高中数学分析几何椭圆性质与定义.doc
高中数学知识点精讲精析 椭圆的简单性质
1.2 椭圆的简单性质1．我们把定值e=c/a(0<e<1) 叫做椭圆的离心率。
当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而b 越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，从而b 越接近于a ，椭圆越接近于圆。
可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量。
2．．椭圆的顶点：曲线与坐标轴的交点叫做曲线的顶点。
同时我们把AA1,BB1分别叫做椭圆的长轴和短轴。
另外我们将a,b 叫半长轴长和半短轴长。
3．椭圆的范围：椭圆位于一个矩形内。
4．椭圆的对称性：椭圆既关于坐标轴对称，又关于原点对称。
1 设x ，R ∈y ，x y x 63222=+，求x y x 222++的最大值和最小值．分析：本题的关键是利用形数结合，观察方程x y x 63222=+与椭圆方程的结构一致．设m x y x =++222，显然它表示一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值．【解析】由x y x 63222=+，得123492322=+⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-y x 可见它表示一个椭圆，其中心在⎪⎭⎫ ⎝⎛023，点，焦点在x 轴上，且过（0，0）点和（3，0）点．设m x y x =++222，则()1122+=++m y x 它表示一个圆，其圆心为（－1，0）半径为()11->+m m ．在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示．观察图形可知，当圆过（0，0）点时，半径最小，即11=+m ，此时0=m ；当圆过（3，0）点时，半径最大，即41=+m ，∴15=m ．∴x y x 222++的最小值为0，最大值为15．2 已知椭圆()012222>>=+b a by a x C ：，A 、B 是其长轴的两个端点． （1）过一个焦点F 作垂直于长轴的弦P P '，求证：不论a 、b 如何变化，120≠∠APB ． （2）如果椭圆上存在一个点Q ，使120=∠AQB ，求C 的离心率e 的取值范围． 分析：本题从已知条件出发，两问都应从APB ∠和AQB ∠的正切值出发做出估计，因此要从点的坐标、斜率入手．本题的第（2）问中，其关键是根据什么去列出离心率e 满足的不等式，只能是椭圆的固有性质：a x ≤，b y ≤，根据 120=∠AQB 得到32222-=-+ay x ay ，将22222y b a a x -=代入，消去x ，用a 、b 、c 表示y ，以便利用b y ≤列出不等式．这里要求思路清楚，计算准确，一气呵成．【解析】（1）设()0，c F ，()0，a A -，()0，a B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎩⎨⎧=+=a b c P ba y a xbc x 2222222， 于是()a c a b k AP +=2，()a c ab k BP -=2． ∵APB ∠是AP 到BP 的角．∴()()()2222242221tan c a a c a b a c a b a c a b APB -=-++--=∠ ∵22c a >∴2tan -<∠APB 故3tan -≠∠APB ∴ 120≠∠APB ．（2）设()y x Q ，，则a x y k QA +=，ax y k QB -=． 由于对称性，不妨设0>y ，于是AQB ∠是QA 到QB 的角． ∴22222221tan a y x ay a x y a x y a x y AQB -+=-++--=∠ ∵ 120=∠AQB ， ∴32222-=-+ay x ay 整理得()023222=+-+ay a y x ∵22222y b a a x -= ∴0213222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-ay y b a ∵0≠y ， ∴2232cab y = ∵b y ≤， ∴b cab ≤2232 232c ab ≤，()222234c c a a ≤-∴04444224≥-+a c a c ，044324≥-+e e ∴232≥e 或22-≤e （舍），∴136<≤e ． 3 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．【解析】当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12． 由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．4 已知椭圆142222=+by b x 上一点P 到右焦点2F 的距离为b )1(>b ，求P 到左准线的距离．分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解．解法一：由142222=+by b x ，得b a 2=，b c 3=，23=e ． 由椭圆定义，b a PF PF 4221==+，得b b b PF b PF 34421=-=-=． 由椭圆第二定义，e d PF =11，1d 为P 到左准线的距离， ∴b e PF d 3211==，即P 到左准线的距离为b 32．解法二：∵e d PF =22，2d 为P 到右准线的距离，23==a c e ， ∴b e PF d 33222==． 又椭圆两准线的距离为b c a 33822=⋅． ∴P 到左准线的距离为b b b 32332338=-． 说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性．否则就会产生误解． 椭圆有两个定义，是从不同的角度反映椭圆的特征，解题时要灵活选择，运用自如．一般地，如遇到动点到两个定点的问题，用椭圆第一定义；如果遇到动点到定直线的距离问题，则用椭圆的第二定义．5 设椭圆⎩⎨⎧==.sin 32,cos 4ααy x (α为参数)上一点P 与x 轴正向所成角3π=∠POx ，求P 点坐标．分析：利用参数α与POx ∠之间的关系求解．【解析】 设)sin 32,cos 4(ααP ，由P 与x 轴正向所成角为3π， ∴ααπcos 4sin 323tan =，即2tan =α． 而0sin >α，0cos >α，由此得到55cos =α，552sin =α， ∴P 点坐标为)5154,554(．。
高三数学知识点椭圆双曲线
高三数学知识点椭圆双曲线高三数学知识点：椭圆与双曲线椭圆与双曲线是高中数学中重要的几何概念之一，它们在代数几何中有着广泛的应用。
本文将重点介绍椭圆和双曲线的基本定义和性质，并讨论它们的图像、方程和几何意义。
一、椭圆的定义和性质椭圆是平面上一点到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离称为椭圆的焦距。
椭圆还有一个重要的性质，即椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
椭圆的标准方程为：(x-a)²/b² + (y-c)²/d² = 1，其中(a, c)为椭圆的中心坐标，b和d分别为短轴和长轴长度。
根据椭圆的方程，我们可以确定椭圆的图像和位置。
椭圆还有其他一些重要的性质，如离心率和焦半径等。
离心率是一个表示椭圆形状的重要指标，它的值介于0和1之间。
当离心率接近0时，椭圆形状趋近于圆形；当离心率接近1时，椭圆形状趋近于长条形。
二、双曲线的定义和性质双曲线是平面上满足一点到两个给定点的距离之差等于常数的点的集合。
这两个给定点称为双曲线的焦点，两个焦点之间的距离称为双曲线的焦距。
双曲线还有一个重要的性质，即双曲线上任意一点到两个焦点的距离之差等于双曲线的常数项。
双曲线的标准方程有两种形式：(x-a)²/b² - (y-c)²/d² = 1 和 (y-c)²/d² - (x-a)²/b² = 1，其中(a, c)是双曲线的中心坐标，b和d分别为短轴和长轴长度。
根据双曲线的方程，我们可以确定双曲线的图像和位置。
双曲线也有离心率和焦半径等重要性质。
与椭圆不同的是，双曲线的离心率大于1，表明双曲线的形状更加扁平。
双曲线还有两条渐近线，它们与双曲线的曲线趋势完全相同。
三、椭圆和双曲线的几何意义椭圆和双曲线有着重要的几何意义和应用。
在椭圆和双曲线的研究中，我们可以探索许多有趣的性质和结论。
2.2.2椭圆的几何性质1(高二数学精品课件)
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
结论 ：通过上面的分析,我们得到判断曲线 是否对称的方法：
以－x代换x,若方程不变,则曲线关于y轴对称；若以
-y代换y,方程不变,曲线关于x轴对称;
同时以－ x代换x,以－ y代换y,方程不变,则方 程关于坐标原点对称.
二、椭圆
简单的几何性质
1 b2
1得：
-b≤y≤b 知
椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2
A1
F1
b
oc
a
A2
F2
B1
椭圆的对称性
Y
P1（-x，y）
P（x，y）
O
X
P2（-x，-y）
2、对称性：
从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称。 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称；
长半轴长为a,短 半轴长为b. a>b
e c a
a2=b2+c2
x2 b2
y2 a2
1(a
b
0)
|x|≤ b,|y|≤ a
同前 (b,0)、(-b,0)、 (0,a)、(0,-a) (0 , c)、(0, -c)
同前
同前
同前
例1已知椭圆方程为9x2+25y2=225,
它的长轴长是： 10 。短轴长是： 6 。
(1) x2 y2 1
32
(2)
x2 y2 1 36 100
(3) 16x2+25y2=400
椭圆方程及几何性质
参数θ表示椭圆上的点与椭圆中心的角度，通过改变θ的值，可以描述椭圆上点的运动 轨迹。
参数方程的应用和几何意义
应用
参数方程在数学、物理、工程等多个领 域都有广泛应用，特别是在处理复杂的 几何形状和运动轨迹时，参数方程能够 提供更直观和简洁的表示方法。
VS
几何意义
参数方程的几何意义在于将曲线上点的坐 标表示为参数的变化，从而将曲线的几何 性质转化为参数的变化性质，有助于深入 理解曲线的几何特性。
椭圆的顶点和焦点
定义
椭圆的顶点是椭圆与坐标 轴的交点，焦点是用于确 定椭圆位置的两个点。
解释
顶点位于边界线上，而焦 点位于椭圆内部。
应用
利用椭圆的顶点和焦点可 以确定椭圆的位置和大小。
03
椭圆的几何性质
椭圆的直径和弦
直径
连接椭圆上任意两点的线段被称为直 径，其长度等于椭圆的长轴或短轴。
弦
通过椭圆中心的线段与椭圆的交点形 成的线段被称为弦。
04
椭圆的极坐标表示
极坐标与直角坐标的转换
极坐标与直角坐标的转换公式：$x = rhocostheta, y = rhosintheta$，其 中$rho$为极径，$theta$为极角。
通过转换公式，可以将椭圆的直角坐 标方程转化为极坐标方程，便于理解 和分析。
椭圆的极坐标方程
椭圆的极坐标方程为 $frac{rho^2cos^2theta}{a^2} + frac{rho^2sin^2theta}{b^2} = 1$， 其中$a$和$b$分别为椭圆的长半轴和 短半轴。
椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数，这个常 数等于两个半轴长度之和，即 $a + b$。
高中数学椭圆课件
题目4
已知椭圆上任意一点P与椭圆中心O的距离为d， 求点P到椭圆两个焦点的距离之差的绝对值。
答案3
根据椭圆的性质，焦点到椭圆上任意一点的距离 的最小值为半短轴b。已知这个距离的最小值为4 ，可以得出半短轴b=4。由于没有给出半长轴a的 具体数值，所以无法确定椭圆的标准方程。
注意事项：避免常见错误和陷阱
方程形式
注意椭圆的标准方程形式，不要混淆不同的形式 。
焦点位置
注意焦点的位置，有时题目中没有明确指出焦点 的位置，需要自己判断。
参数范围
在解题时，要注意参数的范围，不要超出范围进 行计算。
单位长度
在计算时，要注意单位长度的一致性，不要出现 单位不匹配的情况。
06
椭圆的练习题与答案解析
已知椭圆的一个焦点到 椭圆上任意一点的距离 和为10，求椭圆的标准 方程。
根据椭圆的定义，任意 一点到两个焦点的距离 之和为常数，这个常数 等于长轴的长度。已知 这个距离和为10，可以 得出半长轴a=5。由于 没有给出半短轴b的具 体数值，所以无法确定 椭圆的标准方程。
提高练习题：挑战更高难度
题目3
椭圆的准线与焦点
定义
椭圆的准线是指与椭圆焦点距离 相等的点所在的直线。
性质
准线与椭圆相交于四个点，这四 个点称为椭圆的焦点。焦点到椭 圆中心的距离称为焦距。
03
椭圆的方程求解方法
直接法求解椭圆方程
定义椭圆
根据椭圆的定义，确定椭圆的标准方程。
确定参数
根据椭圆的标准方程，确定参数a、b、c的值。
求解方程
高中数学椭圆课件
目
CONTENCT
2.2.2椭圆的简单几何性质
知识巩固 1. 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构 成一个正三角形，则该椭圆的离心率 是
3 2
.
书本47页例6
新知探究 1.对于椭圆的原始方程,
(x + c) + y + (x - c) + y = 2a
2 2 2 2
变形后得到 a - cx = a (x - c) + y ,
（x-c）+ y
2 2
A1(-a,0)
F1
o
︱
F2
A2(a,0)x
B2(0,-b)
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。
长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴。
长轴长：2a，短轴长：2b。 a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.对称性
x y 2 1(a b 0) 2 a b
②当c=-25时直线m’与椭圆的交点P’到直线l的距离最大， 40 25 65 41 9 此时 P(4,- ), d最大 5 41 42 52 9 15 41 所以，椭圆上点 P(-4, )到直线l的最小距离为 ， 5 41 9 65 41 点P(4,- )到直线l的最大距离为 . 5 41
(3)已知椭圆的两个焦点为F1、F2，A为椭圆上一 点，且 AF1 AF2 0，∠AF2F1＝60°,求该椭圆的离 心率．
题型四：直线与椭圆的位置关系
例1.已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.当直线和椭圆 有公共点时，求实数m的取值范围．
老师你双11怎么过~
2 y2 x 练1.已知椭圆C： 1及直线L:y＝2x＋m.求当m取 4 2
一.复习
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a （2a>|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 的焦点,两个焦点的距离叫做焦距2c.
高二椭圆知识点总结
高二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
具体来说，设两点为F₁和F₂，距离之和为常数2a，那么椭圆E的定义：E = {P∈R² | |PF₁| + |PF₂| = 2a}其中，P为椭圆上的点，F₁和F₂为两个固定点，a为椭圆的半长轴。
1.2 椭圆的几何性质椭圆有如下几何性质：（1）椭圆的离心率：椭圆的形状由离心率e来表征。
（2）椭圆的焦点：椭圆的两个焦点分别为F₁和F₂。
（3）椭圆的半长轴和半短轴：半长轴为椭圆的长轴的一半，半短轴为椭圆的短轴的一半。
1.3 椭圆和圆的关系可以看到，当两个焦点重合时，椭圆变成了圆。
这也说明圆是椭圆的一种特殊情况，也就是说圆是椭圆的特例。
二、椭圆的方程和性质2.1 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
2.2 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，θ为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
2.3 椭圆的性质椭圆有许多重要的性质，如焦点、离心率、长轴、短轴等。
椭圆的性质对于解析几何的学习非常重要。
在实际应用中，我们可以利用这些性质进行问题的求解和分析。
2.4 椭圆的参数方程与标准方程的转化椭圆的参数方程与标准方程可以相互转化，通过参数方程与三角函数之间的关系，我们可以得到椭圆的标准方程。
三、椭圆的相关计算3.1 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的面积公式为：S = πab其中，a和b为椭圆的半长轴和半短轴。
3.2 椭圆的周长椭圆的周长也可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的周长公式为：L = 4aE(e)其中，a为椭圆的半长轴，E(e)为椭圆的第二类椭圆积分，e为椭圆的离心率。
3.3 椭圆方程的化简对于一些复杂的椭圆方程，我们可以通过一些方法对椭圆方程进行化简，使得问题的求解变得更加简单。
2020版高考数学总复习第八篇平面解析几何(必修2、选修2_1)第3节椭圆课件理
等于常数2a(2a>|F1F2|)的点的轨
焦点
,两焦点间的距离叫做椭圆
2.椭圆的标准方程及其简单几何性质
标准 方程
焦点在 x 轴上 x2 + y 2 =1(a>b>0) a2 b2
图形
范围 对称性
|x|≤a;|y|≤b
曲线关于 x轴、 y轴、原点 对称
焦点在 y 轴上 y 2 + x2 =1(a>b>0) a2 b2
答案:④⑤
考点专项突破
在讲练中理解知识
考点一 椭圆的定义及其应用
【例1】 (1)已知△ABC的周长为26且点A,B的坐标分别是(-6,0),(6,0),则点
C的轨迹方程为
.
解析:(1)因为△ABC 的周长为 26,顶点 A(-6,0),B(6,0),所以|AB|=12,|AC|+|BC|=2612=14,且 14>12,点 C 到两个定点的距离之和等于定值,所以点 C 的轨迹是椭圆,因为
【跟踪训练 3】
(1)过椭圆 x2 a2
+ y2 b2
=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2
为椭圆的右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的离心率为( )
(A) 2 (B) 3 (C) 1
5 55 以 b2≥1,所以 a2-c2≥1,4-c2≥1,解得 0<c≤ 3 ,所以 0< c ≤ 3 ,所以椭圆的离心率
a2 的取值范围为(0, 3 ).故选 A.
2
反思归纳 (1)求椭圆离心率的方法 ①直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解. ②列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e 的方程(或不等式)求解. (2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路 求解与椭圆几何性质有关的参数问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、 焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系.
高中椭圆知识点总结
高中椭圆知识点总结封面页- - 作者姓名- 学校名称- 提交日期目录- 引言- 椭圆的定义- 椭圆的标准方程- 椭圆的几何性质- 椭圆的应用- 常见题型与解题技巧- 结论- 参考文献引言- 椭圆在高中数学中的重要性- 知识点总结的目的和结构概览椭圆的定义- 标准定义：椭圆是平面上所有点到两个固定点（焦点）的距离之和为常数的点的集合。
- 椭圆的数学表示椭圆的标准方程- 水平椭圆的标准方程：`(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1`- 垂直椭圆的标准方程：`(y-k)²/a² + (x-h)²/b² = 1`- 其中，(h, k) 是椭圆中心的坐标，2a 是椭圆的长轴，2b 是椭圆的短轴。
椭圆的几何性质1. 焦点和焦距- 焦点的定义和性质- 焦距的计算方法2. 离心率- 离心率的定义- 如何从椭圆方程中找到离心率3. 椭圆的轴- 长轴和短轴的定义- 轴的性质和计算4. 椭圆的面积- 面积的计算公式- 面积与轴的关系椭圆的应用- 天文学中的开普勒定律- 物理学中的摆运动- 工程学中的轨迹规划- 经济学中的市场分析常见题型与解题技巧- 求解椭圆方程- 焦点问题- 离心率问题- 椭圆与直线、抛物线的关系- 椭圆的切线问题- 应用题解题策略结论- 椭圆知识点在高中数学中的重要性- 掌握椭圆知识点对于解决实际问题的意义参考文献- 列出所有引用的书籍、文章和其他资源请根据这个结构开始撰写您的文档，并确保每个部分都详细、准确地覆盖了相关的知识点。
您可以根据需要添加或删除部分，以满足3000字的要求。
记得在最终的文档中使用清晰、专业的语言，并确保格式规范、无错乱字符段落。
高三数学第一轮复习椭圆的定义、性质及标准方程知识精讲
高三数学第一轮复习：椭圆的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】椭圆的定义、性质及标准方程椭圆的定义及相关概念、椭圆的标准方程、椭圆的几何性质【知识掌握】 【知识点精析】1. 椭圆的定义：⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。
⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<<e e ，则动点M 的轨迹叫做椭圆。
定点F 是椭圆的焦点，定直线l 叫做椭圆的准线，常数e 叫做椭圆的离心率。
说明：①若常数2a 等于2c ，则动点轨迹是线段12F F 。
②若常数2a 小于2c ，则动点轨迹不存在。
2. 椭圆的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0(12222>>=+b a by a x 中心在原点，焦点在x 轴上)0(12222>>=+b a bx a y 中心在原点，焦点在y 轴上图形范围x a y b ≤≤，x b y a ≤≤，顶点()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，()()()()12120000A a A a B b B b --，、，，、，对称轴x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上x 轴、y 轴；长轴长2a ，短轴长2b ；焦点在长轴上焦点 ()()1200F c F c -，、， ()()1200F c F c -，、， 焦距)0(221>=c c F F)0(221>=c c F F3. 焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。
焦半径公式：椭圆焦点在x 轴上时，设12F F、分别是椭圆的左、右焦点，()00P x y ，是椭圆上任一点，则10PF a ex =+，20PF a ex =-。
推导过程：由第二定义得11PFe d =（1d 为点P 到左准线的距离）， 则211000a PF ed e x ex a a ex c ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭；同理得20PF a ex =-。
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精品文档椭圆的性质及应用一、圆锥曲线圆锥与平面的截线通常有：圆、椭圆、双曲线、抛物线，其中的椭圆、双曲线、抛物线叫圆锥曲线， 其中抛物线是圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线， 双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线， 圆是圆锥面与垂直于轴的平面相截而得的曲线， 其他平面截取的则为椭圆。
圆锥曲线有一个共同的定义： 即：圆锥曲线是到定点距离与到定直线间距离之比为常值的点之轨迹。
二、椭圆的定义椭圆是平面上到两定点的距离之和为常值的点之轨迹， 也可定义为到定点距离与到定直线间距离之比为一个小于 1 常值的点之轨迹。
椭圆的第一定义： 平面内与两定点 F 、F'的距离的和等于常数 2a (2a>|FF'|)的动点 P 的轨迹叫做椭圆。
即：│ PF │+│PF'│=2a ，其中两定点 F 、F'叫做椭圆的焦点，两焦点的距离│ FF' │叫做椭圆的焦距。
若 2a=|FF'|，为线段，若 2a<|FF'|，不存在。
下面确定椭圆的方程 现设 P 的坐标为（ x,y ），F 的坐标为（ C,0）( x c)2 y 2 (x c) 2 y 22a P( x c)2y 22a( x c)2y 2整理可得：F `F( a 2 c 2 ) x 2 a 2 y 2 a 2 ( a 2 c 2 )定义： a 2 c 2 b 2则椭圆的方程可表示为：椭圆在方程上可以写为标准式x2 y 2a 2b 21， (a>b>0) ，这样的椭圆长轴在 x 轴上，焦点在 X轴时，若x 2y 2b 2a21 ，(a>b>0) ，这样的椭圆长轴在 y 轴上。
焦点在 y 轴时。
有两条线段， a 、 b 中较大者为椭圆长半轴长，较短者为短半轴长，当 a>b 时，焦点在 x 轴上，焦距为 2 a 2 b 2 ，焦距与长、短半轴的关系 : a 2 c 2 b 2椭圆的第二定义222由椭圆的第一定义：可到椭圆方程为：x 2 y 2 1 y2b2 x2 b 2aba222将 b2a2c 2 代入，可得： y2a2cx2a2c2y2x2c2a 2c2 x 22a2aa 4c x所以： y 2x c 2c xy 2x c 2aa c 2a 由此可得： y 2xc 2c x2a 4 y 2 x c 2 cac 2xa 2 ac所以可得椭圆的第二个定义：平面上到定点 F 距离与到定直线间距离之比为常数的点的集合（定点 F 不在定直线上，精品文档该常数为小于 1 的正数） ,其中定点 F 为椭圆的焦点，定直线称为椭圆的准线（该定直线的方程是 x a 2 ）。
常数 e 是椭圆的离心率。
e c (0 e 1)ca注意：准线和焦点对应，左准线对应左焦点，右准线对应右焦点下面我们介绍第二定义的几何说明：可以找到两个球，它们均满足：和圆锥相切于一个圆，与截面相切于一个点。
一个在截面和圆锥顶角之间（即截得的圆锥体的内切球，小球） ，另一个在截面与圆锥顶角异侧（即圆锥体外切球，大球） 。
两个球与截面相切的两个点即是两个焦点，两个球与圆锥相切的两个圆，那两个圆所在的两个平面（它们是平行的）分别与原来的截面的交线即是两条准线。
通过三角函数的知识应该可以证明截得的图形上的点到焦点和到相应准线的比值为定值设 P 为截面 与圆锥交线上的动点，两个球与截面 的交点为固定点，即为椭圆的焦点，平面 与平面 的交线为固定直线，即为椭圆的准线。
E 为大球和截面 的交点，显然 PP 1 为动点到定直线的距离，设大的球心为 O ，PE 和 PP 2 为大球外一点 P 到大球的两个切线，所以有 PE=PP 2 思考为什么 PE 一定为切线，（PE 为截面 内的直线，而截面 与球仅仅一个交点）椭圆的第三定义：椭圆的其他定义根据椭圆的一条重要性质也就是椭圆上的点与椭圆短轴两端点连线的a 2斜率之积是定值 （ 2 ）可以得出：平面内与两定点的连线的斜率之积是常数k 的动点的轨b迹是椭圆，此时 k 应满足一定的条件，也就是排除斜率不存在的情况。
三、 .圆锥曲线的几何性质：1. 椭圆的面积是π ab 。
椭圆可以看作圆在某方向上的拉伸，它的参数方程是： x=acos θ， y=bsin θ精品文档举例：若 x, y R ，且 3x22 y26 ，则x y的最大值是 ____ ，x 2y 2 的最小值是 ___（答： 5, 2 ）2. 标准形式为 x2y2：xx 0 yy 0 1a2b 21的椭圆在（ x 0， y 0 ）点的切线为a 2b 23. 椭圆焦半径公式 ｜ PF 1 ｜ =a+ex 0 ｜ PF 2｜ =a-ex 04. 直线与椭圆位置关系（ 1）弦长公式：若直线 y kx b与圆锥曲线相交于两点 A 、 B ，且x 1, x2分别为 A 、B的 横 坐 标， 则AB＝1 k2 x1x 2， 若y 1, y2分 别 为 A 、 B 的 纵 坐 标 ， 则AB＝112 y 1y 2k，（ 2 ）直线 l ： y=x+1 与椭圆交于 A ， B 两点， P 为椭圆上一点，求△ PAB 面积的最大值 .（ 3 ）相切、相交、相离的条件6 ．直线与圆锥曲线的位置关系：（ 1）相交： 0直线与椭圆相交；直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线 与抛物线相交且只有一个交点，故也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。
5．范围即 |x| ≤a ，|y| ≤ b ，这说明椭圆在直线 x=±a 和直线 y=±b 所围成的矩形里 ( 图 2-18) ．注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点．6．对称性x 轴、 y 轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心即椭圆中心．7．顶点只须令 x=0，得 y=±b ，点 B1(0，-b) 、B2(0，b) 是椭圆和 y 轴的两个交点；令 y=0，得 x=± a ，点 A1(-a ，0) 、A2(a ，0) 是椭圆和 x 轴的两个交点．强调指出：椭圆有四个顶点 A1(-a ，0) 、 A2(a ， 0) 、B1(0，-b) 、B2(0，b) ．8．离心率教师直接给出椭圆的离心率的定义：再讲清离心率 e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比．∵a ＞c＞0，∴ 0 ＜e ＜1．再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响：(2)当 e 接近 0 时， c 越接近 0，从而 b 越接近 a ，因此椭圆接近圆； (3)当 e=0 时， c=0，a=b 两焦点重合，椭圆图形就是圆了．课堂练习：1．已知 是椭圆 上一点，若 到椭圆右准线的距离是 ，则 到左焦点的距离为_______．2．若椭圆 的离心率为 ，则它的长半轴长是 ___________．答案： 1．2 ．1 或 23．求下列椭圆的长轴和短轴的长、焦距、离心率、各个顶点和焦点坐标、准线方程：22，(2)x 22． (1)25x +4y -100=0+4y -1=0 4．我国发射的科学实验人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，近地点距地面 266Km ，远地点距地面 1826Km ，求这颗卫星的轨道方程．的方程． 4．答案：顶点 (0 ，2) 可能是长轴的端点，也可能是短轴的一个端点，故分两种情况求方程：5．点 P 与一定点 F(2 ，0) 的距离和它到一定直线 x=8 的距离的比是 1∶2，求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．三、例题讲解例 1：求出椭圆方程 x 2y 2 1和 ( x1) 2 y 2 1长轴顶点、焦点、准线方程；4343解：因为把椭圆 x2y 21向右平移一个单位即可以得到椭圆 (x 1) 2y 2 1 所以问题 1 中的所有问434 3题均不变，均为 a 3,b3,c1, ec 1a2x 2 y 2 1长轴顶点、焦点、准线方程分别为： ( 2,0) ， (1,0) x4 ；43( x 1) 2 y 2长轴顶点、焦点、准线方程分别为：( 2 1,0) ， ( 1 1,0) x4 1；4 13思考：求出椭圆方程x 2 y 2 1 准线方程34例 2、设 AB 是过椭圆右焦点的弦，那么以 AB 为直径的圆必与椭圆的右准线（）A. 相切B.相离C.相交D.相交或相切分析：如何判断直线与圆的位置关系呢？解：设 AB 的中点为 M ，则 M 即为圆心，直径是|AB| ；记椭圆的右焦点为 F ，右准线为 l ；过点 A 、B 、 M 分别作出准线 l 的垂线，分别记为 d 1 , d 2 , d 由梯形的中位线可知 dd 1 d 2 2又由椭圆的第二定义可知 | AF |e | BF |e 即 |AF | | BF | ( d 2 )d 1d 2e d 1又| AB | | AF | | BF | e d 1 d 2且 0e 1 d | AB |故直线与圆相离2222例 3、已知点 M 为椭圆 x2y 2 1 的上任意一点， F 1 、 F 2 分别为左右焦点；且 A(1,2)25 16①求 | MA |5| MF 1 |的最小值 ②求 | MA | | MF 1 |的最小值 ③求 | MA | | MF 1 |的最小值3 5| MF 1 |表示出来①分析：应如何把解：左准线 l1 ： x a 2 25l1于点D，记 d | MD | c，作 MD3由第二定义可知：| MF1 | c 3| MF 1| 3d ?5| ea?5d| MF1d 5 3故有 | MA | 5| MF1 | | MA | d | MA | | MD |325所以有当 A 、 M 、 D 三点共线时， |MA|+|MD| 有最小值：15| MF 28 3即 | MA | 1 |的最小值是3 3变式 1：3 | MA | 5 | MF1 | 的最小值；解： 3 | MA | 5 | MF1 | 3( | MA | 5| MF1 |) 3 28 28变式 2：3| MA |3 3| MF1 |的最小值；5解：3| MA | | MF1 |3(| MA |5| MF1 |) 3 28 28 5 5 3 5 3 5MDAF1 F211② | MA | | MF1 | MA | 10 MF2 10 MF 2 MA 其最小值 =10-AF 2课堂练习：已知 A( 2, 3) , F是x2 y 2 1 的右焦点，点M为椭圆的动点，求MA 2 MF 的最小值，16 12并求出此时点 M 的坐标。