第十二章第三节幂级数
幂级数
k −1
=
1 在 x < 2 上成立， x2 1− 2
所以： f ( x ) = f ( 0 ) +
∫
x
0
f ′ ( t ) dt = ∫
x
0
1 1 2+x ， x < 2， dt = ln 2 t 2 2−x 1− 2 1 2 +1 = 2 ln ln 2 2 −1
最后我们求得：
∑ 2 ( 2k − 1) = f (1) =
则在 ( x0 − R, x0 + R ) 上，函数 S ( x ) 可导，且有：
S ′ ( x ) = ∑ nan ( x − x0 )
n =1
∞
n −1
， ∫ S ( t ) dt = ∑
x x0
an n +1 ( x − x0 ) 。 n =0 n + 1
∞
此定理也是由于一致收敛级数之性质而来的。 例4. 由幂级数
高等微积分讲义
第9讲
幂级数的定义与性质
∑a (x − x )
n =0 n 0 ∞ n
幂级数是指形如
的函数项级数， 由于形式相对简单因而其性质也较容易
研究清楚，并且具有一些一般函数项级数所没有的特殊性质。
1
对于级数
收敛性与收敛半径
∑a (x − x )
n =0 n 0
∞
n
，令： lim n an x − x0
∑( x − x )
n=0
0
∞
n
级数的收敛半径为 1，当 x − x 0 = ±1 时，级数均发散，所以级数的收敛区间 为 ( x0 − 1, x0 + 1)
∞
例2. 考虑级数
幂级数的知识点总结
幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。
我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。
当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。
当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。
收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。
3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。
我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。
二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。
2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。
具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。
三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。
高数同济版第十二章幂级数演示文稿
n 1
n 1
对端点 x = 1, 级数为交错级数
对端点 x =－1, 级数为 故收敛域为 (1, 1] .
发散 .
收敛;
第12页，共25页。
例2. 求下列幂级数的收敛域 :
解: (1)
1
R lim an lim n an1 n
n! 1
(n 1)!
所以收敛域为 ( , ) .
(2) R lim an lim n ! n an1 n (n 1) !
的和.
解: 构造幂级数 xn ,
n1 n 设和函数为 S(x),
显然收敛域为[-1,1)
S(x) xn1
1
n1
1x
S(x) x 1 dx S(0) ln(1 x) 0 1 x
S(1) ln 2.
第22页，共25页。
内容小结
1. 求幂级数收敛域的方法
1) 对标准型幂级数
先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 . 2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)
所以级数仅在 x = 0 处收敛 .
0
第13页，共25页。
例3.
的收敛半径 .
解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 故直接由
比值审敛法求收敛半径.
lim un1(x) n un (x)
lim
n
[ [
2 (n 1) ] ! (n 1) ! ]2
x
2
(n1)
[2n]! [ n ! ]2
x2n
外发散; 在 x R 可能收敛也可能发散 .
R 称为收敛半径 ，(－R , R ) 称为收敛区间.
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散
高数同济六版课件D123幂级数
当$x_0=0$时，泰勒级数称为麦克劳林级数，形如 $sum_{n=0}^{infty} frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$。
几何级数
形如$sum_{n=0}^{infty} a cdot q^n$的级数称为几何级数，当 $|q|<1$时收敛于$frac{a}{1-q}$。
泰勒级数应用
泰勒级数在数学、物理和 工程等领域有广泛应用， 如求解微分方程、计算函 数的近似值等。
麦克劳林级数展开式
麦克劳林级数定义
01
麦克劳林级数是泰勒级数在展开点为零时的特例，也称为麦克
劳林展开式。
麦克劳林级数展开条件
02
与泰勒级数展开条件相同，需要函数在零点附近具有任意阶导
数，并且这些导数在零点处取值有限。
实际应用举例
计算圆周率
求解微分方程
利用泰勒级数或麦克劳林级数展开式，可 以计算出圆周率的近似值。
幂级数方法可以用于求解微分方程，通过 将微分方程转化为幂级数形式，可以方便 地求解出微分方程的解。
信号处理
其他领域
在信号处理中，幂级数方法可以用于信号 的滤波、压缩和重构等操作。
幂级数方法还广泛应用于计算机图形学、金 融数学、统计学等其他领域。
1 2 3
积分变换求解微分方程原理
通过积分变换将微分方程转化为代数方程进行求 解。
幂级数在积分变换中作用
利用幂级数的展开式，可以将复杂的函数进行简 化处理，从而更容易地应用积分变换求解微分方 程。
实际应用举例
例如，在求解热传导方程、波动方程等物理问题 时，可以利用幂级数和积分变换相结合的方法进 行有效求解。
x_0)^n$，其中$a_n$是常数，$x_0$是给定实数。
幂级数ppt
定理 1 (Abel 定理)
（1）如果级数 an x n 在 x x0 ( x0 0)处收敛,则
n0
它在满足不等式 x x0 的一切 x处绝对收敛;
（2）如果级数 an x n 在 x x0处发散,则它在满
n0
足不等式 x x0 的一切 x处发散.
几何说明
收敛区域
o
• • •• • • ••• • •
发散区域 R
R 发散区域 x
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
n0
不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定
的正数 R 存在,它具有下列性质: 当 x R时,幂级数绝对收敛; 当 x R时,幂级数发散; 当 x R与x R时,幂级数可能收敛也可能发散.
15
收敛半径为R 1 ，收敛区间为（1，2）.
2
当x 2时，原级数化为收敛的 交错级数
(1)n
;
x 1时，原级数化为
1 ,发散.
n0 2n 1
n0 2n 1
因此原级数的收敛域为 （1，2 ].
三、幂级数的运算
1、代数运算性质
设 an xn和 bn xn的收敛半径各为R1和R2 ,
n0
n0
证明 对级数 an xn 应用达朗贝尔判别法
n0
lim
n
an1 an
x n1 xn
lim an1 n an
x
x,
17
（1）由比值审敛法, 当 | x | 1 时,
级数| an xn | 收敛, 从而级数 an xn绝对收敛.
n0
n0
当 | x | 1 时,
级数 | an xn | 发散,
n0
幂级数的知识点
幂级数是数学中非常重要的概念之一，它在许多领域都有广泛的应用，例如物理学、工程学和计算机科学等。
本文将通过逐步思考的方式介绍幂级数的基本概念、性质和应用。
1. 幂级数的定义幂级数是一种形式为∑(an⋅x^n)的级数，其中an是一系列常数，x是变量。
幂级数可以看作是多项式的无穷级数形式，每一项的系数an和变量的幂次n可能会随着n的增大而变化。
2. 幂级数的收敛性为了讨论幂级数的性质和应用，我们首先需要了解收敛性的概念。
对于给定的幂级数，如果存在一个实数r，使得当|x| < r时级数收敛，而当|x| > r时级数发散，那么我们称r为幂级数的收敛半径。
收敛半径是幂级数的一个重要性质，决定了级数的收敛范围。
3. 幂级数的求和幂级数的求和是一个重要的问题。
对于给定的幂级数，我们可以使用不同的方法来计算它的和，例如直接求和、利用级数的性质进行变换和利用数值计算方法等。
其中，直接求和方法常用于某些特殊的幂级数，而其他方法则更多地用于一般情况下的求和问题。
4. 幂级数的性质幂级数具有许多重要的性质，这些性质对于理解幂级数的行为和应用非常有帮助。
其中一些重要的性质包括线性性质、微分性质和积分性质。
这些性质可以简化对幂级数的操作和计算，使得我们能够更加灵活地应用幂级数解决问题。
5. 幂级数的应用幂级数在数学和其他领域中有广泛的应用。
其中一些应用包括： - 在数学分析中，幂级数可以用于表示和逼近函数。
- 在物理学中，幂级数可以用于描述物体的运动和力学性质。
- 在工程学中，幂级数可以用于建模和解决差分方程和微分方程。
- 在计算机科学中，幂级数可以用于设计算法和优化问题求解过程。
6. 幂级数的扩展除了普通的幂级数之外，还有其他一些相关的概念和扩展形式。
例如，幂级数可以推广为形式为∑(an⋅(x-c)^n)的幂级数，其中c是常数。
这种形式的幂级数称为幂级数的泰勒级数形式，它在函数逼近和微积分等领域有广泛的应用。
经典高等数学课件幂级数演示文稿
a xn 在 n
x x0( x0 0)
处收敛，
n0
则它在满 足不等式 x x0 的一切x处绝对收敛.
(2)如果级数
a xn 在 n
x
x0 处发散，则它在满足不等式
n0
x x0 的一切x处发散.
简记: (1)若 an xn在x0收敛,当 x x0 时, an xn绝对收敛.
n0
n0
(2)若 an xn在x0发散,当 x x0 时, an xn发散.
当 1 x2 1, 即 x 2
当 1 x2 1, 即 x
2
第二十二页，共25页。
2 时，级数绝对收敛, 2 时，级数发散,
R
2
22 22
例3.
求幂级数
n1
x
2
n1
的收敛区间及收敛域.
2n
因为原级数的收敛区间为 ( 2, 2 ).
当x
2时， 级数为
1
, 级数发散,
n1 2
当x
2
时，
级数为
1,
级数发散,
n1 2
所以原级数的收敛域为: ( 2, 2 ).
23
第二十三页，共25页。
23
例4.
的收敛半径 .
解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 比值审敛法求收敛半径.
故直接由
lim
u (x) n1
lim
[ 2(n 1)] ! [ (n 1) ! ]2
x 2( n1)
n0
(, x0 ) ( x0 , )内的任何x都使幂级数 an xn发散.
n0
在原点与收敛点之间不可能有发散点.
几何说明:
绝对收敛
发散
考研高数讲解新高等数学下册辅导讲解第十二章
第十二章无穷级数【本章网络构造图】第一节常数项级数概念与性质一、常数项级数收敛与发散给定一个数列将各项依次相加, 简记为，即，称该式为无穷级数，其中第项叫做级数一般项,级数前项与称为级数局部与。
假设存在，那么称无穷级数收敛，并称为级数与,记作；假设不存在，那么称无穷级数发散。
当级数收敛时, 称差值为级数余项。
显然。
【例1】〔93三〕级数与为 .【答案】结论：等比〔几何〕级数：收敛当时发散当时二、收敛级数与假设收敛，那么其与定义为。
三、无穷级数根本性质学习笔记：〔1〕假设级数收敛于，即，那么各项乘以常数所得级数也收敛，其与为。
注：级数各项乘以非零常数后其敛散性不变（2）设有两个收敛级数，，那么级数也收敛, 其与为。
注：该性质说明收敛级数可逐项相加或相减相关结论：〔1〕假设两级数中一个收敛一个发散,那么必发散。
〔2〕假设二级数都发散，不一定发散。
【例】取，，而。
〔3〕在级数前面加上或去掉有限项，不会影响级数敛散性。
〔4〕收敛级数加括弧后所成级数仍收敛于原级数与。
推论：假设加括弧后级数发散，那么原级数必发散。
注：收敛级数去括弧后所成级数不一定收敛。
【例】，但发散。
【例2】判断级数敛散性：【解析与答案】学习笔记：不存在故原级数发散四、级数收敛必要条件必要条件：假设收敛，那么。
逆否命题：假设级数一般项不趋于0，那么级数必发散。
【例】，其一般项为，当时，不趋于0，因此这个级数发散。
注：并非级数收敛充分条件【例】调与级数，虽然，但是此级数发散。
事实上，假设调与级数收敛于，那么，但，矛盾！所以假设不真。
【例3】判断以下级数敛散性，假设收敛求其与：〔1〕〔2〕【答案】〔1〕发散；〔2〕发散五、两个重要级数：几何级数与p级数敛散性学习笔记：〔1〕几何级数：，当时收敛；当时发散.〔2〕级数(或对数级数)：，当时收敛，当时发散。
【重点小结】1、常数项级数收敛与发散定义2、常数项级数敛散性质3、常数项级数收敛必要条件4、常用两个常数项级数第二节常数项级数审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：假设，那么称为正项级数。
幂级数
f1(z0 ) f2 (z0 ) fn (z0 )
如果
lim
n
Sn
(
z0
)
存在，则称点
z0
是复变函数项级数的收敛点，称
lim
n
Sn
(
z0
)
S
(
z0
)
为级数在点
z0
的和；否则称点
z0
是级数的发散点。
复变函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域。
在收敛域内，函数项级数的和是 z 的函数 S(z) ，通常称
n0
n0
n0
n0
n0
n0
性质 2.在收敛圆内，幂级数可以逐项积分或求导任意次， 而收敛半径不变。
定理 3：在收敛圆内，幂级数的和函数是解析函数。
例 6：求 (1 i)n zn 的收敛半径。 n0
例 7：求 (n 1)zn 的收敛半径和和函数。 n0
例 8：求 (2n 1)zn1 的收敛半径和和函数。 n1
例
9：计算
( zn)dz ， c
c n1
为
z
1 2
的正向。
三、幂级数的运算和性质
运算：复变幂级数也能进行有理运算
性质 1.设 nzn 和 nzn 的收敛半径为 R1 和 R2 ，且
n0
n0
R0 minR1, R2，在开圆域 z R0 内，以下两级数绝对收敛：
， 。 n zn n zn (n n )zn ( n zn ) ( n zn ) n zn
那么对满足| z || z0 | 的 z ，级数发散。
幂级数知识点归纳总结
幂级数知识点归纳总结一、幂级数的基本概念幂级数是指一种无限级数，其中包含幂函数和指数函数的组合。
它的定义式为:a^x - b^x = sum(n=0 to ∞) (a^n) * x^(n+1) - (b^n) * x^(n+1) 其中，a 和 b 是常数，x 是实数，sum 表示求和符号，∞表示无限项。
二、幂级数的性质幂级数有许多重要的性质，包括:1. 幂级数在 x=0 处取得最大值，即 sum(n=0 to ∞) (a^n) * x^(n+1) = a^x2. 幂级数在 x=∞处取得最小值，即 sum(n=0 to ∞) (a^n) * x^(n+1) = b^x3. 幂级数的和是无限项的，即 sum(n=0 to ∞) (a^n) * x^(n+1) - b^x = sum(n=0 to ∞) (a^n) * x^(n+1)4. 幂级数是单调递增或单调递减的，即若 a > b，则幂级数在x=a 处递增，在 x=b 处递减;若 a < b，则幂级数在 x=a 处递减，在 x=b 处递增。
三、幂级数的求和公式幂级数的求和公式有很多种，其中最常见的是莱布尼茨公式和欧拉公式。
1. 莱布尼茨公式：若 a 和 b 是常数，则 sum(n=0 to ∞) (a^n)* x^(n+1) = ln(a) + ln(b) + C2. 欧拉公式：若 a 和 b 是常数，则 sum(n=0 to ∞) (a^n) * x^(n+1) - b^x = (a-b) * x + C其中，ln 表示自然对数，C 为常数，∞表示无限项。
四、幂级数的应用幂级数在各个领域都有广泛的应用，如物理学、工程学、经济学等等。
其中，幂级数在物理学中的应用最为广泛，如在热力学、流体力学、电磁学等领域中都有广泛的应用。
幂级数在经济学中的应用也非常多，如在投资学、金融学、市场营销学等领域中都有广泛的应用。
其中，幂级数在投资学中的应用最为广泛，它可以用来描述股票价格的涨跌幅度，从而帮助投资者预测未来的股票价格。
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它们的收敛半径均为 R , 但是
1 x x2 xn
其收敛半径只是 R 1 .
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定理4 若幂级数
的收敛半径
则其和函
在收敛域上连续, 且在收敛区间内可逐项求导与
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1) 若 ≠0, 则根据比值审敛法可知:
因此级数的收敛半径 R
1
2) 若 0, 则根据比值审敛法可知, 对任意 x 原级数 绝对收敛 , 因此 R ; 3) 若 , 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,
.
因此 R 0 .
发散点的全体称为其发散域 .
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在收敛域上, 函数项级数的和是 x 的函数 为级数的和函数 , 并写成
称它
若用
表示函数项级数前 n 项的和, 即
令余项 则在收敛域上有
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例如, 等比级数
它的收敛域是
有和函数
它的发散域是 ( , 1 ] 及 [1， ） 或写作 x 1 . , 又如, 级数 级数发散 ;
x
(0 x 1 及
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)
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S (x)
而
(0 x 1 及
ln (1 x) 1 , lim x 0 x
)
因此由和函数的连续性得: 1 ln(1 x) , x
x [1, 0) (0 ,1)
S (x)
1,
x0
当4 x2 1 当4 x2 1
( 2 n 1)(2 n 2) 2 lim x 4 x2 n ( n 1 )2 时级数收敛 1 故收敛半径为 R . 2 时级数发散
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例4. 解: 令 级数变为
的收敛域.
1 an R lim lim 2 n n n an 1 n
(证明见第六节)
注: 逐项积分时, 运算前后端点处的敛散性不变.
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例5.
的和函数 .
解: 由例2可知级数的收敛半径 R＝+∞. 设
则
故有 因此得
x n 1 S ( x) n 1 ( n 1) !
S (x)
e x S ( x) 0
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1 n! lim 1 n (n 1) !
0
返回
结束
例3.
的收敛半径 .
解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 故直接由 比值审敛法求收敛半径.
[ 2 (n 1) ] ! 2 ( n 1) x 2 [ (n 1) ! ] u n 1 ( x) lim lim [ 2n] ! 2n n u n ( x ) n 2 x [n! ]
满足不等式 x x0 的 x , 原幂级数也发散 .
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证毕
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由Abel 定理可以看出, 中心的区间.
n 0
an x
n
的收敛域是以原点为
用±R 表示幂级数收敛与发散的分界点, 则 R = 0 时, 幂级数仅在 x = 0 收敛 ; R = 时, 幂级数在 (－∞, +∞) 收敛 ;
n 0
,
x R x R
an x n bn x n cn x n ,
n 0
其中
以上结论可用部分和 的极限证明 .
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说明: 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比
原来两个幂级数的收敛半径小得多. 例如, 设
( a0 1, an 0 , n 1, 2 , )
根值判别法成立
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作业
P277 1 (1), (3), (5), (7), (8)
2 (1), (3)
P323 7 (1), (4)
8 (1), (3)
第四节 目录
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备用题 求极限
解: 令
作幂级数
其中
易知其收敛半径为 1, 设其和为
则
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n 0
则对满足不等式
的一切 x 幂级数都绝对收敛.
反之, 若当 时该幂级数发散 , 则对满足不等式 的一切 x , 该幂级数也发散 . 证: 设 收敛, 则必有 于是存在
常数 M > 0, 使
收敛 发散
发
散
收
o 敛
发
阿贝尔 目录 上页
散
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x
结束
an x
n
n an x0
x x n a n x0 n x0 x0
n 1
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例7. 求级数
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,
收敛 ,
xn 1 x n 1 S ( x) x n 0 n 1 n 0 n 1
1 1 1 n x dx dx x 0 n 0 x 01 x
x
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收敛;
发散 .
下页
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结束
例2. 求下列幂级数的收敛域 :
规定: 0 ! = 1
解: (1)
an R lim n an 1
所以收敛域为 ( , ) . an lim n ! (2) R lim n an 1 n (n 1) ! 所以级数仅在 x = 0 处收敛 .
0 R , 幂级数在 (－R , R ) 收敛 ; 在[－R , R ]
外发散; 在 x R 可能收敛也可能发散 .
R 称为收敛半径 ，(－R , R ) 称为收敛区间.
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散
发
散
收
o 敛
机动
发
目录 上页
散
下页
x
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定理2. 若
S ( x) C e x
x
由S (0) 1得 S ( x) e , 故得
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例6.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
x x n x (x )
n n 1
x x 1 x
收敛,
n
n
当 x x0 时,
故原幂级数绝对收敛 .
也收敛,
反之, 若当 x x0 时该幂级数发散 ,下面用反证法证之.
假设有一点 x1 满足 x1 x0 且使级数收敛 , 则由前
面的证明可知, 级数在点 x 0 也应收敛, 与所设矛盾, 故假设不真. 所以若当 x x0 时幂级数发散 , 则对一切
n 1
an 1 1 2 (1) n an 2 2 (1)
能否确定它的收敛半径不存在 ?
3 1
2 6
, ,
n 为奇数 n 为偶数
答: 不能. 因为
n
lim
n
u n ( x) lim
n
n
x 2 (1) 2
n
当
时级数收敛 , 比值判别法成立
时级数发散 ,
说明: 可以证明
结束
所以级数的收敛域仅为
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二、幂级数及其收敛性
形如
的函数项级数称为幂级数, 其中数列 为幂级数的系数 . 下面着重讨论 的情形, 即
称
1 , x 1 即是此种情形. 例如, 幂级数 x 1 x n 0
n
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an x n 定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数
的系数满足
则
1) 当 ≠0 时, R 1 ;
2) 当 ＝0 时, R ; 3) 当 ＝∞时, R 0 .
证:
an 1 x n 1 an 1 lim lim x n n n an an x
1 当 x 1 , 即 x 时, 原级数收敛; 当 x 1 , 即 x 1 时, 原级数发散.
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2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续;
3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.
思考与练习
1. 已知
半径是多少 ? 答: 根据Abel 定理可知, 级数在 时发散 . 故收敛半径为 收敛 , 处条件收敛 , 问该级数收敛
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2. 在幂级数
中,
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例8. 解: 设 S ( x)
n2
n2 1 ,
x
n
则
1 1 1 n S ( x) x n 2 2 n 1 n 1
x x n 1 1 x n 1 2 n 2 n 1 2x n 2 n 1 x xn 1 xn 2 n 1 n 2x n 3 n
逐项求积分, 运算前后收敛半径相同:
S ( x) an x n nan x n 1 , x ( R , R )