光滑映射芽在左右等价群的一个子群下的通用开折
关于局部凸空间的p-自反及凸性和光滑性的等价关系
内蒙古大学硕士学位论文关于局部凸空间的P-自反及凸性和光滑性的等价姓名：***申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：***20030402内蝥山人学硕叶：学位论文，娅州＇３ｔ联３．１０（２），（３），即川分别纷出哭ｊ二局部一致光滑利弱局部一致光滑的证明。
关于强光滑和非常光滑的证明只濡应用引殚３．１０（４）的必要性即可。
例如，已知（爿，只）怒非常光滑的，仔取Ｐｏ∈Ｐ，＿。
∈ｓ托∽），设岛是（置Ｐ）中任意含有‰的Ｐｏ一正规集。
ｐ：，题既决定的０，露）ｌ＝ｚ’上的半范数，且｛只≥培。
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由于点是Ｐ的－Ｊ～ｓＩ最簿让，效存在ｐｌ芒暑鄹盖＞０锭缛Ｐｏ＝肇｛。
器＇３ｔ理３．１０转）的必要燃，我锯纛‰∈黾讧），蕊＝编是往，霉）巾含寄砘戆Ｐ，一正怒集，ｐ；＝勿；．是岛决定戆ｐ，毛｝＝ｘ’上的半范数，置谤，｝＝ｐ’＾｝。
ｓ留’０．汾满怒ｌ‘，Ｚ‰）＝１。
注意玩｝ｃｓｋ＋０，））相应于偶对似，曩）而言依然是成立的，予是由口，Ｂ）非常光滑，可知存在歹∈∑。
‰），使褥ｌ睁户抚一ｙ）－－ｏ对一切声￡ｓ扛”（ｐｉｐ成虚，现令，＝矿，则有吮。
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副鼗蠖终是ｌ睁∥饥一，）＝ｔｉｍ２－１乒∽一移）＝ｌｉｍ？（ｘ－’六一；７）－－ｌｉｍＦ晓一歹）＝０。
ｎＨＨ这表犍《爿，Ｐ）是嚣卷光辫豹。
关予似，只）光滑蕴涵（Ｘ，Ｐ）光滑的证明刹上谳完全类似，ｉ酊Ｈ更为简单。
ｌ注例３．６、定碟３．１０和定璃３．１２说啄了串藏数族与它酶“最篱讫”的，ｔｌ性秘光滑性不…定相鞠，健睾范羧族与它鲍“ｓ．教麓他”麴，‘ｌ芝圭纂ｌ光滑性一定摆目。
§４Ｐ一自反及其性质在这一节中我们给出简鄢Ｐｆ空闻口，‘，）蹩Ｐ－自反的定义，弗讨论ｐ舀反空间的若干幢凌，茭中毽褥重筏静楚它与蠡反空阁静关系。
四川省阿坝藏族羌族自治州2024高三冲刺(高考物理)部编版考试(自测卷)完整试卷
四川省阿坝藏族羌族自治州2024高三冲刺（高考物理）部编版考试(自测卷)完整试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题科学家发现某星球周围存在着环状物质，为了测定环状物质是该星球的组成部分，还是环绕该星球的卫星群，用天文望远镜观察发现，该环状物质的（ω为环状物质绕星球做匀速圆周运动的角速度，r为环状物质到星球中心的距离）关系图如图所示，其斜率为k。
引力常量为G，以下说法正确的是（ ）A．环状物质是该星球的组成部分B．该星球的自转周期为C．该星球的质量为D．该星球表面的重力加速度为k第(2)题2020年诺贝尔物理学奖授予三名科学家，英国科学家罗杰·彭罗斯因证明黑洞是爱因斯坦广义相对论的直接结果而获奖；德国科学家赖因哈德·根策尔和美国科学家安德烈娅·盖兹因在银河系中央发现超大质量天体而获奖。
下列有关物理学史的说法正确的是（ ）。
A．汤姆孙发现了电子并提出了原子的核式结构模型B．库仑通过油滴实验精确测定了元电荷的值C．普朗克把能量子引入物理学，破除了“能量连续变化”的观念D．玻尔原子理论的成功之处是保留了经典粒子的概念第(3)题题图是一个圆柱体棱镜的截面图，图中E、F、G、H将半径OM分成5等份，虚线EE1、FF1、GG1、HH1平行于半径ON，ON边可吸收到达其上的所有光线。
已知该棱镜的折射率n=，若平行光束垂直入射并覆盖OM，则光线（）A．不能从圆弧射出B．只能从圆弧射出C．能从圆弧射出D．能从圆弧射出第(4)题在如图所示的电路中，开关S闭合，理想变压器的输入电压，原线圈匝数为n 1，副线圈匝数为n2，定值电阻R1、R2、R3的阻值均为R。
在变压器的闭合铁芯上还绕有一匝线圈，该线圈接理想交流电压表，电压表的示数为U0。
下列说法正确的是（ ）A．B．电阻R2的功率为C．原线圈中的电流为D．若仅断开开关S，则电压表的示数变为第(5)题如图所示，静止在水平地面上的重锤，上端系一橡皮筋，初始状态橡皮筋恰好伸直且处于原长，手抓着橡皮筋的上端迅速从A点上升至B点后，手在B点保持静止，重锤离开地面并上升一定高度。
函数芽的相对通有形变与横截性及相对有限决定性
关键 词 ： 相对通用形变； 横截性； 相对有限决定性
中图分 类号 ： １ ．；１ ．１ 文 献标识 码 ： 文章编 号 ： ０－ ４． ０ ０－ ８． ０８ ３０７ ９ ９ ７ Ａ １ ０１ ０（ ￣） ０ ７ ２ ０ ８ ２ ２ ０ ０ 本 文 属于 局部 问 题 的研究 ， 经 常考 虑 中 于 故 原点邻域 内有定 义 的 光 滑 函数 芽及 其 导 网 ， 用 到 需
（’） － ０ ｏ ＿『 ， ， ， …
＋ ”
，
“
。
”构成一 个环 而由所有 在 ．上 限制 等于零 因为 ｓ
的函数芽 构成 的集 合表 示 为 （ ， ． 为 Ｃ （ ） ｓ ）其 ｓ 的极 大理想 ． 可将 在 中原点邻 域有定 义 的在 ． ｓ上
限制 等 于 恒 等 映 射 的微 分 同 胚 芽 的 集 合 表 示 为 （） ｎ 或 ． 其关 于 “ ”构 成 群 ． 然 它 是 右 等 价 。 显 群 的子群 ． 以 自然 的方 式 作 用 于 Ｅ（ ｓ ） 即如 其 ｇ， ， ． 果 ｆ ｇ， ， ） ∈ ６ Ｅ（ ｓ ， ￣ ｆ。 为 光 滑 函 数 ． ， ｌ Ｊ 称
（ ）Ｆ是 厂的相 对通有 形变 ． １
．
－ （ （ ＋Ｒ Ｆ ， ， ｐ ） ｊ， Ｃ （ “ ） ， ｛ ｌ… Ｆ ） ＝ ｓ Ｒ ） Ｊ （
是厂 的相对 参数形 变 ， 么下列 条件 等价 那
由条 件 （ ， ） ｓ “ ｃ （ ｆ）故 有 （ ）＋ Ｒ
Ｉ（ ＋Ｒ｛ ｌ… ， ｐ ｓ Ｆ ’ Ｆ ）＝Ｃ （ ， ｓＲ ） （） １
（） ｏ 的任 意 ｇ∈Ｃ （ 均存 在 ∈ 使 。 ｓＲ ） ｈ＝ｇ 则称 是 相对 —ｋ决定 的 ． 引理 １ 令 ｆ （ ， 则 ｆ是相 对 Ｒ —ｋ决定 ６Ｅ ｓ ） ｓBiblioteka 条件 （ ） ２ 等价 于
关于分支问题有限S-决定的条件
第３ ０卷 第 ２期 ２０ ０ ８年 ４月
宜春学院学报
Ｊｕ ａ ｆＹｉｈ ｎＣ ｆ ｇ ｏ ｒｌ ｏ ｎ ｃｕ ｏ ｅｅ ｉ
Ｖｏ． ０． Ｎ ． １３ ｏ２ Ａｐ ． ０ ８ ｒ２ ０
关 于分 支 问题 有 限 ｓ 一决 定 的 条 件
Ｔ ｅＣ ｎ ｉｏ ｎＦｎｔ — ｅｅｍｉｅ ｆ ｉ ｒａｉｎＰ ｏ ｌ ｈ ｏ ｄｔ ｎｏ ｉｉ Ｓ ｄ ｔｒ ｎｄ ｏ ｆ ｃｔ ｒｂｅ ｉ ｅ Ｂｕ ｏ ｍ
ＸＩ ＯＮＧ Ｚ ｅ ＷＵ ｅ —ｙ ｎ ２ ｈｎ ． Ｗ ｉ ｉ ｇ
（．ｃｏｌｆＭａｈｍ ｔｓａｄＣ ｍ ｕ ｒ ｉ ｃ ，ＹＣ ｕ ｎ ｅ ｉ ＹＣ ｕ ， ３ ００Ｃ ｉ ； １ Ｓｈｏ ｏ ｔ ａｉ ｎ ｏ ｐ ｔ ｅ ｅ ｉｈ ｎＵ ｉ ￣ｔ ｅ ｃ ｅＳ ｎ ｃ ｅ ｙ， ｉｈ ｎ ３６ ０ ｈ ａ ｎ ２ Ｓｈｏ ｏ Ｎ ｗ ｎ ｒｎｍ ｔ ． ｏ２ ｅｓａ Ｔａｓ ｉ ｃ ｆ ｄ ｓ，ＹＣ ｕ ｎｖ ｓ ，ＨＣ ｕｌ ３ ６０ ｈ ） ｉｈ ｎＵ ｉ ｒ ｅ ＾ ， ３０ ０Ｃ ｉ ， ａ ｎ
结论 ，等等 。
令Ｃ Ｅ＝｛ｓｘ Ａ） （，， ∈
ｘ Ａｌｓ０ ∈ ），Ｄｘ ｏ × ，（ ） ３（ （ ）
ｅ （ ）（ｘ）ｅ （ ） 这里３ ） 的 Ｓ ０ＤＡ 。３ ， ｝ （ 是巾 线性 映射构成的空间而Ｓ ） ３ ） Ｇ（ 的含单位元 （ （ Ｎ ＬＲ ）
光滑 映射 芽的有 限决定 性研究 ，是奇点理 论及其 应用 研究 中的一 个重 要课 题 ，近 年来 出现 了许 多重 要 的工作 ， 例如¨ 等等 。一般来 说 ，对 于不 同 的等 价群 ，光滑 映射
芽有 限决定的性质 和条件 可 以是不相 同的。在奇 点理论 及 其应用研究 中，对于分 支 问题 的有 限决定 性的研究 也十分
西安电子科技大学榆林函授站2013年上学期期末考试计算机图形学试卷
安电子科技大学榆林函授站2013上学期期末考试计算机图形学试卷（A卷）姓名专业学号一、名词解释1．图形2．像素图3．参数图4．扫描线5．构造实体几何表示法6．投影7．参数向量方程8．自由曲线9．曲线拟合10．曲线插值11．区域填充12．扫描转换二、判断正误（正确写T，错误写F）1.存储颜色和亮度信息的相应存储器称为帧缓冲存储器，所存储的信息被称为位图。
（）2．光栅扫描显示器的屏幕分为m行扫描线，每行n个点，整个屏幕分为m╳n个点，其中每个点称为一个像素。
―――――――――――――――――――――（）3．点阵字符用一个位图来表示，位图中的0对应点亮的像素，用前景色绘制；位图中的1对应未点亮的像素，用背景色绘制。
――――――――――――――――－（）4．矢量字符表示法用（曲）线段记录字形的边缘轮廓线。
―――――――――――（）5．将矢量字符旋转或放大时，显示的结果通常会变得粗糙难看，同样的变换不会改变点阵字符的显示效果。
―――――――――――――――――――――――――（）6．在光栅图形中，区域是由相连的像素组成的集合，这些像素具有相同的属性值或者它们位于某边界线的内部。
―――――――――――――――――――――――（）7．多边形的扫描变换算法不需要预先定义区域内部或边界的像素值。
――――――（）8．齐次坐标表示法用n维向量表示一个n＋１维向量。
―――――――――――――（）9．实体的边界由平面多边形或空间曲面片组成。
―――――――――――――――（）10．平面多面体表面的平面多边形的边最多属于两个多边形，即它的表面具有二维流形的性质。
―――――――――――――――――――――――――――――――（）11．实体几何性质包括位置、长度和大小等。
―――――――――――――――――（）12．实体的拓扑关系表示实体之间的相邻、相离、方位、相交和包含等关系。
―――（）13．实体的扫描表示法也称为推移表示法，该表示法用一个物体和该物体的一条移动轨迹来描述一个新的物体。
大连理工大学智慧树知到“计算机科学与技术”《编译原理基础》网课测试题答案2
大连理工大学智慧树知到“计算机科学与技术”《编译原理基础》网课测试题答案（图片大小可自由调整）第1卷一.综合考核(共15题)1.出现在过程定义中的某些名字是特殊的，它们被称为该过程的形式参数，简称形参。
()A.正确B.错误2.分析树的叶结点由非终结符或终结符标记，所有这些标记从左到右构成一个句型。
()T、对F、错3.自下而上分析器按从根结点到叶结点的次序来建立分析树。
()T、对F、错4.同心集合并可能会产生的冲突为()。
A.二义B.移进—移进C.移进—归约D.归约—归约5.词法分析器的输出是()。
A、源程序B、词法记号流C、NFAD、DFA6.LL(1)文法中第一个L表示()。
A、最左推导B、最左归约C、从左到右识别输入串D、规范归约7.过程定义是一个声明，它的最简单形式是将一个名字和一个语句联系起来，该名字是过程名，而这个语句是过程体。
()T、对F、错8.仅仅使用综合属性的语法制导定义称为S属性定义。
()A.正确B.错误9.设有文法G[S]:S→S1|S0|Sa|Sc|a|b|c，下列符号串中()不是该文法的句子。
A、ab0B、a0c01C、aaaD、bc1010.语言定义不允许运算对象的类型作隐式转换。
()T、对F、错11.提左因子也是一种文法变换，它用于产生适合于自上而下分析的文法。
()T、对F、错12.自上而下分析的文法是为输入串寻找最左推导。
()T、对F、错13.句型的句柄是该句型中和一个产生式左部匹配的子串。
()A.正确B.错误14.后缀表示是语法树的一种线性表示。
()A.正确B.错误15.预测分析的关键问题是在扩展一个非终结符时怎样为它选择合适的产生式。
()T、对F、错第2卷一.综合考核(共15题)1.字母表上的串是该字母表符号的有穷序列。
()A.正确B.错误2.类型检查是一种捕捉程序中不一致性的成熟并且有效的技术。
()T、对F、错3.语言定义不允许运算对象的类型作隐式转换。
()A.正确B.错误4.符号表是为每个变量名字保存一个记录的数据结构，记录的域是该名字的属性。
现代纯数学中最重要的若干概念
层(数学)数学上，在给定拓扑空间X上的一个层(sheaf)(或译捆)F对于X的每个开集给出一个集合或者一个更丰富的结构F(U)。
这个结构F(U)和把开集限制(restricting)到更小的子集的操作相容，并且可以把小的开集粘起来得到更大的。
一个预层(presheaf)和一个层相似，但它可能不可以粘起来。
事实上，层使得我们可以用一种细致的方式讨论什么是局部性质，就像应用在函数上的层。
目录1 简介2 形式化定义2.1 预层的定义2.2 粘合公理3 例子4 层的态射5 层在一点的茎和函数的芽6 层的平展空间7 推广8 历史简介层用于拓扑，代数几何和微分几何，只要想跟踪给定的几何空间的随着每个开集变化的代数数据，就可以用层。
他们是研究局部有变化(依赖于所选开集的)的对象的全局工具。
这样，它们是研究有局部本质的实体的全局行为的自然工具，例如开集，解析函数，流形，等等。
作为一个典型的例子，考虑拓扑空间X,对于每个X中的开集U，令F(U)为所有连续函数U →R的集合。
如果V是U的开子集，则U上的函数可以限制到V上，而我们得倒映射F(U) →F(V)。
"粘合"描述了下列过程:假设Ui是给定的开集其并为U，对于每个i我们给定一个元素fi ∈F(Ui)，一个连续函数fi : Ui →R。
如果这些函数在重合的地方相等，则我们可以一种唯一的方式把他们粘起来得倒一个连续函数f : U →R，它和所有给定的函数fi一致。
所有集合F(U)的类和限制映射F(U) →F(V)成为一个X上的集合的层。
进一步的，每个F(U)是一个交换环，而限制映射是环同态，这使F成为X上的环的层。
作为很相似的例子，考虑一个微分流形X，对于X的每个开集U，令F(U)为所有可微函数U →R的集合。
这里同样的有粘合，并且我们得倒X上的环的层。
另一个X上的层是，对于X的每个开集U给定所有定义在U上的可微向量场的向量空间。
限制和粘合向量场和函数上的操作一样，然后我们得倒流形X上的向量空间的层。
光滑函数芽通用形变的存在性
光滑函数芽通用形变的存在性陈庆娥（曲靖师范学院数学与统计学院云南·曲靖655011）摘要证明了光滑函数芽的无穷小形变的存在性，基于无穷小形变与通用形变的关系，得到了通用形变的存在性。
关键词光滑函数芽无穷小形变通用形变中图分类号：O192文献标识码：A1基本概念与记号奇点理论在分歧理论和突变理论中有都有着重要的应用．光滑函数芽是奇点理论研究的数学对象，它的性质在奇点理论中起着重要作用，光滑函数芽无穷小形变和通用形变的性质是奇点理论的重要内容之一。
文献[1]、[2]介绍了它们的一些概念，本文证明了光滑函数芽的无穷小形变的存在性，进而得到通用形变的存在性，也给出了求通用形变的方法。
文中未解释的概念参考文献[1]、[2]。
定义1：设是光滑函数芽，是的临界点，如果满足条件，则称是一个以注1：的形变一定存在，是的一个形变，且知的形变不唯一。
定义：设及是的两个形变，满足，则称是的导出形变，即是从诱导出来的。
定义：设是的一个形变，若的任何一个形变都与的某个导出形变等价，则称是的通用形变。
注2：由以上定义知，若是的通用形变，是的另一个形变，由的通用性，必定存在恒等映射形变及映射满足。
定义：设是的一个形变，若在点的函数芽环中的任何一个函数都可以，其中是的光滑函数芽，是数，则称是的无穷小形变。
2主要结果及证明定理1：设是光滑函数芽，则的无穷小形变一定存在。
证明：令，，其中是空间的基元素的代表，即是基元素。
以下证明是的无穷小形变：设，则，设，且设是所以由定义可知是的无穷小形变。
由于光滑函数芽的无穷小形变的是它的通用形变，所以的通用形变一定存在。
例1：设，求的通用形变。
解：由于，则于中的泰勒级数中次数最低的是即，若，则的级数前项完全相同，若，可以作对应以的维数等于，即于是可取为的一组基底，故是通用形变。
作者简介：陈庆娥（1980—），女，讲师，硕士，主要研究方向:从事奇点理论研究。
参考文献[1]V.I.Arnold.Singularity Theory[M].London Mathematical Society LectureNote Series53,1981.[2]施恩伟.流形上的微积分[M].北京:科学出版社,2004:152-154.[3]V.I.Arnold.Normal forms of functions in a neighbourhood of a degeneratecritical point[J].Russian Math.Surveys.1974,29(02):10-50.[4]I.Newton.The method of fluxions[M].Mathematical papers,Vol.3,CambridgeUniversityPress,Cambridge,1969.数|学|研|究—科教导刊（电子版）·2019年第03期/1月（下）—198。
代数学引论高教第二版答案(第零章)
由此可见群G为交换群.
2.如果群G中,每个元素a都适合a2=e, 则G为交换群.
证明: [方法1] 对任意a,b G,
ba=bae=ba(ab)2=ba(ab)(ab)
=ba2b(ab)=beb(ab)=b2(ab)=e(ab)=ab
因此G为交换群.
[方法2] 对任意a,b G,
a2b2=e=(ab)2,
解: 取
x= , y=
那么
(xy)2 = x2y2.
[注意]
我们可以通过mathematica软件编写Sn的群表,输出程序如下:
Pr[a_,b_,n_]:=(*两个置换的乘积*)
(Table[a[[b[[i]]]],{I,1,n}]);
Se[n_]:=(*{1,2,…,n}的所有可能的排列做成一个表格*)
13.设群G的阶为一偶数,证明G中必有一元素a e适合a2=e.
证明:
设b G，且阶数大于2，那么b≠b-1,而b-1的阶数与b的阶数相等.换句话说G中阶数大于2的元素成对出现，幺元e的阶数为1，注意到G的阶数为宜偶数，故此必存在一个2阶元，(切确的说阶数为2的元素有奇数个).
[讨论]
[1] 设G是一2n阶交换群，n为奇数则G中只有一个2阶元.为什么？
对任意a H, 显然aH H, Ha H又因aH,Ha及H中都有n个元素，故
aH=Ha=H.
综上可知对任意a G,有
aH=Ha，
因此H是G的正规子群.
[方法2]
设H是2n阶群G的n阶子群,那么任取a H, h H, 显然有aha-1 H.
对给定的x H, 有
H xH= , H xH=G.
这是因为若假设y H xH, 则存在h H，使得y=xh,即x=yh-1 H产生矛盾,因此H xH= ;另一方面, xH G,H G, 又注意到xH和H中都有n个元素, 故此H xH=G.
关于k-Rs-决定的一个条件
关于k-Rs-决定的一个条件
李兵;贺文青
【期刊名称】《东北师大学报：自然科学版》
【年(卷),期】2009()2
【摘要】对于(Rn,0)中一般的代数集芽S研究了在右等价群R的子群
Rs={Ф∈R|Ф|s=ids}的作用下函数芽的有限决定性.给出了函数芽为k-Rs-决定的一个条件,推广了Kushner等人的结果,且在某些时候它可以给出比Kushner的结果
更精确的判断.
【总页数】5页(P35-39)
【关键词】奇点理论;函数芽;k-Rs-决定性;代数集芽
【作者】李兵;贺文青
【作者单位】长沙理工大学数学与计算机科学学院,湖南长沙410076;中山职业技
术学院数学系,广东中山528404
【正文语种】中文
【中图分类】O189.3;O177.91
【相关文献】
1.效率条件决定的自然失业率:一个模型 [J], 刘文军
2.怎样理解精神在一定条件下的决定作用?——对刘光裕同志《只有一个决定作用》浅议 [J], 张季平
3.决定多维随机变量分布的一个条件 [J], 姬振豫;张征瑶
4.光滑映射芽关于■群有限决定的一个充分条件 [J], 蒋人璧
5.二元函数芽有限R-决定的一个充分条件 [J], 王伟;李养成
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且Ｖ ∈ （ ０， ｘ Ｒ ，） ）＝ 砂 Ｉ ． ， ｌ ］ ｚ 厶， ｘ １＝ 有九 ∈ ， 叫做（ ０ 则 Ｒ ，）上恒 同映射芽 在 Ⅳ 的ｒ 参数开折． 下 。 设 ：Ｒ （ ×Ｒ ，） （ ×Ｒ ，） ｐ０ 一 Ｒ ｐ０为微分 同胚芽， 满足下列条件 ： （，） ｕ 札 ） （ Ｙ ＝Ｙ 札Ｙ ＝（， ， ） ０ ） ， （ ， ，
５ 引 言 １
如 果映射 芽， 具有 通用 开 折Ｆ， 么对 Ｆ 扰动 产 生 的每一 个开 折都 可 由通 用开 折Ｆ“ 那 作 诱 导” 出来．研究映射芽 的通用 开折 ， 主要是分析研究映射 芽切空 间的特 征， 而在不 同的等价群作
用下映射芽切 空间是不相 同的．因此 引进各种 不同的等价群， 利用各种 不同的方法研 究相应 的
通用开折定理就成为一个非常活跃而又具有意义 的课题．
常用 的等价群有 右等价群 ， 接触等价群 和左 右等价群 ， 在这些等价 群作用下会得 到 不 同的通用 开折定理．文献『 中研究在接触等 价群下函数芽和 映射芽 的通用 形变； １ ］ 文献ｆ 讨论 ２ １
了分歧 问题在接触 等价群下 的通用开折； 文献 ［￣用ＤＡ 代数证 明了在左右等价群和接触等价 ３Ｕ Ｉ ．
则 叫做ｆ ｐ０上恒 同映射芽的ｒ 参数开折． Ｒ ，） 一 定 义２４ ． 设ｆ ∈ ｏ ￡ ，
（） １ 对于Ｆ ， ２ １Ｆ均为，的ｒ 参数开折， ０ 一 若存在 是（ ０上的恒 同映射芽在 Ⅳ 的ｒ参数开 Ｒ ，） 下 一 折， 是（ ，） 的恒 同映射芽 的ｒ参数 开折， ０上 一 使得 Ｆ １＝ ｏ ２ ， 。 则称Ｆ ， ２ 同构的， Ｆ １Ｆ 是 记
域上的佗Ｘｎ 矩阵， 定义 的子群
Ⅳ＝｛ ∈ Ｉ （） ［ ． ， Ａｘ ． ・ ） ｘ ＝Ａｘ Ｘ Ａ ］ ［ Ｎ （ ］ ］ ［ Ｔ＝Ｎ， Ｒ ，） Ｘ∈（ ”０｝ 易证 为 的子群． 记 Ⅳ 的元素在 处的值组成的集合为 Ⅳ ｚ ＝｛ ｌ １
定义 的子群ｇＹ
收稿 日期： ０ １０ —８ ２ １ —５０ 修回 日期： ０ １０ — ４ ２ １— ９０
基金项 目：国家 自然科学基金 （０７０ ０ １９ １６１
郭 瑞 芝 等：光 滑 映射 芽在 左 右 等 价 群 的 一 个 子 群 下 的通 用开 折
８ ５
芽） 若记 ）＝ （１ ） ・， （） 则 ０ ， （ ， ’ ） ・ ， （）： ０ 于是 由文献［ 知 （）＝ ∑ ａ ｘ， ， ６ ］ １ｉ ｊｉ＝ ｊ １… ，， ，ｉ ， ｎ 其中 ａ ￣Ｒ 上的一个函数芽， ｊ 这样每一个微分同胚芽 可以 表示成≯ ＝ （） ・的 形式， 中 其 ＝ （ ｊ， ａ ） 它是一个ｎ×佗 ｉ 矩阵函数， 以 所 就可 以写成 ＝ ｛ ： Ｒ ，）一 （ ０ Ｇ （ ， ） 是光滑的映射芽） ＝｛ （ ｐ０ 一 （ｐ０ Ｊ ＬＲｎｌ ， ：Ｒ ，） Ｒ ，） ｈ是局部光滑同胚芽｝ 设Ⅳ是实数 ．
高校应用数学学报 ２ １ ， ７１： ４９ ０ ２ ２ （） ８ —５
光滑 映射 芽在左 右等 价群 的一个 子群 下 的 通用 开折
郭瑞 芝 唐 娉
（ 南师范 大学 数 学与计算机科学学院，湖南长沙 ４ ０ ８ ） 湖 １ ０ １
摘 要：定义 了左右等价群的一个子群， 出了在这个子群下映射芽的等价及其开折 给 的 同构等概念． 用乘积积分理论， 利 讨论在该子群下映射 芽的通用开折， 明了相应开 证
群 的一些子群下的通用开折定理和有 限决定性定理； 文献 ｆ 定义 了左右等价群 的又一类子群， ４ １ 并
给 出了在这类 子群作 用下映射芽的万有开折定理； 文献『 引进左右等价群和接触等价群 的一类 ５ １
新子群， 利用乘积积 分理论， 研究映射芽的有 限决定性． 受上述 工作的启发， 本文 引进左右等价群 的一种 子群， 利用乘积积 分理论讨论在这种 子群
作用下映射芽的开折 ， 得到开折平凡的充要条件和相应的通用开折定理．
§ 预备知 识 ２
记￡ ＝｛ （“０ 一 Ｒｉ是光滑 函数芽）Ｍ ＝ ｛ ｌ Ｒ ，） 厂： ， ， ，∈￡ １（） ）￡ ＝｛ （ ”０ 一 ，０ ＝０， ，：Ｒ ，） ｌ是 光滑 映射芽） 那 么｛ ， ， ． 厂∈￣Ｐｆ０ ＝ ０ ￡ ．令 ＝ ｛ Ｒ ０上的微分 同胚 ｌ（） ｝＝ ｌ是（ ，）
折 的 平 凡性 引理 何 引理和 代 数 引理 ， 出 了映射 芽的 开 折 是 通 用开 折 的 充 要 条件 ． 几 给
关键词 ： 左右等价群的子群； 乘积积分； 用开折 通 中图分类号： ９ Ｏ１ ２０—４４２１） ． ８—１ ￣： ０ ２（ ２０ ０ ４ ２ ０ ４ ０ １０ ０
ｌ Ⅳ． Ａ∈ ）
Ｎ Ｎ：｛ ， ） ｈ∈ ， Ⅳ ． （ Ａ Ｉ Ａ∈ ）
定 义２１ 设映射 芽ｆ ｇ∈ ． ，
价．
￡ ， 若存在Ａ ∈ Ⅳ， ， ｈ∈ 使得． 厂：ｈ ｇ Ａ＿ ， ｏ ｏ 。则称 ｆ ｌ等 ￥ｇ
定义２２ 设ｆ ￡ 若光滑映射芽Ｆ ： Ｒ ０ ． ｏ∈ ， （ ＸＲ ，）一 （ ＸＲ ，） Ｆ ｕＸ Ｒ ｐ０， （，）＝ （，（，）满足，０ ） ０ ）则Ｆ ，ｕ ） （， ＝，（ ， 叫做 的ｒ 一 参数开折， ：（１… ， 为开折参数． 札 １， 札 ） ３ ， 定义２３ 设 ：Ｒ ． （ ×Ｒ ，） （ ”０ 一 Ｒ ×Ｒ ０为微分 同胚 芽， ，） 满足 下列条件：