压杆稳定计算
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压杆稳定计算公式
压杆稳定计算公式一般而言，压杆的稳定性计算可以分为以下几个步骤：1.确定杆件几何形状：包括杆件的长度、截面形状和尺寸等参数。
这些参数对杆件的承载能力和稳定性有很大影响。
2.确定杆件材料的特性：主要包括弹性模量、截面惯性矩和截面面积等。
这些参数主要用于计算杆件的刚度和强度。
3.确定受力条件：包括受力的方向、大小和位置等参数。
这些参数是计算杆件临界载荷的基础。
4.计算临界载荷：可以使用公式或者数值方法计算出杆件的临界载荷。
压杆的临界载荷一般通过欧拉公式计算得到。
当临界载荷小于或等于实际受力时，杆件保持稳定；当临界载荷大于实际受力时，杆件可能发生屈曲。
欧拉公式是压杆稳定计算中最常用的公式之一，其基本形式为：Pcr = (π²EI) / (KL)²其中，Pcr为杆件的临界载荷，E为材料的弹性模量，I为杆件的截面惯性矩，K为端部条件系数，L为杆件的长度。
端部条件系数K取决于杆件的端部支承情况，常见的取值有：-简支-简支（K=1.0）-固支-固支（K=0.5）-简支-固支（K=0.699）-无端支承（K=π/2）实际工程设计中，常通过杆件的截面形状和尺寸、受力条件等参数来选择合适的端部条件系数。
需要注意的是，以上公式和计算方法适用于理想化的压杆情况，不考虑非理想因素和杆件的浮动性。
在实际工程中，还需要结合具体情况进行综合分析和计算。
总之，压杆稳定计算是工程设计中非常重要的一环，可以通过计算杆件的临界载荷来判断杆件在受压状态下是否能够保持稳定。
通过合理选择杆件的截面形状和尺寸、材料的特性以及受力条件等参数，并结合压杆的端部支承情况，可以进行准确的压杆稳定计算。
《工程力学》第六章 压杆的稳定性计算
x
Fcr
图示两端铰支（球铰）的细长压杆，当压力
B
F达到临界力FCr时，压杆在FCr作用下处于
微弯的平衡状态，
考察微弯状态下局部压杆的平衡
M (x) Fcr w
d 2w dx2
M (x) EI
d 2w Fcr w
w
dx2
EI
x
FCr
M
w
x
根据杆端边界条件，求解上述微分方程 可得两端铰支细长压杆的临界力
FCr
2EI (l)2
Cr
FCr A
Cr
FCr A
2EI (l)2 A
2E (l / i)2
2E 2
Cr
2E 2
——临界应力的欧拉公式
柔度（长细比）： L
i
i I A
——截面对失稳时转动
轴的惯性半径。
——表示压杆的长度、横截面形状和尺寸、杆端的约束 情况对压杆稳定性的综合影响。
200
2.中柔度杆（中长压杆）及其临界应力
工程实际中常见压杆的柔度往往小于p，其临界应力超过材料的
比例极限，属于非弹性稳定问题。这类压杆的临界应力通常采用直线 经验公式计算， 即
Cr a b ——直线型经验公式
式中，a、b为与材料有关的常数，单位为MPa。
由于当应力达到压缩极限应力时，压杆已因强度问题而失效，因此
12 h
1 2300 60
12 133
在xz平面内，压杆两端为固定端，=0.5，则
iy
Iy A
b 12
y
l
iy
l 12
b
0.5 2300 40
12 100
因为 z＞y，连杆将在xy平面内失稳（绕z轴弯曲），因 此应按 =z=133计算连杆的临界应力。
压杆稳定计算简介
式中的系数j为折减系数，它决定于压杆的材 料和柔度，折减系数j反映了柔度对压杆稳 定性的影响。j值可以从折减系数表中查得。
压杆的稳定条件为
p j[ ]
A
9.5 压杆稳定计算简介
了解压杆稳定的概念。 熟悉临界力和欧拉公式的计算。 掌握压杆稳定的校核。
一、临界压力和欧拉公式
杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将 由稳定状态转化为不稳定状态。这个压力的限
度称为临界压力Pcr。它是压杆保持直线稳定形
状时所能承受的最小压力。
欧拉公式
pcr
2EI ( L) 2
1、熏烟的成分及作用
熏烟的成分很复杂，由气体、液体、固体微粒组成 的混合物，因熏材种类和熏烟的产生温度不同而不同， 且其状态和变化迅速，一般认为熏烟中最重要的成分是 酚、醇、有机酸、羰基化合物和烃类等。
2、熏制加工目的
1、赋予制品特殊的烟熏风味，增加香味 2、使制品外观产生特有的烟熏色，对加硝制品有促进发 色的作用 3、杀菌消毒，防止腐败变质，使制品耐贮藏
醇类：
木材熏烟中的醇种类繁多，最常见的为甲醇，又称木 醇，熏烟中还有伯醇、仲醇和叔醇等，为挥发性物质的载 体，杀菌能力较弱。
3、影响熏制的因素
熏烟质量
熏制的作用取决于熏烟质量如熏烟中成分种类和浓度等，而熏烟质量 的高低与燃料种类、燃烧温度等产生方式和条件有关。
熏制温度
熏制时温度过低，不会得到预期的熏制效果。但温度过高，会由于脂 肪融化、肉的收缩，达不到制品质量要求。常用的熏制温度为35~50℃， 一般熏制时间为12~48h。
EI－抗弯刚度 ；L－压杆的长度
μ－长度（支座）系数 ；固定 一端固定 两端铰支 一端固定
束情况
一端铰支
压杆的稳定条件为
p j[ ]
A
9.5 压杆稳定计算简介
了解压杆稳定的概念。 熟悉临界力和欧拉公式的计算。 掌握压杆稳定的校核。
一、临界压力和欧拉公式
杆件所受压力逐渐增加到某个限度时，压杆将 由稳定状态转化为不稳定状态。这个压力的限
度称为临界压力Pcr。它是压杆保持直线稳定形
状时所能承受的最小压力。
欧拉公式
pcr
2EI ( L) 2
1、熏烟的成分及作用
熏烟的成分很复杂，由气体、液体、固体微粒组成 的混合物，因熏材种类和熏烟的产生温度不同而不同， 且其状态和变化迅速，一般认为熏烟中最重要的成分是 酚、醇、有机酸、羰基化合物和烃类等。
2、熏制加工目的
1、赋予制品特殊的烟熏风味，增加香味 2、使制品外观产生特有的烟熏色，对加硝制品有促进发 色的作用 3、杀菌消毒，防止腐败变质，使制品耐贮藏
醇类：
木材熏烟中的醇种类繁多，最常见的为甲醇，又称木 醇，熏烟中还有伯醇、仲醇和叔醇等，为挥发性物质的载 体，杀菌能力较弱。
3、影响熏制的因素
熏烟质量
熏制的作用取决于熏烟质量如熏烟中成分种类和浓度等，而熏烟质量 的高低与燃料种类、燃烧温度等产生方式和条件有关。
熏制温度
熏制时温度过低，不会得到预期的熏制效果。但温度过高，会由于脂 肪融化、肉的收缩，达不到制品质量要求。常用的熏制温度为35~50℃， 一般熏制时间为12~48h。
EI－抗弯刚度 ；L－压杆的长度
μ－长度（支座）系数 ；固定 一端固定 两端铰支 一端固定
束情况
一端铰支
7-3压杆稳定计算-精选文档
5m
7m
9m
d
2 2 9 E ( 200 × 10 ) = = 99 . 35 6 p= 200 × 10 P
c > p
属于大柔度杆 （a） （b） (c)
故用欧拉公式计算临界压力
2 EI Fcr 3136 KN 2 = ( l )
例2 ：1000吨双动薄板液压冲压机的顶出器杆
σ σ
∴ σcr ≤σp
2E 有 p = p
或
E p
2
3、对λ<λp的压杆，不能用欧拉公 式，可用后面介绍的经验公式.
第三节
欧拉公式的适用范围
经验公式
三、经验公式 （1） 三类不同的压杆
细长杆（大柔度杆）—发生弹性屈曲,失稳 λ> λp 中长杆（中柔度杆）—发生弹塑性屈曲，失稳 λs < λ <λp 或 σp < σcr < σs
例1:三根直径均为d=16cm的圆杆，其长度及支承情况如图示。圆杆材料为
Q235钢，E=200GPa,σp=200MPa，试求： 1.哪一根压杆易丧失稳定？ 2.三杆中最大的临界压力值。
解： 压杆的柔度越大，临界压力 越小，越容易失稳。 1.计算柔度
4 I d × 4 d i= = 2 = A 64 × d 4 l 1 5 杆a: 1 2 5 2 i 4 1 0 l 0 . 7 7 杆b: 1 2 2 . 5 2 i 4 1 0 l 0 . 5 9 杆c: 1 1 2 . 5 2 i 4 1 0
粗短杆（小柔度杆）—不发生屈曲，而发生屈服 λ <λs 或
σs < σcr
第四节
压杆的稳定性计算
压杆稳定2
Fcr nst
236 .6 3
78.9KN
再由
1 F 4 FNCD
F FNCD 78.9 19.7KN
44
例：图示起重机， AB 杆为圆松木，长 L= 6m，[ ] =11MPa，直
径为： d = 0.3m，试求此杆的许用压力。（xy 面两端视为铰
支；xz 面一端视为固定，一端视为自由）
木杆 : 80时, 3000 2
第三次试算，修正 2
3
2
2
2
0.33 0.2 2
0.265
例：上端自由下端固定的立柱，F＝200kN, L=2m, 材料Q235钢，
[ ]=160MPa.在立柱中点横截面C处，因构造需要开一直径为
d =70mm的圆孔，试选择工字钢型号。
x
第三次试算，修正 2
F
z
y
3
2
2
2
0.33 0.2 2
0.265
行计算。
二、注意：强度的许用应力和稳定的许用应力的区别
强度的许用应力只与材料有关；稳定的许用应力不仅 与材料有关，还与压杆的支承、截面尺寸、截面形状有关。
例 图示结构，①、②杆材料、长度相同，已知：Q
=120 kN, E=200 Gpa, l = 0.8m, λP=99.3, λ0=57, 经验公 式σcr=304-1.12λ(MPa), nst=2。校核结构的稳定性。
201KN
c．比较[P1] 和[P2]确定[P]=162KN（取小者）
例 结构受力如图a 所示，CD柱由Q235钢制成，E=200GPa，σp= 200MPa，许用应力[σ]=120MPa。柱的截面积为a = 60 mm 的正方形。 试求：（1）当F=40kN 时，CD柱的稳定安全系数n；（2）如设计要求 稳定安全系数 nst = 3，结构的许用载荷[F] 。
工程力学29-压杆稳定计算
33. 压杆的稳定计算
1.压杆的稳定校核
F
[F ]
Fcr nst
nst：稳定安全系数
工作安全系数 n
Fcr F
cr
nst
9-
2 目录
n st
解：
CD梁 MC 0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
3 目录
P 时称为大柔度杆（或长细杆），用欧拉公式求临界力；
P 时称为中、小柔度杆,不能用ns欧t 拉公式求临界力。
已求得FN 26.6kN
32m
l i
1
i
I A
D4 d4 4 64 D 2 d 2
D2 d2
4
16mm
得
1 1.732 16 103
108
P
AB为大柔度杆
Fcr
2EI l 2
制宜根据压杆稳定要求选取最优截面
难点
法三：增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
法四：增大弹性模量 E（合理选择材料）
大柔度杆
Fcr
2EI (l)2
中柔度杆 cr a b
表 10.2
6 目录
小结：
• 了解：压杆稳定校核公式的适用范围 重点 • 理解：各截面参数对于压杆稳定的影响 • 掌握：压杆稳定校核公式计算与应用，会因地
118kN
n
Fcr FN
118 26.6
4.42
nst
3
AB杆满足稳定性要求
4
2.提高压杆稳定性的措施
Fcr
2EI (l)2
欧拉公式
Fcr 越大越稳定
•减小压杆长度 l •减小长度系数μ（增强约束） •增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） •增大弹性模量 E（合理选择材料）
1.压杆的稳定校核
F
[F ]
Fcr nst
nst：稳定安全系数
工作安全系数 n
Fcr F
cr
nst
9-
2 目录
n st
解：
CD梁 MC 0
F 2000 FN sin 30 1500
得 FN 26.6kN
3 目录
P 时称为大柔度杆（或长细杆），用欧拉公式求临界力；
P 时称为中、小柔度杆,不能用ns欧t 拉公式求临界力。
已求得FN 26.6kN
32m
l i
1
i
I A
D4 d4 4 64 D 2 d 2
D2 d2
4
16mm
得
1 1.732 16 103
108
P
AB为大柔度杆
Fcr
2EI l 2
制宜根据压杆稳定要求选取最优截面
难点
法三：增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状）
法四：增大弹性模量 E（合理选择材料）
大柔度杆
Fcr
2EI (l)2
中柔度杆 cr a b
表 10.2
6 目录
小结：
• 了解：压杆稳定校核公式的适用范围 重点 • 理解：各截面参数对于压杆稳定的影响 • 掌握：压杆稳定校核公式计算与应用，会因地
118kN
n
Fcr FN
118 26.6
4.42
nst
3
AB杆满足稳定性要求
4
2.提高压杆稳定性的措施
Fcr
2EI (l)2
欧拉公式
Fcr 越大越稳定
•减小压杆长度 l •减小长度系数μ（增强约束） •增大截面惯性矩 I（合理选择截面形状） •增大弹性模量 E（合理选择材料）
3压杆稳定计算
mm, E=2.0×105 MPa, p=200 MPa, s=240 MPa,
nw=2.5。求容许轴向压力F。
Fx
A
l
B
y
解： (1) 计算压杆的柔度，判明欧拉公式是否可用
惯性半径
I π (D4 - d 4 )/64 A π (D4 - d 4 )/4
i I/A
查得一端固定一端铰支压杆的长度系数为
二、欧拉公式的适用范围 σ cr =
2E
λ2
1、小变形（挠曲线微分方程） 2、公式推导中，用到了中性层的曲率公 式，而曲率公式导出时用到了胡克定律， 因此，欧拉公式适用于胡克定律的适用范 围内：比例极限内。
∴ σcr ≤σp
说明: 1、σ cr ≤σp的杆件叫细长杆，或大 柔度杆。
2、当σcr =σp
I π (D4 - d 4 )/64 4.6010-6 m4
故有临界力
Fcr＝π(2lE)I2 7.41 105 N
而容许轴向压力为
F Fcr 296 kN
nw
此种直接根据稳定安全因数对压杆稳定计算的方法称为稳定安全因数法。
例4：木柱，b=12cm, h=20cm, l=7 m,λp=110, E=10GPa,由A、B两销子固定。 试
求:Fcr
z
y b
F
h
A
B
Fx
解：
l
（1）若在xoz平面内失稳，绕y轴转动
1,
Iy
bh3 12
8000
cm4 , l
7m
y
l
iy
l
/
Iy A
121 p
nw=2.5。求容许轴向压力F。
Fx
A
l
B
y
解： (1) 计算压杆的柔度，判明欧拉公式是否可用
惯性半径
I π (D4 - d 4 )/64 A π (D4 - d 4 )/4
i I/A
查得一端固定一端铰支压杆的长度系数为
二、欧拉公式的适用范围 σ cr =
2E
λ2
1、小变形（挠曲线微分方程） 2、公式推导中，用到了中性层的曲率公 式，而曲率公式导出时用到了胡克定律， 因此，欧拉公式适用于胡克定律的适用范 围内：比例极限内。
∴ σcr ≤σp
说明: 1、σ cr ≤σp的杆件叫细长杆，或大 柔度杆。
2、当σcr =σp
I π (D4 - d 4 )/64 4.6010-6 m4
故有临界力
Fcr＝π(2lE)I2 7.41 105 N
而容许轴向压力为
F Fcr 296 kN
nw
此种直接根据稳定安全因数对压杆稳定计算的方法称为稳定安全因数法。
例4：木柱，b=12cm, h=20cm, l=7 m,λp=110, E=10GPa,由A、B两销子固定。 试
求:Fcr
z
y b
F
h
A
B
Fx
解：
l
（1）若在xoz平面内失稳，绕y轴转动
1,
Iy
bh3 12
8000
cm4 , l
7m
y
l
iy
l
/
Iy A
121 p
13.5 实际压杆的稳定计算
z
l iz
1 0.75 11.58103
64.8
பைடு நூலகம்
y
l iy
0.5 0.75 5.05 103
68.9
12×24
P P
22×6
z y
压杆的稳定计算——例题2
z
l
iz
1 0.75 11.58103
64.8
P
y
l
iy
0.5 0.75 5.05 103
68.9
P
0.849 0.9(0.844 0.849) 0.845
A
C
BC杆的柔度 i d 200 50mm
44
F
l i
1 5 50 103
100
B
3000 2
0.3
0.310 3MPa
F A
50 103 d2
1.529MPa
4
3m
压杆的稳定计算——例题2
[例题2] 已知连杆长 L=75 cm，许用应力[σ]=206 MPa ，求连杆不失稳所能 承担的许用荷载 P。
0.845 206 174MPa st
P A 174552 96.1kN st
连杆不失稳所能承担的许用荷载为96.1kN。
12×24
P P
22×6 z
y
压杆的稳定计算——例题3
[例题3] 车间立柱由两根槽钢构成。若压力 F=270kN, 材料许用应力
。 [σ]=170MPa, 柱子长 L=7m, 有效长度系数μ=1.3。试确定槽钢的型号
22×6
P
P
P
P
12×24
z
y
压杆的稳定计算——例题2
[解] A 12 24 26 22 552mm2
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求:Fcr
z
y b
F
h
A
B
Fx
解：
l
（1）若在xoz平面内失稳，绕y轴转动
1,
Iy
bh3 12
8000
cm4 , l
7m
y
l
iy
l
/
Iy A
121 p
110
属大柔度杆。
Fcr
2EI y (l ) 2
210 109 288 106
84.6
3、稳定性校核
＞
应用欧拉公式
P
Fcr
2EI (l)2
2
(210109 ) ( 654 1012 )
64 (0.7 2)2
N
925.2kN
n Fcr F
925.2 103 18.3103 9.8 5.16
＞
nst 3.0
该杆满足稳定性要求
例3 有一一端固定，另一端球形铰支的空心
型钢： 查表求i
3、根据杆件的柔度类型求临界应力。
Fcr cr A
压杆的稳定条件：
F Fcr
nst
Fst
或：
cr
nst
st
其中： nst为稳定安全因数，[Fst] 为稳定 许用压力， [σst] 为稳定许用应力。
例1:三根直径均为d=16cm的圆杆，其长度及支承情况如图示。圆杆材料为
σ cr =
2E
λ2
其中 l
i
——欧拉临界应力公式
说明: 1、 λ为杆件的柔度，又称压杆 的长细比。是无量纲的量，它 集中反映了压杆的长度、杆端 约束条件、截面尺寸和形状等 对临界应力的影响。
2、此处公式均由欧拉公式导 出，只有适用欧拉公式的杆件 才能使用此公式。
第三节 欧拉公式的适用范围 经验公式
122.5
杆c:
l
i
0.5 9 4 10-2
112.5
（a）
（b）
(c)
可见杆a的柔度最大，故最易失稳
例:三根直径均为d=16cm的圆杆，其长度及支承情况如图示。圆杆材料为Q235
钢，E=200GPa,σp=200MPa，试求：
1.哪一根压杆易丧失稳定？
2.三杆中最大的临界压力值。
解： 2.计算临界压力
有
p =
2E p
或 2E p
3、对λ<λp的压杆，不能用欧拉公
式，可用后面介绍的经验公式.
第三节 欧拉公式的适用范围 经验公式
三、经验公式 （1） 三类不同的压杆
细长杆（大柔度杆）—发生弹性屈曲,失稳 λ> λp
中长杆（中柔度杆）—发生弹塑性屈曲，失稳
λs < λ <λp
或
σp < σcr < σs
Q235钢，E=200GPa,σp=200MPa，试求：
1.哪一根压杆易丧失稳定？
2.三杆中最大的临界压力值。
解： 压杆的柔度越大，临界压力 越小，越容易失稳。
1.计算柔度
5m
7m
9m
d
I d 4 ×4 d
i=
= A
64×d 2 = 4
杆a:
l
i
1 5 4 10-2
125
杆b:
l
i
0.7 7 4 10-2
杆c的柔度最小，其临界压力 最大
5m
7m
9m
d
2E 2 (200×109 ) p = P = 200×106 = 99.35
c > p 属于大柔度杆
故用欧拉公式计算临界压力
（a）
（b）
(c)
Fcr
2EI (l ) 2
= 3136KN
例2 ：1000吨双动薄板液压冲压机的顶出器杆
为一端固定、一端铰支的压杆。已知杆长l=2m,
直径d=65mm,材料的E=210GPa, p=288MPa,顶杆
工作时承受压力F=18.3吨，取稳定安全系数
nst =3.0。试校核该顶杆的稳定性。
解：1、计算顶杆的柔度
0.7
i
I A
d4
64
d2
4
l
i
0.7 2 16.25 103
86.2
d 16.25mm 4
2、计算临界柔度
p
2E P
1、定义: 压杆在临界压力作用下横截 面上的应力。
σcr =
F cr A
F cr =
2EI
( l)2
σcr =
2EI
( l)2A
σcr =
惯性半径 i I A
2Ei2
( l)2
定义 l
i
σcr =
2E
λ2
第三节 欧拉公式的适用范围 经验公式
一、压杆的临界应力
1、定义: 压杆在临界压力作用下横截 面上的应力
二、欧拉公式的适用范围 σ cr =
2E
λ2
1、小变形（挠曲线微分方程） 2、公式推导中，用到了中性层的曲率公 式，而曲率公式导出时用到了胡克定律， 因此，欧拉公式适用于胡克定律的适用范 围内：比例极限内。
∴ σcr ≤σp
说明: 1、σ cr ≤σp的杆件叫细长杆，或大 柔度杆。
2、当σcr =σp
7-3 压杆稳定计算
湖北省工业建筑学校建筑工程建筑力学多媒体课件
任课 教师
课 题
教学 方法
教学 目的
洪单平
授课 班级
12建筑工程
压杆稳定计算
讲练结合 掌握压杆稳定计算
授课 时间
2013/3 课型
学 时
2
面授
教学 压杆稳定计算 重点
教学 压杆稳定计算 难点
第三节 欧拉公式Байду номын сангаас适用范围 压杆稳定
一、压杆的临界应力
粗短杆（小柔度杆）—不发生屈曲，而发生屈服
λ <λs
或
σs < σcr
第四节 压杆的稳定性计算
一、压杆分析的基本步骤
1、判定压杆的约束条件，确定μ
4、求临界载荷，进行稳定性校 核。
2、计算压杆实际柔度
l
i
其中：
圆形： i d / 4
同心圆环： i (D 1 4 ) / 4 , d / D
矩形(b>h)： i h /(2 3)
i I/A
查得一端固定一端铰支压杆的长度系数为
= 0.7
则 l / I 125
对于Q235钢制作的压杆， ≥c时可用欧拉公式求临界力。
现
c π2E /(0.57 s ) 120
而有≥c，故欧拉公式可用。
(2) 求临界力Fcr，再根据给定的稳定安全因数nw，求容许压力[ F ]
此压杆横截面对于形心轴的惯性矩为
I π (D4 - d 4 )/64 4.6010-6 m4
故有临界力
Fcr＝π(2lE)I2 7.41 105 N
而容许轴向压力为
F Fcr 296 kN
nw
此种直接根据稳定安全因数对压杆稳定计算的方法称为稳定安全因数法。
例4：木柱，b=12cm, h=20cm, l=7 m,λp=110, E=10GPa,由A、B两销子固定。 试
圆截面钢压杆。已知：l =5 m, D =100 mm, d =50
mm, E=2.0×105 MPa, p=200 MPa, s=240 MPa,
nw=2.5。求容许轴向压力F。
Fx
A
l
B
y
解： (1) 计算压杆的柔度，判明欧拉公式是否可用
惯性半径
I π (D4 - d 4 )/64 A π (D4 - d 4 )/4