高等教育出版社《高等数学》同济第六版下册第十二章PPTD12_4函数展开成幂级数

因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
目录 上页 下页 返回 结束
为避免研究余项 , 设此级数的和函数为F ( x) ,1 x 1 则 F ( x) 1 m x m(m 1) x 2
2! F ( x) m 1 m 1 1 F ( x) F ( x)
m
m( m 1) ( m n 1) n! ( m 1) ( m n 1) ( n 1) !
x
n
x
x
n 1
(1 x) F ( x) mF (x), F (0) 1
推导
0
x
dx
0 1 x d x
x
m
ln F ( x) ln F (0) m ln(1 x)
e
(n 1) !
x
n 1
e
x
n
( 在0与x 之间)
故 e 1 x
x
1 2!
x
2
1 3!
x
3
1 n!
x ,
目录 上页 下页 返回 结束
n
例2. 将
解: f
f
(n)
展开成 x 的幂级数.
( x)
(n )
0, (0) k ( 1) ,
F ( x) (1 x)
推导
目录
上页
下页
返回
结束
由此得
(1 x)
m
1 m x

m( m 1) 2!
x x
n
2
m( m 1) ( m n 1) n!
称为二项展开式 .
说明：
(1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 .
(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.
x
2
1 3 5 246
x
3
1 3 5 7 2 4 6 8
x
4
( 1 x 1)
1 1 x
(1 x)
m1
1 x x
2
x (1) x ( 1 x 1)
3
2
n
n
1 x
1 1 x x x x mx 2!
例7. 将
解:
1 x 4x 3
x 1 2
2
展成 xห้องสมุดไป่ตู้1 的幂级数.
1 ( x 1)( x 3)
x 1 4 x 1 1 x2 1 2 ) x 1 1 4
(
n
1
1 8
x 1 2

(x 1) 2
2
2
( 1)
( x 1) 2
n
n
x
5

x
7
( 1)
n
x
2 n 1
3!
2
5!
4
7!
6
( 2n 1) !
2n

x ( , )
cos x 1
x

x

x
( 1)
n
x

2!
4!
6!
( 2n) !
(1 x) 1 m x

m
m( m 1) 2! n!
x ( , )
称为拉格朗日余项 .
目录 上页 下页 返回 结束
若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f ( x0 ) 2!
n
f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f
(n)
( x x0 )
2
( x0 )
n!
( x x0 )
为f (x) 的泰勒级数 . 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 待解决的问题 :
1 2!
展开成 x 的幂级数.
1 3!
1 1
解: f ( n ) ( x) e x , f ( n ) (0) 1 (n 0 ,1,), 故得级数
1 x
x
2
x
3
1 n!
x
n
其收敛半径为

R lim
n n ! ( n 1) !
对任何有限数 x , 其余项满足
由泰勒级数理论可知, 函数 f (x) 展开成幂级数的步
骤如下 :
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim Rn ( x) 是否为
n
0.
目录 上页 下页 返回 结束
例1. 将函数
1 π 3 1 π 5 π (x ) (x ) (x ) 3! 4 5! 4 4
1 π 1 π 2 1 π 3 1 ( x 4 ) 2! ( x 4 ) 3! ( x 4 ) 2
目录 上页 下页 返回 结束
对上式两边求导可推出:
cos x 1 1 2! x
2
1 4!
x ( 1)
4
n 1
1 ( 2n) !
x
2n

目录
上页
下页
返回
结束
例3. 将函数
为任意常数 .
展开成 x 的幂级数, 其中m
解: 易求出 f (0) 1, f (0) m, f (0) m(m 1) ,
e 1 x
x
1 2!
x
2
1 n!
x ,
n
x ( , )
( 1)
n n 1
ln(1 x) x
1 2
x
2

1 3
x
3
1 4
x
4
n 1 x (1, 1]
目录 上页 下页 返回
x

结束
sin x x
x
3

2
m( m 1)
n

m( m 1) ( m n 1)
( 1n ! x 1)
目录 上页
x
n
下页
返回
结束
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例4. 将函数
解: 因为
1 1 x 1 x x (1) x ( 1 x 1 )
n
n
证明:
f ( x)

n 0
f
(n)
( x0 )
n!
( x x0 ) ,
x U ( x0 )
( x x0 )
k
令
S n 1 ( x)

k 0
n
f
(k )
( x0 )
k!
f ( x) S n 1 ( x) Rn ( x)
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
( 1 x 1 )
从 0 到 x 积分, 得
ln(1 x )
(1)
n 0
x dx
0

n 0

( 1)
n
n 1
x
n 1
, 1 x 1 1 x 1
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1 有 定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 域为 利用此题可得
2 n n
展开成 x 的幂级数.
把 x 换成 x 2 , 得
1 1 x
2
1 x x ( 1) x
2 4 n
2n

( 1 x 1 )
目录 上页 下页 返回 结束
例5. 将函数
解: f ( x)
1 1 x


(1) x
n n 0
x n n

展开成 x 的幂级数.
;
a1 f (0)
1 2!
f ( x) 2!a2 n(n 1)an x f
( n)
n2
; a2
an
f (0)
(n)
( x ) n ! an ;
1 n!
f
(0)
显然结论成立 .
目录 上页 下页 返回 结束
二、函数展开成幂级数
展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 1. 直接展开法
上页
下页
返回
结束
作业
P283 2
(2) , (3) , (5) , (6) ;
3 (2) ; 4 ; 6
第五节 目录
上页
下页
返回
结束
备用题 1. 将下列函数展开成 x 的幂级数

解:


(1) x
n n 0
n
f ( x0 ) 2!
n
f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
f
( n 1)
( x x0 )
2
f
(n)
( x0 )
n!
( x x0 )
n 1
Rn (x)
其中 Rn (x)
( )
( n 1) !
( x x0 )
( 在 x 与 x0 之间)
2
(n 1) !
3! 5!
x
n 1
n
2 n 1 1 x ( 2 n 1) !
3 5 n 1 sin x x 1 x 1 x (1)

目录
上页
下页
返回
结束
1 3 1 5 1 n 1 2 n 1 sin x x x x ( 1) x 3! 5! ( 2n 1) !
n
n
x U ( x0 )
目录
上页
下页
返回
结束
定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则
f ( x) a1 2a2 x nan x
n 1
a0 f (0)



(1)
n 0

n

2
1
n2
2
1
2n 3
( x 1) n
( 1 x 3 )
目录
上页
下页
返回
结束
内容小结
1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 . 2. 常用函数的幂级数展开式
目录 上页 下页 返回 结束
对应 m 1 , 1 ,1 的二项展开式分别为 2 2
1 x 1 1 2 x
1 2 4 x
2
1 3 246
x
3
1 3 5 2 4 6 8
x
4
( 1 x 1)
1 1 x 1
1 2
x
1 3 2 4
目录
上页
下页
返回
结束
例6. 将
展成
的幂级数.
解: sin x sin π ( x π ) 4 4
sin π cos( x π ) cos π sin( x π ) 4 4 4 4

1 2
cos( x π ) sin( x π ) 4 4

3! 5!
n 2k n 2 k 1
(k 0 , 1, 2 ,)
2 n 1 1 x ( 2 n 1) !
得级数:
n 1 3 5 x 1 x 1 x (1)

其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin( (n 1) π )
x
2

x x (1, 1)
n
m( m 1) ( m n 1)
当 m = –1 时
1 1 x
2 3
1 x x x ( 1) x , x (1, 1)
目录 上页 下页 返回 结束
n
n
思考与练习
1. 函数 数” 有何不同 ? 处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰 勒级
第四节 函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内 求和
第十二章
和函数
展开
本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数
目录 上页 下页 返回 结束
一、泰勒 ( Taylor ) 级数
复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式
若函数
该邻域内有 :
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
n
提示: 后者必需证明 lim Rn ( x) 0, 前者无此要求.
2. 如何求
提示: y
1 2
1
的幂级数 ?
1 2 cos 2 x
n
1 2
n

1
2 n 0
x
2n
(1)
,

n
1 ( 2n) !
2 n 1
(1)

4
x ( , )
( 2n) !
目录
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
目录 上页 下页 返回 结束
定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足: lim Rn ( x) 0 .
f
(n)
(0) m( m 1)(m 2) (m n 1) ,
m( m 1) 2! m( m 1) ( m n 1) n! x
n
于是得 级数 1 mx
x
2
由于
R lim
an an 1
n
lim
n 1 mn
1
n