微分方程在人口预测模型中的应用(200603杨亚辉)
基于常微分方程的中国人口增长预测
基于常微分方程的中国人口增长预测基于常微分方程的中国人口增长预测基于常微分方程的中国人口增长预测摘要人口问题是制约我国经济和社会发展的一个很重要的方面，因此对人口的预测是一个由来已久的研究课题，但传统方法往往是使用单一的模型（如灰色系统模型、自回归模型和指数模型等）进行计算，因而考虑的影响因素不够全面。
事实上，人口的增长的影响因素是多方面的，如出生率、死亡率、城市化进程、国家生育政策、经济发达程度、生活方式、传统习惯和自然灾害等。
结合我国的发展实际（中国是一个经济高速发展的发展中国家，人口多、区域经济发展不平衡、人口老龄化加剧和相当长一段时间里实行计划生育的国策等），考虑其中主要的影响因素（如人口结构、人口年龄分布以及老龄化等）建立了我们的模型。
本文是基于微分方程的思想建立的人口预测模型，以附录2的人口普查数据为基础数据。
在对数据进行评估和修订的基础上，建立女性的生育儿童的函数，利用各个年龄段的生育率求出婴儿的出生率。
之后，考虑各个年龄段的人口分布，利用人口年龄密度函数、对应年龄人的死亡率和新生儿的出生率来算次年的人口总数。
建立了人口总数、各个年龄段人口密度、自然增长率等关于年龄与时间的数学函数模型。
在此基础上，考虑到国家政策调控、农村人口城市化、社会老龄化、科技医疗水平进步以及可能的如艾滋病等疾病对出生率、死亡率等的影响，并采用添加干预因子的方法对模型进行了矫正分析，以体现这些因素对人口增长趋势的影响。
采取上述人口预测的建模思想，我们最终得到了中国人口增长的数学模型，利用附录2中人口数据进行模拟、预测计算，得到了我国人口增长预测的一些结果：对我国人口进行中短期和长期预测，我国人口在20xx年达到13.565亿（短期）；在2020年达到14.767亿（中期）；在2040年达到14.843亿（长期）。
其中我国在2028年左右会达到人口最高蜂，约为15.17亿人左右。
在对模型的分析中，我们看到我国将出现老龄化（年龄大于60）趋势。
数学建模—微分方程之预测模型
面积 B与 t2成正比， dB/dt与 t成正比.
模型建立
b b t1 , t 2 t1 x
b
假设1）
dB dt
假设2）
t 2 t1
B(t2 )
假设3）4）
t2
x
t1
0
x
t1
t2 t
0
2 2 2 bt t t1 2 1 B(t )dt 2 2 2(x )
f1 ( x) c1B(t2 ), f 2 ( x) c2 x(t2 t1 ) c3 x
C( x) f1 ( x) f 2 ( x)
目标函数——总费用
模型建立
2
目标函数——总费用
2 2
c1 t1 c1 t1 c2 t1 x C ( x) c3 x 2 2(x ) x
1 如何预报人口的增长
背景 世界人口增长概况
年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999 人口(亿) 5 10 20 30 40 50 60 中国人口增长概况 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口(亿) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0 研究人口变化规律 控制人口过快增长
阻滞增长模型(Logistic模型)
人口增长到一定数量后，增长率下降的原因： 资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用 且阻滞作用随人口数量增加而变大 假设 r是x的减函数
r ( x) r sx (r, s 0)
r s xm
r~固有增长率(x很小时)
xm~人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）
数学模型在人口统计学中的应用
数学模型在人口统计学中的应用人口统计学是研究人口数量、结构、分布及其变化规律的一门学科。
随着信息技术的发展和数据收集的完善，数学模型在人口统计学领域的应用越来越广泛。
数学模型可以帮助我们更好地理解人口变化的模式、预测未来的趋势，并为政策制定者提供科学的决策依据。
本文将介绍数学模型在人口统计学中的几个典型应用。
一、人口增长模型人口增长是人口统计学中的基本概念之一。
数学模型可以帮助我们描述和解释人口增长的过程。
经典的人口增长模型有指数增长模型和Logistic增长模型。
指数增长模型假设人口在没有外界因素的情况下以一个固定的增长速率呈指数增长。
这个模型可以用下面的微分方程来描述：dP/dt = kP其中，P表示人口数量，t表示时间，k表示增长率。
这个模型的解是一个指数函数，可以很好地拟合一些人口增长较为迅速的情况。
Logistic增长模型在指数增长模型的基础上考虑了环境资源的有限性。
它将人口增长率与环境资源的可持续性联系起来。
Logistic增长模型可以用下面的微分方程描述：dP/dt = kP(1 - P/K)其中，P表示人口数量，t表示时间，k表示增长率，K表示环境资源的承载能力。
这个模型的解是一个S形曲线，可以很好地描述人口增长的饱和趋势。
二、人口分布模型人口分布是人口统计学中的另一个重要方面。
数学模型可以帮助我们分析人口的空间分布及其影响因素。
格里德斯（Gutmann R.P.）提出的Gridded Population Model就是一种常用的人口分布模型。
Gridded Population Model将地理空间划分成一系列的格网，使用统计学方法估算每个格网中的人口数量。
这个模型结合了人口普查数据、地理信息系统和空间插值技术，可以精确地估算不同区域的人口分布情况。
除了Gridded Population Model，还有一些其他的人口分布模型，例如地理加权回归模型（Geographically Weighted Regression, GWR），它可以用于分析人口分布与地理环境之间的关系。
微分方程模型--人口的预测
人口（亿） 5
10
20 30 40 50 60
中国人口
年
1908 1933 1953 1964 1982 1990 2000
人口（亿） 3 4.7 6 7.2 10.3 11.3 12.95
研究人口变化规律 做出较准确的预报
建立人口数学模型 控制人口过快增长
最简单的人口增长模型—常用公式
记今年人口为 x0, k 年后人口为 xk,，年增长率为 r
输出结果： p 0.2743 1.4323
表示： y 0.2743t 1.4323
ln x0 1.4323 x0 4.1884 x(t ) 4.1884e0.2743t
以1790-1900年共计12个数据为例画出拟合图形：
t=[0:11];
x=[3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76];
x0
O
（7）
S形曲线 x增加先快后慢
t
阻滞增长模型(Logistic模型) r(x) r(1 x ) xm
指数增 长模型
dx rx dt
dx r(x)x rx(1 x )
dt
xm
x
dx/dt
xm
O
xm/2
xm x
x(t)
xm
1 ( xm 1)e rt
x0
S形曲线
xm/2
x增加先快后慢
则
x x (1 r)k
k
0
模型1 马尔萨斯（Malthus）模型——1798年提出
假设：单位时间内人口的增长量与当时的人口成正比。
符号：x( t ) t时刻时的人口，可微函数 x0 t 0时的人口
基于微分方程的人口增长模型及其应用探讨
基于微分方程的人口增长模型及其应用探讨近年来，随着全球人口的不断增长，人口问题逐渐成为一个全球关注的焦点。
为了更好地理解和预测人口增长的趋势，许多学者和研究人员使用微分方程建立了各种人口增长模型。
本文将探讨基于微分方程的人口增长模型及其应用。
首先需要明确的是，人口增长模型的目的是描述人口数量随时间变化的规律。
微分方程是描述变化的数学工具之一，因此被广泛用于人口增长模型的建立。
在构建人口增长模型时，我们需要考虑以下几个关键因素：出生率、死亡率和迁移率。
一种常用的人口增长模型是简单的人口增长模型，也被称为Malthusian模型。
该模型基于一个简单的假设，即人口数量的增长速度与目前的人口数量成正比。
用数学语言表达，可以得到以下微分方程：dP/dt = rP其中，P表示人口数量，t表示时间，r表示人口增长率。
另一种常见的人口增长模型是Logistic模型。
该模型首先假设人口的增长速度受到环境资源的限制，当人口数量接近环境容纳量时，人口增长速度将减缓。
这可以通过以下微分方程来描述：dP/dt = rP(1- P/K)其中，K表示环境容纳量。
除上述两种基本的人口增长模型外，还有许多其他模型可以用于特定情况的研究。
例如，Lotka-Volterra模型可以更好地描述捕食者和猎物之间的相互作用；SIR 模型可以用于描述传染病在人群中的传播过程。
基于微分方程的人口增长模型在许多领域有着广泛的应用。
首先，它们可以用于预测人口数量的未来趋势。
通过建立适当的模型并进行参数估计，我们可以预测未来的人口数量，并为政府和社会组织提供重要的参考。
其次，它们也可以用于制定人口政策和规划。
通过分析模型结果，我们可以了解不同政策对人口增长的影响，从而为合理制定政策提供支持。
此外，基于微分方程的人口增长模型还可以用于研究人口数量与其他因素之间的关系。
例如，可以通过引入经济因素或环境因素，建立人口与经济增长、资源利用等之间的模型，从而了解它们之间的相互作用。
微分方程模型习题解答（人口的预测和控制模型）
微分方程模型习题解答（人口的预测和控制模型）在人口的预测和控制模型中，总和生育率β(t)和生育模式h(r,t)两种控制人口增长的手段。
试说明我国目前的人口政策,如提倡一对夫妻只生一个孩子、晚婚晚育，及生育第2 胎的一些规定，可以怎样通过这两种手段加以实施。
一、问题分析目前，我国人口总数占世界人口总数的1/5，居世界第一。
虽然在二十世纪八十年代开始就已经开始控制人口，但现在人口的增长仍然很快，人口老年化问题也越来越严重,所以现在开始提倡晚婚晚育,一对夫妻只能生一个孩子以及定下了一些关于生第二胎的政策。
所以在此我们可以考虑用微分方程中生育率和生育模式来求解问题。
二、模型的假设⑴时刻 t 年龄小于 r 的人口即人口分布函数记作F(r,t);⑵婴儿的出生率记为 p( 0, t)= f( t)；⑶时刻 t 年龄 r 的人的死亡率记为μ(r,t)⑷ μ(r,t) p(r,t)dr表示时刻 t 年龄在 [r, r +dr] 内单位时间死亡人数;⑸ p(r)是人口调查得到的已知函数;⑹婴儿的出生率记为 f(t );三模型的建立与求解由问题假设我们可以得到各个年龄的人口数,即人口分布函数为:F(r,t)=∫p(s,t)ds由于在社会安定的局面下和不太长的时间里,死亡率大致与时间无关,于是可近似的假设μ(r,t)= μ(r)因为p0(r)与μ(r)可由人口统计数据得到,所以) , μ(r,t)可由μ(r,0)粗略估计，为了预测和控制人口的发展状况,我们需要关注和可以用作控制的就是婴儿的出生率f(t)了,下面我们就来讨论f(t) 。
记女性的性别函数为k(r,t)即时刻t 年龄在 [r, r +dr] 的女性人数为k(r,t)μ(r,t)dr将这些女性在单位时间内平均每人的生育数记作b(r,t)则育龄区间为[r1,r2]则:f(t)= ∫b(r,t)k(r,t)p(r,t)dr再将 b( r,t) 定义为b(r,t)=β(t)h(r,t)其中h(r,t)满足∫ h(r,t)dr=1于是就有β(t)= ∫B(r,t)drf(t)=β(t) ∫b(r,t)k(r,t)dr可以看出β(t)就是时刻t 单位时间内平均每个育龄女性的生育率。
人口增长模型的预测及有效控制 (2)
人口增长模型的预测及有效控制摘要：本文利用1980年到2013年全国总人口的数据，用最小二乘拟合并建立Logistic预测模型，并对全国未来十年的人口进行预测，引进劳动人口、老年人口、劳动力成本等影响因素，最后提出有效控制人口增减的措施。
关键词：二次多项式；最小二乘拟合；Logistic预测模型；拟合1.介绍（1）中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。
（2）2011年04月28日，国家统计局发布第六次全国人口普查主要数据公报。
数据显示，全国（大陆）总人口为1339724852人，与2000 年第五次全国人口普查相比，十年增加7390 万人。
我国人口的特点主要有：数量庞大；基数大，增长快；地区发展不平衡；素质普遍较低。
（3）在国家统计局下载我国从1980到至今的最新人口数据，建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长未来十年做出预测；再利用所建立模型的预测结果，进一步分析劳动人口、老年人口、劳动力成本等因素对人口增长造成的影响。
最后提出有效控制人口增减的措施。
2.概念与引理（1）最小二乘法拟合：最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
（2）Logistic模型：阻滞增长模型（或 Logistic 模型）由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为 x 的减函数，如设，其中r为固有增长率(x很小时)，mx为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分方程：（3）符号说明： 符号意义 t 表示年份 r 人口增长率 x 人口数量Xm自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量（4）总抚养比：也称总负担系数。
最新-基于常微分方程的中国人口增长预测 精品
基于常微分方程的中国人口增长预测篇一：中国人口增长预测中国人口增长预测摘要：本文通过对题目中所给数据和参考资料以及网站上获得的数据进行分析,利用多种模型对数据规律进行归纳提炼首先我们建立了,微分方程,通过求借建立了我国人口增长的指数模型,通过常识和分析我们知道,由于受到资源和多种外在和内在因素的影响,人口的这种增长模式是不可能实现的,它只是在理想情况下的一种模式为了弥补这个模型的缺点,我们又分别建立了[1]人口模型,微分差分混和模型,神经网络模型,灰色模型,等多种模型方式建立模型来预测未来中国大陆人口增长模型。
根据死亡率，生育率是否变化，我们建立了两个模型，第一个是死亡率变化的模型，在这个模型中，由于两个因素的变化，使得在预测时只能简单的预测下一年的数据，虽然精度很大，但是预测的时间太短。
于是，在分析了死亡率和生育率在所给五年的各年龄段的情况，我们提出了忽略两个因素变化所带来的影响，以使模型更大众化。
最后通过检验，发现，在做中短期预测时，结果很令人满意，误差很小。
但对于长期的预测准确度有所下降。
通过对第一个模型—人口模型的求解，我们分析得到了短期，中期，长期，较长期（在这我们定义1—3年为短期，5—10年为中期，10年以上是长期）的预测人口数量在各个年龄段的分布。
再对预测数据进行分析，并结合中国的实际国情，很容易知道人口模型增长只能用来预测中短期的人口发展规律（对与中国的实际国情而言）。
于是为了预测探究长期的人口发展模型，我们必须找到更好的模型，结合别人的资料，然后我们又建立了一个有关人口数量的微分方程，这个微分方程包括了各方面影响人口增长和变化的因素，如，育龄女性的百分比，潜在育龄女性的百分比，人口老龄百分比等等。
这些因素的介入使得分析人口变化规律更接近实际的情况。
随后又建立了另外的模型,多种模型相互结合,是本文的一大特色关键字：模型灰色模型人口模型神经网络一、问题重述中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
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微分方程在人口预测模型中的应用
杨亚辉
（海南软件职业技术学院海南琼海571400）
【内容摘要】函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映，利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究。
因此如何寻求函数关系，在实践
中具有重要意义。
在许多问题中，往往不能直接找出所需的函数关
系，但是根据问题所提供的情况，有时可以列出含有要找函数及其
导数的关系式。
这样的关系式就是所谓的微分方程。
微分方程建立
以后，对它进行研究，找出未知函数来，这就是解微分方程。
对实
际问题建立微分方程（组）和解微分方程的过程，称为微分方程建
模。
本文通过讨论两个主要的人口预测模型―马尔萨斯（Malthus）
模型和逻辑（Logistic）模型来揭示微分方程在建立人口预测模型
中的应用。
【关键词】常微分方程；应用；数学建模；人口预测模型；马尔萨斯（Malthus）模型；逻辑（Logistic）模型
引言：数学模型就是为了一个特定目的,对现实世界的一个特定对象,根据其特有的内在规律将错综复杂的实际问题做出一些必要的简化、假设,应用适当的数学工具得到的一个数学结构。
建立数学模型,要通过调查、收集数据资料,观察和研究实际对象的固有特征
和内在规律,抓住问题的主要矛盾建立起反映实际问题的数量关系然后利用数学的理论和方法去分析和解决问题。
我们经常遇到一个因变量相对于一个或多个自变量变化率的有关信息，并且对描述这些相关变量的函数感兴趣。
比如，若P 代表一个地区（或国家）在某个时刻t 的人数，那么有理由假设人数随时间的变化率依赖于当前量P 的大小及其他一些因素。
我们希望确定P 和t 之间的关系，从而用来预测P 。
如果用P （t ）表示当前人口数量，t +△t 时刻的人口数量为P （t +△t ），那么△t 期间人口数的变化△P 由下式给出 △P ＝P （t +△t ）－P （t ）
假设时间t 是连续改变的，以便我们可以利用微积分。
对上式两边除以△t ，得到 ()()P P t t P t kP t t
+-==△△△△ 我们可以把△P /△t 从物理上理解成P 在时间段△t 上的平均变化率，△P /△t 也可从几何上解释为连结点（t 0 ,P (t 0)）和点(t 0 + △t , P （t +△t ）)的线段的斜率。
令△t 趋于零，由导数的定义得到下面的微分方程 0lim t P dP kP t dt
∆→∆==∆ 其中dP /dt 表示瞬时变化率。
导数有三种不同的作用：
（1） 在连续问题中表示瞬时变化率。
（2） 在离散问题中逼近平均变化率。
（3） 导数作为曲线的切线的斜率。
用导数去逼近平均变化率，常能利用微积分来揭示所求变量之间的函数关系。
把导数解释成瞬时变化率在许多建模问题的应用问题中很有用。
把导数从几何上解释成曲线的切线的斜率，也有助于构造出数值
解。
下面讨论两个著名的用微分方程建立的人口预测模型的例子。
我们会看到，微分方程在建立模型的过程中的重要作用。
一、马尔萨斯（Malthus ） 模型
由于资源的有限性,当今世界各国都注意有计划地控制人口的增长,为了得到人口预测模型,必须首先搞清影响人口增长的因素,而影响人口增长的因素很多,如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的迁移、自然灾害、战争等诸多因素,如果一开始就把所有因素都考虑进去，则无从下手。
因此,先把问题简化,建立比较粗糙的模型,再逐步修改,得到较完善的模型。
英国人口统计学家马尔萨斯（1766—1834）在担任牧师期间,查看了教堂100多年人口出生统计资料,发现人口出生率是一个常数,于1789年在《人口原理》一书中提出了闻名于世的马尔萨斯人口模型。
马尔萨斯的基本假设是：在人口自然增长过程中,净相对增长（出生率与死亡率之差）是常数,即单位时间内人口的增长量与人口成正比,比例系数设为r 。
在此假设下,推导并求解人口随时间变化的数学模型。
模型建立和求解：设时刻t 的人口为)(t N ,把)(t N 当作连续、可微函数处理（因人口总数很大,可近似地这样处理,此乃离散变量连续化处理）,据马尔萨斯的假设,在t 到t t ∆+时间段内,人口的增长量为
t t rN t N t t N ∆=-∆+)()()(,
并设0t t =时刻的人口为0N ,于是
⎪⎩⎪⎨⎧==．
，00)(d d N t N rN t N 这就是马尔萨斯人口模型,用分离变量法易求出其解为
)(00e )(t t r N t N -=,
此式表明人口以指数规律随时间无限增长。
模型检验：据估计1961年地球上的人口总数为91006.3⨯,而在以后7年中,人口总数以每年2%的速度增长,这样19610=t ,901006.3⨯=N ,02.0=r ,于是
)1961(02.09e 1006.3)(-⨯=t t N 。
模型分析：这个公式非常准确地反映了在1700—1961年间世界人口总数。
因为,这期间地球上的人口大约每35年翻一番,而上式断定34。
6年增加一倍．
但是,后来人们以美国人口为例,用马尔萨斯模型计算结果与人口资料比较,却发现有很大的差异,尤其是在用此模型预测较遥远的未来地球人口总数时,发现更令人不可思议的问题,如按此模型计算,到2670年,地球上将有36 000亿人口。
如果地球表面全是陆地（事实上,地球表面还有80%被水覆盖）,我们也只得互相踩着肩膀站成两层了,这是非常荒谬的,因此,这一模型应该修改。
二、逻辑（Logistic ）模型
马尔萨斯模型为什么不能预测未来的人口呢？这主要是地球上的各种资源只能满足一定数量的人生活,随着人口的增加,自然资源环境条件等因素对人口增长的限制作用越来越显著,如果当人口较少
时,人口的自然增长率可以看作常数的话,那么当人口增加到一定数量以后,这个增长率就要随人口的增加而减小。
因此,应对马尔萨斯模型中关于净增长率为常数的假设进行修改。
1838年,荷兰生物数学家韦尔侯斯特(Verhulst)引入常数m N ,用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数（一般说来,一个国家工业化程度越高,它的生活空间就越大,食物就越多,从而m N 就越大）,并假设将增长率等于⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-m N t N r )(1,即净增长率随着)(t N 的增加而减小,
当m N t N →)(时,净增长率趋于零,按此假定建立人口预测模型。
由韦尔侯斯特假定,马尔萨斯模型应改为
⎪⎩
⎪⎨⎧=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=，，000)(1d d N t N N N N r t N 上式就是逻辑模型,该方程可分离变量,其解为,
)(00e 11)(t t r m m
N N N t N --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=。
下面,我们对模型作一简要分析。
（1）当∞→t ,m N t N →)(,即无论人口的初值如何,人口总数趋向
于极限值m N ；
（2）当m N N <<0时,
01d d >⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=N N N r t N m ,这说明)(t N 是时间t 的单调递增函数；
（3）由于N N N N N r t N m m ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=211d d 22
2,所以当2m N N <
时,0d d 22>t N ,t N d d 单增；当2m N N >时,0d d 22<t N ,t
N d d 单减,即人口增长率t
N d d 由增变减,在2m N 处最大,也就是说在人口总数达到极限值一半以前是加速生长期,过这一点后,生长的速率逐渐变小,并且迟早会达到零,这是减速生长期；
（4）用该模型检验美国从1790年到1950年的人口,发现模型计算的结果与实际人口在1930年以前都非常吻合,自从1930年以后,误差愈来愈大,一个明显的原因是在20世纪60年代美国的实际人口数已经突破了20世纪初所设的极限人口。
由此可见该模型的缺点之一是m N 不易确定,事实上,随着一个国家经济的腾飞,它所拥有的食
物就越丰富, m N 的值也就越大；
(5）用逻辑模型来预测世界未来人口总数。
某生物学家估计,029.0=r ,又当人口总数为91006.3⨯时,人口每年以2%的速率增长,由逻辑模型得 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=m N N r t N N 1d d 1, 即 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯-=m N 91006.31029.002.0, 从而得 91086.9⨯=m N ,
即世界人口总数极限值近100亿。
值得说明的是：人也是一种生物,因此,上面关于人口模型的讨论,原则上也可以用于在自然环境下单一物种生存着的其他生物,如森林中的树木、池塘中的鱼等,逻辑模型有着广泛的应用。