高数同济版 幂级数
大一高数知识点总结同济版
大一高数知识点总结同济版大一高数知识点总结（同济版）高等数学作为大学的基础课程之一，在学生的学习道路上扮演着重要的角色。
同济大学编写的教材中包含了大量的高数知识点，对学生的学习提供了很好的帮助。
本文将对大一高数知识点进行总结，希望对同学们的学习有所帮助。
一、极限与连续1. 极限的概念与性质- 数列极限的定义- 函数极限的定义- 极限存在的条件- 极限的性质：加法、乘法、夹逼定理等2. 极限运算法则- 四则运算法则- 复合函数的极限运算法则- 无穷小量与无穷大量的比较3. 连续与间断- 连续函数的定义- 连续函数的性质- 间断点与间断函数二、导数与微分1. 导数的定义与运算法则- 导数的几何意义- 导数的定义及几何解释- 导数的四则运算法则- 高阶导数与高阶导数的运算2. 基本初等函数的导数- 幂函数、指数函数、对数函数的导数- 三角函数和反三角函数的导数- 反函数的导数3. 链式法则与隐函数求导- 链式法则的应用- 隐函数求导的方法与步骤4. 微分的概念与应用- 微分的定义与几何解释- 微分的基本性质- 微分的应用：极值问题、曲线的凹凸性、精确计算近似值等三、定积分与不定积分1. 定积分的概念与性质- 定积分的定义与几何意义- 定积分的性质：线性性、可加性、保号性等- 定积分的计算方法：换元积分法、分部积分法等2. 不定积分与原函数- 不定积分的定义与基本性质- 不定积分的基本公式与换元法- 特殊函数的不定积分：三角函数、指数函数、对数函数等3. 积分学基本定理与应用- 函数的积分学基本定理- 积分上限函数与导函数的关系- 定积分的应用：几何应用、平面曲线长度、曲线旋转体体积等四、级数与幂级数1. 级数的概念与性质- 数项级数的定义- 级数收敛与发散的判定方法- 级数如何进行加减乘除操作2. 幂级数的收敛半径与和函数- 幂级数的收敛半径的定义与计算- 幂级数的和函数及其性质- 幂级数的应用：泰勒级数、函数展开等以上是大一高数知识点的简单总结，希望能够帮助到同学们对高数的理解与学习。
同济版大一高数知识点
同济版大一高数知识点大一高等数学知识点（同济版）1. 数列与数列极限数列的概念：数列是按照一定顺序排列的数的集合。
数列的通项公式：表示第n项与n的关系的公式。
数列的极限：表示当n趋近于无穷大时，数列的趋势或稳定的值。
2. 函数与函数极限函数的定义：函数是一种将输入值映射到输出值的规则。
函数的极限：表示自变量趋近某个值时，函数的趋势或稳定的值。
3. 一元函数的导数与导数应用导数的定义：表示函数在某一点的瞬时变化率。
导数的计算方法：通过求极限或使用导数的基本运算法则计算。
导函数的应用：求函数在某点的切线方程、解函数的极值问题等。
4. 微分学基本定理与不定积分微分学基本定理：表示函数的微分与定积分之间的关系。
不定积分的概念：表示函数的原函数的集合。
不定积分的计算方法：通过使用积分的基本公式、换元法、分部积分等方法计算。
5. 定积分与定积分应用定积分的概念：表示函数在一定区间上曲线下的面积。
定积分的计算方法：通过使用积分的基本公式、换元法、分部积分等方法计算。
定积分的应用：求曲线与坐标轴所围成的面积、求函数的平均值等。
6. 一元函数的级数级数的概念：由数列的项按一定规律相加而得到的无穷和。
级数的性质：级数的收敛、发散及相关性质。
常见级数的处理方法：通过判断级数的性质，确定级数的和。
7. 二元函数与偏导数二元函数的定义：函数的自变量为两个变量。
偏导数的定义：表示函数变化率在某一方向上的分量。
偏导数的计算方法：通过将其他自变量视为常数，对某一自变量求导。
8. 二重积分与二重积分应用二重积分的概念：表示函数在二维区域上的累积。
二重积分的计算方法：通过使用二重积分的基本公式、极坐标系等方法计算。
二重积分的应用：求二维区域的面积、质心坐标等。
9. 无穷级数与幂级数无穷级数的概念：由数列的项按一定规律相加而得到的无穷和。
幂级数的定义：以自然数幂次递增的项相加而得到的级数。
幂级数的求和范围与收敛域：确定幂级数的求和范围以及其收敛、发散的区域。
2019年同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案11-3.doc
习题11-31. 求下列幂级数的收敛域:(1)x +2x 2+3x 3+ ⋅ ⋅ ⋅ +nx n + ⋅ ⋅ ⋅;解 11lim ||lim 1=+=∞→+∞→nn a a n n n n , 故收敛半径为R =1. 因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=1n n , 是发散的;当x =-1时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n n , 也是发散的,所以收敛域为(-1, 1).(2) )1( 21222⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅++-nx x x n n ; 解 1)1(lim 1)1(1lim ||lim 2221=+=+=∞→∞→+∞→n n n n a a n n n n n , 故收敛半径为R =1. 因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=-221)1(n n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=+1211n n, 也是收敛的, 所以收敛域为[-1, 1].(3) )2( 42 64242232⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+n x x x x n ; 解 0)1(21lim )!1(2!2lim ||lim 11=+=⋅+⋅⋅=∞→+∞→+∞→n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为R =+∞, 收敛域为(-∞, +∞).(4) 3 3332313322⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅nn n x x x x ; 解 31131lim 3)1(3lim ||lim 11=+⋅=⋅+⋅=∞→+∞→+∞→n n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为R =3.因为当x =3时, 幂级数成为∑∞=11n n , 是发散的; 当x =-3时, 幂级数成为∑∞=-11)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-3, 3). (5) 12 102522223322⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++n n x n x x x ; 解 21)1(1lim 2211)1(2lim ||lim 222211=+++=+⋅++=∞→+∞→+∞→n n n n a a n n n n n n n , 故收敛半径为21=R . 因为当21=x 时, 幂级数成为∑∞=+1211n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=+-1211)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为]21 ,21[-. (6)∑∞=++-11212)1(n n n n x ; 解 这里级数的一般项为12)1(12+-=+n x u n nn . 因为212321|1232|lim ||lim x x n n x u u n n n n n n =+⋅+=++∞→+∞→, 由比值审敛法, 当x 2<1, 即|x |<1时, 幂级数绝对收敛; 当x 2>1, 即|x |>1时, 幂级数发散, 故收敛半径为R =1.因为当x =1时, 幂级数成为∑∞=+-1121)1(n n n , 是收敛的; 当x =-1时, 幂级数成为∑∞=++-11121)1(n n n , 也是收敛的, 所以收敛域为[-1, 1]. (7)∑∞=--122212n n n x n; 解 这里级数的一般项为22212--=n n n x nu .因为22212121|)12(22)12(|lim ||lim x x n x n u u n n n n n n n n =-⋅+=-+∞→+∞→, 由比值审敛法, 当1212<x , 即2||<x 时, 幂级数绝对收敛; 当1212>x , 即2||>x 时, 幂级数发散, 故收敛半径为2=R .因为当2±=x 时, 幂级数成为∑∞=-1212n n , 是发散的, 所以收敛域为)2 ,2(-.(8)∑∞=-1)5(n n n x . 解 11lim ||lim 1=+=∞→+∞→n n a a n n n n , 故收敛半径为R =1, 即当-1<x -5<1时级数收敛, 当|x -5|>1时级数发散.因为当x -5=-1, 即x =4时, 幂级数成为∑∞=-1)1(n n n , 是收敛的; 当x -5=1, 即x =6时, 幂级数成为∑∞=11n n, 是发散的, 所以收敛域为[4, 6).2. 利用逐项求导或逐项积分, 求下列级数的和函数:(1)∑∞=-11n n nx ;解 设和函数为S (x ), 即∑∞=-=11)(n n nx x S , 则][][])([)(1010110'='='=∑⎰⎰∑⎰∞=-∞=-n x n x n n x dx nx dx nx dx x S x S)11( )1(1]111[][21<<--='--='=∑∞=x x x x n n .(2)∑∞=++11414n n n x ; 解 设和函数为S (x ), 即∑∞=++=11414)(n n n x x S , 则 dx x dx n xdx x S S x S x n n x n n x ⎰∑⎰∑⎰∞=∞=+='+='+=01401140]14[)()0()( ⎰⎰-⋅++⋅+-=--=x x dx x x dx x02204)112111211()111( )11( a r c t a n 2111ln 41<<--+-+=x x x x x . 提示: 由)0()()(0S x S dx x S x -='⎰得⎰'+=xdx x S S x S 0)()0()(.(3)⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++- 12 531253n x x x x n . 解 设和函数为S (x ), 即⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅+++=-=-∞=-∑ 12 5312)(1253112n x x x x n x x S n n n , 则 ⎰∑⎰∑⎰∞=-∞=-='-='+=x n n x n n x dx x dx n x dx x S S x S 012201120]12[)()0()( )11( 11ln 211102<<--+=-=⎰x x x dx xx . 提示: 由)0()()(0S x S dx x S x -='⎰得⎰'+=x dx x S S x S 0)()0()(.。
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
高数同济第七版-高数第十二章重点内容
第十二章基本知识点一．判断数项级数的敛散性1. 正项级数∑∞=1nn u ,当n u →0时,（1） 用比较审敛法，比较判别法的极限形式 （2） 用比值审敛法⎪⎩⎪⎨⎧=><=+∞→失效1发散1收敛1lim1ρρρρnn n u u2. 交错级数n nn u ∑∞=-1)1(,用莱布尼茨判别法，若满足以下条件， 01>≥+n n u u则收敛0lim =∞→n n u3. 任意项级数∑∞=1设n n u 为收敛级数,收敛若1∑∞=n n u ∑∞=1称n n u 绝对收敛,发散若1∑∞=n n u ∑∞=1称n n u 条件收敛4.注意：对于常用的几何级数、调和级数、P 级数，要牢记其性质，对于一些比较复杂的题，要巧用拆项相消等技巧二．幂级数求收敛半径和收敛域（讨论端点）1. 对标准型幂级数)0(0≠∑∞=n n nn a x a 先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .2.对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式) 求收敛半径时直接用比值法或根值法, 也可通过换元化为标准型再求 .三．把f(x)展开成幂级数1. 直接展开法：利用泰勒公式2. 间接展开法：利用幂级数的性质及已知展开式的函数3. 常用函数的幂级数展开式：)(!1∞<<-∞=•∑∞=x x n enn x)11()1(1)1()1(ln 111≤<--=+-=+•∑∑∞=-+∞=x x nx n x nnn n n n)()!12()1(sin 120∞<<-∞+-=•+∞=∑x x n x n n n)()!2()1(cos 20∞<<-∞-=•∑∞=x xn x nn n四．傅里叶级数1. 周期为 2π 的函数的傅里叶级数及收敛定理)sin cos (2)(1x n b x n a a x f n n n++=∑∞=)间断点(≠x⎰-=πππx x n x f a n d cos )(1...),2,1,0(=n其中⎰-=πππx x n x f b n d sin )(1...),2,1(=n注意:若0x 为间断点,则级数收敛于2)()(00+-+x f x f2. 周期为 2π 的奇、偶函数的傅里叶级数奇函数→正弦函数 偶函数→余弦函数3. 在 [0, π] 上函数的傅里叶展开 作奇周期延拓 ,展开为正弦级数 作偶周期延拓 ,展开为余弦函数4. 周期为2l 的函数的傅里叶级数展开公式=)(x f 20a()lxn b lxn a n nn ππsincos 1++∑∞= (x ≠间断点)=n a x lxn x f llld cos)(1π⎰-,...)1,0(=n 其中 =n b x lxn x f llld sin)(1π⎰-,...)2,1(=n 当f (x )为奇（偶）函数时,为正弦（余弦）级数.5.给出[-l ,l )上函数，函数展开成傅里叶级数（先做周期延拓，然后展开）。
同济版高数知识点归纳总结
同济版高数知识点归纳总结高等数学作为大学本科教育的重要学科之一，是为了培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力而设置的。
同济版高数教材作为一套广泛使用的教材，内容丰富，逻辑性强，对数学知识点进行了系统的归纳总结。
本文将以同济版高数教材为基础，对其中的知识点进行归纳总结，帮助学生更好地理解和掌握高等数学知识。
一、数集与函数1. 数集数集是高数的基础，包括实数、自然数、整数、有理数等。
实数可表示为有理数和无理数的并集，有一定的大小和次序。
2. 函数函数是一种特殊的数学关系，将自变量的每个取值与因变量的唯一取值相对应。
常见函数的类型包括线性函数、多项式函数、指数函数、对数函数等。
二、极限与连续1. 极限极限是函数研究的重要工具，用来描述函数在某一点附近的趋势。
常用的极限运算法则包括四则运算、复合函数极限、函数的极限性质等。
2. 连续连续性是函数的重要性质，连续函数具有无间断的特点。
函数的连续性可以通过极限的性质进行判断，并可以应用到函数的求导、积分等计算中。
三、导数与微分1. 导数的定义与运算法则导数代表了函数在某一点处的变化率，导数的定义通过极限来描述。
常用的导数运算法则包括四则运算、常数倍、反函数求导等。
2. 高阶导数与隐函数求导高阶导数描述了函数的变化趋势更深层次的特征，隐函数求导用于描述由含有多个变量的方程所确定的函数的导数。
四、定积分与不定积分1. 定积分的定义与性质定积分描述了曲线与横轴之间的面积或曲线的长度。
定积分的定义基于分割求和的概念，并有一系列的性质可以应用到积分计算中。
2. 不定积分的定义与基本求积公式不定积分是定积分的逆运算，表示函数的原函数。
常用的基本求积公式包括幂函数的积分、三角函数的积分、分部积分等。
五、微分方程与应用1. 一阶微分方程一阶微分方程描述了未知函数与其导数之间的关系，常用的一阶微分方程类型包括可分离变量型、齐次方程型、一阶线性微分方程型等。
2. 应用问题微分方程广泛应用于物理、化学、经济等领域，通过建立微分方程模型来解决实际问题，如人口模型、物体受力模型等。
高等数学同济下册教材目录
高等数学同济下册教材目录第一章无穷级数1.1 数项级数1.1.1 数项级数的概念1.1.2 数项级数的性质1.1.3 极限形式的级数1.2 幂级数1.2.1 幂级数的概念1.2.2 幂级数的收敛域1.2.3 幂级数的和函数1.3 函数项级数1.3.1 函数项级数的概念1.3.2 函数项级数的一致收敛性第二章傅里叶级数2.1 傅里叶级数的定义2.1.1 周期函数的傅里叶级数2.1.2 奇偶延拓的傅里叶级数2.2 傅里叶级数的性质2.2.1 傅里叶级数的线性性质2.2.2 傅里叶级数的逐项积分与逐项微分 2.2.3 傅里叶级数的逐项积分和逐项微分 2.3 傅里叶级数的收敛性2.3.1 傅里叶级数一致收敛的性质2.3.2 周期函数的傅里叶级数收敛性2.3.3 局部函数化的傅里叶级数第三章一元函数积分学3.1 定积分3.1.1 定积分的定义3.1.2 定积分的性质3.1.3 线性运算与换元积分法3.2 反常积分3.2.1 第一类反常积分3.2.2 第二类反常积分3.3 微积分基本定理3.3.1 牛顿-莱布尼茨公式3.3.2 积分求导法3.3.3 函数定积分的应用第四章多元函数微分学4.1 多元函数的极限与连续4.1.1 多元函数的极限4.1.2 多元函数的连续性4.2 多元函数的偏导数与全微分 4.2.1 多元函数的偏导数4.2.2 多元函数的全微分4.3 隐函数与参数方程的偏导数 4.3.1 隐函数的偏导数4.3.2 参数方程的偏导数第五章多元函数的积分学5.1 二重积分5.1.1 二重积分的概念5.1.2 二重积分的性质5.1.3 二重积分的计算方法5.2 三重积分5.2.1 三重积分的概念5.2.2 三重积分的性质5.2.3 三重积分的计算方法5.3 曲线积分与曲面积分5.3.1 第一类曲线积分5.3.2 第二类曲线积分5.3.3 曲面积分第六章多元函数的向量微积分6.1 多元函数的梯度、散度与旋度 6.1.1 多元函数的梯度6.1.2 多元函数的散度6.1.3 多元函数的旋度6.2 多元函数的曲线积分与曲面积分 6.2.1 多元函数的第一类曲线积分 6.2.2 多元函数的第二类曲线积分6.2.3 多元函数的曲面积分第七章序列与函数的多元极限7.1 多元函数的序列极限7.1.1 多元函数序列极限的概念7.1.2 多元函数序列极限的性质7.2 多元函数的函数极限7.2.1 多元函数函数极限的概念7.2.2 多元函数函数极限的性质第八章多元函数的泰勒展开8.1 函数的多元Taylor展开8.1.1 函数的多元Taylor展开定理 8.1.2 函数的多元Taylor展开的应用 8.2 隐函数存在定理与逆函数存在定理 8.2.1 隐函数存在定理8.2.2 逆函数存在定理第九章向量场与散度定理9.1 向量场9.1.1 向量场的定义9.1.2 向量场与流线9.2 散度与散度定理9.2.1 向量场的散度9.2.2 散度定理的概念与性质第十章曲线积分与斯托克斯定理10.1 向量值函数的曲线积分10.1.1 向量值函数的曲线积分的定义 10.1.2 向量值函数的曲线积分的计算 10.2 Stokes定理10.2.1 Stokes定理的概念与性质第十一章重积分与高斯定理11.1 二重积分与三重积分的概念11.1.1 二重积分与三重积分的定义 11.1.2 二重积分与三重积分的性质 11.2 高斯定理11.2.1 高斯定理的概念与性质第十二章序列与级数的广义极限12.1 无穷小量和无穷大量12.1.1 无穷小量的概念与性质12.1.2 无穷大量的概念与性质12.2 级数极限与广义极限12.2.1 级数极限的概念与性质12.2.2 广义极限的概念与性质第十三章多项式逼近与傅里叶级数近似13.1 约束方程组的最小二乘解13.1.1 约束方程组的最小二乘解的概念 13.1.2 约束方程组的最小二乘解的计算 13.2 多项式逼近13.2.1 多项式逼近的概念与性质13.2.2 最佳一致逼近13.3 傅里叶级数的近似13.3.1 傅里叶级数的收敛性13.3.2 傅里叶级数的部分和逼近第十四章偏微分方程初步14.1 偏导数14.1.1 偏导数的定义与性质14.1.2 高阶偏导数14.2 偏微分方程的分类与例子14.2.1 第一阶偏微分方程14.2.2 二阶线性偏微分方程14.2.3 泊松方程与拉普拉斯方程第十五章全微分方程初步15.1 微分方程的定义与解15.1.1 微分方程的概念与性质15.1.2 微分方程解的存在唯一性 15.2 一阶线性微分方程15.2.1 齐次线性微分方程15.2.2 非齐次线性微分方程15.3 可降阶的高阶线性微分方程15.3.1 可降阶的高阶线性微分方程第十六章复变函数初步16.1 复数的性质与运算16.1.1 复数的概念与性质16.1.2 复数的运算与表示16.2 复变函数的导数16.2.1 复变函数的导数的定义 16.2.2 复变函数的导数的性质 16.3 复变函数的积分16.3.1 复变函数的积分的定义 16.3.2 复变函数的积分的性质第十七章应用篇17.1 牛顿法与割线法17.1.1 牛顿迭代法17.1.2 割线法17.2 微分方程的应用17.2.1 放射性衰变方程17.2.3 流体的入口速度与出口速度之间的关系17.3 级数的应用17.3.1 泰勒级数的应用17.3.2 调和级数的收敛性与发散性希望以上内容能满足您对《高等数学同济下册教材目录》的需求，如有任何疑问或其他需求，请随时告知。
无穷级数第九节(高等数学同济七版)
n1
2
n1
n( n 1) 1 故 s( ) 8. n 2 2 n1
四、小结
１．近似计算，求不可积类函数的定积分， 求数项级数的和； ２．微分方程的幂级数的解法．(第九章介绍)
思考题
x arcsin x 利用幂级数展开式, 求极限 lim . 3 x 0 sin x
思考题解答
练习题答案
一、1 、1.0986 ； 二、0.487.
2 、0.9994.
n n x 三、 e x cos x 2 2 cos 4 n! n 0
( ,) .
2 (cos i sin ) x 4 4
( 提示: e x cos x Re e (1 i ) x Re e
2n 1 2 1 4 x cos x 1 x x ( 1)n 2! 4! (2n)! x ( ,)
1 1 x x 2 x 3 ( 1) n x n ( 1,1) 1 x n 1 2 1 3 x ln(1 x ) x x x ( 1) n1 x ( 1,1] 2 3 n
欲使 rn 10 ,
5
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而 8 8! 322560 10 5 ,
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1 1 1 e 1 1 2.71828 2! 3! 8!
x3 例2 利用sin x x 计算 sin 9 0的近似值, 3! 并估计误差. 1 3 0 解
1 x3 1 3 x5 x x 2 3 2 4 5 原式= lim 5 x 0 1 3 3 3 3 3 5 3 x x 4 3! 5!
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高等数学教材同济版目录第一章函数与极限1.1 函数的概念与性质1.1.1 函数的定义1.1.2 函数的图像与性质1.1.3 常用函数的性质介绍1.2 极限的概念与性质1.2.1 极限的定义1.2.2 极限的运算性质1.2.3 无穷小量与无穷大量1.3 函数的连续性与间断点1.3.1 连续函数的概念1.3.2 连续函数的性质1.3.3 间断点与间断函数1.4 导数与微分1.4.1 导数的定义1.4.2 导数的运算法则1.4.3 高阶导数与隐函数求导1.5 中值定理与应用1.5.1 高尔定中值定理1.5.2 柯西中值定理1.5.3 利用中值定理解决问题第二章一元函数微分学2.1 函数的极值与最值2.1.1 求函数的极值2.1.2 求函数在闭区间上的最大值与最小值2.1.3 求解优化问题的应用2.2 函数的凹凸性与拐点2.2.1 函数的单调性与凹凸性2.2.2 求函数的拐点2.2.3 凹凸函数的性质与应用2.3 不定积分2.3.1 不定积分的定义2.3.2 基本积分表与积分法2.3.3 牛顿-莱布尼茨公式与换元积分法2.4 定积分2.4.1 定积分的概念与性质2.4.2 牛顿-莱布尼茨公式与定积分的运算法则2.4.3 定积分的几何应用2.5 微分方程2.5.1 一阶常微分方程2.5.2 可降阶的高阶微分方程2.5.3 可分离变量的高阶微分方程第三章一元函数积分学3.1 定积分的计算3.1.1 分部积分法3.1.2 变量代换法3.1.3 参数方程曲线的长度与曲边梯形的面积3.2 定积分的应用3.2.1 曲线的弧长与曲率3.2.2 曲线包围的面积与体积3.2.3 质量、质心与转动惯量3.3 定积分的进一步应用3.3.1 有理函数的积分3.3.2 特殊曲线所围成的面积3.3.3 参数积分与概率密度函数第四章多元函数微分学4.1 多元函数的极限与连续性4.1.1 多元函数极限的定义4.1.2 多元函数的连续性4.1.3 多元函数连续性的充要条件4.2 偏导数与全微分4.2.1 偏导数的定义与计算法则4.2.2 隐函数与参数方程的偏导数4.3 方向导数与梯度4.3.1 方向导数的定义与计算4.3.2 梯度的定义与性质4.3.3 最速下降问题与等高线的切线方向4.4 多元函数的极值与最值4.4.1 多元函数的极值判定条件4.4.2 用拉格朗日乘数法求极值4.5 重积分4.5.1 二重积分的概念与计算4.5.2 二重积分的计算方法4.5.3 三重积分的概念与计算4.5.4 三重积分的计算方法第五章多元函数积分学5.1 曲线积分5.1.1 第一类曲线积分的定义与计算5.1.2 第二类曲线积分的定义与计算5.1.3 斯托克斯公式与格林公式5.2 曲面积分5.2.1 第一类曲面积分的定义与计算5.2.2 第二类曲面积分的定义与计算5.2.3 高斯公式与斯托克斯公式的应用5.3 多元函数应用题5.3.1 质心与转动惯量5.3.2 弹性势能与电势能5.3.3 均匀分布与热力学第六章空间解析几何6.1 空间直线与平面6.1.1 直线的方程与位置关系6.1.2 平面的方程与位置关系6.1.3 直线与平面的位置关系6.2 球面与圆锥面6.2.1 球面方程与性质6.2.2 圆锥面方程与性质6.2.3 球面与圆锥面的位置关系6.3 空间曲线与曲面6.3.1 参数曲线的切线与曲面的切平面6.3.2 空间曲线的弧长6.3.3 二次曲线与二次曲面的性质6.4 空间向量与平面直线等角问题6.4.1 向量的定义与运算法则6.4.2 空间向量的数量积与夹角6.4.3 平面直线的方向余弦与法向量第七章多元函数级数与泰勒展开7.1 级数的概念与性质7.1.1 数项级数的定义7.1.2 数项级数的收敛与发散7.1.3 数项级数的运算性质7.2 幂级数7.2.1 幂级数的收敛域与收敛半径7.2.2 幂级数的性质与运算7.2.3 幂级数的应用7.3 函数展开成幂级数7.3.1 泰勒级数的定义与性质7.3.2 函数展开成泰勒级数的条件7.3.3 函数展开成泰勒级数的例子7.4 泰勒展开的应用7.4.1 高阶导数与泰勒展开7.4.2 函数的逼近与误差估计7.4.3 三角函数的傅里叶展开这是一个关于《高等数学教材同济版》的目录，它共包含七个主要章节，每个章节又分为若干小节，全面而系统地介绍了高等数学的各个知识点和概念。
同济高等数学第五版教材
同济高等数学第五版教材同济高等数学第五版教材是一本经典的数学教材，在国内外享有很高的声誉。
本教材全面系统地介绍了高等数学的基本概念、定理、公式及其应用，极大地方便了学生对数学知识的学习与掌握。
下面我将从教材的结构、内容特点以及应用示例三个方面来进行介绍。
一、教材结构同济高等数学第五版教材共分为五个主要部分，分别为微积分、无穷级数、多元函数微分学、重积分与坐标系、曲线与曲面积分。
1. 微积分部分主要介绍导数与微分、定积分、微分方程等内容，着重培养学生对函数与曲线的分析与计算的能力。
2. 无穷级数部分介绍幂级数、傅里叶级数等，通过学习这些级数的性质和应用，拓宽了学生的数学视野。
3. 多元函数微分学部分主要介绍多元函数的连续、可导、偏导数以及方向导数等，为进一步学习多元函数的积分奠定了基础。
4. 重积分与坐标系部分介绍了重积分、坐标系的转化以及重积分的应用，培养学生解决实际问题的能力。
5. 曲线与曲面积分部分介绍了曲线积分、曲面积分以及格林公式、高斯公式等，为学生理解与应用这些数学工具提供了充足的素材。
二、内容特点同济高等数学第五版教材具有以下几个内容特点：1. 具有逻辑性与体系性：教材内容从基础概念出发，逐步展开，层层深入，构建起完整的数学体系。
2. 理论与实践相结合：教材不仅介绍了基本概念和定理，还给出了大量的例题和应用示例，使学生能够将所学的数学知识应用到实际问题中去。
3. 严谨而精炼：教材的表述准确简练，每一章节内容都经过精心编排，使学生能够快速抓住重点，深入理解。
4. 强调数学思想与方法：教材注重培养学生的数学思维能力和解决实际问题的能力，通过大量例题和应用示例的训练，帮助学生掌握数学的基本思想和方法。
三、应用示例同济高等数学第五版教材以应用示例为特色，充分展示了数学在各个领域的应用。
比如在微积分部分，教材通过应用示例讲解了如何求函数的最大值和最小值，解决实际中的优化问题；在多元函数微分学部分，教材使用应用示例介绍了如何求函数在给定点的方向导数，以及如何利用多元函数求解约束问题等。