两条直线平行的条件
10.2两条直线平行与垂直的条件
10.2.2两条直线垂直的条件
如图，当 l1 l2 时，
（1）斜率均存在时：l1 : y k1x b1 ；l2 : y k2x b2
k1
tan1
BC AB
k2
tan2
tan(π 3 )
tan3
AB BC
所以 k1 k2 1.
（2）如直线 l1 的斜率不存在，即1 90 ，则直线 l2 的倾斜
（1）斜率存在时，l1 : y k1x b1 ；l2 : y k2 x b2（ b1 b2 ）
若 1
平行；
2
0 时，则k1
k2
0，直线
y b1 和直线 y b2
若 1 2 0 时，则 k1 k2 0 ，直线 y k1x b1 和直
线 y k2x b2 平行.
（2）斜率不存在时：l1 : x x1 ，l2 : x x2（ x1 x2 ），
2．P(1,0) 是直线 l上一点，且平行于经过 A(3,5) 和 B(2, 7)两点
的直线，求直线 l 的方程.
3．直线 ax y 5 0 与直线 3x 2y c 0平行，判断 a, c
的取值.
10.2.2两条直线垂直的条件
如图：l1 l2他们的倾斜角之间满足 1 2 90 ，那么 他们的斜率之间又存在着什么样的关系呢？
解：（1）两条直线斜率都不存在，即两条直线都与 x 轴垂直，
所以 l1 / /l2 .
（2）l2 可化为y
以 l1 / /l2 .
3x 5，有 kl1
kl2
3
且 bl1
1 bl2
5，所
（3）kl1
2 3
kl2
2 3
，所以 l1与l2 相交
高中数学例题：两条直线平行的条件
高中数学例题：两条直线平行的条件例6．已知1l 经过A （―3，3），B （―8，6），2l 经过21,62M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，9,32N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求证：12//l l ．【解析】 直线1l 的斜率为16338(3)5k -==----， 直线2l 的斜率为26(3)3219522k --==---， ∵k 1=k 2，∴12//l l ．【总结升华】判定两条不重合的直线是否平行的依据是：当这两条直线均不与x 轴垂直时，只需看它们的斜率是否相等即可，反过来，两条直线平行，则隐含着这两条直线的斜率相等（当这两条直线均不与x 轴垂直时）．判定两条直线是否平行，只要研究两条直线的斜率是否相等即可，但是要注意斜率都不存在的情况，以及两条直线是否重合． 举一反三：【变式1】 判断下列各小题中的直线1l 与2l 是否平行．（1）1l 经过点A （―1，―2），B （2，1），2l 经过点M （3，4），N（―1，―1）；（2）1l 的斜率为1，2l 经过点A （1，1），B （2，2）；（3）1l 经过点A （0，1），B （1，0），2l 经过点M （―1，3），N（2，0）（4）1l 经过点A （―3，2），B （―3，10），2l 经过点M （5，―2），N （5，5）．【解析】 （1）11(2)12(1)k --==--，2145134k --==--，∵k 1≠k 2，∴1l 与2l 不平行．（2）k 1=1，221121k -==-， ∵k 1=k 2，∴1l ∥2l 或1l 与2l 重合．（3）101110k -==--，20312(1)k -==---， ∵k 1=k 2，∴1l ∥2l ．（4）∵1l 与2l 都与x 轴垂直，∴1l ∥2l ．【总结升华】 k 1=k 2⇔1l ∥2l 是针对斜率都存在的直线，对于斜率不存在或可能不存在的直线要注意利用图形求解．例7．已知ABCD 的三个顶点的坐标分别是A （0，1），B （1，0），C （4，3），求顶点D 的坐标．【答案】 （3，4）【解析】 解法1：设D （m ，n ），线段AC 的中点为E （2，2），所以线段BD 的中点为E （2，2），则122022m n +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，解得m=3，n=4，所以D （3，4）． 解法2：设D （m ，n ），由题意得AB ∥DC ，AD ∥BC ，则有k AB =k DC ，k AD =k BC ， 所以013104130041n m n m --⎧=⎪⎪--⎨--⎪=⎪--⎩，解得m=3，n=4，所以D （3，4）．【总结升华】解决此类问题的关键是充分利用几何图形的几何性质，并用解析几何中的相关知识解决．解决本题的关键是如何利用平行四边形的几何性质，其出发点是已知平行四边形的三个顶点如何作出第四个顶点，这两种作法对应着两种解法．举一反三：【变式1】若三条直线ax+y+1=0，x+ay+1=0，x+y+a=0能构成三角形，求a的取值范围。
两直线平行关系公式
两直线平行关系公式方法一：斜率之差法假设有两条直线L1和L2，它们的斜率分别为k1和k2、若L1与L2平行，则k1=k2、根据这个条件，我们可以比较两条直线的斜率来判断它们是否平行。
例题1：判断直线y=2x+1和y=2x-3是否平行。
这两条直线的斜率都为2，且它们的截距不相等。
因此，直线y=2x+1和y=2x-3不平行。
例题2：判定直线y=3x-2和y=5x+1是否平行。
这两条直线的斜率分别为3和5，不相等。
因此，直线y=3x-2和y=5x+1不平行。
方法二：方向向量法另一种判断直线平行关系的方法是使用它们的方向向量。
对于直线L1和L2来说，它们平行的条件是L1的方向向量与L2的方向向量共线。
我们可以根据这个条件来判断直线的平行关系。
例题3：判断直线y=-3x+1和y=3x-2是否平行。
这两条直线的方向向量分别为(-1,-3)和(1,3)，它们的比值为-1/-1=3/3=1、因此，直线y=-3x+1和y=3x-2平行。
例题4：判定直线x-2y+3=0和2x-4y+6=0是否平行。
这两条直线可以通过整理方程，将其转化为标准形式，所得到的方向向量分别为(1,-2)和(2,-4)。
它们的比值为1/2=-1/(-2)=1/2、因此，直线x-2y+3=0和2x-4y+6=0平行。
方法三：法线向量法与方向向量法类似，我们也可以使用直线的法线向量来判断其平行关系。
对于直线L1和L2而言，它们平行的条件是它们的法线向量相等或相反。
通过比较两条直线的法线向量，可以确定它们是否平行。
例题5：判断直线3x-4y+7=0和6x-8y+14=0是否平行。
这两条直线可以通过整理方程，将其转化为标准形式，所得到的法线向量分别为(3,-4)和(6,-8)。
它们的比值为3/6=-4/(-8)=1/2、因此，直线3x-4y+7=0和6x-8y+14=0平行。
综上所述，根据斜率之差法、方向向量法和法线向量法，我们可以判断两条直线是否平行。
苏科版七年级数学下册7.1直线平行的条件和探索例题和同步练习(含练习答案)
苏科版七年级数学下册直线平行的条件和探索【直线平行的条件和性质】【学习目标】1.同位角、内错角、同旁内角的识别；2.会判定两条直线平行；3.平行线的性质.【基础知识梳理】1．如图，同位角的是；内错角的是；同旁内角的是．2．直线平行的条件：（1）基本事实：，两直线平行；（2）定理：，两直线平行；（3）定理：，两直线平行．3．平行线的性质：（1）基本事实：两直线平行，；（2）定理：两直线平行，；（3）定理：两直线平行，．【典型例题】一、三线八角模型例1：如图所示，同位角一共有对，分别是；内错角一共有对，分别是；同旁内角一共有对，分别是．【变式】已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上.例如：从起始位置∠1跳到终点位置∠3写出其中两种不同路径，路径1：∠1一同旁内角→∠9一内错角→∠3．路径2：∠1一内错角→∠12一内错角→∠6一同位角→∠10一同旁内角→∠3．试一试：（1）从起始∠1跳到终点角∠8；（2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点∠8？二、平行线的判定例2：如图，点E在AC的延长线上，给出四个条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠4：③∠A＝∠DCE；④∠D+∠ABD＝180°．其中能判断AB∥CD的有．（填写所有满足条件的序号）三、平行线的性质例3：如图，图1是AD∥BC的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF折叠并压平，再沿BF折叠并压平，若图3中∠CFE＝18°，求图2中∠AEF的度数.【变式】如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，EM⊥EN，∠EMA和∠END的平分线交于点F，求∠F的度数.四、综合运用例4：填空并完成以下证明：已知，如图，∠1＝∠ACB，∠2＝∠3，FH⊥AB于H，求证：CD⊥AB．证明：FH⊥AB（已知）∴∠BHF＝．∵∠1＝∠ACB（已知）∴DE∥BC（）∴∠2＝．（）∵∠2＝∠3（已知）∴∠3＝．（）∴CD∥FH（）∴∠BDC＝∠BHF＝．°（）∴CD⊥AB．例5：（1）如图(1)，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）如图(2)，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的数量关系，试说明理由．【变式】问题情境：如图1，AB∥CD，∠P AB＝130°，∠PCD＝120°．求∠APC度数．小明的思路是：如图2，过P作PE∥AB，通过平行线性质，可得∠APC＝50°+60°＝110°．问题迁移：（1）如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请你直接写出∠CPD、∠α、∠β间的数量关系．【拓展应用】例6：如图1，直线MN与直线AB、CD分别交于点E、F，∠1与∠2互补．（1）试判断直线AB与直线CD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，∠BEF与∠EFD的角平分线交于点P，EP与CD交于点G，点H是MN上一点，且GH⊥EG，求证：PF∥GH；（3）如图3，在（2）的条件下，连接PH，K是GH上一点使∠PHK＝∠HPK，作PQ平分∠EPK，问∠HPQ的大小是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，说明理由．【能力提升】1．如图所示，下列结论中不正确的是（）A．∠1和∠2是同位角B．∠2和∠3是同旁内角C．∠1和∠4是同位角D．∠2和∠4是内错角2．在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相（）A．平行B．垂直C．共线D．平行或共线3．如图，F A⊥MN于A，HC⊥MN于C，指出下列各判断中，错误的是（）A．由∠CAB＝∠NCD，得AB∥CD B．由∠DCG＝∠BAC，得AB∥CDC．由∠MAE＝∠ACG，∠DCG＝∠BAE，得AB∥CD D．由∠MAB＝∠ACD，得AB∥CD4．如图，在△ABC中，以点C为顶点，在△ABC外画∠ACD＝∠A，且点A与D在直线BC的同一侧，再延长BC至点E，在所作的图形中，∠A与是内错角；∠B与是同位角；∠ACB与是同旁内角．5．如图，已知∠1＝（3x +24）°，∠2＝（5x +20）°，要使m ∥n ，那么∠1＝ （度）．6．如图，BE ∥CF ，则∠A +∠B +∠C +∠D ＝ 度．7.如图，直尺的一条边经过一个含45角的直角顶点直尺的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，若∠1＝30°，求∠2的度数.8.（1）如图①，若∠B +∠D ＝∠BED ，试猜想AB 与CD 的位置关系，并说明理由；（2）如图②，要想得到AB ∥CD ，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的数量关系，试说明理由．9.如图，AD ∥BC ，∠DAC ＝120°，∠ACF ＝20°，∠EFC ＝140°．求证：EF ∥AD ．10.【探究】如图①，∠AFH 和∠CHF 的平分线交于点O ，EG 经过点O 且平行于FH ，分别与AB 、CD 交于点E 、C ．（1）若∠AFH ＝60°，∠CHF ＝50°，则∠EOF ＝ 度，∠FOH ＝ 度．（2）若∠AFH +∠CHF ＝100°，求∠FOH 的度数．【拓展】如图②，∠AFH 和∠CHI 的平分线交于点O ，EG 经过点O 且平行于FH ，分别与AB 、CD 交于点E 、G ．若∠AFH +∠CHF ＝α，直接写出∠FOH 的度数．（用含α的代数式表示）【能力提升】答案第1题 第3题 第4题 第5题 第6题1．如图所示，下列结论中不正确的是（）A．∠1和∠2是同位角B．∠2和∠3是同旁内角C．∠1和∠4是同位角D．∠2和∠4是内错角解：A、∠1和∠2是同旁内角，故本选项错误，符合题意；B、∠2和∠3是同旁内角，故本选项正确，不符合题意；C、∠1和∠4是同位角，故本选项正确，不符合题意；D、∠3和∠4是内错角，故本选项正确，不符合题意；故选：A．2．在同一个平面内，不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，那么另一边互相（）A．平行B．垂直C．共线D．平行或共线解：如图所示：不相邻的两个直角，如果它们有一条边共线，内错角相等，或同旁内角互补，那么另一边互相平行或共线．故选：D．3．如图，F A⊥MN于A，HC⊥MN于C，指出下列各判断中，错误的是（）A．由∠CAB＝∠NCD，得AB∥CDB．由∠DCG＝∠BAC，得AB∥CDC．由∠MAE＝∠ACG，∠DCG＝∠BAE，得AB∥CDD．由∠MAB＝∠ACD，得AB∥CD解：A、正确，同位角∠CAB＝∠NCD，故AB∥CD；B、错误，∠DCN＝∠BAC不是同位角，所以B不对；C、正确，∠MAE＝∠ACG，∠DCG＝∠BAE，可得同位角∠BAN＝∠DCN，故AB∥CD；D、正确，同位角∠MAB＝∠ACD，故AB∥CD．故选：B．4．如图，在△ABC中，以点C为顶点，在△ABC外画∠ACD＝∠A，且点A与D在直线BC的同一侧，再延长BC至点E，在作的图形中，∠A与是内错角；∠B与是同位角；∠ACB与是同旁内角．解：如图所示，∠A与∠ACD、∠ACE是内错角；∠B与∠DCE、∠ACE是同位角；∠ACB与∠A、∠B是同旁内角．5．如图，已知∠1＝（3x+24）°，∠2＝（5x+20）°，要使m∥n，那么∠1＝75（度）．解：如图所示：∠1+∠3＝180°，∵m∥n，∴∠2＝∠3，∴∠1+∠2＝180°，∴3x+24+5x+20＝180°，解得：x＝17，则∠1＝（3x+24）°＝75°．6．如图，BE∥CF，则∠A+∠B+∠C+∠D＝180度．解：如图所示，由图知∠A+∠B＝∠BPD，∵BE∥CF，∴∠CQD＝∠BPD＝∠A+∠B，又∵∠CQD+∠C+∠D＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D＝180°.7.如图，直尺的一条边经过一个含45角的直角顶点直尺的一组对边分别与直角三角尺的两边相交，若∠1＝30°，求∠2的度数.解：如图，∵∠ACB＝90°∴∠1+∠3＝90°，∵∠1＝30°，∴∠3＝60°，∵a∥b，∴∠2＝∠3＝60°.8.（1）如图①，若∠B+∠D＝∠BED，试猜想AB与CD的位置关系，并说明理由；（2）如图②，要想得到AB∥CD，则∠1、∠2、∠3之间应满足怎样的数量关系，试说明理由．解：（1）AB∥CD，理由：如图（1），延长BE交CD于F．∵∠BED＝∠B+∠D，∠BED＝∠EFD+∠D，∴∠B＝∠EFD，∴AB∥CD；（2）∠1＝∠2+∠3．理由如下：如图（2），延长BA交CE于F，∵AB∥CD（已知），∴∠3＝∠EF A（两直线平行，同位角相等），∵∠1＝∠2+∠EF A，∴∠1＝∠2+∠3．9.如图，AD∥BC，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，∠EFC＝140°．求证：EF∥AD．证明：∵AD∥BC，∴∠DAC+∠ACB＝180°，∵∠DAC＝120°，∴∠ACB＝60°，又∵∠ACF＝20°，∴∠BCF＝∠ACB－∠ACF＝40°，又∵∠EFC＝140°，∴∠BCF+∠EFC＝180°，∴EF∥BC，∵AD∥BC，∴EF∥AD．10. 【探究】如图①，∠AFH和∠CHF的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．（1）若∠AFH＝60°，∠CHF＝50°，则∠EOF＝度，∠FOH＝度．（2）若∠AFH+∠CHF＝100°，求∠FOH的度数．【拓展】如图②，∠AFH和∠CHI的平分线交于点O，EG经过点O且平行于FH，分别与AB、CD交于点E、G．若∠AFH+∠CHF ＝α，直接写出∠FOH的度数．（用含α的代数式表示）解：【探究】（1）∵∠AFH＝60°，OF平分∠AFH，∴∠OFH＝30°，又∵EG∥FH，∴∠EOF＝∠OFH＝30°；∵∠CHF＝50°，OH平分∠CHF，∴∠FHO＝25°，∴△FOH中，∠FOH＝180°－∠OFH－∠OHF＝125°；故答案为：30，125；（2）∵FO 平分∠AFH ，HO 平分∠CHF ，∴∠OFH ＝12 ∠AFH ，∠OHF ＝12∠CHF ． ∵∠AFH +∠CHF ＝100°，∴∠OFH +∠OHF ＝12 （∠AFH +∠CHF ）＝12×100°＝50°． ∵EG ∥FH ，∴∠EOF ＝∠OFH ，∠GOH ＝∠OHF ．∴∠EOF +∠GOH ＝∠OFH +∠OHF ＝50°．∵∠EOF +∠GOH +∠FOH ＝180°，∴∠FOH ＝180°－（∠EOF +∠GOH ）＝180°－50°＝130°．【拓展】∵∠AFH 和∠CHI 的平分线交于点O ，∴∠OFH ＝12 ∠AFH ，∠OHI ＝12∠CHI ， ∴∠FOH ＝∠OHI －∠OFH＝12（∠CHI －∠AFH ） ＝12（180°－∠CHF －∠AFH ） ＝12（180°－α） ＝90°－12α．。
两条直线平行的条件(修改)-教学课件(冀教)
解：能
因为AD平分∠EAC，(已知） E 1 所以∠1= ∠EAC(角平分线的定义) 2 因为∠EAC=130° (已知） ）1 A 所以∠1=65°(等量代换) 又因为∠B=65° (已知） 所以∠1=∠B (等量代换)
B C
D
所以AD∥BC(同位角相等,两直线平行.)
你能用一张不规则的纸(比如, 如图所示的四边形的纸)折出两条互 相平行的直线吗?说说你的折法,并 与同伴进行交流.
因为 ∠1 = ∠2 (已知) 所以 a∥b (同位角相等,两直线平行.)
由探究2,我们有如下事实: 两条直线被第三条直线所截, 如果同位角相等,那么这两条直 线平行.简单地说就是:
同位角相等,两直线平行.
（五）例题讲析
例1 如图8-12,∠1=55°, ∠2=55° c 直线a与b平行吗?为什么?
当∠1＞∠2时 当∠1＝∠2时
8分题
当∠1＜∠2时
①木条a和b不平行
②木条 a∥b
③木条a和b不平行
10分题
如图,装修工人 正在向墙上钉木条. 如果木条b与墙壁边 缘垂直,那么木条a与 墙壁边缘所夹角为多 少度时,才能使木条a 与木条b平行呢?
如图：∠B=65°,∠EAC=130°,AD平 分∠EAC，能否判定AD∥BC，为什么？ 12分题
由探究1,我们得到如下事实:
经过已知直线外一点，有且只有 一条直线和已知直线平行．
探究二:
请你观察上面画平行线的过程，
将三角尺沿着固定的三角尺平推，实
际上是为了使直线b和直线a被直尺边
缘所在的直线c所截得的什么角相等？ 在课本图8—11(4)中和探究1画出的图
中，指出这样的角.
c
C
●
两条直线平行与垂直的判定 课件
又∵kBC＝3－2（－－572）＝－163， kDA＝2－－（3－－44）＝－76， ∴kBC≠kDA，从而直线 BC 与 DA 不平行． ∴四边形 ABCD 是梯形．
题型二 两直线垂直
例 2 已知直线 l1 经过点 A(3，a)，B(a－1，2)，直线 l2 经过 点 C(1，2)，D(－2，a＋2)．
两条直线平行与垂直的判定
要点 1 两条直线平行的条件 (1)设两条不重合的直线 l1 和 l2 的斜率分别为 k1 和 k2，则 l1 ∥l2⇔k1＝k2． (2)若两条不重合直线 l1 与 l2 都没斜率，则直线 l1 与 l2 平行．
要点 2 两条直线垂直的条件 (1)设直线 l1 和 l2 的斜率分别为 k1 和 k2，则 l1⊥l2⇔k1·k2＝ －1． (2)两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于 0， 则两条直线垂直．
(2)若 l1⊥l2， ①当 k2＝0 时，此时 a＝0，k1＝－12，不符合题意； ②当 k2≠0 时，l2 的斜率存在， 此时 k1＝2a－－4a. ∴由 k2k1＝－1，可得 a＝3，或 a＝－4.
探究 2 由 C，D 两点的横坐标可知 l2 的斜率一定存在，由 A，B 两点的横坐标可知 l1 的斜率可能存在也可能不存在，因此 应注意对 a 的取值的讨论．
(2)由题意知，k1＝tan60°＝ 3，k2＝－－2 23－－1 3＝ 3， 因为 k1＝k2，所以，l1∥l2 或 l1 与 l2 重合． (3)由题意知，l1 的斜率不存在，且不是 y 轴，l2 的斜率也不 存在，恰好是 y 轴，所以 l1∥l2. (4)由题意知，k1＝－ －12－ －10＝1，k2＝32－ －43＝1，所以 l1 与 l2 重 合或平行，需进一步研究 E、F、G、H 四点是否共线． kFG＝43－ －（ （－ －12） ）＝1，∴E、F、G、H 四点共线． ∴l1 与 l2 重合．
人教版高数必修二第9讲：两条直线的位置关系(教师版)
两条直线的位置关系一、两直线平行、相交与重合的条件1．已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2i ＋B 2i ≠0，i ＝1,2)． (1)l 1与l 2相交的条件：A 1B 2-A 2B 1≠0或．(A 2B 2≠0)(2)l 1与l 2平行的条件：A 1B 2-A 2B 1=0而B 1C 2-B 2C 1≠0或A 2C 1-A 1C 2≠0; 或(A 2B 2C 2≠0(3)l 1与l 2重合的条件：A 1= A 2, B 1= B 2, C 1= C 2 ( ) 或．(A 2B 2C 2≠0)2.已知两直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)l 1∥l 2的条件：k 1＝k 2且b 1≠b 2.(2)l 1与l 2重合的条件：k 1＝k 2且b 1＝b 2. (3)l 1与l 2相交的条件：k 1≠k . 二、两直线垂直的条件1．两直线垂直的条件 (1)l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2i ＋B 2i ≠0)， l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.(2)l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2， l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1. 类型一 两条直线平行例1：判断下列各组中两条直线的位置关系．(1)l 1：y ＝3x ＋4，l 2：2x －6y ＋1＝0；(2)l 1：2x －6y ＋4＝0，l 2：y ＝x 3＋23；(3)l 1：(2－1)x ＋y ＝3，l 2：x ＋(2＋1)y ＝2； (4)l 1：x ＝5，l 2：x ＝6.解析：有两条直线的位置关系判定公式判定直线的关系.答案：(1)A 1＝3，B 1＝－1，C 1＝4；A 2＝2，B 2＝－6，C 2＝1.∵A 1A 2≠B 1B 2，∴l 1与l 2相交．(2)A 1＝2，B 1＝－6，C 1＝4；把l 2化为x －3y ＋2＝0，∴A 2＝1，B 2＝－3，C 2＝2. ∵A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2，∴l 1与l 2重合． (3)A 1＝2－1，B 1＝1，C 1＝－3；A 2＝1，B 2＝2＋1，C 2＝－2.∵A 1A 2＝B 1B 2≠C 1C 2，∴l 1与l 2平行．(4)l 1与l 2平行．练习1：判定下列每组中所给两直线l 1与l 2的位置关系．(1)l 1：x ＋2y －3＝0，l 2：2x ＋4y ＋1＝0.(2)l 1：y ＝－3x ＋1，l 2：y ＝13x ＋2.(3)l 1：2x －3y ＋1＝0，l 2：4x －6y ＋2＝0. 答案：(1)平行 (2)相交 (3)重合 练习2：下列命题：①若直线1l 与2l 的斜率相等，则12//l l ；②若直线12//l l ，则两直线的斜率相等；③若直线12,l l 的斜率均不存在，则12//l l ；④若两直线的斜率不相等，则两直线不平行；⑤如果直线12//l l ，且1l 的斜率不存在，那么2l 的斜率也不存在．其中正确命题的序号为 ___ ．答案：④⑤例2、已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当m 为何值时，直线l 1与l 2 (1)相交；(2)平行；(3)重合．解析：充分利用条件，但要考虑直线垂直于x 轴或平行于x 轴的情况． 答案： 当m ＝0时，则l 1：x ＋6＝0，l 2：2x －3y ＝0，∴l 1与l 2相交；当m ＝2时，则l 1：x ＋2y ＋6＝0，l 2：3y ＋4＝0， ∴l 1与l 2相交；当m ≠0，m ≠2时，A 1A 2＝1m －2，B 1B 2＝m 3，C 1C 2＝62m.当A 1A 2＝B 1B 2时，1m －2＝m3，解得m ＝－1，或m ＝3.当A 1A 2＝C 1C 2时 ，1m －2＝62m，解得m ＝3. 综上所述，(1)当m ≠－1，且m ≠3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1A 2≠B 1B 2方程组有惟一解，l 1与l 2相交； (2)当m ＝－1时，⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1A 2＝B 1B 1，A 1A 2≠C 1C 2方程组无解，l 1与l 2平行； (3)当m ＝3时，⎝ ⎛⎭⎪⎫A 1A 2＝B 1B 2＝C 1C 2方程组有无数组解，l 1与l 2重合． 练习1：(2014·辽宁大连市第三中学高一期末测试)已知直线l 1：ax ＋2y ＋6＝0与l 2：x ＋(a －1)y ＋a 2－1＝0平行，则实数a 的取值是( )A ．－1或2B ．0或1C ．－1D ．2答案：∵l 1∥l 2，∴a (a －1)－2＝0， ∴a ＝－1或2.当a ＝2时，l 1与l 2重合，∴a ＝－1.练习2：已知两直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋(a ＋4)y ＋2＝0，若l 1∥l 2，求a 的值． 答案：当a ＝－4时，l 1：4x －3y ＋3＝0与l 2：4x ＋2＝0不平行，∴a ≠－4.∵l 1∥l 2，∴－a 3＝－4a ＋4，∴a 2＋4a －12＝0，∴a ＝2或a ＝－6.当a ＝－6时，l 1：－6x ＋3y －3＝0，即2x －y ＋1＝0，l 24x －2y ＋2＝0，即2x －y ＋1＝0， 此时l 1与l 2重合，∴a ≠－6.当a ＝2时，l 1：2x ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y ＋2＝0，即2x ＋3y ＋1＝0，∴l 1∥l 2. 综上可知，a ＝2.例3：试求三条直线ax ＋y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0构成三角形的条件． 解析：三条直线构成三角形，则任两条直线都相交，且不能相交于一点． 答案：解法一：任两条直线都相交，则a 1≠1a ，a 1≠11，故a ≠±1. 且三条直线不共点，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ay ＋1＝0x ＋y ＋a ＝0的交点(－1－a,1)不在ax ＋y ＋1＝0上，即a (－1－a )＋1＋1≠0，a 2＋a －2≠0，(a ＋2)(a －1)≠0，∴a ≠－2且a ≠1，综合上述结果，此三条直线构成三角形的条件是a ≠±1，a ≠－2.解法二：∵三条直线能构成三角形，∴三条直线两两相交且不共点，即任意两条直线都不平行，且三线不共点，若l 1、l 2、l 3交于一点，则l 1：x ＋y ＋a ＝0与l 2：x ＋ay ＋1＝0的交点P (－a －1,1)在l 3：ax ＋y ＋1＝0上， ∴a ·(－a －1)＋1＋1＝0，∴a ＝1或a ＝－2.若l 1∥l 2，则有1a ＝1，a ＝1.若l 1∥l 3，则有1a ＝1，a ＝1. 若l 2∥l 3，则有1a＝a ，a ＝±1.∴l 1、l 2、l 3构成三角形时，a ≠±1，a ≠－2.练习1：三条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：x －y ＝0，l 3：x ＋ay －3＝0能构成三角形，求实数a 的取值范围．答案：∵kl 1＝－1，kl 2＝1，∴当a ＝±1时，l 3与l 1、l 2中一条平行，此时三条直线不能构成三角形．又l 1与l 2交点为(1,1)，若点(1,1)在l 3上，则a ＝2，综上可知：a ≠2，且a ≠±1时，三条线可构成三角形．练习2：直线l 经过2320x y -+=和3420x y --=的交点，且与两坐标轴围成等腰直角三角形，求直线l 的方程．答案：由23203420x y x y -+=⎧⎨--=⎩ 得410x y =⎧⎨=⎩∴交点坐标是()14,10∵直线l 与两坐标轴围成等腰直角三角形 ∴其斜率为1± ∴所求直线的方程为：()1014y x -=±- 即40x y --=或240x y +-=类型二 两条直线垂直例4：当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？解析：在利用k 1·k 2＝－1判定垂直关系时，一定要注意直线的斜率是否有可能不存在这一情况．答案：解法一：①当1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0显然垂直；②当2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直；③若1－a ≠0且2a ＋3≠0，则直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3.当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋21－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －12a ＋3＝－1，∴a ＝－1. 综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.解法二：∵直线l 1⊥l 2，∴(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1. 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2.练习1：判断下列各组中两条直线l 1与l 2是否垂直． (1)l 1：2x －y ＝0，l 2：x －2y ＝0；(2)l 1：2x －4y －7＝0，l 2：2x ＋y －5＝0； (3)l 1：2x －7＝0，l 2：6y －5＝0. 答案：(1)不垂直．∵k 1＝2，k 2＝12，∴k 1k 2＝1，故l 1与l 2不垂直． (2)垂直．k 1＝12，k 2＝－2，∴k 1k 2＝－1，故l 1⊥l 2.(3)l 1：x ＝72，l 2：y ＝56，故l 1⊥l 2.练习2：如图，直线l 1的倾斜角α1＝30°，直线l 1⊥l 2，则l 2的斜率为( )A ．－33B.33C ．－ 3D. 3 答案：C例5：若直线(a ＋2)x ＋(1－a )y ＝a 2(a >0)与直线(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 等于( )A ．1B ．－1C ．±1D ．2解析：由题意得，(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＝1， 又∵a >0，∴a ＝1. 答案：A练习1：若直线l 1：(2a ＋5)x ＋(a －2)y ＋4＝0与直线l 2：(2－a )x ＋(a ＋3)y －1＝0互相垂直，则( )A ．a ＝2B ．a ＝－2C ．a ＝2或a ＝－2D ．a ＝2,0，－2 答案：C练习2：已知直线2ax ＋y －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0垂直，则实数a 的值等于( )A.12B.32C ．0或12D ．0或32答案：C1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0 答案：A 2．经过两条直线2x ＋y －4＝0和x －y ＋1＝0的交点，且与直线2x ＋3y －1＝0平行的直线方程是( )A ．2x ＋3y －7＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x ＋3y －8＝0D ．2x －3y ＋2＝0 答案：C3．直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，则m 的值为( )A ．2B ．－3C ．2或－3D ．－2或－3 答案：C4．直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0垂直，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2 答案：B5．过点P (－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．2x ＋y －5＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x ＋2y －5＝0D ．x －2y ＋7＝0 答案：B6. 以A (－2,1)、B (4,3)为端点的线段的垂直平分线的方程是( )A ．3x －y ＋5＝0B ．3x －y －5＝0C ．3x ＋y －5＝0D ．3x ＋y ＋5＝0 答案：C7. l 1过点A (m,1)、B (－3,4)，l 2过点C (0,2)、D (1,1)，且l 1∥l 2，则m ＝________. 答案：08.求过直线x －y －2＝0和4x －2y －5＝0的交点且与直线2x ＋3y ＋5＝0垂直的直线方程．答案：由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝04x －2y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝－32.∴过点(12，－32)且与直线2x ＋3y ＋5＝0垂直的直线方程为y ＋32＝32(x －12)，即6x －4y －9＝0._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1．若直线y ＝kx ＋2k ＋1与直线y ＝－12x ＋2的交点在第一象限，则实数k 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－16，12B.⎝⎛⎭⎫－12，12C.⎝⎛⎭⎫0，12D.⎝⎛⎭⎫－∞，－16∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 答案：A2．对于直线ax ＋y －a ＝0(a ≠0)，以下说法正确的是( )A ．恒过定点，且斜率与纵截距相等B ．恒过定点，且横截距恒为定值C ．恒过定点，且与x 轴平行D ．恒过定点，且与x 轴垂直 答案：B3．和直线3x ＋4y －7＝0垂直，并且在x 轴上的截距是－2的直线方程是________________． 答案：4x －3y ＋8＝0 4．下列命题：①若两条直线平行，则其斜率必相等；②若两条直线垂直，则其斜率的乘积必是1-；③过点()1,1-且斜率为2的直线方程是121y x -=+；④同垂直于x 轴的两条直线都和y 轴平行或重合．其中真命题的由 ．答案：④5．已知三角形三顶点A (4,0)、B (8,10)、C (0,6)，求：(1)AC 边上的高所在的直线方程； (2)过A 点且平行于BC 的直线方程．答案：(1)k AC ＝6－00－4＝－32，∴AC 边上的高所在的直线的斜率k ＝23，其方程为y －10＝23(x －8)，即2x －3y ＋14＝0.(2)k BC ＝6－100－8＝12，∴过A 点且平行于BC 的直线方程为y ＝12(x －4)，即x －2y －4＝0.能力提升6．设P 1(x 1，y 1)是直线l ：f (x ，y )＝0上一点，P 2(x 2，y 2)是不在直线l 上的点，则方程f (x ，y )＋f (x 1，y 1)＋f (x 2，y 2)＝0所表示的直线与l 的关系是( )A ．平行B ．重合C ．相交D ．位置关系不确定 答案：A7. 设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )|y －3x －1＝2，x 、y ∈R ，B ＝{(x ，y )|4x ＋ay －16＝0，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则a 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－2D ．－4或2答案：C8. 已知直线3ax －y ＝1与直线⎝⎛⎭⎫a －23x ＋y ＋1＝0互相垂直，则a 的值是( ) A ．－1或13B ．1或13C ．－13或－1D ．－13或1答案：D 由(2m ＋1)x －(m －2)y ＋5(m ＋2)＝0，得m (2x －y ＋5)＋(x ＋2y ＋10)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋5＝0x ＋2y ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－3.故无论m 取何值，直线(2m ＋1)x －(m －2)y ＋5(m ＋2)＝0都过定点(－4，－3)．9. 无论m 取何值，直线(2m ＋1)x －(m －2)y ＋5(m ＋2)＝0都过定点________．答案：(－4，－3)10. 已知直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋C ＝0垂直相交于点(1，m )，则a ＝________，C ＝________，m ＝________.答案：∵直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －5y ＋C ＝0垂直，∴－a 2·25＝－1，∴a ＝5.又∵点(1，m )在直线5x ＋2y －1＝0上，∴m ＝－2.又∵点(1，－2)在直线2x －5y ＋C ＝0上， ∴C ＝－12.11. 平行四边形的两邻边的方程是x ＋y ＋1＝0和3x －y ＋4＝0，对角线的交点是O ′(3,3)，求另外两边的方程．答案：建立如图所示的直角坐标系，根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋1＝03x －y ＋4＝0，得顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54，14.因为O ′是对角线AC 的中点，且O ′为(3,3)，所以顶点C 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫294，234.由x ＋y ＋1＝0知，k AB ＝－1，所以k CD ＝－1，由点斜式得y －234＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －294，即x ＋y －13＝0.因为k AD ＝3，所以k BC ＝3，由点斜式得y －234＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －294，即3x －y －16＝0，∴另外两边的方程分别为x ＋y －13＝0,3x －y －16＝0.12.已知△ABC 的顶点A (5,1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0.求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线BC 的方程．答案：(1)设点C 的坐标为(m ，n )，∵k BH ＝12，∴k AC ＝－2，∴n －1m －5＝－2. 又点C (m ，n )在直线2x －y －5＝0上， ∴2m －n －5＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2m －n －5＝0n －1m －5＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4n ＝3.∴点C 的坐标为(4,3)．(2)设点B 的坐标为(a ，b )，则a －2b －5＝0，AB 的中点M 的坐标为(a ＋52，1＋b2)，∴2×a ＋52－1＋b2－5＝0，即2a －b －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧a －2b －5＝02a －b －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－3.∴点B 的坐标为(－1，－3)， ∴直线BC 的方程为y －3－3－3＝x －4－1－4，即6x －5y －9＝0.。
两条直线平行的条件公式
两条直线平行的条件公式1.斜率相等：如果两条直线的斜率相等，则它们是平行的。
斜率是指直线在坐标平面上的斜率或倾斜程度。
若两个直线有相同的斜率，则它们的倾斜程度是相等的，因此它们是平行的。
数学公式：设直线L1的斜率为m1，直线L2的斜率为m2，则L1与L2平行的条件为m1=m22.向量平行：如果两个方向向量或定向线段的方向相同（或相反），则它们是平行的。
由于直线的斜率可以表示为它的方向向量的斜率，所以这个条件也可以用向量来表示。
数学公式：设直线L1的方向向量为v1，直线L2的方向向量为v2，则L1与L2平行的条件为v1∝v2，其中∝表示向量的平行关系。
通过上述两个条件公式，我们可以判断两条直线是否平行。
范例：例1：判断直线L1：2x+3y-5=0和直线L2：4x+6y-7=0是否平行。
解法：首先将这两条直线化为标准形式，即ax + by + c = 0。
L1化为标准形式得：2x+3y+(-5)=0，即2x+3y-5=0。
L2化为标准形式得：4x+6y+(-7)=0，即4x+6y-7=0。
比较两条直线的系数，得到：对于L1，a1=2，b1=3；对于L2，a2=4，b2=6根据斜率相等的条件公式，我们有：斜率m1=-a1/b1=-2/3斜率m2=-a2/b2=-4/6=-2/3由于m1=m2，所以L1与L2平行。
因此，直线L1：2x+3y-5=0和直线L2：4x+6y-7=0是平行的。
例2：判断直线L3：2x+3y-5=0和直线L4：2x+3y+7=0是否平行。
解法：将这两条直线化为标准形式。
L3化为标准形式得：2x+3y+(-5)=0，即2x+3y-5=0。
L4化为标准形式得：2x+3y+7=0，由于两个常数项不相等，将其化简得2x+3y+(-7)=0，即2x+3y-7=0。
比较两条直线的系数，得到：对于L3，a3=2，b3=3；对于L4，a4=2，b4=3根据斜率相等的条件公式，我们有：斜率m3=-a3/b3=-2/3斜率m4=-a4/b4=-2/3由于m3=m4，所以L3与L4平行。
两直线相交平行与重合的条件
两条直线相交、平行与重合的条件课标导航1．会通过解方程组发现直线相交、平行、重合的条件2．会用两条直线相交、平行或重合的条件判断两直线的位置关系3．理解用代数方法推导平行条件的思路自主预习1．已知直线0:1111=++C y B x A l ,2l ：0222=++C y B x A ,则有11l 与2l 相交⇔ ;21l 与2l 平行⇔31l 与2l 重合⇔2．已知直线1l ：11y 22211l ∥2l ⇔ ；21l 与2l 重合⇔21k k =且21b b =;典例分析例1：根据下列条件,判断直线1l 与2l 是否平行;11l 经过点)1,2(A ,)5,3(-B ,2l 经过点)33(-，C ；)78(-，D21l 的斜率为3,2l 经过点)31(，M ,)322(--，N ;变式练习1：判断直线1l 与2l 是否平行：11l 平行于y 轴,2l 经过点)2,0(-P ,)5,0(Q ；21l 经过点)1,0(E ,)1,2(--F ,2l 经过点)4,3(G ,)3,2(H ;例2：求实数m 、n 的值,使直线1l ：08=++n y mx ,2l ：012=-+my x 互相平行;变式练习2：当 时,直线1l ：062=++y m x ,2l ：023)2(=++-m my x m 相互平行; 例3：求过直线1l ：01=+-y x 与2l ：052=-+y x 的交点且斜率为－1的直线的方程;变式练习3：求过直线1l ：012=++y x 与2l ：023=-+y x 的交点和原点的直线的方程;基础达标1．下列与直线012=+-y x 平行的是A ．012=++y xB ．012=+-y xC ．0224=+-y xD ．0124=+-y x2．直线014=-+y ax 与直线03=--c y x 重合的条件是A ．≠=c a ,120B ．41,12=-=c aC ．41,12-=-=c a D ．41,12-≠-=c a 3．直线033)1(2=-++m y x m 和直线023=+-m y x 的位置关系是A ．平行B ．重合C ．相交D ．不确定4．平行于直线02=++c ay ax 且过点)2,1(-P 的直线方程为 ;5．直线1l ：06=++my x 与直线2l ：023)2(=++-m y x m 互相平行,则实数=m;6．对于直线l 上任一点y x ,,点)3,24(y x y x ++也在直线l 上,求直线l 的方程;能力提高1．平行于直线0334=-+y x ,且不过第一象限的直线的方程是A ．0743=++y xB ．0734=++y xC ．04234=-+y xD ．04243=-+y x2．过点M 1,4,N a ,22+a 的直线与直线032=--y x 平行,则必有A ．1=aB ．1≠aC ．1-=aD ．1-≠a3．已知直线1l 过点A 1,1,B 3,a ,直线2l 过点C 2,2,D a +3,4,若1l ∥2l ,=a ;4．求与直线0532=++y x 平行,且在两坐标轴上的截距之和为65的直线的方程;两条直线相交、平行与重合的条件自主预习102221≠-B A B A 或21A A ≠21B B 022≠B A 201221=-B A B A 而02121≠-B C C B 或02112≠-C A C A 21A A =21B B ≠21C C 0222≠C B A 3)0(,,212121≠===λλλλC C B B A A 21A A =21B B =21C C 0222≠C B A 典型例题例1：解：1因为1514325k -==---,2734835k -+==--,12k k =,且A,B,C,D 四点不共线,所以 1l ∥2l2因为1k =2k ==12k k =,所以1l ∥2l 或1l 与2l 重合; 变式训练1：解：1由题意知,1l 的斜率不存在,且不是y 轴,2l 的斜率也不存在,恰好是y 轴,所以1l ∥2l ; 2因为111120k --==--,234123k -==-,虽然12k k =,但是E,F,G ,H 四点共线,所以1l 与2l 重合; 例2：解：由820m m ⋅-⨯=得m ＝±4,由8(1)0n m ⨯--⋅≠,得1224,24,2n m n m n l ≠-=≠-=≠、，即或时，∥2l ;变式训练2：解：由题意,得23(2)26(2)m m m m m =-≠-且,即(1)(3)03m m m m +-=≠且,解得01m m ==-或;所以,当01m m ==-或时,1l ∥2l ;例3： 解：由题意,得 ,解得2,1==y x 即直线的交点坐标为1,2;又所求直线的斜率1-=k ,故直线的方程为2(1)y x -=--,即03=-+y x 为所求;变式训练3：解：由题意,得 ,解得1,1=-=y x ,即直线的交点坐标为－1,1; 又所求直线过原点,1-=k ,故直线的方程为0=+y x基础达标1．选D,由于2-11=4-21≠,故选D; 05201=-+=+-y x y x 023012=-+=++y x y x2．选C,1410044a ax y x y +-=⇔+-=,113,,12,444a c a c ∴=-=-=-=-即; 3．选C,由2212212(1)9211A B A B m m -=-+-=--＜0得两直线相交;4．解析：平行于直线20ax ay c ++=的方程为20x y c '++=;将点P-1,2的坐标代入,得(2)3c x y '=-+=-;故直线230x y +-=为所求;5．解析：由已知得10,20.m m l ≠-≠∴直线的斜率11k m =-,直线2l 的斜率223m k -=- ∵12k k =,∴212,230,313m m m m m m --=---===-即得或 当123m l l =时，显然与重合,故当11m l =-时，∥2l ;6．解：设直线l 的方程为：0Ax By C ++=①点42,3x y x y ++在直线l 上,∴(42)(3)0A x y B x y C ++++=②∵①②为同一条直线,∴当C ≠0时,0(423A B C A B A B A B C ==⇒==++舍去）； 当C=0时,423A B A B A B=++, ∴(2)()0,200A B A B x y x y +-=∴-=+=或;能力提高1．选B 平行于直线0334=-+y x 的直线具有形式034=++c y x ,故排除A ,D ;但选项C 中直线的截距为正,直线过第一象限,不符合条件,故应选B;2．选B 依题意,过点)22,(),4,1(+a a N M 的直线斜率21422=--+=a a k ,此时1≠a ,即当1≠a 时,两条直线互相平行; 3．解析：∵211311-=--=a a k ,∴2k 存在且1223242+=-+-=a a k ; 由于1l ∥2l ,∴21k k =,即1221+=-a a ,解之得5±=a , 又当5±=a 时,经检验,1l 与2l 不重合,∴5±=a 适合题意;4．解：设所求直线方程为)5(032≠=++λλy x ,令0=x ,得纵截距3λ-=b ； 令0=y ,得横截距2λ-=a ;由656532=-=--=+λλλb a , 得1-=λ;故所求的直线方程为0132=-+y x。
空间两直线平行的判定
空间两直线平行的判定一、概述在空间几何中，直线的平行性质是一个重要的概念。
对于两条直线而言，如何判定它们在空间中是否平行是我们需要研究和掌握的内容。
二、向量法判定平行性向量是研究空间几何的重要工具之一。
根据向量的性质，我们可以通过判断两个直线的方向向量是否平行来判定它们是否平行。
1. 方向向量的定义在空间中，一条直线可以由它的方向向量来表示。
对于一条直线L，我们可以通过选择直线上两个不同的点A和B，计算向量AB的得到方向向量。
2. 向量平行的性质两个向量平行的充要条件是它们的夹角为0度或180度。
也就是说，如果两个向量的方向完全相同或者完全相反，那么它们是平行的。
3. 平行直线的判定条件根据向量平行的性质，我们可以得到平行直线的判定条件：两条直线L1和L2平行的充要条件是它们的方向向量相等或者方向向量与之相反。
三、参数方程法判定平行性除了向量法，我们还可以使用参数方程来判定两条直线是否平行。
参数方程是一种将直线上的点用参数表示的方法。
1. 参数方程的定义对于一条直线L，我们可以使用参数t来表示直线上的点P的坐标。
假设直线上一点为A，直线的方向向量为向量a，那么点P在直线上的坐标可以表示为P = A + ta，其中t为参数。
2. 平行直线的判定条件假设L1和L2分别是由参数方程P1 = A1 + t1a1和P2 = A2 + t2a2表示的直线，那么L1和L2平行的充要条件是存在一个常数k，使得a1 = ka2。
四、实例分析为了更好地理解和应用上述判定方法，我们通过几个实例来演示判断两条直线平行的过程。
1. 示例1已知直线L1过点A(1, 2, 3)且与向量a(2, -1, 1)平行，直线L2过点B(2, -1, 3)且与向量b(4, -2, 2)平行。
我们需要判定L1和L2是否平行。
解析：首先，我们计算L1和L2的方向向量，得到a(2, -1, 1)和b(4, -2, 2)。
然后，我们比较a和b是否相等或者相反。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第二单元相交线与平行线
第2课探索直线平行的条件
（共2课时第1课时）
白泥中学龙羽
一、教学目标：
（一）知识目标
1.经历探索直线平行条件的过程，掌握利用同位角相等判别直线平行的结论，并能解决一些问题。
2.会识别由“三线八角”构成的同位角，会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
（二）能力目标
经历观察、操作、想象、推理、交流等活动，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，进一步发展空间想象、推理能力和有条理表达的能力。
（三）情感目标
使学生在积极参与探索、交流的数学活动中，体验数学与实际生活的密切联系，激发学生的求知欲，感受与他人合作的重要性。
二、教学重点:
利用同位角相等判别直线平行的结论，并能解决一些问题；会识别由“三线八角”构成的同位角，会用三角尺过已知直线外一点画这条直线的平行线。
三、教学难点：
发展学生的空间观念、推理能力和有条理表达的能力,善于举一
反三，学会运用类比、数形结合等思想方法解决新知识。
四、教学方法：
启发、引导式教学法，自主、创新式学习法、数形结合法。
五、教学手段：
小组合作学习
六、教学用具：
多媒体辅助教育
七、教学过程：
（一）巧妙设疑、复习引入
问题1：在同一平面内两条直线的位置关系
有几种？分别是什么？
有两种，分别是相交和平行。
问题2：什么叫两条直线平行？
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
（二）联系实际，积极探索
1．引入实际问题：如课本彩图，装修工人正在向墙上钉木条。
如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角是多少度时，才能使木条a与木条b平行？（木条a也与墙壁边缘垂直时，才能使木条a与木条b平行）在此基础上提出两个问题：
问题：实际问题中在判断两根木条平行时，借助了墙壁作为参照，你能将上述问题抽象为数学问题吗？试着画出图形。
学生回答：如图，把墙壁看作直线c,直线b与直线c垂直时，
只有当直线a也与直线c
平行于直线b。
A
B
D
C
O
a
c
b
如图，三根纸条相交成∠1，∠2，固定纸条b,c,转动纸条a, 在操作的过程中让学生观察∠2的变化以及它与∠1的关系，纸条a 何时与纸条b 平行？改变图中∠1的大小，当图中的∠2满足与∠1相等时，纸条a 与纸条b 平行。
2．由∠1与∠2的位置关系引出对“三线八角”的认识和同位角的概念。
如图，直线AB ，CD 被直线l 所截，构成了八个角，具有∠1与∠2这样位置关系的角，可以看作是在被截直线的同一侧，在截线的同一旁，相对位置是相同的，我们把这样的角称为同位角。
问题1：图中还有其他的同位角吗？
问题2：这些角相等也可以得出两直线平行吗？
结论：两直线平行的条件：同位角相等，两直线平行。
（三）变式训练、熟练技能
练习1 ：如图，∠1=∠2=55°, ∠3等于多少度？直线AB 、
CD 平行吗？说明你的理由。
练习2图
练习2 议一议：
问题1：你还记得怎样用移动三角板的方法画两条平行线吗？你能用这种方法过已知直线AB 外一点P 画它的平行线吗？请说出其中的道理。
问题2：分别过点C 、D 画直线AB 的平行线EF 、GH ， EF 与GH 有怎样的位置关系？ 你有什么发现？与同伴交流。
A
C
B
D l
1 2 3 4 6
7 5
8 1 2
3
E
F
G
H B C D
A A
B
P
. 议一议 2
议一议1
第2题图
第3题图
第1题图
结论：
（四）学以致用、步步提高
1.b ∥a , c ∥a , 那么 ，理由： 。
2.如图如果∠1=∠2，那么哪两条直线平行？为什么？
3.如图，∠AOC=∠APQ=∠CFE=46°，哪些平行线？为什么？
4.如图，直线EF 与∠DCG 的两边相交于A ，B 两点，∠C 的同位角是 和 ，∠BAC 的同位角是 ，∠EBG 的同位角是 。
（五）课堂小结
1、找同位角的关键是抓住：同位角在两条直线的同一方位、第三条直线的同侧的两个角。
2、“同位角相等，两直线平行”是判断两直线平行的公理。
3、 每得出一个两直线平行的结论，都要依序完成下列三个过程：①找出同位角； ②说明这两个同位角相等；③用公理得出“平行”的结论。
八、板书设计：
2.2 探究直线平行的条件
1.直线平行的条件：同位角相等，两直线平行。
第4题图
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
因为a ∥b ，a ∥c ，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，所以b ∥c 。
2.两过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。
平行于同一条直线的两条直线互相平行。
因为a∥b ，a∥c ，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，所以b∥c 。
九、作业布置：
十、教学反思：。