Ⅱ）解：设2AB =，则DB DC ==，AE =，1DE =，DE BC ⊥．由侧面DBC ⊥底面ABC ，得DE ⊥底面ABC ，所以DE AE ⊥．又1DE =，AE =，所以2AD =．6分设AE 与平面ADB 所成的角为θ，点E 到平面ADB 的距离为h ，则sin hAEθ=．7分由1133E ADB D AEB ADB AEB V V hS DE S --=⇒=⨯⨯ ，8分1132222AEB S =⨯⨯=，9分由2AD AB ==，DB =，得2ADB S =，11分所以7h=，故7sin7hAEθ==．12分。
湖北省黄冈市2019年数学高二年级上学期期末考试试题
湖北省黄冈市2019年数学高二年级上学期期末考试试题一、选择题1．已知215n C =，那么2n A =（ ）A.20B.30C.42D.722．已知随机变量ξ服从正态分布()22018,(0)N σσ>，则(2018)P ξ<等于（ ）A ．11009B ．12018C ．14D ．123．某公司对下属员工在蛇年春节期间收到的祝福短信数量进行了统计，得到了如图所示的频率分布直方图。
如果该公司共有员工200人，则收到125条以上的大约有（ ）A ．6人B ．7人C ．8人D ．9人4．如图的程序框图，当输出15y =后，程序结束，则判断框内应该填（ ）A ．1x ≤B ．2x ≤C ．3x ≤D ．4x ≤5．若a b >，则下列不等式成立的是( ) A ．11a b> B ．11a b< C ．33a b > D ．22a b >6．下列值等于1的积分是（ ） A ．1xdx ⎰B ．()11?x dx +⎰C ．11dx ⎰D ．112dx ⎰ 7．命题“”的否定是（ ）A． B ． C．D ．8．如图，在杨辉三角中，虚线所对应的斜行的各数之和构成一个新数列，则数列的第10项为（ ）A.55B.89C.120D.1449．已知变量x ，y 满足约束条件20,0,20,x y x y x y +-≥⎧⎪-≥⎨⎪--≤⎩则目标函数2z x y =-的最大值为( )A.2B.3C.4D.510．已知复数5(2z i=-其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为( ) A ．1B ．iC ．1-D ．i -11．正数a b c 、、满足235log log log 0a b c ==->，则（ ） A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<12．若函数()2ln 2f x x ax =+-在区间1,22⎛⎫⎪⎝⎭内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是( ) A.(],2-∞- B.1,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C.12,8⎛⎫-- ⎪⎝⎭D.()2,-+∞二、填空题13．设A =，B =A __________B （填入“>”或“<”）．14．已知点1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线C 左支上的任意一点，若221||PF PF 的最小值为8a ，则双曲线C 的离心率的取值范围是（_____）．15．在四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，A 1A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，AB ＝2，A 1A ＝4，M 为A 1A 的中点，则异面直线AD 1与BM 所成角的余弦值为_____．16．已知函数11,0,()1,0,2x x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨->⎪⎩则()f x 的最大值是______．三、解答题 17．如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，且底面与侧面垂直，，分别为线段的中点，，，，且.（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值.18．联合国教科文组织规定，每年的4月23日是“世界读书日”．某校研究生学习小组为了解本校学生的阅读情况，随机调查了本校400名学生在这一天的阅读时间（单位：分钟），将时间数据分成5组：，并整理得到如下频率分布直方图．（1）求的值；（2）试估计该学校所有学生在这一天的平均阅读时间；（3）若用分层抽样的方法从这400名学生中抽取50人参加交流会，则在阅读时间为的两组中分别抽取多少人？19．下列命题中，说法正确的是（）A.命题“使得”的否定是：“均有”B.命题“若，则”的否命题为“若，则”C.若为真命题，则也为真命题D.“”是“”的必要不充分条件20．如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，且，交于点，是上任意一点．（1）求证：；（2）若为的中点，且二面角的余弦值为，求与平面所成角的正弦值．21．已知向量．（1）若，且，求满足的概率．（2）若分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足的概率.22．某种产品的广告费用支出（万元）与销售额（万元）之间有如下的对应数据：（2）据此估计广告费用为12万元时的销售额约为多少？参考公式：【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．>.1,314．(]15．516．1三、解答题17．（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线定理以及线面平行的判定定理可得与平面平面平行，从而可得平面平面，进而根据面面平行的性质可得平面；（2）因为底面与侧面垂直，且，所以底面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，先求出的方向向量，再根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.试题解析：（1）证明：因为分别为线段的中点，，所以，，又，所以平面平面，因为平面，所以平面.（2）解：因为底面与侧面垂直，且，所以底面.以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，设是平面的法向量，则，即，故可取.设与平面所成角为，则，故与平面所成角的正弦值为.18．(1) ;(2)43.6;(3) 阅读时间在分钟的应抽取（人），阅读时间在分钟的应抽取（人）．【解析】试题分析：（1）由已知，根据频率分布直方图中面积的和为1，即可求解的值；（2）由样本的频率分布直方图，求解数据的平均数，即可作出估计；（3）由样本的频率分布直方图，得到各个时间段的概率，即可求解相应的人数.试题解析：（1）由已知，得，解得；（2）由样本的频率分布直方图，估计该学校所有学生在这一天的平均阅读时间为：（分钟）．（3）阅读时间在分钟的人数为，阅读时间在分钟的人数为，所以阅读时间在分钟的应抽取（人），阅读时间在分钟的应抽取（人）．19．C【解析】对于，命题“，使得”的否定是“，均有”，故错误；对于，命题“若，则”的否命题为“若，则”，故错误；对于，若是真命题，则均为真命题，则是真命题，故正确；对于，，解得，“”是“”的充要条件，故错误，故选C.20．（1）见解析；（2）.【解析】【分析】（1）先求证AC⊥平面PBD，再证AC⊥DE.(2)先证明 EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x 轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，再利用向量法求出EC与平面PAB所成角的正弦值. 【详解】（1）因为DP⊥平面ABCD，所以DP⊥AC，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又BD∩PD=D，∴AC⊥平面PBD，因为DE⊂平面PBD，∴AC⊥DE．（2）连接OE，在△PBD中，EO∥PD，所以EO⊥平面ABCD，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设PD=t，则A（1，0，0），B（0，，0），C（﹣1，0，0），E（0，0，），P（0，﹣，t）．设平面PAB的一个法向量为（x，y，z），则，令，得，平面PBD的法向量（1，0，0），因为二面角A﹣PB﹣D的余弦值为，所以，所以或（舍），则∴，∴EC与平面PAB所成角的正弦值为．【点睛】(1)本题主要考查空间几何元素位置关系的证明，考查直线和平面所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力。