幂级数解法
§6.3.5函数展开为幂级数121
2!
(2n)!
x (, ) ；
ln(1 x) x x2 (1)n1 xn ，
2
n
x （－1，1
(1 x)m 1mx 1 m(m1)x2 2!
1 m(m1)(m2)(mn1)xn ，x （－1，1） n!
此式称为二项式展开式，右端的级数称为二项式级数。 其端点的敛散性与m 有关。
例如当m 0 时，收敛区间为[－1，1]， 当 1 m 0 时，收敛区间为（－1，1]。
定义 设 f (x) 在点 x 的某邻域内具有任意阶导数，则称
幂级数
n0
f
(n) (x ) n!
(x x )n
为
f
(x)
在点
x
处的泰勒级数，
记为 f (x) ～
n0
f
(n) (x n!
)
(x
x
)n
。
f (x) 在点 x 0 处的泰勒级数，称为 f (x) 的麦克劳林级数
记为 f (x) ～
f (n) (0) x n 。
n0 n !
当函数f (x) 在 x o 的某邻域内具有任意阶导数时，其在 x o 处的泰勒级数是否收敛？若收敛，是否一定以f (x) 为 和函数？对此，有如下定理：
定理 设 f (x) 在x 的某邻域N (x ) 内具有任意阶导数， 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要 条件是 f (x) 在x 处的泰勒公式的余项 Rn (x) 满足 lim Rn (x) 0 ， xN (x ) 。
ln(1 x) x x2 x3 x4 (1)n xn1 (1 x 1) .
234
n1
上述展开式对x 1 也成立，这是因为上式右端的幂级
幂级数展开与求和方法
幂级数展开与求和方法幂级数在数学领域中扮演着重要的角色，它是一种无穷项级数，通常用来表示函数。
幂级数展开是指将一个函数表示成一列幂函数相加的形式。
在本文中，我们将探讨幂级数的展开和求和方法。
幂级数的定义幂级数是形如 $a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + \\cdots$ 的无穷级数，其中 $a_0, a_1, a_2, \\ldots$ 是常数系数，x是自变量。
通常幂级数可表示为$\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$。
幂级数展开幂级数展开是将一个函数表达为幂级数的形式。
常见的幂级数展开包括泰勒级数展开和麦克劳林级数展开。
泰勒级数展开是将函数在某点附近展开成幂级数，而麦克劳林级数展开是将函数在x=0处展开成幂级数。
泰勒级数展开对于一个函数f(x)，其在x=a处的泰勒级数展开可表示为：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$$其中f(n)(a)表示f(x)在点a处的n阶导数。
麦克劳林级数展开将函数f(x)在x=0处展开成幂级数，得到麦克劳林级数展开：$$f(x) = \\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$$幂级数求和方法对于给定的幂级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，我们通常需要求解其收敛域以及求和。
求解幂级数的收敛域可以使用收敛半径公式来确定。
收敛半径公式对于幂级数$\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，收敛半径R可以通过公式计算：$$R = \\frac{1}{\\limsup_{n \\to \\infty} |a_n|^{1/n}}$$幂级数求和一般地，幂级数存在收敛域，并可在其内部对幂级数进行求和。
常用方法包括逐项积分法、逐项求导法和代入法等。
逐项积分法：对于幂级数 $\\sum_{n=0}^{\\infty} a_nx^n$，首先求出其逐项积分得到 $\\sum_{n=0}^{\\infty} \\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}$，然后根据积分范围进行修正。
初中数学解答：幂的运算,构造法!
初中数学解答：幂的运算，构造法！
幂的运算是初中数学中的重要内容，构造法是其中一种解题方法。
下面给出幂的运算规则和构造法的解题步骤：
幂的运算规则：
1. 幂相乘：a^m * a^n = a^(m+n)
2. 幂相除：a^m / a^n = a^(m-n)
3. 幂的乘方：(a^m)^n = a^(m*n)
4. 同底数幂相加或相减：如果底数相同，则指数相加或相减。
a^m + a^n = a^(m+n)
a^m - a^n = a^(m-n)
构造法解题步骤：
1. 理清题意，确定需要求解的问题。
2. 找出已知条件，利用已知条件构造等式或不等式。
3. 运用幂的运算规则，化简等式或不等式。
4. 根据等式或不等式的性质，解出未知数的值。
5. 检验解是否符合题意。
举例说明：
问题：已知a^3 = 8，求a 的值。
解题步骤：
1. 题目中已经给出了已知条件和需要求解的问题。
2. 已知条件为a^3 = 8。
3. 利用幂的运算规则，我们知道8 可以写成2 的立方，即8 = 2^3。
所以，可以得到a^3 = 2^3。
4. 根据等式的性质，我们得出a = 2。
5. 检验解：将a 的值代入原等式，验证等式是否成立。
即计算2^3 是否等于8。
经计算得知，2^3 = 8，符合题意。
因此，解为a = 2。
幂级数收敛半径的三种求法
谢谢
11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自、要冒一次险!整个生命就是一场冒险。走得最远的人，常是愿意 去做，并愿意去冒险的人。“稳妥”之船，从未能从岸边走远。-戴尔．卡耐基。
梦 境
3、人生就像一杯没有加糖的咖啡，喝起来是苦涩的，回味起来却有 久久不会退去的余香。
泥鳅养殖技术教程90413共42页 4、守业的最好办法就是不断的发展。 5、当爱不能完美，我宁愿选择无悔，不管来生多么美丽，我不愿失 去今生对你的记忆，我不求天长地久的美景，我只要生生世世的轮 回里有你。
幂级数的讲解纲要
n1
x
n
x x x
2 3
x 1 x
内容小结 1. 函数项级数 则在收敛域上有
2.
3. (x-x0)的幂级数：
( x 1)
4. x 的幂级数：
内容小结 5. 的收敛半径为 R lim
n
an an 1
对非标准型幂级数的收敛半径: 直接用比值法或根值法或通过换元化为标准型再求. 6. 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.
0
1 1 x
dx ln (1 x )
0
故
1 S 2
§12.1 幂级数 例9 求幂级数 的和函数
解 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散, 故当 时，
n x ( x ) n 1
x
x
n 1
n
x
x 1 x
n 0
x
n
S (0) 1
S( x)
1
x
1 1- x
dx
( x 0)
lim S ( x ) 1 C 0
x 0
由和函数
的连续性知
1 ln(1 x ), x [1, 0) (0,1); S( x) x 1, x 0.
n
n1
n 0
an
x
n 1
作业
P 206 1(2,3); 3(1)
5月28日(周六)第三阶段考
考试内容：第11章
阿贝尔(1802 – 1829)
挪威数学家, 近代数学发展的先驱者.
他在22岁时就解决了用根式解5 次方程 的不可能性问题 , 他还研究了更广的一
微积分 第九章 第五节 泰勒公式与幂级数展开
n1
(2n) !
cos x
(1)n
x2n
1 x2 x4 ,
x (,)
n0
(2n) !
2! 4!
22
例9 将 f ( x) cos 2 x 展开成 x 的幂级数.
解法2 (cos 2 x) sin2x (1)n (2x)2n1 ,
n0
(2n 1) !
两边从 0 到 x 积分,得
f ( x)
1 1 x2
( x2 )n
n0
,
| x|1
两边从 0 到 x 积分,得
arctan x (1)n x2n1 x x3 x5
n0
2n 1
35
上述幂级数在 x 1 处也收敛,且arctan x 在x 1
处有定义且连续,所以上述展开式成立的范围为
x [1,1]
18
基本展开式
例4 将 f ( x) ex2 展开成 x 的幂级数.
ex
xn ,
x (,)
n0 n !
所以
e x2
( x2 )n
(1)n x 2n ,
n0 n !
n0 n !
x ( , )
15
例5 将 f (x) cos x 展开成 x 的幂级数.
sin x (1)n
x 2n1
x 1 x3 1 x5
Rn( x)
e xn1 , (n 1)!
在
0
与
x 之间,
|
Rn
(
x)
|
|
(n
e 1)
!
x n1
|
e|x|
| x |n1 (n 1) !
对任意固定的 x,级数
幂级数求和方法总结
幂级数求和方法总结关于幂级数求和的探讨例1 求幂级数∑∞[]n=0_n[]n+1的和函数。
解先求收敛域。
由limn→∞an+1[]an=limn→∞n+1[]n+2=1得收敛半径R=1。
在端点_=—1处，幂级数成为∑∞[]n=0（—1）n[]n+1，是收敛的交错级数；在端点_=1处，幂级数成为∑∞[]n=01[]n+1，是发散的。
因此收敛域为I=[—1，1]。
设和函数为s（_），即s（_）=∑∞[]n=0_n[]n+1，_∈[—1，1）。
（1）于是_s（_）=∑∞[]n=0_n+1[]n+1。
（2）利用性质3，逐项求导，并由1[]1—_=1+_+_2+…+_n+…，（—1 得[_s（_）]′=∑∞[]n=0_n+1[]n+1=∑∞[]n=0_n=1[]1—_，（|_|对上式从0到_积分，得_s（_）=∫_01[]1—_d_=—ln（1—_），（—1≤_≤1）。
（5）于是，当_≠0时，有s（_）=—1[]_ln（1—_），而s（0）可由s（0）=a0=1得出，故s（_）=—1[]_ln（1—_），_∈[—1，0）∪（0，1），1，_=0。
（6）一、错误及原因分析1.忽略幂级数的起始项例如在求解幂级数∑∞[]n=1_n的和函数时，有学生就很容易将其和函数写为s（_）=1[]1—_，而事实上其和应该为s（_）=_[]1—_。
该错误产生的原因在于学生忽略了幂级数的起始项，习惯性的把第一项默认为1。
2.忽略和函数的定义域产生该错误的原因，主要是学生对和函数的概念理解不透彻，无穷多项求和其和并不总是存在的，即不总是收敛的，所以在求和函数时，首先要判断在哪些点处和是存在的，这些点的集合就是和函数的定义域，即幂级数的收敛域。
3.错误地给出和函数的定义域，即幂级数的收敛域该错误的产生主要源于利用和函数的分析性质求解和函数时，忽略了收敛域的变化。
上述例子中的（5）式就出现了这方面的错误。
4.忽略了收敛域中的特殊点在上述例子式中，利用（5）求s（_）时，需要在等式两边同时除以_。
幂级数常见6个公式
幂级数常见6个公式一、幂级数的定义幂级数是数学中常见的一种级数形式，可以用来表示各种函数。
幂级数的一般形式为∑(n=0)∞(an⋅x^n)，其中an为系数，x为变量，n为指数。
幂级数可以收敛于一个特定的值，也可以在一定范围内发散。
二、泰勒级数公式泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，可以用来近似表示函数。
泰勒级数公式可以将一个函数表示为一系列无穷多个项的和，其中每个项都是函数在某一点的导数与该点的函数值的乘积。
泰勒级数公式为f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... + f^n(a)(x-a)^n/n! + ...。
三、麦克劳林级数公式麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊形式，可以用来近似表示函数。
麦克劳林级数公式是泰勒级数公式的特例，当函数在某一点的所有导数都为零时，麦克劳林级数公式简化为f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2/2! + ... + f^n(0)x^n/n! + ...。
四、幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是幂级数收敛的范围。
根据幂级数的收敛半径，可以确定幂级数在哪些点收敛，以及收敛的范围。
收敛半径的计算可以使用柯西—阿达玛公式，即R = 1/limsup〖√(│an│)〗。
五、常见的幂级数公式1. 指数函数幂级数：e^x = ∑(n=0)∞(x^n/n!)，其中e为自然对数的底数。
2. 正弦函数幂级数：sin(x) = ∑(n=0)∞((-1)^n⋅x^(2n+1)/(2n+1)!)。
3. 余弦函数幂级数：cos(x) = ∑(n=0)∞((-1)^n⋅x^(2n)/(2n)!)。
4. 自然对数函数幂级数：ln(1+x) = ∑(n=1)∞((-1)^(n-1)⋅x^n/n)，其中|x|<1。
5. 反正切函数幂级数：arctan(x) = ∑(n=0)∞((-1)^n⋅x^(2n+1)/(2n+1))，其中|x|≤1。
幂级数
n= 0
∑
∞
cn x n ，
cn+1 c n +1 x n +1 = lim | x | = L | x |， lim n n→ ∞ c n n→ ∞ cn x
1 当 L | x |< 1 即 x < 时，由比较判别法可知 (1) 若 0 < L < +∞ ， L ∞ ∞ 1 n n c x c x 绝对收敛； 当 L x > 1 即 > 时， x ∑ n 发散； ∑ n L n= 0 n= 0
n =1
收敛点的全体称为函数 项级数 发散点的全体称为函数 项级数
n =1 ∞
∑ an ( x ) 的
∞
收敛域在收敛域上，函数项级数的和是 x 的函数 S ( x )， 通常称 S ( x ) 为函数项级数
n =1
∑ an ( x ) 的
∞
和函数，
其定义域即为收敛域。 记为
Rn ( x ) = S ( x ) − S n ( x )
∞
称为
n =1
∑ an ( x ) 的 余和．
n→ ∞
∞
并且
lim Rn ( x ) = 0．
二. 幂级数及其收敛性
定义 2 函数项级数
n= 0 ∞
∑ cn ( x − a )n = c0 + c1 ( x − a ) + c2 ( x − a )2 + L
简称为函数项级数。 称为定义在区间 I 上的 函数项无穷级数 ，
对于任一确定的值 x0 ∈ I，则
n =1
∑ a n ( x0 )
∞ n =1 ∞
∞
为常数项级数．
若 若
n =1 ∞ n =1
幂级数求收敛半径
幂级数求收敛半径幂级数是数学中的一个重要概念，它是由形如$sumlimits_{n=0}^{infty}a_nx^n$的无穷级数组成，其中$a_n$是常数，$x$是变量。
幂级数在数学中的应用非常广泛，如在微积分、数论、物理学等领域中都有着重要的应用。
然而，在实际的计算中，我们经常需要求出幂级数的收敛半径，以确定幂级数的收敛性。
因此，本文将从定义、性质和求解方法三个方面来介绍幂级数的收敛半径。
一、幂级数的定义幂级数是一种无穷级数，它的一般形式为$sumlimits_{n=0}^{infty}a_nx^n$，其中$a_n$是常数，$x$是变量。
当$x=0$时，幂级数的值为$a_0$，如果$x$的取值在某个区间内收敛，则称幂级数在该区间内收敛。
否则，幂级数在该区间内发散。
二、幂级数的性质1. 幂级数的收敛域是一个区间。
2. 幂级数的收敛半径是一个正实数$r$，它满足$limlimits_{nrightarrowinfty}left|dfrac{a_{n+1}}{a_n}right| =r$，当$r=0$时，幂级数在$x=0$处收敛；当$r=+infty$时，幂级数在整个实轴上收敛；当$0<r<+infty$时，幂级数在$xin(-r,r)$内收敛。
3. 幂级数的收敛性与$x$的取值有关，即幂级数在某个点处收敛，并不意味着它在整个区间内都收敛，反之亦然。
三、幂级数的求解方法1. 比值判别法比值判别法是求解幂级数收敛半径的一种常用方法。
具体来说，利用比值判别法可以得到$limlimits_{nrightarrowinfty}left|dfrac{a_{n+1}}{a_n}right| =r$，然后根据$r$的大小来确定幂级数的收敛半径。
比值判别法的具体步骤如下：（1）计算$limlimits_{nrightarrowinfty}left|dfrac{a_{n+1}}{a_n}right| $。