2009年黄冈中学预录数学试卷
2009年湖北省黄冈市中考数学试卷及答案
2009年湖北省黄冈市中考数学试卷及答案一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．（3分）8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．22．（3分）下列运算正确的是（）A．a3+a3=a6 B．2（a+b）=2a+b C．（ab）﹣2=ab﹣2 D．a6÷a2=a43．（3分）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（）A．48°B．54°C．74°D．78°4．（3分）化简的结果是（）A．﹣4 B．4 C．2a D．﹣2a5．（3分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．76．（3分）小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（）A．12分钟B．15分钟C．25分钟D．27分钟二、填空题（共6小题，满分36分）7．（9分）||=；（）0=；﹣的相反数是．8．（9分）计算：tan60°=；3x3•（﹣x2）=；﹣（﹣2a2）4=．9．（9分）①分解因式：6a 3﹣54a= ；②66°角的余角是度；③当 时，二次根式有意义． 10．（3分）已知点（﹣，）是反比例函数图象上的一点，则此反比例函数图象的解析式是 ．11．（3分）在△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于 ．12．（3分）矩形ABCD 的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD 放在直线l 上且沿着l 向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A 1B 1C 1D 1时（如图所示），则顶点A 所经过的路线长是 ．三、解答题（共8小题，满分66分）13．（5分）解不等式组．14．（6分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，点E 为AB 中点，连接CE ，过点E 作ED ⊥BC 于点D ，在DE 的延长线上取一点F ，使AF=CE ．求证：四边形ACEF 是平行四边形．15．（7分）如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连接BC ，AC ，过点C 作直线CD ⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F ，连接BF ，与直线CD 交于点G ．求证：BC 2=BG•BF ．16．（6分）某商场在今年“六•一”儿童节举行了购物摸奖活动．摸奖箱里有四个标号分别为1，2，3，4的质地、大小都相同的小球，任意摸出一个小球，记下小球的标号后，放回箱里并摇匀，再摸出一个小球，又记下小球的标号．商场规定：两次摸出的小球的标号之和为“8”或“6”时才算中奖．请结合“树状图法”或“列表法”，求出顾客小彦参加此次摸奖活动时中奖的概率．17．（7分）为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时误差的数据如下表（单位：秒）：（1）计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数；（2）计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差；（3）根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优．若两种类型的电子钟价格相同，请问：你买哪种电子钟？为什么？18．（10分）如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M）位于海滨城市（记作点A）的南偏西15°，距离为千米，且位于临海市（记作点B）正西方向千米处，台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭请说明理由；（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？19．（11分）新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB 和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线y=﹣5x2+205x ﹣1230的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12．（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多，最多利润是多少万元？20．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣x﹣10与y轴的交点为点B，过点B 作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x 轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）．（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；（3）当0＜t＜时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．2009年湖北省黄冈市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共6小题，每小题3分，满分18分）1．（3分）（2012•乌鲁木齐）8的立方根是（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．2【分析】如果一个数x的立方等于a，那么x是a的立方根，根据此定义求解即可．【解答】解：∵2的立方等于8，∴8的立方根等于2．故选：A．【点评】此题主要考查了求一个数的立方根，解题时应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．由开立方和立方是互逆运算，用立方的方法求这个数的立方根．注意一个数的立方根与原数的性质符号相同．2．（3分）（2009•黄冈）下列运算正确的是（）A．a3+a3=a6 B．2（a+b）=2a+b C．（ab）﹣2=ab﹣2 D．a6÷a2=a4【分析】根据负整数指数幂、合并同类项、同底数幂的除法的知识点进行解答．【解答】解：A、是合并同类项，结果为2a3，故不对；B、是去括号，得2（a+b）=2a+2b，故不对；C、是负整数指数幂，即，故不对；故选D．【点评】合并同类项，只需把系数相加减，字母和字母的指数不变，应用单项式去乘单项式的每一项，a﹣p=（a≠0），同底数幂除法法则：底数不变，指数相减．3．（3分）（2009•黄冈）如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，且∠A=78°，∠C′=48°，则∠B的度数为（）A．48°B．54°C．74°D．78°【分析】由对称得到∠C=∠C′=48°，由三角形内角和定理得∠B=54°，由轴对称的性质知∠B=∠B′=54°．【解答】解：∵在△ABC中，∠A=78°，∠C=∠C′=48°，∴∠B=180°﹣78°﹣48°=54°∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∴∠B=∠B′=54°．故选B．【点评】本题考查轴对称的性质及三角形内角和定理；把已知条件转化到同一个三角形中利用内角和求解是正确解答本题的关键．4．（3分）（2009•黄冈）化简的结果是（）A．﹣4 B．4 C．2a D．﹣2a【分析】由乘法分配律（a+b）c=ab+bc可知，解答该题可以运用分配律可约去各个分式的分母，使计算简便．【解答】解：原式=﹣（a+2）+（a﹣2）=﹣4，故选A．【点评】此题根据乘法的分配律先进行分式的乘法运算，然后再进行加减的运算，使运算简单化了，计算过程要注意符号间的变化．5．（3分）（2010•密云县）一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360=720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得（n﹣2）×180°=2×360，解得：n=6．即这个多边形为六边形．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键．根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．6．（3分）（2009•黄冈）小高从家门口骑车去单位上班，先走平路到达点A，再走上坡路到达点B，最后走下坡路到达工作单位，所用的时间与路程的关系如图所示．下班后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上班时一致，那么他从单位到家门口需要的时间是（）A．12分钟B．15分钟C．25分钟D．27分钟【分析】依据图象分别求出平路、上坡路和下坡路的速度，然后根据路程，求出时间即可．【解答】解：先算出平路、上坡路和下坡路的速度分别为、和（千米/分），所以他从单位到家门口需要的时间是（分钟）．故选：B．【点评】本题通过考查一次函数的应用来考查从图象上获取信息的能力．二、填空题（共6小题，满分36分）7．（9分）（2009•黄冈）||=；（）0=1；﹣的相反数是．【分析】根据相反数，绝对值，零指数幂的概念解题．【解答】解：||=；（）0=1；﹣的相反数是．【点评】本题考查绝对值、零指数幂和相反数的概念．负数的绝对值是它的相反数；一个不为0的零次幂等于1，负数的相反数是正数．8．（9分）（2009•黄冈）计算：tan60°=；3x3•（﹣x2）=；﹣（﹣2a2）4=﹣16a8．【分析】本题考查特殊角的三角函数值、整式的乘法及乘方的计算．【解答】解：tan60°=；3x3•（﹣x2）=5；﹣（﹣2a2）4=﹣16a8．【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．9．（9分）（2009•黄冈）①分解因式：6a3﹣54a=6a（a+3）（a﹣3）；②66°角的余角是24度；③当x≤4时，二次根式有意义．【分析】①因式分解时，有公因式的要首先提取公因式，然后运用公式法；②和为90°的两个角互为余角，求一个角的余角即让90°减去已知角；③二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0．【解答】解：①6a3﹣54a=6a（a2﹣9）=6a（a﹣3）（a+3）；②66°角的余角是90°﹣66°=24°；③根据二次根式有意义的条件，得4﹣x≥0，即x≤4．【点评】本题考查因式分解、互为余角和二次根式的有关概念．10．（3分）（2009•黄冈）已知点（﹣，）是反比例函数图象上的一点，则此反比例函数图象的解析式是y=．【分析】先设y=，再把已知点的坐标代入可求出k值，即得到反比例函数的解析式．【解答】解：设反比例函数为y=，把x=﹣，y=代入求出k=﹣3，即y=﹣．故答案为：y=﹣．【点评】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，比较简单，是中学阶段的重点．11．（3分）（2009•黄冈）在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于70°或20°．【分析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况，当∠A为锐角时，∠B等于70°，当∠A为钝角时，∠B等于20°．【解答】解：根据△ABC中∠A为锐角与钝角，分为两种情况：①当∠A为锐角时，∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠A=40°，∴∠B===70°；②当∠A为钝角时，∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠1=40°，∴∠BAC=140°，∴∠B=∠C==20°．故答案为：70°或20°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质；分类讨论的应用是正确解答本题的关键．12．（3分）（2009•黄冈）矩形ABCD的边AB=8，AD=6，现将矩形ABCD放在直线l上且沿着l向右作无滑动地翻滚，当它翻滚至类似开始的位置A1B1C1D1时（如图所示），则顶点A所经过的路线长是12π．【分析】提示：点A经过的路线长由三部分组成：以B为圆心，AB为半径旋转90°的弧长；以C为圆心，AC为半径旋转90°的弧长；以D为圆心，AD为半径旋转90°的弧长，利用弧长公式计算即可．【解答】解：．【点评】本题的关键是弄清弧长的半径及圆心，圆心角的度数．三、解答题（共8小题，满分66分）13．（5分）（2009•黄冈）解不等式组．【分析】解先求出各不等式的解集，再求其公共解集即可．【解答】解：由①得：3x+6＜x+8．解得：x＜1．由②得：3x≤2x﹣2．解得：x≤﹣2．∴不等式组的解集为x≤﹣2．【点评】解不等式组应遵循的原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．14．（6分）（2009•黄冈）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB中点，连接CE，过点E作ED⊥BC 于点D，在DE的延长线上取一点F，使AF=CE．求证：四边形ACEF是平行四边形．【分析】要证明四边形ACEF是平行四边形，需求证CE∥AF，由已知易得△BEC，△AEF是等腰三角形，则∠1=∠2，∠3=∠F，又∠2=∠3，∴∠1=∠F，∴CE∥AF．【解答】证明：∵点E为AB中点，∴AE=EB又∵∠ACB=90°，∴CE=AE=EB，又∵AF=CE，∴AF=AE，∴∠3=∠F，又EB=EC，ED⊥BC，∴∠1=∠2（三线合一），又∠2=∠3，∴∠1=∠F，∴CE∥AF，∴四边形ACEF是平行四边形．【点评】平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．15．（7分）（2009•黄冈）如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．【分析】结合图形，可以把所要证明的线段放到△CBG和△FBC中，两个三角形中已经有一个公共角，只需进一步证明∠BCG=∠F，根据等角的余角相等和圆周角定理，借助中间角∠A即可证明．【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，又CD⊥AB于D，∴∠BCD=∠A，又∠A=∠F．∴∠F=∠BCD．在△BCG和△BFC中，，∴△BCG∽△BFC．∴．即BC2=BG•BF．【点评】熟练运用等角的余角相等和圆周角定理发现∠BCG=∠A，掌握相似三角形的判定和性质．16．（6分）（2009•黄冈）某商场在今年“六•一”儿童节举行了购物摸奖活动．摸奖箱里有四个标号分别为1，2，3，4的质地、大小都相同的小球，任意摸出一个小球，记下小球的标号后，放回箱里并摇匀，再摸出一个小球，又记下小球的标号．商场规定：两次摸出的小球的标号之和为“8”或“6”时才算中奖．请结合“树状图法”或“列表法”，求出顾客小彦参加此次摸奖活动时中奖的概率．【分析】列举出所有情况，让两次摸出的小球的标号之和为“8”或“6”的情况数除以总情况数即为所求的概率．【解答】解：画出如图的树状图3分6=2+4=3+3=4+2，8=4+4，∴小彦中奖的概率．6分【点评】此题考查的是用列表法或者用树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．17．（7分）（2010•密云县）为了比较市场上甲、乙两种电子钟每日走时误差的情况，从这两种电子钟中，各随机抽取10台进行测试，两种电子钟走时误差的数据如下表（单位：秒）：（1）计算甲、乙两种电子钟走时误差的平均数；（2）计算甲、乙两种电子钟走时误差的方差；（3）根据经验，走时稳定性较好的电子钟质量更优．若两种类型的电子钟价格相同，请问：你买哪种电子钟？为什么？【分析】根据平均数与方差的计算公式易得（1）（2）的答案，再根据（2）的计算结果进行判断．【解答】解：（1）甲种电子钟走时误差的平均数是：（1﹣3﹣4+4+2﹣2+2﹣1﹣1+2）=0，乙种电子钟走时误差的平均数是：（4﹣3﹣1+2﹣2+1﹣2+2﹣2+1）=0．=[（1﹣0）2+（﹣3﹣0）2+…+（2﹣0）2]=×60=6（s2），（2）S 2甲S2乙=[（4﹣0）2+（﹣3﹣0）2+…+（1﹣0）2]=×48=4.8（s2），∴甲乙两种电子钟走时误差的方差分别是6s2和4.8s2；（3）我会买乙种电子钟，因为两种类型的电子钟价格相同，且甲的方差比乙的大，说明乙的稳定性更好，故乙种电子钟的质量更优．【点评】本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．同时考查平均数公式：．18．（10分）（2009•黄冈）如图，在海面上生产了一股强台风，台风中心（记为点M）位于海滨城市（记作点A）的南偏西15°，距离为千米，且位于临海市（记作点B）正西方向千米处，台风中心正以72千米/时的速度沿北偏东60°的方向移动（假设台风在移动过程中的风力保持不变），距离台风中心60千米的圆形区域内均会受到此次强台风的侵袭．（1）滨海市、临海市是否会受到此次台风的侵袭请说明理由；（2）若受到此次台风侵袭，该城市受到台风侵袭的持续时间有多少小时？【分析】（1）过A作AH⊥MN于H，故AMH是等腰直角三角形，可求出AM，则可以判断滨海市是否会受到此次台风的侵袭．同理，过B作BH1⊥MN于H1，求出BH1，可以判断临海市是否会受到此次台风的侵袭．（2）求该城市受到台风侵袭的持续时间，以B为圆心60为半径作圆与MN交于T1、T2，则T1T2就是台风影响时经过的路径，求出后除以台风的速度就是时间．【解答】解：（1）设台风中心运行的路线为射线MN，于是∠AMN=60°﹣15°=45°．过A作AH⊥MN于H，故AMH是等腰直角三角形．∵AM=，∠AMH=60°﹣15°=45°，∴AH=AM•sin45°=61＞60．∴滨海市不会受到台风的影响；过B作BH1⊥MN于H1．∵MB=，∠BMN=90°﹣60°=30°，∴BH1=×＜60，因此临海市会受到台风的影响．（2）以B为圆心60千米为半径作圆与MN交于T1、T2，则BT1=BT2=60．在Rt△BT1H1中，sin∠BT1H1=，∴∠BT1H1=60°．∴△BT1T2是等边三角形．∴T1T2=60．∴台风中心经过线段T1T2上所用的时间=小时．因此临海市受到台风侵袭的时间为小时．【点评】解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．19．（11分）（2009•黄冈）新星电子科技公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向，瞄准光伏产业，建成了太阳能光伏电池生产线．由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次）．公司累积获得的利润y（万元）与销售时间第x（月）之间的函数关系式（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）对应的点都在如图所示的图象上．该图象从左至右，依次是线段OA、曲线AB和曲线BC，其中曲线AB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，曲线BC为另一抛物线y=﹣5x2+205x﹣1230的一部分，且点A，B，C的横坐标分别为4，10，12．（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间第x（月）之间的函数关系式；（2）直接写出第x个月所获得S（万元）与时间x（月）之间的函数关系式（不需要写出计算过程）；（3）前12个月中，第几个月该公司所获得的利润最多，最多利润是多少万元？【分析】（1）根据各段图象所过的特殊点易求其解析式，注意自变量的取值范围，综合起来得结论；；（2）在各段中，s=y x﹣y（x﹣1）（3）根据函数性质分别求出各段中s的最大值比较后得结论．【解答】解：（1）设直线OA的解析式为y=kx，∵点O（0，0），A（4，﹣40）在该直线上，∴﹣40=4k，解得k=﹣10，∴y=﹣10x；∵点B在抛物线y=﹣5x2+205x﹣1230上，设B（10，m），则m=320．∴点B的坐标为（10，320）．∵点A为抛物线的顶点，∴设曲线AB所在的抛物线的解析式为y=a（x﹣4）2﹣40，∴320=a（10﹣4）2﹣40，解得a=10，即y=10（x﹣4）2﹣40=10x2﹣80x+120．∴y=；（2）利用第x个月的利润应该是前x个月的利润之和减去前x﹣1个月的利润之和：即S=；（3）由（2）知当x=1，2，3，4时，s的值均为﹣10，当x=5，6，7，8，9时，s=20x﹣90，即当x=9时s有最大值90，而在x=10，11，12时，s=﹣10x+210，当x=10时，s有最大值110，因此第10月公司所获利润最大，它是110万元．【点评】此题为分段函数问题中较复杂的一题，问题较多，认真审题很重要．理解s的意义及表示方法是本题难点．20．（14分）（2009•黄冈）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣x﹣10与y轴的交点为点B，过点B作x轴的平行线BC，交抛物线于点C，连接AC．现有两动点P，Q分别从O，C两点同时出发，点P以每秒4个单位的速度沿OA向终点A移动，点Q以每秒1个单位的速度沿CB向点B移动，点P停止运动时，点Q也同时停止运动，线段OC，PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交CA于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P，Q移动的时间为t（单位：秒）．（1）求A，B，C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标；（2）当t为何值时，四边形PQCA为平行四边形？请写出计算过程；（3）当0＜t＜时，△PQF的面积是否总为定值？若是，求出此定值，若不是，请说明理由；（4）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？请写出解答过程．【分析】（1）已知抛物线的解析式，当x=0时，可求得B的坐标；由于BC∥OA，把B的纵坐标代入抛物线的解析式，可求出C的坐标；当y=0时，可求出A的坐标．求顶点坐标时用公式法或配方法都可以；（2）当四边形ACQP是平行四边形时，AP、CQ需满足平行且相等的条件．已知BC∥OA，只需求t为何值时，AP=CQ，可先用t表示AP，CQ，再列出方程即可求出t的值；（3）当0＜t＜时，根据OA=18，P点的速度为4单位/秒，可得出P点总在OA上运动．△PQF中，Q是否为定值，已知QC∥到PF的距离是定值即OB的长，因此只需看PF的值是否有变化即可得出S△PQFPF，根据平行线分线段成比例定理可得出：，因此可得出OP=AF，那么PF=PA+AF=PA+OP=OA，由于OA的长为定值即PF的长为定值，因此△PQF的面积是不会变化的．其面积的值可用OA•OB求出；（4）可先用t表示出P，F，Q的坐标，然后根据坐标系中两点间的距离公式得出PF2，PQ2，FQ2，进而可分三种情况进行讨论：①△PFQ以PF为斜边．则PF2=PQ2+FQ2，可求出t的值．②△PFQ以PQ为斜边，方法同①③△PFQ以FQ为斜边，方法同①．综合三种情况即可得出符合条件的t的值．【解答】解：（1）y=（x2﹣8x﹣180），令y=0，得x2﹣8x﹣180=0，即（x﹣18）（x+10）=0，∴x=18或x=﹣10．∴A（18，0）在y=x2﹣x﹣10中，令x=0得y=﹣10，即B（0，﹣10）．由于BC∥OA，故点C的纵坐标为﹣10，由﹣10=x2﹣x﹣10得，x=8或x=0，即C（8，﹣10）且易求出顶点坐标为（4，），于是，A（18，0），B（0，﹣10），C（8，﹣10），顶点坐标为（4，）；（2）若四边形PQCA为平行四边形，由于QC∥PA．故只要QC=PA即可，而PA=18﹣4t，CQ=t，故18﹣4t=t得t=；（3）设点P运动t秒，则OP=4t，CQ=t，0＜t＜4.5，说明P在线段OA上，且不与点OA、重合，由于QC∥OP知△QDC∽△PDO，故∵△AEF∽△CEQ，∴AF：CQ=AE：EC=DP：QD=4：1，∴AF=4t=OP∴PF=PA+AF=PA+OP=18又∵点Q到直线PF的距离d=10，=PF•d=×18×10=90，∴S△PQF于是△PQF的面积总为90；（4）设点P运动了t秒，则P（4t，0），F（18+4t，0），Q（8﹣t，﹣10）t∈（0，4.5）．∴PQ2=（4t﹣8+t）2+102=（5t﹣8）2+100FQ2=（18+4t﹣8+t）2+102=（5t+10）2+100．①若FP=FQ，则182=（5t+10）2+100．即25（t+2）2=224，（t+2）2=．∵0≤t≤4.5，∴2≤t+2≤6.5，∴t+2==．∴t=﹣2，②若QP=QF，则（5t﹣8）2+100=（5t+10）2+100．即（5t﹣8）2=（5t+10）2，无0≤t≤4.5的t满足．③若PQ=PF，则（5t﹣8）2+100=182．即（5t﹣8）2=224，由于≈15，又0≤5t≤22.5，∴﹣8≤5t﹣8≤14.5，而14.52=（）2=＜224．故无0≤t≤4.5的t满足此方程．注：也可解出t=＜0或t=＞4.5均不合题意，故无0≤t≤4.5的t满足此方程．综上所述，当t=﹣2时，△PQF为等腰三角形．【点评】本题着重考查了二次函数的性质、图形平移变换、平行四边形的判定、直角三角形的判定等知识点，综合性强，考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．。
湖北省黄冈中学2009届高三第一次模拟考试+(数学文)
湖北省黄冈中学 2009 届高三第一次模拟考试数学（文）参考答案
4
1.C 2.B
3．B
4．D 5．C 12．1
6．A 7．B 13． π
2 3
8．B
9．D 10．C 15． m ≥ 4
11. x − y − 3 = 0
14．4
当 a>1 时， 有x− 16．
3 3 x2 + 2x − 3 ( x + 3)( x − 1) ∴ x − + 2≤0 ， ∴ ∴ + 1 ≤ −1 ， ≤0 ， ≤0 ， x x x x 3 ∴ x ≤ −3或0 < x ≤1. 当 0<a<1 时，有 x − + 1≥ −1 ，∴ −3 ≤ x < 0或x ≥ 1 . x
−x −2 y = y ，∴ x = ，由 x < 0 ，得 y < −1 或 y > 0 . x+2 y +1
当 x < 0( x ≠ −2) 时， f ( x ) =
∴ f ( x ) 的值域为 (−∞, −1)∪ [0,+ ∞ ).
（Ⅲ）当 x=0 时， f ( x) = kx3 ，∴x=0 为方程的解. 当 x>0 时，
1 k
⎧ x3 + 2 x 2 ( x > 0)
3 2 ⎪ ⎩ − x − 2 x ( x < 0, 且x ≠ −2)
与函数 h( x) = 图象有两个交点时 k 的取值范围，应用导数画出 g ( x ) 的大致图象， ∴ >−
1 k 32 27 ，∴ k < − 或k > 0. 27 32
21． （Ⅰ）令 n=1 有， S 2 − 4S1 = 0 ，∴ S 2 = 4 ，∴ a2 = 3 .
2009届湖北黄冈中学高三年级9月月考文
2009届湖北省黄冈中学高三年级9月月考数学试卷（文科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10小题,每小题5分,共50分．请将各小题中惟一正确的答案的代号填入答题卡相应的格子中．）1． 设a ∈1{1,1,,3}2-,则使函数ay x =的定义域是R,且为奇函数的所有a 的值是（ ）A ．1,3B ．1,1-C ．1,3-D ．1,1,3-2．已知命题p :10x>;命题q 有意义．则p ⌝是q ⌝的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．不充分不必要条件3． 已知集合2{(,)|,M x y y x x ==∈R},22{(,)|2,N x y x y x =+=∈R, y ∈R},则M ∩N =（ ）A ．{(1,1),(1,1)}-B ．{1}C ．{(1,1)}D ． 4． 函数22log (62)y x x =+-的一个单调递减区间是（ ）A ．(2,)+∞B ．3(,)2-∞- C ．1(,2)4D ．31(,)24- 5． 已知函数(21)y f x =+是奇函数,则函数()y f x =的图象（ ）A ．有对称轴1x =-B ．有对称轴1x =C ．有对称点(1,0)-D ．有对称点(1,0)6．设集合3{|}4M x m x m =-<<,1{|}3N x n x n =<<+,且,M N 都是集合 {|01}U x x =<<的子集．如果把b a -叫集合{|}x a x b <<的“长度”,则集合M ∩N的长度的取值范围是（ ）A ．3[,1]4B ．11[,]124 C ．11[,]123 D ．13[,]347． 若函数1(0,1)xy a b a a =+->≠的图象经过二、三、四象限,则 （ ）A ．1,0a b <>B ．1,0a b <<C ．1,0a b >>D ．1,0a b >>8．已知()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数,且在(0,1]上单调递增,则不等式2(1)(1)f x f x -<-的解集是（ ）A ．(2,1)-B ．C ．(0,1)∪D ．不能确定9． 已知函数22()122f x x x =--+的值域A ,函数()22(xg x x =-≤0）的值域是B ,则（ ）A ．AB ⊆B ．B A ⊆C ．A ∩B =∅D ．A ∩B ={1}10． 存在二次函数()f x ,使函数[()]g f x 的值域是R 的函数()g x 可以是 （ ）A ．2xy =B ．2121x y x -=+ C ．2log y x = D ．1y x =+ 二、填空题（本大题共5小题,每小题5分,共25分．请将正确答案填在答题卡相应的横线上．） 11．已知a 是大于1的常数,不等式212x x a -<对x ∈(1,1)-恒成立,则实数a 的取值范围是12．已知()|1|f x x =-,方程2()()10f x af x -+=有四个实数解,则实数a 的取值范围是 13． 已知命题p :|43|x -≤1;命题q :2(21)(1)x a x a a -+++≤0．若p 是q 的充分不必要条件,则实数a 的取值范围是14．设全集U 是实数集R,集合M =2{|4}x x >与集合2{|1N x x =-≥1}都是U 的子集,则图中阴影部分所表示的集合是15．已知图象变换: ①关于y 轴对称;②关于x 轴对称;③右移1个单位; ④左移1个单位; ⑤右移12个单位; ⑥左移12个单位; ⑦横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变;⑧横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变．由xy e =的图象经过上述某些变换可得12xy e -=的图象,这些变换可以依次是 （请填上变换的序号）第Ⅱ卷三、解答题（请在答题卡上相应位置写出解题过程．） 16．（本题满分12分） （1）求函数y =的定义域;（2）已知函数12log (22)x y a =-+的值域是R ，求a 的取值范围．17． （本题满分12分） 当x ∈[0,2]时,函数2()(1)43f x a x ax =++-在x =2时取得最大值,求实数a 的取值范围．18． （本题满分12分） 已知函数21()()(1)1x f x x x -=>+． （1）求1()fx -的表达式;（2）判断1()f x -的单调性;（3）若对于区间11[,]42上的每一个x 的值,不等式1(1()(f x m m ->恒成立,求m 的取值范围．19． （本题满分12分） 已知1a >,函数2()log (2)a f x x ax =-+在x ∈[2,)+∞时的值恒为正．（1）a 的取值范围;（2）记（1）中a 的取值范围为集合A ,函数22()log (22)g x tx x =+-的定义域为集合B ．若A ∩B ≠∅,求实数t 的取值范围．20． （本题满分13分） 已知奇函数()f x 的定义域是{|x x ∈R,,2kx k ≠∈Z},且()(1)f x f x =-,当0≤x ≤12时,2()f x x x =-．（1）求证:()f x 是周期为2的函数; （2）求()f x 在区间[1,2]上的解析式; （3）求方程10000()log f x x =的根的个数．21． （本题满分14分） 已知函数2()1f x ax bx =++（a >0）．方程()f x x =有两个实根12,x x ．（1）如果1224x x <<<,函数()f x 图象的对称轴是直线0x x =,求证01x >-; （2）如果102x <<,且()f x x =的两实根之差为2,求实数b 的取值范围．。
黄高预录数学试题
黄高预录数学试题 Modified by JACK on the afternoon of December 26, 2020绝密★启用前湖北省黄冈中学理科实验班预录考试数学试卷一．选择题（共11小题）1.记号[x]表示不超过x的最大整数，设n是自然数，且．则（）A．I＞0 B．I＜0 C．I=0 D．当n取不同的值时，以上三种情况都可能出现2.对于数x，符号[x]表示不大于x的最大整数．若[]=3有正整数解，则正数a的取值范围是（）A．0＜a＜2或2＜a≤3 B．0＜a＜5或6＜a≤7C．1＜a≤2或3≤a＜5 D．0＜a＜2或3≤a＜5个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子都不空的放法有（）A．4种 B．6种 C．10种D．12种4.有甲、乙、丙三位同学每人拿一只桶同时到一个公用的水龙头去灌水，灌水所需的时间分别为分钟、分钟和1分钟，若只能逐个地灌水，未轮到的同学需等待，灌完的同学立即离开，那么这三位同学花费的时间（包括等待时间）的总和最少是（）A．3分钟B．5分钟C．分钟D．7分钟5.已知实数x满足x2++x﹣=4，则x﹣的值是（）A．﹣2 B．1 C．﹣1或2 D．﹣2或16．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD=60°，AM交BC于E．当M为BD中点时，的值为（）A．B．C．D．7．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F．若AD=2，BC=6，则△ADB的面积等于（）A．2 B．4 C．6 D．88．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（） A．∠1＞∠2 B．∠1＜∠2 C．∠1=∠2 D．无法确定9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3π C．D．6π10．方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．311．如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共4小题）12．已知x为实数，且，则x2+x的值为．13．满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是．14．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为．15．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是．三．解答题16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设点P 的运动时间为x（秒）．（1）设△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）x为何值时，△PBQ的面积最大？并求出最大值；（3）当点Q在BC上运动时，线段PQ上是否存在一个点T，使得在某个时刻△ACT、△ABT、△BCT的面积均相等（无需计算，说明理由即可）．17．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是．（结果可以不化简）18．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD．了望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在了望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE 长为30米．（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1：，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米（参考数据：tan31°≈，sin31°≈）19．已知关于x的方程，（1）若两根x1，x2满足x1＜0＜x2，求m的范围；（2）若，求m的值．20.当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，）为“完美点”，已知点A（0，5）与点M都在直线y=﹣x+b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM 上，若MC=，AM=4，求△MBC的面积．21.设p，q都是实数，且p＜q．我们规定：满足不等式p≤x≤q的实数x的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[p，q]．对于一个函数，如果它的自变量x与函数值y满足：当p≤x≤q时，有p≤y≤q，我们就称此函数是闭区间[p，q]上的“闭函数”．（1）反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；（2）若一次函数y=kx+b（k≠0）是闭区间[m，n]上的“闭函数”，求此函数的解析式；（3）若实数c，d满足c＜d，且d＞2，当二次函数y=x2﹣2x是闭区间[c，d]上的“闭函数”时，求c，d的值．22.我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用了价格调控等手段来达到节约用水的目的，某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+定额损耗费．若每月用水量不超过最低限量a立方米时，只付基本费8元和每月的定额损耗费c元；若用水量超过a 立方米时，除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付b元的超额费．已知每户每月的定额费不超过5元．（1）当月用水量为x立方米时，支付费用为y元，写出y关于x的函数关系式；（2）该市一家庭今年一季度的用水量和支付费用见下表，根据表中数据求a、b、c．月份用水量（m3）水费（元）1 9 92 15 193 22 3323.某市将建一个制药厂，但该厂投产后预计每天要排放大约80吨工业废气，这将造成极大的环境污染．为了保护环境，市政府决定支持该厂贷款引进废气处理设备来减少废气的排放：该设备可以将废气转化为某种化工产品和符合排放要求的气体．经测算，制药厂每天利用设备处理废气的综合成本y（元）与废气处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为：y=，且每处理1吨工业废气可得价值为80元的某种化工产品并将之利润全部用来补贴废气处理．（1）若该制药厂每天废气处理量计划定为20吨时，那么工厂需要每天投入的废气处理资金为多少元？（2）若该制药厂每天废气处理量计划定为x吨，且工厂不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量，求x的取值范围；（3）若该制药厂每天废气处理量计划定为x（40≤x≤80）吨，且市政府决定为处理每吨废气至少补贴制药厂a元以确保该厂完成计划的处理量总是不用投入废气处理资金，求a的值．24.如图，菱形ABCD的边长为6且∠DAB=60°，以点A为原点、边AB所在的直线为x轴且顶点D在第一象限建立平面直角坐标系．动点P从点D出发沿折线DCB向终点B以2单位/每秒的速度运动，同时动点Q从点A出发沿x轴负半轴以1单位/秒的速度运动，当点P到达终点时停止运动，运动时间为t，直线PQ交边AD于点E．（1）求出经过A、D、C三点的抛物线解析式；（2）是否存在时刻t使得PQ⊥DB，若存在请求出t值，若不存在，请说明理由；（3）设AE长为y，试求y与t之间的函数关系式；（4）若F、G为DC边上两点，且点DF=FG=1，试在对角线DB上找一点M、抛物线ADC对称轴上找一点N，使得四边形FMNG周长最小并求出周长最小值．参考答案与试题解析一．选择题1.∴等式成立，∴I=（n+1）2+n﹣（n+1）2=n＞0，故选A．2.解：∵[]=3有正整数解，∴3≤＜4，即6≤3x+a＜8，6﹣a≤3x＜8﹣a，∴≤x＜，∵x是正整数，a为正数，∴x＜，即x可取1、2；①当x取1时，∵6≤3x+a＜8，6﹣3x≤a＜8﹣3x，∴3≤a＜5；②当x取2时，∵6≤3x+a＜8，6﹣3x≤a＜8﹣3x，∴0＜a＜2；综上可得a的范围是：0＜a＜2或3≤a＜5．故选D．3.解：∵6个相同的球，放入四个不同的盒子里，∴若有三个盒子里放了1个，一个盒子里放了3个，这种情况下的方法有4种；若有两个盒子里放了2个，两个盒子里放了1个，这种情况下：设四个盒子编号为①②③④，可能放了两个小球的盒子的情况为：①②，①③，①④，②③，②④，③④，所以有6种情况；∴6个相同的球，放入四个不同的盒子里，每个盒子都不空的放法有：4+6=10．故选C．4. 这道题可以采用逆推法，我们可以先分析最后一位会用多长时间，很显然不管是谁最后灌水都得用3分钟，所以只需考虑前两个接水的，怎样能够更加节省时间，显然乙第一个灌水会最省时，因为只需分钟．接着是丙，丙灌水的时间加上等乙的时间，也就是分钟，最后是甲．所以只有按乙，丙，甲安排灌水才最省时．【解答】解：按乙，丙，甲安排灌水最省时，这三位同学花费的时间（包括等待时间）的总和最少是+（+1）+（+1+）=5分钟．故选B．【点评】考查了应用类问题，运用了逆推法，按照灌水所需的时间由少到多的顺序安排灌水花费的时间的总和最少．5．已知实数x满足x2++x﹣=4，则x﹣的值是（）A．﹣2 B．1 C．﹣1或2 D．﹣2或1【分析】利用完全平方公式可把原式变为（x﹣）2+x﹣﹣2=0，用十字相乘法可得x﹣的值．【解答】解：x2+﹣2+x﹣﹣2=0∴（x﹣）2+（x﹣）﹣2=0解得x﹣=﹣2或1．故选D【点评】本题的关键是把x﹣看成一个整体来计算，即换元法思想．6．如图，在等边△ABC中，D为AC边上的一点，连接BD，M为BD上一点，且∠AMD=60°，AM交BC于E．当M为BD中点时，的值为（）A．B．C．D．【分析】作DK∥BC，交AE于K．首先证明BE=DK=CD，CE=AD，设BE=CD=DK=a，AD=EC=b，由DK∥EC，可得=，推出=，即a2+ab﹣b2=0，可得（）2+（）﹣1=0，求出即可解决问题．【解答】解：作DK∥BC，交AE于K．∵△ABC是等边三角形，∴AB=CB=AC，∠ABC=∠C=60°，∵∠AMD=60°=∠ABM+∠BAM，∵∠ABM+∠CBD=60°，∴∠BAE=∠CBD，在△ABE和△BCD中，，∴△ABE≌△BCD，∴BE=CD，CE=AD，∵BM=DM，∠DMK=∠BME，∠KDM=∠EBM，∴△MBE≌△MDK，∴BE=DK=CD，设BE=CD=DK=a，AD=EC=b，∵DK∥EC，∴=，∴=，∴a2+ab﹣b2=0，∴（）2+（）﹣1=0，∴=或（舍弃），∴==，故选B．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、平行线分线段成比例定理、一元二次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用方程的思想思考问题，本题体现了数形结合的思想，属于中考选择题中的压轴题．7．如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F．若AD=2，BC=6，则△ADB的面积等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【分析】作AH⊥BC，根据折叠的性质得到BE=DE，∠BDE=∠DBE=45°，则∠DEB=90°，再根据等腰梯形的性质得到BH=CE，可计算出CE=2，DE=BE=4，然后根据三角形面积公式进行计算．【解答】解：作AH⊥BC，如图，∵翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点E、F，∴BE=DE，∠BDE=∠DBE=45°，∴∠DEB=90°，∴DE⊥BC，∵梯形ABCD为等腰梯形，∴BH=CE，而AD=HE，AD=2，BC=6，∴CE=（6﹣2）=2，∴DE=BE=4，∴△ADB的面积=×2×4=4．故选B．【点评】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图象全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了等腰梯形的性质．8．如图，正方形ABCD中，E为CD的中点，EF⊥AE，交BC于点F，则∠1与∠2的大小关系为（）A．∠1＞∠2 B．∠1＜∠2 C．∠1=∠2 D．无法确定【分析】易证△ADE∽△ECF，求得CF的长，可得根据勾股定理即可求得AE、EF 的长，即可判定△ADE∽△AEF，即可解题．【解答】解：∵∠AED+∠CEF=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠DAE=∠CEF，∵∠ADE=∠ECF=90°，∴△ADE∽△ECF，且相似比为2，∴AE=2EF，AD=2DE，又∵∠ADE=∠AEF，∴△ADE∽△AEF，∴∠1=∠2．【点评】本题考查了相似三角形的判定，相似三角形对应边比值相等的性质，相似三角形对应角相等的性质，本题中求证△ADE∽△AEF是解题的关键．9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3π C．D．6π【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：×π×12×6=3π．故选B．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力．10．方程x2+2x+1=的正数根的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】求方程x2+2x+1=的解，可以理解为：二次函数y=x2+2x+1与反比例函数y=的图象交点的横坐标．【解答】解：二次函数y=x2+2x+1=（x+1）2的图象过点（0，1），且在第一、二象限内，反比例函数y=的图象在第一、三象限，∴这两个函数只在第一象限有一个交点．即方程x2+2x+1=的正数根的个数为1．故选B．【点评】本题利用了二次函数的图象与反比例函数图象来确定方程的交点的个数．11．如图，已知∠AOM=60°，在射线OM上有点B，使得AB与OB的长度都是整数，由此称B是“完美点”，若OA=8，则图中完美点B的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】首先过点B作BC⊥OA，交OA于点C，连接AB，可能有两种情况，垂足在OA上或者垂足在OA延长线上，然后设OB=y，AB=x，由勾股定理即可求得：y2﹣（y）2=x2﹣（8﹣y）2或x2﹣（y﹣8）2=y2﹣（y）2，整理可得x2﹣（y﹣4）2=48，然后将原方程转为 X2﹣Y2=48，先求（X+Y）（X﹣Y）=48的正整数解，继而可求得答案．【解答】解，过点B作BC⊥OA，交OA于点C，连接AB，可能有两种情况，垂足在OA上或者垂足在OA延长线上．设OB=y，AB=x，∵∠AOM=60°，∴OC=OB?cos60°=y，∴AC=OA﹣OC=8﹣y或AC=OC﹣OA=y﹣8，∵BC2=OB2﹣OC2，BC2=AB2﹣AC2，∴y2﹣（y）2=x2﹣（8﹣y）2或x2﹣（y﹣8）2=y2﹣（y）2，∴x2﹣（y﹣4）2=48，∵x与y是正整数，且y必为正整数，x﹣4为大于等于﹣4的整数，将原方程转为 X2﹣Y2=48，先求（X+Y）（X﹣Y）=48的正整数解，∵（X+Y）和（X﹣Y）同奇同偶，∴（X+Y）和（X﹣Y）同为偶数；∴X2﹣Y2=48可能有几组正整数解：，，，解得：，，，∴x的可能值有3个：x=7，x=8或x=13，当x=7时，y﹣4=±1，y=3或y=5；当x=8时，y﹣4=±4，y=8或y=0（舍去）；当x=13时，y﹣4=±11，y=15或y=﹣7（舍去）；∴共有4组解：或或或．故选D．【点评】此题考查了勾股定理的应用以及整数的综合应用问题．此题难度较大，注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．二．填空题（共4小题）12．已知x为实数，且，则x2+x的值为1．【分析】本题用换元法解分式方程，由于x2+x是一个整体，可设x2+x=y，可将方程转化为简单的分式方程求y，将y代换，再判断结果能使x为实数．【解答】解：设x2+x=y，则原方程变为﹣y=2，方程两边都乘y得：3﹣y2=2y，整理得：y2+2y﹣3=0，（y﹣1）（y+3）=0，∴y=1或y=﹣3．当x2+x=1时，即x2+x﹣1=0，△=12+4×1=5＞0，x存在．当x2+x=﹣3时，即x2+x+3=0，△=12﹣4×3=﹣11＜0，x不存在．∴x2+x=1．【点评】当分式方程比较复杂时，通常采用换元法使分式方程简化．需注意换元后得到的根也必须验根．13．满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是﹣2≤x≤3．【分析】分别讨论①x≥3，②﹣2＜x＜3，③x≤﹣2，根据x的范围去掉绝对值，解出x，综合三种情况可得出x的最终范围．【解答】解：从三种情况考虑：第一种：当x≥3时，原方程就可化简为：x+2+x﹣3=5，解得：x=3；第二种：当﹣2＜x＜3时，原方程就可化简为：x+2﹣x+3=5，恒成立；第三种：当x≤﹣2时，原方程就可化简为：﹣x﹣2+3﹣x=5，解得：x=﹣2；所以x的取值范围是：﹣2≤x≤3．【点评】解一元一次方程，注意最后的解可以联合起来，难度很大．14．多项式6x3﹣11x2+x+4可分解为（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．【分析】将﹣11x2分为﹣6x2和﹣5x2两部分，原式可化为6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，6x3﹣6x2可提公因式，分为一组，﹣5x2+x+4可用十字相乘法分解，分为一组．【解答】解：6x3﹣11x2+x+4，=6x3﹣6x2﹣5x2+x+4，=6x2（x﹣1）﹣（5x2﹣x﹣4），=6x2（x﹣1）﹣（x﹣1）（5x+4），=（x﹣1）（6x2﹣5x﹣4），=（x﹣1）（3x﹣4）（2x+1）．【点评】本题考查了用分组分解法进行因式分解，要考虑分组后还能进行下一步分解，把﹣11x2分成﹣6x2和﹣5x2两部分是解题的关键，也是难点．15．设整数a使得关于x的一元二次方程5x2﹣5ax+26a﹣143=0的两个根都是整数，则a的值是18．【分析】首先将方程组5x2﹣5ax+26a﹣143=0左右乘5得25x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39=0，再分解因式．根据39为两个整数的乘积，令两个因式分别等于39分解的整因数．讨论求值验证即可得到结果．【解答】解：∵5x2﹣5ax+26a﹣143=025x2﹣25ax+（130a﹣262）﹣39=0，即（5x﹣26）（5x﹣5a+26）=39，∵x，a都是整数，故（5x﹣26）、（5x﹣5a+26）都分别为整数，而只存在39=1×39或39×1或3×13或13×3或四种情况，①当5x﹣26=1、5x﹣5a+26=39联立解得a=不符合，②当5x﹣26=39、5x﹣5a+26=1联立解得a=18，③当5x﹣26=3、5x﹣5a+26=13联立解得a=不符合，④当5x﹣26=13、5x﹣5a+26=3联立解得a=不符合，∴当a=18时，方程为5x2﹣90x+325=0两根为13、﹣5．故答案为：18．【点评】本题考查因式分解的应用、一元二次方程的整数根与有理根．解决本题的关键是巧妙利用39仅能分解为整数只存在39=1*39或39*1或3*13*13*3或四种情况，因而讨论量，并不大．三．解答题（共4小题）16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，点P从点A出发沿AB方向向点B运动，速度为1cm/s，同时点Q从点B出发沿B→C→A方向向点A运动，速度为2cm/s，当一个运动点到达终点时，另一个运动点也随之停止运动．设点P 的运动时间为x（秒）．（1）设△PBQ的面积为y（cm2），当△PBQ存在时，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）x为何值时，△PBQ的面积最大？并求出最大值；（3）当点Q在BC上运动时，线段PQ上是否存在一个点T，使得在某个时刻△ACT、△ABT、△BCT的面积均相等（无需计算，说明理由即可）．【分析】（1）由在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，设AC=4y，BC=3y，由勾股定理即可求得AC、BC的长；分别从当点Q在边BC上运动与当点Q在边CA上运动去分析，首先过点Q作AB的垂线，利用相似三角形的性质即可求得△PBQ的底与高，则可求得y与x的函数关系式；（2）由二次函数最值的求法得到两种情况下的△PBQ的面积最大值，进行比较即可得到答案；（3）根据三角形的面积公式得到符合条件的点应该是：到三边的距离之比为12：15：20．【解答】解：（1）设AC=4x，BC=3x，在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，即：（4x）2+（3x）2=102，解得：x=2，∴AC=8cm，BC=6cm；分两种情况：①如图1，当点Q在边BC上运动时，过点Q作QH⊥AB于H．∵AP=x，∴BP=10﹣x，BQ=2x，∵△QHB∽△ACB，∴=，∴QH=x，y=BP?QH=（10﹣x）x=﹣x2+8x（0＜x≤3），②如图2，当点Q在边CA上运动时，过点Q作QH′⊥AB于H′，∵AP=x，∴BP=10﹣x，AQ=14﹣2x，∵△AQH′∽△ABC，∴=，即：=，解得：QH′=（14﹣2x），∴y=PB?QH′=（10﹣x）（14﹣2x）=x2﹣x+42（3＜x＜7）；（2）①当0＜x≤3时，y=﹣（x﹣5）2+20．∵该抛物线的开口方向向下，对称轴是x=5，=．∴当x=3时，y取最大值，y最大当3＜x＜7时，y=x2﹣x+42=（x﹣）2+（3＜x＜7）；∵该抛物线的开口方向向上，对称轴是x=，∴当x=3时，y取最大值，但是x=3不符合题意．综上所述，△PBQ的面积的最大值是．（3）存在．理由如下：设点T到AB、AC、BC的距离分别是a、b、c．∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，∴AB?a=AC?c=BC?c，即5a=4b=3c，故a：b：c=12：15：20．∴当满足条件的点T到AB、AC、BC的距离之比为12：15：20时，△ACT、△ABT、△BCT的面积均相等．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及最短距离问题．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．17．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B 为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．请你回答：AP的最大值是6．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是（或不化简为）．（结果可以不化简）【分析】（1）根据旋转的性质知A′A=AB=BA′=2，AP=A′C，所以在△AA′C中，利用三角形三边关系来求A′C即AP的长度；（2）以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．根据旋转的性质推知PA+PB+PC=P'A′+P'B+PC．当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A′+P'B+PC）最短，即线段A'C最短．然后通过作辅助线构造直角三角形A′DC，在该直角三角形内利用勾股定理来求线段A′C的长度．【解答】解：（1）如图2，∵△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，∴∠A′BA=60°，A′B=AB，AP=A′C∴△A′BA是等边三角形，∴A′A=AB=BA′=2，在△AA′C中，A′C＜AA′+AC，即AP＜6，则当点A′A、C三点共线时，A′C=AA′+AC，即AP=6，即AP的最大值是：6；故答案是：6．（2）如图3，∵Rt△ABC是等腰三角形，∴AB=BC．以B为中心，将△APB逆时针旋转60°得到△A'P'B．则A'B=AB=BC=4，PA=P′A′，PB=P′B，∴PA+PB+PC=P′A′+P'B+PC．∵当A'、P'、P、C四点共线时，（P'A+P'B+PC）最短，即线段A'C最短，∴A'C=PA+PB+PC，∴A'C长度即为所求．过A'作A'D⊥CB延长线于D．∵∠A'BA=60°（由旋转可知），∴∠1=30°．∵A'B=4，∴A'D=2，BD=2，∴CD=4+2．在Rt△A'DC中A'C====2+2；∴AP+BP+CP的最小值是：2+2（或不化简为）．故答案是：2+2（或不化简为）．【点评】本题综合考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理以及等边三角形的判定与性质．注意：旋转前、后的图形全等．18．某水库大坝的横截面是如图所示的四边形BACD，期中AB∥CD．了望台PC正前方水面上有两艘渔船M、N，观察员在了望台顶端P处观测渔船M的俯角α=31°，观测渔船N在俯角β=45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为点E，PE 长为30米．（1）求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；（2）已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1：．为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝定加宽3米，背水坡FH的坡度为i=1：，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈，sin31°≈）【分析】（1）根据已知求出EN，根据正切的概念求出EM，求差得到答案；（2）根据坡度和锐角三角函数的概念求出截面积和土石方数，根据题意列出分式方程，解方程得到答案．【解答】解：（1）在Rt△PEN中，∵∠PNE=45°，∴EN=PE=30米，在Rt△PEM中，∠PME=31°，tan∠PME=，∴ME=≈50（米），∴MN=EM﹣EN=20米，答：两渔船M，N之间的距离约为20米；（2）过点F作FK∥AD交AH于点K，过点F作FL⊥AH交直线AH于点L，则四边形DFKA为平行四边形，∴∠FKA=∠DAB，DF=AK=3，由题意得，tan∠FKA=tan∠DAB=4，tan∠H=，在Rt△FLH中，LH==36，在Rt△FLK中，KL==6，∴HK=30，AH=33，梯形DAHF的面积为：×DL×（DF+AH）=432，所以需填土石方为432×100=43200，设原计划平均每天填x立方米，由题意得，12x+（﹣12﹣20）×=43200，解得，x=600，经检验x=600是方程的解．答：原计划平均每天填筑土石方600立方米．【点评】本题考查的是解直角三角形和分式方程的应用，掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的一般步骤、根据题意正确列出分式方程是解题的关键，注意分式方程解出未知数后要验根．19．已知关于x的方程，（1）若两根x1，x2满足x1＜0＜x2，求m的范围；（2）若，求m的值．【分析】（1）由关于x的方程4x2+mx+m﹣4=0 有两根，可知此一元二次方程的判别式△＞0，即可得不等式，又由x1＜0＜x2，可得x1x2＜0，根据根与系数的关系，可得不等式=m﹣1＜0，解此不等式组即可求得答案；（2）由一元二次方程根与系数的关系即可得 4x12+mx1+m﹣4=0，x1+x2=﹣，x1x2==m﹣1，然后将6x12+mx1+m+2x22﹣8=0变形，可得4x12+mx1+m﹣4+2[（x1+x2）2﹣2x1x2]=4，则可得方程（﹣）2﹣2[m﹣1]=2，解此方程即可求得答案．【解答】解：（1）∵关于x的方程4x2+mx+m﹣4=0 有两根，∴△=m2﹣4×4×（m﹣4）=m2﹣8m+64=（m﹣4）2+48＞0，∵两根x1，x2满足x1＜0＜x2，∴x1x2==m﹣1＜0，∴m＜8，（2）∵x1、x2是方程的根，∴4x12+mx1+m﹣4=0，x1+x2=﹣，x1x2==m﹣1，∵6x12+mx1+m+2x22﹣8=0，∴4x12+mx1+m﹣4+2（x12+x22）﹣4=0∴4x12+mx1+m﹣4+2[（x1+x2）2﹣2x1x2]=4，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=2，即（﹣）2﹣2[m﹣1]=2，化简得：m2﹣4m=0，解得：m=0 或m=4，∴m的值为0或4．【点评】此题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系等知识．此题难度较大，解题的关键是注意利用根与系数的关系将原方程变形求解，注意方程思想的应用．20.【解答】解：∵m+n=mn且m，n是正实数，∴+1=m，即=m﹣1，∴P（m，m﹣1），即“完美点”B在直线y=x﹣1上，∵点A（0，5）在直线y=﹣x+b上，∴b=5，∴直线AM：y=﹣x+5，∵“完美点”B在直线AM上，∴由解得，∴B（3，2），∵一、三象限的角平分线y=x垂直于二、四象限的角平分线y=﹣x，而直线y=x﹣1与直线y=x平行，直线y=﹣x+5与直线y=﹣x平行，∴直线AM与直线y=x﹣1垂直，∵点B是直线y=x﹣1与直线AM的交点，∴垂足是点B，∵点C是“完美点”，∴点C在直线y=x﹣1上，∴△MBC是直角三角形，∵B（3，2），A（0，5），∴AB=3，∵AM=4，∴BM=，又∵CM=，∴BC=1，=BM?BC=．∴S△MBC【点评】本题考查了一次函数的性质，直角三角形的判定，勾股定理的应用以及三角形面积的计算等，判断直线垂直，借助正比例函数是本题的关键．21.解：（1）反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”，理由如下：反比例函数y=在第一象限，y随x的增大而减小，当x=1时，y=2014；当x=2014时，y=1，所以，当1≤x≤2014时，有1≤y≤2014，符合闭函数的定义，故反比例函数y=是闭区间[1，2014]上的“闭函数”；（2）分两种情况：k＞0或k＜0．①当k＞0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而增大，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y=x；②当k＜0时，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是y随x的增大而减小，故根据“闭函数”的定义知，，解得．∴此函数的解析式是y=﹣x+m+n；（3）∵y=x2﹣2x=（x2﹣4x+4）﹣2=（x﹣2）2﹣2，∴该二次函数的图象开口方向向上，最小值是﹣2，且当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大．①当c＜2＜d时，此时二次函数y=x2﹣2x的最小值是﹣2=c，根据“闭函数”的定义知，d=c2﹣2c或d=d2﹣2d；Ⅰ）当d=c2﹣2c时，由于d=×（﹣2）2﹣2×（﹣2）=6＞2，符合题意；Ⅱ）当d=d2﹣2d时，解得d=0或6，由于d＞2，所以d=6；②当c≥2时，此二次函数y随x的增大而增大，则根据“闭函数”的定义知，，解得，，∵c＜d，∴不合题意，舍去．综上所述，c，d的值分别为﹣2，6．【点评】本题综合考查了二次函数图象的对称性和增减性，一次函数图象的性质以及反比例函数图象的性质．解题的关键是弄清楚“闭函数”的定义．解题时，也要注意“分类讨论”数学思想的应用．22.【解答】解：月用水量为x立方米，支付费用为y元，则有：y=；（2）由表知第二、第三月份的水费均大于13元，故用水量15m3，22m3均大于最低限量am3，于是就有，解得b=2，从而2a=c+19，再考虑一月份的用水量是否超过最低限量am3，不妨设9＞a，将x=9代入x＞a的关系式，得9=8+2（9﹣a）+c，即2a=c+17，这与2a=c+19矛盾．∴9≤a．从而可知一月份的付款方式应选0≤x≤a的关系式，因此就有8+c=9，解得c=1．故a=10，b=2，c=1．23.【解答】解：（1）由题意可知，当废弃处理量x满足0＜x＜40时，每天利用设备处理废气的综合成本y=40x+1200，∴当该制药厂每天废气处理量计划为20吨，即x=20时，每天利用设备处理废气的综合成本为y=40×20+1200=2000元，又∵转化的某种化工产品可得利润为80×20=1600元，∴工厂每天需要投入废气处理资金为400元；（2）由题意可知，y=，①当0＜x＜40时，令80x﹣（40x+1200）≥0，解得30≤x＜40，②当40≤x≤80时，令80x﹣（2x2﹣100x+5000）≥0，即2x2﹣180x+5000≤0，∵△=1802﹣4×2×5000＜0，∴x无解．综合①②，x的取值范围为30≤x＜40，故当该制药厂每天废气处理量计划为[30，40）吨时，工厂可以不用投入废气处理资金就能完成计划的处理量；（3）∵当40≤x≤80时，投入资金为80x﹣（2x2﹣100x+5000），又∵市政府为处理每吨废气补贴a元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金，∴当40≤x≤80时，不等式80x+ax﹣（2x2﹣100x+5000）≥0恒成立，即2x2﹣（180+a）x+5000≤0对任意x∈[40，80]恒成立，令g（x）=2x2﹣（180+a）x+5000，则有，即，即解得，答：市政府只要为处理每吨废气补贴元就能确保该厂每天的废气处理不需要投入资金．【点评】本题主要考查函数模型的选择与应用．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．属于中档题．24.【解答】解：（1）△DAB中，∠DAB=60°，DA=AB=6则：D到y轴的距离=AB=3、D到x轴的距离=DA?sin∠DAB=3；∴D（3，3）；由于DC∥x轴，且DC=AB=6，那么将点D右移6个单位后可得点C，即C（9，3）；设抛物线的解析式为：y=ax2+bx，有：，解得∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x．（2）如图1，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，若PQ⊥DB，则PQ∥AC，∵点P在BC上时，PQ与AC始终相交，和PQ∥AC矛盾，∴点P在BC上时不存在符合要求的t值，当P在DC上时，由于PC∥AQ且PQ∥AC，所以四边形PCAQ是平行四边形，则PC=AQ，有6﹣2t=t，得t=2．（3）①如图1，当点P在DC上，即0＜t≤3时，有△EDP∽△EAQ，则===，那么AE=AD=2，即y=2；②如图2，当点P在CB上，即3＜t≤6时，有△QEA∽△QPB，则=，即=，得y=，。
湖北省黄冈中学高考数学(理科)模拟试卷(十二)
2009届黄冈中学高考模拟试卷数学（理科）（十二）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、（）A．－3＋4i B．0C．－4＋3i D．－4－3i2、已知集合M={3，log2x4}，N={x，y}，若M∩N={2}，则M∪N=（）A．{1，2，3}B．{1，2，3，4}C．{－1，1，2，3}D．{2，3，x，y}3、在区间[0，1]上任取两个数a，b，方程x2＋ax＋b2=0的两根均为实数的概率为（）4、若a>1，b>1，且lg(a＋b)=lga＋lgb，则lg(a－1)＋lg(b－1)的值（）A．等于lg2B．等于1C．等于0D．不是与a、b无关的常数5、函数的图像大致是（）6、已知直线l与平面α成45°角，直线mα，若直线l在α内的射影与直线m也成45°角，则l与m所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°7、定义运算：，设函数f(x)=sinx cosx(x∈R)的最大值为M，最小值为m，则M＋m=（）8、过点C(6，－8)作圆x2＋y2=25的两条切线，切点为A、B，则点C到直线AB的距离为（）A．5B．10C．D．159、已知函数f(x)=2x－1，g(x)=1－x2，构造函数F(x)，定义如下：当|f(x)|≥g(x)时，F(x)=|f(x)|；当|f(x)|<g(x)时，F(x)=－g(x)，那么F(x)（）A．有最大值1，无最小值B．有最小值－1，无最大值C．有最小值0，无最大值D．无最小值，也无最大值10、从双曲线的左焦点F引圆x2＋y2=3的切线FP交双曲线右支于点P，T 为切点，M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|=（）第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11、若展开式中的各项系数之和为－32，那么展开式中的常数项为__________．12、设s，t为正整数，两直线l1：与l2：的交点是(x1，y1)，对于正整数n(n≥2)，过点(0，t)和(xn－1，0)的直线与直线l2的交点记为(xn，yn)，则数列{x n}的通项公式xn=__________．13、将标号为1，2，…，10的10个球放入标号为1，2，…，10的10个盒子内，每个盒子内放一个球，恰好有2个球的标号与其所在盒子的标号不一致的放入方法种数为_____________.（用数字作答）14、已知AB是椭圆(a>b>0)的长轴，若把该长轴n等分，过每个等分点作AB的垂线，依次交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P n－1，设左焦点为F1，则(|F1A|＋|F1P1|＋…＋|F1P n－1|＋|F1B|)=_________．15、给出命题：①函数的最小值等于－1；②函数y=sinπxcosπx是周期为2的奇函数；③函数在区间上是单调递增的；④函数在(2008，＋∞)上恒有.则正确命题的序号是__________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16、(本小题满分12分)解不等式：．17、(本小题满分12分)设A，B，C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c．若m=(cosB，sinC)，n=(cosC，－sinB)，且．(1)求A；(2)若，求b＋c的取值范围．18、(本小题满分12分)如图2所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是AB上的动点．E与EC垂直，请确定点E的位置，并求出此时异面直线AD1与EC所(1)若直线D1成的角；(2)在(1)的条件下求二面角D－EC－D的大小．119、(本小题满分12分)在美国广为流传的一道数学题目是：老板给你两种加工资的方案．第一种方案是每年年末(12月底)加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加1000元；第二种方案是每半年(6月底和12月底)各加薪一次，每次所加的工资数是在上次所加工资数的基础上再增加300元，请选择一种．根据上述条件，试问：(1)如果你将在该公司干十年，你将选择哪一种加工资的方案？(说明理由)(2)如果第二种方案中的每半年加300元改成每半年加a元，那么a在什么范围内取值时，选择第二种方案总是比选择第一种方案多加薪？20、(本小题满分13分)已知y=f(x)是定义在R上的单调递减函数，对任意的实数x，y 都有f(x＋y)=f(x)f(y)且f(0)=1，数列{a}满足a1=4，(n∈nN*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设S n是数列{a n}的前n项和，试比较S n与6n2－2的大小．21、(本小题满分14分)已知方向向量为e=(1，)的直线l过点A(0，)和椭圆C：(a>b>0)的焦点，且椭圆C的中心O和椭圆的右准线上的点B满足：．(1)求椭圆C的方程；(2)设M、N是椭圆C上两个不同点，且M、N的纵坐标之和为1，记u为M、N 的横坐标之积．问是否存在最小的常数m，使u≤m恒成立?若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．试题答案选择题提示：1、.2、由log2x4=2，可得x=1，故N={1，2}，M={3，2}，则M∪N={1,2,3}.3、可得，作出可行域，可得概率.4、a＋b=ab，则lg(a－1)＋lg(b－1)=lg(a－1)(b－1)=lg(ab－a－b＋1)=lg1=0.5、函数定义域为，排除B，D，又当x>1时，函数单调递减，故选A.6、设l与m所成的角是θ，则有.7、，函数值域为，故.8、可得|OC|=10，|OA|=|OB|=5，故∠OCB=∠OCA=30°，又，故点C到直线AB的距离为.9、作出图像，容易判断F(x)有最小值－1，无最大值.10、设F1为右焦点，可得，则，中，根据余弦定理可求得，则有在△PFF1.填空题答案：11、90 12、13、45 14、a15、①提示：11、令x=1，可得(－2)n=－32，则n=5，故常数项.12、由，解得，故，又可求得x1=s，故.13、分两步：第一步，先取8个球，分别放入球的标号与盒子的标号相同的盒子里有种放法，第二步，再将余下的2个球放入盒子里的放法有1种.由分步计数原理得=45种.14、根据椭圆第二定义，可得，…，，故所以.15、，故有最小值－1，①正确；，函数周期，②错误；函数在区间上是先增后减的，③错误；当sinx=0时，有，④错误.18、(1)解法1：由D1E与EC垂直DE与EC垂直．设AE=x，在直角三角形DEC中求得x=1，所以点E是AB的中点．取CD的中点Q，则AQ平行于EC，所以∠D1AQ是所求的角．在△D1AQ中求解得．异面直线AD1与EC所成的角为．解法2：利用向量法．分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立坐标系．设AE=x，根据直线D1E与EC垂直x=1，所以点E是AB的中点．则A(1，0，0)，E(1，1，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，1)，异面直线AD1与EC所成的角为．19、(1)第10年末，依第一方案得：1000＋2000＋…＋10000=55000(元)．依第二方案得300＋300×2＋300×3＋…＋300×20=63000(元)．∵63000－55000=8000(元)，∴在该公司干10年，选择第二方案比选择第一方案多加薪8000元．(2)第n年末，依第一方案，得：1000(1＋2＋3＋…＋n)=500n(n＋1)(元)．依第二方案，得：a(1＋2＋3＋…＋2n)=an(2n＋1)．由题意an(2n＋1)＞500n(n＋1)对所有正整数恒成立，20、(1)由题设知，(n∈N*)可化为.因为y=f(x)是定义在R上的单调递减函数，(2)S n=a1＋a2＋a3＋…＋a n=4(1＋31＋32＋…＋3n－1)=2(3n－1)．=6n2－2=4；当n=1时，有Sn当n=2时，有S=16<6n2－2=22；n当n=3时，有S=6n2－2=52；n当n=4时，有S=160>6n2－2=94；n=484>6n2－2=148；当n=5时，有Sn…>6n2－23n－1>n2．由此猜想当n≥4时，有Sn下面由数学归纳法证明：①当n=4时，显然成立；②假设n=k(k≥4，k∈N*)时，有3k－1>k2．当n=k＋1时，3k=3·3k－1>3k2．因为k≥4，所以k(k－1)≥12，所以3k2－(k＋1)2=2k(k－1)－1>0即3k2>(k＋1)2，故3k>3k2>(k＋1)2，所以3k>(k＋1)2，因此当n=k＋1时原式成立．由①②可知，当n≥4时，有3n－1>n2，即S n>6n2－2，故：当n=1，3时，有S=6n2－2；当n=2时，有S n<6n2－2；n>6n2－2．当n≥4时，有Sn。
湖北省黄冈中学初中数学自主招生预录考试训练试题二(
湖北省黄冈中学2016年初中数学自主招生预录考试训练试题二（理科实验班）预录考试数学训练题（二） 参考答案一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分） 1．D ． 2．B ． 3．A ． 解析：CPE∆∽CBA ∆222PE CP CP bPE AB a b AB BC BC a ⇒=⇒=⋅=+222b EF PE a b a ⇒==+．4．C ．二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 5．3． 6．10． 7．23 ． 8．33332x --<<． 解析：由26<0x mx +-，2222424122224m mm mx m m+++-<<=++解得 -．当1≤m ≤3时，22241241=322m m ++++- -的最大值为-，221212333=2243243m m-++++的最小值为． 所以，当1≤m ≤3时，y <0即260x mx +-<恒成立时， x 的取值范围是33332x --<<． 9．25．解析：由题意知（a －b ）2=1，∴a 2－2ab + b 2=1，又∵a 2+ b 2=13，∴2ab =12，∴（a +b ）2=a +2ab + b 2=13+12=25． 10．2018．解析：由题意知m 2－2016m +1=0，∴m 2－2015m =m －1，m 2+1= 2016m ，∴原式=m －1+20162016m +3= m －1+1m+3=2+1m m +2=2016m m +2=2016+2=2018．11．9．解析：从俯视图知该立体图形从前到后共排了三排小正方体，各位置上小正方体的个数如图所示． 12．－10．解析：[5]+3[－π]=2+3×（－4）=2－12=－10． 三、解答题（本大题共4小题，共60分）QBC A P 13．（本小题14分）由题意知，3+2=3a +b ，且3= -a +b ，解得a =3-1，b =23-1． ∴2-c =ac +b =(3-1)c +(23-1)，解得c =3-2． ∴a -b = -3，b -c =3+1，c -a = -1． ∴a 2＋b 2＋c 2－ab －bc －ca =21[(a -b )2+(b -c )2+(c-a )2]=21[(-3)2+(3+1)2+(-1)2]=4+3． 14．（本小题16分）（1）连接EP ，FP ，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠BAD=90°，∠BPA=90°，∴∠FPE=90°，∴∠BPF=∠APE ， 又∵∠FBP=∠PAE=45°，∴△BPF ≌△APE ，∴BF=AE ，而AB=AD ，∴DE=AF ； （2）连EF ，∵∠BAD=90°，∴EF 为⊙O 的直径，而⊙O 的半径为23，∴EF=3， ∴AF 2+AE 2=EF 2=（3）2=3，而DE=AF ，故DE 2+AE 2=3 ①；又∵AD=AE+ED=AB ，∴AE+ED= 12+ ②，由①②联立起来组成方程组，解得AE=1，ED=2或AE= 2，ED=1，所以ED AE= 222或． 15．（本小题12分）（1）当0x a <≤时，PCQ PBQ PBC S S S S ∆∆∆==-=ax x x a a x a x a 4343)(2321)(23)(212+-=-•--•+，当x a >时，PCQ PBQ PBC S S S S ∆∆∆==-=ax x a x a a x x a 4343)(2321)(23)(212-=-•--•+， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤<+-=∴)(4343)0(434322a x ax x a x ax x S ； （2）2213sin602ABC S a a ∆=︒=，若ABC PCQ S S ∆∆=，则 当0x a <≤时，有22333444x ax a -+=QACB P即220xax a -+=，解得，此方程无实根；当x a >时，有22333444x ax a -= 即220xax a --=解得，121515 22x a a x a a +-=>=<，(舍去)所以，当152APa +=时， △PCQ 的面积和△ABC 的面积相等．16．（本小题18分）（1）设过B 、A 、A ′三点的抛物线的函数表达式为y=ax 2+bx+c ． ∵抛物线过点B （﹣1，0），A (0，2)，A ′（1，1），∴021a b c c a b c -+=⎧⎪=⎨⎪++=⎩，解得32122a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩． ∴过B 、A 、A ′三点的抛物线的函数表达式为y=32-x 2+12x+2； （2）存在，E （﹣2，1）；（3）如图，△ABO 向下平移到△AB 1O 1，△B A ′B ′向左平移到B 2 A ′B ′，AB 1交x 轴于点C ，B A ′交y 轴于点D ，AB 1交B A ′于点E ，连接O E ． 移动t 秒时，A(0，2﹣t )，C(22t -，0)，B 2 (﹣1﹣t ，0)，D(0，12t+)， 设直线A C 的解析式为y=k 1x+b 1，则1112202b ttk b =-⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得1122k b t =⎧⎨=-⎩，故y=2x+2﹣t ； 设直线B 2D 的解析式为y=k 2x+b 2，则122012t k b t b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩（-1-），解得221212k t b ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，故y=12 x+12t +； 由221122y x tty x =+-⎧⎪⎨+=+⎪⎩得112222t x t x ++-=+，4421x t x t +-=++，333x t =-，1x t =-，故E(t ﹣1，t )．0设△ABO 与△B A ′B ′重叠面积为S ，则S=S△COE +S△DOE=12OC·︱y E︱+12OD·︱x E︱=12·22t-·t+12·12t+·(1﹣t) =14(2 t﹣t2)+14(1﹣t2)=﹣12t2+12t+14=﹣12(t﹣12)2+38．∵﹣12<0，∴当t=12时，△ABO与△B A′B′重叠面积的最大值为38．。
湖北省黄冈中学高考数学(理科)模拟试卷(二)
2009届黄冈中学高考模拟试卷数学(理科)(二)本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷50分，第Ⅱ卷100分，卷面共计150分，时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、复数z=(a＋i)(3－4i)∈R，则实数a的值为（）2、袋中装有标号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的8个相同的小球，从中任意摸出两个小球，则摸出的两个小球的序号不相邻的概率为（）3、在下列区间中，使得f(x)=(1＋x)2－ln(1＋x)2为增函数的是（）A．(－∞，－2)B．(－1，0)C．(－2，－1)D．(－1，＋∞)4、已知函数y=f(x)的定义域为R，则函数y=f(x－1)与y=f(1－x)的图像关于直线（）对称.A．y=0B．x=0C．y=1D．x=1（）A．等于B．等于1C．等于D．不存在6、若点(5，b)在两条平行直线6x－8y＋1=0与3x－4y＋5=0之间，则整数b的值为（）A．2B．4C．6D．87、记函数y=f(x)的反函数为y=f－1(x)，已知函数的图像过点(100，6)，函数y=g(x)与y=f(x)的图像关于y轴对称，则函数y=g(x)的图像必过点（）A．(12，6)B．(12，－6)C．(6，12)D．(－6，12)8、在直角坐标平面上，向量在直线l上的射影长度相等，直线l的倾斜角为锐角，则l的斜率为（）9、已知P，A，B，C是球面上的四个点，PA，PB，PC两两垂直，且PA=PB=PC=1，则球的体积为（）10、在坐标平面上，不等式组所表示的平面区域的面积为（）第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11、展开式的常数项是__________．12、已知f(x)是定义域为R的奇函数，且是周期为2的周期函数．当x∈[0，1）时，f(x)=2x －1，则的值为__________．13、已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量p=(a，b)，q=(c，a)，r=(c，b)，满足p2=q·r，则∠C的大小为__________．14、设随机变量ξ的概率分布为P（ξ=k）=，a为常数，k=1，2，3，…，则a的值为__________．15、设圆(x＋1)2＋y2=25的圆心为C，A(1，0)是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，AQ 的垂直平分线与CQ的连线的交点为M，则点M的轨迹方程为__________．三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)16、(本小题满分12分)设函数y=f(x)图像的一条对称轴是直线．(1)求；(2)求函数y=f(x)的单调增区间；(3)在图1中画出函数y=f(x)在区间[0，π]上的图像．17、(本小题满分12分)如图2,在直三棱柱ABC—A1B1C1中,,AA1=2，∠ACB＝90°，M是AA1的中点，N是BC1的中点．(1)求证：MN∥平面A1B1C1；(2)求点C1到平面MBC的距离；(3)求二面角B—C1M—A1的大小．18、(本小题满分12分)设函数的图像关于原点对称，f(x)的图像在点P(1，m)处的切线的斜率为－6，且当x=2时f(x)有极值．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若x1、x2∈[－1，1]，求证：|f(x1)－f(x2)|≤．19、(本小题满分12分)袋中装有大小相同的4个红球、6个白球，每次从中随机地摸取1球，每个球被取到的可能性相同．(1)求不放回地取3个，至少有两个红球的概率；(2)若每次取出后再放回，求第一次取出红球时，已取球次数ξ的数学期望．20、(本小题满分13分)已知F1、F2分别是双曲线x2－y2=1的两个焦点，O为坐标原点，F2为直径的圆相切，且直线与双曲线交于A、B两点．直线l：y=kx＋b与以F1(1)当时，求直线l的方程；(2)若，且2≤m≤4，求△AOB面积的取值范围．21、(本小题满分14分)已知数列{a n}的前n项和S n满足S n=2a n＋(－1)n，n≥1．(1)写出数列{a n}的前3项a1，a2，a3；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对任意的整数m>4，均有．试题答案选择题提示：1、z=3a＋4＋(3－4a)i，故3－4a=0，a=.2、.3、，由，故选C.4、令x－1=t，则1－x=－t，而y=f(t)与y=f(－t)的图像关于直线x=0对称，所以函数y=f(x－1)与y=f(1－x)的图像关于直线x=1对称.5、.6、可得(30－8b＋1)(15－4b＋5)<0，解得，则整数b=4.7、，则f(6)=12，故函数y=f(x)过点（6，12），所以函数y=g(x)过点（－6，12）.8、不妨设直线l过原点，直线方程为y=kx，直线l到OA的角为α，OB到直线l 的角为β，则有，又设点A到直线l的距离为d1，点B到直线l的距离为d2，则有，则有，化简得，又k>0，解得.9、以PA，PB，PC为棱构造正方体，则球即为正方体的外接球，可得外接球半径，所以球的体积.10、不等式组为，表示的平面区域面积为所构成图形面积的一半，而这个图形由4个圆组成，可求得面积.二、填空题答案：11、210 12、13、60°14、415、提示：11、，令，故常数项.12、13、，则.14、.15、|MC|＋|MA|=|MC|＋|MQ|=|CQ|=5，故点M轨迹是以A，C为焦点，5为长轴长的椭圆，方程为.三、解答题答案：11、210 12、13、60°14、415、提示：11、，令，故常数项.12、13、，则.14、.15、|MC|＋|MA|=|MC|＋|MQ|=|CQ|=5，故点M轨迹是以A，C为焦点，5为长轴长的椭圆，方程为.x 0 πy －1 0 1 0故函数y=f(x)在区间[0，π]上的图像如图所示．17、(1)取B1C1的中点D，连接ND，A1D，NM．∵DN∥BB1∥AA1，且，∴四边形A1MND为平行四边形，∴MN∥A1D，∴MN∥平面A1B1C1．(2)在平面ACC1A1中，作C1H⊥CM于H．∵BC⊥平面ACC1A1，∴C1H⊥BC，∴C1H⊥平面MBC，∴C1H的长即为点C1到平面MBC的距离．∵MC=MC1=CC1=2，∴△CMC1为正三角形，．故点C1到平面MBC的距离为．(3)作CE⊥C1M，交C1M于点E，交A1C1于F，连接BE，则CE为BE在平面ACC1A1上的射影，∴BE⊥C1M，∴∠BEF为二面角B—C1M—A1的平面角．18、(1)∵y=f(x)的图像关于原点对称，∴f(－x)=－f(x)，得b=d=0，，f′(x)=ax2＋4c，∴a＋4c=－6，4a＋4c=0，解得a=2，c=－2，故．(2)由(1)知f′(x)=2x2－8=2(x－2)(x＋2)，∴当－1≤x≤1时，f′(x)<0，∴函数f(x)在[－1，1]上是减函数，∴f(－1)≥f(x1)≥f(1)，(2)ξ 1 2 3 4 5 …P …。
湖北省黄冈中学2009年春季高二期中考试---理科数学
湖北省黄冈中学2009年春季高二期中考试（理科）数 学 试 题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知109876m n A =⨯⨯⨯⨯，则mn 的值是 （ ）A ．60B ．50C ．45D ．30答案：选A. 理由：由排列数公式知5,10m n ==.2．已知直线////a b c ，则直线a b c 、、至多可以确定平面的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：选C. 理由：两平行直线可以确定一个平面，当三条平行直线不共面时可以确定三个平面. 3．边长为4的等边三角形用斜二测画法得到的图形的面积是 （ ）A B ．C ．D ．答案：选A. 4．设条件甲：直四棱柱1111ABCD A B C D -中，棱长都相等；条件乙：直四棱柱1111ABCD A B C D -是正方体，那么甲是乙的 （ ） A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分也非必要条件答案：选C. 理由：当直四棱柱的底面是菱形时，直四棱柱不一定是正方体，显然⇒乙甲，故甲是乙的必要非充分条件.5．从5位学生中选派4位学生在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求 星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 （ ） A ．40种B ．60种C ．100种D ．120种答案：选B. 理由：先从5人中选4人有45C 种，再从选出的4人中选2人参加星期五的活动有24C 种，剩下的两人分别安排在另两天有22A 种，故共有42254260C C A =种5．已知平面的一条斜线a 和它在平面内的射影的夹角是45°，且平面内的直线b 和斜线a 在平面内的射影的夹角是45°，则直线a 、b 所成的角是 （ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 答案：选C. 理由：由最小角定理12cos cos cos θθθ=得60θ=°.6．记者要为4名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的排法有 （ ）A ．72种B ．144种C ．240种D ．480种答案：选B. 理由：先将4名志愿者排成一列，再将2位老人看成一个整体插到4名志愿者形成的三个空中（除去两端的），然后将2位老人排列，则不同的排法有412432144A C A =种.7．如果232()nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为 （ ） A ．3B ．5C ．6D ．10答案：选B. 理由：二项展开式的通项为225132()()(2)rn rr r r n r r n n T C x C x x--+=⋅-=⋅-⋅，由展开式中含有非零常数项知+25(,)n r n N r N =∈∈，故正整数n 的最小值为5.8．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1、2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有 （ ） A ．10种B ．20种C ．36种D ．52种答案：选A. 理由：分为两类：（1）1号盒子放入1个球，2号盒子放入3个球，有144C =种放球方法； （2）1号盒子放入2个球，2号盒子放入2个球，有22426C C =种放球方法； ∴共有12244210C C C +=种不同的放球方法. 9．据2009年3月5日十一届人大二次会议《政府工作报告》指出：“2008年国内生产总值约30万亿元，比上年增长9%.”如果从2009年开始，每年的国内生产总值都按9%的增长率增长，那么2012年的国内生产总值约为 （ ） A ．41.5万亿元B ．42.3万亿元C ．43.2万亿元D ．43.8万亿元答案：选B. 理由：2012年的国内生产总值约为412233444300000(19%)300000(10.090.090.09)C C C ⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯+L23300000(140.0960.0940.09)=⨯+⨯+⨯+⨯+L300000 1.409≈⨯422700= 故约为42.3万亿元.10．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，点P 是棱DD 1的中点，12AA =，AB =1，若点Q 在侧面11BB C C （包括其边界）上运动，且总保持AQ BP ⊥，则动点Q 的轨迹是 （ ）答案：选D. 理由：方法1：分别取BB 1、CC 1的中点M 、N ，连CM 、MN 、PN 、AC ，则由CM ⊥BN 知： CM ⊥BP ，又BP ⊥AC . 故BP ⊥平面AMC . 所以过A 与BP 垂直的直线均在平面AMC 内，又Q 在平面11BB C C 内，故Q ∈平面AMC I 侧面BB 1C 1C ，即Q 在线段MC 上.BCB 1C 1C 1B 1BCBCB 11B 1C 1BC（A ） （B ） （C ） （D ）111方法2：建立空间直角坐标系，设(1,,)Q y z ，由AQ BP ⊥，得0AQ BP =u u u r u u u rg ，故1(01,02).z y y z =+≤≤≤≤二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡相应位置上．11．若地球半径为R ，在东经30︒的经线上有A 、B 两点，A 在北纬30︒，B 在南纬60︒，则它们的球面距离是__________. 答案：.2Rπ 理由：设O 是球心，则2AOB π∠=，故A 、B 两点的球面距离是.2Rπ12．已知二面角l αβ--的平面角为3π，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB β⊂平面，BC 在l 上，CD β⊂平面，若1AB BC CD ===，则AD 的长为 .理由：由AD AB BC CD =++u u u r u u u r u u u r u u u r得：||AD u u u r 而0AB BC =u u u r u u u r g ，0BC CD =u u u r u u u r g ，2,3AB CD π<>=u u u r u u u r，故||AD =u u u r13．如果21()2nx x-的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的所有项系数和是 . 答案：164. 理由：由只有第4项的二项式系数最大得3n C 最大，故n =6. 令1x =得展开式中所有项系数的和是6111264⎛⎫-= ⎪⎝⎭.14．设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图). 现将ADE ∆沿DE 折起，使二面角A DE B --的大小为45︒，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小为 . 答案：2π. 理由： 取AE 中点G ，连MG 、GB . 则可证GM ∥BN ，GM BN = 故MN ∥BG ，而DE ⊥EB ，DE ⊥AE ，∴45AEB ∠=︒ 又AB ⊥BE ，G 为AE 中点，∴BG ⊥AE ， ∴MN ⊥AE ∴MN 与AE 所成的角为2π.15．如图，在直棱柱111ABC A B C -中，AC BC ==90ACB ∠=︒，AA 1=2，E 、F 分别是AC 、AB 的中点，过直线EF 作棱柱的截面，若截面与平面ABC 所成的二面角的大小为60︒，则截面的面积为____________.A EB 1A 1C 1F AENCM GDN答案：203或28.3理由：由判断得经过A1或B1C1的截面与底面ABC所成的角小于45︒，故截面与111ΔA B C相交，且有两种情况：如图，截面为EFMN，过N作NP∥AA1，则NP⊥AC，可证EF⊥平面A1C，则60NEP∠=︒，tan60NPPE==︒，AP AE PE=-==故1A N=，NE=∴1MN A N==∴2033.23EFMNS==梯形同理：28.3S=梯形故截面面积为203或28.3三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16.（本小题满分12分）已知22()nxx-展开式的二项式系数之和比21)nx展开式的二项式系数之和小56.（1）求n；（2）求22()nxx-的第二项的系数和21)nx的第5项.答案：（1）由题意得：22256n n-=，即2(2)2560,n n--=∴28,27n n==-（舍去），故3n=；(2) 232()xx-第二项是1221332()()6C x xx-=-，故第二项的系数是6-；61)x的第5项是424563160()T Cx x==.17．（本小题满分12分）如图，斜三棱柱111ABC A B C-中，190,2,ACB BC B∠=︒=在底面的射影D恰好是BC的中点，侧棱与底面成60︒角，侧面11A ABB与侧面11BB C C成30︒角.（1）求证：四边形11AAC C是矩形；（2）求斜三棱柱111ABC A B C-的体积.答案：（1）由1B在底面的射影是D得1B D⊥底面ABC，则160B BD∠=︒.90,ACB AC BC∠=︒∴⊥Q，1AC BB∴⊥，由111////B B AA CC，得四边形11AA C C是矩形.AECBB1A1C1FMNPABDB1C1A1C（2）1B D ⊥Q 平面ABC ，∴侧面11BCC B ⊥平面ABC ，AC BC ⊥Q ，AC ∴⊥侧面11.BCC B 过C 作1CE BB ⊥于E ，连,AE 则CEA ∠是侧面11BCC B 与侧面11A ABB 所成的二面角的平面角，故30CEA ∠=︒.D Q 是BC 的中点，∴ 1.BD =在1Rt B BD ∆中，12cos60BDBB ==︒，1B D =在Rt BCE ∆中，sin 60CE BC =︒= 在Rt CEA ∆中，tan301AC CE =︒=，11111212ABC ABC A B C V S B D ∆-=⋅=⨯⨯棱柱18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，M 、N 分别是边DA 、BC 上的点（M 不与A 、D 重合），且//MN AB ，MN 交AC 于点O ，沿MN 将正方形折成 直二面角.A MN D --（1）当MN 平行移动时，AOC ∠的大小是否发生变化？试说明理由；（2）当MN 在怎样的位置时，A 、C 两点间的距离最小？并求出这个最小值.答案：（1）设AM BN x ==，则,MD NC a x ==-由题意知：平面DMNC ⊥平面MABN ， 而,CN MN ⊥故CN ⊥平面.MABN22222222222()2()AC AN CN AM MN CN x a a x x xa a ∴=+=++=++-=-+.而22222)]2(),2,OC a x a x OA x =-=-=故1cos .2AOC =- 120,AOC ∴∠=︒即无论MN 怎样平移,120AOC ∠=︒为定值.（2）由（1）知：22232(),22a AC x a =-+故当2ax =时，AC 有最小值，即当M 、N 分别为AD 、BC 中点时，AC. 19．（本小题满分12分）号码为1、2、3、4、5、6的六个大小相同的球，放入编号为1、2、3、4、5、6的六个盒子中，每个盒子只能放一个球.（1）若1、2号球要放入号码是相邻数字的两个盒子中，则不同的放法有多少种？ （2）若3、4号球要放入编号不比自己号码小的盒子中，则不同的放法有多少种？ （3）若1号球不放入1号盒中，6号球不放入6号盒中，则不同的放法有多少种？ 答案：（1）号码是相邻数字的两个盒子有1与2、2与3、3与4、4与5、5与6共5种情况，ABDB 1C 1A 1 C EM N则符合题意的放法有124524240C A A =种；（2）①若3号球放入3号盒子，则不同的放法有1434C A 种；②若3号球放入4号、5号、6号盒子中的一个，则不同的放法有114324C C A 种； 故符合题意的放法有1434C A +114324C C A =216种；（3）六个球放入六个盒子中的方法有66A 种，1号球放入1号盒中，6号球不放入6号盒中的方法有1444C A 种；1号球不放入1号盒中，6号球放入6号盒中的方法有1444C A 种；1号球放入1号盒中，6号球放入6号盒中的方法有44A 种； 故符合题意的放法有66A －1444C A ×2－44A =504种.20．（本小题满分13分）如图，在梯形ABCD 中，1//,,3,23AD BC ABC AB AD π∠===ADC ∠=PA ⊥平面ABCD ，且 3.PA = （1）求异面直线AD 与PC 间的距离； （2）求直线PD 与平面PBC 所成的角；（3）已知F 是线段AD 上的动点，若二面角C PF A --的大小为AF .答案：（1）//,AD BC AD ⊄Q 平面PBC //AD ∴平面PBC ，故AD 与PC 间的距离就是AD 到平面PBC 的距离．取PB 中点E ，连AE ．PA AB =Q .AE PB ∴⊥PA ⊥Q 平面,,ABCD PA BC ∴⊥又,,BC AB AB PA A BC ⊥=∴⊥I 平面.PAB 故平面PBC ⊥平面.ABP 由AE PB ⊥得AE ⊥平面PBC ，故AE 的长度是A 到平面PBC 的距离，而2AE =故AD 与PC间的距离是2（2）由（1）知：D 到平面PBC 的距离即为A 到平面PBC 距离，故D 到平面PBC 的距离是2在Rt PAD ∆中：PD =设直线PD 与平面PBC 所成的角是θ，故sin θ==，∴直线PD 与平面PBC 所成的角是BFA PA DCBFPEK MNsinarc （3）作CM AD ⊥于M ，作MK PF ⊥于K ，连CK .由arcsin5ADC ∠=得1,2tanADC =则26,MD CM ==证得3,BC AM == 可证,CM PAD ⊥平面得∠CKM是二面角C PF A --的平面角，所以CKM =∠，CMtanCKM =MK=，∴MK =，由FM MKFMK FPA FP PA⇒=△∽△， 设AF x ===，1236,2x x ==，由二面角C PF A --的平面角小于2π得>3AF x =，故取6x =，即6AF =. 21．（本小题满分1４分）如图，B 为等腰直角ABC ∆的直角顶点，EA 、DC 都垂直于ABC ∆ 所在的平面，3,,2.AE a CD a AC a === （1）求二面角D EB C --的大小； （2）求点D 到平面BCE 的距离；（3）问线段BE 上是否存在一点F ，使得//FD 平面ABC 且?FA BD ⊥若存在，请指出F 点的位置；若不存在，请说明理由．答案：几何法：（1）作DM BE ⊥于M ，EA ⊥Q 平面,ABC BC ⊂平面,,,ABC BC AE AB AE A BC BAE BC BE ∴⊥=∴⊥∴⊥I 平面，则向量MD u u u u r 与BC u u u r所成的角即为二面角D EB C --的大小.由计算得,,,DE BE BD ===故,BD DE ⊥∴由面积求得DM，由射影定理可求得BM . 而,DC DM MB BC =++u u u r u u u u r u u u r u u u r 则2222cos ,.DC DM BC DC BC DM BC =++u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r故cos ,MD BC =u u u u r u u u r D BE C --的大小为 （2）EA ⊥Q 平面ABC ，DC ⊥平面ABC ，//,AE DC ∴故A 、C 、D 、E 四点共面. 且平面ABC ⊥平面ACDE 作BK AC ⊥于K ,则有BK ⊥平面,.ACDE BK a =21()42ACDE S DE AE AC a =+⋅=梯形，2132ACE S AC AE a ∆=⋅=MAKBCD EABCD E∴2DCE S a ∆= ∴31133B DCE DCE D BCE V BK S a V -∆-===g由,,,BE BC BC BE ==⊥故2.BCE S ∆=由31133BCE S h a ∆⋅=得,h =即D 到平面BCE.（3）假设线段BE 上存在点F ，使FA BD ⊥，//FD 平面ABC . DC ⊥Q 平面ABC ，AB ⊂平面ABC .,DC AB ∴⊥又,AB BC DC BC C ⊥=I ，AB ⊥平面BCD,AB BD ∴⊥又,BD FA FA AB A ⊥=I （F 不与B 重合），故BD ⊥平面ABF ，则.BD BE ⊥ 而由计算得:,,,BE BD DE ===故222,BE BD DE =+,BD DE ∴⊥这与BD BE ⊥矛盾,故BE 上不存在F ,使.FA BD ⊥（或BD ⊥平面ABF ，BC BAE ⊥平面，而过空间一点有且仅有一条直线与已知平面垂直） 向量法：过B 作BT ⊥平面ABC ，以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),,0)B A，,0,0),,0,),,3)C D a E a .（1）设平面BDE 的一个法向量为(,,1),m x y =-u r则,m BD m BE ⊥⊥u r u u u r u r u u u r ，故03x a a o y ⎧=⎪-=⎪⇒⎨-=⎪=⎪⎩(1).22m ∴=-u r同理：平面BCE的一个法向量为(0,n =r，则11cos m n m n π-〈,〉==∴〈,〉=-u r r u r r∴二面角D BE C --的大小为 （2）由（1）知平面BCE的一个法向量为(0,2n =-r，而,0,)BD a =u u u r ，故D 到平面BCE的距离是n BD d ==n⋅r u u u r r（3）若BE 上存在F 使//FD 平面ABC ，显然此时:2:1,EF FB =故)F a （上式也可用向量共线与共面定理得到F 点的坐标）∴(0,),,0,)AF a BD a ==u u u r u u u r ，20,AF BD a ∴⋅=≠u u u r u u u r故AF 与BD 不垂直，故在BE 上不存在符合题意的F 点。
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2009年黄冈中学预录数学试卷一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分．每小题恰有一个正确的答案,请将正确答案的代号填入题中相应的括号内)1．下列说法:(1)相反数等于本身的数只有0；(2)绝对值等于本身的数是正数；(3)立方等于本身的数是1和1-；(4)平方等于本身的相反数的数只有0．其中正确的说法的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．42．设a 、b 、c 均为正数，若()()()c b a b a c a c b +<+<+，则a 、b 、c 三个数的大小关系是（ ）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a << 3．若不等式组3220,0.x m x -≥⎧⎨-≥⎩有实数解，则实数m 的取值范围是( )A ．223m ≤ B ．223m < C ．223m >D ．223m ≥4．如图，一次函数11y x =-与反比例函数22y x=的图像交于点A 、B ，则使12y y >的x 的取值范围是( )A. 2x >B. 12x -<<C. 2x >或10x -<<D. 2x >或1x <- 5．当1x =-+，1y =+2222()(1)2y x x y xy xy xyxy+-÷+--的值是( )A ．1B ．1- C．3D6．在直角坐标系中，O是坐标原点，已知点P ，点Q 在x 轴上，若POQ ∆是等腰三角形，则满足条件的所有Q 点的横坐标的和是( ) A ．2 B． C ．8 D．2+7．如图，已知是AB 是⊙O 直径，点P 是AB 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，PM 平分C P A ∠，交AC 于点M ，则C M P ∠的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．不能确定 8．已知实数,a b 满足a b -=+,则2200820093323a ab a b -+-+的值是( )A ．1B ．3C ．21D ．2009二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将正确答案填在各小题后的横线上）9．已知21a a +=，21b b +=，a b ≠,则a b b a+的值是10．已知0,0a b >>,=，8a b +的值为11．如图，四边形ABCD 是菱形，且A D C ∠=120°，点M 、N分别是边AB 、BC 的中点，点P 是对角线AC 上的动点，若PM +PN 的最小值是1，则菱形ABCD 的面积是4题图11题图DABCP MN12．若实数,a b 满足2221b a -=，则222a b --的最大值是 13．有一地球同步卫星A 与地面四个科研机构B 、C 、D 、E ，它们两两之间可以互相接发信息，由于功率有限，卫星及每个科研机构都不能同时向两处发送信息(如A 不能同时给B 、C 发信息，它可先发给B ，再发给C )，它们彼此之间一次接发信息的所需时间如右图所示．则一个信息由卫星发出到四个科研机构都接到该信息时所需的最短时间为14．把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上的编号分别为m 、n ，则二次函数2y x m x n =++的图象与x 轴没．有．公共点的概率是 三、解答题（本大题共5小题，共64分．请写出解答过程）15．(本题满分12分) 如图，点F 是A B C ∆外接圆 BC的中点，点D 、E 在边AC 上，使得AD AB =，B E E C =．证明：B 、E 、D 、F 四点共圆．证明：16．(本题满分12分)如图，已知AD 是A B C ∆的高，B A C ∠=60°，22B D C D ==，试求AB 的长．解：A B DCE 1 441 3 35 23 2 13题图 CE D A BF ⋅⋅ 15题图 B 16题图A17．(本题满分13分)已知当32x =时，二次函数2y ax bx c =++取得最值54-，且函数图象过点A (0,1).(1)求,,a b c 的值；(2)把函数2y ax bx c =++图象向左平移d 个单位后所得函数图象的解析式是2y ax x e =++,试求e 的值；(3)若函数2y ax x e =++的图象与x 轴交于两点(,0),(,0)A B αβ,且A 点在B 点左边,试求432235αααα-++-的值．18．(本题满分13分) 首先,我们看两个问题的解答:问题1:已知0x >,求3x x+的最小值.问题2:已知2t >,求2592t t t -+-的最小值.问题1解答:对于0x >，我们有:23xx+=+=即x =,上述不等式取等号,所以3x x+的最小值问题2解答:令2x t =-,则2t x =+,于是 22259(2)5(2)93312t t x x x x x t xxx-++-++-+===+--.由问题1的解答知, 3x x+的最小值所以2592t t t -+-的最小值是1-.弄清上述问题及解答方法之后,解答下述问题:在直角坐标系xOy 中，一次函数(0,0)y kx b k b =+>>的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且使得O A B ∆的面积值等于||||3OA OB ++．(1)用b 表示k ；(2)求A O B ∆面积的最小值．19．(本题满分14分) 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与一次函数y x =的图象两个交点的横坐标为12,x x ,若1210x x a<<<.(1)试用12,,a x x 表示,b c ；(2)若10t x <<,当x t =时二次函数的值记为()f t ,试证明:1()t f t x <<.答案一、ADDC CCBA二、9．110．7511212．38-13．4 14．1736三、15．证明:连结,FC FB,则F C F B=.……………2分连结EF,则C E F∆≌BEF∆,∴B F E C F E∠=∠.………………………………………5分∵,,,A B F C共圆∴C A B C F B∠+∠=180°…………7分∴2C A B B F E∠+∠=180°.∵AB AD=∴ABD AD B∠=∠……………………8分∴2C A B AD B∠+∠=180°.∴AD B BFE∠=∠.………………………………………10分∴B、E、D、F四点共圆.……………………………12分16．解:过点B作BE⊥AC于E,则BE=.………………1分设A E x=,则,2BE AB x==.∵22B DC D==∴2,1,3BD CD BC===.∴CE==…………………………3分由22222AB BD AD AC CD-==-,得2244(1x x-=+-.……………………………7分∴2244822x x-=-+236x-=42249363693x x x x-+=-42415120x x-+=∴28x=…………………………………………10分2 <<<，所以x=.CEDA BF⋅⋅15题图B16题图EA故x =从而AB ==…………………………12分17．解：(1) 2235()24y ax bx c a x =++=--.由图象过点A (0,1)得:95144a -=. ∴1a =.………………………２分∴2235()3124y x x x =--=-+,∴1,3,1a b c ==-=.……………………………………………………３分 (2)平移后,函数图象的顶点是35(,)24d --.……………………………４分函数式为22235()(23)3124y x d x d x d d =-+-=+-+-+．于是2231,31d e d d -==-+.…………………………………………６分 解得2,1d e ==-.…………………………………………………………８分(3) 221y ax x e x x =++=+-，于是α是方程210x x +-=的较小根．∴21αα=-，且12α--=． ………………………………………10分于是 43222352(1)(1)35αααααααα-++-=---+-=2532352ααα+--=-=…………………………………………13分18．解：(1)当0x =时,y b =；当0y =时，b x k=-．所以||,||b O A O B b k==．……………………………………………2分∴21||||22OAB bS OA OB k∆=⋅=.…………………………………………4分∴232bb b kk=++，∴2232b b b k-=+，2226b b k b -=+．…………………………………………6分(2)2222(26)322(2)2O AB bb b b b S kb b b ∆++===--．…………………………………8分设2x b =-，则2b x =+．2(2)3(2)OAB x x S x∆+++==2710x x x++…………………………………10分=107xx++=27++≥7+12分上述不等式等号在x =时成立．故O A B ∆面积最小值是7+13分 19．解：(1)方程2ax bx c x ++=，即2(1)0ax b x c +-+=，其两根分别是12,x x ， 于是12121,b c x x x x aa-+=-=． ………………………………………………2分∴12121,b ax ax c ax x =--+=．…………………………………………………4分 (2)当10t x <<时,22()(1)f t t at bt c t at b t c -=++-=+-+=21212()at a x x t ax x -++.……………………………………………5分=12()()a t x t x --………………………………………………………6分∵10t x <<，12x x <，0a >，∴120,0t x t x -<-<，…………………………………………………………7分 ∴12()()0a t x t x -->.从而()0,()f t t f t t ->>. …………………………………………………………9分 又221112121()(1)f t x at bt c x at ax ax t ax x x -=++-=-+-+-…………10分 =212121[()]()a t x x t x x t x -+++-=121()()()a t x t x t x --+-=12()[1()]t x a x t ---…………………………………………………………11分∵10t x <<，1210x x a<<<，0a >，∴12210,0,()1t x x t a x t a-<<-<-<，……………………………………13分∴12()[1()]0t x a x t ---<. 从而11()0,()f t x f t x -<<．故1()t f t x <<.…………………………………………………………………14分。