中考冲刺训练(数学)120题

2009年中考冲刺数学强化训练120题１. 如图，在平面直角坐标系中，直线1(0)2y x b b =-+>分别交x 轴、y 轴于A B 、两点．点(40)C ，、(80)D ，，以CD 为一边在x 轴上方作矩形CDEF ，且:1:2CF CD =．设矩形CDEF 与ABO △重叠部分的面积为S ． （1）求点E 、F 的坐标；（2）当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式；（3）若在直线1(0)2y x b b =-+>上存在点Q ，使OQC ∠等于90，请直．接．写出b 的取值范围．２．已知抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于不同的两点()10A x ，和()20B x ，，与y 轴交于点C ，且12x x ，是方程2230x x --=的两个根（12x x <）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 作AD ∥CB 交抛物线于点D ，求四边形ACBD 的面积； （3）如果P 是线段AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合），过点P 作平行于x 轴的直线l 交BC 于点Q ，那么在x 轴上是否存在点R ，使得△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图1，在ABC △中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一点，联结AD ，以AD 为一边且图1ACE DB在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB AC =，90BAC =∠，①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图2，线段CF BD 、所在直线的位置关系为 __________ ，线段CF BD 、的数量关系为 ； ②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；（2）如果AB AC ≠，BAC∠是锐角，点D 在线段BC 上，当ACB ∠满足什么条件时，CF BC ⊥（点C F 、不重合），并说明理由．4．把两个三角形按如图1放置，其中90ACB DEC ==︒∠∠，45A =︒∠，30D =︒∠，且6AB =，7DC =．把△DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1，如图2，这时AB 与 CD 1相交于点O ，与D 1E 1相交于点F ．（1）求1ACD ∠的度数；（2）求线段AD 1的长；（3）若把△D 1CE 1绕点C 顺时针再旋转30°得到△D 2CE 2，这时点B 在△D 2CE 2的内部、外部、还是边上？请说明理由．5．如图，点D 是⊙O 直径CA 的延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）若点E 是劣弧BC 上一点，弦AE 与BC 相交于点F ，且CF ＝9，cos ∠BF A ＝32，求EF 的长． 图1 图2 C 图3 E B 图2AE 1CD 1OF６．某地一居民楼,窗户朝南,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β.小明想为自己家的窗户设计一个圆弧形遮阳蓬ECD,小明查阅了有关资料,获得了所在地区∠α和∠β的相应数据;∠α=24°,∠β=73°,小明又量得窗户的高AB=1.65米，圆弧形的圆心刚好是B 点.若同时满足下列两个条件,(1)当太阳光与地面的夹角为α时,要想使太阳光刚好全部射入室内;(2) 当太阳光与地面的夹角为β时,要想使太阳光刚好不射入室内.请你借助下面的图形帮助小明算一算, 遮阳蓬ECD 中与墙BE 垂直的支杆CD 的长是多少?若要固定遮阳蓬ECD ，固定点E 点应在什么位置？(精确到0.01米)７．如图，抛物线y=－21x 2+21x+3交x 轴于点A 、B 两点，直线y=a1x －2 (a ≠0)交x 轴于点Q . （1）求证：不论a 取何实数（a ≠0）抛物线与直线总有两个交点；（2）写出点A 、B 的坐标，并用含a 的代数式表示点Q 的坐标；试确定当a 在什么范围内取值时，直线与抛物线在第一象限内有交点；（3）设直线与抛物线在第一象限内的交点为P ，是否存在这样的点P ，使得∠APB 为直角？若存在，求出此时a 的值；不存在，请说明理由.8．某高新技术开发公司，用480买生产设备，进行该产品的生产加工，该产品的销售单价，需定在100元到300元之间较为合理.20万件；当销售单价超过100元，但不超过200售量将减少0.8万件；当销售单价超过200元，但不超过300元时，每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少1万件.设销售单价为x （元），年销售量为y （万件），年获利为w （万元）.（年获利=年销售额—生产成本—投资成本） （1）直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）求第一年的年获利w 与x 间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？（3）若该公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利不低于1842元，请你确定此时销售单价的范围.在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？9．如图,正方形ABCD 的长为1, 点E 是AD 边上的动点且从点A 沿AD 向D 运动, 以BE 为边,在BE 的上方作正方形BEFG ,为DC 与EF 的交点,请探索: (1)连接CG ,线段AE 与CG 是否相等? 请说明理由.(2)设AE =x , CG =y , 请确定y 与x 的函数关系式并说明自变量的取值范围.(3)连接BH , 当点E 运动到边AD 上的某一点时将有△BEH ∽△BAE,请你指出这一点的位置,并说明理由.10．某商场设计了两种促销方案：第一种是顾客在商场消费每满200元就可以从一个装有100个完全相同的球(球上分别标有数字1，2，……100)的箱子中随机摸出一个球(摸后放回)。

若球上的数字是88，则返购物券500元；若球上的数字是11或77，则返购物券300元；若球上的数字能被5整除，则返购物券5元；若是其它数字，则不返购物券。

第二种是顾客在商场消费每满200元直接获得购物券15元。

估计促销期间将有5000人次参加活动。

请你通过计算说明商家选择哪种促销方案合算些？G ED C BA 11．．我们给出如下定义：如果四边形中一对顶点到另一对顶点所连对角线的距离相等，则把这对顶点叫做这个四边形的一对等高点.例如：如图1,平行四边形ABCD 中，可证点A 、C 到BD 的距离相等，所以点A 、C 是平行四边形ABCD 的一对等高点，同理可知点B 、D也是平行四边形ABCD 的一对等高点. 图1（1）如图2，已知平行四边形ABCD , 请你在图2中画出一个只有一对等高点的四边形ABCE （要求：画出必要的辅助线）；（2）已知P 是四边形ABCD 对角线BD 上任意一点（不与B 、D 点重合），请分别探究图3、图4中S 1, S 2, S 3, S 4四者之间的等量关系(S 1, S 2, S 3, S 4分别表示△ABP , △CBP , △CDP , △ADP 的面积)：① 如图3，当四边形ABCD 只有一对等高点A 、C 时，你得到的一个结论是 ； ② 如图4，当四边形ABCD 没有等高点时，你得到的一个结论是 .图2 图3 图412．已知: 关于x 的一元一次方程kx =x +2 ①的根为正实数，二次函数y =ax 2-bx +kc （c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1. （1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；（2）求代数式akcabb kc +-22)(的值；（3）求证: 关于x 的一元二次方程ax 2-bx +c =0 ②必有两个不相等的实数根.A BC D S 2S 1S 4S 3S 4S 3S 2A B C P D A B C P D S 113．在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流. 原问题：如图1，已知△ABC , ∠ACB =90︒ , ∠ABC =45︒，分别以AB 、BC 为边向外作△ABD 与△BCE , 且DA =DB , EB =EC ，∠ADB =∠BEC =90︒，连接DE 交AB 于点F . 探究线段DF 与EF 的数量关系. 小慧同学的思路是：过点D 作DG ⊥AB 于G ,构造全等三角形，通过推理使问题得解. 小东同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC =30︒,∠ADB =∠BEC =60︒. 小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况. 请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题： （1）写出原问题中DF 与EF 的数量关系；（2）如图2，若∠ABC =30︒，∠ADB =∠BEC =60︒，原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；（3）如图3，若∠ADB =∠BEC =2∠ABC , 原问题中的其他条件不变，你在（1）中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明.图1 图2 图314．已知抛物线经过点 A (0, 4)、B (1, 4)、C (3, 2)，与x 轴正半轴交于点D .（1）求此抛物线的解析式及点D 的坐标；（2）在x 轴上求一点E , 使得△BCE 是以BC 为底边的等腰三角形；（3）在（2）的条件下，过线段ED 上动点P 作直线PF //BC , 与BE 、CE 分别交于点F 、G ，将△EFG 沿FG 翻折得到△E 'FG . 设P （x, 0）, △E 'FG 与四边形FGCB 重叠部分的面积为S ，求S 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围.15．如图， 已知等边三角形ABC 中，点D 、E 、F 分别为边AB 、AC 、BC 的中点，M 为直线BCBA D F DAC E F B E F CB A D上一动点，△DMN 为等边三角形（点M 的位置改变时， △DMN 也随之整体移动）．（1）如图1，当点M 在点B 左侧时，请你连结EN ，并判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE 上？请写出结论，并说明理由； （2）如图2，当点M 在BC 上时，其它条件不变，（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立? 若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点M 在点C 右侧时，请你判断（1）的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立? 若成立,请直接写出结论；若不成立，请说明理由．（第１5题图1） （第１5题图2） （第１5题图3）16．对于三个数a b c 、、，{},,M a b c 表示,,a b c 这三个数的平均数，{}min ,,a b c 表示a b c、、这三个数中最小的数，如：{}12341,2,333M -++-==，{}min 1,2,31-=-； {}1211,2,33a a M a -+++-==，{}()()1min 1,2,11a a a a ≤-⎧⎪-=⎨->-⎪⎩．解决下列问题：（1）填空：{}min sin30,cos45,tan30︒︒︒= ；若{}m in 2,22,422x x +-=，则x 的取值范围是 ；（2）①若{}{}2,1,2min 2,1,2M x x x x +=+，那么x ＝ ；②根据①，你发现结论“若{}{},,min ,,M a b c a b c =，那么 ”（填,,a b c 大小关系）；③运用②，填空：若{}{}22,2,2min 22,2,2M x y x y x y x y x y x y +++-=+++-，则x y + ＝ ；（3）在同一直角坐标系中作出函数1y x =+，()21y x =-，2y x =-的图象（不需列表，描点），通过图象，得出(){}2min 1,1,2x x x +--最大值为 ．A（第16题图）17（注：获利 = 售价 — 进价）（1）该商场购进A 、B 两种商品各多少件；（2）商场第二次以原进价购进A 、B 两种商品．购进B 种商品的件数不变，而购进A 种商品的件数是第一次的2倍，A 种商品按原售价出售，而B 种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B 种商品最低售价为每件多少元？18． 如图，矩形OABC 的边OC 、OA 分别与x 轴、y 轴重合，点B 的坐标是)1,3(，点D 是AB边上一个动点（与点A 不重合），沿OD 将△OAD 翻折，点A 落在点P 处． （1）若点P 在一次函数21y x =-的图象上，求点P 的坐标；（2）若点P 在抛物线2y ax =图象上，并满足△PCB 是等腰三角形，求该抛物线解析式； （3）当线段OD 与PC 所在直线垂直时，在PC 所在直线上作出一点M ，使DM+BM 最小，并求出这个最小值．y xOPDC BAABCOxy ABCOxy（第１９题图） （第１９题备用图1） （第１９题备用图2）19．如图，⊙O 的直径AB =6cm ，点P 是AB 延长线上的动点，过点P 作⊙O 的切线，切点为C ，连结AC ．若CPA ∠的平分线交AC 于点M ，你认为∠CMP 的大小是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出∠CMP 的度数．20．如图，AB=AC ，AB 为⊙O 直径，AC 、BC 分别交⊙O 于E 、D ，连结ED 、BE 。