整式整章复习讲义20151031教师版

代数式的书写格式：
列代数式
1．列代数式：用含有数、字母和运算符号的式子把问题中与数量有关的词表示出来，就是列代数式。
2．代数式的书写要求
（1）代数式中出现的乘号通常用“·”表示或者省略不写；数与字母相乘时，数应写在字母前面；数与数相乘时，仍用“x”号。
（2）数字与字母相乘、单项式与多项式相乘时，一般按照先写数字，再写单项式，最后写多项式的书写顺序，如式子（a+b）·2·a应写成2a（a+b）。
（4）整式加减的步骤：有括号先去括号；有同类项，先合并同类项。
说明：添括号法则在北师大版教材中没有出现，但整式加减运算较多；去括号和添括号是互逆的。
4.下列各式合并同类项结果正确的是( )
A.4x2-x2=4B.6a2-5a2=a2C.3a2-a2=2aD.3x2+5x3=8x5
【答案】B
【方法提示】
即am an=am-n（a≠0，m、n都是正整数）。
（5）整式的混合运算：先乘方，后乘除，最后加减，如有括号，就先算括号里面的，说明：要尽量使用公式或运算律时，使运算过程简捷。
4、整式的乘法
1.单项式与单项式相乘的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘的积作为积的因式，其余字母连同它的指数不变，也作为积的因式.
注意：列代数式的关键是找出问题中的数量关系及公式，如：路程=速度×时间。售价=标价×折扣率；质量=密度×体积等等，另外要想正确列出代数式，必须正确理解问题中的关键词语，如“和、差、积、商、大、小、多、少”等。
1.设甲数为 ，乙数为 ，用代数式表示：
（5）甲乙两数的倒数的和乘以这两个数的积.
【答案】
（6）甲乙两数绝对值的和除以这两个数的和的绝对值所得的商.
1.当 时，求下列代数式的值：
（1） ；（2） .
【答案】 ；-6
3、整式
1．单项式：数与字母的积所表示的代数式叫做单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，特别地，单独一个数或者一个字母也是单项式。
注意：（1）π是个数，不能把它当成字母。如πxy2的系数是π，次数是3，不能错写成系数是1，次数是4。
【解析】原式=
2.试比较 的大小．
【分析】三个数的指数均为111的整数倍，故联想到逆用幂的乘方运算公式
【解析】 ， ，
∵
∴
【说明】当几个数的指数变为相同时，它们的大小取决于每个数的底数
幂的运算性质：am·an=am+n，（am）n=amn，（ab）n=an·bn，am n=am-n。
零指数幂和负指数幂：a0=1（a≠0）；a-p=
（1）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即am·an=am+n（m、n都是正整数）。
（2）幂的乘方，底数不变，指数相乘，
即（am）n=amn（m、n都是正整数）。
（3）积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，
即（ab）n=an·bn（n是正整数）。
（4）同底数幂相除，底数不变，指数相减，
【答案】A
2.用简便方法计算下列各题:
(1) ； (2) ．
【分析】小题（1）中． ；小题（2）中， ，
所以 ．
【解析】(1) ．
(2)
【点拨】探求解决问题的简便方法，实际上是从问题中隐含的特征入手，结合已有的知识与经验，在数学思想（如逆用法则、转化等）的指导下，用一种最简洁的方式求得结论，故观察、发现是至为关键的能力．
⑤此性质可以逆用，即 ，在计算中若有指数相同的幂相乘，可先把底数相乘，在去求积的同次幂.有时候性质的逆向适用，会使一些数的计算简化.如，
1.计算：
【分析】积的乘方、幂的乘方同时在运算式子中，现要按照积的乘方的运算法则又要按照幂的运算法则．如本题中 的运算就是按照积的运算法则，而 就是幂的运算，每步运算都要按照法则．
③此性质可以逆用： ．如：
1.计算下列各式，结果用幂的形式表示．
（1） ; （2） ； （3） ； （4） ．
【分析】(1)、(3)可直接利用幂的乘方法则进行计算；(2)要先把符号确定下来，再利用幂的乘方法则进行计算；(4)先利用幂的乘方法则运算，然后利用同底数幂的乘法法则计算．
【分析】（1）原式= ； （2）原式= ；
【注意】
（1）
①要用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，不能遗漏；
②两多项式相乘的结果仍是多项式，在没有合并同类项之前，所得的积的项数应为两个多项式的项数的积.（这也是检查想成后有无漏乘的一种方法）；
【答案】 ， 是单项式，
【说明】对于 和 都含有分数线，前者表示 是一个分数，后者表示除法，所以，分母中含有字母的代数式不是单项式．
2.在下列各多项式后面的括号内写出组成这个多项式的各个单项式．
（1） ． ( )
（2） ． ( )
（3） ． ( )
（4） ． ( )
二、整式的加减
（1）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并法则：把同类项中的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数保持不变。
【注意】底数可以是具体的数，也可以是单项式或多项式．
（3）同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，用公式表示为： （m、n为正整数）．
【注意】①两个或两个以上同底数幂相乘时，此法则也适用．
②对于底数不相同但互为相反数的幂的乘法运算，一般把它转化为相同底数的幂的乘法运算，然后运用同底数的幂相乘的法则进行计算．注意转化时的运算符号，如 ，所以 ．
【注意】
（1）
①积的系数等于各因式系数的积；
②相同字母相乘是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”计算；
③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，要注意不要丢掉这个因式；
④单项式乘以单项式的结果仍是单项式；
⑤单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用.
（2）单项式乘法中，若有乘方、乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行.
（2）去括号法则：括号前面是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉，括号里面的各项都不改变符号；括号前面是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉，括号里面的各项都改变符号，符号表示：+（a+b）=a+b；-（a+“+”号，括到括号里面的各项都不改变符号；所添括号前面是“-”号，括到括号里面的各项都改变符号。符号表示：a+b=+（a+b）；-a-b=-（a+b）。
合并同类项的步骤：
第一步：找出同类项；
第二步：利用合并同类项的法则，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变；
第三步：写出合并后的结果.
【注意】
（1）如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0.
（2）合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并；不能合并的项不能遗漏.
1.计算：
【答案】
2.用代数式表示下列问题的结果
（1）如右图，正方形的边长为 毫米，在它的内部挖去一个半径为 毫米的圆，求图中阴影部分的面积.
答：.
【答案】 毫米
2、代数式的值
1．代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。
2．求代数式的值的基本步骤：
（1）代入，一般情况下，先对代数式进行化简，再将字母的数值代人；
注意：（1）像 这样的代数式也是多项式；（2）多项式的项数指的是合并完同类项后的项数。
3．整式：单项式与多项式统称为整式。
4．升（降）幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从小到大（或从大到小）的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升（降）幂排列。
1.找出下列各代数式中的单项式 ， ， ，
【分析】判定一个代数式是否是单项式，关键就是看式子中的数字与字母或字母与字母之间是不是纯粹的乘积关系（乘方也是一种乘积关系），如果含有加、减、除的关系，那么它就不是单项式，
（3）原式= ； （4）原式=
【答案】(l) (2) (3) (4)
3.已知 ，求 的值，
【分析】逆用同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则，即：
【解析】
因为 ，所以 ．所以
3、积的乘方
积的乘方指的是底数是乘积形式的乘方.如 、 等.
积的乘方的法则
积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
（2）像a，0 等都是单项式。特别地，像（π+ ）也是单项式。
（3）单项式的次数应是字母的指数和，与系数没有任何关系。如105x2y次数是2+1=3，而不是5+2+1=8。
2．多项式：几个单项式的和叫做多项式，在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；在多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数。
1.下列各式中，正确的是（ ）
A. ；B. ； C. ； D. .
【分析】题中给出的四个运算式的左端都是同底数幂相乘的形式，各式结果是否正确，可用同底数幂相乘法则逐一运算即可确定，法则的条件是：同底数的幂相乘，法则的结论是：底数不变，指数相加．所以选项A. 是正确的.选项B 是错的．若条件是 就为 ．选项C 错，底数虽未变，但指数相乘了. 选项D 错．底数不变，指数也是相加，但多乘了个2．
（3）带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘。
（4）在代数式中出现除法运算时，按分数的写法来写
（5）在一些实际问题中，有时表示数量的代数式有单位名称，如果代数式是积或商的形式，则单位直接写在式子后面；如果代数式是和或差的形式，则必须先把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面，如2a米，（2a-b）kg。
这个性质适用于三个或三个以上因式的积的乘方.
【注意】①公式中的 可以是正整数，也可以是代表正整数的式子. 与 可以是数字，也可以是单项式或多项式.如