二维离散付立叶变换及其性质
二维离散傅里叶变换计算过程
二维离散傅里叶变换计算过程二维离散傅里叶变换（2D DFT）是一种将二维离散信号转换为频域表示的数学工具。
它是离散傅里叶变换在二维空间上的推广，可以用于图像处理、信号处理和通信等领域。
在本文中，我们将介绍二维离散傅里叶变换的计算过程。
我们需要了解离散傅里叶变换（DFT）的基本概念。
DFT是一种将离散信号转换为频域表示的技术，它可以将一个长度为N的离散信号转换为长度为N的复数序列。
在二维情况下，DFT可以将一个二维离散信号转换为一个二维复数序列。
二维离散傅里叶变换的计算过程可以分为以下几个步骤：1. 输入二维离散信号我们需要输入一个二维离散信号。
这个信号可以是一个图像或者一个二维数据矩阵，其中每个元素代表信号在相应位置的幅度。
2. 对每个元素进行加权和在二维离散傅里叶变换中，我们需要对每个元素进行加权和操作。
加权和的计算公式为：X(k, l) = Σ Σ x(n, m) * e^(-i*2π*(nk/N + lm/M))其中，X(k, l)代表频域中的一个点，x(n, m)代表原始信号中的一个点，N和M分别为信号的宽度和高度，k和l为频域中的坐标，e为自然对数的底数。
3. 计算频域表示通过对每个元素进行加权和操作，我们可以计算得到频域表示。
频域表示是一个二维复数序列，其中每个元素代表信号在频域中的幅度和相位。
4. 可视化频域表示为了更好地理解信号在频域中的表示，我们可以对频域表示进行可视化。
可以使用图像或者矩阵的形式来展示频域表示，其中颜色或者灰度值表示幅度，相位可以通过颜色的变化或者箭头的方向表示。
二维离散傅里叶变换的计算过程与一维离散傅里叶变换类似，只是在计算加权和时需要考虑两个方向的变化。
通过计算二维离散傅里叶变换，我们可以将一个二维离散信号转换为频域表示，从而可以进行频域处理，如滤波、压缩和特征提取等操作。
总结起来，二维离散傅里叶变换是一种将二维离散信号转换为频域表示的数学工具。
它的计算过程包括输入二维离散信号、对每个元素进行加权和、计算频域表示和可视化频域表示。
[数字信号处理]离散傅里叶变换及其性质
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[数字信号处理]离散傅⾥叶变换及其性质DFT定义
离散傅⾥叶变换的公式如下
X(k)=N−1
∑
n=0x(n)W nk N
其中W n是单位根,定义如下
W N=e−j 2πN
逆变换如下
x(n)=1
N
N−1
∑
k=0X(k)W−nk
N
性质
线性
如果有x1(n)和x2(n)两个有限长序列,长度分别为N1和N2,且
y(n)=ax1(n)+bx2(n),(a,b为常数)取变换区间长度N=[N1,N2]max
X1(k)=DFT[x1(n)]N;X2(k)=DFT[x2(n)]N 则y(n)的N点DFT为
Y(k)=DFT[y(n)]N=aX1(k)+bX2(k)循环移位性质
设x(n)为有限长序列,长度为M,则x(n)的循环移位定义为
y(n)=x((n+m))N R N(n)
如果⼀个序列移位之后,⼀些样值被移到了起始点前⾯,那他实际上会在后⾯再补回来,实际的顺序并没有变.
频域循环移位定理
如果X(k)=DFT[x(n)]N
Y(k)=X((k+l))N R N(k)
则y(n)=IDFT[Y(k)]N=W nl N x(n)
循环卷积定理
如果x_1(n)和x_2(n)是两个有限长序列,长度分别为M1和M2,且取循环卷积区间长度L≥max[M1,M2]
X1(k)是x1(n)的L点DFT
X2(k)是x2(n)的L点DFT
如果y(n)=x1(n)∗x2(n)=[∑L−1
m=0
x1(m)x2((n−m))L]R L(n),
那么他的的DFT为Y(k)=X1(k)X2(k)
Processing math: 100%。
一维与二维离散傅里叶变换的表达式
一维与二维离散傅里叶变换的表达式离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）是信号处理领域中一种非常重要的工具，它可以将时域中的信号转换到频域中，从而可以对信号进行频谱分析、滤波和压缩等操作。
在离散傅里叶变换中，一维和二维信号分别有着不同的表达式，下面我们将分别对一维和二维离散傅里叶变换的表达式进行讨论。
一维离散傅里叶变换的表达式：假设有长度为N的一维离散信号x(n)，其离散傅里叶变换表达式为：X(k) = Σ[n=0 to N-1] x(n)⋅e^(-j2πkn/N)其中，n表示时域信号的离散序号，k表示频域信号的离散序号，j为虚数单位。
X(k)表示频域的复数值，可以分别取出实部和虚部进行频谱分析，其中实部表示正频率成分，虚部表示负频率成分。
二维离散傅里叶变换的表达式：假设有大小为M×N的二维离散信号f(m, n)，其离散傅里叶变换表达式为：F(u, v) = Σ[m=0 to M-1] Σ[n=0 to N-1] f(m, n)⋅e^(-j2π(um/M + vn/N))其中，m和n分别表示二维信号在水平和竖直方向的离散序号，u和v分别表示频域信号在水平和竖直方向的离散序号。
F(u, v)同样表示频域的复数值，可以进行频谱分析。
以上是一维和二维离散傅里叶变换的基本表达式，通过这些表达式，我们可以将时域信号转换到频域中进行分析和处理。
对于实际应用中的信号处理、图像处理等问题，离散傅里叶变换提供了一种非常强大的工具，可以对信号进行频谱分析、滤波、压缩等操作，有着广泛的应用前景。
需要注意的是，离散傅里叶变换的计算复杂度较高，特别是在二维信号处理中更是如此。
为了提高计算效率，通常会使用快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）算法来计算离散傅里叶变换，FFT算法能够将离散傅里叶变换的计算复杂度从O(N^2)降低到O(NlogN)，大大提高了计算效率。
傅里叶变换——精选推荐
傅⾥叶变换傅⾥叶变换实现图像变换的⼿段有数字和光学两种形式，它们分别对应⼆维离散和连续函数运算。
数字变换在计算机中进⾏，提⾼运算速度是这种⽅式的关键。
常⽤的有三种变换⽅法。
①傅⾥叶变换。
②沃尔什-阿达玛变换。
③离散卡夫纳－勒维变换。
其中傅⾥叶变换是应⽤最⼴泛和最重要的变换。
它的变换核是复指数函数，转换域图像是原空间域图像的⼆维频谱，其“直流”项与原图像亮度的平均值成⽐例，⾼频项表征图像中边缘变化的强度和⽅向。
为了提⾼运算速度，计算机中多采⽤傅⾥叶快速算法。
它是⼀种便于运算的变换。
变换核是值+1或-1的有序序列。
这种变换只需要作加法或减法运算,不需要象傅⾥叶变换那样作复数乘法运算,所以能提⾼计算机的运算速度，减少存储容量。
这种变换已有快速算法，能进⼀步提⾼运算速度。
它是以图像的统计特性为基础的变换，⼜称霍特林变换或本征向量变换。
变换核是样本图像的协⽅差矩阵的特征向量。
这种变换⽤于图像压缩、滤波和特征抽取时在均⽅误差意义下是最优的。
但在实际应⽤中往往不能获得真正协⽅差矩阵，所以不⼀定有最优效果。
它的运算较复杂且没有统⼀的快速算法。
可以⽤它完成图像分析、图像增强及图像压缩等⼯作。
⼀、离散傅⾥叶变换1.1、⼀维离散傅⾥叶变换对于有限长序列)1,,1,0)((-=N x x f ，定义⼀维离散傅⾥叶变换对如下：[]1,1,0)()()(1-===∑-=N u x f x f DFTu F N x uxW（1-1）[]1,1,0)(1)()(1-===∑-=-N x Wu F Nu F IDFTx f N u ux（1-2）式中，NjeW π2-=，称为变换核。
由上式可见，给定序列)(x f ，可以求出其傅⾥叶谱)(u F ；反之亦然。
因此离散傅⾥叶变换对可以简记为)()(u F x f ?。
)(u F ⼀般可以写成为复数形式： )()()(u j eu F u F ?= （1-3）其中，称)(u F 为傅⾥叶幅度谱，)(u ?为相位谱。
离散傅立叶变换(DFT)的性质
例：求序列：x(n) = (n)+2 (n-1)+ 3(n-2)+4 (n-3) 的4点DFT。 N 1
X ( k ) DFT[ x( n)] x( n)W4nk
n 0 3
nk x ( n ) W N n 0
(0 k N 1)
( 0 k 3)
1 2W4k 3W42 k 4W43k
* 又据Xep(k)的对称性： X ep (k ) X ep (( N k )) N RN (k )
X (k ) X (( N k )) N RN (k )
*
当x(n)为纯虚序列时，根据特性之四，则
X(k)=Xop(k)
* 又据Xop(k)的对称性： X op (k ) X op (( N k )) N RN (k )
选择N max 补零达到N点。
N1 , N 2 为变换长度,短者进行
二、序列的圆周移位 1.定义 一个有限长序列x(n)的圆周移位定义为
xm ( n) xn m N RN n
这里包括三层意思： (1) 先将x(n)进行周期延拓
(2)再进行移位
~ x (n m) xn m N
n ( N 1 )
nk * x ( n ) W N ]
nk * [ x ( n)W N ] X * (( k )) N RN ( k )
x * (( n)) N RN ( n) X * ( k )
5.共轭对称特性之三
Re[ X (k )] j Im[ X (k )]
例：设x1(n)和x2(n)都是N点的实数序列，试用一次 N点DFT运算来计算它们各自的DFT:
DFT [ x1 (n)] X 1 (k )
关于二维离散傅里叶变换的总结
前段时何看了很多的概念和知识，发现因为肚走马观花的过了一遍，所以看得稀里糊涂的，然后许多地方混淆了概念，特别足关丁•图像频率域的部分的理解(包括图像频率域:虑波Z类的)，所以下而总结一下这段时间重新看《数字图像处理》(电子工业出版社，Matlab木科教学版)第三帝垂新收获的关于频率域的理解.首先，我们要明确的概念定空间域和频率域，我们通过unread慚数得到的一幅图像(基本上也出我们平时说的图像)，足处任空间域的，也就於说用f(x,y)衣征的某一点的灰度值(或者出单色图像中某一点的亮度)的这种形式，就兄在空间域里而.那么什么是图像的频率域呢？理解了图像的频率的概念，就不难理解频率域。
我个人理解足这么类比的，图像町以看成足一个特殊的二维的信号，然后某一点的灰嗖级，其实就是图像信号上这一点的"幅度“，那么根据信号的概念.频率就是信弓变化的快慢.这样就好理解了，所谓的频率也就於这个图空间上的灰度变换的快慢•或者於叫图像的梯度变化，什么地方梯度频率比较大呢？这在图像中1‘1然於“边界"比较大. 举个例子来讲，如果一幅图蔡体变化不大(比如说足一面墙的图)，那么他在频率域下低频成分就很多，而高频成分就极少。
而显然如果是一幅国际象棋棋盘，他的高频成分相对刚才那幅墙的图片来说，肯定参得然后从图像域变换到频率域.我们用的函数就足大名抽时的二维离散傅里叶变换了：令f(x,y)表示一幅大小为MXN像素的数字图像，其中，x=0,仁2……M-1, y=0, 1. 2……N-1,由F(u, v)表示的f(x, y)的二维离散傅里叶变换(DFT)由下式给出：Af —1 N_1 F(u,v) = 乂工皿刃严咛刊x=0 y=0 式子当中，u也足属于0到M-1.VW于0到N-仁频率域就足属于u, v作为频率变呈.由F(u, v)构成的坐标系，这块MXN的区域我们通常称为频率矩形，很明显频率矩形的大小和输入图像的大小柑同。
二维傅里叶变换与逆变换
二维傅里叶变换与逆变换二维傅里叶变换和逆变换是信号处理中最重要的技术之一，是将时域信号转化为频域信号的过程。
本文将对二维傅里叶变换和逆变换进行详细介绍，包括定义、性质、计算方法等内容。
二维傅里叶变换是将二维信号（如图像）从时域转换到频域的数学方法。
它将一个以二维数组表示的时域信号转换成一个以复数二维数组表示的频域信号，该频域信号表示了该信号的频率分量和其强度。
二维傅里叶变换的基本定义为：$F(u,v)=\iint_{-\infty}^{\infty}f(x,y)e^{-i2\pi(ux+vy)}dxdy$$f(x,y)$为二维时域信号，$F(u,v)$为二维频域信号，$u$和$v$为频率变量，$i$为虚数单位。
二维傅里叶变换具有很多重要的性质，这些性质对于理解和应用二维傅里叶变换非常重要。
下面列举了二维傅里叶变换的一些重要性质：1. 线性：二维傅里叶变换是线性的，也就是说，如果$f_1(x,y)$和$f_2(x,y)$是两个二维函数，$a$和$b$是常数，则有$F(a f_1(x,y)+b f_2(x,y)) = aF(f_1(x,y)) +bF(f_2(x,y))$。
3. 对称性：如果$f(x,y)$是一个实函数，则$F(u,v)$是关于$u=0$和$v=0$对称的，即$F(u,v)=F(-u,-v)$。
4. 拉普拉斯变换：二维傅里叶变换是拉普拉斯变换在两个变量上的推广。
当$f(x,y)$是一个实函数时，$F(u,v)$可以表示为$f(x,y)$的拉普拉斯变换，即$F(u,v)=\mathcal{L}\{f(x,y)\}$。
三、二维傅里叶变换的计算方法计算二维傅里叶变换需要进行积分，这往往比较麻烦和复杂。
通常使用离散傅里叶变换（DFT）方法进行计算。
DFT方法是通过将二维信号离散化为一个有限的二维数组，并计算该数组的离散傅里叶变换来实现的。
通常使用快速傅里叶变换（FFT）算法来计算DFT。
FFT算法可以在$O(Nlog_{2}N)$的时间复杂度内计算一个$N*N$矩阵的离散傅里叶变换，其中$N$通常是$2$的幂次。
第3章--离散傅里叶变换(DFT)
设x(n)是一种长度为M旳有限长序列， 则定义x(n)旳N点
离散傅里叶正变换为
N 1
j 2 nk
X (k ) DFT[x(n)] x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
离散傅里叶逆变换为
离散傅里叶变换对
x(n)
IDFT[ X (k )]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k )e N
3.2 离散傅里叶变换旳基本性质
1 线性性质 假如x1(n)和x2(n)是两个有限长序列，长度分别为N1和N2。 y(n)=ax1(n)+bx2(n) 式中a、 b为常数， 即N=max［N1, N2］，
则y(n)旳N点DFT为 Y(k)=DFT［y(n)］=aX1(k)+bX2［k］, 0≤k≤N-1(3.2.1) 其中X1(k)和X2(k)分别为x1(n)和x2(n)旳N点DFT。 若N1<N2，则N=N2,那么需将x1(n)补上N2-N1个零值点后变
k 2 k f f s k
N
N
以上所讨论旳三种频率变量之间旳关系，在对模 拟信号进行数字处理以及利用模拟滤波器设计数 字滤波器乃至整个数字信号处理中十分主要，望 同学们高度注重。
第三章 离散傅里叶变换DFT
3.1.2 DFT旳隐含周期性------ DFT与 DFS旳关系
DFT变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列,但因为WknN旳周
第三章 离散傅里叶变换DFT
例2 ： x(n) R8 (n)，分别计算x(n)旳8点、16点DFT。
解: x(n)旳8点DFT为
X (k)
7 n0
R8 (n)W8k n
7 j2k n
傅立叶变换的性质及其在工程中的应用
傅立叶变换的性质及其在工程中的应用傅立叶变换是一种非常重要的数学工具，它可以将一个信号从时间域转换到频率域，使我们能够在分析和处理信号时更加方便和有效。
本文将介绍一些傅立叶变换的基本性质，以及它在工程中的一些应用。
一、傅立叶变换的基本性质傅立叶变换有许多基本性质，其中最重要的是线性性和位移性。
1. 线性性傅立叶变换具有线性性质，即对于任意两个函数 f(x) 和 g(x)，以及任意的常数 a 和 b，有如下的线性关系：F[af(x) + bg(x)] = aF[f(x)] + bF[g(x)]其中 F 表示傅立叶变换操作符。
这个性质是在信号处理中非常常见的，因为常常需要对多个信号进行加权合并操作，然后再对合并后的信号进行处理。
2. 位移性傅立叶变换还具有一种重要的位移性质，即对于任意一个函数f(x)，有如下的位移公式：F[f(x-a)] = e^(-2πiak) F[f(x)]其中 k 是频率，a 是位移量。
这个公式告诉我们，在时域中对信号进行平移操作，相应的在频域中也会发生变化。
这种性质可以帮助我们更加精确地确定信号中的某一部分的频率成分。
二、傅立叶变换在工程中的应用傅立叶变换在工程中有许多应用，下面我们将介绍几个常见的应用。
1. 信号分析信号分析是傅立叶变换最常见的应用之一。
通过将信号从时间域转换到频率域，我们可以更加清晰地了解信号的频率成分和振幅特征，进而更好地进行信号处理和调节。
例如，在音频处理中，我们可以使用傅立叶变换来将音频信号转换到频率域，在频率域中发现音频信号中存在的噪声、谐波以及其他频率成分，从而进行相应的降噪、去除、调节等操作。
2. 通信系统傅立叶变换在通信系统中也有广泛的应用。
例如，我们可以使用傅立叶变换来分析和处理调制信号，对于一个复制信号进行傅立叶变换，可以将其表示为由若干个频率成分组成的信号，从而清楚地了解每个成分的贡献以及相应的处理方法。
3. 图像处理傅立叶变换也常常用于图像处理。
离散傅里叶变换的基本性质
x4 (l)WNkl/ 4
i0
i0
x3(k ) WNk /2 X 4 (k ), k 0,1, N / 2 1
式中
N / 41
x3(k)
x3(l)WNkl/ 4 DFT [x3(l)]
i0
N / 41
x4(k)
x4 (l)WNkl/ 4 DFT [x4 (l)]
第二节 快速傅里叶变换
一、离散傅里叶变换 （一）离散傅里叶变换的定义 （二）离散傅里叶变换的基本性质 （三）频率域采样
DFT要解决两个问题： 一是离散化(有利于计算机处理)； 二是快速运算(提高实时性)。
傅氏变换
离散化
信号处理
DFT(FFT)
（一）离散傅里叶变换的定义
DFT的定义： 设x(n)是一个长度为M的有限长序列，则定义x(n)的N
例如，N=210=1024时，DFT与FFT运算量之比为：
N2
1048576 204.8
(N / 2) log2 N 5120
FFT算法与直接计算DFT所需乘法次数的比较曲线
4. DIT―FFT的运算规律及编程思想 （1）原位计算 由图可以看出，DIT-FFT的运算过程很有规律。
N=2M点的FFT共进行M级运算，每级由N/2个蝶形运 算组成。
A(5 )
A(6 )
W
0 N
A(7 )
W
2 N
A(0 )
A(1 )
A(2 )
A(3 )
A(4 )
W
0 N
A(5 )
W
1 N
A(6 )
W
2 N
A(7 )
W
3 N
N点DIT―FFT运算流图(N=8)