微分方程模型建模实例

微分方程模型建模实例

1．一个半球状雪堆，其体积融化的速率与半球面面积S成正比，比例系数k > 0。设融化中雪堆始终保持半球状，初始半径为R且3小时中融化了总体积的7/8，问雪堆全部融化还需要多长时间？

2．从致冰厂购买了一块立方体的冰块，在运输途中发现，第一小时大约融化了1/4

（1）求冰块全部融化要多长时间（设气温不变）

（2）如运输时间需要2.5小时，问：运输途中冰块大约会融化掉多少？

3．一展开角为α的圆锥形漏斗内盛着高度为H的水，设漏斗底部的孔足够大（表面张力不计），试求漏斗中的水流光需要多少时间？

4．容器甲的温度为60度，将其内的温度计移入容器乙内，设十分钟后温度计读数为70度，又过十分钟后温度计读数为76度，试求容器乙内的温度。

5．一块加过热的金属块初始时比室温高70度，20分钟测得它比室温高60度，问：（1）2小时后金属块比室温高多少？（2）多少时间后，金属块比室温高10度？

6．设初始时容器里盛放着含净盐10千克的盐水100升，现对其以每分钟3升的速率注入清水，容器内装有搅拌器能将溶液迅时搅拌均匀，并同时以每分钟2升的速率放出盐水，求1小时后容器里的盐水中还含有多少净盐？

7．某伞降兵跳伞时的总质量为100公斤（含武器装备），降落伞张开前的空气阻力为0.5v,该伞降兵的初始下落速度为0，经8秒钟后降落伞打开，降落

伞打开后的空气阻力约为0.6 试球给伞降兵下落的速度v(t),并求其下落的极限速度。

8． 1988年8月5日英国人Mike McCarthy创建了一项最低开伞的跳伞纪录，它从比萨斜塔上跳下，到离地179英尺时才打开降落伞，试求他落地时的速度。

9．证明对数螺线r=A 上任一处的切线与极径的夹角的正切为一常

数，（）

10．实验证明，当速度远低于音速时，空气阻力正比与速度，阻力系数大约为0.005。现有一包裹从离地150米高的飞机上落下，（1）求其落地时的速度（2）如果飞机高度更大些，结果会如何，包裹的速度会随高度而任意增大吗？

11．生态学家估计人的内禀增长率约为0.029，已知1961年世界人口数为

30.6亿（3.06×）而当时的人口增长率则为0.02。试根据Logistic模型计算：（1）世界人口数的上限约为多少（2）何时将是世界人口增长最快的时候？

12．早期肿瘤的体积增长满足Malthus模型（=λV，其中λ为常数），

（1）求肿瘤的增倍时间σ。根据统计资料，一般有σ(7,465)（单位为天），肺部恶性肿瘤的增倍时间大多大于70天而小于465天（发展太快与太慢一般都不是恶性肿瘤），故σ是确定肿瘤性质的重要参数之一（2）为方便起见，医生通常用肿瘤直径来表示肿瘤的大小，试推出医生用来预测病人肿瘤直径增大速度的公式

D =

13．正常人身上也有癌细胞，一个癌细胞直径约为10μm，重约0.001μg.，（1）当患者被查出患有癌症时，通常直径已有1cm以上（即已增大1000倍），由此容易算出癌细胞转入活动期已有30σ天，故如何在早期发现癌症是攻克癌症的关键之一（2）手术治疗常不能割去所有癌细胞，故有时需进行放射疗法。射线强度太小无法杀死癌细胞，太强病人身体又吃不消且会使病人免疫功能下降。一次照射不可能杀死全部癌细胞，请设计一个可行的治疗方案（医生认为当

体内癌细胞数小于个时即可凭借体内免疫系统杀灭。

14．设药物吸收系数（k为药物的分解系数），对口服或肌注治疗

求体内药物浓度的峰值（峰浓度）级达峰时间。

15．医生给病人开药时需告诉病人服药的剂量和两次服药的间隔时间，服用的剂量过大会产生副作用甚至危险，服用的剂量过小又达不到治疗的目的，例如，为有效杀死病菌，体内药物浓度应达到A,试分析这一问题并设计出一种病人服药的方法。

16．在法国著名的Lascaux洞穴中保留着古代人类遗留下来的壁画。从洞穴中取出的木炭在1950年做过检测，测得碳14的衰减系数为每克每分钟0.97个，已知碳14的半衰期为5568年，试求这些壁画的年龄（精确到百年）。

17． 2000年在美国伊利诺斯中部发现了一块古化石骨头，经测定其碳14仅为原有量的14%，试计算该动物大约生活在什么时候。

18． 1956年我国在西北某地发现了一处新石器时代的古墓，从该墓中发掘

到的文物的每克每分钟衰减数为3.06个，试确定该古墓的年代。

19．实验测得一克镭在一年中会衰变掉0.44毫克，据此你能推算出镭的半衰期吗？

20．根据化学知识，溶液中两种物质起反应生成新物质时，反应速度与当前两物质剩余量的乘积成正比。设初始时刻溶液中两种物质的数量分别为A和B，两物质反应的质量之比为a : b，求t时刻溶液中生成物的数量x(t)。

21．牛顿发现在温差不太大的情况下，物体冷却的速度与温差成正比。现设正常体温为36.5 ，法医在测量某受害者尸体时测得体温约为32度，一小时后再次测量，测的体温约为30.5度，试推测该受害者的受害时间。

22．已知铀238的半衰期为4.51? 10 年，已测出某颜料每克白铅中铀238的分解数为100个/每分钟，试计算：

（1）每克白铅中有多少铀238分子

（2）铀在这种白铅中所占的百分比有多大？

23．人们普遍认为新产品的畅销期为x(t)位于0.2K至0.8K之间，试求新产品畅销期的持续时间长度。

24．某人每天由饮食获取2500大卡的热量，其中新陈代谢约需1200大卡，每公斤体重约需运动消耗16大卡，其余热量则转化为脂肪，每公斤脂肪相当于10000大卡，求此人体重的增长公式及极限体重。

25．由于各级火箭的质量不同，应当是不同的。请对三级火箭求出最优

设计。

26．在2003年上半年Sars（非典型性肺炎）流行期间，我国政府采取了严格的隔离政策，试建一模型研究这一问题。

27．医生发现，麻疹有以下明显特征：（1）潜伏期大约为1/2周，在潜伏期内的孩子从表面上看完全是正常的，但他（她）却会把疾病传染给别的孩子，一旦患病症状出现，孩子就会被隔离且病愈后具有免疫能力（2）麻疹发病有周期性现象，一般来讲会隔年较严重一些。考虑这两个特征并选用适当的参数建模，使结果大致有1/2周的潜伏期及大约两年的周期性。